BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗⋄⋄⋄∗∗∗∗∗∗

VÕ TÔN ANH

PHƯƠNG PHÁP WAVELET
GALERKIN TRONG VIỆC GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01 02

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
TS. LÊ THỊ NHƯ BÍCH

Huế, năm 2016


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên
cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên
cứu trong Luận văn là trung thực.
Võ Tôn Anh

ii


Lời cảm ơn

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS.
Lê Thị Như Bích, người đã hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn
thành Luận văn này, cũng như thời gian cô giảng dạy
tại lớp Cao học Toán Giải tích khóa XXIII. Tôi cũng
xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy, cô đã nhiệt tâm
giảng dạy trong suốt thời gian học tại khoa Toán, trường
Đại học Sư phạm Huế.
Cuối cùng, xin cảm ơn các anh, chị học viên Cao
học khóa XXIII đã giúp đỡ, ủng hộ tôi trong quá trình
học tập cũng như thực hiện Luận văn này!
Võ Tôn Anh

iii


Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Danh mục ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


4

Lời nói đầu
Chương 1

5
Một số kiến thức chuẩn bị

8

1.1

Phân tích đa phân giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Cơ sở wavelet trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3

Hàm tỷ lệ Daubechies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4

Hệ số liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5

Tích chập rời rạc [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18


Chương 2

Phương pháp wavelet Galerkin trong việc giải phương

trình vi phân
2.1

2.2

8

20

Giải phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1

Phương pháp wavelet Galerkin đối với hàm một biến [4] . 20

2.1.2

Nghiệm wavelet Galerkin đối với bài toán tuần hoàn [2] . . 21

2.1.3

Nghiệm wavelet Galerkin với cách tiếp cận biên mở rộng [2] 24

2.1.4

Nghiệm wavelet Galerkin với hàm Green [2] . . . . . . . . 26


Giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính [5] . . . . . . . . . . 28
2.2.1

Phương pháp wavelet Galerkin đối với hàm hai biến . . . . 28

2.2.2

Nghiệm wavelet Galerkin đối với bài toán tuần hoàn . . . 29

2.2.3

Nghiệm wavelet Galerkin với điều kiện biên . . . . . . . . 32
1


Chương 3

Áp dụng phương pháp wavelet Galerkin để giải một

số bài toán cụ thể

35

3.1

Phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2


Phương trình nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

43

Phụ lục

P1

2


Danh sách hình vẽ
1.1

Hàm tỷ lệ và wavelet Daubechies cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2

Hàm tỷ lệ và wavelet Daubechies cấp 3 . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1

Đồ thị nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ của phương trình sóng
với N = 6, j = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


3.2

Đánh giá sai số với N = 6, j = 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3

Đồ thị nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ của phương trình sóng
với N = 12, j = 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4

Đánh giá sai số với N = 12, j = 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5

Đồ thị nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ của phương trình nhiệt
với N = 6, j = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6

Đánh giá sai số với N = 6, j = 6

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41



Danh mục ký hiệu
C, R, Z, N

tập hợp các số phức, số thực, số nguyên, số tự nhiên

Rn

không gian Euclide n–chiều

X ∗Y

tích chập rời rạc của hai vectơ X và Y

f, g

tích vô hướng giữa hai hàm f và g

∂S

biên của tập S

δi,j

ký hiệu Kronecker

AT

ma trận chuyển vị của ma trận A

F ⊗G


tích ten-xơ của hai tập F và G

L2 (X)

không gian các hàm bình phương khả tích trên X

ℓ2

không gian các dãy số bình phương khả tổng

V ⊕W

tổng trực giao của V và W

V ⊥W

hai không gian V và W trực giao với nhau

f, X

biến đổi Fourier của hàm f , vectơ X

φ, ψ

hàm sinh MRA, hàm wavelet

φ L , ψL

hàm tỷ lệ, hàm wavelet Daubechies cấp L


(h(m))m∈Z , H(z)

mặt nạ, biểu tượng của hàm tỷ lệ

HL(z)

hàm lọc Daubechies cấp L

2
Ωkd11 ,d
,k2 , Ωl−k , Ωl−k

hệ số liên kết

4


Lời nói đầu
Trong thực tế, nhiều bài toán vật lý, kỹ thuật thường dẫn đến việc giải các
phương trình vi phân, mà việc chứng minh tồn tại nghiệm và biểu diễn tường
minh nghiệm của các phương trình này theo công cụ Giải tích thuần túy chỉ có
thể áp dụng trong một số ít bài toán. Thực tế đặt ra nhiều bài toán mà việc
biểu diễn tường minh nghiệm của phương trình là không thể hoặc rất phức tạp,
hoặc đôi khi là không cần thiết. Khi đó ta có thể tìm nghiệm gần đúng (nghiệm
số - numerical solution) của phương trình trong các điều kiện sai số cho phép
dựa trên các phương pháp số (numerical methods). Các phương pháp số thường
dùng để giải phương trình vi phân là phương pháp sai phân hữu hạn (FDM),
phương pháp thể tích hữu hạn (FVM), phương pháp phần tử hữu hạn (FEM),
phương pháp đặc trưng và phương pháp wavelet. Trong các phương pháp này,

phương pháp wavelet là sự kết hợp của các phương pháp FDM, FVM và FEM
nên có nhiều ưu điểm vượt trội trong việc giải xấp xỉ phương trình vi phân.
Lý thuyết wavelet được đặt nền móng từ năm 1807, khi Fourier phát triển
phương pháp thay thế một tín hiệu bằng chuỗi hệ số dựa trên các hàm giải
tích, sau đó được A. Haar, J. Morlet, A. Grossmann, sau đó là S. Mallat và Y.
Meyer phát triển lên. Khoảng năm 1998, I. Daubechies sử dụng phân tích đa
phân giải của wavelet để tạo ra họ các wavelet Daubechies có giá compact, trực
giao, chính quy và liên tục. Các hàm wavelet Daubechies này là các hàm cơ sở
trong phương pháp wavelet Galerkin mà ta sẽ tìm hiểu trong đề tài.
Xét bài toán biên Dirichlet
Lu := u′′ (x) + a1 (x)u′ (x) + a2 (x)u(x) = f (x), x ∈ [0, 1],
u(0) = a, u(1) = b,
trong đó a1 , a2 và f liên tục trên [0, 1].

5

(0.1)


Trong không gian Hilbert L2 ([0, 1]), ta có tích vô hướng
1

f, g =
0

f (x)g(x)dx, f, g ∈ L2 ([0, 1]).

Giả sử {vi , i ∈ I} là hệ trực giao đầy đủ của L2 ([0, 1]) sao cho mỗi vi thuộc

lớp C 2 trên [0, 1] và vi (0) = a, vi (1) = b.


Chọn tập hữu hạn Λ các chỉ số i, ta đặt S = {vi , i ∈ Λ} và
uS =
i∈Λ

αi vi ∈ S.

Giả sử uS là nghiệm của phương trình (0.1), nghĩa là LuS = f , suy ra
LuS , vi = f, vi ∀i ∈ Λ,
từ đó dẫn đến việc giải hệ phương trình tuyến tính ẩn là các αk . Với mỗi tập Λ
như vậy, ta có một nghiệm xấp xỉ uS trong S. Bằng cách tăng tập chỉ số này lên,
ta được các nghiệm uS hội tụ về nghiệm u chính xác của phương trình (0.1). Đó
là ý tưởng cơ bản của phương pháp Galerkin.
Các hàm vi , i ∈ Λ, ở trên được gọi là các hàm thử. Trong phương pháp

wavelet Galerkin, ta thay các hàm Daubechies cho các hàm thử ở trên. Nhờ có

sự liên kết hệ số ở các hàm Daubechies mà nghiệm số của phương trình được
tìm ra nhanh chóng.
Việc tổng hợp lại các kết quả nghiên cứu về phương pháp wavelet Galerkin
trong việc giải phương trình vi phân giúp chúng ta hiểu rõ hơn về nó, cũng như
lý thuyết wavelet và ứng dụng trong thực tế. Xuất phát từ những lý do trên, tôi
lựa chọn đề tài “Phương pháp wavelet Galerkin trong việc giải phương trình vi
phân” để nghiên cứu trong luận văn của mình.
Luận văn được trình bày trong ba chương. Chương 1 trình bày kiến thức
cơ sở để xây dựng phương pháp wavelet Galerkin, bao gồm phân tích đa phân
giải, cơ sở wavelet trực chuẩn, hàm tỷ lệ Daubechies, hệ số liên kết và tích chập
rời rạc. Các kết quả trong chương này được chủ yếu dựa trên các tài liệu [1]
và [6]. Chương 2 trình bày nội dung chính của Luận văn, đó là việc áp dụng
phương pháp wavelet Galerkin trong việc giải các phương trình vi phân thường

6


và phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cùng các dạng của nghiệm wavelet
Galerkin dựa trên các tài liệu [2], [4], [5]. Chương 3 đưa ra một số ví dụ cụ thể
nhằm minh họa các kết quả ở chương 2.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song quá trình nghiên cứu và trình bày không
thể tránh khỏi sai sót, mong quý độc giả góp ý thêm để Luận văn được hoàn
thiện hơn.

7


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Xét không gian L2 (R) = {f : R → R |
f, g =
R

R |f (x)|

2

dx < ∞}, với tích vô hướng

f (x)g(x)dx, f, g ∈ L2 (R).

1.1 Phân tích đa phân giải
Định nghĩa 1.1.1. ([1]) Cho hàm ψ ∈ L2 (R), ta định nghĩa các hàm ψn,m như


sau:

ψn,m(x) := 2n/2 ψ(2nx − m), n, m ∈ Z.
ψ được gọi là một wavelet trực chuẩn nếu hệ {ψn,m}n,m∈Z là một cở sở trực

chuẩn của L2 (R). Cơ sở {ψn,m }n,m∈Z được sinh bởi hàm ψ được gọi là một cở
sở wavelet trực chuẩn.
Để tìm một cơ sở wavelet, ta cần xây dựng một phân tích đa phân giải và
một hàm sinh MRA (hàm mẹ).
Định nghĩa 1.1.2 (Phân tích đa phân giải [1]). Một phân tích đa phân giải
(multiresolution analysis – MRA) của không gian L2 (R) là một dãy các không
gian con của L2 (R) lồng vào nhau
. . . ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ . . .
thỏa mãn các điều kiện sau:
i)

j∈Z

Vj = 0,
8


ii)

j∈Z

Vj = L2 (R),

iii) f (·) ∈ Vj khi và chỉ khi f (2·) ∈ Vj+1 ,
iv) tồn tại hàm φ ∈ V0 sao cho {φ(· − m)}m∈Z là cơ sở tuyệt đối của V0 , tức là

{φ(· − m)}m∈Z là cơ sở của V0 , đồng thời tồn tại các hằng số dương A, B

sao cho với mọi dãy (cn )n∈Z ∈ ℓ2 , ta có
2

|cn | ≤

A
n∈Z

n∈Z

2

≤B

cn φ(· − n)

n∈Z

|cn |2 .

(1.1)

Điều kiện (1.1) được gọi là điều kiện ổn định và hàm φ thỏa mãn điều kiện
ổn định được gọi là hàm ổn định.
Mỗi không gian con Vj được gọi là phân giải thứ j của L2 (R).
Định lý 1.1.1. ([1]) Hàm φ ∈ L2 (R) thỏa mãn điều kiện ổn định (1.1) khi và
chỉ khi
φ(ω + 2kπ)


ess inf
ω∈R

> 0,

k∈Z

φ(ω + 2kπ)

ess sup
ω∈R

2

2

< +∞.

k∈Z

Hàm φ trong Định nghĩa 1.1.2 trên được gọi là hàm sinh MRA. Hơn nữa,
nếu {φ(· − m)}m∈Z là cơ sở trực chuẩn của V0 thì φ được gọi là hàm sinh MRA
trực chuẩn.

Vì φ ∈ V0 ⊂ V1 nên ta có biểu diễn của φ theo cơ sở của V1 là
φ(x) = 2
m∈Z

h(m)φ(2x − m), (h(m))m∈Z ∈ ℓ2 .


(1.2)

Phương trình (1.2) được gọi là phương trình tỷ lệ hai.
Định nghĩa 1.1.3. ([1]) Hàm φ ∈ L2 (R) thỏa mãn phương trình tỷ lệ hai (1.2)
được gọi là hàm tỷ lệ. Dãy hệ số (h(m))m∈Z được gọi là mặt nạ (mask) của φ và

chuỗi
h(m)z m

H(z) :=
m∈Z

được gọi là biểu tượng (symbol ) của φ.
9


Nếu {φ(· − m)}m∈Z là hệ trực chuẩn thì φ được gọi là hàm tỷ lệ trực chuẩn.

Trong phương trình (1.2), thực hiện phép biến đổi Fourier hai vế ta được
φ(ω) = H(e−iω/2 )φ

ω
2

(1.3)

và phương trình (1.3) được gọi là phương trình tỷ lệ hai theo miền tần số.

1.2 Cơ sở wavelet trực chuẩn

Sau khi xây dựng được một phân tích đa phân giải và hàm sinh MRA φ của
L2 (R), tiếp theo ta xây dựng hàm wavelet trực chuẩn cùng cơ sở wavelet trực
chuẩn của L2 (R). Bây giờ, giả sử một phân tích đa phân giải tương ứng với hàm
sinh MRA trực chuẩn φ là
. . . ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ . . .
Gọi W0 là phần bù trực giao của V0 trong V1 , nghĩa là
V 0 ⊕ W0 = V 1 , V 0 ⊥ W0 ,
và Wj là không gian con của L2 (R) có tính chất
g(·) ∈ Wj ⇐⇒ g(2−j ·) ∈ W0 , j ∈ Z.
Từ đó, suy ra
Vj ⊕ Wj = Vj+1 , Vj ⊥ Wj , j ∈ Z.
Do đó
Wj = L2 (R).
j∈Z

Dựa vào tính chất của các không gian Wn , ta suy ra được {ψn,m}m∈Z là cơ

sở trực chuẩn của Wn khi và chỉ khi {ψm }m∈Z là cơ sở trực chuẩn của W0 , với

ψm := ψ0,m . Như vậy, việc xây dựng cơ sở wavelet trực chuẩn của L2 (R) tương
đương với việc tìm một cơ sở wavelet trực chuẩn của W0 . Bổ đề sau giúp ta xây
dựng cơ sở wavelet trực chuẩn của W0 từ hàm sinh MRA trực chuẩn.

10


Bổ đề 1.2.1. ([1]) Cho hàm sinh MRA trực chuẩn φ thỏa mãn phương trình tỷ
lệ hai
φ(x) = 2
k∈Z


h(k)φ(2x − k), (hk )k∈Z ∈ ℓ2 .

(1.4)

g(k)φ(2x − k),

(1.5)

Ta định nghĩa hàm ψ như sau:
ψ(x) := 2
k∈Z

với g(k) = (−1)k h(2l + 1 − k), l là số nguyên nào đó.
Khi đó, {ψm }m∈Z là cơ sở wavelet trực chuẩn của W0 .
Việc chứng minh bổ đề này được chia thành ba bước. Đầu tiên, chứng minh
R ψ(x

− k)ψ(x) = δ0,k . Tiếp theo, ta chứng minh {ψm }m∈Z ⊂ W0 . Để chứng

minh ψm ∈ W0 , m ∈ Z, ta chỉ cần chỉ ra ψ ∈ W0 , hay

R φ(x

− k)ψ(x)dx = 0

với mọi k ∈ Z. Cuối cùng, ta chứng tỏ {ψm }m∈Z là cơ sở của W0 . Để làm được

điều này, ta chứng tỏ {ψm }m∈Z ∪ {φm }m∈Z (φm := φ0,m) là một cơ sở của V1 ,


bằng cách biểu diễn tuyến tính φ(2x) và φ(2x − 1) theo {ψm }m∈Z và {φm }m∈Z .
Chứng minh chi tiết của bổ đề này có thể tham khảo trang 211 trong [1].
Từ Bổ đề 1.2.1, ta rút ra được định lý sau:
Định lý 1.2.1. ([1]) Cho φ là hàm sinh MRA trực chuẩn thỏa mãn phương
trình tỷ lệ hai (1.4) và hàm ψ được định nghĩa trong (1.5). Khi đó, ψ là hàm
wavelet trực chuẩn.
Như vậy, nếu tìm được một dãy (h(m))m∈Z sao cho phương trình (1.2) có
nghiệm, ta sẽ tìm được hàm φ, từ đó tìm được hàm wavelet tương ứng. Ở phần
tiếp theo, ta sẽ tìm hiểu dãy hữu hạn (h(m))m sinh ra wavelet Daubechies.

1.3 Hàm tỷ lệ Daubechies
Định lý 1.3.1. ([1]) Nếu hàm tỷ lệ φ ∈ L2 (R) thỏa mãn phương trình
N

φ(x) = 2
k=0

hk φ(2x − k)

thì supp φ = [0, N ].
11


Giả sử φ là hàm sinh MRA trực chuẩn và biểu tượng của φ là H(z) =
N
k=0

hk z k , z = e−iω , ω ∈ R. Ta có
|H(z)|2 + |H(−z)|2 = 1, z ∈ C \ {0}.


Dựa vào Hệ quả 1.3.1 thì đa thức H(z) có một nhân tử là
H(z) =

1+z
, do đó
2

L

1+z
2

q(z), L ≥ 1,

trong đó q(z) là đa thức có tính chất q(1) = 1, q(−1) = 0. Các hệ số hk là thực
nên ta được
1
z

|H(z)|2 = H(z)H

, z ∈ C \ {0}.

Đặt P (z) := |H(z)|2 thì
P (z) + P (−z) = 1, z ∈ C \ {0}
và
P (z) = H(z)H

1
z


1 + e−iω
=
2
ω
= cos2
2

Đặt y = sin2

(1.6)

L

L

1 + eiω
2

L

q(e−iω )q(eiω )

q(e−iω )q(eiω ).

ω
ω
, để ý rằng cos2 = 1 − y và cos ω = 1 − 2y nên
2
2

q(e−iω )q(eiω ) = B(y),

trong đó B(y) là đa thức theo y.
Từ đó, P (e−iω ) = (1 − y)LB(y) và P (−e−iω ) = y L B(1 − y), kết hợp với (1.6)

ta được

(1 − y)LB(y) + y L B(1 − y) = 1.
Bổ đề sau giúp ta tính được B(y).
Bổ đề 1.3.1. ([1]) Đa thức B(y) trong (1.7) được cho bởi công thức
B(y) = BL (y) + y LR
12

1
−y ,
2

(1.7)


trong đó
L−1

L+k−1 k
y
k

BL (y) =
k=0


và R(y) là đa thức được chọn sao cho B(y) ≥ 0 với mọi y ∈ [0, 1].
Về sau, ta xét trường hợp đặc biệt R(y) ≡ 0, khi đó
|H(z)|2 = P (e−iω ) = (1 − y)L BL (y).
Để tránh nhầm lẫn, ta ký hiệu HL (z) thay cho H(z) và PL (z) thay cho P (z).
1 + z 1 + z −1
2 ω
·
và y =
Trở lại với cách đặt y = sin , suy ra 1 − y =
2
2
2
1 − z 1 − z −1
·
, do đó
2
2
PL (z) =
với

L−1

ML (z) =
k=0

1+z
2

L


1 + z −1
2
1−z
2

L+k−1
k

Như vậy, ta được
HL (z) =

1+z
2

L

ML (z),
k

1 − z −1
2

k

.

L

qL(z),


trong đó qL (z) thỏa mãn |qL (z)|2 = ML (z).

1
= ML (z),
z
qL (1) = 1, qL (z) = 0 và cách tính qL (z), ta sử dụng bổ đề Riesz sau:
Để chỉ ra sự tồn tại của qL (z) với các tính chất qL (z)qL

Bổ đề 1.3.2 (Bổ đề Riesz [1]). Giả sử R(z) là đa thức Laurent với hệ số thực
1
thỏa mãn R(z) = R
và R(z) ≥ 0 với mọi z ∈ Γ. Lúc đó, tồn tại đa thức
z
hệ số thực c(z) sao cho
R(z) = c(z)c

1
z

, z ∈ C \ 0.

Chứng minh. R(z) là đa thức Laurent nên R(z) =

N
k=−N

ak z k , với các ak ∈ R.

Để ý rằng R(z) có 2N nghiệm phức, và nếu z0 ∈ R là nghiệm của R(z) thì z0
1

cũng là nghiệm
cũng là nghiệm của R(z), nếu z0 = ±1 là nghiệm của R(z) thì
z0

13


của R(z). Vì R(z) ≥ 0 với mọi z ∈ Γ nên mọi nghiệm trên Γ đều là nghiệm bội

chẵn. Ta phân tích R(z) thành nhân tử như sau

R(z) = aN z −N P1 (z)P2 (z),
trong đó
M

P1 (z) =
i=1

(z − zi )(z − zi )(z − zi−1 )(z − zi −1 ), zi ∈ Γ,

J

K

P2 (z) =
j=1

(z − e

iωj 2


) (z − e

−iωj 2

)

k=1

(z − rk )(z − rk−1 ), ωj , rk ∈ R.

Ta thấy với z ∈ Γ thì
|(z − zi )(z − zi −1 )| = |zi |−1 |z − zi |2 , (z − rk )(z − rk−1 ) = |rk |−1 |z − rk |2 .
Từ đó suy ra
2

M

R(z) = |R(z)| = C 2
với C =
Đặt

|aN |

i=1

(z − zi )(z − zi )

M
−2

i=1 |zi |

K
k=1

i=1

j=1

(z − eiωj )(z − e−iωj )

2

K
k=1

(z − rk ) ,

|rk |−1 .

M

c(z) := C

2

J

J


(z − zi )(z − zi )

K

j=1

(z − e

iωj

)(z − e

−iωj

)
k=1

(z − rk )

thì c(z) là đa thức hệ số thực và R(z) = |c(z)|2 , z ∈ Γ.
1
.
Vậy R(z) = c(z)c
z
Từ bổ đề trên, ta suy ra trực tiếp hệ quả sau:
Hệ quả 1.3.1. ([1]) Tồn tại đa thức hệ số thực qL (z) sao cho qL (1) = 1,
qL (e−iω ) = 0, với mọi ω ∈ R, sao cho
qL (z)qL
Định lý 1.3.2. ([1]) Đặt HL(z) =


1
z

= ML (z).

1+z
2

L

qL (z), ta có

|HL(z)|2 + |HL(−z)|2 = 1, z ∈ C \ {0}.
14


Định nghĩa 1.3.1. ([1]) Nếu đa thức qL (z) được chọn sao cho mọi nghiệm của
L
1+z
nó đều có độ lớn lớn hơn hoặc bằng 1, thì HL (z) =
qL (z) được gọi là
2
hàm lọc Daubechies cấp L.
Ví dụ 1.3.1. Xét L = 2. Ta có
1
1
M2 (z) = − z −1 + 2 − z
2
2
1

= − z −1 (1 − 4z + z 2 )
2
√
√
1 −1
= − z (z − (2 + 3))(z − (2 − 3)).
2
Áp dụng Bổ đề 1.3.2, ta tính được
√
1
3+1
1
√ =
·
,
C=
2 2− 3
2
√
√
√
3−1
3+1
z+
,
q2 (z) = C(z − (2 − 3)) = −
2
2
suy ra


2

1+z
q2 (z)
2
√
√
√
√
3− 3 2 1− 3 3
1+ 3 3+ 3
+
z+
z +
z .
=
8
8
8
8

H2 (z) =

Bây giờ, ta xét phương trình tỷ lệ hai có dạng như sau
2L−1

φL (z) = 2
k=0

với


2L−1
k
k=0 hL (k)z

hL (k)φL(2x − k),

(1.8)

= HL (z) là hàm lọc Daubechies.

Định lý 1.3.3. ([1]) Cho HL (z) là hàm lọc Daubechies cấp L ≥ 2. Lúc đó,
phương trình tỷ lệ hai (1.8) có nghiệm duy nhất φL ∈ L2 (R), hơn nữa φL là hàm

tỷ lệ trực chuẩn.
Để chứng minh định lý này, trước hết ta xây dựng công thức tích hữu hạn
của φL , sau đó chứng tỏ φL ∈ L2 (R) và tính trực chuẩn của φL. Chứng minh chi
tiết được chỉ ra từ trang 259 đến 265 trong [1].
15


Định nghĩa 1.3.2. ([1]) Hàm tỷ lệ trực chuẩn φL thỏa mãn phương trình (1.8)
được gọi là hàm tỷ lệ Daubechies cấp L(≥ 2). Hàm wavelet tương ứng
2L−1

ψL (x) = 2
k=0

gL (k)φL(2x − k), gL (k) = (−1)k hL (2L − 1 − k),


được gọi là wavelet Daubechies cấp L.
2

Hàm wavelet

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5
0

0.5

1

1.5

2

2.5


3

Hình 1.1: Hàm tỷ lệ và wavelet Daubechies cấp 2

2

Hàm wavelet

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5
0

0.5

1

1.5

2


2.5

3

3.5

4

4.5

5

Hình 1.2: Hàm tỷ lệ và wavelet Daubechies cấp 3

1.4 Hệ số liên kết
Xét φ là hàm tỷ lệ Daubechies, tức φ thỏa mãn phương trình
N −1

φ(x) =
k=0

ak φ(2x − k),

(1.9)

trong đó N ≥ 2 là số tự nhiên chẵn, ak là các hệ số Daubechies. Trong 1.3, ta

đã có supp φ = [0, N − 1] và cách tính các hệ số ak .
16



Ta sử dụng ký hiệu thông thường đạo hàm cấp n của φ là
φ

(n)

dn φ
d (n−1)
(x) = n =
φ
(x), φ(0) = φ.
dx
dx

Lấy đạo hàm cấp d hai vế của (1.9) ta được
N −1
(d)

φ (x) = 2

d

N −1
(d)

k=0

ak φ (2x − k) = 2


(d)

d

ak φk (2x).

(1.10)

k=0

Ta định nghĩa hệ số liên kết ([2]) thông qua tích vô hướng như sau:
(d )

,d2
Ωkd11 ,k
:=
2

R

(d )

φk11 (x)φk22 (x)dx, d1 , d2 ∈ N, k1 , k2 ∈ Z.

Để ý rằng
(d )

2
Ωdk11 ,d
,k2 =


R

(d )

(d )

φk11 (x)φk22 (x)dx =

R

φ(d1 ) (x)φk22−k1 (x)dx

nên ta chỉ cần xét các hệ số liên kết có dạng
(d )

Ωdk1 ,d2 :=

R

φ(d1 ) (x)φk 2 (x)dx, k ∈ Z.

(1.11)

Để tìm các hệ số liên kết này, trước hết ta kết hợp (1.9) và (1.11), thu được
hệ phương trình sau:
Ωkd1 ,d2 = 2d1 +d2

k1 ,k2


(d)
(d)
R φk1 (2x)φk2 (2x
(d1 )

= 2d1 +d2 −1

p,q

ap aq−2k+p

= 2d1 +d2 −1

p,q

ap aq−2k+p Ωdq 1 ,d2 .

Đặt d = d1 + d2 , T =

p ap aq−2k+p

Rφ

− 2k − k2 )dx
(d )

(x)φq 2 (x)dx

và Ωd1 ,d2 = Ωdq 1 ,d2 q , ta suy ra được hệ


phương trình có dạng
T Ωd1 ,d2 =

1
2d−1

Ωd1 ,d2 .

(1.12)

Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất bằng 0. Ta sẽ xây dựng hệ phương
trình không thuần nhất mới bằng cách thêm vào một phương trình nữa như sau.
Sử dụng công thức tích phân từng phần đối với Ωdk1 ,d2 sau d1 lần thì
Ωkd1 ,d2 = (−1)d1 Ω0,d
k .

17


Ta thêm vào hệ phương trình (1.12) phương trình
Mkd Ω0,d
k ,

d! = (−1)d
k

với Mkd =

d
R x φk (x)dx,


M00 = 1.

Bằng quy nạp, Latto đã đưa ra công thức tính Mij như sau:
Mij

1
=
j
2(2 − 1)

j

l=0

l−1

l
j j−l
i
m
l
m=0

N −1

ai il−m .
i=0

Cuối cùng, ta thu được hệ phương trình



 
1
T − 2d−1 I
0

 Ωd1 ,d2 =   ,
Md
d!

(1.13)

trong đó M d là vectơ dòng gồm các Mkd .

Chú ý rằng chỉ có 2N − 3 hệ số kiên kết khác 0, tức là Ωdk1 ,d2 khác 0 với

|k| ≤ N − 2 và bằng 0 với |k| > N − 2.

Từ hệ phương trình (1.13) này, ta tìm được các hệ số liên kết.

1.5 Tích chập rời rạc [6]
Cho hai vectơ trong Rn là X = (x0 , x1 , . . . , xn−1 ) và Y = (y0 , y1 , . . . , yn−1 ).
Tích chập rời rạc của X và Y cũng là một vectơ trong Rn , ký hiệu là X ∗ Y , với

tọa độ thứ k xác định như sau:

n−1

(X ∗ Y )k =


j=0

xk−j yj , k = 0, n − 1.

Trong trường hợp k < j, ta thay thế xk−j bởi xk−j+n .
Một số tính chất của tích chập rời rạc: với mọi X, Y, Z ∈ Rn , α ∈ R,
a) X ∗ Y = Y ∗ X,
b) (X ∗ Y ) ∗ Z = X ∗ (Y ∗ Z),
c) X ∗ (Y + Z) = X ∗ Y + X ∗ Z,
d) X ∗ (αY ) = (αX) ∗ Y = α(X ∗ Y ).
18


Thật vậy, ta có

=

n−1
j=0 xk−j yj
k−n+1
xl yk−l
l=k

=

n−1
l=0 yk−l xl

(X ∗ Y )k =


(đặt l = k − j)

= (Y ∗ Z)k ,
do đó X ∗ Y = Y ∗ X.
=

n−1
j=0 (X ∗ Y )k−j zj
n−1
n−1
j=0
l=0 xk−j−l yl zj

=

n−1
j=0

n−1+j
m=j

=

n−1+j
m=j

xk−m (Y ∗ Z)m

((X ∗ Y ) ∗ Z)k =


xk−m ym−j zj

(đặt m = j + l)

= (X ∗ (Y ∗ Z))k ,
do đó (X ∗ Y ) ∗ Z = X ∗ (Y ∗ Z).

Một cách tương tự, ta chứng minh được hai tính chất còn lại.
Bây giờ, cho ma trận vuông A cấp n

a
an−1 an−2
 0

 a1
a0 an−1


A =  a2
a1
a0

 ..
..
..
 .
.
.


an−1 an−2 an−3

. . . a1
...
...
...
...





a2 


a3  ,

. . .


a0

gọi A = (a0 , a1 , . . . , an−1 ) là vectơ cột đầu tiên của ma trận A, lúc đó
AX T = A ∗ X T .

19


Chương 2
Phương pháp wavelet Galerkin trong

việc giải phương trình vi phân
2.1 Giải phương trình vi phân thường
2.1.1 Phương pháp wavelet Galerkin đối với hàm một biến [4]
Xét bài toán
Lu(x) := u′′ (x) + a1 (x)u′ (x) + a2 (x)u(x) = f (x), x ∈ [0, 1],

(2.1)

u(0) = u(1) = 0.
Giả sử {vi }i∈I là cơ sở trực chuẩn của L2 ([0, 1]); với mọi i ∈ I, vi ∈ C 2 và
vi (0) = vi (1) = 0.
Đặt S = {vi , i = 1, n} (n ∈ N), là không gian con của L2 ([0, 1]). Nghiệm

xấp xỉ của phương trình (2.1) trong S là
n

uS =

αi vi .

(2.2)

i=1

Vì uS là nghiệm của phương trình (2.1) thu hẹp trên S nên
∀i = 1, n, LuS , vi = f, vi

(2.3)

và uS (0) = uS (1) = 0.

Kết hợp (2.2) và (2.3) ta được hệ phương trình tuyến tính
n

αi Lvi , vj = f, vj , j = 1, n.
i=1

20

(2.4)


Giải hệ phương trình (2.4) ta được các hệ số αi , từ đó tính được uS . Nếu chọn
n hàm cơ sở và tăng n lên một cách hợp lý, thì nghiệm xấp xỉ uS sẽ hội tụ về
nghiệm chính xác của phương trình (2.1) ban đầu.
Trong phương pháp wavelet Galerkin, ta thay các hàm cơ sở vi , i ∈ I ở trên

bởi các hàm φj,k là cơ sở của không gian Vj . Chọn tập hữu hạn Λ các cặp chỉ số
(i, j), viết lại S = {φi,j , (i, j) ∈ Λ} , (2.2) và (2.3) được viết lại
uS =

αij φi,j ,
(i,j)∈Λ

∀(i, j) ∈ Λ, LuS , φi,j = f, φi,j .
Tiếp theo, ta giải hệ phương trình tuyến tính

(i,j)∈Λ

αij Lφi,j , φk,l = f, φk,l , (k, l) ∈ Λ,


để tìm các hệ số αij và xác định nghiệm uS .

2.1.2 Nghiệm wavelet Galerkin đối với bài toán tuần hoàn [2]
Cho φ là hàm tỷ lệ Daubechies với phương trình tỷ lệ hai
N −1

φ(x) =
k=0

ak φ(2x − k).

Xét phương trình vi phân có dạng
u′′ (x) + αu(x) = f (x),

(2.5)

trong đó các hàm u và f đều tuần hoàn với chu kỳ d ∈ Z.
Giả sử nghiệm u được xấp xỉ tại phân giải thứ j là
u(x) ≈

k

ck 2j/2 φ(2j x − k) (k ∈ Z),

với ck là các hệ số wavelet của u.
Bây giờ, đặt y = 2j x và
U (y) := u(x) =
k

21


Ck φ(y − k),

(2.6)


với Ck = 2j ck .
Vì u(x) tuần hoàn theo biến x với chu kỳ d nên U (y) và các Ck đều tuần
hoàn với chu kỳ n = 2j d ∈ Z. Ta xét hàm U (y) tại các giá trị nguyên của y, từ
đó tính được giá trị của hàm u tại các điểm x = 2−j y.

Tiếp theo, cho y nhận các giá trị nguyên lần lượt từ 0 đến n − 1 và đặt

Ui = U (i), i = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Từ (2.6) ta được
Ui =
k

Ck φ(i − k) =

từ đó suy ra

 
0
0
U0

 

 
0

 U1   φ(1)

 

 
φ(1)
 U2   φ(2)

 
 ..  
..
..
 .  
.
.

=

 
UN −2  φ(N − 2) φ(N − 3)

 

 
UN −1  
0
φ(N − 2)

 
 ..  

..
..
 .  
.
.

 
Un−1

0

Ci−k φ(k),
k



C0
· · · φ(N − 2) · · · φ(2) φ(1)




···
0
· · · φ(3) φ(2)  C1 




···

0
· · · φ(4) φ(3)  C2 


..
..
..
..
..   .. 
.
.
.
.
.  . 
.



···
···
···
0
0  CN −2 




CN −1 
···
···

···
0
0 


 .. 
..
..
..
..
.. 


.
.
.
.
.  . 

· · · φ(N − 3) · · · φ(1)

0

0

Cn−1
(2.7)

Đặt U = (U0 , U1 , . . . , Un−1 )T , C = (C0 , C1 , . . . , Cn−1 )T và K là ma trận vuông
cấp n của hàm tỷ lệ φ trong vế phải của (2.7). Lúc đó, U được biểu diễn dưới

dạng tích chập của hai vectơ:
U = Kφ ∗ C,

(2.8)

với Kφ là hạch của tích chập (cột đầu tiên của ma trận K).
Một cách tương tự, ta có biểu diễn hàm f như sau:
f (x) =
k

dk 2j/2 φ(2j x − k) (k ∈ Z)

và
F (y) := f (x) =
k

Dk φ(y − k), Dk = 2j dk .
22

(2.9)