ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

VĂN THỊ HỒNG HẠNH

PHÁT TRIỂN TƢ DUY HÀM CHO HỌC SINH QUA
KHÁI QUÁT HÓA MẪU HÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Huế, năm 2017


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

VĂN THỊ HỒNG HẠNH

PHÁT TRIỂN TƢ DUY HÀM CHO HỌC SINH QUA
KHÁI QUÁT HÓA MẪU HÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 62 14 01 11
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN KIÊM MINH

Huế, năm 2017
i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu và kết quả
nghiên cứu nêu trong luận văn là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng. Kết quả nghiên cứu chưa từng được công bố trong bất kì một công
trình nào khác.

Tác giả

Văn Thị Hồng Hạnh

ii


Lời Cảm Ơn
Lời trước tiên, tôi chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Trần
Kiêm Minh, người đã nhiệt tình hướng dẫn, góp ý, chỉ bảo và giúp đỡ tôi hoàn thành luận
văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng đào
tạo sau đại học, Quý Thầy giáo, Cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô thuộc chuyên
ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình giảng dạy, truyền thụ cho tôi
rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong suốt thời gian của khóa học.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Thầy Cô giáo và các em học sinh
trường THPT Hương Vinh và THPT Trần Hưng Đạo, thành phố Huế đã tạo điều kiện và giúp
đỡ tôi trong quá trình thực nghiệm.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cám ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ, động viên
và giúp đỡ mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này.
Với điều kiện thời gian và khả năng hạn chế. Tôi chân thành biết ơn và lắng nghe
những ý kiến chỉ dẫn, đóng góp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cám ơn!


iii

iii


MỤC LỤC
Trang
LỜI GIỚI THIỆU .....................................................................................................4
Chƣơng 1: ĐẶT VẤN ĐỀ .........................................................................................8
1.1. Bước chuyển từ đại số đến hàm số ...................................................................8
1.2. Khái quát hóa mẫu hình và tư duy hàm ..........................................................10
1.3. Sử dụng biến với mẫu hình .............................................................................11
1.4. Vấn đề khái quát hóa mẫu hình trong mối quan hệ hàm số ở Toán phổ thông
...............................................................................................................................14
1.5. Kết luận chương 1 ...........................................................................................17
Chƣơng 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ...........................................................................19
2.1. Tư duy đại số và các cách mô tả .....................................................................19
2.2. Tư duy hàm và các phương tiện hỗ trợ ...........................................................21
2.3. Mẫu hình và sự phát triển của các tiềm năng toán .........................................24
2.4. Phân loại các kiểu nhiệm vụ khái quát hóa mẫu hình ....................................28
2.5. Chiến lược khái quát hóa mẫu hình thường gặp .............................................29
2.6. Câu hỏi nghiên cứu .........................................................................................35
2.7. Kết luận chương 2 ...........................................................................................35
Chƣơng 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU .................................................................36
3.1. Ngữ cảnh và mục tiêu .....................................................................................36
3.2. Tổ chức thu thập dữ liệu .................................................................................36
3.3. Công cụ nghiên cứu ........................................................................................36
3.3.1. Tình huống 1: ...........................................................................................37
3.3.2. Tình huống 2: ...........................................................................................38
3.3.3. Tình huống 3: ...........................................................................................39

1


3.4. Phân tích tiên nghiệm .....................................................................................41
3.4.1. Tình huống 1: ...........................................................................................41
3.3.2. Tình huống 2: ...........................................................................................44
3.3.3. Tình huống 3: ...........................................................................................47
Chƣơng 4. KẾT QUẢ .............................................................................................51
4.1. Sự tổng quát của học sinh về một mô hình đang phát triển............................51
4.2. Suy luận hình, chiến lược của học sinh và tư duy hàm ..................................53
4.3. Các biện pháp hỗ trợ .......................................................................................63
4.4. Mục tiêu và tiến triển trong học tập ................................................................63
Chƣơng 5. KẾT LUẬN ...........................................................................................65
5.1 Trả lời và kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu ...............................................65
5.2. Đóng góp của nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài ..............................66
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................67
PHỤ LỤC ................................................................................................................ P1

2


DANH MỤC BẢNG
Trang
Bảng 2.1 ....................................................................................................................22
Bảng 3.2 ....................................................................................................................39
Bảng 3.3 ....................................................................................................................40
Bảng 3.4 ....................................................................................................................41
Bảng 3.5 ....................................................................................................................43
Bảng 3.6 ....................................................................................................................43
Bảng 3.7 ....................................................................................................................45

Bảng 3.8 ....................................................................................................................46
Bảng 3.9 ....................................................................................................................46
Bảng 3.10 ..................................................................................................................48
Bảng 3.11 ..................................................................................................................49
Bảng 3.12 ..................................................................................................................49
Bảng 4.1 ....................................................................................................................52
Bảng 4.2 ....................................................................................................................52
Bảng 4.3 ....................................................................................................................53

3


DANH MỤC HÌNH
Trang
Hình 1.1 .......................................................................................................................9
Hình 1.2 .....................................................................................................................13
Hình 1.3 .....................................................................................................................14
Hình 1.4 .....................................................................................................................14
Hình 1.5 .....................................................................................................................14
Hình 2.1 .....................................................................................................................22
Hình 2.2 .....................................................................................................................25
Hình 2.3 .....................................................................................................................25
Hình 2.4 .....................................................................................................................26
Hình 2.5 .....................................................................................................................26
Hình 2.6 .....................................................................................................................26
Hình 2.7 .....................................................................................................................27
Hình 2.8 .....................................................................................................................27
Hình 2.9 .....................................................................................................................27
Hình 2.10 ...................................................................................................................28
Hình 2. 1 ....................................................................................................................28

Hình 2.11 ...................................................................................................................30
Hình 2.12 ...................................................................................................................31
Hình 2.13 ...................................................................................................................31
Hình 2.14 ...................................................................................................................32
Hình 3.1 .....................................................................................................................37
Hình 3.2 .....................................................................................................................38
Hình 3.3 .....................................................................................................................39
Hình 3.4 .....................................................................................................................41
Hình 3.5 .....................................................................................................................44
Hình 3.6 .....................................................................................................................47

4


LỜI GIỚI THIỆU
Phong trào cải cách toán học kêu gọi mọi người chú ý đến sức mạnh của
Toán, nhấn mạnh đến việc dạy Toán vì sự hiểu biết. Như vậy, kiến thức Toán có thể
sử dụng có ý nghĩa và hiệu quả trong thực tế. Các nghiên cứu đã chứng tỏ học sinh
có thể phát triển tư duy hàm từ rất sớm, ở các bậc học Tiểu học và Trung học cơ sở.
Ví dụ, Blanton và Kaput (2004) chỉ ra rằng trẻ em trong lớp một có thể mô tả hai số
lượng tương ứng như thế nào trong một bối cảnh vấn đề.
Ở Việt Nam, chương trình Toán trong cải cách giáo dục và các chương trình
đổi mới trong những năm gần đây đều chú trọng đến kiến thức hàm số. Trong tài
liệu “Phương pháp dạy học bộ môn Toán”, GS Nguyễn Bá Kim cho rằng “Đảm bảo
khái niệm trung tâm của hàm số” là một trong “những tư tưởng cơ bản”.
Tư duy hàm có mối liên hệ chặt chẽ với tư duy đại số. Đại số là lĩnh vực toán
học liên quan đến sự khái quát hóa số học, làm việc trên các biểu thức, biến, đại
lượng chưa biết, phương trình, biểu diễn các mối quan hệ. Smith (2008) định nghĩa
tư duy hàm như một kiểu “tư duy biểu đạt tập trung vào mối quan hệ giữa hai (hay
nhiều) đại lượng thay đổi, đặc biệt là các kiểu tư duy dẫn từ các mối quan hệ cụ thể

đến sự khái quát hóa của mối quan hệ đó qua các trường hợp cụ thể”. Nó liên quan
đến việc hiểu và sử dụng khái niệm thay đổi và đại lượng biến thiên (biến) liên quan
với nhau. Nó nhấn mạnh việc học của học sinh về việc các biểu tượng (ký hiệu) như
các chữ cái được sử dụng như thế nào để biểu diễn các đại lượng này và để biểu
diễn các kiểu mối quan hệ khác nhau như hàm tuyến tính, hàm bậc hai, hàm mũ,
hàm logarit…
Một lĩnh vực được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm để phát triển tư duy hàm
cho học sinh là các bài toán khái quát hóa mẫu hình trong các ngữ cảnh khác nhau.
Việc đi tìm tính chất chung của dãy các mẫu hình, từ đó khái quát hóa và đưa đến
một công thức biểu diễn tính khái quát hóa đó là nhiệm vụ trọng tâm trong các bài
toán này. Rõ ràng, giải quyết tốt các nhiệm vụ toán như vậy sẽ giúp học sinh phát
triển tư duy về các mối quan hệ, các đại lượng phụ thuộc lẫn nhau… và do đó thúc
đẩy tư duy hàm của học sinh.

5


Tuy các bài toán khái quát hóa mẫu hình chứa đựng tiềm năng trong việc
phát triển tư duy hàm cho học sinh nhưng các nghiên cứu về chủ đề này ở Việt Nam
vẫn còn rất ít. Một số luận văn gần đây như Trần Thị Mai Thanh (2016), Trương
Thị Hồng Thủy (2013)… có đề cập đến khía cạnh khái quát hóa mẫu hình. Nghiên
cứu của tác giả Trần Thị Mai Thanh (2016) tập trung vào các chiến lượng khái quát
hóa và bản chất của các chiến lược đó. Tác giả Trương Thị Hồng Thủy (2013) quan
tâm đến tư duy đại số trong các ngữ cảnh thực tế. Hầu như chưa có tác giả nào ở
Việt Nam xem xét tư duy hàm của học sinh qua các bài toán khái quát hóa mẫu
hình.
Mục tiêu của nghiên cứu này bao gồm:
 Tổng quan các nghiên cứu về tư duy đại số và tư duy hàm, đặc biệt trong ngữ
cảnh các bài toán khái quát hóa mẫu hình hình học;
 Xem xét khả năng phát triển tư duy hàm cho học sinh qua các bài toán khái

quát hóa mẫu hình trong những ngữ cảnh khác nhau.
Nội dung luận văn gồm 5 chương: Chương 1 giới thiệu bước chuyển từ đại
số đến hàm số, tổng quan một số vấn đề về khái quát hóa và tư duy hàm. Trong
chương này, chúng tôi đưa ra nhận xét về vấn đề khái quát hóa mẫu hình trong
chương trình toán phổ thông, từ đó đặt ra vấn đề nghiên cứu.
Chương 2 trình bày cơ sở lý thuyết cho vấn đề nghiên cứu. Trong chương
này, chúng tôi phân tích sâu hơn tư duy đại số và tư duy hàm. Từ đó, chúng tôi phân
tích tiềm năng của các bài toán khái quát hóa mẫu hình đối với việc phát triển tư
duy hàm của học sinh. Cuối cùng, chúng tôi phân tích các kiểu nhiệm vụ khái quát
hóa mẫu hình thường gặp, cũng như các chiến lược khái quát hóa mẫu hình mà học
sinh thường sử dụng.
Chương 3 dành cho việc trình bày thiết kế nghiên cứu. Trong chương này,
chúng tôi trình bày ngữ cảnh thực nghiệm, cách thiết kế các bài toán thực nghiệm
và tiến hành phân tích tiên nghiệm các nhiệm vụ toán đưa ra.
Trong chương 4, chúng tôi tiến hành phân tích kết quả thực nghiệm. Chúng
tôi phân tích bài làm của học sinh, tập trung vào khả năng khái quát hóa mẫu hình
của học sinh. Phân tích chiến lược khái quát hóa và đi đến công thức hàm biểu diễn
6


tính khái quát hóa đó. Làm rõ bản chất tư duy hàm của học sinh qua các chiến lược
khái quát đó.
Chương 5 dành cho việc trình bày kết luận, hạn chế và hướng phát triển của
đề tài.
Phát triển tư duy hàm có ý nghĩa quan trọng trong dạy học toán, nó vừa là
yêu cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều kiện để nâng cao chất lượng dạy
học nhiều tuyến kiến thức môn Toán. Việc dạy học các kiến thức môn Toán được
trình bày theo tư tưởng hàm số thông qua các mẫu hình, kì vọng có tác dụng tốt
trong việc phát triển tư duy hàm cho học sinh, đồng thời có thể rèn luyện nhiều kỹ
năng giải toán và ứng dụng kiến thức toán cho học sinh trong sự kết hợp phát triển

tư duy hàm.

7


Chƣơng 1: ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Bƣớc chuyển từ đại số đến hàm số
Đại số sơ cấp bao gồm những khái niệm cơ bản của đại số, một phân nhánh
của toán học. Đại số sơ cấp thường được dạy ở cấp trung học cơ sở và được xây
dựng dựa trên những hiểu biết về số học. Trong khi số học liên quan tới những con
số cụ thể, đại số giới thiệu những con số không có giá trị cố định, được gọi là các
biến số. Việc sử dụng biến số đòi hỏi phải sử dụng ký hiệu đại số và hiểu các quy
tắc chung của các phép tính được sử dụng trong số học. Việc sử dụng các biến số để
biểu diễn các con số cho phép biểu diễn chính xác mối quan hệ chung giữa những
con số, giúp giải quyết bài toán rộng hơn.
Cội nguồn của đại số có nguồn gốc từ người Babylon cổ đại, vốn đã phát
triển một hệ thống số học tiên tiến mà họ đã có thể làm các phép tính theo phong
cách thuật toán. Đến thời của Plato, toán học Hy Lạp đã trải qua một sự thay đổi
mạnh mẽ. Người Hy Lạp cổ đại tạo ra một dạng đại số hình học, trong đó các từ
ngữ được đại diện bằng các bên của các đối tượng hình học, thường là các dòng kẻ
với các chữ cái liên kết ở bên cạnh. Các phương pháp đại số hình học có ảnh hưởng
trực

tiếp

đến

nhà

toán


học người

Ba

Tư Muhammad

ibn

Mūsā

al-

Khwārizmī (khoảng 780–850). Ông đã viết cuốn sách “Cách tính toán dựa trên khôi
phục và cân bằng”. Cuốn sách này đã chính thức đưa đại số thành một phân nhánh
độc lập của toán học, tách rời đại số khỏi hình học và số học.
Thế kỷ 16 – 17,sự ra đời của ngành Đại số Viète (Viète 1540-1603) đã cho
phép ghi một biểu thức bao gồm cả các đại lượng đã biết và chưa biết. Chính sự ra
đời của ngành đại số hiện đại này đã ảnh hưởng rất lớn đến quá trình hình thành
khái niệm hàm số trong toán học.
Leibniz (1646-1716), là người đầu tiên đã sử dụng từ hàm số để mô tả những
vấn đề rất chung về sự phụ thuộc của các đại lượng hình học như tiếp tuyến và pháp
tuyến vào hình dạng của đường cong. Leibniz viết: “… dạng khác của đường, mà
theo hình đã cho biểu diễn một hàm số nào đó”. Ông cũng đưa vào các thuật ngữ
“biến số”, “hằng số”, “tham số”, “tọa độ”. Trong một bức thư của Johann Bernoulli
(1667- 1727) gửi cho Leibniz ngày 02 tháng 9 năm 1694, Bernoulli đã diễn tả một
8


hàm số như là “… một đại lượng được hình thành từ biến số và hằng số theo một

cách nào đó”. PGS.TS Lê Thị Hoài Châu đã nhận xét về định nghĩa hàm số của
Bernoulli như sau: “Trong chiều sâu của định nghĩa chưa thật hoàn chỉnh ấy là ý
tưởng biểu diễn hàm số bằng một công thức giải tích. Nhưng dường như không phải
Bernoulli đã hiểu rằng hàm số còn là một cái gì đấy khác với những biểu thức giải
tích được biết đến ở thời điểm đó”.
Đại số thu hút sự chú ý đáng kể trong cộng đồng toán học trong hai thập kỷ
qua của cải cách toán học. Các Nguyên tắc và Chuẩn cho Toán học nhà trường liệt
kê nội dung của đại số trong năm tiêu chuẩn, bao gồm: số lượng và hoạt động, hình
học, đo lường, phân tích dữ liệu, và xác suất. Các hình thức suy luận đại số được thể
hiện qua các khía cạnh: hiểu các mô hình, mối quan hệ và các hàm; mô tả, phân tích
các tình huống toán học và cấu trúc sử dụng các ký hiệu đại số; sử dụng các mô
hình toán học để biểu diễn và hiểu các mối quan hệ định lượng.
Đại số không chỉ đơn giản là một phân môn ở bậc trung học. Trẻ em ở tất cả
các cấp cần được tiếp xúc với nhiều hình thức suy luận đại số theo những cách phù
hợp với lứa tuổi. Nhiều người vẫn nghĩ rằng học sinh tiểu học và những lớp đầu cấp
Trung học cơ sở vẫn không thể làm đại số nhưng học sinh cần được khuyến khích
tư duy đại số theo những cách khác nhau.
Hình 1.1
Ví dụ: Viết giá trị của biểu thức vào ô trống:
M

3

30

23

230

m x 78

(SGK Toán 4, trang 70)
Bài tập này là một hình thức lý luận đại số phổ biến đối với học sinh tiểu
học, hàm chứa cách thức hàm số trong đó.
Đại số phức tạp trong tính trừu tượng của nó, và các khái niệm của nó không
thể được giảm thiểu hoặc đưa đến trừu tượng quá nhanh. Một nhiệm vụ thiết yếu
của các nhà giáo dục toán học là điều tra và phát triển những cách để có thể thúc
đẩy lý luận đại số với tất cả học sinh. Suy luận đại số có thể có nhiều hình thức khác
nhau, gồm: việc sử dụng số học như là một miền để thể hiện và chính thức hoá các
9


khái quát hoá (số học tổng quát); tổng quát hóa các mô hình số để mô tả các mối
quan hệ hàm (tư duy hàm); mô hình hóa như là một lĩnh vực để thể hiện và chính
thức hóa các khái quát hoá; khái quát hóa các hệ thống toán học trừu tượng từ tính
toán và quan hệ.
Trong các tài liệu giáo dục toán học, nhiều ngữ cảnh toán học khác nhau đã
được khám phá để thúc đẩy tư duy hàm của học sinh trước khi có một chủ đề chính
thống trong đại số. Một số các ngữ cảnh này bao gồm các hàm công thức (Warren,
Cooper, & Lamb, 2006), các mẫu hình lặp lại (Warren & Cooper, 2006) và các mẫu
hình hình học(Rivera & Becker, 2009). Các nghiên cứu đã báo hiệu sự thành công
với học sinh khi tư duy hàm thể hiện ở những độ tuổi rất sớm.
Ví dụ, Blanton và Kaput (2004) chỉ ra rằng học sinh lớp một có thể mô tả hai
số lượng tương ứng như thế nào trong một bối cảnh bài toán bằng từ ngữ. Nghiên
cứu này sử dụng bối cảnh toán học của các mô hình phát triển hình học để thúc đẩy
tư duy hàm với học sinh.
1.2. Khái quát hóa mẫu hình và tƣ duy hàm
Mẫu hình hay mẫu hình khoa học, từ cuối thế kỉ 19 có nghĩa là nề nếp dạng
thức suy nghĩ trong một khuôn khổ thực nghiệm khoa học hay các ngữ cảnh khác
của tri thức. Trong mười năm qua, việc sử dụng các mẫu hình tăng trưởng hình học
(geometric growing patterns) trong lớp học toán học đã nhận được sự quan tâm

ngày càng tăng. Một mẫu hình tăng trưởng hình học có thể được định nghĩa là "một
dãy các hình ảnh trong đó các đối tượng trong hình thay đổi từ một vị trí này sang
vị trí tiếp theo, theo một cách có thể dự đoán được (quy luật) và thường liên quan
đến hai biến”. Việc khám phá các mẫu hình này là cầu nối cho sự phát triển của tư
duy hàm của học sinh.
Smith (2008) định nghĩa tư duy hàm là "tư duy tập trung vào mối quan hệ
giữa hai (hoặc nhiều) đại lượng khác nhau, cụ thể là các kiểu suy nghĩ dẫn từ các
mối quan hệ cụ thể đến khái quát hoá mối quan hệ đó qua các trường hợp". Hoạt
động tư duy hàm là những hoạt động trí tuệ liên quan đến biểu đạt sự vật, hiện
tượng cùng những quy luật của chúng trong trạng thái biến đổi sinh động chứ không
phải ở trạng thái tĩnh tại, trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải cô lập, tách

10


rời nhau, cụ thể là các con số, hình ảnh được nhìn thấy hoặc được xây dựng trong
chuỗi mẫuhình. Mối quan hệ hàm là mối quan hệ có thể được xác định giữa số giai
đoạn và một số khía cạnh của mẫu hình tăng trưởng hình học.
Suy luận bằng hình ảnh được xác định là một thành phần quan trọng cho sự
phát triển của tư duy hàm. Một hình thức lý luận "dựa vào các mối quan hệ có thể
được rút ra trực quan từ một tập hợp các trường hợp nhất định" (Rivera & Becker,
2005, trang 199). Điều này đặc biệt hữu ích với mẫu hình tăng trưởng hình học, vì
một mối quan hệ hàm có thể được bắt nguồn dựa trên bản chất cụ thể của mẫu hình.
Do đó, điều quan trọng là phải xem xét việc thúc đẩy suy luận hình học trong ngữ
cảnh toán học này. Khám phá một mẫu hình có thể tạo ra trong lớp học sự tập trung
vào suy luận dựa trên hình ảnh như là một con đường để suy nghĩ về hàm.
Một hàm được định nghĩa là một quy tắc gán cho mỗi phần tử của một miền
xác định một phần tử duy nhất trong miền tương ứng. Đặc biệt, học sinh lớp giữa
cấp học sẽ có thể: biểu diễn, phân tích và tổng hợp một loạt mẫu hình với các bảng,
biểu đồ, từ ngữ và khi có thể, các quy tắc biểu tượng; liên kết và so sánh các hình

thức biểu diễn khác nhau cho một mối quan hệ; xác định các hàm như là tuyến tính
hoặc phi tuyến và đối chiếu các thuộc tính của chúng từ các bảng biểu, đồ thị, hoặc
các phương trình.
Các công việc tạo ra các mẫu hình hình học cung cấp cơ hội cho học sinh
phân tích các mô hình cụ thể của các mẫuhình, tổng hợp từ các mô hình này,biểu
diễn các mối quan hệ, khám phá các kiểu mối quan hệ hàm khác nhau.
Các mẫu hình gia tăng hình học thể hiện cả hàm tuyến tính và các hàm phi
tuyến tính, bao gồm cả phương trình bậc hai và hàm mũ. Với mẫu hình gia tăng,
mẫu hình có thể phát triển theo một số lượng cố định các phần trong mỗi giai đoạn
(mối quan hệ tuyến tính), hoặc bởi một số lượng ngày càng tăng của mỗi giai đoạn
(mối quan hệ phi tuyến). Khái quát hóa là một năng lực đặc thù của tư duy, đóng
vai trò quan trọng trong sự phát triển trí tuệ. Khái quát hóa các mẫu hình có thể xem
như là sản phẩm của tư duy và ngôn ngữ. Quá trình khái quát hóa các mẫu hình là
con đường kết gắn xây dựng tư duy hàm bền vững.
1.3. Sử dụng biến với mẫu hình

11


Trong toán học, biến (hay biến số) là một số có giá trị bất kỳ, không bắt buộc
phải duy nhất có một giá trị (không có giá trị nhất định), biến số là số có thể thay
đổi giá trị trong một tình huống có thể thay đổi (ngược lại với khái niệm biến số là
một khái niệm hằng số).
Nếu tập hợp các giá trị của biến là tập hợp số thì nó được gọi là biến số.
Cũng có những biến không phải là biến số như biến lôgic, biến Boolean, biến ký
tự... Giá trị của các biến thường liên quan đến nhau. Khi xét quan hệ giữa chúng với
nhau, một số biến được xem là độc lập được gọi là các biến độc lập, một số biến sẽ
nhận giá trị phụ thuộc vào các biến khác, được gọi là biến phụ thuộc.
Khi nghiên cứu mẫu hình phát triển hình học và hàm, cần phải sử dụng các
biến để truyền đạt các mối quan hệ hàm. Phác thảo cách quan niệm của học sinh

những lớp giữa cấp về biểu tượng đại số nên phát triển. Về việc trình bày các tình
huống có vấn đề, khẳng định rằng học sinh nên được tạo điều kiện để phát triển một
sự hiểu biết khái niệm ban đầu về việc sử dụng các biến khác nhau; khám phá các
mối quan hệ giữa biểu thức biểu tượng và đồ thị của hàm, đặc biệt là các đại lượng
liên quan đến các mối quan hệ tuyến tính; công nhận và tạo ra các dạng tương
đương cho các biểu thức đại số đơn giản.
Mô hình phát triển hình học cung cấp cơ hội để giải quyết các phạm vi này.
Đưa ra một bối cảnh cho học sinh để xây dựng ý nghĩa của các biến và phạm vi
chúng có thể được sử dụng.
Các biến số là công cụ cơ bản để diễn đạt khái quát hóa. Sự hiểu biết về khái
niệm biến là căn bản để học sinh của chúng ta thành công với đại số. Việc công
nhận các biến được sử dụng như thế nào với các mẫu hình hình học phát triển là cần
thiết để hiểu sự phát triển của khái niệm này.
Nhiều ý nghĩa của biến đã được khám phá bởi Schoenfeld và Arcavi (1999)
và Philipp (1999). Họ cho rằng nhiều cách sử dụng các biến góp phần gây khó khăn
cho học sinh. Các định nghĩa sớm nhất và sử dụng các biến số của các biến bao gồm
việc sử dụng các chữ cái cho các số thực sự khác nhau, chẳng hạn như các biến
trong các quy tắc hàm (Philipp, 1999). Cải cách toán học trong những năm 50 và 60
đã mở rộng định nghĩa của biến, do đó "biến không còn liên quan đến hàm và thay

12


vào đó trở thành liên kết với tập hợp" (Philipp, 1999, trang 158). Do đó, ngay cả
biến x trong 7- x = 4 đã được đưa vào trong định nghĩa này. Điều này mô tả thực tế
là x trong ngữ cảnh này đại diện cho một số lượng (x = 3) … số lượng trong ngữ
cảnh này không thay đổi như tên biến ngụ ý.
Mặc dù Philipp (1999) xác định bảy cách sử dụng khác nhau cho các ký hiệu
trong toán học, chỉ có ba ứng dụng trong bối cảnh các mẫu hình hình học phát triển.
Các biến số với số lượng khác nhau có thể là hữu ích nhất cho ngữ cảnh toán học

này; tuy nhiên, khi thực hiện các nhiệm vụ liên quan đến mẫu hình, các biến như
các phần chưa biết và các tham số cũng có thể áp dụng.
Hình 1.2
Ví dụ:Mô hìnhT- ngược
+1
+1
1

1

1

Giai đoạn 1(n=1)

+1

+1
Giai đoạn 2(n=2)

+1

+1
Giai đoạn 3(n=3)

Các biến bằng các số khác nhau sẽ được sử dụng khi học sinh tạo ra một mối
quan hệ hàm, t = 3n + 1, trong đó t đại diện cho tổng số ô vuông và n đại diện cho
số giai đoạn. Số giai đoạn thay đổi, tổng số ô vuông cũng thay đổi theo. Các công
việc mô hình này có thể dẫn đến việc như là không rõ sử dụng biến.
Các công việc tạo mẫu hình hình học cung cấp một bối cảnh toán học có thể
thách thức một số quan niệm sai phổ biến của học sinh về các biến và cách chúng

được sử dụng và mở rộng kinh nghiệm của học sinh với các biến ngoài các ngữ
cảnh mà chúng đại diện cho các giá trị đơn lẻ. Trong quá trình nghiên cứu các mẫu
hình, học sinh nên liên kết các mối quan hệ bằng lời nói và cẩn thận chứng minh từ
dạng lời nói sang biểu tượng. Học sinh mô tả cách mẫu hình tiến triển cả bằng lời
nói và số lượng. Giáo viên sau đó có thể chứng minh làm thế nào những biểu thức
bằng lời nói và số này chuyển thành ngôn ngữ tượng trưng của đại số. Schoenfeld

13


và Arcavi (1999) lặp lại đề xuất của English và Warren's (1999) cho việc phân loại:
"Các biến số là công cụ để diễn đạt khái quát hóa toán học”. Trong tuyên bố này,
tầm quan trọng của các biến cho quá trình tổng quát hóa được thể hiện.
1.4. Vấn đề khái quát hóa mẫu hình trong mối quan hệ hàm số ở Toán phổ
thông
Ngay từ bậc Tiểu học, mặc dù học sinh chưa hề có khái niệm về hàm số
nhưng nhiều bài toán xét về số lượng và sự phân chia, thêm vào, bớt đi, đã ẩn chứa
tư duy hàm trong đó và được giới thiệu thông qua các hình ảnh sống động, tạo sự
thích thú cho học sinh.
Hình 1.3
Ví dụ: SGK Toán lớp 2: Bài tập 1/92 và bài tập 5/120

Hình 1.4

Hình 1.5
14


Toán lớp 3: Bài tập 1/65
Định nghĩa hàm số đã được giới thiệu một cách tổng quát ở lớp 7.

Ở lớp 10, khái niệm hàm số được định nghĩa ngay từ đầu, không xuất phát từ
các ví dụ.
Trong chương trình Toán phổ thông hàm số luôn là vấn đề trọng tâm. Cải
cách toán học hướng đến dạy toán vì sự hiểu biết để kiến thức toán có thể sử dụng
có ý nghĩa và hiệu quả trong thực tế.
Các mẫu hình phát triển hình học phù hợp cho việc giới thiệu tư duy hàm
cho học sinh. Học sinh có thể phát triển tư duy hàm bằng cách trực tiếp quan sát các
biến số và thay đổi, khái quát từ một mô tả bằng lời nói hoặc bằng văn bản của mối
quan hệ hàm với một biểu tượng đại diện. Thông qua các mô hình phát triển hình
học, sự hiểu biết của học sinh về các hàm và các biến có thể được xây dựng, và khả
năng tổng quát của chúng có thể được thúc đẩy.
Các mô hình phát triển hình học là các mô hình cụ thể của các mối quan
hệ hàm, qua đó học sinh có thể xác định được tính phổ biến của các chi tiết mỗi
hình trong mô hình, bằng cách hỏi những thay đổi và những gì giữ nguyên, được
mở rộng, tổng quát, các biến số có thể được sử dụng để mô tả mối quan hệ hàm
tổng quát.

15


Nghiên cứu về tư duy của học sinh làm nền tảng cho việc hiểu cách tư duy
hàm có thể tiến triển như thế nào trong bối cảnh các mô hình phát triển hình học.
Trong hai thập kỷ qua, nhiều nghiên cứu với mô hình phát triển hình học đã tập
trung vào chiến lược giải của học sinh. Phân loại chiến lược giải của học sinh,
Stacey (1989) đã sử dụng mô hình tuyến tính và một số (dạng f(x) = ax + b trong đó
b # 0) để quan sát các phương pháp tiếp cận giải quyết vấn đề của học sinh và các
phương pháp tổng quát hóa. Các học sinh được yêu cầu giải quyết các khái quát hóa
gần và xa cho từng mô hình. Việc tìm ra đáp án cho giai đoạn 20 được coi là một
khái quát gần, bởi vì nó có thể "được giải quyết bằng cách vẽ từng bước hoặc đếm".
Mặt khác, sự khái quát hoá quá xa đã liên quan đến việc tìm ra đáp án cho giai đoạn

100 hoặc giai đoạn 1000; việc tìm kiếm này đã "vượt xa các giới hạn thực tế hợp lý
của cách tiếp cận theo từng bước như vậy".
Bốn phương pháp để giải quyết các nhiệm vụ này đã được xác định (Stacey,
1989):
* Đếm: Học sinh đã sử dụng phương pháp đếm đã sử dụng bản vẽ hoặc biểu
diễn cụ thể để tính về thể chất giá trị của biến phụ thuộc (ví dụ: phác hoạ Giai đoạn
10 của mô hình T ngược và đếm số ô vuông). Phương pháp này cũng bao gồm các
học sinh nhận ra một mối quan hệ đệ quy và sử dụng máy tính để thêm sự khác biệt
không đổi số lần cần thiết.
* Sự khác biệt: Học sinh nhận ra sự khác biệt không đổi giữa mỗi giai đoạn
của mô hình phát triển. Sự khác biệt này liên tục được nhân với số giai đoạn để có
được một kết quả. Ví dụ, với giai đoạn 10 của mẫu T ngược, học sinh sẽ quan sát sự
khác biệt không đổi là 3 và nhân sự khác biệt này bằng 10 để tìm tổng số ô vuông
trong giai đoạn này.
*Toàn bộ đối tượng: Phương pháp này cũng đưa ra câu trả lời không chính
xác. Phương pháp toàn bộ đối tượng sử dụng lý luận tỷ lệ; một câu trả lời từ một
giai đoạn trước đã được sử dụng để tạo ra câu trả lời cho giai đoạn sau.
*Phép biến đổi tuyến tính: phương pháp này đã tính đến việc kết hợp các
tính toán (nghĩa là nhân và cộng thêm) được yêu cầu cho các mẫu được sử dụng
trong nghiên cứu này. Học sinh phát triển một mối quan hệ rõ ràng mà sử dụng cả

16


cách nhân và cộng thêm. Mặc dù không phải tất cả các câu trả lời đều đúng, nhưng
các sinh viên nhận ra rằng thứ tự của hai hoạt động này là quan trọng cho giải pháp.
Các nghiên cứu khác (Orton, .., 1999) thừa nhận ba phương pháp tiếp cận mà
học sinh có thể sử dụng với mô hình phát triển hình học. Phương pháp đầu tiên là
đếm các mục trong mỗi giai đoạn của một mẫu (ví dụ: số ô vuông trong mỗi giai
đoạn của mô hình T- ngược) và chuyển đổi mô hình hình học thành mô hình số (ví

dụ: 4, 7, 10 , … cho cùng một khuôn mẫu). Phương pháp thứ hai là quy nạp; học
sinh tạo ra các giai đoạn kế tiếp bằng một mô hình bằng cách xây dựng trên một
giai đoạn trước đó. Phương pháp thứ ba, dựa trên việc kiểm tra mô hình phát triển
hình học. Dựa trên "nhìn thấy" các hình dạng, và có thể mở rộng chuỗi trong tâm trí
hoặc bằng cách vẽ, trước khi chuyển đổi sang các con số, sau đó có thể được thực
hiện bằng phép nhân hoặc một số phép toán khác”. Phương pháp nhấn mạnh lý luận
hình học, một công trình đã được phát hiện từ các nghiên cứu gần đây hơn với các
mô hình phát triển hình học.
1.5. Kết luận chƣơng 1
Khái quát hóa là một tiến trình tự động và tự nhiên trong sự phát triển của
ngôn ngữ. Thông qua tổng quát hóa, đặc điểm chung của các đối tượng được
công nhận để các đối tượng có sự phân biệt khác biệt có thể được phân loại cùng
nhau. Mason (1996) tuyên bố: "Tổng quát hóa là máu trong cuộc đời, nhịp đập
của toán học”; "nhìn thấy một sự tổng quát hóa thông qua một đặc trưng”. Trong
tuyên bố này cho thấy tầm quan trọng của việc trừu tượng hóa. Quá trình khái
quát hóa của một cá nhân bắt đầu bằng một sự kiện cụ thể, hoặc "tình huống và
bản thân họ” xác định những trường hợp hoặc tình huống đó có điểm chung.
Những điểm chung này sau đó được khái quát hoá thành một quá trình trừu
tượng, khái niệm hoặc sự trình bày.
Chương trình môn toán phổ thông Việt Nam hầu như ít chú trọng đến các bài
toán khái quát hóa mẫu hình hình học để phát triển tư duy hàm cho học sinh. Tuy
vậy, trước khi khái niệm hàm số xuất hiện, việc phát triển tư duy hàm được đề cập
ngay từ những lớp đầu tiên ở cấp tiểu học thông qua các bảng số, đại lượng tỉ lệ
thuận, tỉ lệ nghịch và các bài toán gắn với thực tiễn, vật lý. Hoạt động nghiên cứu sự

17


tương ứng, sự phụ thuộc giữa hai đại lượng được đề cập nhiều hơn. Và trong các bài
toán thực tế liên quan đến hoạt động phát triển tư duy hàm, các đại lượng đóng vai

trò là biến độc lập, biến phụ thuộc luôn được xác định và được đề cập tường minh
trong đề toán, cụ thể hơn là mối liên hệ hàm số giữa chúng đã được xác định bởi
một công thức ngầm ẩn hoặc tường minh.

18


Chƣơng 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1. Tƣ duy đại số và các cách mô tả
Trong nghiên cứu này, chúng tôi quan niệm tư duy toán học là cách thức cá
nhân suy nghĩ, lập luận… trong các lĩnh vực toán học và đời sống. Với quan điểm
như vậy, chúng ta có thể nói đến tư duy đại số, tư duy hình học, tư duy xác suất, tư
duy hàm… như là cách thức đặc trưng mà cá nhân suy nghĩ, lập luận, phân tích…
trong từng lĩnh vực đó. Quan niệm này dựa trên các công trình của các tác giả như
Radford (2008) về tư duy đại số, Van Hiele (1968) về tư duy hình học… Lưu ý rằng
ở đây chúng ta cần phân biệt bản chất tư duy (tư duy đại số, tư duy hình học, tư duy
hàm) với các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa….
Đại số là một phân nhánh lớn của toán học, cùng với lý thuyết số, hình
học và giải tích. Theo nghĩa chung nhất, nghiên cứu đại số là nghiên cứu về ký hiệu
toán học và các quy tắc cho các thao tác các ký hiệu trên; nó là một chủ đề thống
nhất của hầu hết các lĩnh vực của toán học. Phần cơ bản hơn của đại số được gọi
là đại số sơ cấp, phần trừu tượng hơn của nó được gọi là đại số trừu tượng hoặc đại
số hiện đại. Đại số sơ cấp thường được coi là cần thiết cho bất kỳ nghiên cứu toán
học, khoa học, hoặc kỹ thuật nào, cũng như các ứng dụng khác như các ngành y
học và kinh tế.
Đại số sơ cấp khác với số học trong việc sử dụng các khái niệm trừu tượng,
chẳng hạn, sử dụng chữ cái để thay cho chữ số chưa biết hoặc cho phép có nhiều giá
trị. Ví dụ, trong phương trình: x+2=5, chữ cái x là chưa biết, nhưng có thể tìm ra giá
trị của nó(x=3). Trong biểu thức E = mc2, các chữ cái E và mlà các biến số, còn chữ
cái c là một hằng số (tốc độ ánh sáng trong chân không). Đại số tạo ra phương pháp

để giải phương trình và hình thành công thức dễ chấp nhận so với phương pháp cũ
dùng ngôn ngữ viết ra tất cả mọi thứ bằng lời.
Đại số bắt đầu với các tính toán tương tự như số học, với chữ cái thay
cho chữ số. Điều này cho phép chứng minh các định lý hay công thức là đúng mà
không phải quan tâm đến các số liên quan. Ví dụ, trong phương trình bậc hai: ax2 +
bx + c = 0, với a,b,c có thể là bất kỳ số nào, ngoại trừ a ≠ 0 và công thức giải
phương trình bậc hai có thể dễ dàng tìm thấy những giá trị của biến số x.
19


Có nhiều cách nhìn khác nhau về những gì tạo nên tư duy đại số (Kaput,
2008; Kieran, 2004, 2007). Tuy vậy, các tác giả đều thống nhất rằng khái quát hóa –
khả năng nhận ra cái chung từ những trường hợp riêng – là cơ bản. Khái quát hóa và
biểu tượng hóa được xem như gắn kết chặt chẽ với nhau trong tư duy đại số, bởi vì
sự cần thiết phải biểu đạt một sự khái quát.
Usiskin (1988) mô tả đại số như là cung cấp phương tiện nhờ để mô tả và
phân tích các mối quan hệ. Tác giả nhấn mạnh một khía cạnh trọng yếu của đại số
nhà trường là nghiên cứu các mối quan hệ giữa các đại lượng và các biến như là các
đại lượng có tính biến thiên. Khám phá các mối quan hệ biến thiên như vậy có thể
tạo nên nền tảng cho việc nghiên cứu hàm số về sau. Chẳng hạn, một công thức mô
tả quy luật giữa các biến như y=2x+3, dẫn đến một ký hiệu hàm số, f(x) = 2x+3.
Theo Radford (2014), việc sử dụng các ký hiệu hình thức, biến, đại lượng
chưa biết… không làm nên tư duy đại số, mà chính là khả năng khái quát hóa.
Radford (2014) cho rằng tư duy đại số được đặc trưng qua ba khía cạnh :
 Tính không xác định : bìa toán phải liên quan đến các số chưa biết (ẩn, biến,
tham số…)
 Ký hiệu : các số không xác định phải được đặt tên hoặc ký hiệu
 Tính phân tích : các đại lượng chưa xác định phải được xử lý như thể chúng
là những con số đã biết (chúng ta có thể cộng, trừ, nhân, chia… trên các đại
lượng chưa biết)

Theo Radford, tư duy đại số không chỉ dùng đến ngôn ngữ để diễn đạt, mà
còn là sự kết hợp của cử chỉ, nhịp điệu, trí tưởng tượng, cơ thể, các phương thức
giác quan…để tìm ra công thức đại số trong hoạt động khái quát hóa mẫu hình. Qúa
trình kết hợp các yếu tố dấu hiệu học (semiotics) như ngôn từ, cử chỉ, ký hiệu… của
học sinh khi thảo luận để tìm ra lời giải bài toán khái quát hóa mẫu hình được
Radford gọi là quá trình đối tượng hóa (objectification). Chịu ảnh hưởng của thuyết
kiến tạo xã hội của Vygotsky, tư duy theo Radford không chỉ đơn thuần là khía
cạnh nhận thức của trí tuệ, mà còn thể hiện qua các khía cạnh bên ngoài như ngôn
từ, hành động, cử chỉ… Vì vậy, Radford xem xét sự phát triển tư duy đại số của học
sinh qua quá trình khách quan hóa, tức là sự phối hợp và thể hiện của tất cả các yếu
tố dấu hiệu học của học sinh để tìm ra lời giải bài toán khái quát hóa mẫu hình.

20


2.2. Tƣ duy hàmvà các phƣơng tiện hỗ trợ
Một khía cạnh quan trọng của khái quát hóa là khả năng nhận ra các mối
quan hệ giữa các biến, được biểu diễn như những quy luật hàm. Một hướng để phát
triển khả năng hiểu và biểu tượng hóa các mối quan hệ này là thông qua khái quát
hóa các mẫu hình hình học. Nghiên cứu đã cho thấy rằng việc học về các mối quan
hệ hàm qua các mẫu hình trong các ngữ cảnh khác nhau là khả thi đối với trẻ em
(Warren & Cooper, 2008). Nghiên cứu với trẻ em 6 tuổi đã cho thấy chúng có khả
năng biểu đạt các mối quan hệ giữa các đại lượng đồng biến thiên và thậm chí sử
dụng ký hiệu hình thức cho các biến, điều này thách thức các quan niệm trước đây
về việc khi nào và làm thế nào để giới thiệu các khái niệm cơ bản của đại số. Những
kiểu học giới thiệu như vậy kết nối như thế nào với nghiên cứu đại số hình thức hơn
ở nhà trường? Một khả năng nền tảng được tin tưởng là tư duy hàm.
Smith (2008) định nghĩa tư duy hàm như một kiểu “tư duy biểu đạt tập trung
vào mối quan hệ giữa hai (hay nhiều) đại lượng thay đổi, đặc biệt là các kiểu tư duy
dẫn từ các mối quan hệ cụ thể đến sự khái quát hóa của mối quan hệ đó qua các

trường hợp cụ thể”. Nó liên quan đến việc hiểu và sử dụng khái niệm thay đổi và
đại lượng biến thiên (biến) liên quan với nhau. Nó nhấn mạnh việc học của học sinh
về việc các biểu tượng (ký hiệu) như các chữ cái được sử dụng như thế nào để biểu
diễn các đại lượng này và để biểu diễn các kiểu mối quan hệ khác nhau như hàm
tuyến tính, hàm bậc hai, hàm mũ, hàm logarit… Smith (2008) đã đề xuất một khung
nội dung cho tư duy hàm trong đó tư duy đại số xuất hiện khi người học phát hiện ra
các hệ thống biểu đạt để biểu diễn sự khái quát của một mối quan hệ giữa các biến.
Qúa trình liên quan đến việc tham gia vào một tình huống hàm, tạo ra một bảng ghi
các giá trị tương ứng, và tìm kiếm quy luật sẽ hỗ trợ sự hình thành một biểu diễn
khái quát của mối quan hệ dựa trên tính chắc chắn toán học.
Confrey & Smith (1991) xác định ba kiểu tư duy hàm thường được thấy khi
học sinh cố gắng khái quát hóa các mối quan hệ: đệ quy, đồng biến thiên, tương
ứng. Quy luật đệ quy mô tả sự biến thiên trong một dãy đơn lẻ các giá trị, chỉ ra
cách thức để đạt được một số trong một dãy đã cho các số trước đó. Mối quan hệ
đồng biến thiên mô tả cách thức hai đại lượng thay đổi đồng thời trong một mối

21