ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN CÔNG NGHĨA

QUỸ ĐẠO ĐỐI LIÊN HỢP CỦA NHÓM LIE VÀ
CẤU TRÚC SYMPLECTIC
Chuyên ngành: HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ
Mã số: 60460105

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Thừa Thiên Huế, năm 2017
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu
ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng
tác giả cho phép sử dụng và chưa từng công bố
trong một công trình nghiên cứu nào khác.
Trần Công Nghĩa

ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Thầy giáo
PGS. TS Trần Đạo Dõng. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người
đã chỉ dẫn tận tình, chu đáo và luôn động viên tôi trong suốt quá trình làm
luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo PGS. TS Đoàn Thế Hiếu đã tận tình
giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn BGH Phòng đào tạo Sau đại học, Trường
Đại học Sư phạm Huế cùng quý Thầy Cô giáo đã tham gia giảng dạy Cao học
khóa XXIV, những người đã giúp tôi có được kiến thức và tạo điều kiện để tôi
có thể hoàn thành việc học tập và nghiên cứu của mình.
Tôi xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, quý Thầy Cô giáo trường THPT
Hai Bà Trưng, Huế, đặc biệt là quý Thầy Cô giáo ở Tổ Toán đã tạo điều kiện,
giúp đỡ cho tôi hoàn thành khóa học này.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đặc biệt là các
bạn học viên cao học Toán khóa XXIV đã luôn ủng hộ, quan tâm, động viên
và giúp đỡ tôi suốt thời gian học tập vừa qua.
Trần Công Nghĩa

iii


Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii


Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Lời mở đầu

2

Chương 1 Các kiến thức cơ sở

3

1.1

Đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Đa tạp symplectic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3


Nhóm Lie và tác động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Chương 2 Quỹ đạo đối liên hợp và cấu trúc symplectic

17

2.1

Tác động đối liên hợp và quỹ đạo . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2

Cấu trúc symplectic của quỹ đạo đối liên hợp . . . . . . . . . .

20

2.3

Tác động symplectic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.4

Ánh xạ moment và tác động Hamilton . . . . . . . . . . . . . .


26

2.5

Thể hiện trên nhóm SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

40

1


LỜI MỞ ĐẦU
Trong hình học vi phân, các đa tạp symplectic, tức là các đa tạp trơn có
số chiều chẵn trên đó trang bị một 2-dạng vi phân đóng, không suy biến (gọi
là dạng symplectic), được xét như là một sự mở rộng của không gian Euclide
R2n với dạng symplectic chính tắc và đóng vai trò quan trọng trong việc khảo
sát cấu trúc của một số đa tạp cụ thể như không gian xạ ảnh phức,...
Đặc biệt, với G là một nhóm Lie liên thông compact và biểu diễn đối liên
hợp Ad∗ : G → GL(g∗ ), trong đó g là đại số Lie của G và g∗ là không gian
vectơ đối ngẫu của g, các quỹ đạo đối liên hợp tương ứng trong g∗ trở thành
các đa tạp con liên thông compact và có thể trang bị một cấu trúc symplectic

tự nhiên trên các quỹ đạo đối liên hợp này.
Từ đó thông qua tác động symplectic của nhóm Lie G lên một đa tạp symplectic (M, ω), tức là tác động của G qua các vi phôi bảo toàn dạng symplectic
ω, có thể xác định một ánh xạ J : M → g∗ , được gọi là ánh xạ moment, sao
cho J là G-đẳng biến tương ứng với G-tác động đã cho trên M và biểu diễn
đối liên hợp trên g∗ , tức là J(g.m) = Ad∗ (g)J(m), ∀g ∈ G, m ∈ M.
Được sự gợi ý của thầy giáo hướng dẫn, PGS.TS Trần Đạo Dõng, và với
mong muốn tìm hiểu thêm về mối liên hệ giữa đa tạp symplectic với các quỹ
đạo đối liên hợp, tôi đã chọn đề tài "Quỹ đạo đối liên hợp của nhóm Lie
và cấu trúc Symplectic” để làm đề tài nghiên cứu cho luận văn.
Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu về biểu diễn đối liên hợp của nhóm
Lie và cấu trúc symplectic cảm sinh trên các quỹ đạo đối liên hợp tương ứng.
Các nội dung nghiên cứu của luận văn bao gồm cấu trúc symplectic, các
tác động symplectic và hamilton, ánh xạ moment trên các quỹ đạo đối liên hợp
của nhóm Lie compact, từ đó thể hiện cụ thể trên nhóm Lie SO(3).
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
thành 2 chương.
Chương 1: Các kiến thức cơ sở. Trong chương này chúng tôi giới thiệu một
số kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi, đa tạp symplectic, nhóm Lie và tác động.
Chương 2: Quỹ đạo đối liên hợp và cấu trúc symplectic. Trong chương này,
chúng tôi giới thiệu về cấu trúc symplectic và quỹ đạo, tác động symplectic,
hamilton, ánh xạ moment và thể hiện trên nhóm Lie SO(3).

2


Chương 1

Các kiến thức cơ sở
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ sở về đa tạp
symplectic, nhóm Lie và tác động của nhóm Lie lên đa tạp. Các kiến thức trình

bày dưới đây liên quan đến việc nghiên cứu chương tiếp theo và được tham
khảo từ các tài liệu [1],[3],[4],[5],[6].
1.1
1.1.1

Đa tạp khả vi
Đa tạp khả vi

Định nghĩa 1.1.1. Không gian tôpô Hausdorff M gọi là một đa tạp n-chiều
nếu mỗi điểm của M thuộc một tập mở U ⊂ M đồng phôi với một tập mở của
không gian Rn , tức là tồn tại đồng phôi ϕ : U → Ω ⊂ Rn , với Ω là một tập mở
của Rn . Mỗi cặp (U, ϕ) được gọi là một bản đồ. Tập hợp các bản đồ {(Ui , ϕi )}
phủ M (với ∪ Ui = M ) gọi là một atlas của M .
i

Nếu (U, ϕ) là một bản đồ trên M thì với mỗi x thuộc U , ϕ(x) thuộc Ω,
ϕ(x) = (x1 , x2 , ..., xn ) thuộc Rn . Khi đó các số xi được gọi là các tọa độ địa
phương của x, ϕ gọi là hệ tọa độ địa phương.

Hình 1.1: Đổi hệ tọa độ địa phương
3


Cho M là không gian tôpô Haudorff. Atlas {(Ui , ϕi )} của M được gọi là
atlas khả vi của M nếu với hai bản đồ tùy ý của atlas (U1 , ϕ1 ), (U2 , ϕ2 ) mà
U1 ∩ U2 = ∅, ϕ1 : U1 → Ω1 , ϕ2 : U2 → Ω2 thì ánh xạ: ϕ2 ◦ ϕ−1
1 |ϕ1 (U1 ∩U2 ) :
ϕ1 (U1 ∩ U2 ) −→ Ω2 là ánh xạ khả vi.
Trên tập các atlas khả vi của không gian tôpô M ta cho một quan hệ hai
ngôi, tức là nếu A = {(Ui , ϕi )}i∈I và B = {(Vj , Ψj )}j∈J là hai atlas của M thì

A
B ⇔ {(Ui , ϕj ), (Vj , Ψj )}i∈I,j∈J là atlas khả vi của M . Quan hệ hai ngôi
này là quan hệ tương đương. Một lớp tương đương được xác định như trên
được gọi là một cấu trúc khả vi trên M .
Định nghĩa 1.1.2. Không gian tôpô Hausdorff M cùng với một cấu trúc khả
vi trên nó xác định bởi atlas {(Ui , ϕi )}i∈I , ϕi : Ui → Ωi ⊂ Rn gọi là đa tạp khả
vi n-chiều, dimM = n.
Trong trường hợp ánh xạ ϕ2 ◦ ϕ−1
1 |ϕ1 (U1 ∩U2 ) : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) −→ Ω2 là ánh xạ
trơn thì đa tạp khả vi M được gọi là đa tạp trơn n-chiều.
Ví dụ 1.1.1. Trong Rn+1 cho siêu cầu
Sn = {x ∈ Rn+1 |(x1 )2 + (x2 )2 + ... + (xn+1 )2 = 1}.
Ta xây dựng một atlas khả vi trên S n .
Với mỗi i từ 1 đến n + 1 xét các tập mở của S n .
vi+ = {x ∈ S n ; xi > 0}
vi− = {x ∈ S n ; xi < 0}.
Các tập mở này tạo thành một phủ mở của S n .
+
−
−
n
n
Ta xét các ánh xạ: ϕ+
i : vi −→ R và ϕi : vi −→ R , i = 1, ..., n + 1 cho

bởi
1
n+1
ϕ±
) = (x1 , ..., xi , ..., xn+1 ),

i (x , ..., x

ở đây kí hiệu xi là bỏ số xi .
±
Khi đó các ϕ±
i là các đồng phôi từ vi lên quả cầu mở tâm tại gốc bán kính
R = 1 trong Rn .
n
Vậy ta có atlas {(vi± , ϕ±
i )} gồm 2n + 2 bản đồ của S .

Ta có, chẳng hạn j < i,
n
± −1 1
n
1
j
1 2
n 2 i
ϕ±
j ◦ (ϕi ) (x , ..., x ) = (x , ..., x , ± 1 − ((x ) + ... + (x ) )x , ..., x ).

Đó là ánh xạ khả vi.
Vậy S n là đa tạp khả vi n-chiều.
4


Bây giờ ta tìm hiểu về ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp.
Định nghĩa 1.1.3. Cho M và N là những đa tạp khả vi có số chiều lần lượt
là m và n. Ánh xạ f : M −→ N được gọi là ánh xạ khả vi nếu f là ánh xạ liên

tục và với mọi bản đồ (U, ϕ) của M , bản đồ (V, Ψ) của N mà U ∩ f −1 (V ) = ∅
thì ánh xạ Ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ∩ f −1 (V )) ⊂ Rn −→ Rn là ánh xạ khả vi.

Hình 1.2: Ánh xạ khả vi

Định nghĩa 1.1.4. Nếu ánh xạ f : M −→ N khả vi và có ánh xạ ngược
f −1 : N −→ M khả vi thì f được gọi là một vi phôi.
1.1.2

Vectơ tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc

Cho ánh xạ f : Ω mở ⊂ Rn −→ R. Đạo hàm của f tại p ∈ Ω là ánh xạ
tuyến tính
dfp : Tp Rn ∼
= Rn −→ Tf (p) R ∼
= R.
Với quan điểm đối ngẫu chúng ta có thể xem mỗi vectơ tiếp xúc như là một
ánh xạ tác động lên các hàm khả vi như sau:
vp (f ) := dfp (vp ).
Ánh xạ này thỏa quy tắc Leibnitz: vp (f g) = f (p)vp (g) + g(p)vp (f ).
Định nghĩa 1.1.5. Một vectơ tiếp xúc tại điểm p của đa tạp khả vi M là ánh
xạ tuyến tính vp : C ∞ (M, R) −→ R thỏa mãn qui tắc Leibnitz
vp (f g) = f (p)vp (g) + g(p)vp (f ), ∀f, g ∈ C ∞ (M, R).
5


Định nghĩa 1.1.6. Tập hợp tất cả các vectơ tiếp xúc tại p của đa tạp M , kí
hiệu Tp M , được gọi là không gian tiếp xúc tại p của đa tạp M .
Đặt T M = ∪ Tp M . Khi đó T M cùng với phép chiếu
p∈M


π : T M −→ M
X −→ π(X) := p
được gọi là phân thớ tiếp xúc trên M .
Nhận xét sau đây cho biết số chiều của phân thớ tiếp xúc:
Nhận xét 1.1.1. ([1, tr.101]) Với M là đa tạp khả vi n-chiều, T M là một đa
tạp khả vi 2n-chiều.
Nhận xét 1.1.2. Cho M là đa tạp khả vi n-chiều, p ∈ M là điểm tùy ý và
Tp M là không gian tiếp xúc của M tại p. Khi đó, trong hệ tọa độ địa phương
∂
∂
Tp M có cơ sở là {(
)p , ..., (
)p }.
∂x1
∂xn
Định nghĩa 1.1.7. Cho hai đa tạp khả vi M và N . Ánh xạ khả vi f : M −→ N
cảm sinh ánh xạ f∗ : T M −→ T N sao cho πN ◦ f∗ = f ◦ πM , tức là sơ đồ sau
giao hoán.
f
✲ N
M
✻

✻

πM

TM


πN
f∗

✲

TN

Khi đó, ánh xạ f∗ gọi là ánh xạ tiếp xúc của f .
Định nghĩa 1.1.8. Không gian đối ngẫu của Tp M là:
Tp∗ M = {α : Tp M → R|α là ánh xạ tuyến tính }
được gọi là không gian đối tiếp xúc của M tại p. Mỗi phần tử của Tp∗ M gọi là
vectơ đối tiếp xúc tại p.
Đặt T ∗ M =

Tp∗ M, p ∈ M .

Khi đó: T ∗ M cùng với phép chiếu π ∗ : T ∗ M → M, α → π ∗ (α) = p được gọi
là phân thớ đối tiếp xúc trên M .
Nhận xét 1.1.3. Trong hệ tọa độ địa phương cơ sở của Tp∗ M là {dx1 |p , ..., dxn |p },
∂
∂
đối ngẫu với cơ sở {(
)p , ..., (
)p } của Tp M .
∂x1
∂xn
Nhận xét 1.1.4. ([2, tr.9]) Với M là đa tạp khả vi n-chiều, T ∗ M là một đa
tạp khả vi 2n-chiều.
6



1.1.3

Trường vectơ

Định nghĩa 1.1.9. Cho M là đa tạp khả vi. Ánh xạ khả vi X : M −→ T M
sao cho π ◦ X = idM được gọi là trường vectơ tiếp xúc của M .
Như vậy, trường vectơ tiếp xúc với M đặt tương ứng với mỗi p ∈ X một
vectơ X(p) ∈ Tx M . Ta kí hiệu vectơ X(p) là Xp và V(M ) là tập các trường
vectơ trên M .
Với mỗi X ∈ V(M ), f ∈ C ∞ (M, R), ta xác định hàm X(f ) ∈ C ∞ (M, R)
theo công thức:
X(f )(p) = dfp (Xp ), ∀p ∈ M.
Như vậy, có thể xem trường vectơ X như là ánh xạ
X : C ∞ (M, R) −→ C ∞ (M, R)
có các tính chất sau:
a) X là ánh xạ tuyến tính
b) X(f.g) = f.X(g) + X(f ).g, ∀f, g ∈ C ∞ (M, R).
1.1.4

Dạng vi phân

Định nghĩa 1.1.10. k-dạng tenxơ trên đa tạp khả vi M, k ∈ N, k 1 là một
ánh xạ ω đặt tương ứng mỗi tập mở U ⊂ M và mỗi bộ sắp thứ tự k trường
vectơ tiếp xúc s1 , s2 , ..., sk trên U với một hàm khả vi
ωU (s1 , s2 , ..., sk ) : U −→ R
sao cho :
a) Nếu V là một tập mở của U và s1 , s2 , ..., sk là các trường vectơ trên U
thì
ωU (s1 , s2 , ..., sk )|V = ωV (s1 |V , ..., sk |V ).

b) Với mỗi tập mở của U , ánh xạ
ωU : V(M ) × ... × V(M ) −→ C ∞ (M, R)
là k-tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.11. k-dạng tenxơ ω trên M được gọi là dạng vi phân nếu
hàm ω(s1 , s2 , ..., sk ) đổi dấu khi đổi chỗ hai trường vectơ si , sj trong các trường
vectơ s1 , s2 , ..., sk .
Quy ước: Hàm khả vi trên M gọi là 0-dạng vi phân trên M .
Kí hiệu: Ωk (M ) là tập hợp các k-dạng vi phân trên M .
7


Định nghĩa 1.1.12. Cho f : M −→ N là ánh xạ khả vi và ω là k-dạng khả
vi trên N . Ta xác định k-dạng khả vi trên M bằng công thức sau:
f ∗ ω(s1 , ..., sk )(p) = ω(s1 , ..., sk )(f (p)).
trong đó p ∈ U mở ⊂ M và si là các trường vectơ xác định trên một lân cận
V của f (p) mà: si (f (p)) = f∗ (si (p))), i = 1, ..., k.
Khi đó ta cũng có công thức sau:
d(f ∗ ω) = f ∗ (dω),
với dω là vi phân ngoài của dạng vi phân ω.
Nhận xét 1.1.5. Cho f : Rn −→ Rm là hàm khả vi. Khi đó với mỗi p ∈ Rn
ta có ánh xạ tuyến tính Df (p) : Rn −→ Rm . Từ ánh xạ này ta xác định ánh xạ
tuyến tính f∗ : Rnp −→ Rm
f (p) theo quy tắc f∗ (vp ) = Df (p)(vf (p) ). Ánh xạ tuyến
k
n
tính đó cảm sinh ra ánh xạ: f ∗ : ∧k (Rm
f (p) ) −→ ∧ (Rp ).
Do đó mỗi dạng ω bậc k trên Rm
f (p) có thể chuyển thành một dạng bậc k
n

trên Rp bằng công thức sau:
(f ∗ ω)(p)((v1 )p , ..., (vk )p )) = ω(f (p))(f∗ ((v1 )p ), ..., f∗ ((vk )p )).
Ví dụ 1.1.2. Ta xét dạng bậc n trên Rn là ω = hdx1 ∧ dx2 ∧ ... ∧ dxn và hàm
khả vi f : Rn −→ Rn . Khi đó ta có:
f ∗ ω = (h.f )f ∗ (dx1 ∧ dx2 ∧ ... ∧ dxn ) = (h.f )(f ∗ dx1 ∧ f ∗ dx2 ∧ ... ∧ f ∗ dxn )
n

n
1

j

Dj f n dxj )

Dj f dx ∧ ... ∧

= (h.f )(
j=1

j

j=1
2

= (h.f )(det(Di f ))dx ∧ dx ∧ ... ∧ dxn .
1.2

1

Đa tạp symplectic

Cho M là một đa tạp trơn, xét ánh xạ:
Λ2 Tp M

ω : M −→
x∈M

p −→ ωp : Tp M × Tp M −→
R
(Xp , Yp ) −→ ω(Xp , Yp ).
Định nghĩa 1.2.1. Cho M là một đa tạp trơn, ω xác định như trên được gọi
là 2-dạng vi phân de Rham trên M , nếu ∀p ∈ M, ωp : Tp M × Tp M → R là một
dạng song tuyến tính, phản đối xứng và ωp biến thiên trơn theo p.

8


Xét {U, x1 , x2 , ..., xn } là một bản đồ địa phương trên đa tạp khả vi M . Khi
đó 2-dạng vi phân ω trong tọa độ địa phương có dạng:
ωij dxi ∧ dxj ,

ω=
i
với ωij là các hàm trơn, xác định duy nhất trên U .
2-dạng vi phân ω được gọi là dạng đóng nếu dω = 0. Với hệ tọa đồ địa
phương trên U điều này tương đương tồn tại một dạng λ trên U sao cho
n

dλ = ω, nghĩa là tồn tại các hàm λ1 , λ2 , ..., λn trên U sao cho λ =

λi dxi .

i=1

Do đó:

n

n

dλ =

Dα λi dxα ∧ dxi .

i=1 α=1

(∂j λi − ∂i λj )dxi ∧ dxj ,

=
i
tức là tồn tại các hàm λ1 , ..., λn trên U sao cho ωij = ∂j λi − ∂i λj (với i < j).
2-dạng vi phân ω được gọi là không suy biến nếu ∀p ∈ M , dạng song tuyến
tính ωp trên Tp M không suy biến, tức là ∀p ∈ Tp M ta có : ωp (v, .) = 0 ⇒ v = 0.
Định nghĩa 1.2.2. Một dạng symplectic trên đa tạp M là 2-dạng vi phân ω
đóng và không suy biến. Đa tạp symplectic là đa tạp được trang bị một dạng
symplectic.
Nhận xét 1.2.1. Từ định nghĩa suy ra các đa tạp symplectic luôn có số chiều
chẵn.
Ví dụ 1.2.1. Cho đa tạp M = R2n với hệ tọa độ địa phương {x1 , ..., xn , y1 , ..., yn }

n

dxi ∧ dyi . Khi đó (R2n , ω0 ) là đa tạp symplectic.

và 2-dạng vi phân ω0 =
i=1

Thật vậy, hiển nhiên M = R2n là đa tạp trơn, bây giờ ta chứng minh ω0 là
dạng đóng.
Ta có:
n

dxi ∧ dyi )

dω0 = d(
i=1
n

d(dxi ∧ dyi )

=
i=1
n

(d2 xi ∧ dyi + (−1)1 dxi d2 yi )

=
i=1

= 0.

9


Do đó, ω0 là dạng đóng.
Lấy tùy ý p = (p1 , p2 , ..., p2n ) ∈ M thì Tp M ∼
= R2n có cơ sở là
{(

∂
∂
∂
∂
)p , ..., (
)p , (
)p , ..., (
)p }.
∂x1
∂xn
∂y1
∂yn

Ta kiểm tra ω0 = (ω0 )p không suy biến.
Lấy u = (u1 , ..., un , u1 , ..., un ), v(v1 , ..., vn , v1 , ..., vn ) ∈ Tp M , ta có
n

n

(dxi ∧ dyi )p (u, v) =

ω0 (p)(u, v) =

i=1

i=1

ui vi
=
ui vi

n

(vi ui − vi ui ).
i=1

Do đó: nếu ω0 (p)(u, v) = 0, ∀v thì u = 0 hay ω0 (p) không suy biến.
Vậy (R2n , ω0 ) là đa tạp symplectic.
Định nghĩa 1.2.3. Cho (M, ω1 ) và (N, ω2 ) là hai đa tạp symplectic 2n-chiều.
a) Ánh xạ ϕ : M1 → M2 được gọi là ánh xạ symplectic nếu ϕ∗ ω2 = ω1 .
b) Ánh xạ symplectic ϕ : M1 → M2 được gọi là đẳng cấu symplectic nếu ϕ
là vi phôi.
Nhận xét 1.2.2. Cho {U, x1 , x2 , ..., xn } là một bản đồ địa phương trên đa tạp
M thì trên T ∗ M cũng có hệ bản đồ địa phương tương ứng là:
{T ∗ U, x1 , x2 , ..., xn , ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n }.
Khi đó 2-dạng ω trên T ∗ U được định nghĩa là:
n

dxi ∧ dξ i .

ω=
i=1

Để chứng tỏ định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn hệ tọa độ địa
phương ta xét 1-dạng trên T ∗ U là
n

ξ i dxi ,

θ=
i=1

ở đây ξ1 , ..., ξ n ∈ R là tọa độ của ξ ∈ Tp∗ M, p ∈ U , tức là ξ =

n

ξ i dxi |p đối với

i=1
1

n

∗

cơ sở {dx |p , ..., dx |p } của T M .
Khi đó ta có:
ω = −dθ.
Gọi {T ∗ U, x1 , x2 , ..., xn , ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n } và {T ∗ U , x 1 , x 2 , ..., x n , ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n }
là hai bản đồ tọa độ đối tiếp xúc.
10

Trên U ∩ U , ta có:
ξj =

n
i=1

Do đó:

i

∂x
i
ξ i ( ∂x
j ) và dx =

n

θ=

n

ξ i dxi =

i=1

n
j=1

i

∂x
j
( ∂x
j )dx .

ξ j dx j = θ .

j=1

Suy ra θ không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ.
Vậy ω = −dθ cũng không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ.
Ta gọi 1-dạng θ là 1-dạng Liouville và 2-dạng ω là dạng symplectic chính
tắc.
1.3

Nhóm Lie và tác động

1.3.1

Nhóm Lie

Định nghĩa 1.3.1. Nhóm Lie G là một đa tạp trơn G được trang bị một cấu
trúc nhóm sao cho các phép toán
µ : G × G −→ G
và
ι : G −→ G
(x, y) −→ µ(x, y) = xy
x −→ x−1
là các ánh xạ trơn.
Số chiều của đa tạp G được định nghĩa là số chiều của nhóm Lie G.

Ví dụ 1.3.1. Cho V là một không gian tuyến tính thực hữu hạn chiều, có số
chiều là n. Ta kí hiệu End(V )là không gian vectơ các tự đồng cấu tuyến tính
2
của V . Do End(V ) ∼
= M at(n, R) ∼
= Rn nên End(V ) là một đa tạp khả vi n2
chiều. Gọi GL(V ) là tập con gồm các phần tử khả nghịch của End(V ), tức là
GL(V ) = {A ∈ End(V )|detA = 0}.
Xét ánh xạ định thức:
det : End(V ) −→ R
A
−→ detA.
Ta có det là hàm đa thức nên là ánh xạ liên tục và GL(V ) là một tập con mở
của End(V ). Suy ra GL(V ) là một đa tạp trơn n2 chiều với cấu trúc đa tạp
cảm sinh từ End(V ).
Hơn nữa ta có thể kiểm tra phép toán nhóm và phép toán lấy nghịch đảo
của GL(V ) là khả vi qua cấu trúc đa tạp này.
Vậy GL(V ) với phép toán hợp thành là một nhóm Lie thực n2 -chiều và
được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát của V .
11


Định nghĩa 1.3.2. Cho f : G −→ H là một ánh xạ đi từ nhóm Lie G vào
nhóm Lie H.
a) f được gọi là một đồng cấu nhóm Lie nếu f là một đồng cấu nhóm và
f là ánh xạ trơn.
b) f được gọi là một đẳng cấu nhóm Lie nếu f là một đồng cấu nhóm Lie,
song ánh và f −1 cũng là một đồng cấu nhóm Lie.
1.3.2

Ánh xạ exponent và đại số Lie của nhóm Lie

Cho G là một đa tạp và T G không gian tiếp xúc của G.
Với x ∈ G, ta có phép tịnh tiến trái được xác định như sau:
lx : G −→

G

a −→ lx (a) = xa.
là một vi phôi và lx−1 = lx−1 . Từ phép tịnh tiến này cảm sinh một đẳng cấu
tuyến tính là: (lx )∗ : T G −→ T G.
Định nghĩa 1.3.3. Cho G là đa tạp, ta ký hiệu V(G) = {v : G −→ T G}
là không gian vectơ của các trường vectơ trên G. Một trường vectơ v ∈ V(G)
được gọi là trường vectơ bất biến trái nếu (lx )∗ v = v, ∀x ∈ G.
Nói cách khác là ((lx )∗ v)(y) = v(y), ∀y ∈ G hay Ty (lx )v(y) = v(xy), ∀x, y ∈
G.
Tập hợp VL (G) = {v : G −→ T G là trường vectơ bất biến trái} là một
không gian vectơ con của V(G).
Nhận xét 1.3.1. Với v ∈ VL (G), chọn y = e, ta có: Te (lx )v(e) = v(x), ∀x ∈ G
nên v được xác định bởi v(e) ∈ Te G. Từ đó V(G) −→ Te G, v −→ v(e) là đơn
cấu tuyến tính.
Ngược lại, ∀X ∈ Te G, xác định trường vectơ vX : G −→ T G
x −→ vX (x) = Te (lx )X.
Khi đó, vX ∈ VL (G) và tương ứng Te G −→ VL (G),X −→ vX xác định một
đẳng cấu tuyến tính với ánh xạ ngược được cho bởi v −→ v(e).
Định nghĩa 1.3.4. Cho X là một đa tạp trơn, v là trường vectơ, x ∈ X cho
trước và I là một khoảng mở chứa 0. Khi đó, ánh xạ trơn c : I −→ X được gọi
là đường cong tích phân của v trong X với điểm đầu là x ∈ X nếu
a) c(0) = x;
b) c (t) = v(c(t)), ∀t ∈ I, ở đây ta viết c (t) thay cho

12

d
(c(t)) = Tt c(1).
dt


Nhận xét 1.3.2.
a) Cho v ∈ V(X). Khi đó, ta xác định được một khoảng mở I ⊂ R, I 0
sao cho tồn tại một đường cong tích phân c : I −→ X của v với điểm đầu là
x ∈ X. Nếu d : J −→ X là một đường cong tích phân khác của v với điểm đầu
là x ∈ X thì ta có c = d trên I ∩ J.
b) Nếu c, d : J −→ X là các đường cong tích phân của v với điểm đầu là
x ∈ X thì c = d.
Từ đó, ∀x ∈ X ta luôn xác định được một khoảng mở Ix ⊂ R, Ix 0 lớn
nhất sao cho c : Ix −→ X là đường cong tích phân của v với điểm đầu là x.
Đường cong c này là duy nhất và được gọi là đường cong tích phân cực đại của
v với điểm đầu là x.
Định nghĩa 1.3.5. Cho G là một nhóm Lie, Te G là không gian tiếp xúc của
G tại phần tử đơn vị e. Với mỗi X ∈ Te G, vX ∈ VL (G) là trường vectơ bất biến
trái tương ứng xác định bởi vX (e) = X, gọi αX : R −→ G là đường cong tích
phân cực đại của vX với điểm đầu là e. Khi đó, ánh xạ
exp = expG : Te G −→

G

X −→ exp(X) = αX (1)
được gọi là ánh xạ exponent ứng với G.
Nhận xét 1.3.3. Với mọi s, t ∈ R, X ∈ Te G ta có
a) exp(sX) = αX (s);

b) exp(s + t)X = exp(sX).exp(tX).
Định nghĩa 1.3.6. Mỗi đồng cấu nhóm Lie α : (R, +) −→ G được gọi là nhóm
con một tham số của G.
Nhận xét 1.3.4. Cho G là một nhóm Lie.
a) ∀X ∈ Te G, ánh xạ α : t −→ exp(tX) là nhóm con một tham số của G.
b) Mỗi nhóm con một tham số của G đều có thể biểu diễn dưới dạng trên.
Tức là nếu α : R −→ G là nhóm con một tham số của G và gọi X = α· (0) ∈ Te G
thì ta có α(t) = exp(tX), ∀t ∈ R.
c) Cho ϕ : G −→ H là đồng cấu nhóm Lie. Khi đó, sơ đồ sau giao hoán
G

ϕ

✲

✻

✻

expG

Te G

H
expH

Te ϕ

✲
13

Te H


Giả sử rằng G là một nhóm Lie. Khi đó, với g ∈ G thì các ánh xạ tịnh tiến
lg : x → gx và rg : x → xg là các vi phôi từ G vào chính nó. Suy ra ánh xạ hợp
thành Cg = lg ◦ (rg )−1 : G −→ G, x −→ Cg (x) = g.x.g −1 cũng là một vi phôi
và là một đẳng cấu nhóm Lie.
Gọi Te G là không gian tiếp xúc của nhóm Lie tại phần tử đơn vị e ∈ G và
xét ánh xạ tiếp xúc Te Cx : Te G −→ Te G của Cx tại e ∈ G.
Do Cx là một vi phôi nên Te Cx là một đẳng cấu tuyến tính.
Khi đó, ánh xạ
Ad : G −→

GL(Te G)

g −→ Adg = Te Cg : Te G −→ Te G
được gọi là biểu diễn liên hợp của G trong Te G.
Hơn nữa, ánh xạ tiếp xúc ad = Te Ad : Te G −→ End(Te G) là một ánh xạ
tuyến tính.
Định nghĩa 1.3.7. Cho G là một nhóm Lie. Khi đó, Te G với phép toán sau
[, ] : Te G × Te G −→

Te G

(X, Y ) −→ [X, Y ] = adX(Y )
là một đại số Lie và được gọi là đại số Lie của nhóm Lie G. Kí hiệu g := Te G.
Ví dụ 1.3.2. Xét nhóm trực giao đặc biệt:
SO(n) = {A ∈ M (n, R)|At A = I, detA = 1}.
Ta có SO(n) là giao của nhóm trực giao O(n) = {A ∈ M (n, R)|At A = I} và

nhóm tuyến tính đặc biệt nên suy ra SO(n) là một nhóm Lie. Gọi so(n) là đại
số Lie của SO(n). Khi đó ta có:
so(n) = {A ∈ M (n, R)|At = −A, T rA = 0}.
Thật vậy: Đặt V = {A ∈ M (n, R)|At = −A, T rA = 0}.
Với mọi A ∈ so(n), ta có: ∀s ∈ R, exp(sA) ∈ SO(n), tức là:
t

t

d
(detesA )
ds

=

(exp(sA))t exp(sA) = I ⇐⇒ (esA )t esA = esA esA = es(A +A) = I.
Lấy đạo hàm theo s, tại s = 0 ta được:
d s(At +A)
e
ds

= 0 ⇐⇒ At + A = 0, T rA =
s=0

Vậy A ∈ V hay so(n) ⊂ V .
14

s=0

d

1
ds

= 0.
s=0


Ngược lại: Nếu A ∈ V , ta có At = −A và T rA = 0.
Khi đó với mọi s ∈ R, ta có:
t

t

(esA )t esA = esA esA = es(A +A) = e0 = 1.
và det(esA ) = eT r(sA) = esT rA = e0 = 1.
Vậy exp(sA) ∈ SO(n), ∀s ∈ R. Do đó A ∈ so(n) hay V ⊂ so(n).
1.3.3

Tác động

Định nghĩa 1.3.8. Cho G là một nhóm, M là một tập hợp. Một tác động trái
của G lên M là một ánh xạ:
α : G × M −→
M
(g, m) −→ α(g, m) := g.m
thỏa mãn hai điều kiện sau:
a) α(g1 , α(g2 , m)) = α(g1 g2 , m) hay g1 .(g2 .m) = (g1 g2 ).m.
b) α(e, m) = m, hay e.m = m, với mọi g1 , g2 ∈ G, m ∈ M .
Nhận xét 1.3.5.
a) Với mỗi g ∈ G, ánh xạ

αg : M −→
M
m −→ αg (m) = g.m
là một song ánh và ánh xạ ngược αg−1 = αg−1 .
b) Gọi bij (M ) là tập các song ánh từ M vào chính nó, thì bij (M ) là nhóm với
phép hợp thành các ánh xạ.
Khi đó:
α : G −→ bij (M )
g −→ αg : M −→ M
là một đồng cấu nhóm.
Ngược lại, bất kì đồng cấu nhóm α : G → bij (M ) đều dẫn đến một tác
động trái duy nhât của G lên M :
α : G × M −→
M
(g, m)
−→ α(g, m) = g.m.

15


Định nghĩa 1.3.9. Cho G là nhóm Lie, M là đa tạp và tác động trái α của
G lên M . Ta gọi α là tác động trái trơn nếu ánh xạ α là trơn.
Một đa tạp trơn M cùng với một tác động (trái) trơn của G được gọi là
một G−đa tạp trơn.
Trường hợp G là nhóm tôpô. Khi đó α : G × M −→ M được gọi là tác động
liên tục nếu α là ánh xạ liên tục.
Cho M là G−đa tạp trơn, với x ∈ M , Gx = {g ∈ G|gx = x} là một nhóm
con đóng của G và được gọi là nhóm con ổn định tại x của G.
Định nghĩa 1.3.10. Cho M là G−đa tạp trơn. Khi đó, tác động G lên M
được gọi là bắc cầu nếu, với mọi x, y ∈ M , tồn tại g ∈ G sao cho y = g.x.

Với x ∈ M , ta có: Gx = {gx|g ∈ G} được gọi là quỹ đạo qua x của M .
Từ định nghĩa ta có: M =

Gx.
x∈M

Khi đó, tác động của G là bắc cầu nếu và chỉ nếu M = Gx, ∀x ∈ M .
Định nghĩa 1.3.11. Cho G là nhóm Lie, M là G- đa tạp trơn, α là tác đông
trái của G lên M và g là đại số Lie của G. Lúc đó với mỗi X ∈ g ta có
αX : M −→

TM

m −→ αX (m) =

d
dt

exp(tX).m ∈ Tm M
t=0

là trường vectơ trơn trên M .
Tác động trái của một nhóm Lie G lên một đa tạp M có thể cảm sinh các
tác động tương ứng lên phân thớ tiếp xúc và phân thớ đối tiếp xúc của M .
Điều này thể hiện trong các định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.3.12. ([4], Definition B.5.1) Cho Φ : G × M −→ M là tác động
trái. Phép nâng tiếp xúc tác động của G lên phân thớ tiếp xúc T M là một tác
động của G lên T M xác định bởi:
G × T M −→
(g, v)

TM

−→ gv = Tx Φg (g, v),

với v ∈ Tx M, Φg : M −→ M, x −→ Φg (x) = Φ(g, x).
Định nghĩa 1.3.13. ([4], Definition B.5.2) Phép nâng đối tiếp xúc tác động
của G lên phân thớ đối tiếp xúc T ∗ M là một tác động của G lên T ∗ M xác định
bởi:
G × T ∗ M −→
T ∗M
(g, ξ)
−→ gξ = (Tm Φg−1 )(ξ), với ξ ∈ Tm∗ M.
16


Chương 2

Quỹ đạo đối liên hợp và cấu
trúc symplectic
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu về quỹ đạo đối liên hợp của nhóm
Lie liên thông, compact và tìm hiểu về cấu trúc symplectic của quỹ đạo đó.
Thông qua tác động symplectic của nhóm Lie lên đa tạp symplectic, chúng tôi
giới thiệu tác động Hamilton được xác định bởi một ánh xạ moment J của đa
tạp symplectic. Từ đó chúng tôi thể hiện chúng trên nhóm Lie trực giao đặc
biệt SO(3). Các kiến thức trong chương này được tham khảo từ các tài liệu
[2],[3],[5],[8].
2.1

Tác động đối liên hợp và quỹ đạo

1.2.1

Tác động liên hợp của nhóm Lie

Cho G là một nhóm Lie với đại số Lie g = Te G. Xét biểu diễn liên hợp của
G lên g được xác định như sau:
Ad : G −→ GL(g)
g −→ Adg : g −→

g

X −→ Adg X =

d
dt

g.exp(tX).g −1 .
t=0

Khi đó, ta có thể xem ánh xạ Ad là một tác động của nhóm Lie G lên g.
Định nghĩa 2.1.1. Tác động của nhóm Lie G lên g xác định bởi công thức
Ad : G × g −→

g

(g, X) −→ g.X := Adg X =

d
dt

g.exp(tX).g −1
t=0

được gọi là tác động liên hợp của G lên g.
Bổ đề 2.1.1. Cho g ∈ G, ánh xạ Adg : g → g là một đẳng cấu tuyến tính.
Hơn nữa,
Ad : G −→ GL(g)
là đồng cấu nhóm Lie.
17


Chứng minh. Ta sẽ chứng minh Adg là đẳng cấu tuyến tính và Ad là đồng cấu
nhóm Lie.
a) Chứng minh Adg là đẳng cấu tuyến tính.
Xét sơ đồ giao hoán sau:

Cg

G
expG

✲

✻

g

G
✻

exp

Te Cg

✲

G

g

Với mỗi X ∈ g ta có
Te (Cg )(X) =

d
dt

Cg .exp(tX).Cg−1 =
t=0

d
dt

Cg ◦ exp(tX).
t=0

Mặt khác: Với mọi X ∈ g ta có:
Adg (X) =

d
dt

Cg ◦ exp(tX) = Te (Cg )(X).
t=0

Suy ra: Adg = Te (Cg ) và ta thấy rằng Adg : Te G −→ Te G tuyến tính.
Vì Cgh = Cg ◦ Ch , ∀g, h ∈ G nên Ad(gh) = Adg ◦ Adh , ∀g, h ∈ G.
Hơn nữa (Ad(g))−1 = (Te (Cg ))−1 = (Te (Cg−1 ) = Ad(g −1 ).
Vậy Adg là đẳng cấu tuyến tính.
b) Chứng minh Ad là đồng cấu nhóm Lie.
Với mọi g1 , g2 ∈ G, ta có
Ad(g1 g2 ) = Te (Cg1 g2 ) = Te (Cg1 ◦ Cg2 ) = Te (Cg1 ) ◦ Te (Cg2 ) = Ad(g1 ) ◦ Ad(g2 ).
Suy ra Ad là đồng cấu nhóm.
Mặt khác: ∀X ∈ Te G tác động G × R → G sao cho (g, t) → g.exp(tX).g −1
là tác động trơn(do ánh xạ exp và Cg là trơn).
d
g.exp(tX).g −1 là trơn.
Lấy đạo hàm tại t = 0 ta có Adg (X) =
dt t=0
Nên suy ra:
Ad : G −→ GL(g)
g −→ Adg : g −→

g

X −→ Adg X.
là ánh xạ trơn.
Vậy Ad là đồng cấu nhóm Lie.

18

1.2.2

Tác động đối liên hợp và quỹ đạo

Cho G là một nhóm Lie compact, liên thông và g = Te G là đại số Lie tương
ứng.
Định nghĩa 2.1.2. Tập hợp {ξ : g −→ R là ánh xạ tuyến tính} là không gian
vectơ và được gọi là không gian đối ngẫu của g, kí hiệu g∗ .
Một cách tự nhiên, từ biểu diễn liên hợp Ad của nhóm Lie G cảm sinh một
biểu diễn Ad∗ của G trên không gian đối ngẫu g∗ của đại số Lie g.
Biểu diễn này gọi là biểu biểu diễn đối liên hợp của nhóm Lie và được định
nghĩa như dưới đây.
Ánh xạ trơn được xác định như sau:
Ad∗ : G −→ GL(g∗ )
g −→ Ad∗g : g∗ −→

g∗

ξ −→ Ad∗g ξ = ξ ◦ Adg−1 .
gọi là biểu diễn đối liên hợp của nhóm Lie G trên không gian đối ngẫu g∗ .
Khi đó, ta có thể xem ánh xạ Ad∗ là một tác động của nhóm Lie G lên g∗ .
Định nghĩa 2.1.3. Tác động của nhóm Lie G lên g∗ xác định bởi công thức
Ad∗ : G × g∗ −→

g∗

(g, ξ) −→ g.ξ := Ad∗g ξ = ξ ◦ Adg−1 .
được gọi là tác động đối liên hợp của G lên g∗ .
Nhận xét 2.1.1. Với g∗ là không gian đối ngẫu của g ta định nghĩa tích trong

trên g∗ × g như sau:
., . : g∗ × g −→

R

(ξ, X) −→ ξ, X = ξ(X).
Khi đó với mọi Ad∗g ξ ∈ g∗ , X ∈ g ta có:
Ad∗g ξ, X = Ad∗g ξ(X).
Hơn nữa,
−1
Ad∗g ξ(X) = ξ ◦ Adg−1 (X) = ξ(Ad−1
g (X)) = ξ, Adg (X) .
Vậy với mọi ξ ∈ g∗ và X ∈ g ta có Ad∗g ξ, X = ξ, Ad−1
g (X) .

Định nghĩa 2.1.4. Quỹ đạo của tác động đối liên hợp qua ξ ∈ g∗ là
Oξ = G.ξ = {g.ξ = Ad∗g ξ = ξ ◦ Adg−1 | ∀g ∈ G} ⊂ g∗ .
19


Mệnh đề 2.1.2. Không gian tiếp xúc của Oξ là
Tξ Oξ = {−ξ ◦ adX | X ∈ g}.
Chứng minh. Xét γ : R −→ G là đường cong trơn, với mỗi t ∈ R ta xác định
γ(t) = exp(tX), trong trường hợp này γ (0) = X.
Đặt µ(t) = ξ ◦ Adγ(t)−1 là đường cong trơn với giá trị trong Oξ ⊂ g∗ , tức là
µ : R −→

Oξ

t −→ µ(t) = ξ ◦ Adγ(t)−1 .

Hơn nữa: µ(0) = ξ ◦ Adγ(0)−1 = ξ ◦ Ad1G = ξ.
Nếu Y ∈ g thì µ(t)(Y ) = ξ ◦ Adγ(t)−1 (Y ), ∀t ∈ R.
Suy ra:

d
dt

µ(t)(Y ) =
t=0

d
dt

ξ(Adγ(t)−1 (Y )).
t=0

Do đó: µ (0)(Y ) = ξ(Ad−X (Y )) = ξ([−X, Y ]) = −ξ([X, Y ]) = −ξ(adX (Y )).
Vậy
Tξ Oξ = {−ξ ◦ adX | ∀X ∈ g}.

2.2

Cấu trúc symplectic của quỹ đạo đối liên hợp

Từ phép chứng minh mệnh đề 2.1.2 ta có với mọi X thuộc g, trường vectơ
cơ sở của tác động đối liên hợp sinh ra bởi X là hàm Xg∗ : g∗ −→ Tξ g∗ sao cho
ξ −→ Xg∗ (ξ) ∈ Tξ g∗ xác định bởi công thức:
Xg∗ (ξ) =

d

dt

Ad∗exp(tX) (ξ) = −ξ ◦ adX .
t=0

Suy ra: Tξ Oξ = {Xg∗ (ξ), X ∈ g} và Xg∗ (ξ)(Y ) = −ξ([X, Y ]), ∀Y ∈ g.
Nhận xét 2.2.1. Nếu X, X ∈ g thỏa Xg∗ (ξ) = Xg∗ (ξ) thì
−ξ([X, Y ]) = Xg∗ (ξ)(Y ) = Xg∗ (ξ)(Y ) = −ξ([X , Y ]).
Từ nhận xét trên ta định nghĩa một 2-dạng ω − trên quỹ đạo đối liên hợp
O = Oξ , ∀ξ ∈ g∗ được xác định như sau:
ω − : Oξ −→ ∧2 (Tξ Oξ )
ξ −→ ωξ− : Tξ Oξ × Tξ Oξ −→

R

(Xg∗ (ξ), Yg∗ (ξ)) −→ ω − (Xg∗ (ξ), Yg∗ (ξ)) = −ξ([X, Y ]).
20


Định nghĩa 2.2.1. 2-dạng ω − trên quỹ đạo đối liên hợp Oξ , ∀ξ ∈ g∗ được xác
định như trên được gọi là 2 - dạng Kirilov trên quỹ đạo Oξ .
Bổ đề 2.2.1. 2 - dạng Kirilov ω − trên quỹ đạo đối liên hợp Oξ là không suy
biến.
Chứng minh.
Nếu ω − (Xg∗ (ξ), Yg∗ (ξ)) = 0, ∀Yg∗ (ξ) ∈ Tξ Oξ thì −ξ([X, Y ]) = 0, ∀Y ∈ g.
Do đó: Xg∗ (ξ)(Y ) = −ξ([X, Y ]) = 0, ∀Y ∈ g, suy ra: Xg∗ (ξ) = 0.
Vậy 2 - dạng Kirilov ω − trên quỹ đạo đối liên hợp Oξ là không suy biến.
Bổ đề 2.2.2. ([8],Lemma 4.5) (Adg (X))g∗ = Ad∗g ◦ Xg∗ ◦ Ad∗g−1 , ∀X ∈ g, g ∈ G.
Chứng minh.
Xét γ : R −→ G là đường cong trơn, với γ (0) = X.

Trong trường hợp này, chẳng hạn với mỗi t ∈ R ta xác định γ(t) = exp(tX)
d
g.γ(t).g −1 .
thì Adg (X) =
dt t=0
Do đó:
d
dt
d
=
dt
d
=
dt

Ad∗exp(Adg X) (ξ)

(Adg (X))g∗ (ξ) =

t=0

Ad∗g.γ(t).g−1 (ξ)
t=0

(Ad∗g ◦ Ad∗γ(t) ◦ Ad∗g−1 )(ξ) (vì Ad∗ là một đồng cấu nhóm)
t=0

d
Ad∗
◦ Ad∗g−1 )(ξ)

dt t=0 exp(tX)
= (Ad∗g ◦ Xg∗ ◦ Ad∗g−1 )(ξ).

= (Ad∗g ◦

Vậy (Adg (X))g∗ = Ad∗g ◦ Xg∗ ◦ Ad∗g−1 , ∀X ∈ g, g ∈ G.
Bổ đề 2.2.3. ([8],Lemma 4.6) 2 - dạng Kirilov ω − trên quỹ đạo đối liên hợp
Oξ là Ad∗ - bất biến.
Chứng minh.
Lấy ξ ∈ g∗ và ν = Ad∗g (ξ), ∀g ∈ G, theo bổ đề 2.2.2 ta có:
(Adg (X))g∗ (ν) =
=
=
=
=

(Ad∗g ◦ Xg∗ ◦ Ad∗g−1 )(Ad∗g (ξ))
(Ad∗g ◦ Xg∗ ◦ (Ad∗g−1 (Ad∗g )(ξ))
Ad∗g ◦ (Xg∗ ◦ (Ad∗g−1 ◦ Ad∗g )(ξ))
Ad∗g ◦ (Xg∗ (IdAd∗ (ξ))
Ad∗g (Xg∗ (ξ)).
21


Với mọi X, Y ∈ g ta có:
−
∗
∗
ωAd
∗ (ξ) ((Adg )∗ (Xg∗ (ξ)), (Adg )∗ (Yg∗ (ξ)))

g
−
∗
∗
ωAd
∗ (ξ) (Adg (Xg∗ (ξ)), Adg (Yg∗ (ξ)))
g
Ad∗g ◦ (Xg∗ (ξ))
ων− (Adg (X))g∗ (ν), Adg (Y ))g∗ (ν))
−ν([Adg (X), Adg (Y )])
−ν(Adg ([X, Y ]))
−Ad∗g (ξ)(Adg ([X, Y ]))
−ξ ◦ Adg−1 (Adg ([X, Y ]))
−ξ ◦ ([X, Y ])
−ξ([X, Y ])
ωξ− (Xg∗ (ξ), Yg∗ (ξ)).

((Ad∗g )∗ ω − )ξ (Xg∗ (ξ), Yg∗ (ξ)) =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=

Suy ra: ((Ad∗g )∗ ω − )ξ = ωξ− , do đó 2 - dạng Kirilov ω − trên quỹ đạo đối liên hợp

Oξ là Ad∗ - bất biến.
Với mỗi ν = Ad∗g (ξ) = −ξ ◦ Adg−1 ∈ g∗ = Tg∗ G ta định nghĩa 1-dạng vi
phân νL trên G sao cho: (νL )g = ν ◦ (Lg−1 )∗g . Từ đó, ta có sơ đồ giao hoán:
(Lg−1 )∗g

g

✲

g

❅

ν
(νL )g ❅
❘ ❄
❅

R
Trong đó, (Lg−1 )∗g là ánh xạ cảm sinh của ánh xạ Lg−1 sao cho sơ đồ sau
giao hoán:
Lg−1
✲ G
G
exp

✻

g

✻
exp

(Lg−1 )∗g

✲

g

Bổ đề 2.2.4. 1-dạng vi phân νL trên G là bất biến trái.
Chứng minh. Ta cần chứng minh: (L∗h νL )g = (νL )g , ∀h ∈ G.
Thật vậy, ta có: (L∗h νL )g =
=
=
=
=
=
=

(νL )Lh (g) ◦ (Lh )∗g
(νL )hg ◦ (Lh )∗g
ν ◦ (Lg−1 h−1 )∗hg ◦ (Lh )∗g (vì (νL )g = ν ◦ (Lg−1 )∗g )
ν ◦ (Lg−1 h−1 ◦ Lh )∗g
−1
ν ◦ (L−1
g ◦ Lh ◦ Lh )∗g
ν ◦ (L−1
g )∗g
(νL )g .
22