ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HỒ THỊ MAI HƯƠNG

SỰ TRIỆT TIÊU CỦA HỆ SỐ HILBERT
VÀ ĐỘ SÂU CỦA VÀNH PHÂN BẬC
LIÊN KẾT
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PSG. TS. CAO HUY LINH

Thừa Thiên Huế, năm 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Hồ Thị Mai Hương

ii


LỜI CẢM ƠN

Với lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, PSG.TS
Cao Huy Linh đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập
cũng như hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô giáo khoa Toán - trường Đại học Sư
phạm - Đại Học Huế đã giảng dạy, giúp đỡ, góp ý, truyền đạt cho tôi những kiến
thức bổ ích làm nền tảng cho việc nghiên cứu đề tài và tạo điều kiện tốt nhất để
tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế,
phòng Đào tạo Sau Đại học và các phòng ban của trường Đại Học Sư Phạm Huế
đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớp Cao học Toán
khóa XXIV (2015-2017) trường Đại học Sư phạm - Đại Học Huế đã luôn động
viên, giúp đỡ tôi vượt qua khó khăn trong thời gian học tập và thực hiện luận văn.
Huế, tháng 9 năm 2017.
Tác giả
Hồ Thị Mai Hương

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii


Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Lời nói đầu

3

1 Một số kiến thức cơ sở

5

1.1

Vành các thương và địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Chiều của vành và môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3


Dãy chính quy và độ sâu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4

Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5

Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5.1

Vành phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5.2

Môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.6


Vành và môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.7

Hàm Hilbert và hệ số của môđun phân bậc . . . . . . . . . . . .

16

1.8

Đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.9

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford . . . . . . . . . . . . . .

20

2 Mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu của
vành phân bậc liên kết
2.1

23

Hàm Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert-Samuel
1


. . . . . . . . . .

23


2.2

Mối quan hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert của
môđun phân bậc liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3

Dãy các phần tử siêu bề mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.4

Tính không dương của hệ số Hilbert của iđêan tham số . . . . .

29

2.5

d-dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33


2.6

Mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu trong
trường hợp d-dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7

34

Mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu trong
trường hợp chỉ số chính quy đủ nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

42

2


LỜI NÓI ĐẦU

Cho (A, m) là vành địa phương Noether, I là iđêan m-nguyên sơ của A. Giả
sử M là A-môđun hữu hạn sinh có chiều d. Khi đó hàm số

HM : Z −→ N0


 (M/I n M )
n −→ HM (n) =
0

khi n ≥ 0;
khi n < 0.

được gọi là hàm Hilbert-Samuel của M ứng với I. Samuel đã chứng minh được
tồn tại một đa thức PM ∈ Q [x] có bậc d sao cho HM (n) = PM (n) với n

0.

Đa thức này được gọi là đa thức Hilbert-Samuel của M ứng với iđêan I và nó
được viết dưới dạng
d

(−1)i

PM (n) =
i=0

n+d−i−1
ei (I, M ) ,
d−i

trong đó ei (I, M ) với i = 1, . . . , d là các số nguyên và chúng được gọi là hệ số
Hilbert của M ứng với I. Đặc biệt, hệ số dẫn đầu e0 (I, M ) được gọi là số bội

và hệ số e1 (I, M ) được gọi là hệ số Chern của M ứng với iđêan I.
Việc nghiên cứu hệ số Hilbert sẽ cho chúng ta nhiều thông tin về cấu trúc
vành và môđun tương ứng.
Cho (A, m) là vành Noether địa phương, I là iđêan m-nguyên sơ. Kí hiệu
I n /I n+1 .

GI (A) =
n≥0

Người ta gọi GI (A) là vành phân bậc liên kết của A ứng với I.
Vấn đề thiết lập mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu
của vành phân bậc liên kết không hoàn toàn đơn giản, thu hút nhiều nhà toán
học trong và ngoài nước quan tâm. Chẳng hạn, S.Goto, M.Manda, J.Verma đã
chứng minh một kết quả đáng chú ý về hệ số Chern đó là " Nếu q là iđêan tham
số của vành địa phương Noether thì e1 (q) ≤ 0" ([8], [9],. . . ). Trong [15] Lori.
3


Mccune đã chứng minh được rằng nếu depth(Gq (A)) ≥ d−1 với q là iđêan tham
số của vành A thì ei (q) ≤ 0, ∀i = 1, . . . , d. Trong [3] Linh-Trung đã chứng minh
được mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu của vành phân
bậc liên kết trong trường hợp d-dãy. Một cách cụ thể là, cho q là iđêan tham số
sinh bởi d-dãy; lúc đó, ei (q) = 0 nếu và chỉ nếu depth(Gq (A)) ≥ d − i − 1.
Ta biết rằng, khi q là iđêan tham số sinh bởi d-dãy thì reg(Gq (A)) = 0. Ta
xét một trường hợp tổng quát hơn, q là iđêan tham số sao cho reg(Gq (A)) ≤ 1.
Khi đó chúng tôi đạt được kết quả sau:
Định lý: Giả sử (A, m) là vành Noether địa phương có chiều d ≥ 3 và
depth(A) ≥ k với 2 ≤ k ≤ d − 1. Giả sử q là iđêan tham số của A sao cho
reg(Gq (A)) ≤ 1. Khi đó,
(i) depth(Gq (A)) ≥ k;

(ii) ed−k+2 (q) = ed−k+3 (q) = . . . = ed (q) = 0.
Từ định lý này, ta thu được hệ quả sau cho vành hầu Cohen-Macaulay.
Hệ quả: Cho (A, m) là vành hầu Cohen-Macaulay có chiều d ≥ 3. Giả sử q
là iđêan tham số sao cho reg(Gq (A)) ≤ 1. Khi đó,
(i) depth(Gq (A)) ≥ d − 1;
(ii) e3 (q) = e4 (q) = . . . = ed (q) = 0.
Đây là kết quả mới mà chúng tôi đạt được. Phương pháp chính mà chúng tôi
sử dụng là áp dụng kết quả của Hoa [10] để đánh giá độ sâu của vành phân bậc
liên kết từ đó suy ra tính triệt tiêu của hệ số Hilbert.
Luận văn được chia làm hai chương. Trong chương 1, chúng tôi trình bày một
số kiến thức cơ bản của Đại số giao hoán nhằm mục đích hổ trợ cho các chứng
minh ở chương sau. Trong chương 2, chúng tôi trình bày một số kết quả liên
quan đến mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu của vành
phân bậc liên kết.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trình bày
khó tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy Cô giáo và
các bạn để luận văn hoàn thiện hơn.

4


Chương 1

Một số kiến thức cơ sở
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của đại số
giao hoán như: vành nhân tử hóa và địa phương hóa, chiều của vành và môđun,
dãy chính quy và độ sâu, iđêan nguyên sơ và iđêan tham số, vành và môđun
phân bậc, vành và môđun Cohen-Macaulay, hàm Hilbert và hệ số của môđun
phân bậc, đối đồng điều địa phương, chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford.
Các kiến thức này được trình bày nhằm tham khảo cho các nội dung của chương

sau. Một số kết quả trong chương này là khá kinh điển, được trích dẫn từ các
tài liệu tham khảo bằng cách tóm tắt lại những kết quả chính, vì vậy chúng tôi
chỉ trình bày nội dung mà không trình bày phần chứng minh (phần chứng minh
có thể tham khảo trong các tài liệu [1], [5], [14], [7], [13]).

1.1

Vành các thương và địa phương hóa

Định nghĩa 1.1.1. Một tập con S của một vành R được gọi là tập nhân đóng,
nếu 1 ∈ S và xy ∈ S, ∀x, y ∈ S.
Trên tập R × S ta xét một quan hệ ∼ xác định bởi:
(a, s) ∼ (b, t) ⇔ ∃u ∈ S : u(at − bs) = 0,
với s, t ∈ S, a, b ∈ R.
Dễ dàng kiểm tra quan hệ trên là quan hệ tương đương. Ta kí hiệu a/s là lớp
tương đương của phần tử (a, s) và S −1 R là tập tất cả các lớp tương đương này,

5


tức là
S −1 R = {a/s | a ∈ R, s ∈ S}.
Trên tập S −1 R ta định nghĩa hai phép toán:
(a/s) + (b/t) = (at + bs)/st,
(a/s)(b/t) = ab/st.
Từ đó, chúng ta có định nghĩa vành phân thức như sau
Định nghĩa 1.1.2. Tập S −1 R cùng với hai phép toán trên trở thành một vành
giao hoán có phần tử đơn vị 1S −1 R = s/s (s ∈ S) và mọi phần tử s/t với s, t ∈ S
là khả nghịch. Vành S −1 R được gọi là vành các thương của R trên S.
Cho I là iđêan của một vành giao hoán R và S là một tập nhân đóng trong

R. Khi đó, dễ kiểm tra rằng tập hợp
a
S −1 I = { | a ∈ I, s ∈ S}
s
là một iđêan của S −1 R.
Mệnh đề 1.1.3. [1, Mệnh đề 4.5]. Cho S là một tập nhân đóng và I là một
iđêan của R. Khi đó, S −1 I = S −1 R khi và chỉ khi I ∩ S = ∅.
Chứng minh. Giả sử S −1 I = S −1 R. Khi đó, S −1 I chứa phần tử đơn vị 1/1 của
S −1 R, tức là tồn tại những phần tử a ∈ I và s ∈ S sao cho 1/1 = a/s. Suy ra
tồn tại t ∈ S để t(a − s) = 0. Điều này chứng tỏ phần tử ta = ts thuộc vào
I ∩ S. Hay I ∩ S = ∅.
Ngược lại, giả sử tồn tại s ∈ I ∩ S. Khi đó, s/s = 1/1 ∈ S −1 I, suy ra
S −1 I = S −1 R.
Ví dụ 1.1.4.

(i) Cho R là một vành và S là tập hợp tất cả các phần tử khả

nghịch của R. Rõ ràng S là tập nhân đóng và trong trường hợp này ta có
S −1 R = R.
(ii) Cho R là miền nguyên và S = R \ {0} là một tập nhân đóng. Khi đó S −1 R
là một trường, gọi là trường các thương của miền nguyên R. Trường các
thương của miền nguyên R là
S −1 R =

a
| a ∈ R, s ∈ S \ {0} .
s
6



(iii) Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R. Dựa vào tính nguyên tố của p,
ta có tập S = R \ p là một tập nhân đóng với phép nhân. Trong trường
hợp này, vành các thương của R trên S được kí hiệu là Rp . Tập hợp tất cả
các phần tử của Rp có dạng a/s với a ∈ p, s ∈
/ p lập thành một iđêan m
của Rp . Nếu a/s ∈
/ m thì a ∈
/ p, tức là a/s khả nghịch trong Rp . Nghĩa là
m là iđêan cực đại duy nhất của Rp . Qúa trình từ R đến Rp được gọi là
địa phương hóa của R tại iđêan p. Các iđêan của Rp có dạng
IRp =

a
| a ∈ I, s ∈
/p ,
s

trong đó I là một iđêan của R. Đặc biệt, các iđêan nguyên tố của Rp có
dạng qRp , với q là một iđêan nguyên tố của R thỏa mãn q ⊆ p.
Trong trường hợp này, ta kí hiệu môđun các phân thức của M trên S là Mp
và được gọi là môđun địa phương hóa của M ứng với p.
Ta có định nghĩa vành địa phương hóa như sau
Định nghĩa 1.1.5. Vành R được gọi là vành địa phương nếu nó có đúng một
iđêan cực đại m, ta thường kí hiệu là (R, m).
Nhận xét 1.1.6.

(i) Với mọi iđêan nguyên tố p của R thì vành Rp là vành

địa phương với iđêan cực đại duy nhất là
pRp =


a
| a ∈ p, s ∈
/p .
s

(ii) Nếu M là R-môđun thì môđun địa phương hóa M ứng với p là Mp và ta
có
Mp = {

m
| m ∈ M, s ∈
/ p}.
s

(iii) Cho M là một R-môđun. Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p ∈ Spec(R)
sao cho Mp = 0, được gọi là giá của M, kí hiệu SuppR M , tức là
SuppR M = {p ∈ Spec(R) | Mp = 0}.
Ví dụ 1.1.7. Cho p là một số nguyên tố. Vành Zp = {
địa phương.

7

m
| (n, p) = 1} là vành
n


1.2


Chiều của vành và môđun

Định nghĩa 1.2.1.

(i) Cho R là một vành, với mỗi dãy giảm (thực sự) các

iđêan nguyên tố của vành R có dạng p0 ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pr , khi đó r được gọi
là độ dài của dãy. Ta định nghĩa chiều (Krull) của vành R là độ dài lớn
nhất của các dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R, kí hiệu là dim R.
Tức là
dim R := sup{r | ∃ p0 ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pr dãy các iđêan nguyên tố trong vành R}.
(ii) Cho M là một R-môđun. Chiều của môđun M là
dimR M := dim(R/annR (M )),
với annR (M ) = {r ∈ R | rM = 0}. Ta kí hiệu dim M thay cho dimR M
trong trường hơp không có sự nhầm lẫn về vành R.
Nhận xét 1.2.2.

(i) Mỗi iđêan nguyên tố của vành thương R/annR (M ) có

dạng p/annR (M ) với p là iđêan nguyên tố của vành R chứa annR (M ). Do
đó, chiều của vành R/annR (M ) là độ dài lớn nhất của các dãy giảm các
iđêan nguyên tố của R chứa annR (M ). Vì vậy, dim M ≤ dim R.
(ii) Cho M là một R-môđun có chiều d và N là một R-môđun con của M . Ta
có annR (M ) ⊆ annR (N ) nên R/annR (N ) ⊆ R/annR (M ). Do đó, dim N ≤
dim M = d. Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có dim M/N ≤ dim M =
d.
Ví dụ 1.2.3. Xét đa thức n biến k[x1 , . . . , xn ] trên trường k. Ta có
(0) ⊂ (x1 ) ⊂ (x1 , x2 ) ⊂ . . . ⊂ (x1 , . . . , xn )
là một dãy giảm các iđêan nguyên tố của k[x1 , . . . , xn ]. Vì vậy, dim k[x1 , . . . , xn ] ≤
n.. Theo [14, Corollary 5.6] người ta chứng minh được rằng dim k[x1 , . . . , xn ] = n.

Định nghĩa 1.2.4. Cho (R, m) là vành địa phương Noether có chiều d và R là
đầy đủ hóa m-adic của R (xem khái niệm đầy đủ hóa trong [14]). Khi đó, vành
(R, m) được gọi là vành không trộn lẫn (unmixed) nếu dim R/p = d với mọi p
là iđêan nguyên tố liên kết của R.
8


Lưu ý ta luôn có dim R = dim R.
Ví dụ 1.2.5. Xét R = k[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức n biến trên k. Khi đó ta có
R = k[[x1 , . . . , xn ]] là vành các chuỗi lũy thừa trên k.
Định nghĩa 1.2.6. Cho R là một vành giao hoán khác không, p là iđêan nguyên
tố của vành R. Độ cao của p, kí hiệu ht p, được định nghĩa như sau
ht p := sup{r | ∃ p = p0 ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pr dãy các iđêan nguyên tố trong vành R}.
Nhận xét 1.2.7. Từ định nghĩa chiều của vành và môđun, độ cao của một
iđêan nguyên tố ta có các tính chất sau:
(i) Nếu p1 ⊆ p2 thì ht p1 ≤ ht p2 . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi p1 = p2 .
(ii) Nếu dim R là hữu hạn thì
dim R = sup{ht p | p ∈ Spec(R)}
= sup{ht m | m là iđêan cực đại của R}.
Định nghĩa 1.2.8. Cho I là iđêan của vành giao hoán R. Khi đó, độ cao của
I được định nghĩa như sau
ht(I) = inf {ht(p)|I ⊂ p ∈ Spec R}
Cho I là iđêan của vành R, iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên
tố tối tiểu của R nếu nó không chứa thực sự một iđêan nguyên tố thực sự nào
khác. Kí hiệu tập tất cả các iđêan tối tiểu của I là Min(I). Khi đó, nếu Min(I)
là tập hữu hạn thì ta có bất đẳng thức sau
ht I + dim R/I ≤ dim R.
Định lý 1.2.9. [4, Corollary 11.6]. Cho R là một vành Noether và I = (x1 , . . . , xn )
là iđêan thực sự của R. Khi đó, ht p ≤ n với mọi p ∈ Min(I).
Từ định nghĩa độ cao của iđêan và định lý trên ta có hệ quả sau.

Hệ quả 1.2.10. Cho R là một vành Noether và I = (x1 , . . . , xn ) là iđêan thực
sự của R. Khi đó, ht I ≤ n.
9


1.3

Dãy chính quy và độ sâu

Cho M là R-môđun . Khi đó, một phần tử x ∈ R được gọi là phần tử M -chính
quy nếu với mọi m ∈ M sao cho xm = 0 thì m = 0.
Ta kí hiệu tập các phần tử M -chính quy trong R là N ZDR (M ).
Định nghĩa 1.3.1. Cho M -môđun, dãy x = x1 , . . . , xn là dãy các phần tử trong
R. Khi đó, x được gọi là một M -dãy chính quy nếu các điều kiện sau đây được
thỏa mãn:
(i) x1 là phần tử M -chính quy;
(ii) xi là phần tử M/(x1 , . . . , xi−1 )M -chính quy với mọi i = 2, . . . , n;
(iii) M/(x1 , . . . , xi−1 )M = 0.
Nhận xét 1.3.2.

(i) Dãy x được gọi là M -dãy yếu nếu thỏa mãn điều kiện

(i),(ii).
(ii) Giả sử x = x1 , . . . , xn là M -dãy chính quy. Khi đó, n được gọi là độ dài
của dãy.
Định lý 1.3.3. [14, Theorem 16.1]. Nếu x = x1 , . . . , xn là một M -dãy chính
quy thì x = xv1 , . . . , xvn cũng là M -dãy chính quy với mọi số nguyên dương
v1 , . . . , vn .
Mệnh đề 1.3.4. [7, Proposition 1.14]. Cho M là R-môđun và x là M -dãy yếu.
Khi đó dãy khớp

ϕ2

ϕ1

ϕ0

N2 −→ N1 −→ N0 −→ M −→ 0
của các R-môđun cảm sinh dãy khớp
N2 /xN2 −→ N1 /xN1 −→N0 /xN0 −→M/xM −→0.
Cho R là vành Noether, M là một R-môđun và I là một iđêan của R. Nếu
x = x1 , . . . , xn là một M -dãy thì dãy (x1 ) ⊂ (x1 , x2 ) ⊂ . . . ⊂ (x1 , . . . , xn ) tăng
ngặt. Giả sử x = x1 , . . . , xn ⊆ I là một M -dãy thì x được gọi là một M -dãy
trong I. Chúng ta có định nghĩa sau.
10


Định nghĩa 1.3.5. Cho x = x1 , . . . , xn ⊆ I là một M -dãy trong I, x được gọi
là một M -dãy cực đại trong I nếu x1 , . . . , xn , xn+1 không phải là một M -dãy với
mọi xn+1 ∈ I.
Tất cả các M -dãy cực đại trong I với IM = M có cùng độ dài nếu M là
R-môđun hữu hạn sinh. Từ đó, chúng ta có định nghĩa độ sâu như sau.
Định nghĩa 1.3.6. Cho R là vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh
và I là một iđêan của R thỏa mãn IM = M . Khi đó, độ dài của một M -dãy
cực đại trong I được gọi là độ sâu của M ứng với iđêan I, kí hiệu depth(I, M ).
Trong trường hợp IM = M thì ta định nghĩa depth(I, M ) = ∞. Từ định
nghĩa trên, chúng ta định nghĩa độ sâu của môđun M như sau.
Định nghĩa 1.3.7. Cho (R, m) là vành địa phương Noether và M là R-môđun
hữu hạn sinh. Khi đó, độ sâu của môđun M , kí hiệu là depth M và được định
nghĩa là
depth M = depth(m, M ).

Mối quan hệ giữa độ sâu của các môđun ứng với iđêan I trong một dãy khớp
được thể hiện mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.3.8. [7, Proposition 1.2.9]. Cho R là một vành Noether, I là một
iđêan của R và 0 −→ U −→ M −→ N −→ 0 là một dãy khớp ngắn các R-môđun
hữu hạn sinh. Khi đó, ta có

depth(I, M ) ≥ min{depth(I, U ), depth(I, N )};
depth(I, U ) ≥ min{depth(I, M ), depth(I, N ) + 1};
depth(I, N ) ≥ min{depth(I, U ) − 1, depth(I, M )}.
Mệnh đề sau đưa ra một số công thức tính toán depth(I, M ).
Mệnh đề 1.3.9. [7, Proposition 1.2.10]. Cho R là vành Noether, M là một
R-môđun hữu hạn sinh và I, J là các iđêan của R. Khi đó,
(i) depth(I, M ) = inf{depth Mp | p ∈ V(I)};
11


√
(ii) depth(I, M ) = depth( I, M );
(iii) depth(I ∩ J, M ) = min{depth(I, M ), depth(J, M )};
(iv) Nếu x = x1 , . . . , xn là một M -dãy trong I thì
depth(I/(x), M/xM ) = depth(I, M/xM ) = depth(I, M ) − n.

1.4

Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số

Cho I là một iđêan của vành R, I được gọi là iđêan nguyên sơ của R khi hai
điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) I = R;
(ii) Nếu xy ∈ I, x ∈

/ I thì tồn tại n ∈ N sao cho y n ∈ I với mọi x, y ∈ R.
Ví dụ 1.4.1. Iđêan nguyên sơ trong vành số nguyên Z là pk Z với p là số nguyên
tố và k là số tự nhiên bất kỳ.
Nhận xét 1.4.2. Mọi iđêan nguyên tố trên vành giao hoán R đều là iđêan
nguyên sơ của R.
Từ định nghĩa iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và iđêan nguyên sơ, chúng ta dễ
dàng suy ra mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.4.3. [1, Mệnh đề 3.2]. Cho I là một iđêan của vành R. Khi đó
√
(i) Nếu I là iđêan nguyên sơ thì I = {x ∈ R | ∃n > 0 : xn ∈ I} là iđêan
nguyên tố tối tiểu chứa I;
√
(ii) Nếu I là iđêan cực đại thì I là iđêan nguyên sơ.
Định nghĩa 1.4.4.

(i) Cho I là iđêan nguyên sơ của vành R. Khi đó,

√

I=p

là iđêan nguyên tố của R. Ta nói I là iđêan p-nguyên sơ. Hơn nữa, p là
iđêan nguyên tố tối tiểu duy nhất của I.
(ii) Khi (R, m) là vành địa phương, I được gọi là iđêan m-nguyên sơ nếu
m.

12

√
I=



Cho (R, m) là vành địa phương Noether có chiều d. Giả sử I là iđêan m-nguyên
sơ của R thì số phần tử sinh tối tiểu của I được kí hiệu là µ(I). Theo Nhận xét
1.2.7 và Định lý 1.2.9, ta có d ≤ µ(I). Theo [14, Theorem 13.4], luôn tồn tại một
iđêan m-nguyên sơ I sao cho µ(I) = d. Từ đó, chúng ta có định nghĩa sau đây:
Định nghĩa 1.4.5.

(i) Một dãy các phần tử x1 , . . . , xd thuộc m được gọi là

hệ tham số của R nếu I = (x1 , . . . , xd ) là iđêan m-nguyên sơ. Lúc đó, iđêan
I = (x1 , . . . , xd ) được gọi là iđêan tham số của vành R.
(ii) Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh có số chiều d. Khi đó, hệ {y1 , . . . , yd } ⊆
m được gọi là hệ tham số của M nếu (M/(y1 , . . . , yd )M ) < ∞.

1.5
1.5.1

Vành và môđun phân bậc
Vành phân bậc

Định nghĩa 1.5.1. Một vành giao hoán R được gọi là vành phân bậc nếu tồn
tại họ {Rn }n∈Z các nhóm con (đối với phép cộng) của R sao cho:
(i) R =

Rn ;
n∈Z

(ii) Rn Rm ⊆ Rn+m với mọi n, m ∈ Z.
Nhận xét 1.5.2.


(i) Một vành phân bậc R được gọi là phân bậc không âm

(hay N-phân bậc) nếu Rn = 0, ∀n < 0. Nếu vành R phân bậc dạng R =
Rn , ta nói R là Z-phân bậc.
n∈Z

xn với xn ∈ Rn và

(ii) Mỗi phần tử x ∈ R được biểu diễn dưới dạng x =
n∈Z

chỉ có hữu hạn các thành phần xn = 0. Mỗi hạng tử xn được gọi là thành
phần thuần nhất bậc n của x, kí hiệu deg(xn ) = n.
(iii) Phần tử x được gọi là phần tử thuần nhất nếu tồn tại n ∈ Z sao cho
x ∈ Rn .
(iv) R0 là vành con của R và 1 ∈ R0 .

13


(i) Cho A là vành giao hoán, I là một iđêan thực sự của vành

Ví dụ 1.5.3.

A. Khi đó, ta có
In

RI (A) =
n≥0


là một vành phân bậc và được gọi là vành Rees của A ứng với iđêan I.
(ii) Cho (A, m) là vành Noether địa phương, I là iđêan m-nguyên sơ. Kí hiệu
I n /I n+1 ,

GI (A) =
n≥0

trong đó I n là lũy thừa bậc n của iđêan I và tích của hai phần tử x∗ =
x + I n+1 ∈ I n /I n+1 và y ∗ = y + I m+1 ∈ I m /I m+1 là phần tử (xy)∗ =
xy + I n+m+1 ∈ I n+m /I n+m+1 . Khi đó, GI (A) hay G(I) (nếu không có sự
nhầm lẫn về vành A) được gọi là vành phân bậc liên kết của A ứng với I
và x∗ được gọi là dạng khởi đầu của x trong GI (A).
1.5.2

Môđun phân bậc

Định nghĩa 1.5.4. Cho R =

Rn là vành phân bậc và M là một R-môđun.
n∈Z

Khi đó, M được gọi là R-môđun phân bậc nếu tồn tại một họ các nhóm con
(Mn )n∈Z (đối với phép cộng) của R sao cho:
(i) M =

Mn ;
n∈Z

(ii) Rm Mn ⊆ Mn+m với mọi n, m ∈ Z.

Nhận xét 1.5.5.

(i) Mỗi phần tử u ∈ M được biểu diễn dưới dạng u =

un
n∈Z

với un ∈ Mn và chỉ có hữu hạn các thành phần un = 0. Mỗi hạng tử un
được gọi là thành phần thuần nhất bậc n của u, kí hiệu deg(un ) = n.
(ii) Phần tử u được gọi là phần tử thuần nhất nếu tồn tại n ∈ Z sao cho
u ∈ Mn .
Ví dụ 1.5.6.

(i) R là vành phân bậc, ta có thể xem R là R-môđun phân bậc.

(ii) Cho R =

Rn là vành phân bậc. Kí hiệu M = R(k) =
n∈Z

Mn với
n∈Z

Mn = Mn+k . Lúc đó, M là môđun phân bậc còn gọi là môđun dịch chuyển
của R theo k đơn vị.
14


Định nghĩa 1.5.7. Cho M là R-môđun phân bậc và N là môđun con của M .
N được gọi là môđun con phân bậc nếu N =


Nn với Nn = N ∩ Mn và n ∈ Z.

Nói cách khác, N là môđun con phân bậc của M nếu và chỉ nếu N được sinh
bởi các phần tử thuần nhất của M.
Mệnh đề 1.5.8. [13, Proposition 2.1]. Cho M là một R-môđun phân bậc và N
là môđun con của M . Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(i) N là R-môđun phân bậc;
(ii) N =

(N ∩ Mn );
n∈Z

(iii) Nếu u ∈ N thì các thành phần thuần nhất của u cũng thuộc N ;
(iv) N có một hệ sinh gồm các phần tử thuần nhất của M .
Ví dụ 1.5.9. Xét vành phân bậc chuẩn R = k[x, y, z]. Khi đó, I = (x2 , x3 +
y2 z, y 5 ) là một iđêan thuần nhất của R. Trong khi đó, J = (x2 + y 3 z) không
phải là iđêan thuần nhất của R.

1.6

Vành và môđun Cohen-Macaulay

Định nghĩa 1.6.1.

(i) Cho (R, m) là vành địa phương Noether, M = 0 là một

R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu
depth M = dim M.
(ii) Cho R là vành Noether tùy ý và M = 0 là R-môđun hữu hạn sinh. M được

gọi là R-môđun Cohen-Macaulay nếu Mm là môđun Cohen-Macaulay với
mọi iđêan cực đại m ∈ Supp M, trong đó Supp M là tập các iđêan cực đại
của R sao cho Mm = 0.
(iii) Vành Noether R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là một R-môđun
Cohen-Macaulay.
Một số tính chất quan trọng của vành Cohen-Macaulay như sau
Định lý 1.6.2. [7, Định lý 2.12]. Cho (R, m) là vành địa phương Noether và
M = 0 là một R-môđun Cohen-Macaulay. Khi đó
15


(i) dim R/p = depth M với mọi p là iđêan nguyên tố liên kết với M ;
(ii) depth(I, M ) = dim M − dim M/IM với mọi iđêan I ⊆ m;
(iii) x = x1 , . . . , xn là một M -dãy nếu và chỉ nếu dim M/xM = dim M − n;
(iv) x là một M -dãy khi và chỉ khi x là một bộ phận của hệ tham số của M .
Định lý 1.6.3. [7, Theorem 2.1.3]. Cho R là vành Noether và M là một Rmôđun hữu hạn sinh.
(i) Giả sử x = x1 , . . . , xn là một M -dãy. Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì
M/xM cũng là môđun Cohen-Macaulay (trên R hoặc R/(x)). Điều ngược
lại vẫn đúng khi R là vành địa phương.
(ii) Giả sử M là R-môđun Cohen-Macaulay. Khi đó, với mọi tập con đóng
với phép nhân S của R, ta có môđun các phân thức S −1 M cũng là môđun
Cohen-Macaulay. Hơn nữa, Mp là R-môđun Cohen-Macaulay với mỗi iđêan
nguyên tố p của R. Nếu Mp = 0 thì depth Mp = depth(p, M ). Nếu thêm
điều kiện R là vành địa phương thì dim M = dim Mp + dim M/pM.
Định nghĩa 1.6.4. Cho (R, m) là vành Noether địa phương có chiều d. Khi đó,
nếu depth R ≥ d − 1 thì R được gọi là vành hầu Cohen-Macaulay.

1.7

Hàm Hilbert và hệ số của môđun phân bậc


Định nghĩa 1.7.1. Cho R =

Rn là vành phân bậc với R là vành Artin và
n∈Z

M=

Mn là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó hàm số
n∈Z

hM : Z −→ N0
n −→ hM (n) = (Mn )
được gọi là hàm Hilbert của M.
Cho R =

Rn là vành phân bậc, R0 là vành địa phương Artin và M là
n∈Z

R-môđun hữu hạn sinh có chiều d. Khi đó, tồn tại đa thức pM ∈ Q[x] có bậc
16


d − 1 sao cho hM (n) = pM (n), với mọi n đủ lớn. Trong trường hợp d > 0 thì
pM (n) có thể biểu diễn dưới dạng
d−1

(−1)i

pM (n) =

i=0

= e0 (M )

n+d−i−1
ei (M )
d−i−1

n+d−1
n+d−2
− e1 (M )
+ . . . + (−1)d−1 ed−1 (M ),
d−1
d−2

trong đó ei (M ) với i = 0, . . . , d − 1 là các hệ số nguyên và chúng được gọi là hệ
số Hilbert của môđun phân bậc M .
Đặc biệt, e(M ) = e0 (M ) được gọi là số bội của M .
Ví dụ 1.7.2. Cho R = k[x1 , . . . , xd ] là vành đa thức phân bậc chuẩn trên trường
k. Khi đó, ta có R0 = k và các thành phần phân bậc Rn là các k-không gian
véctơ. Hơn nữa, ta có
n+d−1
, ∀n ≥ 0.
d−1

hR (n) = dimk (Rn ) =

Thật vậy, ta chứng minh bằng quy nạp theo n + d. Rõ ràng là khẳng định đúng
nếu n = 0 hoặc d = 1. Giả sử n > 0 và d > 1. Đặt S = k[x1 , . . . , xd−1 ] và xét
dãy khớp

p

x

d
0 −→ Rn−1 −→
Rn −→ Sn −→ 0,

trong đó xd (x) = xxd , ∀x ∈ Rn−1 và p được xác định bởi
md
1
rm xm
1 . . . xd ) =

p(

md
1
rm xm
1 . . . xd .
{m∈J|md =0}

m∈J⊂Nd

Khi đó ta có
hR (n) = dimk Rn = dimk Rn−1 + dimk Sn
=
=

n+d−2

n+d−2
+
d−1
d−2
n+d−1
.
d−1

Như vậy, ta có e0 (R) = 1 và e1 (R) = . . . = ed−1 (R) = 0.
Định nghĩa 1.7.3. Số nguyên dương lớn nhất n để hàm Hilbert hM (n) và đa
thức pM (n) khác nhau được gọi là chỉ số Hilbert của M và được kí hiệu là p(M );
nghĩa là
p(M ) = max{n | hM (n) = pM (n)}.
17


Nhận xét 1.7.4. p(M ) = −∞ khi và chỉ khi M = 0.

1.8

Đối đồng điều địa phương

Cho R là vành giao hoán có đơn vị và a là iđêan của R.
(0 :M an ). Khi đó, Γa (M )

(i) Với mỗi R-môđun M ta định nghĩa Γa (M ) =

n≥0

là môđun con của M.

(ii) Với mọi R-môđun M , N và f : M −→ N là các đồng cấu R-môđun, ta
định nghĩa
Γa (f ) : Γa (M ) −→ Γa (N )
x

−→ f (x).

Lúc đó, Γa (f ) là đồng cấu R-môđun.
(iii) Kí hiệu Mod(R) là phạm trù các R-môđun. Xét tương ứng
Γa : Mod(R) −→ Mod(R)
−→ Γa (M )

M

Γa (f )

Γa (M ) −→ Γa (N )

f

M→
− N −→

x

−→ f (x).

Khi đó, Γa là hàm tử hiệp biến, khớp trái trên phạm trù các R-môđun
Mod(R) và được gọi là hàm tử a-xoắn (xem [5]).
Nhận xét 1.8.1.


(i) Γa (M ) = {x ∈ M | an x = 0 với n là số tự nhiên nào đó}.

(ii) Γ0 (M ) = M và ΓR (M ) = 0.
Mệnh đề 1.8.2. [5, Tr.1].
(i) Nếu f : M −→ N ; g : N −→ L là các đồng cấu R-môđun và r ∈ R. Khi
đó
Γa (f ◦ g) = Γa (f ) ◦ Γa (g)
Γa (f + g) = Γa (f ) + Γa (g)
Γa (rf ) = rΓa (f )
Γa (IdM ) = IdΓa (M ) .
18


(ii) Cho a, b là hai iđêan của R. Khi đó,

√

a=

√

b thì Γa = Γb .

Định nghĩa 1.8.3. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị, a là iđêan của R và M
là R-môđun. Xét giải thức nội xạ tối tiểu của môđun M :
d0

ι


d1

d2

(A∗ ) : 0 −→ M −→ A0 −→ A1 −→ A2 −→ · · ·
Áp dụng hàm tử Γa vào giải thức trên ta thu được phức
Γa (d0 )

Γa (d1 )

Γa (d2 )

0 −→ Γa (A0 ) −→ Γa (A1 ) −→ Γa (A2 ) −→ · · ·
Đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M ứng với iđêan a được kí hiệu
là Hai (M ) và được định nghĩa là
Hai (M ) := Ker(Γa (di ))/ Im(Γa (di−1 )) với mọi i ≥ 0.
Nhận xét 1.8.4.

(i) Cho M là R-môđun, ta có: Ha0 (M ) ∼
= Γa (M ) và Hai (M ) =

0 với mọi i < 0.
(ii) Nếu M là R-môđun nội xạ thì Ha0 (M ) = 0 với mọi i > 0.
(iii) Hai (M ) có thể là R-môđun vô hạn sinh, cho dù M hữu hạn sinh.
(iv) Nếu R là vành phân bậc, M là R-môđun phân bậc thì Hai (M ) là R-môđun
phân bậc, trong đó a là iđêan thuần nhất của R.
Mệnh đề 1.8.5. [5, tr.4].
f

g


(i) Nếu 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun và
R-đồng cấu. Khi đó, ta có dãy khớp dài các đối đồng điều địa phương
/

Ha0 (L)
/

Ha1 (L)

0

/

/

/

Ha0 (f )

Ha1 (f )

/

Ha0 (M )
/

Ha1 (M )

Ha0 (g)


/ H 0 (N )
a

Ha1 (g)

/ H 1 (N )
a

···

Hai (L)

Hai (f )

/ H i (M )
a

/

Hai+1 (L)
19

··· .

Hai (g)

/

Hai (N )



(ii) Nếu
f

/L

0

λ

/

0

/

µ


/

L

f

g

M


/

/

N

0

ν



M

g


/N
/

0

là một sơ đồ giao hoán của R-môđun và R-đồng cấu với các hàng là khớp.
Với mỗi i ∈ N0 chúng ta có sơ đồ giao hoán
Hai (L)
Hai (λ)

Hai (f )

/


Hai (M )

Hai (µ)



Hai (L )

/

Hai (N )

Hai (ν)



/ H i (M

Hai (f )

Hai (g)

a

)

/

Hai (g )




Hai (N ).

Chúng ta cũng có sơ đồ giao hoán
/

Hai (N )
Hai (µ)

Hai+1 (L)

Hai (λ)



Hai (N )

/



Hai+1 (L ).

Mệnh đề 1.8.6. [7, Proposition 3.5.4]. Cho (R, m) là vành địa phương Noether
và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó,
i
(i) Môđun Hm
(M ) là Artin;

i
(ii) Hm
(M ) = 0 nếu i < depth(M ).

Định lý 1.8.7. [7, Theorem 3.5.7]. Cho (R, m) là vành địa phương Noether, M
là R-môđun hữu hạn sinh có chiều d và depth(M ) = t . Khi đó,
i
(i) Hm
(M ) = 0 với mọi i < t và i > d;
t
d
(ii) Hm
(M ) = 0 và Hm
(M ) = 0.

1.9

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford

Cho R =

Rn là đại số phân bậc chuẩn trên vành cơ sở Noether địa phương
n≥0

R0 , R+ là iđêan của R được sinh bởi các phần tử bậc dương của R và M là
R-môđun phân bậc hữu hạn sinh với dim(M ) = d. Ta kí hiệu HRi + (M ) là môđun
đối đồng điều địa phương của M với giá R+ .
Chúng ta có định nghĩa sau:
20



Định nghĩa 1.9.1. Chỉ số chính quy cấp k của M là số
regk (M ) := max{ai (M ) + i|i ≥ k},
trong đó
ai (M ) =

Nhận xét 1.9.2.



max n | H i (M )n = 0
R+

nếu HRi + (M ) = 0,


−∞

nếu HRi + (M ) = 0.

(i) reg0 (M ) ≥ reg1 (M ) ≥ reg2 (M ) ≥ . . .

(ii) Trong trường hợp k = 0, ta kí hiệu:
reg(M ) = reg0 (M ) := max{ai (M ) + i|i ≥ 0}
được gọi là chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của M.
(iii) Nếu reg(M ) ≤ m thì ta nói M là m-chính quy; tức là HRi + (M )n = 0, ∀n ≥
m − i + 1.
Định nghĩa 1.9.3. Một môđun M thỏa mãn HRi + (M )m−i+1 = 0 với mọi i ≥ 0
thì ta nói M là m-chính quy yếu.
Từ định nghĩa chúng ta thấy nếu M là m-chính quy thì M là m-chính quy

yếu. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng.
Ví dụ 1.9.4. Giả sử M = R = k là một trường. Khi đó, HR0 + (M ) = M và
HRi + (M ) = 0 với i ≥ 1. Giả sử m ≤ −2, lúc đó, HRi + (M )m−i+1 = 0 với mọi
i ≥ 0. Suy ra M là m-chính quy yếu nhưng không là m-chính quy.
Liên quan đến chỉ số chính quy của đa tạp, người ta thường quan tâm đến
một khái niệm yếu hơn khái niệm m-chính quy, đó là khái niệm m-chính quy
hình học.
Định nghĩa 1.9.5. Môđun M được gọi là m-chính quy hình học nếu HRi + (M )n =
0 với mọi n ≥ m − i + 1 và i ≥ 1. Chỉ số chính quy hình học reg1 = g-reg(M )
của M , là số nguyên nhỏ nhất m sao cho M là m-chính quy hình học.
Từ định nghĩa ta có mối quan hệ sau đây.
M là m-chính quy ⇒ M là m-chính quy yếu ⇒ M là m-chính quy hình học.
21


Mệnh đề 1.9.6. [5, Proposition 15.2.12]. Cho R =

Rn là vành phân bậc
n≥0

Mn là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó regk (M ) =

dương thuần nhất, M =
n≥0

−∞, k ≥ 1 khi và chỉ khi Mn = 0 với n

0.

Mệnh đề 1.9.7. [5, Exercise 15.2.15]. Cho R =


Rn là vành phân bậc dương
n≥0

thuần nhất, k ∈ N0 và dãy khớp ngắn 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0 các R-môđun
phân bậc hữu hạn sinh của các đồng thuần nhất. Khi đó, ta có
(i) reg(L) ≤ max{reg(M ), reg(N ) + 1},
(ii) regk+1 (L) ≤ max{regk+1 (M ), regk+1 (N ) + 1},
(iii) regk (M ) ≤ max{regk (L), regk (N )},
(iv) regk (N ) ≤ {regk+1 (L) − 1, regk (M )}.
Bây giờ, chúng tôi xin trình bày định nghĩa phần tử lọc chính quy.
Cho x ∈ R1 là phần tử M -chính quy. Ta có reg(M ) = reg(M/xM ). Tuy nhiên
phần tử M -chính quy không phải bao giờ cũng tồn tại. Do đó, người ta thường
quan tâm đến khái niệm sau
Định nghĩa 1.9.8. Phần tử thuần nhất x của R được gọi là M -lọc chính quy
nếu (0M : x)n = 0 với n

0. Các phần tử thuần nhất x1 , . . . , xn gọi là dãy lọc

chính quy trên M nếu xi là M/(x1 , . . . , xi−1 )M -lọc chính quy với mọi 1 ≤ i ≤ n.
Chú ý rằng nếu (R0 , m0 ) là vành địa phương với trường thặng dư R0 /m0 vô
hạn thì luôn tồn tại phần tử x ∈ R1 sao cho x là M -lọc chính quy (xem [5]).
Bổ đề 1.9.9. [12, Lemma 3.1]. Cho x ∈ I \ mI sao cho dạng khởi đầu x∗ của
nó trong GI (A) là GI (M )-lọc chính quy. Khi đó
xM ∩ I n M = xI n−1 M,
với n ≥ reg(GI (M )) + 1.
Bổ đề 1.9.10. [12, Lemma 3.2]. Cho x ∈ I \ mI sao cho dạng khởi đầu x∗ của
nó trong GI (A) là GI (M )-lọc chính quy. Với n
(i) I n+1 M : x = I n M + (0M : x);
(ii) (0M : x) ∩ I n M = 0.

22

0, ta có