ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
------

PHAN DUY HÙNG

SỬ DỤNG TIẾP CẬN ĐA CHIỀU
ĐỂ HIỂU KHÁI NIỆM TRONG ĐÁNH GIÁ TRÌNH ĐỘ TOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
THEO ĐỊNH HƢỚNG NGHIÊN CỨU

Huế, năm 2018


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
------

PHAN DUY HÙNG

SỬ DỤNG TIẾP CẬN ĐA CHIỀU
ĐỂ HIỂU KHÁI NIỆM TRONG ĐÁNH GIÁ TRÌNH ĐỘ TOÁN

Chuyên ngành: LÝ LUẬN & PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
THEO ĐỊNH HƢỚNG NGHIÊN CỨU
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. TRẦN VUI

Huế, năm 2018


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực, đƣợc các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chƣa từng đƣợc công bố trong bất
kỳ một công trình nào khác.
Tác giả

Phan Duy Hùng

i


LỜI CẢM ƠN

Trƣớc hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Trần Vui, ngƣời thầy,
ngƣời hƣớng dẫn khoa học đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ bảo và động viên tôi trong
quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo đã giảng dạy chúng tôi trong suốt
thời gian học tập tại trƣờng ĐHSP Huế.
Luận văn này hoàn thành cũng nhờ đƣợc sự tạo điều kiện của Ban giám hiệu, học
sinh trƣờng THPT Phan Đăng Lƣu, tỉnh Thừa Thiên Huế. Đặc biệt là giáo viên
Nguyễn Văn Thơ, là ngƣời thầy của tôi đã hết sức tạo điều kiện và ủng hộ trong quá
trình triển khai ý tƣởng nghiên cứu và tiến hành khảo sát.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến khoa Toán, phòng Đào tạo Sau đại học, các anh
chị, bạn bè lớp Cao học Toán K25, đặc biệt là các học viên chuyên ngành

LL&PPDH bộ môn Toán, trƣờng ĐHSP Huế đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
tập và thực hiện luận văn.
Tôi rất mong nhận đƣợc những góp ý và nhận xét để bổ sung cho những thiếu sót
không thể tránh khỏi của luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn!

ii


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ i
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................ii
MỤC LỤC ................................................................................................................. iii
Chƣơng 1: GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ ........................................................................ 1
1. Giới thiệu ............................................................................................................ 1
2. Nhu cầu nghiên cứu ............................................................................................ 3
3. Phát triển vấn đề nghiên cứu ............................................................................... 4
4. Mục đích nghiên cứu........................................................................................... 6
5. Các câu hỏi nghiên cứu ....................................................................................... 7
6. Ý nghĩa của nghiên cứu ...................................................................................... 7
7. Tiểu kết chƣơng 1 ............................................................................................... 8
Chƣơng 2: SỬ DỤNG TIẾP CẬN ĐA CHIỀU ĐỂ HIỂU KHÁI NIỆM ........... 9
TRONG ĐÁNH GIÁ TRÌNH ĐỘ TOÁN ............................................................... 9
1. Quan niệm về “hiểu toán” ................................................................................. 10
2. Tiếp cận đa chiều về hiểu toán .......................................................................... 14
2.1. Tiếp cận đa chiều về hiểu toán .................................................................... 15
2.2. Tiếp cận SPUR ............................................................................................ 16
2.3. Phân bậc tƣ duy MATH .............................................................................. 18
2.4. Cấu trúc đánh giá hiểu toán theo phân loại nhận thức: tiếp cận đa chiều

SPUR và phân loại tƣ duy MATH ..................................................................... 24
3. Áp dụng vào thực hành đánh giá ...................................................................... 28
4. Tiểu kết chƣơng 2 ............................................................................................. 29
Chƣơng 3: THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU ............................................................... 30
1. Thiết kế nghiên cứu........................................................................................... 30
2. Công cụ nghiên cứu .......................................................................................... 30
3. Phân tích tiên nghiệm........................................................................................ 30
4. Tiểu kết chƣơng 3 ............................................................................................. 42

iii


Chƣơng 4: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ................................................................ 43
1. Định hƣớng phân tích kết quả nghiên cứu ........................................................ 43
2. Phân tích ............................................................................................................ 43
3. Phân tích câu trả lời .......................................................................................... 45
4. Tiểu kết chƣơng 4 ............................................................................................. 55
Chƣơng 5: THẢO LUẬN VÀ KẾT LUẬN ......................................................... 56
1. Thảo luận câu hỏi nghiên cứu ........................................................................... 57
2. Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất ............................................................................. 57
3. Câu hỏi nghiên cứu thứ hai ............................................................................... 59
4. Hƣớng phát triển của đề tài ............................................................................... 60
5. Tiểu kết chƣơng 5 ............................................................................................. 61
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 62
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 63

iv


Chƣơng 1

GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ
1. Giới thiệu
Ngày nay, trong tình hình thế giới đang tiến tới sự hội nhập, phát triển bên cạnh sự
cạnh tranh khốc liệt, mỗi quốc gia, dân tộc cần có một đội ngũ công dân năng động,
sáng tạo và đặc biệt là giàu chất xám, có những kiến thức nói chung và hiểu biết
toán học nói riêng để đáp ứng đƣợc những vấn đề nảy sinh trong thực tế cuộc sống
ngày càng phức tạp. Điều này đặt ra mục đích chính yếu của giáo dục là làm cách
nào để giúp ngƣời học có đƣợc những nội dung kiến thức, kĩ năng, quy trình để giải
quyết đƣợc các tình huống bất ngờ trong cuộc sống của mình. Giáo dục Toán cũng
không ngoại lệ. Bản thân Toán là một môn học đòi hỏi sự tƣ duy sáng tạo gần nhƣ
là bậc nhất trong các môn học, học sinh đƣợc học rất nhiều kiến thức phức tạp và
đôi lúc cũng tự đặt ra câu hỏi là chúng ta học những cái này để làm gì? Vấn đề đƣợc
nói tới chính là ứng dụng của Toán học vào trong cuộc sống! Toán học và cuộc
sống luôn có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, chúng nhƣ hai sợi dây bện chặt vào
nhau không tách rời, con ngƣời học Toán để giải quyết các vấn đề trong cuộc sống
và những nảy sinh phức tạp trong cuộc sống dùng Toán học để xử lí và giải quyết.

Cuộc
sống

Toán
học

Hình 1.1. Quan hệ chặt chẽ giữa toán học và cuộc sống.
Nhƣng đó chỉ là những quan điểm đơn giản trong suy nghĩ của nhiều ngƣời. Để đào
tạo đƣợc một con ngƣời hay nói đúng nhất là học sinh nhƣ vậy còn rất nhiều khía
1


cạnh cần phải thực hiện. Thứ nhất là tạo ra một kế hoạch đào tạo thật đúng đắn và

phù hợp với thời đại, nội dung chƣơng trình, kiến thức phù hợp nhất. Thứ hai là
phải có đƣợc một sự đánh giá kiến thức của học sinh một cách khách quan, công
bằng, bên cạnh đó là xem xét khả năng của các em về sự phản ánh và áp dụng
những nội dung đã đƣợc học vào các vấn đề thực tế. Nếu hiểu và thấy đƣợc khả
năng của học sinh đang ở mức độ nào thì các nhà giáo dục mới đƣa ra đƣợc những
phƣơng pháp giáo dục thích hợp và hiệu quả nhất với đối tƣợng.
Để đáp ứng nhu cầu phát triển đó, nhiều nhà giáo dục toán đã nhận ra tầm quan trọng
của việc sử dụng nhiều quan điểm để đánh giá việc học các nội dung toán. Ví dụ,
Freudenthal (1983) đã xem xét các cách khác nhau trong một chủ đề có thể đƣợc sử
dụng và những cách nhìn nhận khác biệt có thể dẫn đến những hiểu biết khác nhau.
Trong một tổng hợp các nghiên cứu về sự hiểu biết của học sinh về toán học ở Mỹ,
Kilpatrick, Swafford và Findell (2001) đã xác đinh sự thành thạo toán học nhƣ một
cây gồm năm nhánh liên kết chặt chẽ với nhau: thành thạo quy trình, suy luận thích
ứng, hiểu khái niệm, lên kế hoạch giải hiệu quả và có năng lực đƣa ra phƣơng án giải
quyết vấn đề. Các nhánh này có mối quan hệ trong và phụ thuộc lẫn nhau, với nhu
cầu học sinh phát triển năng lực trong cả năm nhánh đồng thời để có một sự hiểu biết
sâu sắc về toán học. Tƣơng tự nhƣ vậy, Krutetskii (1976) cho thấy, ít nhất trong số
các học sinh có khả năng toán học, một số học sinh thƣờng sử dụng phƣơng pháp đại
số hoặc giải tích để giải quyết vấn đề, trong khi một số khác lại sử dụng phƣơng pháp
hình học hoặc không gian. Để phát triển việc hiểu toán của học sinh, chƣơng trình
toán bậc phổ thông cần phải chú trọng đến: các kĩ năng toán học, các khái niệm và
các quá trình toán học là chính yếu trong việc học và áp dụng toán học.
Các quan điểm đƣợc các nhà giáo dục thực hiện và phản ánh trong các khuyến nghị
chƣơng trình giảng dạy ở nhiều nƣớc. Chẳng hạn ở Mỹ, các nguyên tắc và tiêu
chuẩn cho toán học (Hội đồng Giáo viên Toán Quốc gia [NCTM], 2000) đã hƣớng
dẫn việc phát triển tài liệu giảng dạy và khung chƣơng trình, phác thảo một tầm
nhìn mới cho toán học dành cho học sinh. Đặc biệt, văn bản về các tiêu chuẩn dạy
học toán nhấn mạnh tầm quan trọng của một quan điểm cân bằng đến sự thành thạo
các quy trình giải toán và hiểu khái niệm. Tƣơng tự nhƣ vậy, các khuyến nghị về
2



chƣơng trình ở Singapore cũng đã nhấn mạnh đến sự phát triển các kĩ năng, khái
niệm và quy trình toán học thiết yếu trong việc học và áp dụng toán học.
Với những khuyến nghị này, các tài liệu giảng dạy sử dụng quan điểm đa chiều thể
hiện quan điểm cân bằng của toán học phù hợp với lớp học, với nhiều học sinh có
thế mạnh về toán học và phong cách học tập khác nhau. Nếu tài liệu giảng dạy phản
ánh một quan điểm đa chiều thì đánh giá cũng cần phản ánh đƣợc quan điểm này
nhƣ giảng dạy để đánh giá một cách phù hợp và chính xác.
Xuất phát từ xu thế đổi mới chƣơng trình học tập và đánh giá về toán học trên thế
giới, chúng tôi thấy sự cần thiết và thiết yếu trong việc tìm hiểu kĩ hơn về quan
điểm tiếp cận đa chiều trong dạy học và trong đánh giá toán học của học sinh.
2. Nhu cầu nghiên cứu
Học toán không chỉ đơn thuần là học sinh nắm bắt đƣợc các khái niệm, các định lí,
tính chất, công thức đƣợc giáo viên cung cấp đề giải quyết các bài tập trong SGK,
các bài tập mà giáo viên đƣa ra theo một quy trình, cách thức đã có sẵn. Mà việc
dạy và học toán cần cung cấp, trang bị cho học sinh biết đƣợc cách vận dụng các
kiến thức, kĩ năng đã đƣợc học trong ghế nhà trƣờng và việc giải quyết các tình
huống thực tế nảy sinh trong cuộc sống. Mục tiêu và mục đích quan trọng nhất của
giáo dục là đào tạo ra những con ngƣời không những đƣợc trang bị đầy đủ kiến
thức, mà còn năng động, sáng tạo trong xã hội ngày càng hiện đại và phát triển.
Bắt kịp với xu hƣớng phát triển của thế giới, nhiều nƣớc trên thế giới đã nhận ra
tầm quan trọng của giáo dục toán nên đã xây dựng một hệ thống chƣơng trình giáo
dục mới và dần cải tiến nó cho phù hợp với tình hình đất nƣớc và bối cảnh quốc tế.
Mới nhất có thể kể đến các chƣơng trình giáo dục nhƣ chƣơng trình Đánh giá Học
sinh Quốc tế PISA (Programme for International Student Assessment: PISA) của
Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (Organization for Economic Co-operation
and Development: OECD), chƣơng trình Thứ bậc Nhiệm vụ Đánh giá Toán với tên
viết tắt MATH (Mathematical Assessment Task Hierarchy), chƣơng trình phân loại
CAPS, TIMSS hay chƣơng trình hiểu toán theo tiếp cận đa chiều SPUR (Skills: Kỹ

năng, Properties: Tính chất, Uses: Sử dụng, Repressentations: Biểu diễn). Ở đây,
3


tiếp cận đa chiều nhƣ là một công cụ đƣợc sử dụng trong đánh giá việc học các nội
dung toán của học sinh, làm cơ sở để tạo ra một chƣơng trình dạy học và đánh giá
toán một cách phù hợp nhất. Điểm chung đáng chú ý nhất của các chƣơng trình giáo
dục toán hiện nay ở các nƣớc đã và đang phát triển là hƣớng học sinh đến việc hiểu
sâu các khái niệm toán theo nhiều cách thức tiếp cận khác nhau, bên cạnh đó việc
đánh giá sự hiểu toán của học sinh cũng đƣợc thực hiện một cách khoa học với
chiều hƣớng tƣơng tự là theo nhiều hình thức, phƣơng pháp khác nhau, nhƣng vẫn
hƣớng trọng tâm của đánh giá là việc giải quyết các bài toán ứng dụng các kiến thức
đã đƣợc học vào các vấn đề trong thực tế cuộc sống.
Trong bối cảnh hội nhập quốc tế, một quốc gia nếu không có nguồn nhân lực đầy đủ
chất xám thì sẽ bị tụt hậu so với thời đại. Việt Nam đƣợc đánh giá là một quốc gia
có trình độ toán học khá tốt khi tham gia vào các cuộc thi quốc tế, thế nhƣng các
cuộc đánh giá này đã chỉ ra rằng học sinh Việt Nam chỉ mạnh khi áp dụng các kiến
thức đã học để giải các bài toán đã đƣợc học hay các bài toán có mức độ khó nhƣng
vẫn theo quy cách là áp dụng trực tiếp các kiến thức mà các em đã đƣợc học, còn
đối với các vấn đề mới lạ, các tình huống trong thực tế cuộc sống nảy sinh ra cần
toán học hóa để giải quyết thì các em lại gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết
chúng. Đây là một điều làm cho các nhà giáo dục Toán ở Việt Nam đang suy ngẫm
và tìm cách khắc phục, bởi học sinh đƣợc học cho dù là nhiều kiến thức, kĩ năng gì
đi nữa thì mục đích cuối cùng là chúng sẽ đƣợc dùng để phục vụ cho cuộc sống của
chính bản thân các em.
Một chƣơng trình toán học mới với sự cân bằng giữa Toán học và các vấn đề thực
tế của cuộc sống sẽ là thích hợp với nhu cầu của ngƣời học và cả nhu cầu chung của
xã hội.
3. Phát triển vấn đề nghiên cứu
Học toán để rồi hiểu toán một cách sâu sắc, toàn diện… là những gì mà toán học

muốn mang lại cho học sinh, để rồi học sinh tự tin sử dụng toán học một cách thành
thạo trong cuộc sống đã và đang là một vấn đề cấp thiết, là mục tiêu của nhiều nền
giáo dục toán trên thế giới nói chung và ở Việt Nam nói riêng.

4


Thực tế cho thấy rằng việc dạy và học toán ở Việt Nam hiện nay vẫn còn quá chú
trọng đến việc cung cấp, trang bị một khối lƣợng kiến thức khổng lồ cho học sinh
nhƣng chƣa thực sự quan tâm đến việc phát triển các năng lực toán học và hình
thành sự hiểu biết toán cho học sinh, đặc biệt quan trọng nhất là cho học sinh hiểu
đƣợc rằng các em học đƣợc những kiến thức ấy để làm gì? Bên cạnh còn là sự thiếu
thốn về trang thiết bị dạy học, thiếu các nguồn vốn đầu tƣ cho toán học, môi trƣờng
học tập còn gặp nhiều hạn chế và thiếu sót.
Nếu ta đặt một giả thuyết rằng hiệu quả của giáo dục toán đƣợc đánh giá theo góc
độ học sinh áp dụng kiến thức đã học vào trong các vấn đề thực tế và bối cảnh xã
hội, thì nền giáo dục toán THPT ở nƣớc ta hiện nay vẫn chƣa có một công cụ đánh
giá nào đƣợc cho là hiệu quả. Việc đánh giá chỉ đƣợc thực hiện một cách bài bản
theo các bài kiểm tra một chiều, các con điểm đƣợc cho theo cách giải các bài toán
của các em, rồi còn các mảng tối trong mối quan hệ giữa giáo viên và học sinh. Liệu
rằng đó có phải là đánh giá một cách công bằng, khách quan và đúng đắn, liệu đó có
phải là những gì mà giáo dục toán muốn mang lại. Mỗi khái niệm, tính chất toán
đƣợc học là một công trình nghiên cứu, một kết quả có ý nghĩa về nhiều mặt đƣợc
các nhà toán học tìm ra và để lại cho nhân loại. Vì vậy làm thế nào để đƣa những
khái niệm, tính chất ấy vào trong suy nghĩ, trí óc của học sinh một cách sâu sắc,
hiệu quả là một vấn đề hết sức cần thiết và có ý nghĩa. Vì vậy, chúng tôi chọn vấn
đề “Sử dụng tiếp cận đa chiều để hiểu khái niệm trong đánh giá trình độ toán”
làm đề tài nghiên cứu của luận văn này.
Một ví dụ về tiếp cận đa chiều trong dạy học và đánh giá: bài toán cực trị và đồ
thị của hàm số bậc 3 dạng y  ax3  bx2  cx  d .

 Thực hiện đạo hàm, vẽ bảng biến thiên rồi tìm ra các điểm cực trị, hình dáng của
hàm số bậc 3 là nhiệm vụ khá đơn giản của học sinh dƣới sự hƣớng dẫn của giáo
viên, chẳng hạn nhƣ khảo sát hàm số y  x3  3x  2 , nhƣng rất nhiều học sinh đặt
câu hỏi là tại sao lại phải thực hiện theo quy tắc nhƣ vậy và ý nghĩa của nó là gì?
 Hãy thử trả lời các câu hỏi sau:

5


 Khi hệ số b  3 thay đổi thì hình dáng của đồ thị và các điểm cực trị sẽ thay
đổi nhƣ thế nào?
 Cũng câu hỏi trên với sự thay đổi của các hệ số a và b? Liệu sẽ có những hình
dạng nào của đồ thị hàm số bậc 3 tƣơng ứng khi hệ số a, b và c thay đổi? Làm
sao bạn biết đƣợc?
 Nếu cho một đồ thị hàm số với các điểm cực trị và hình dáng, bạn có thể đƣa
ra đƣợc một hàm số tƣơng ứng hay là không?
Nếu câu hỏi trên đƣợc học sinh trả lời một cách chính xác chứng tỏ học sinh đã nắm
đầy đủ và chắn chắn các thủ thuật khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Thay
vì giáo viên đƣa ra một hàm số cụ thể để học sinh thực hiện theo quy trình có sẵn
trong SGK, việc để học sinh trả lời các câu hỏi trên sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về
một số vấn đề quan trọng nhƣ: các điểm cực trị của hàm số bậc ba sẽ phụ thuộc vào
ba hệ số a, b, c tƣơng ứng với số mũ giảm dần, hình dáng của ĐTHS thì phụ thuộc
vào cả bốn hệ số a, b, c, d. Học sinh có thể tìm ra đƣợc điều kiện của các hệ số để
suy ra ĐTHS có số điểm cực trị là bao nhiêu… Với bài kiểm tra nhƣ thế này sẽ khai
thác nhiều hƣớng suy nghĩ của học sinh tùy thuộc vào từng mức độ. Nhƣ vậy, tiếp
cận đa chiều tạo ra một cách đánh giá khách quan và chính xác hơn so với các bài
kiểm tra truyền thống trƣớc đây.
4. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu này đƣợc thực hiện nhằm mục đích khảo sát quá trình dạy toán và học
toán ở bậc THPT hiện nay, với chú trọng là phƣơng pháp tiếp cận đa chiều trong

dạy học và đánh giá năng lực của học sinh. Nếu chúng ta thừa nhận cả hai khía cạnh
là quan trọng, vấn đề đƣợc đặt ra là làm sao để đề xuất một chƣơng trình dạy học và
chƣơng trình đánh giá phù hợp với học sinh và tình hình dạy học toán hiện nay.
Trong luận văn này, chúng tôi cố gắng tìm hiểu một số thông tin về phƣơng pháp
tiếp cận đa chiều ở trƣờng THPT. Theo đó, luận văn đi sâu vào nghiên cứu các vấn
đề cụ thể sau:

6


 Tìm hiểu, khảo sát quá trình sử dụng phƣơng pháp tiếp cận đa chiều của giáo
viên THPT trong dạy học và đánh giá hiện nay.
 Phân tích những thuận lợi và khó khăn của giáo viên và học sinh khi ứng dụng
phƣơng pháp tiếp cận đa chiều.
 Những lợi ích mà học sinh có đƣợc khi áp dụng phƣơng pháp phù hợp trong việc
hiểu toán.
5. Các câu hỏi nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã đƣợc đề cập ở trên, đề tài này sẽ gắn liền với các câu
hỏi nghiên cứu sau:
Câu hỏi 1. Giáo viên THPT hiện nay sử dụng phƣơng pháp tiếp cận đa chiều để
giúp học sinh hiểu các khái niệm toán nhƣ thế nào?
Câu hỏi 2. Các hoạt động tiếp cận đa chiều trong đánh giá trình độ Toán sẽ giúp
cho học sinh có đƣợc những cách hiểu toán khác nhau nhƣ thế nào?
6. Ý nghĩa của nghiên cứu
Thực tế đã chỉ ra rằng, nếu học sinh hiểu ý nghĩa một cách sâu sắc, toàn diện các
khái niệm, tính chất mà các em học, biết chúng sẽ đƣợc sử dụng để làm gì trong
cuộc sống thì các em sẽ gặp nhiều thuận lợi khi các em đối mặt với các tình huống
thực tế hơn những ngƣời chỉ học một cách thụ động, chỉ biết áp dụng công thức,
thuật toán cơ bản mà ai cũng biết đến. Kết quả nghiên cứu của luận văn mong đợi sẽ
góp phần:

 Làm rõ ý nghĩa của việc hiểu khái niệm toán học ở học sinh.
 Làm rõ chƣơng trình dạy học và đánh giá theo phƣơng thức tiếp cận đa chiều sẽ
có ý nghĩa nhƣ thế nào trong bối cảnh thế giới hiện nay.
 Từ kết quả thực tế đƣa ra đƣợc những kết luận đúng đắn của việc áp dụng
phƣơng pháp tiếp cận đa chiều trong dạy học và đánh giá.
 Đề xuất một số phƣơng pháp đáng tin cậy cho giáo dục toán ở bậc THPT sao cho
phù hợp với tình hình thế giới hiện nay.
7


7. Tiểu kết chƣơng 1
Trong chƣơng này, chúng tôi đã trình bày mục đích và ý nghĩa của nghiên cứu.
Đồng thời, chúng tôi phát biểu hai câu hỏi nghiên cứu, đƣa ra các vấn đề cụ thể
đƣợc hƣớng đến trong luận văn. Nền tảng lý thuyết làm cơ sở và định hƣớng cho
nghiên cứu sẽ đƣợc trình bày ở chƣơng tiếp theo.

8


Chƣơng 2
SỬ DỤNG TIẾP CẬN ĐA CHIỀU ĐỂ HIỂU KHÁI NIỆM
TRONG ĐÁNH GIÁ TRÌNH ĐỘ TOÁN
Tiếp cận đa chiều là một thuật ngữ tuy mới và có vẻ khá trừu tƣợng trong giáo dục
toán, tuy nhiên việc sử dụng khái niệm này đã đƣợc hình thành từ rất lâu thông qua
các hình thức đổi mới quá trình dạy và học toán. Nhìn chung các giáo viên toán đều
đồng ý rằng dạy để hiểu là một điều tốt. Nhƣng làm thế nào để nắm bắt đƣợc: Hiểu
là gì? Hiểu là khả năng tư duy và hành động linh hoạt đối với một chủ đề hay khái
niệm? Đây là một trong những thách thức lớn nhất dành cho đội ngũ giáo viên và
các nhà giáo dục toán trên thế giới. Bởi vì, hiểu toán phải là mục đích cơ bản nhất
của việc dạy toán (National Council of Teachers of Mathematics – NCTM, 2000).

Thành thạo quy trình là trọng tâm chính của dạy học toán trong quá khứ và cho đến
nay vẫn còn giữ vai trò quan trọng, nhƣng hiểu khái niệm cũng là một mục đích quan
trọng ngang với thành thạo quy trình. Nhiều báo cáo và các tiêu chuẩn dạy và học toán
đã nhấn mạnh sự tích hợp hài hòa giữa thành thạo kĩ năng toán và hiểu khái niệm.

Quy
trình

Dạy
học
toán

Hiểu
khái
niệm

Hình 2.1. Sơ đồ biểu thị nhiệm vụ cơ bản của dạy toán.
Nhiều nhà giáo dục trên thế giới đã kêu gọi xây dựng chƣơng trình toán và việc dạy
cần chú trọng đến quan điểm cân bằng giữa thành thạo kiến thức quy trình với kiến
thức hiểu khái niệm. Sự phân biệt giữa hai khái niệm này đóng một vai trò quan
trọng trong việc xác định những kiến thức mà học sinh thu nhận đƣợc. Nhƣ vậy,

9


đánh giá trình độ toán cũng cần chú ý đến sự cân bằng này. Hiện nay, có rất nhiều
hình thức đánh giá toán học khác nhau theo từng bối cảnh xã hội và nền giáo dục ở
các nƣớc, tuy nhiên chúng tôi nhấn mạnh việc sử dụng phƣơng pháp tiếp cận đa
chiều để hiểu trình độ Toán của học sinh, đặc biệt là khả năng các em với các kĩ
năng, tính chất toán học, sử dụng ứng dụng toán học và các biểu diễn của khái niệm.

Chúng tôi cho rằng mỗi chiều tiếp cận sẽ cung cấp những nhìn nhận khác nhau về
việc hiểu toán của học sinh.
1. Quan niệm về “hiểu toán”
Từ xƣa, việc định nghĩa về việc hiểu toán hay đơn thuần chỉ là những quan điểm về
toán đã đƣợc rất nhiều nhà giáo dục toán quan tâm khi họ cho rằng mục đích cao nhất
của việc dạy toán là để cho học sinh hiểu toán. Mỗi ngƣời đều đƣa ra quan điểm của
bản thân mình dựa vào kinh nghiệm và quá trình nhìn nhận, phân tích thực tế.
 Một số quan điểm về việc hiểu toán
Chúng ta có thể bắt đầu bằng một ví dụ đơn giản nhƣ sau:

Trong 2 hình vẽ trên, hình vẽ nào có thể là đồ thị của một hàm số? Hãy giải thích
câu trả lời của bạn?
Rất nhiều học sinh khối THPT sẽ bất ngờ trƣớc câu hỏi tuy đơn giản nhƣng gần nhƣ
các em ít khi đƣợc gặp. Các em đã đƣợc học về hàm số và đồ thị hàm số rất nhiều,
giải các bài tập từ khó đến dễ với các thủ thuật từ đơn giản đến phức tạp, tuy nhiên

10


một bài tập nhƣ thế này để nhận ra đƣợc bản chất của khái niệm hàm số thực sự gây
bất ngờ và khó khăn cho các em.
Trong giáo dục toán, chúng ta thƣờng nghe thấy học sinh có thể “làm” một bài toán
nào đó nhƣng các em “không hiểu” là đang làm gì, và cho dù làm ra đƣợc thì mục
đích của việc các em đƣợc học lí thuyết này là để làm gì? Điều này đồng hành với
sự khác biệt giữa thuyết hành vi và thuyết nhận thức (hay thuyết kiến tạo) trong tâm
lí học. Chúng ta xem “việc hiểu” nhƣ là một cái gì đó xảy ra bên trong trí óc mà
không có những hành động bên ngoài, chúng ta mong muốn học sinh thể hiện việc
hiểu của các em khi trả lời các nhiệm vụ mà chúng ta đặt ra cho các em. Đặc biệt,
với tƣ cách là ngƣời theo thuyết hành vi, chúng ta muốn học sinh trả lời đúng các
câu hỏi và đôi khi không quan tâm đến quá trình các em đạt đƣợc đến lời giải nhƣ

thế nào. Với tƣ cách là ngƣời theo thuyết kiến tạo, chúng ta muốn biết học sinh
đang tƣ duy những gì khi các em đang làm toán và chúng ta yêu cầu học sinh phải
trình bày bài làm của mình.
Trở lại với ví dụ trên, yêu cầu mà giáo viên muốn học sinh trả lời đƣợc là định
nghĩa thế nào là hàm số và giải thích đƣợc hình 1 không phải là đồ thị của một hàm
số, còn hình 2 thì phải. Mỗi học sinh có thể đƣa ra đƣợc kết quả bài toán của riêng
mình và phải làm rõ đƣợc câu trả lời mà bản thân mình đƣa ra.
Câu trả lời mong muốn học sinh đƣa ra:
 Hàm số: Giả sử có hai đại lƣợng biến thiên x và y, trong đó x nhận giá trị thuộc
tập số D. Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tƣơng
ứng của y thuộc tập số thực

thì ta có một hàm số. Ký hiệu: y  f ( x) .

 Giải thích hình vẽ bằng trực quan:

11


Chúng ta xem xét một vài định nghĩa hay giải thích về “hiểu toán”.
 Skemp (1976) xác định hai loại hiểu mang tính: quan hệ và công cụ. Ông mô tả
việc hiểu có tính quan hệ là “biết cả hai: là gì và tại sao” và quá trình học toán
với mối quan hệ nhƣ là “xây dựng một cấu trúc khái niệm”. Các cụm từ: “hiểu
công cụ và hiểu quan hệ”, chủ yếu có nghĩa là hiểu quy trình và hiểu khái niệm.
Ông viết: “Cho đến bây giờ, tôi tin rằng có hai chủ đề khác nhau (hiểu công cụ và
hiểu quan hệ) được dạy một cách hiệu quả dưới cùng một cái tên là toán”.
 Nickerson (1985) đã xác định một số kết quả về việc hiểu nhƣ: đồng ý với các
chuyên gia, có khả năng thấy đƣợc sâu hơn các đặc trƣng của một khái niệm,
nhanh chóng tìm kiếm đƣợc các thông tin cụ thể trong một tình huống, có khả
năng biểu diễn các tình huống và hình dung một tình huống bằng cách sử dụng

các mô hình trí tuệ. Tuy nhiên, Nickerson cũng đề xuất rằng:
“Việc hiểu trong đời sống hàng ngày được nâng cao bởi khả năng xây dựng những
chiếc cầu nối giữa một miền khái niệm với khái niệm khác”.
Chúng ta có thể thấy rõ tầm quan trọng của việc hiểu toán, hay cụ thể hơn là việc
hiểu đƣợc khái niệm toán học có ý nghĩa nhƣ thế nào? Việc giáo viên giúp cho học
sinh hiểu đƣợc khái niệm toán sẽ giúp cho học sinh thấy rõ đƣợc nguyên nhân và ý
nghĩa các khái niệm đó ra đời, công lao của các nhà toán học, từ đó sẽ kích thích
đƣợc các em hứng thú hơn trong việc học toán ở từng khía cạnh khác nhau.
“Khi một người biết càng nhiều về một đối tượng, thì sẽ hiểu nó tốt hơn. Bối cảnh
khái niệm mà con người nhúng một sự kiện mới vào càng phong phú, thì có thể nói
là hiểu nhiều hơn sự kiện đó” Nickerson (1985).
 Hiebert và Carpenter (1992) xác định việc hiểu toán một cách cụ thể nhƣ gắn liền
với việc xây dựng nên “bối cảnh khái niệm” hay “cấu trúc” đƣợc đề cập ở trên:
“Toán học được hiểu nếu biểu diễn trí tuệ của nó là một phần của một mạng lưới các
biểu diễn. Mức độ hiểu được xác định bởi số lượng và thế mạnh của các liên kết của
nó. Một ý tưởng, một quy trình hay một sự kiện toán học được hiểu thông suốt nếu nó
được kết nối với các mạng lưới đang tồn tại với nhiều mối liên kết mạnh hơn”.

12


 Sierpinska (1994) phân loại việc hiểu theo ba dạng khác nhau:

Hành động

Các quá
trình

Việc hiểu


Hình 2.2. Sơ đồ phân loại “việc hiểu” của Sierpinska (1994).
Sierpinska thấy các quá trình của việc hiểu nhƣ là “hoạt động nhận thức xảy ra theo
những khoảng thời gian dài hơn”. Để tạo ra các liên kết giữa các việc hiểu về một
khái niệm qua suy luận, từ đây chúng ta phát triển xa hơn việc hiểu về khái niệm
toán học.
 Duffin và Simpson (2000) đã phát triển các phạm trù của Sierpinska và phân biệt
thành ba thành phần của việc hiểu:

Xây dựng
Có đƣợc
Tham gia vào

Hình 2.3. Các thành phần của “việc hiểu” theo Duffin và Simpson (2000).
 Barmby và nnk., (2007) đã đề xuất định nghĩa về hiểu toán nhƣ sau:
 Hiểu toán là tạo ra liên kết giữa các biểu diễn trí tuệ của một khái niệm.
 Hiểu là mạng lưới các biểu diễn thu được kết hợp với khái niệm toán học đó.
Chúng ta có thể lấy một ví dụ cụ thể nhƣ sau:
13


Khi dạy định nghĩa về khái niệm hàm số liên tục, thay vì áp đặt học sinh hiểu đƣợc
định nghĩa cụ thể ngay từ lúc đầu hay bằng các ví dụ toán học nặng về lí thuyết, hãy
tìm một ví dụ thực tế để biểu thị cho tính liên tục cho hàm số. Chẳng hạn, ta lấy ví
dụ:

Hình ảnh cầu sông Hàn ở Đà Nẵng là một ví dụ minh họa cụ thể để học sinh thấy rõ
sự liên tục hay không liên tục của nó. Đây có thể là một ví dụ làm cho học sinh cảm
thấy thú vị về cách hiểu khái niệm về hàm số liên tục và tự mình có thể tìm ra nhiều
ví dụ khác nữa.
2. Tiếp cận đa chiều về hiểu toán

Bản thân toán học là một môn học gắn liền chặt chẽ với thực tế cuộc sống, mục đích
của việc học toán cũng là giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống hàng ngày.
Đáp ứng với nhu cầu hội nhập của thế giới, các nƣớc đã và đang trong quá trình xây
dựng và phát triển một chƣơng trình giáo dục toán học phù hợp với xu thế và tình
hình của đất nƣớc. Nhiều nhà giáo dục trên thế giới đã kêu gọi chƣơng trình và dạy
toán nhắm mục đích cân đối giữa thành thạo quy trình cũng nhƣ hiểu khái niệm.
Quan điểm tiếp cận đa chiều trong dạy học toán là một trong các quan điểm đang
đƣợc nhiều nƣớc phát triển trên thế giới áp dụng và cho thấy sự hiệu quả.
Có nhiều tiếp cận đa chiều về hiểu toán, trong luận văn này chúng tôi xin chủ yếu
đề cập đến quan điểm đa chiều theo tiếp cận SPUR (Skills, Properties, Uses,

14


Representations) và tiếp cận đa chiều theo phân loại tƣ duy MATH (Mathematical
Assessment Task Hierarchy).
2.1.

Tiếp cận đa chiều về hiểu toán

Nhiều nhà giáo dục toán đã nhận ra tầm quan trọng của việc sử dụng quan điểm tiếp
cận đa chiều để đánh giá việc học các nội dung toán học. Freudental (1983) đã xem
xét các cách khác nhau mà một chủ đề toán học vận dụng và những tiếp cận khác
nhau đó đã dẫn đến những hiểu toán khác nhau.

Toán học

Quan điểm

Hiểu


Hình 2.3. Sơ đồ hình thành việc hiểu toán theo quan điểm của Freudental (1983).
Trong lớp học, mỗi học sinh có một thế mạnh riêng biệt của mình, có em thì
nghiêng về đại số, giải tích nhƣng có em thì lại nghiêng về hình học… Mỗi khái
niệm, kiến thức toán học có thể đƣợc tiếp cận bằng nhiều con đƣờng khác nhau tùy
thuộc vào kinh nghiệm và năng lực của giáo viên. Điều này đòi hỏi giáo viên trong
mỗi tiết học cần lựa chọn cách thực hiện các hoạt động học toán một cách phù hợp
nhất có thể.
Để phát triển việc hiểu toán của học sinh, chƣơng trình toán bậc phổ thông cần phải
chú trọng đến: các kĩ năng toán học, các khái niệm và các quá trình toán học là
chính yếu trong việc học và áp dụng toán học vào cuộc sống. Tuy nhiên để xây
dựng một khung chƣơng trình nhƣ vậy không phải là chuyện dễ thực hiện. Để thay
đổi tƣ duy của học sinh sau một quá trình dài đƣợc sống trong một môi trƣờng giáo
dục cũ theo cách cách tiếp cận và đánh giá toán học truyền thống đã làm cho các em
gần nhƣ là thích nghi. Điều này đòi hỏi một sự kiên trì và cố gắng của các nhà giáo
dục toán của mỗi đất nƣớc để tạo ra một chƣơng trình toán theo quan điểm mới có
nhiều tiến bộ và hiệu quả.

15


Một chƣơng trình giáo dục toán học mới theo quan điểm tiếp cận đa chiều sẽ tạo ra
một sự cân bằng và phù hợp với các đối tƣợng học sinh. Nếu chúng ta đổi mới
phƣơng pháp dạy học thể hiện tiếp cận đa chiều đến một kiến thức toán học thì
trong đánh giá cũng cần tuân theo tiếp cận này để cho việc dạy và việc đánh giá
đƣợc đồng bộ.
(1)
Thành thạo
quy trình


(5)
Phƣơng án
giải quyết

(2)
Suy luận
thích ứng

(3)
Hiểu khái
niệm

(4)
Kế hoạch giải

Hình 2.5. Thành thạo toán học theo Hội đồng Quốc gia Hoa Kỳ (NRC, 2001).
2.2. Tiếp cận SPUR
Usiskin (1985) có quan điểm về hiểu toán khá độc lập đối với Skemp (1976).
Usiskin đồng ý với Skemp rằng hiểu công cụ và hiểu quan hệ là khác nhau nhƣng
không đồng ý là chúng là hai chủ đề khác nhau. Ông xem chúng nhƣ là những khía
cạnh khác nhau của việc hiểu một chủ đề. Đƣơng nhiên là có nhiều hơn hai khía
cạnh hay cách hiểu toán, nhƣng tất cả những khía cạnh đó là những chiều của việc
hiểu toán.
Thompson và Kaur (2011), Bleider và Thompson (2013) đề xuất một tiếp cận đa
chiều mô phỏng từ mô hình gốc đƣợc sử dụng trong phát triển chƣơng trình
(Usiskin, 1985) để đánh giá chất lƣợng hiểu toán của học sinh thông qua bốn chiều
chính: kĩ năng, tính chất, sử dụng, biểu diễn (Thompson và Senk, 2008), trong đó:

16



 Kĩ năng
Kĩ năng chỉ những quy trình mà học sinh cần phải thực hiện thành thạo, những kĩ
năng có thể là việc áp dụng những thuật toán tiêu chuẩn cho đến việc khám phá
ra các thuật toán bao gồm cả quy trình với công nghệ.
 Tính chất
Tính chất chỉ những nguyên tắc cơ bản của toán học, bao gồm những tính chất
đƣợc sử dụng đến kiểm chứng các kết luận đạt đƣợc và các chứng minh.
 Sử dụng
Sử dụng chỉ việc áp dụng các khái niệm toán học vào thế giới thực tế hay vào các
khái niệm khác của toán học, bao gồm từ “các bài toán bằng lời” quen thuộc đến
việc phát triển và sử dụng các mô hình toán học.
 Biểu diễn
Biểu diễn chỉ các đồ thị, hình vẽ và các thể hiện trực quan khác của các khái
niệm toán học, bao gồm những biểu diễn chính thống của khái niệm và các mối
quan hệ đến khám phá các cách mới để biểu diễn khái niệm (Thompson & Senk,
2008).
Tiếp cận đa chiều này đƣợc biết với tên viết tắt là SPUR (Skills, Properties, Uses,
Representations), cung cấp cho giáo viên những thông tin hữu ích về chiều sâu hiểu
toán của học sinh.
Mặc dù, đầu tiên SPUR đƣợc dùng để thiết kế chƣơng trình toán toán phổ thông,
nhƣng sau đó ngƣời ta đã sử dụng SPUR nhƣ là một công cụ đầy sức mạnh trong
đánh giá việc hiểu toán của học sinh. Khi học sinh có hiểu biết sâu sắc về toán học
các em sẽ thu đƣợc việc hiểu ở bốn chiều: kĩ năng, tính chất, vận dụng và biểu diễn.
Nếu đánh giá chỉ quan tâm một chiều thì giáo viên sẽ thu nhận những cái nhìn sai
lệch và thiếu sót về việc hiểu toán của học sinh. Chẳng hạn một bài kiểm tra toán
mà học sinh bị điểm thấp, giáo viên vội kết luận khả năng toán học của học sinh đó
là thấp hay không có thì liệu đó có phải là quan điểm đúng? Nếu đánh giá quan tâm
đến cả bốn chiều thì giáo viên sẽ nhận đƣợc sự hiểu biết sâu sắc về điểm mạnh,
điểm yếu trong kiến thức về khái niệm của học sinh, điều đó sẽ đem lại những định

hƣớng cho việc lên kế hoạch bài học tiếp theo.
17


Kĩ
năng

Tính
chất

Vận
dụng

Biểu
diễn

Hình 2.6. Bốn chiều của việc hiểu Toán theo tiếp cận SPUR.
Nếu mục đính giáo dục là phát triển học sinh với một hiểu biết sâu sắc và linh hoạt
về toán học thì chúng ta không thể chỉ đánh giá các kiến thức, kĩ năng của các em.
Việc viết các câu hỏi kiến thức, kĩ năng thƣờng dễ hiểu hơn, với các kiến thức của
các chiều khác về việc hiểu toán, giáo viên cần phải điều chỉnh các câu hỏi kĩ năng
đó, hay viết các câu hỏi hoàn toàn mới để thu thập những khía cạnh khác về việc
hiểu toán của học sinh. Những phản hồi về việc hiểu các khái niệm toán của học
sinh có thể đƣợc sử dụng để đổi mới cách dạy, để học sinh xây dựng đƣợc một nền
tảng vững chắc về kiến thức toán học.
2.3.

Phân bậc tƣ duy MATH

Việc đánh giá việc học toán của học sinh hiện nay chủ yếu đƣợc thực hiện qua

hình thức các bài kiểm tra tự luận truyền thống hoặc trắc nghiệm khách quan để
xem xét sự thành thạo các kĩ năng, quy trình và công thức của các em. Các câu hỏi
thƣờng kiểm tra các kĩ năng riêng lẻ, không đánh giá đƣợc liệu học sinh có hiểu
các khái niệm toán hay không, có khả năng sử dụng toán học để giải quyết các vấn
đề nảy sinh đƣợc hay không? Theo Schoenfiel (1988), một số học sinh đƣa ra “lời
giải” đúng cho câu hỏi có thể không hiểu đƣợc ngay lời giải mà mình đƣa ra. Đây
là điều mà giáo viên không mong muốn đạt đƣợc, họ muốn cung cấp kiến thức để
học sinh thực sự hiểu ý nghĩa và vận dụng chúng theo các hình thức khác nhau.
Chúng ta cần xác định những gì học sinh nên biết và có thể là hiểu đƣợc sau khi
học môn Toán, và những điều đó nên đƣợc chuyển thành các mục tiêu và mục
đích của các đánh giá.

18


Thứ bậc Nhiệm vụ Đánh giá Toán có tên viết tắt MATH (Mathematical Assessment
Task Hierarchy) đặc biệt đƣợc thiết kế để phát triển những đánh giá toán học nâng
cao để đảm bảo rằng học sinh đƣợc đánh giá theo nhiều dạng kiến thức và kĩ năng
khác nhau (Darlington, 2013). Phân loại MATH xác định tám phạm trù kĩ năng và
kiến thức và sắp xếp chúng vào trong ba nhóm A, B và C. Tám phạm trù này đƣợc
xếp thứ tự theo bản chất của hoạt động tƣ duy toán, chứ không phải theo mức độ
khó của hoạt động đòi hỏi để hoàn thành tốt nhiệm vụ.
a) Các phạm trù
Phân loại tƣ duy MATH có ba nhóm: A (Tái tạo); B (Liên kết) và C (Suy luận). Các
phạm trù của MATH đƣợc thiết kế để mô tả “bản chất” của hoạt động làm toán chứ
không phải “mức độ khó” (Smith và nnk, 1996). Điều đó có nghĩa là một nhiệm vụ
ở nhóm A có thể xem là khó hơn một nhiệm vụ ở nhóm C theo một học sinh cụ thể,
tùy thuộc vào sự thừa nhận của các em về độ khó, cũng nhƣ các thách thức cụ thể
gắn liền với nhiệm vụ đó. Chúng ta cũng có thể xem các nhóm A, B, C tƣơng ứng
với ba mức A, B, C đƣợc xếp theo thứ bậc từ thấp đến cao một cách phù hợp theo

bối cảnh.
 Mức A bao gồm việc nhớ lại các sự kiện, công thức và nhận ra các tình huống và
những tính toán quen thuộc và áp dụng những thuật toán đã cho.
 Mức B tiếp tục với sự phân loại một đối tƣợng toán học, chuyển thể một tình
huống hay một câu trả lời và khả năng thiết kế một kế hoạch hay chọn những đặc
trƣng để thực hiện một phân công học tập.
 Mức C liên quan đến suy luận, kiểm chứng, phản ví dụ, tranh luận hay chứng
minh, phát biểu những tiền giả thuyết và áp dụng, so sánh các tình huống, nhận
ra hay khám phá các dạng mẫu, xây dựng một ví dụ hay mở rộng một khái niệm.

19