BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HUẾ
----------

Đ NG NGỌC NH T

PH T TRIỂN TƢ DU CHO HỌC SINH
TRONG DẠ HỌC GIẢI TO N H NH HỌC
GI N TH NG QU C C HOẠT ĐỘNG

H NG

H I TH C

MỐI I N HỆ VỚI H NH HỌC PHẲNG

Chuyên nghành: í luận và Phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

U N VĂN THẠC SĨ GI O DỤC HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN

HO HỌC

GS TS ĐÀO T M

Thừa Thiên Huế, năm 2016
i

ỜI C M ĐO N
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu và kết quả
nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, đƣợc các đồng tác giả cho phép sử
dụng và chƣa từng đƣợc công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả

Đặng Ngọc Nhật

ii


ỜI C M ƠN
----------------------Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Huế dưới sự hướng
dẫn khoa học của Thầy giáo GS.TS Đào Tam. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và lòng
biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã định hướng đề tài và trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ
tôi thực hiện nghiên cứu của mình.
Tôi xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học của
trường Đại học sư phạm Huế và đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn trân trọng tới các thầy
giáo, cô giáo của trường Đại học sư phạm Huế đã tham gia giảng dạy lớp Cao học
khóa 23 chuyên ngành Lí luận và PPDH bộ môn Toán.
Cũng xin gửi lời cám ơn trân trọng tới các thầy giáo, cô giáo tại trường
THPT Chi Lăng – Thành phố Huế - Tỉnh Thừa Thiên Huế đã tạo điều kiện thuận lợi
cho tôi trong suốt quá trình lấy số liệu điều tra cũng như giúp đỡ chúng tôi tiến
hành thực nghiệm sư phạm.
Tôi xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến gia đình tôi, bạn bè và đồng nghiệp của
tôi, những người đã luôn luôn bên tôi, động viên và khuyến khích giúp đỡ tôi trong
quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu của mình.
Tuy bản thân đã có nhiều cố gắng, song luận văn chắc chắn không thể tránh
khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa. Rất mong nhận được những ý kiến

đóng góp của các thầy cô và bạn bè.
Xin chân thành cám ơn!
Thừa Thiên Huế, tháng 10 năm 2016
Tác giả luận văn
Đặng Ngọc Nhật

iii


MỤC ỤC
TRANG PHỤ BÌA .................................................... Error! Bookmark not defined.
LỜI CAM ĐOAN ...................................................................................................... ii
LỜI CÁM ƠN ........................................................................................................... iii
MỤC LỤC ...................................................................................................................1
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN .....................................4
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................5
1. Lý do chọn đề tài .............................................................................................. 5
2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................ 7
3. Đối tƣợng ngiên cứu ......................................................................................... 7
4. Câu hỏi ngiên cứu ............................................................................................ 7
5. Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................................. 8
6. Cấu trúc của luận văn ....................................................................................... 8
CHƢƠNG I CƠ SỞ Ý U N VÀ THỰC TIỄN CỦ ĐỀ TÀI ........................9
1.1. Tổng quan lịch sử nghiên cứu các vấn đề thuộc lĩnh vực đề tài ...................... 9
1.1.1. Tình hình nghiên cứu ở ngoài nƣớc ...........................................................9
1.1.2. Tình hình nghiên cứu ở trong nƣớc ...........................................................9
1.2. Tƣ duy và phát triển tƣ duy ............................................................................ 10
1.2.1. Tƣ duy ......................................................................................................10
1.2.1.1. Khái niệm ........................................................................................ 10
1.2.1.2. Đặc điểm của tƣ duy ....................................................................... 11

1.2.1.3. Quá trình của tƣ duy........................................................................ 12
1.2.1.4. Các thao tác tƣ duy.......................................................................... 14
1.2.1.5. Phân loại tƣ duy .............................................................................. 17
1.2.2. Những loại hình tƣ duy thƣờng gặp trong dạy học môn Toán ................17
1.2.2.1. Tƣ duy logic .................................................................................... 17
1.2.2.2. Tƣ duy logic biện chứng ................................................................. 18
1.2.2.3. Tƣ duy thuật toán ............................................................................ 20
1.2.2.4. Tƣ duy hàm ..................................................................................... 21
1.2.2.5. Tƣ duy phê phán ............................................................................. 23
1.2.2.6. Tƣ duy sáng tạo ............................................................................... 24
1.2.3. Phát triển tƣ duy.......................................................................................26
1.2.3.1. Dấu hiệu đánh giá tƣ duy phát triển ................................................ 26
1


1.2.3.2. Phát triển tƣ duy .............................................................................. 27
1.2.4. Tiềm năng của hình học trong việc phát triển tƣ duy cho học sinh .........28
1.3. Giảng dạy HHKG ở trƣờng THPT ................................................................. 29
1.3.1. Nội dung và mục đích dạy bài tập HHKG ở trƣờng THPT .....................29
1.3.1.1. Nội dung .......................................................................................... 29
1.3.1.2. Mục đích dạy bài tập HHKG ở trƣờng THPT ................................ 30
1.3.2. Đặc điểm, chức năng của bài tập HHKG ở phổ thông và khả năng bồi
dƣỡng năng lực TD cho học sinh ..............................................................................31
1.3.2.1. Đặc điểm cơ bản của môn học HHKG ........................................... 31
1.3.2.2. Chức năng của bài tập HHKG ........................................................ 31
1.4. Mối liên hệ giữa HHKG và HHP ................................................................... 32
1.4.1. Mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng trong DH toán ...........................32
1.4.1.1. Quan điểm duy vật biện chứng ....................................................... 32
1.4.1.2. Cụ thể hoá trong dạy học Toán ....................................................... 32
1.4.1.3. Vận dụng tƣ tƣởng của phép biện chứng về cái chung và cái riêng

vào hoạt động nhận thức trong dạy học Toán....................................................... 32
1.4.2. Mối liên hệ giữa HHKG và HHP .............................................................33
1.4.3. Dạy học giải bài toán HHKG ...................................................................36
1.4.4. Dạy học giải toán HHKG trong mối liên hệ với HHP.............................37
1.5. Các định hƣớng cơ bản của mối liên hệ giữa HHKG và HHP trong giải toán
HHKG ....................................................................................................................... 37
1.5.1. Tách các bộ phận phẳng ra khỏi không gian ............................................37
1.5.2. Sử dụng phƣơng pháp giải hoặc kết quả của một bài toán từ mặt phẳng
sang không gian thông qua tƣơng tự hóa ..................................................................39
1.5.2.1. Sử dụng phép tƣơng tự vào dạy học khái niệm .............................. 39
1.5.2.2. Sử dụng phép tƣơng tự vào dạy học định lý ................................... 40
1.5.3. Sử dụng tính chất bất biến ........................................................................43
1.5.4. Sử dụng phƣơng pháp trải hình ............................................................... 47
KẾT LUẬN CHƢƠNG I ..........................................................................................49
CHƢƠNG II
HỌC

HẢO S T THỰC TRẠNG DẠ

H NG GI N THEO HƢỚNG

HỌC GIẢI TO N H NH

ẾT NỐI VỚI H NH HỌC PHẲNG

ĐỂ PH T TRIỂN TƢ DU HỌC SINH Ở TRƢỜNG PHỔ TH NG ............. 50
2.1. Mục tiêu của việc khảo sát ............................................................................. 50
2



2.2. Đối tƣợng khảo sát ......................................................................................... 50
2.3. Nội dung khảo sát ........................................................................................... 50
2.4. Phƣơng thức khảo sát ..................................................................................... 50
2.5. Công cụ khảo sát ............................................................................................ 50
2.6. Kết quả thu đƣợc từ quá trình khảo sát .......................................................... 50
2.6.1. Kết quả định lƣợng ..................................................................................50
2.6.2. Kết quả định tính .....................................................................................52
KẾT LUẬN CHƢƠNG II .........................................................................................53
CHƢƠNG III. CÁC BIỆN PH P NHẰM PH T TRIỂN TƢ DU
SINH TRONG DẠ

CHO HỌC

HỌC GIẢI TO N H NH HỌC KHÔNG GIAN THÔNG

QUA C C HOẠT ĐỘNG

H I TH C MỐI

I N HỆ VỚI H NH HỌC

PHẲNG ....................................................................................................................55
3.1. Các cơ sở đề đề xuất các biện pháp thực hiện ................................................ 55
3.2. Các biện pháp nhằm phát triển tƣ duy cho học sinh trong dạy học giải toán
hình học không gian thông qua các hoạt động khai thác mối liên hệ với hình học
phẳng ........................................................................................................................ 56
3.2.1. Biện pháp 1 ..............................................................................................56
3.2.2. Biện pháp 2 ..............................................................................................60
3.2.3. Biện pháp 3 ..............................................................................................65
3.2.4. Biện pháp 4 ..............................................................................................69

KẾT LUẬN CHƢƠNG III........................................................................................72
CHƢƠNG IV. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .......................................................73
4.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm.. ................................................................... 73
4.2. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm. ...................................................................... 73
4.3. Nội dung thực nghiệm sƣ phạm. .................................................................... 73
4.4. Kết quả thực nghiệm ...................................................................................... 73
4.4.1. Phân tích định tính. ...................................................................................73
4.4.2. Phân tích định lƣợng .................................................................................74
KẾT LUẬN CHƢƠNG IV .......................................................................................76
ẾT U N CHUNG ..............................................................................................77
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................78
PHỤ LỤC ................................................................................................................. P1

3


D NH MỤC C C CHỮ VIẾT TẮT TRONG U N VĂN

VIẾT TẮT

VIẾT ĐẦ ĐỦ

BT

Bài toán

BP

Biện pháp


DH

Dạy học

Đpcm

Điều phải chứng minh

GV

Giáo viên

HH

Hình học

HHKG

Hình học không gian

HHP

Hình học phẳng

HĐ

Hoạt động

HS


Học sinh

KG

Không gian

Mp

Mặt phẳng

NC

Nghiên cứu

PP

Phƣơng pháp

PPDH

Phƣơng pháp dạy học

SGK

Sách giáo khoa

THPT

Trung học phổ thông


TTTD

Thao tác tƣ duy

TD

Tƣ duy

4


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học không gian (HHKG) là một nội dung rất quan trọng trong chƣơng
trình hình học (HH) phổ thông. Ở bậc trung học cơ sở, học sinh (HS) chủ yếu học
và bƣớc đầu làm quen với những kiến thức mở đầu của HHKG ở gần cuối học kì 2
toán lớp 8. Lên bậc trung học phổ thông (THPT), HS mới đƣợc học HHKG một
cách đầy đủ và có hệ thống ở khối 11. Cách thức xây dựng HHKG khác rất nhiều so
với hình học phẳng (HHP), đối tƣợng và quan hệ giữa các đối tƣợng của HHKG
trừu tƣợng, không trực quan nhƣ HHP. Trong HHP, HS quen xét quan hệ giữa các
đối tƣợng dựa vào hình vẽ trực quan còn HHKG đòi hỏi rất cao trí tƣởng tƣợng của
ngƣời học. Bên cạnh đó có nhiều kiến thức của HHP vẫn đúng trong HHKG nhƣng
cũng có nhiều khái niệm, nhiều quan hệ hoàn toàn đúng trong HHP lại không còn
đúng trong HHKG. Điều này đã gây nên những trở ngại lớn trong việc tiếp thu kiến
thức của HS. Do đó làm thế nào để HS vừa có thể sử dụng những kiến thức cũ, vừa
tiếp thu kiến thức mới sâu sắc và chính xác đó là điều cơ bản trong dạy học (DH)
HHKG.
Thực tiễn giảng dạy ở trƣờng phổ thông (PT) cho thấy hầu hết HS rất e ngại học
HHKG vì đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều HS chƣa quen với tính tƣ
duy (TD) trừu tƣợng của nó, các em thiếu tính thực tế khách quan. Chính vì thế, có

rất nhiều HS học yếu môn học này; thậm chí với nhiều HS, phần HHKG là nỗi ám
ảnh, sợ hãi; khi thấy HHKG các em thƣờng né tránh, ngại giải bởi vì HS còn gặp hố
ngăn cách giữa việc nhận thức HHP và HHKG; HS chƣa đƣợc rèn luyện khả năng
TD phân tích, TD logic; biểu hiện ở chỗ các em thiếu khả năng phân hoạch các
trƣờng hợp riêng, phân hoạch các tính chất trong hình không gian (KG) thành các
bộ phận HHP đã nghiên cứu (NC) quen thuộc. Về phía giáo viên (GV), tôi nhận
thấy rằng nhiều GV cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức
cho HS; đặc biệt GV thật sự thiếu quan tâm giáo dục TD lƣợc đồ KG cho HS, GV
chƣa khai thác các mối liên hệ bên trong giữa các nội dung môn toán bao gồm mối
liên hệ giữa HHP và HHKG. Do đó, để giải bài tập HHKG một cách thành thạo thì
một trong yếu tố quan trọng là biết kết hợp các kiến thức của HHKG và HHP và tìm
ra mối liên hệ bên trong của chúng.
5


Phát triển TD sẽ giúp HS tự tin vào bản thân để không ngừng khám phá, tìm tòi,
phát hiện cái mới; TD sẽ giúp HS chủ động tiếp thu kiến thức, có nghị lực và niềm
tin để chinh phục những khó khăn trong học tập. Mục tiêu chủ yếu của việc phát
triển TD trong DH toán là hoạt động phát triển trí tuệ và nhân cách của HS. Phát
triển trí tuệ đƣợc hiểu cụ thể qua phát triển các năng lực trí tuệ bao gồm năng lực
thu nhận thông tin toán học; năng lực chế biến thông tin toán học; năng lực TD
logic, TD biện chứng, TD phê phán, TD định lƣợng; năng lực khái quát nhanh
chóng và rộng rãi các đối tƣợng, các quan hệ, các mối liên hệ trong toán học; có
tính mềm dẻo trong quá trình TD; năng lực thay đổi nhanh chóng chuyển hƣớng suy
nghĩ từ dạng này sang dạng khác. Nhƣ vậy thông qua hoạt động (HĐ) nhận thức
toán học nói chung, HĐ nhận thức về HHKG nói riêng sẽ nhằm thực hiện mục tiêu
giáo dục nhân cách cho HS; giáo dục TD phê phán; cách giải quyết vấn đề sáng tạo;
cách xử lí thông tin… trong cuộc sống thực tiễn.
Theo các nhà tâm lý học, con ngƣời chỉ bắt đầu TD tích cực khi nảy sinh nhu
cầu cần TD, tức là khi đứng trƣớc một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục,

một tình huống gợi vấn đề, hay nói nhƣ Rubinstein: “Tƣ duy sáng tạo luôn luôn bắt
đầu bằng một tình huống gợi vấn đề”. Việc giải bài toán nói chung, giải toán HHKG
nói riêng đặt HS đứng trƣớc một khó khăn, khó khăn này có thể giải quyết đƣợc nếu
HS nắm vững đƣợc những kiến thức đã học và biết cách vận dụng chúng. Nhƣ vậy
các PP giải toán HHKG chính là những công cụ hữu hiệu để HS có niềm tin, có
động lực để giải các bài toán HH.
Vấn đề bồi dƣỡng phát triển TD cho học sinh đã đƣợc nhiều tác giả trong và
ngoài nƣớc quan tâm NC. Với tác phẩm “Sáng tạo toán học” nổi tiếng, nhà toán
học kiêm tâm lý học G.Polya đã nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán, quá
trình sáng tạo toán học. Đồng thời trong tác phẩm “Tâm lý năng lực toán học của
học sinh”. Ở nƣớc ta, các tác giả Hoàng Chúng [5]; Lê Hiển Dƣơng [10]; Nguyễn
Thái Hòe [27]; Trần Luận [34]; Tôn Thân [53]; Trần Thúc Trình [54];… đã có công
trình giải quyết những vấn đề về lý luận và thực tiễn việc phát triển TD cho HS.
HHKG là một chủ đề khó đối với hầu hết HS và một số ít GV. Trong thời
gian qua, cũng có không ít đề tài nghiên cứu HHKG nhƣ : Luận văn Thạc sĩ giáo
dục học của Cao Thị Hà [15], Nguyễn Thị Xuân Lan [32], Nguyễn Thị Tuyết Mai
6


[35], Đinh Công Văn [57], Nguyễn Đoàn Thế Vinh [58],....Tuy nhiên, chƣa có công
trình nào NC về phát triển TD cho HS trong DH giải toán HHKG thông qua các HĐ
khai thác mối liên hệ với HHP.
Nhƣ vậy, việc bồi dƣỡng và phát triển TD trong hoạt động DH toán đƣợc rất
nhiều nhà NC quan tâm. Tuy nhiên, việc phát triển TD cho HS thông qua DH giải
toán HHKG ở trƣờng THPT thì các tác giả chƣa khai thác và đi sâu vào NC cụ thể.
Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài NC của luận văn này là:

2. Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu chung và tổng quát của đề tài là NC việc khai thác các HĐ gắn kết
HHP với HHKG trong DH giải toán KG nhằm phát triển TD cho HS. Từ mục tiêu

chung đó, trong NC này chúng tôi hƣớng đến các mục tiêu cụ thể sau:
- NC cơ sở lí luận để làm sáng tỏ các dạng HĐ để rèn luyện TD cho HS
thông qua việc gắn kết giữa HHP với HHKG.
- Xác định các loại hình TD đƣợc thể hiện qua các HĐ kết nối giữa HHP với
HHKG.
- Trên cở sở lí luận đã NC và kết quả khảo sát thực trạng của HS ở THPT,
chúng tôi đƣa ra các biện pháp luyện tập các HĐ kết nối phẳng và KG nhằm phát
triển TD cho HS.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Xác định và tổ chức luyện tập cho HS các HĐ kết nối tri thức HHP với tri
thức HHKG cần dạy nhằm phát triển các dạng TD cho HS trung học phổ thông.
4. Câu hỏi nghiên cứu
Câu hỏi 1: Trong quá trình dạy học HHKG theo hƣớng phát triển TD thì GV
và HS sẽ gặp những khó khăn gì?
Câu hỏi 2: Vì sao cần phải tổ chức các HĐ kết nối tri thức HHP với tri thức
HHKG cần dạy ?
Câu hỏi 3: Làm thế nào để việc dạy học HHKG theo hƣớng phát triển TD
cho HS thông qua các HĐ khai thác mối liên hệ với HHP?

7


5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm
lý học, lý luận DH môn toán. Các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ
cho đề tài. Các công trình NC có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.
-N

ứ


ự

ễn: Phát phiếu điều tra để khảo sát thực trạng, tiến hành

dự giờ, thăm lớp để tìm hiểu việc dạy chủ đề HHKG tại một số trƣờng thuộc tỉnh
Thừa Thiên Huế.
-T ự

m: Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua các lớp

thực nghiệm và các lớp đối chứng trên cùng một đối tƣợng ở một số trƣờng thuộc
tỉnh Thừa Thiên Huế. Phân tích kết quả thực nghiệm bằng phƣơng pháp định tính
và định lƣợng.
-T

T

: thống kê các kết quả đã khảo sát.

6. Cấu trúc của luận văn:
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm có bốn chƣơng
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài
Chƣơng 2. Khảo sát thực trạng dạy học giải toán hình học không gian theo hƣớng
kết nối với hình học phẳng để phát triển tƣ duy học sinh ở trƣờng phổ thông .
Chƣơng 3. Các biện pháp nhằm phát triển tƣ duy cho học sinh trong dạy học giải
toán hình học không gian thông qua các hoạt động khai thác mối liên hệ với hình
học phẳng.
Chƣơng 4. Thực nghiệm sƣ phạm.
Ngoài ra, kèm theo luận văn còn có một phụ lục.


8


CHƢƠNG I
CƠ SỞ Ý U N VÀ THỰC TIỄN CỦ ĐỀ TÀI
1.1. Tổng quan lịch sử nghiên cứu các vấn đề thuộc lĩnh vực đề tài
Tƣ duy là một chủ đề của một lĩnh vực NC rất phổ biến, nó nhằm tìm ra các
phƣơng án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả năng sáng tạo và để tăng cƣờng
khả năng TD của một cá nhân hay một tập thể cộng đồng làm việc chung về một
vấn đề hay một lĩnh vực,
Từ xa xƣa, các phƣơng pháp TD đã bắt nguồn khi loài ngƣời biết suy nghĩ. Một
trong các PP đầu tiên đƣợc dùng tới có lẽ là PP tƣơng tự hóa, tiếp theo là các PP
tổng hợp, phân tích, trừu tƣợng và cụ thể hóa chắc chắn đã đƣợc các nhà triết học và
toán học sử dụng trong thời La Mã cổ đại.
Tuy nhiên việc NC có hệ thống và trình bày lại một cách đầy đủ cho từng
phƣơng pháp thì mãi đến đầu thế kỉ thứ 20 mới xuất hiện, đặc biệt sau khi chính
thức phát minh ra PP tập kính não vào năm 1941 của Alex Osborn thì các phƣơng
pháp TD mới thực sự đã đƣợc các nhà NC chú ý tới. Kể từ đó, nhiều NC về TD đã
ra đời trong đó có lĩnh vực toán học.
1.1.1. Tình hình nghiên cứu ở ngoài nƣớc
Trên thế giới, các công trình của nhà tâm lí học ngƣời Mỹ Giulford và
Torance đã nghiên cứu sâu về năng lực TD sáng tạo, bản chất của sự sáng tạo trong
các lĩnh vực khác nhau. Việc bồi dƣỡng năng lực sáng tạo cho HS trong nhà trƣờng
là chủ đề nhiều tác phẩm của các nhà tâm lí học, giáo dục học phƣơng Tây, Liên Xô
(cũ), Nhật Bản, Trung Quốc, …. Với tác phẩm “ Sáng tạo toán học nổi tiếng ” của
nhà toán học kiêm tâm lí học G.Polya đã đi sâu nghiên cứu bản chất của quá trình
giải toán, quá trình sáng tạo toán học và đúc rút ra những kinh nghiệm giảng dạy
của bản thân; đồng thời trong tác phẩm “ Tâm lí năng lực sáng tạo của của học
sinh” của tác giác Krutecxki đã trình bày các nghiên cứu của ông về cấu trúc năng
lực toán học của HS và nêu bật những PP bồi dƣỡng năng lực toán học cho HS.

1.1.2. Tình hình nghiên cứu ở trong nƣớc
Ở Việt Nam cũng có nhiều công trình NC về lí luận và thực tiễn việc phát
triển TD cho HS. Tác giả Hoàng Chúng với cuốn “Rèn luyện khả năng sáng tạo ở
trƣờng phổ thông”, Nguyễn Cảnh Toàn với “Tập cho học sinh giải toán làm quen
9


dần với nghiên cứu toán học”, Nguyễn Bá Kim, Vƣơng Dƣơng Vinh và Tôn Thân
với cuốn “Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn toán ở
trƣờng THCS”, Trần Bá Hoành với bài viết đăng trên tạp chí nghiên cứu giáo dục: “
Phát triển trí sáng tạo cho học sinh và vai trò của giáo viên”.
Gần đây có một số luận văn thạc sĩ cũng NC về vấn đề này, nhƣ Thạc sĩ Bùi
Thị Hà (2002) với đề tài “ Phát triển tƣ duy cho học sinh phổ thông qua dạy học bài
tập nguyên hàm, tích phân”; Thạc sĩ Nguyễn Ngọc Long (2009) với đề tài “Một số
biện pháp kích thích năng lực tƣ duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học giải các
bài tập hình học không gian 11”; Thạc sĩ Khoa Thị Loan (2008) với đề tài “Vận
dụng phƣơng pháp suy luận tƣơng tự trong dạy học hình học không gian lớp 11 theo
hƣớng phát triển tƣ duy sáng tạo của học sinh”; Thạc sĩ Đặng Thị Thanh Xuân
(2010) với đề tài “ Phát triển tƣ duy sáng tạo của học sinh thông qua dạy học phần
đạo hàm trong chƣơng trình toán THPT”…
Nhƣ vậy, vấn đề bồi dƣỡng và phát triển TD trong giảng dạy bộ môn toán đã
thu hút đƣợc sự quan tâm của nhiều nhà NC. Tuy nhiên, chƣa có công trình nào NC
về phát triển TD cho HS trong DH giải toán HHKG thông qua các HĐ khai thác
mối liên hệ với HHP.
1.2. Tƣ duy và phát triển tƣ duy
1.2.1. Tƣ duy
1.2.1.1.

hái niệm


Theo từ điển Tiếng Việt [38, tr.1070]: “Tƣ duy là giai đoạn cao của quá trình
nhận thức đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những
hình thức nhƣ biểu tƣợng, khái niệm, phán đoán và suy lý”. Trong cuốn “Rèn luyện
tƣ duy trong dạy học toán” tác giả Nguyễn Thúc Trình có ghi: “Tƣ duy là một quá
trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính
quy luật của sự vật và hiện tƣợng mà trƣớc đó chủ thể chƣa biết [54, tr.1]. TD có
mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thƣờng bắt đầu từ nhận thức cảm
tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có vấn đề. Dù cho TD
có khái quát và trừu tƣợng đến đâu thì cũng vẫn chứa đựng những thành phần cảm
tính. Trong quá trình diễn biến của mình, TD nhất thiết phải sử dụng nguồn tài liệu
phong phú do nhận thức cảm tính đem lại. Con ngƣời chủ yếu dùng ngôn ngữ để
10


nhận thức vấn đề, để tiến hành các thao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả của TD.
Ngôn ngữ đƣợc xem là phƣơng tiện của TD. Sản phẩm của TD là những khái niệm,
phán đoán, suy luận đƣợc biểu đạt bằng những từ ngữ, câu, kí hiệu, công thức,….
Theo quan niệm của tâm lí học: TD là một quá trình tâm lí thuộc nhận thức
lý tính, là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác. TD phản
ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự
vật hiện tƣợng mà trƣớc đó ta chƣa biết.
Ví dụ 1 1 Khi gặp hình lập phƣơng thì nhận thức cảm tính cho ta biết ngay
đó là hình có dạng hình hộp mà đáy và các mặt xung quanh đều là hình vuông, …đó
là nhận thức dựa vào định nghĩa, tính chất đã học. Còn TD sẽ cho ta biết tính chất
mặt chéo của nó, thể tích của nó tính nhƣ thế nào?... đó là cái bản chất bên trong của
hình lập phƣơng.
1.2.1.2. Đ c điểm của tƣ duy
Tính “có vấn đề” của tƣ duy là một trong những đặc tính quan trọng hàng
đầu. TD chỉ nảy sinh khi gặp tình huống có vấn đề. Vì vậy, để tăng cƣờng tính chủ
động, tích cực TD, cần phải tạo nhu cầu nhận thức cho HS. Nhu cầu này xuất hiện

trong những trƣờng hợp mà trong HĐ học tập HS gặp phải khó khăn và trở ngại về
nhận thức. Qua đó, các em sẽ tìm tòi, phát hiện ra các tri thức mới. Trong DH, tính
“có vấn đề” của TD thƣờng đƣợc khai thác khi NC tài liệu mới. GV tạo ra và đặt
HS vào tình huống có vấn đề, cung cấp những tài liệu ngôn ngữ để các em quan sát.
HS tự quan sát, phân tích, so sánh và rút ra những kết luận cần thiết.
Ví dụ 1.2. Khi dạy bài “Đường thẳng và mặt

A

phẳng song song” trong chƣơng trình HH lớp 11 cơ

Q
R

bản, GV hƣớng dẫn HS giải ví dụ trang 61 sau: “Cho tứ

M

diện ABCD. Lấy M là điểm thuộc miền trong của tam
giác ABC. Gọi () là mặt phẳng qua M và song song
với các đƣờng thẳng AB và CD. Xác định thiết diện tạo
bởi () và tứ diện ABCD. Thiết diện đó là hình gì?

D

B
N

P
C


Hình 1.1

Khi gặp ví dụ này thì HS sẽ lúng túng. Theo kiến thức đã biết, các em đi tìm
xem có thể xác định đƣợc đƣờng thẳng nào nằm trong  để từ đó tìm giao điểm
với các cạnh của tứ diện. Nhƣng theo giả thiết BT, không thể tìm đƣợc cạnh nào
11


thuộc vào  theo cách thông thƣờng Xuất hiện hoàn cảnh có vấn đề. Nhƣ vậy
HS sẽ tìm kiến thức mới để vận dụng giải quyết vấn đề, mà ở đây là định lý 2 [17,
tr.61] các em vừa học.
Tƣ duy liên hệ ch t chẽ với ngôn ngữ. Quá trình TD nhất thiết phải sử
dụng ngôn ngữ là phƣơng tiện: giữa TD và ngôn ngữ có mối quan hệ không thể chia
cắt, TD và ngôn ngữ phát triển trong sự thống nhất với nhau.
Tƣ duy không tách rời quá trình nhận thức cảm tính. TD phải dựa vào
những tài liệu nhận thức cảm tính, trên kinh nghiệm, trên cơ sở trực quan sinh động,
ngƣợc lại TD và sản phẩm của nó cũng ảnh hƣởng đến quá trình nhận thức cảm
tính.
Ví dụ 1 3 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của BC và
BD; CD = a, AB = 2a . Mặt phẳng  cắt AD, AC lần lƣợt tại P, Q. Tìm thiết diện
của hình chóp cắt bởi (). Thiết diện là hình gì?
Với các dữ liệu của bài toán (BT): M, N là trung điểm của BC và BD  MN
// CD, () qua MN và song song AB. (Các dữ liệu đều nói đến quan hệ song song)
 Ta có thể đoán đƣợc rằng thiết diện là hình bình hành.
Ngoài ra, TD còn có tính gián tiếp và tính khái quát. Thông qua đó ta có
khả năng hiểu biết những đặc điểm bên trong, những đặc điểm bản chất mà các giác
quan không phản ánh đƣợc. Nhờ hai đặc tính này, quá trình TD bổ sung cho nhận
thức và giúp con ngƣời nhận thức hiện thực một cách toàn diện.
Ví dụ 1.4.(tính gián tiếp) Bằng các phần mềm toán học nhƣ Geometer's

sketchpad, Geogebra, Carbi, ... kết hợp với máy vi tính, ta dễ dàng minh họa và
hƣớng dẫn cho HS: thể tích của khối đa diện là phần nào? thiết diện tạo thành khi
mặt phẳng cắt hình chóp là nhƣ thế nào?...
Ví dụ 1.5.(tính khái quát) Khi hƣớng dẫn HS giải bài tập về tứ diện đều, ta
có thể gợi ý cho các em tìm hiểu cách tính và GV hỏi HS bài tập đó có còn đúng khi
áp dụng vào tứ diện bất kỳ hay không.
1.2.1.3. Quá trình của tƣ duy
TD xuất hiện nhƣ một quá trình theo qui luật diễn biến của nó. Quá trình này
có các giai đoạn kế tiếp nhau.

12


Giai đoạn 1: Nhận thức vấn đề, tức là xác định vấn đề và diễn đạt nó thành
nhiệm vụ TD. Khi gặp tình huống có vấn đề, chủ thể phải ý thức đƣợc đó là tình
huống có vấn đề đối với bản thân, phải phát hiện ra mâu thuẫn chứa đựng trong tình
huống đó, tạo ra nhu cầu giải quyết vấn đề, tìm thấy tri thức đã có trong kinh
nghiệm cá nhân có liên quan đến vấn đề, sử dụng tri thức đó vào giải quyết vấn đề
từ đó đề ra nhiệm vụ TD.
Giai đoạn 2: Xuất hiện liên tƣởng, tức là huy động các tri thức, vốn kinh
nghiệm của bản thân có liên quan đến vấn đề, làm xuất hiện trong bộ não chủ thể
TD những mối liên tƣởng xung quanh vấn đề đang cần giải quyết.
Giai đoạn 3: Sàn lọc những liên tƣởng, gạt bỏ những cái không cần thiết,
hình thành giả thuyết về vấn đề nếu có thể.
Giai đoạn 4: Hình thành cách giải quyết vấn đề, nếu giả thuyết sai thì phủ
định lại nó để hình thành giả thuyết mới, nếu giải thuyết đƣợc khẳng định thì
chuyển sang giai đoạn 5.
Giai đoạn 5: Giải quyết vấn đề đi đến kết quả.
Các giai đoạn của TD đƣợc K.K.Platônôp cụ thể hóa bằng sơ đồ sau: [51, tr.18]
Nhận thức vấn đề

CÂU HỎI
Xuất hiện các liên tƣởng
Sàng lọc liên tƣởng và hình thành giải quyết

GIẢ
THUYẾT

Kiểm tra giả thuyết
Khẳng định

Phủ định

Chính xác hóa

Tìm giả thuyết mới

Giải quyết vấn đề
đđề

Hành động tƣ duy mới
Sơ đồ 1.1. Quá trình tư duy

13

XÁC
MINH

QUYẾT
ĐỊNH



Ví dụ 1 6 Xét BT: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam
giác cân, có chung đáy BC. Chứng minh rằng BC  AD.
Nhận thức vấn đề: Giả thiết ABC cân tại A, BCD

A

cân tại D. Kết luận BC  AD
Xuất hiện liên tưởng: Để chứng minh các đƣờng
thẳng này vuông góc với nhau, có các cách sau:

D

- Cách 1: Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng B
E

(mp) chứa AD.
- Cách 2: Chứng minh BC vuông góc với đƣờng thẳng

C

Hình 1.2

song song AD.
- Cách 3: mp vuông với hai cạnh của tam giác chứa AD.
Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết: Cách 2 không phù hợp, đối với
2 cách còn lại, nhận xét rằng tam giác hay mp chứa AD không thể là (ABD) hay
(ACD) vì BC không thể vuông góc với AB, AC  Tìm mp hay tam giác khác.
Trong ABC ta kẻ thêm đƣờng thẳng mà đƣờng thẳng này phải vuông góc BC, suy
ra đƣờng cao AE (E  BC). Do ABC cân tại A nên E là trung điểm BC.

Kiểm tra giả thuyết: Với E là trung điểm BC  AE  BC. Mà DBC cân tại
 DE  BC BC  AD (theo cách 3)
Với giả thuyết đƣợc kiểm tra, bƣớc cuối cùng là ta trình bày lại với lời giải.
1.2.1.4. Các thao tác tƣ duy
Tính giai đoạn của TD mới chỉ phản ánh đƣợc cấu trúc bên ngoài của TD,
còn nội dung bên trong của mỗi giai đoạn trong hành động TD lại là một quá trình
diễn ra trên cơ sở những thao tác tƣ duy (TTTD). Có thể nói các thao tác trí tuệ
chính là các quy luật bên trong của TD. Theo các kết quả NC trong tâm lý học, TD
diễn ra thông qua các thao tác sau:
- Phân tích: là quá trình dùng trí óc để phân chia đối tƣợng nhận thức thành
các bộ phận, các thành phần khác nhau từ đó vạch ra đƣợc những thuộc tính, những
đặc điểm của đối tƣợng nhận thức hay xác định các bộ phận của một tổng thể bằng
cách so sánh, phân loại, đối chiếu, làm cho tổng thể đƣợc hiển minh.
- Tổng hợp: là quá trình dùng trí óc để hợp nhất, sắp xếp hay kết hợp những
bộ phận, những thành phần, những thuộc tính của đối tƣợng nhận thức đã đƣợc tách
14


rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể để từ đó nhận thức đối tƣợng một cách bao
quát, toàn diện hơn. Trong TD, tổng hợp là thao tác đƣợc xem là mang dấu ấn sáng
tạo. Khi nói ngƣời có “đầu óc tổng hợp” thì cũng tƣơng tự nhƣ nói ngƣời có “đầu óc
sáng tạo”.
Ví dụ 1.7. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M và N lần lƣợt là trung điểm
của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng BN và CM.
Đây là một BT tƣơng đối khó vì nếu HS

A

vận dụng cách giải thông thƣờng thì HS gặp rất
nhiều khó khăn. Nhờ thao phân tích và tổng hợp


M

thì HS giải BT bằng cách nhƣ sau: Phân tích giả
thiết bài toán thì HS nhận thấy các yếu tố cho
trong BT chứa đựng các bất biến của phép chiếu

D

B

vuông góc nhƣ : trung điểm của đoạn thẳng,
khoảng cách, tỉ số của hai đoạn thẳng cùng
phƣơng, góc vuông.

H

N

C

Hình 1.3

Thao tác phân tích này đƣợc tiến hành trên cơ sở tổng hợp nhƣ vậy thì BT đã
cho có thể đƣợc giải bằng cách sử dụng phép chiếu vuông góc và dẫn đến BT phẳng
quen thuộc mà HS có thể giải đƣợc.
Thao tác này đƣợc tiến hành nhƣ sau: Sử dụng phép chiếu lên mặt phẳng (P)
vuông góc với BN tại N (ký hiệu phép chiếu f).
Vì ABCD là tứ diện đều và N là trung điểm CD nên BN  CD và CD  (P)
Gọi H là chân đƣờng cao kẻ từ A đến (BCD) (H  BN)

Khi đó f: A, B, M, C, D, H  A1, N, M1, C, D, N
Theo giả thiết suy ra A1C = A1D, A1N  CD, M1A1 = M1N,
NA1 = HA = a

2
; d(MC, NB) = d(N, CM1)
3

Bài toán phẳng như sau: Cho tam giác A1CD cân tại A1 có cạnh CD = a,
NA1 = a

2
. Gọi M và N1 lần lượt là trung điểm của CD và A1N. Tính khoảng
3

cách từ N đến CM1.

15


- So sánh - tƣơng tự: là TTTD nhằm xác định sự giống nhau và khác nhau
giữa các sự vật hiện tƣợng của hiện thực. Nhờ so sánh ngƣời ta có thể tìm ra các dấu
hiệu bản chất giống nhau và khác nhau của các sự vật. Ngoài ra còn tìm thấy những
dấu hiệu bản chất và không bản chất thứ yếu của chúng.
Ví dụ 1 8. Trong HHP hai đƣờng thẳng cùng vuông góc với đƣờng thứ ba thì
song song với nhau.Tƣơng tự trong KG, hai đƣờng thẳng cùng vuông góc với một
mp thì song song với nhau.
Ví dụ 1.9. Trong HHKG và HHP ta có nhiều BT tƣơng tự nhau nhƣ:
- Trong mặt phẳng ta có bài toán: “Cho tam giác ABC. Gọi O, G, H lần lƣợt
là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác đó. Chứng minh ba

điểm O, G, H thẳng hàng”. Trong HHKG ta có bài toán: “Cho tứ diện trực tâm
ABCD. Gọi O, G, H lần lƣợt là tâm mặt cầu ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tứ
diện. Chứng minh O, G, H thẳng hàng”.
- Trong mặt phẳng có bài toán: “Cho ABC có BC = a, AB = c, AC = b. Gọi
I là tâm đƣờng tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh: aIA  bIB  cIC  0 ”. Trong
HHKG ta có bài toán: “Cho tứ diện ABCD có diện tích các mặt là SΔBCD  S1 ,

SΔACD  S2 , SΔABD  S3 , SΔABC  S4 . Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện. Chứng
minh rằng: S1 IA  S2 IB  S3 IC  S4 ID  0 ”.
- Trừu tƣợng hoá: trừu tƣợng hoá là quá trình dùng trí óc để gạt bỏ những
mặt, những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệ thứ yếu, và chỉ giữ lại những yếu
tố đặc trƣng, bản chất của đối tƣợng nhận thức.
Ví dụ 1 10 Khi nói đến tam diện vuông ta phải liên tƣởng ngay đến hình ảnh
thực tế nhƣ: góc tƣờng, đỉnh của một hình hộp, …
- Khái quát hoá: là quá trình dùng trí óc để hợp nhất nhiều đối tƣợng khác
nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ
chung, bản chất của sự vật, hiện tƣợng. Kết quả của khái quát hoá là cho ra một đặc
tính chung của hàng loạt các đối tƣợng cùng loại hay tạo nên nhận thức mới dƣới
hình thức khái niệm, định luật, quy tắc.
Ví dụ 1.11. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của một tứ diện đều cạnh a.
Bài toán khái quát: Tính khoảng cách giữa hai cạnh AB, CD của tứ diện
ABCD biết AB = BC = AD = BD = a, AB = m, CD = n.
16


1.2.1.5. Phân loại tƣ duy
Cho đến nay, vẫn chƣa có sự thống nhất khi phân loại TD. Tuy nhiên, có hai
cách phân loại TD phổ biến nhất, đó là:
a) Phân loại TD theo đối tượng: Với cách phân loại này, ta có các loại TD
sau: TD kinh tế; TD chính trị; TD văn học; TD toán học; TD nghệ thuật; TD kỹ

thuật; TD khoa học; …
b) Phân loại TD theo đặc trưng của TD: Với cách phân loại này, ta có các
loại TD sau: TD cụ thể; TD trừu tƣợng; TD logic; TD biện chứng; TD sáng tạo; TD
phản biện; TD phản ánh, …
1.2.2. Những loại hình tƣ duy thƣờng g p trong dạy học môn Toán
1.2.2.1. Tƣ duy logic
Tƣ duy logic là TD thay thế các hành động với các sự vật có thực bằng sự
vận dụng các khái niệm theo qui tắc của logic học. TD logic là thứ TD chặt chẽ,
không mâu thuẫn, nó không chỉ là thực hiện giải quyết vấn đề, mà còn là phƣơng
hƣớng giải quyết. Ta sẽ thấy rằng, nếu hiểu một cách đầy đủ thì TD logic đóng vai
trò quan trọng trong việc phát hiện và giải quyết vấn đề, nó chứa đựng cả những
thao tác tiền logic, nhƣ mò mẫn, dự đoán, bác bỏ, khẳng định, đặt giả thuyết. Theo
quan điểm trên, TD lôgic chứa đựng ba thành phần cơ bản đó là: suy diễn, dự đoán,
chia trƣờng hợp riêng. Tuy nhiên, mức độ của từng thành phần ấy thì không đƣợc
định chuẩn một cách rõ ràng, bởi nhƣ đối với dự đoán chẳng hạn, cũng có nhiều
mức độ, đối với suy diễn thì cũng có những cái trực tiếp và gián tiếp.
Vấn đề dự đoán trong TD lôgic thƣờng gặp nhiều trong DH toán ở trƣờng
PT, nhƣ các BT quĩ tích HHP, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số khi chƣa
có công cụ đạo hàm, đặc biệt là những dự đoán về phƣơng hƣớng giải quyết BT.
Ví dụ 1 12. Sau khi học xong khái niệm đƣờng vuông góc chung của hai
đƣờng thẳng chéo nhau thì GV có thể hỏi HS:
- Câu hỏi 1: Cách tìm khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau.
- Câu hỏi 2: Mấu chốt tìm khoảng cách của hai đƣờng thẳng chéo nhau là
gì? Từ đó hãy nêu mấu chốt của lời giải BT tính khoảng cách.
Đây là một tình huống củng cố kiến thức thỏa mãn điều kiện có nhiều cách
giải quyết vấn đề.
17


Khi đó HS sử dụng TD logic hiện có của mình để đƣa ra câu trả lời cần

thiết nhất nếu có thể nhƣ sau:

1
- Câu hỏi 1: Có 4 cách:  : Tìm độ dài đƣờng vuông góc chung
2  : Tìm khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đƣờng thẳng này đến mp

song song với nó và chứa đƣờng thẳng thẳng còn lại.

3  : Tìm khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng chứa đƣờng

thẳng này đến mp song song với nó và chứa đƣờng thẳng thẳng còn lại.

4
 : Tìm khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đƣờng thẳng này đến mp
song song với nó và chứa đƣờng thẳng thẳng còn lại.
- Câu hỏi 2: Mấu chốt tìm khoảng cách của hai đƣờng thẳng chéo nhau là
xác định đƣợc điểm thuận lợi (thƣờng là chân đƣờng cao hình chóp, hình lăng trụ).
Mấu chốt của lời giải BT tính khoảng cách là xác định được điểm thuận lợi (thường
là chân đường cao hình chóp, hình lăng trụ).
Tuy nhiên, GV cần tính đến tình huống HS gặp khó khăn khi trả lời hai câu
hỏi trên. Khi đó. GV phải dẫn dắt thêm cho HS để cho HS tự rèn luyện TD để thực
hiện đƣợc nhiệm vụ mà GV đã giao. Chẳng hạn:
Nếu a chéo b và a  b thì có thể dựng mp(P) chứa b vuông góc với a và cắt
a tại A đƣợc không? Nếu đƣợc thì từ A có thể dựng AB  b đƣợc không?
Nếu a chéo b và a không vuông góc với b thì ta làm tƣơng tự nhƣ trên đƣợc
không? Hãy nêu rõ các bƣớc làm nếu có thể ?
Tóm lại: TD logic là một trong những kĩ năng không thể thiếu trong lĩnh vực
NC, đặc biệt đối với việc lĩnh hội các môn khoa học tự nhiên. Vì vậy, việc phát triển
TD lôgic của HS là một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của GV dạy
Toán đối với mọi cấp học và cần phải thường xuyên quan tâm tới việc phát triển TD

logic của HS.
1.2.2.2. Tƣ duy logic biện chứng
Logic biện chứng là một học thuyết của triết học về những quy luật chung
nhất của sự nảy sinh và sự phát triển của tự nhiên, xã hội. Tƣ duy logic biện chứng
là loại hình TD gắn liền với logic biện chứng. Toán học cũng là đối tƣợng của logic
18


biện chứng. Trong NC toán học cũng nhƣ trong DH môn toán thƣờng gặp các cặp
phạm trù: cụ thể - trừu tƣợng, khả năng - hiện thực, cái chung - cái riêng, nội dung
- hình thức, phân tích - tổng hợp, …
Tính chất bản chất của TD đƣợc đặc trƣng bởi nhận thức tính thay đổi (vận
động và sự phát triển), tính hai mặt (mâu thuẫn và sự thống nhất), tính toàn diện (sự
liên hệ tƣơng hỗ và phụ thuộc lẫn nhau của các khái niệm và các quan hệ, tính lịch
sử và tính khách quan. TD biện chứng tuân theo các quy luật của lôgic biện chứng.
Ví dụ 1.13. (Về cặp phạm trù nội dung – hình thức). Khi dạy học nội dung
khái niệm “Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng” thì GV có thể hƣớng dẫn HS trình
bày theo các hình thức thể hiện sau:
- Hình thức 1: “Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là mặt phẳng đi qua
trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng đó”.
- Hình thức 2: “Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm
cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó”.
- Hình thức 3: “Mặt phẳng (P) vuông góc với AB và đi qua trung điểm M
của đoạn AB đƣợc gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB”.
Ví dụ 1.14. (Về cặp phạm trù khả năng – thực hiện). Để chứng minh đƣờng
thẳng vuông góc với mp trong KG (hiện thực) thì HS có thể nghĩ đến những khả
năng sau:
- Khả năng 1: sử dụng định nghĩa “a  (P) khi a vuông góc với mọi đƣờng
thẳng nằm trong (P)”.
- Khả năng 2: Sử dụng điều kiện để đƣờng thẳng vuông góc với MP

“a  (P)  a vuông góc với 2 đƣờng thẳng đồng qui trong (P)”.
- Khả năng 3: Sử dụng mối quan hệ giữa vuông góc và song song
“Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đƣờng thẳng song song thì
cũng vuông góc với đƣờng thẳng kia”.
“Đƣờng thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì
cũng vuông góc với mặt phẳng kia”.
- Khả năng 4: Sử dụng hệ quả của định lí hai đƣờng thẳng vuông góc

(P)  (Q); (P)  (Q)  
 d  (Q)

d  (P), d  
19


Tóm lại: Mọi sự vật, hiện tượng đều xảy ra trong một quy luật biện chứng.
Do đó, khi xem xét sự vật, ta phải xem xét một cách đầy đủ trong tất cả các mặt, cần
phải nhìn nhận sự vật trong mối quan hệ biện chứng, tức là phải xem xét toàn diện
mọi khía cạnh liên quan. Từ đó có cái nhìn đúng đắn và tổng quan hơn cho sự vật,
hiện tượng.
1.2.2.3. Tƣ duy thuật toán
Theo Nguyễn Bá Kim: “Thuật toán là một quy tắc chính xác và đơn vị quy
định một số hữu hạn những thao tác nguyên tố theo một trật tự xác định trên những
đối tƣợng sao cho một số hữu hạn các thao tác đó ta thu đƣợc kết quả nhƣ mong
muốn.”. Ngƣời ta cũng hiểu thuật toán là quy luật diễn tả cách giải một bài toán
trong toán học.
Để mô tả thuật toán, ngƣời ta có nhiều hình thức khác nhau, phù hợp với cơ
cấu thực hiện thuật toán. Ngƣời ta thƣờng biểu diễn thuật toán với các hình thức:
ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, sơ đồ khối, ngôn ngữ phỏng trình, ngôn
ngữ lập trình.

Ví dụ 1.15. Nhiều vấn đề (hay BT) toán học đƣợc giải quyết bằng thuật
toán. Chẳng hạn: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng; xác định góc giữa đƣờng thẳng
và mặt phẳng; xác định góc giữa hai mặt phẳng; xác định đƣờng vuông góc chung
của hai đƣờng thẳng chéo nhau; …
Ta thấy thuật toán có những thao tác cụ thể, sẽ kết thúc sau một số hữu hạn
các thao tác và cho ta kết quả cần tìm. Trong các HĐ của con ngƣời nói chung, các
HĐ học tập nói riêng, đặc biệt là hoạt động DH toán học ta thƣờng phải: Đầu tiên
thể hiện khả năng thực hiện thuật toán: Thực hiện những thao tác theo một trình tự
xác định phù hợp với một thuật toán. Tiếp theo là các HĐ thể hiện năng lực xây
dựng thuật toán đó là: Phân tích một quá trình thành những thao tác đƣợc thực hiện
theo một trình tự xác định; khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối
tƣợng riêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên cùng một lớp đối tƣợng; mô tả chính
xác quá trình tiến hành một HĐ, phát hiện thuật toán tối ƣu để giải quyết một công
việc. Theo Chu Cẩm Thơ [51, tr.68], trên cơ sở của khái niệm thuật toán và thực tế
DH, ta thấy có rất nhiều HĐ thể hiện ít hay nhiều TD thuật toán trong các nội dung
toán học. Do đó ta có thể thấy ngay vai trò của TD thuật toán trong DH. Thông
20


thƣờng, ngƣời ta sử dụng thuật toán DH để dạy khái niệm và các phép giải toán có
thể mô tả thành quy tắc thuật toán. Có thể là những quy tắc này chƣa thực sự là
thuật toán theo các điều kiện cần. Theo Nguyễn Bá Kim (2006), ta gọi những quy
tắc nhƣ vậy là các quy tắc tựa thuật giải, nó phân biệt với thuật toán ở các điểm sau:
Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chƣa mô tả hành động một cách xác định; kết quả
thực hiện mỗi chỉ dẫn có thể không đơn trị; quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng
sau một số hữu hạn bƣớc thì đem lại kết quả là lời giải của lớp BT.
Mặc dù còn một số hạn chế nhƣ trên so với thuật toán, quy tắc tựa thuật toán
cũng vẫn là những tri thức phƣơng pháp có ích cho quá trình HĐ và giải toán.
Tóm lại: Rèn luyện TD thuật toán thông qua việc thực hiện các HĐ sau: Tập
luyện các HĐ ăn khớp với thuật toán (những ví dụ điển hình, phân tích, giảng giải

để mô phỏng thuật toán; phát biểu thành quy tắc; so sánh với các thuật toán khác;
tìm thuật toán tối ưu. Nói chung, có một thuật giải cho tất cả các BT được nêu như
sau: Bước 1: Toán học hóa BT; nhận dạng, viết số liệu. Bước 2: Tiến hành giải theo
quy trình. Bước 3: Kết luận, tìm cách giải hay hơn,…
1.2.2.4. Tƣ duy hàm
Tƣ duy hàm là các HĐ trí tuệ liên quan đến sự tƣơng ứng giữa các phần tử
của một, hai, hay nhiều tập hợp, phản ánh các mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa
các phần tử của tập hợp đó trong sự vận động của chúng. (Nguyễn Thúc Trình,
2003) [51, tr.70]. Tƣ duy hàm là quá trình nhận thức liên quan đến sự tƣơng ứng,
những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều tập hợp trong sự
vận động của chúng. (Nguyễn Bá Kim, 2006) [51, tr.70]. Tƣ duy hàm là một
phƣơng thức TD đƣợc biểu thị bởi việc tiến hành các HĐ đặc trƣng sau:
(1) HĐ phát hiện và thiết lập sự tƣơng ứng: HĐ phát hiện là khả năng nhận
ra những mối liên hệ tƣơng ứng tồn tại khách quan. Chẳng hạn nhƣ mối liên hệ
tƣơng ứng giữa độ dài cạnh của hình vuông với diện tích của nó. HĐ thiết lập sự
tƣơng ứng là khả năng tạo ra những sự tƣơng ứng theo quy định chủ quan của mình
nhằm tạo sự thuận lợi cho mục đích nào đó.
(2) HĐ nghiên cứu sự tƣơng ứng: HĐ này nhằm phát hiện những tính chất
của những mối liên hệ nào đó. Chẳng hạn, diện tích hình chữ nhật bằng tích độ dài
hai cạnh của nó; trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình chữ nhật có diện
21


tích lớn nhất khi hai cạnh của nó bằng nhau (hay hình chữ nhật trở thành hình
vuông). HĐ này bao gồm nhiều phƣơng diện khác nhau nhƣng có thể cụ thể hoá
thành ba tình huống sau: Tình huống 1. Xác định giá trị ra khi biết giá trị vào; xác
định giá trị vào khi biết giá trị ra; nhận biết quy tắc tổng quát của một mối liên hệ
(trong các trƣờng hợp có thể) khi cho biết các cặp phần tử tƣơng ứng của mối liên
hệ đó (hay khi cho cặp giá trị vào và giá trị ra); nhận biết tính đơn trị của sự tƣơng
ứng. Tình huống 2. Đánh giá sự biến thiên mong muốn của giá trị ra khi thay đổi giá

trị vào; thực hiện một sự biến thiên mong muốn đối với giá ra bằng cách thay đổi
giá trị vào; dự đoán sự phụ thuộc. Tình huống 3. Phát triển và NC những bất biến;
những trƣờng hợp đặc biệt và những trƣờng hợp suy biến.
(3) HĐ lợi dụng sự tƣơng ứng: Từ chỗ NC, nắm đƣợc tính chất của một sự
tƣơng ứng có thể lợi dụng sự tƣơng ứng đó vào một hoạt động nào đó. Chẳng hạn
nhƣ lợi dụng việc khảo sát sự biến thiên của hàm số để tìm cực trị của hàm số, để
giải và biện luận phƣơng trình hay để chứng minh bất đẳng thức.
Ba loại HĐ này gắn bó chặt chẽ với nhau, HĐ trƣớc là tiền đề cho HĐ sau
và HĐ sau là mục đích, cơ sở hình thành HĐ trƣớc.
Ví dụ 1.16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm
O. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm SA và SD. Chứng minh: mp(OMN) // mp(SBC)
Đây là BT chứng minh hai mp song song, ta

S

có thể chuyển về việc chứng minh hai đƣờng thẳng
ảnh song song trên mp chiếu nhờ cách chọn phép

M

N

chiếu song song sao cho ảnh của hai mp là các
đƣờng thẳng.

A

D

Giải:

Chọn phép chiếu f((ABCD), SB)

M'

O

Khi đó f: S  B, B  B, C  C  f: (SBC)  BC B
f : O  O, M  M’, N  O (vì ON // SB)

C

Hình 1.4

 f: (OMN)  OM’
BT chứng minh (OMN) // (SBC) chuyển về bài toán chứng minh OM’ // BC
Thật vậy: Vì MM’ // SB nên M’ là trung điểm của AB
Trong ABC có OM’ là đƣờng trung bình ứng với cạnh BC nên OM’ // BC
22