MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ......................................................................................................... i
Lời cam đoan .......................................................................................................... ii
Lời cảm ơn ............................................................................................................. iii
Mục lục ................................................................................................................... 1
Danh mục các chữ viết tắt ...................................................................................... 4
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 5
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................ 5
2. Mục tiêu nghiên cứu ...................................................................................... 6
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 6
4. Giả thuyết khoa học ....................................................................................... 7
5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 7
6. Đóng góp luận văn ......................................................................................... 7
7. Bố cục luận văn.............................................................................................. 7
Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN ................................... 8
1.1. Dạy học theo hướng tiếp cận năng lực người học .................................. 8
1.1.1. Khái niệm năng lực ........................................................................... 8
1.1.2. Năng lực toán học ............................................................................. 9
1.1.3. Tiếp cận năng lực .............................................................................. 11
1.1.4. Dạy học theo hướng phát triển năng lực người học .......................... 13
1.2. Tư duy toán học ........................................................................................ 14
1.2.1. Tư duy ............................................................................................... 15
1.2.2. Đặc điểm của tư duy ......................................................................... 15

1


1.2.3. Một số vấn đề về tư duy toán học ..................................................... 17
1.3. Thao tác tư duy ......................................................................................... 19
1.3.1. Mối liên hệ giữa hoạt động tư duy và thao tác tư duy ...................... 19

1.3.2. Khái quát hóa .................................................................................... 21
1.3.3. Đặc biệt hóa ...................................................................................... 28
1.4. Vai trò của thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa trong dạy học môn
toán ở trường trung học phổ thông .................................................................... 29
1.4.1. Đặc biệt hóa và khái quát hóa trong việc hình thành khái niệm và các
tri thức lí thuyết ...................................................................................................... 29
1.4.2. Đặc biệt hóa và khái quát hóa là phương pháp suy nghĩ, mò mẫm giúp
ta tìm lời giải cho bài toán ...................................................................................... 30
1.4.3. Đặc biệt hóa và khái quát hóa là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta
mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức .......................................................... 31
1.5. Một số nhận định về việc sử dụng thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa
trong dạy học Đại số và Giải tích ở trường trung học phổ thông hiện nay .... 32
1.5.1. Nhận định đối với học sinh ............................................................... 32
1.5.2. Nhận định đối với giáo viên .............................................................. 33
1.6. Kết luận chương 1 ..................................................................................... 34
Chương 2. MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG ĐỊNH HƯỚNG NHẰM PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC ĐẶC BIỆT HÓA VÀ KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG ....................................................................................................... 35
2.1. Một số hoạt động định hướng việc dạy học khái niệm về Đại số và Giải
tích thông qua thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa ..................................... 35
2.2. Một số hoạt động định hướng việc dạy học định lí về Đại số và Giải tích
thông qua thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa............................................. 41

2


2.3. Một số hoạt động định hướng việc dạy học giải toán về Đại số và Giải
tích thông qua thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa ..................................... 49
2.3.1. Rèn luyện kĩ năng sử dụng thao tác đặc biệt hóa trong việc mò mẫm,

suy đoán để tìm lời giải của bài toán ...................................................................... 50
2.3.2. Rèn luyện cho học sinh kĩ năng khái quát hóa bài toán và giải quyết
bài toán đó để suy ra lời giải của bài toán ban đầu ................................................ 54
2.3.3. Rèn luyện cho học sinh kĩ năng khái quát hóa bài toán từ đặc điểm
toán học của bài toán đó và hình thành bài toán mới từ bài toán tổng quát ........... 56
2.3.4. Rèn luyện kĩ năng khái quát phương pháp giải toán đối với một lớp các
bài toán tương tự nhau............................................................................................ 59
2.4. Kết luận chương 2 ..................................................................................... 63
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................... 64
3.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................. 64
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm ........................................................... 64
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm ........................................................................ 64
3.2.2. Nội dung thực nghiệm....................................................................... 64
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ................................................................. 69
3.3.1. Đánh giá định tính ............................................................................. 69
3.3.2. Đánh giá định lượng.......................................................................... 70
3.4. Kết luận chương 3 ..................................................................................... 71
KẾT LUẬN ........................................................................................................... 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 73
PHỤ LỤC .............................................................................................................. 75

3


DANH MỤC CÁC CỤM CHỮ VIẾT TẮT
CTGD: Chương trình giáo dục
BĐT: Bất đẳng thức
DH: Dạy học
ĐC: Đối chứng
ĐBH: Đặc biệt hóa

GV: Giáo viên
HS: Học sinh
NXB: Nhà xuất bản
KQH: Khái quát hóa
PP: Phương pháp
PPDH: Phương pháp dạy học
SGK: Sách giáo khoa
THPT: Trung học phổ thông
TN: Thực nghiệm

4


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nhiều nhà nghiên cứu cho rằng: “Dạy học (DH) là toàn bộ các thao tác có
mục đích nhằm chuyển các giá trị tinh thần, các hiểu biết, các giá trị văn hóa mà
nhân loại đã đạt được hoặc cộng đồng đã đạt được vào bên trong một con người”.
Quan niệm này lí giải đầy đủ cách mà nền giáo dục đang cố gắng đào tạo những con
người thích ứng với những nhu cầu hiện tại của xã hội. Để làm được điều đó, ngành
giáo dục và đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) nhằm tạo ra những
con người có đầy đủ phẩm chất như: kỉ luật, tự chủ, năng động, sáng tạo, … Định
hướng đổi mới về PPDH đã được quy định trong Luật Giáo dục nước Cộng hòa
Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam: “Phương pháp (PP) giáo dục phổ thông phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh (HS); phù hợp với đặc
điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng PP tự học, khả năng làm việc theo
nhóm; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui hứng thú học tập cho HS” (Luật Giáo dục 2005 sửa đổi).
Như vậy, trong hoạt động dạy học người giáo viên (GV) đóng vai trò chủ
đạo, bên cạnh sự nhiệt tình, thân thiện, có kiến thức sâu, rộng thì PPDH của GV có

tính quyết định trong việc tạo môi trường học tập, kích thích sự hứng thú, say mê
học tập của HS. Trong quá trình đổi mới, dù người GV có sử dụng PPDH nào thì
vấn đề phát triển tư duy cho HS trong DH luôn luôn là một trong những nhiệm vụ
hàng đầu. Môn Toán là môn học có tiềm năng phong phú để phát triển tư duy cho
HS. Nhiều HS mặc dù có khả năng giải toán, có tư chất tốt nhưng vẫn thiếu sự sáng
tạo trong toán học. Các em thường giải những bài toán ở đâu đó mà chưa biết cách
đề xuất bài toán ở dạng tổng quát.
Trong quá trình DH môn toán ở trường trung học phổ thông (THPT), chúng
tôi nhận thấy việc rèn luyện các thao tác như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa
(ĐBH), trừu tượng hóa, khái quát hóa (KQH), so sánh, tương tự, ... rất quan trọng.
Bởi vì, nó giúp cho HS nắm vững kiến thức, phát huy được tính chủ động, tích cực
trong học tập không chỉ riêng môn toán mà còn đối với các môn học khác, từ đó
giúp hình thành ở HS những phẩm chất trí tuệ như tính lính hoạt, độc lập và sáng tạo.

5


Xuất phát từ tình hình thực tiễn DH toán và qua quá trình học tập nghiên cứu
lí luận và PPDH toán, chúng tôi nhận thấy rằng: ĐBH và KQH là những thao tác rất
quan trọng trong quá trình phát triển tư duy cho HS, bởi nó liên quan đến các yếu tố
như phát triển khả năng suy đoán, tưởng tượng. ĐBH và KQH có tác dụng kích
thích cho HS tìm tòi, khám phá, rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng
hợp, tương tự hóa, . . . Quá trình ĐBH và KQH góp phần hình thành các phẩm chất
trí tuệ và các lập luận lôgic có lí.
Trong thực tiễn dạy và học môn toán ở trường phổ thông, việc rèn luyên thao
tác tư duy ĐBH và KQH cho HS chưa được nhiều GV chú trọng đúng mức, đăc biệt
là đối với toán Đại số và Giải tích. Hơn nữa, HS ít vận dụng các PP này để giải bài
tập toán. Đa số HS sau khi hoàn thành xong lời giải một bài toán các em thường
không xét đến bài toán tổng quát, hay không đưa ra PP giải tổng quát cho một lớp
các dạng toán tương tự. Chính điều này làm hạn chế rất nhiều về khả năng phát triển

tư duy toán học cho HS.
Với những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài: “Phát triển năng lực ĐBH và
KQH cho HS trong dạy học Đại số và Giải tích ở trường THPT” để nghiên cứu.
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Phân tích năng lực ĐBH và KQH của HS trong dạy học Đại số và Giải tích
ở trường THPT.
- Đề xuất biện pháp nhằm phát triển năng lực ĐBH và KQH cho HS trong
dạy học Đại số và Giải tích ở trường THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận có liên quan đến vấn đề bồi dưỡng trí tuệ và phát
triển năng lực ĐBH và KQH cho HS.
- Điều tra, đánh giá thực trạng việc sử dụng thao tác ĐBH và KQH vào dạy
học khái niệm, định lí và bài tập toán ở trường THPT.
- Nghiên cứu và đề xuất một số hoạt động sư phạm về việc phát triển năng
lực ĐBH và KQH cho HS trong việc học tập Đại số và Giải tích ở trường THPT.
- Thực nghiệm (TN) sư phạm để đánh giá tính khả thi của các định hướng sư
phạm đã đề xuất.

6


4. Giả thiết khoa học
Trên cơ sở chương trình, sách giáo khoa (SGK) hiện hành nếu trong DH toán
GV chú ý rèn luyện kĩ năng thực hiện các thao tác tư duy ĐBH và KQH thì sẽ phát
triển được năng lực giải toán góp phần nâng cao chất lượng DH toán ở trường THPT.
5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng các phương pháp (PP) nghiên cứu chủ yếu sau:
- PP nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu chuyên ngành PPDH, tâm lí,
các tạp chí nghiên cứu giáo dục, các SGK, sách tham khảo liên quan đến ĐBH và
KQH.

- PP điều tra – quan sát: Tìm hiểu khả năng ĐBH và KQH của HS ở trường
THPT thông qua việc DH khái niệm, định lí và bài tập toán Đại số và Giải tích.
- PP thực nghiệm sư phạm: Thử nghiệm sư phạm bước đầu kiểm tra tính khả
thi và tính hiệu quả của phương án đề ra.
- PP tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết những kinh nghiệm rút ra từ thực tế
giảng dạy và quá trình nghiên cứu của bản thân, trao đổi với đồng nghiệp.
6. Đóng góp của luận văn
Góp phần làm rõ một số thành phần trong năng lực giải toán của HS thông
qua việc rèn luyện thao tác ĐBH và KQH.
Đưa ra được những định hướng sư phạm trong việc hình thành các khái niệm
toán học, các định lí, giải toán Đại số và Giải tích thông qua việc sử dụng các thao
tác ĐBH và KQH.
Luận văn có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV toán nhằm góp
phần nâng cao hiệu quả DH môn toán ở trường THPT.
7. Bố cục luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Chương 2. MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG ĐỊNH HƯỚNG NHẰM PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC ĐBH VÀ KQH CHO HS TRONG DH ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Ở
TRƯỜNG THPT
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

7


Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Dạy học theo hướng tiếp cận năng lực người học
1.1.1. Khái niệm năng lực
Thực tế trong tiếng Việt cũng như tiếng Anh, từ năng lực được sử dụng với

nhiều nghĩa cụ thể gắn với các lĩnh vực khác nhau, trong những tình huống và ngữ
cảnh riêng biệt. Hơn nữa, năng lực lại rất gần nghĩa với một số từ khác như tiềm
năng, khả năng, kĩ năng,... do vậy nếu chỉ nói chung chung thì sẽ rất phức tạp và
khó xác định. Tuy nhiên, từ năng lực có nghĩa gốc mà Từ điển tiếng Việt [16, tr.
660-661] đã nêu lên là:
a) Khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt
động nào đó;
b) Phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một
hoạt động nào đó với chất lượng cao.
Ngoài ra, trong chương trình giáo dục (CTGD) ở một số nước đã đưa ra khái
niệm về năng lực như sau:
Theo CTGD trung học Québec - Bộ giáo dục Canada (2004), thì:
“Năng lực có thể định nghĩa như là một khả năng hành động hiệu quả bằng
sự cố gắng dựa trên nhiều nguồn lực. Những khả năng này được sử dụng một cách
phù hợp, bao gồm tất cả những gì học được từ nhà trường cũng như những kinh
nghiệm của HS; những kĩ năng, thái độ và sự hứng thú; ngoài ra còn có những
nguồn bên ngoài chẳng hạn như: bạn cùng lớp, thầy cô giáo, các chuyên gia hoặc
các nguồn thông tin khác”.
CTGD của New Zealand thì nêu một cách ngắn gọn:
“Năng lực là một khả năng hành động hiêu quả hoặc là sự phản ứng thích
đáng trong các tình huống phức tạp nào đó.”
Trong chương trình cải cách giáo dục ở Indonesia, nêu rõ: “Năng lực là
những kiến thức, kĩ năng và các giá trị được phản ánh trong thói quen suy nghĩ và
hành động của mỗi cá nhân. Thói quen tư duy và hành động kiên trì, liên tục có thể

8


giúp một người trở nên có năng lực, với ý nghĩa làm một việc gì đó trên cơ sở có
kiến thức, kĩ năng và các giá trị cơ bản.”, và chương trình này cũng đã dành hẳn

một mục để giới thuyết về Tư tưởng cơ bản của khái niệm năng lực, theo đó khái
niệm năng lực trong CTGD được hiểu như:
a) Năng lực đề cập đến khả năng của HS khi làm một cái gì đó trong những
bối cảnh khác nhau;
b) Năng lực thể hiện kinh nghiệm học tập, ở đó HS phải là người thành thạo;
c) Kết quả học tập theo năng lực thể hiện ở việc giải thích sự vật thông qua
PP học tập của HS;
d) Những HS có năng lực khi làm một cái gì đó cần xác định rõ khả năng
trong một tiêu chuẩn rộng, có thể đạt được kết quả thông qua việc thực hiện và có
thể đo đếm được.
Tóm lại, tất cả những khái niệm trên có thể được phát biểu dưới những câu
từ khác nhau nhưng tất cả đều khẳng định: nói đến năng lực là phải nói đến khả
năng thực hiện, là phải biết làm, chứ không chỉ biết và hiểu. Tất nhiên hành động
(làm), thực hiện ở đây phải gắn với ý thức và thái độ; phải có kiến thức và kĩ năng,
chứ không phải làm một cách “máy móc” và “mù quáng”.
1.1.2. Năng lực toán học
Đã có nhiều công trình nghiên cứu về năng lực toán học từ những phương
diện khác nhau:
- Theo V.A.Krutecki, năng lực toán học được hiểu theo hai ý nghĩa:
Một là: Theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc
học toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở trường phổ thông. Nắm một cách
nhanh và tốt các kiến thức kĩ năng, kĩ xảo tương ứng.
Hai là: Theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học) tức là năng lực hoạt động
sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới khách quan có giá trị lớn đối với xã hội
loài người.
Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt
đối. Nói đến HS có năng lực, đã nắm giáo trình toán một cách độc lập và sáng tạo, đã
tự đặt và giải bài toán không phức tạp lắm, đã tự tìm ra các con đường các PP sáng

9



tạo để chứng minh các định lí, độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các PP giải độc
đáo những bài toán không mẫu mực.
- Theo A.N.Kôlmôgôrôv, xem xét năng lực toán học trên cơ sở ba thành tố
có liên quan khả năng biến đổi biểu thức chữ, tưởng tượng và suy luận lôgic:
1) Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm
kiếm các PP xa lạ với các qui tắc thông thường để giải phương trình.
2) Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học”.
3) Nghệ thuật suy luận lôgic được phân nhỏ hợp lí tuần tự.
UNESCO đã công bố 10 tiêu chí năng lực toán học cơ bản như sau:
1) Năng lực phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép toán,
các khái niệm.
2) Năng lực dịch chuyển các dữ liệu thành kí hiệu.
3) Năng lực tính nhanh và tính cẩn thận sử dụng đúng các kí hiệu.
4) Năng lực biểu diễn dữ liệu, ẩn, các điều kiện ràng buộc giữa chúng thành
kí hiệu.
5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh.
6) Năng lực xây dựng một chứng minh.
7) Năng lực giải một bài toán đã toán học hóa.
8) Năng lực giải một bài toán có lời văn (chưa toán học hóa).
9) Năng lực phân tích bài toán và xác định phép toán có thể áp dụng.
10) Năng lực KQH toán học.
Trên cơ sở nghiên cứu những lí luận và thực tiễn, sau đây là một số định
nghĩa về năng lực toán học:
Định nghĩa 1: Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân
(trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và
giúp cho việc nắm giáo trình toán một cách sáng tạo. Giúp cho việc nắm một cách
tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kĩ năng và kĩ xảo toán học [13].
Định nghĩa 2: Năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân

(trước hết là những hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán học,
trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công

10


trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc
biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong
lĩnh vực toán học [9].
Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có sự khác nhau về mức độ năng lực toán học.
Do vậy trong DH toán, vấn đề quan trọng là lựa chọn nội dung và PP thích hợp để
sao cho mọi đối tượng HS đều được nâng cao dần về mặt năng lực toán học.
1.1.3. Tiếp cận năng lực
Tiếp cận hiểu một cách thông thường là tiến gần đến một ai, một vật gì đó.
Trong lí luận về phát triển chương trình thì thuật ngữ tiếp cận chỉ cách thức vận
dụng một số PP để tìm hiểu, thiết kế một CTGD. Từ góc độ này, có thể thấy ý nghĩa
của thuật ngữ tiếp cận nghiêng nhiều về quan điểm thiết kế chương trình, là PP luận
của việc xây dựng chương trình chứ không phải là một PP cụ thể nào đó. Cách tiếp
cận sẽ định hướng cho toàn bộ các thành tố của CTGD: từ đề xuất mục tiêu, chuẩn
chương trình đến xác định các lĩnh vực/môn học, các hoạt động; từ việc lựa chọn
nội dung, PPDH, cách tổ chức đến kiểm tra đánh giá kết quả, ... Có nhiều cách tiếp
cận CTGD, tuy nhiên có hai cách tiếp cận chủ yếu, đó là: tiếp cận nội dung và tiếp
cận năng lực.
Tiếp cận nội dung là cách nêu ra một danh mục đề tài, chủ đề của một lĩnh
vực/môn học nào đó. Tức là tập trung xác định và trả lời câu hỏi: Chúng ta muốn
người học cần biết cái gì? Cách tiếp cận này chủ yếu dựa vào yêu cầu nội dung học
vấn của một khoa học bộ môn nên thường mang tính "hàn lâm", nặng về lí thuyết
và tính hệ thống, nhất là khi người thiết kế ít chú đến tiềm năng, các giai đoạn phát
triển, nhu cầu, hứng thú và điều kiện của người học.
Tiếp cận năng lực là cách tiếp cận nêu rõ kết quả - những khả năng hoặc kĩ

năng mà người học mong muốn đạt được vào cuối mỗi giai đoạn học tập trong nhà
trường ở một môn học cụ thể. Nói cách khác, cách tiếp cận này nhằm trả lời câu
hỏi: Chúng ta muốn người học biết và có thể làm được những gì?
Chúng ta có thể hình dung sự khác nhau giữa tiếp cận nội dung và tiếp cận
năng lực được thể hiện ở bảng sau:

11


Tiêu thức

Tiếp cận nội dung
Học là quá trình tiếp thu và

Quan niệm

lĩnh hội tri thức qua đó hình
thành kĩ năng.

Mục tiêu giảng dạy

Tiếp cận năng lực
Học là quá trình kiến tạo, HS
tự tìm tòi, khám phá, phát
hiện, tự hình thành hiểu biết,
năng lực.

Chú trọng cung cấp tri thức, kĩ
năng, kĩ xảo.


Chú trọng hình thành các
năng lực (sáng tạo, hợp
tác,…).

Học để đối phó với thi cử; Sau Học để đáp ứng yêu cầu công
Mục tiêu học tập

Mục tiêu nêu ở bài
học
Yêu cầu đối với
người học

khi thi xong, những điều đã việc; Những điều đã học cần
học thường bị quên, ít dùng thiết bổ ích cho cuộc sống và
đến.

công việc sau này.

Chung chung.

Chi tiết, đánh giá được.
Làm được gì từ những điều

Biết cái gì?

đã biết.

Được quy định chi tiết trong
chương trình;
Nội dung giảng

dạy

Từ giáo trình và người dạy;
Chương trình được xác định là
chuẩn, không được phép xê
dịch.
Diễn giảng;

PP giảng dạy

Được lựa chọn nhằm đạt
được chuẩn đầu ra;
Từ tình huống thực tế;
Những vấn đề mà HS quan
tâm.
GV là người tổ chức, hỗ trợ

GV là người truyền thụ kiến HS tự lực và lĩnh hội tri thức;
thức, HS tiếp thu thụ động.

DH tương tác.
Tổ chức các hình thức học

Chủ yếu dạy lí thuyết trên lớp tập đa dạng, cơ động, linh
Hình thức tổ chức

học, cố định trong bốn bức hoạt; Học ở lớp, trong thực
tường.

tế, học đôi bạn, học theo

nhóm, học theo lớp.

12


Trong thời đại ngày nay, do tốc độ phát triển của xã hội hết sức nhanh chóng
với những biến đổi liên tục và sự tăng nhanh về khối lượng tri thức, đặc biệt trong
các lĩnh vực thông tin truyền thông, công nghệ vật liệu, điện/điện tử tự động hóa,
PP tiếp cận nội dung dần trở nên lạc hậu. Để chuẩn bị cho thế hệ trẻ đối mặt và
đứng vững trước những thách thức của đời sống, vai trò của giáo dục ngày càng trở
nên quan trọng. Thay đổi, sửa sang, cải tiến chương trình, thậm chí cải cách giáo
dục đã được nhiều nước tiến hành và xu thế thiết kế chương trình theo hướng tiếp
cận năng lực được khá nhiều quốc gia quan tâm, vận dụng trong giai đoạn hiện nay.
1.1.4. Dạy học theo hướng phát triển năng lực người học
Đổi mới PPDH đang thực hiện bước chuyển từ CTGD tiếp cận nội dung sang
tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến việc HS học được cái
gì đến chỗ quan tâm HS vận dụng được cái gì qua việc học. Để đảm bảo được điều
đó, phải thực hiện chuyển từ PPDH theo lối “truyền thụ một chiều” sang dạy cách
học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành năng lực và phẩm chất.
Tăng cường việc học tập trong nhóm, đổi mới quan hệ GV – HS theo hướng cộng
tác có ý nghĩa quan trọng nhằm phát triển năng lực xã hội. Bên cạnh việc học tập
những tri thức và kĩ năng riêng lẻ của các môn học chuyên môn cần bổ sung các chủ
đề học tập tích hợp liên môn nhằm phát triển năng lực giải quyết các vấn đề phức
hợp. Bên cạnh đó, chúng ta cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người
học, hình thành và phát triển năng lực tự học (sử dụng SGK, nghe, ghi chép, tìm
kiếm thông tin, …), trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo
của tư duy. Chúng ta có thể chọn lựa một cách linh hoạt các PP chung và PP đặc thù
của môn học để thực hiện. Tuy nhiên, dù sử dụng bất kì PP nào cũng phải đảm bảo
được nguyên tắc “HS tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận thức với sự tổ chức, hướng
dẫn của GV”.

Việc sử dụng PPDH phải gắn chặt với các hình thức tổ chức DH. Tuỳ theo
mục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể mà có những hình thức tổ chức
thích hợp như học cá nhân, học nhóm; học trong lớp, học ở ngoài lớp, … Chúng ta
cần chuẩn bị tốt về PP đối với các giờ thực hành để đảm bảo yêu cầu rèn luyện kĩ
năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, nâng cao hứng thú cho người

13


học. Cần sử dụng đủ và hiệu quả các thiết bị DH môn học tối thiểu đã qui định.
Ngoài ra cần tăng cường sử dụng các đồ dùng DH tự làm và vận dụng công nghệ
thông tin trong hoạt động DH.
Việc đổi mới PPDH theo định hướng phát triển năng lực thể hiện qua bốn
đặc trưng cơ bản sau:
1) DH thông qua tổ chức liên tiếp các hoạt động học tập, giúp HS tự khám
phá những điều chưa biết chứ không thụ động tiếp thu những tri thức được sắp đặt
sẵn. GV là người tổ chức và chỉ đạo HS tiến hành các hoạt động học tập phát hiện
kiến thức mới, vận dụng sáng tạo kiến thức đã biết vào các tình huống học tập hoặc
tình huống thực tiễn, …
2) Chú trọng rèn luyện cho HS biết khai thác SGK và các tài liệu học tập,
biết cách tự tìm lại những kiến thức đã có, suy luận để tìm tòi và phát hiện kiến thức
mới, …Định hướng cho HS cách tư duy như phân tích, tổng hợp, ĐBH, KQH,
tương tự, quy lạ về quen, … để dần hình thành và phát triển tiềm năng sáng tạo.
3) Tăng cường phối hợp học tập cá thể với học tập hợp tác, lớp học trở thành
môi trường giao tiếp GV – HS và HS – HS nhằm vận dụng sự hiểu biết và kinh
nghiệm của từng cá nhân, của tập thể trong giải quyết các nhiệm vụ học tập chung.
4) Chú trọng đánh giá kết quả học tập theo mục tiêu bài học trong suốt tiến
trình DH thông qua hệ thống câu hỏi, bài tập (đánh giá lớp học). Chú trọng phát
triển kĩ năng tự đánh giá và đánh giá lẫn nhau của HS với nhiều hình thức như theo
lời giải/đáp án mẫu, theo hướng dẫn, hoặc tự xác định tiêu chí để có thể phê phán,

tìm được nguyên nhân và nêu cách sửa chữa các sai sót.
Nói tóm lại, đổi mới PPDH theo hướng phát triển năng lực người học thì cần
phải vận dụng DH theo tình huống, dạy học sinh định hướng hành động, tăng cường
sử dụng phương tiện DH và công nghệ thông tin hợp lí nhằm phát huy khả năng tự
học cho HS. Bên cạnh đó, việc kiểm tra, đánh giá cũng phải chú trọng vào năng lực
của người học, đặc biệt là: tính tư duy sáng tạo, khả năng vận dụng kiến thức nhằm
giải quyết những vấn đề trong cuộc sống, …

14


1.2. Tư duy toán học
1.2.1. Tư duy
Nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lí của con
người, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí cao hơn. Tuy nhiên, thực tế
cuộc sống luôn đặt ra những vấn đề mà bằng cảm tính, con người không thể nhận
thức và giải quyết được. Muốn cải tạo thế giới, con người phải đạt tới nhận thức cao
hơn, đó là nhận thức lí tính (còn gọi là tư duy).
Trong tâm lí học, một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về tư duy đã được
trình bày trong các công trình của X.L.Rubinstêin. Những công trình này đã thúc
đẩy hàng loạt vấn đề cơ bản liên quan đến việc nghiên cứu hình thức hoạt động tâm
lí phức tạp. Theo cách hiểu của X.L.Rubinstêin: “Tư duy đó là sự khôi phục trong ý
nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu
cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” [3, tr. 246].
Có thể chỉ ra một số định nghĩa khác về tư duy, chẳng hạn: “Tư duy là quá
trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính qui
luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan” [5, tr.117] hoặc “Tư duy
là một quá trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi và sáng
tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế
trong khi phân tích hoặc tổng hợp nó. Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực

tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó” [20, tr. 8].
“Tư duy con người mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá tính ngôn ngữ.
Trong quá trình phát triển, tư duy con người không dừng lại ở trình độ tư duy bằng
thao tác tay chân, bằng hình tượng mà con người còn đạt tới trình độ tư duy bằng
ngôn ngữ, tư duy khái quát – hình thức tư duy đặc biệt của con người” [5, tr.19].
Trong quá trình tư duy, sử dụng phương tiện ngôn ngữ, sản phẩm có tính xã hội cao
để nhận thức tình huống có vấn đề, để tiến hành các thao tác tư duy: Phân tích, tổng
hợp, so sánh, trừu tượng hoá, ĐBH, KQH nhằm đi đến những khái niệm, phán
đoán, suy lí, những qui luật – những sản phẩm khái quát của tư duy.
1.2.2. Đặc điểm của tư duy
Theo [21], [23], [24], [25], tư duy có những đặc điểm cơ bản sau đây:

15


- Tính "có vấn đề" của tư duy.
Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn cảnh, những tình huống "có vấn
đề". Tình huống "có vấn đề" là tình huống chứa đựng một mục đích, một vấn đề
mới mà những hiểu biết cũ, PP hành động cũ không đủ sức giải quyết. Muốn giải
quyết vấn đề mới đó, để đạt được mục đích mới đó, con người phải tìm cách thức
giải quyết mới, tức con người phải tư duy.
Ví dụ 1.1: Sau khi HS đã học được cách giải phương trình bậc hai, GV yêu
cầu các em giải phương trình sau: x 2  3x x 2  3x  2  3  0 . Giải phương trình này
là một tình huống có vấn đề với các em tại thời điểm đó vì chưa có một thuật giải
nào có thể giúp các em giải được một phương trình bậc bốn. Do đó, buộc các em
phải suy nghĩ để tìm cách giải phương trình trên. Các em tìm thấy hứng thú trong
việc tìm lời giải bởi vì có biểu thức đồng dạng x 2  3x giúp các em liên tưởng tới
đặt ẩn phụ. Và sau khi đặt ẩn phụ t  x 2  3x thì phương trình ban đầu trở thành
phương trình t 2  2t  3  0 đã có thuật giải.
- Tính gián tiếp của tư duy

Con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy. Nhờ có ngôn ngữ mà con người sử
dụng các kết quả nhận thức (khái niệm, phán đoán, quy luật, …) vào quá trình tư
duy để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật, hiện tượng. Trong quá
trình tư duy, con người sử dụng những công cụ, phương tiện (đồng hồ, nhiệt kế,
máy móc, …) để nhận thức đối tượng mà không thể trực tiếp tri giác chúng.
- Tính trừu tượng và khái quát của tư duy
Tư duy có khả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính,
những dấu hiệu cá biệt, cụ thể, chỉ giữ lại những thuộc tính chung, bản chất cho
nhiều sự vật và hiện tượng. Trên cơ sở đó mà khái quát những sự vật, hiện tượng
riêng lẻ, nhưng có những thuộc tính bản chất chung thành một nhóm, một loại, một
phạm trù.
1
2

Ví dụ 1.2: Công thức tính diện tích tam giác S  aha , trong đó ha là độ dài
đường cao hạ từ đỉnh A, a là độ dài cạnh đối diện từ đỉnh A (diện tích tam giác bằng
một nửa đường cao nhân với cạnh đáy). Để có được công tức tổng quát trên, chúng

16


ta đã gạt bỏ những chi tiết không quan trọng như tam giác gì, làm bằng chất liệu gì,
độ dài các cạnh có mối quan hệ như thế nào, đặt trong phẳng hay trong không gian,
… mà chỉ giữ lại yếu tố bản chất là độ dài đường cao và độ dài cạnh đáy để có
được công thức mang tính khái quát trên.
- Tư duy liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ
Nếu không có ngôn ngữ thì quá trình tư duy ở con người không thể diễn ra
được, đồng thời các sản phẩm của tư duy (khái niệm, phán đoán, quy luật, …) cũng
không được chủ thể và người khác tiếp nhận. Ngôn ngữ cố định lại các kết quả của
tư duy, là vỏ vật chất của tư duy và là phương tiện biểu đạt kết quả của tư duy.

Ngược lại, nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là chuỗi âm thanh vô nghĩa. Tuy
nhiên, ngôn ngữ không phải là tư duy, ngôn ngữ chỉ là phương tiện của tư duy.
- Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính
Tư duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, nhà tâm lí học X. L. Rubinstein đã
viết: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm
thành chỗ dựa cho tư duy”.
Tư duy là một quá tình tâm lí, nghĩa là tư duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc.
1.2.3. Một số vấn đề về tư duy toán học
Cũng như những lĩnh vực khác của đời sống xã hội, toán học với tư cách là
một khoa học có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng vô cùng đa dạng, phong
phú trong thực tiễn với những đặc điểm về đối tượng và PP nghiên cứu cũng là một
đối tượng của tư duy, và như là một tất yếu, xuất hiện tư duy toán học.
“Để nhận thức được mặt nội dung của hiện thực cần có tư duy biện chứng,
và để nhận thức mặt hình thức của hiện thực cần có tư duy lôgic. Do đó, tư duy
toán học là sự thống nhất giữa tư duy biện chứng và tư duy lôgic. Theo đó, tư duy
toán học cũng có những cặp phạm trù quan trọng: cụ thể - trừu tượng, nhận thức
cảm tính – nhận thức lí tính, cái chung – cái riêng, cái bản chất – cái không bản
chất” [9, tr. 60-61]. Luận điểm nói trên cần được vận dụng một cách cụ thể và thích
hợp vào việc DH nhằm phát triển tư duy toán học cho HS.
Giáo dục toán học cho HS nhằm đạt được các mục tiêu:

17


- Truyền thụ cho HS những kiến thức cơ bản được chọn lựa cho phù hợp với
đặc điểm của đối tượng Toán học một cách có hệ thống;
- Rèn luyện cho HS những kĩ năng, kĩ xảo toán học;
- Phát triển tư duy toán học cho HS. [20, tr. 12]
Tư duy toán học là một mục tiêu quan trọng trong hoạt động toán học của
HS, nhưng nếu thiếu sự phát triển một cách có phương hướng thì không thể đạt

được mức độ mong muốn về kiến thức và kĩ năng trong quá trình DH toán.
Nhiều nhà toán học đã bày tỏ ý kiến về tư duy toán học như sau:
Viện sĩ B. V. Gơnhedencô đưa ra một số yêu cầu đối với tư duy toán học, đó là:
- Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận;
- Thấy được sự thiếu vắng các mắc xích cần thiết của chứng minh;
- Có thói quen lí giải lôgic một cách đầy đủ;
- Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận, sự cô đọng, sự chính xác của các ký
hiệu [20, tr. 15].
Nhà toán học A. Ia. Khinsin cho rằng những nét độc đáo của phong cách tư
duy toán học là:
- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế;
- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích; phân chia
rành mạch các bước suy luận;
- Sử dụng chính xác các ký hiệu;
- Tính có căn cứ đầy đủ trong các lập luận, đặc biệt không bao giờ chấp nhận
những khái quát không có suy luận, những phép tương tự không có cơ sở [9, tr. 127].
A. I. Marcusêvich nhấn mạnh đến những kĩ năng cần được bồi dưỡng cho
HS trong DH toán là:
- Kĩ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản chỉ để giữ lại bản chất của
vấn đề, chẳng hạn kĩ năng trừu tượng hoá;
- Kĩ năng rút ra hệ quả lôgic từ những tiên đề đã cho;
- Kĩ năng phân tích vấn đề thành những trường hợp riêng;
- Kĩ năng KQH kết quả nhận được và đặt ra vấn đề mới ở dạng khái quát;

18


- Kĩ năng xây dựng sơ đồ của hiện tượng sao cho chỉ giữ lại những yếu tố
cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt toán học;
- Kĩ năng xây dựng các kết luận được rút ra từ các suy luận, đối chiếu kết

quả đó với các điều được dự kiến;
- Kĩ năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến sự tin
cậy,… [20, tr. 16].
1.3. Thao tác tư duy
1.3.1. Mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy
Về mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy, có hai cách giải
thích như sau:
Nhiều nhà tâm lí học (trong đó có J. Piaget) cho rằng:
- Hành động (Action) là các ứng xử của cá nhân đối với sự tác động của các
yếu tố môi trường bên ngoài;
- Thao tác (Operations) là các hành động đã được chuyển vào bên trong
(hành động bên ngoài được nội hiện) và đã được rút gọn.
Đối tượng của thao tác tư duy không phải là sự vật có thực như của hành
động, mà là những hình ảnh, biểu tượng, ký hiệu. Như vậy, thao tác tư duy là hành
động tinh thần, chứ không phải là hành động thực, vật chất ở bên ngoài [15, tr. 73].
Cách giải thích của A. N. Lêônchiep và các nhà tâm lí học cùng xu hướng có
phần khác với cách hiểu trên khi xem xét tư duy từ bình diện hoạt động. Các nhà
tâm lí học này giải thích hành động và thao tác trong cấu trúc chung của hoạt động.
Sự giống nhau và khác nhau giữa chúng thể hiện như sau:
- Hành động tư duy được hiểu là hành động tâm lí trọn vẹn, chịu sự chi phối
bởi một mục đích được ý thức (hành động tâm lí có thể hiểu là làm một việc nào đó
có mục đích);
- Thao tác là phương tiện, là cơ cấu kĩ thuật, là phương thức hành động để
triển khai đến mục đích đó. Thao tác không có mục đích tâm lí riêng, nó chỉ là
phương tiện để thực hiện mục đích của một hành động nào đó;
- Thao tác và hành động có chung lôgic;

19



- Cấu trúc của thao tác được định hình trong các phương tiện (công cụ) kĩ
thuật. Vì vậy, quá trình hình thành thao tác thực chất là quá trình học cách sử dụng
các công cụ đó. Thời kì đầu, quá trình học này chính là hành động tâm lí. Sau đó,
hành động được luyện tập và kĩ thuật hoá để trở thành thao tác.
- Cùng một mục đích nhưng trong những điều kiện khác nhau, chủ thể hành
động có các thao tác khác nhau.
Như vậy, mặc dù thao tác khác hành động, nhưng nó được sinh ra từ hành
động, kĩ thuật hoá nó, tước bỏ mục đích và chuyển nó vào trong một hành động
khác. Khi chuyển thành thao tác, hành động được rút gọn và thuần thục [15]. Vì
vậy, thao tác gắn bó chặt chẽ với kĩ năng.
Quá trình tư duy nảy sinh khi con người có nhu cầu giải quyết một nhiệm vụ
nhận thức nào đó, không thể tách tư duy ra khỏi tâm lí nói chung trong việc giải
quyết nhiệm vụ nhận thức. Bởi vì, tâm lí về bản chất là hoạt động, cho nên tham gia
vào tâm lí với tư cách yếu tố cấu thành nó, không chỉ có các đối tượng tinh thần (các
biểu tượng, các khái niệm), mà còn có các hành động tinh thần (hành động tri giác,
hành động tưởng tượng, hành động xúc cảm, ...). Với ý nghĩa đó, có thể xem xét tư
duy với tư cách là một hoạt động của con người, là một hoạt động trí tuệ với các hành
động và thao tác đặc trưng. Hành động trí tuệ là hành động tinh thần có liên quan đến
quá trình tư duy, là hành động tinh thần hướng tới mục đích nhận thức. Mỗi hành
động trí tuệ bao hàm trong nó một loạt các thao tác được thực hiện trong một trật tự
xác định và phù hợp với những quy tắc nhất định. Từ đó, một tập hợp các hành
động trí tuệ như là một chỉnh thể để giải quyết một nhiệm vụ nhận thức nào đó gọi
là hoạt động trí tuệ trong việc giải quyết nhiệm vụ nhận thức ấy [9].
Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn, tuy nhiên tính giai đoạn của quá
trình tư duy chỉ phản ánh được mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngoài của tư duy, còn
nội dung bên trong mỗi giai đoạn của quá trình tư duy lại là một quá trình phức tạp,
diễn ra trên cơ sở của những thao tác tư duy, và như quan điểm đã nêu trên, còn gọi
là thao tác trí tuệ hay thao tác trí óc [24, tr. 116].
Xét về bản chất, tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác tư duy
để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra. Cá nhân có tư duy hay không chính là ở

chỗ họ có tiến hành các thao tác tư duy trong đầu mình hay không. Do vậy, thao tác
tư duy còn được gọi là quy luật bên trong của tư duy.

20


Thao tác tư duy không đồng nhất với tư duy. Quá trình tư duy là quá trình
thực hiện các thao tác tư duy để đạt được mục đích. Việc rèn luyện các thao tác tư
duy cuối cùng cũng nhằm vào mục đích chung là phát triển tư duy cho HS, một
trong các mục tiêu chính của việc DH [24, tr. 116]. Có thể liệt kê, mô tả một số thao
tác tư duy cụ thể dưới đây của các nhà khoa học:
Theo M. N. Sácđacôp [19], tư duy được thực hiện và phát triển trong những
hình thức riêng của nó: phân tích, tổng hợp và so sánh; trừu tượng hóa, khái quát
hóa và cụ thể hóa; quy nạp, diễn dịch và tương tự; phát hiện những mối liên hệ và
quan hệ; hình thành những khái niệm, phân loại và hệ thống hóa chúng.
Theo G. Polya [17], thao tác tư duy bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh,
tương tự hóa, KQH, ĐBH.
Trong [2], [21], [23], [25], các tác giả cho rằng thao tác tư duy bao gồm:
phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và KQH.
Nguyễn Bá Kim trong [11] không gọi là thao tác tư duy mà gọi là các hoạt
động trí tuệ cơ bản, bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, trừu tượng
hóa, KQH, ĐBH.
Theo tác giả Hoàng Chúng [1], thao tác tư duy bao gồm: phân tích, tổng hợp,
so sánh, KQH, trừu tượng hóa và cụ thể hóa.
Từ phân tích và tổng hợp các ý kiến nêu trên, có thể hiểu rằng thao tác tư duy
là một hành động tư duy được kĩ thuật hóa và đã rút gọn, có thể rèn luyện để đạt
được các mức độ nhất định. Việc rèn luyện các thao tác tư duy cho HS chính là việc
tập luyện các hành động tư duy. Trong luận văn, chúng tôi tập trung nghiên cứu hai
thao tác tư duy sau, đó là: ĐBH và KQH.
1.3.2. Khái quát hoá

G. Polya cho rằng: "KQH là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối
tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban
đầu" [17].
Tác giả Đào Văn Trung đã viết: "Từ trong những sự vật khác nhau, tìm ra
những tính chất chung của chúng và quy kết lại, PP tư duy này gọi là khái quát"
[22, tr. 169].
Theo Hoàng Chúng [10, tr. 23]: "KQH là dùng trí óc tách ra cái chung trong
các đối tượng, sự kiện hoặc hiện tượng. Muốn KQH, thường phải so sánh nhiều đối

21


tượng, hiện tượng, sự kiện với nhau". "Khi KQH, chúng ta tách ra cái chung trong
các đối tượng nghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một bên những cái
riêng phân biệt đối tượng này với đối tượng khác, không chú ý tới những cái riêng này”.
Trong số các năng lực trí tuệ thì năng lực KQH tài liệu toán học là thành
phần cơ bản nhất của năng lực toán học, điều này đã được các nhà sư phạm, nhà
toán học như V. A. Kruchetxki, A. I. Marcusêvich, tổ chức quốc tế UNESCO, ...
khẳng định trong sơ đồ cấu trúc năng lực toán học của mình.
Trong môn Toán ở trường phổ thông nói chung và phân môn Đại số và Giải
tích nói riêng, có nhiều tình huống liên quan đến hoạt động KQH, chẳng hạn như:
- KQH để hình thành khái niệm.
- KQH để hình thành định lí.
- KQH các bài toán Toán học.
- KQH để hình thành PP giải các lớp bài toán.
- KQH hướng suy nghĩ giải bài tập toán.
Chúng tôi thống nhất với tác giả Nguyễn Bá Kim, đó là có hai dạng khái
KQH thường gặp trong môn Toán có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau [12, tr. 5]:
KHÁI QUÁT HÓA


Khái quát hóa từ cái
riêng lẻ đến cái tổng
quát

Khái quát hóa từ cái
tổng quát đến cái
tổng quát hơn

Khái quát hóa
tới cái tổng quát
đã biết

Khái quát hóa
tới cái tổng quát
chưa biết

Chẳng hạn, khi dạy quy tắc nhân GV có thể dẫn dắt HS đi từ những trường
hợp riêng lẻ đến tổng quát:
- Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có
3 con đường đi. Do đó, để đi từ nhà An đến nhà Cường có tất cả 4.3  12 cách đi; từ

22


nhà An đến nhà Bình có m con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có n con
đường đi. Do đó, có tất cả m.n cách đi từ nhà An đến nhà Cường.
- Giả sử một công việc nào đó gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có

thể làm theo n cách, với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có m
cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách. Đó là một kết quả tổng quát.

- Chúng ta tiếp tục đi đến một kết quả tổng quát hơn từ kết quả tổng quát
trên: Giả sử một công việc nào đó gồm k công đoạn A1 , A2 ,..., Ak . Công đoạn A1 có
thể thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách, …, công
đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo
n1 .n2 ...nk cách.

Cả hai trường hợp trên đều là sự khái quát đi đến kiến thức mới. Bên cạnh
đó còn có dạng KQH đi đến kiến thức đã biết, dạng này được tiến hành chẳng hạn
khi giải những bài toán, trong đó KQH thể hiện ở việc “liên hệ những tình huống cụ
thể của bài toán với những tiên đề, định nghĩa, định lí thích hợp, ở việc nhận biết
cái tổng quát đã biết trong những cái cụ thể.” [12, tr. 6]
Ví dụ 1.3: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  2 tại
điểm M (1;0) .
Để làm bài toán cụ thể này, HS phải liên hệ đến phương trình tiếp tuyến của
đồ thị hàm số tổng quát y  f (x) tại điểm M ( x0 ; f ( x0 )) là:
y  f ' ( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) , đó chính là khái quát hóa.

Có thể thực hiện KQH đến cái tổng quát đã biết mang tính quy trình như sau:
KQH đến cái tổng quát đã biết.
Bước 1: Xác định vấn đề cần giải quyết;
Bước 2: Lựa chọn, xác định những thuộc tính, quan hệ của đối tượng gắn
với bản chất vấn đề cần giải quyết;
Bước 3: Đưa đối tượng vào một lớp đối tượng theo thuộc tính, quan hệ đã
xác định. Xác định những nguyên tắc, quy luật, công thức tổng quát của lớp đối
tượng đó có liên quan đến việc giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1.4: Tìm giới hạn của dãy số (u n ) , với u n  4n 2  5n  8  n .

23



Có nhiều hành động tham gia vào quá trình giải bài toán trên, dự kiến rằng
vì chưa có một quy tắc, định lí nào về tìm giới hạn của dãy số cho phép ta áp dụng
được trực tiếp để tìm lim( 4n 2  5n  8  n) cho nên HS sẽ biến đổi dãy số cần tìm
giới hạn trên theo hai hướng như sau:


5 8
4n 2  5n  8  n  n 4   2  1 , hoặc
n n


4n 2  5n  8  n 

3n 2  5n  8
4n 2  5n  8  n



5 8
3  2
n n
4 5
8
1
 3 4  2
2
n
n
n
n


Nếu HS không thể tự mình biến đổi thì GV có thể gợi ý bằng câu hỏi:
- Có quy tắc, định lí nào về tìm giới hạn của dãy số cho phép ta áp dụng
được trực tiếp để tìm lim( 4n 2  5n  8  n) hay không?
4n 2  5n  8  n về dạng quen thuộc!

- Hãy tìm cách biến đổi

Lúc này, KQH sẽ là một thành phần tham gia gián tiếp vào quá trình giải
bài toán.
Bước 1: Xác định vấn đề cần giải quyết


5

8



Tìm lim n 4   2  1
n n


Bước 2: Lựa chọn, xác định những thuộc tính, quan hệ của đối tượng gắn
với bản chất vấn đề cần giải quyết.
GV có thể đặt câu hỏi sau cho HS:
Có quy tắc, định lí nào về tìm giới hạn của dãy số cho phép ta áp dụng được


5


8



để tìm lim n 4   2  1 hay không?
n n


5
n

Đến đây HS sẽ nhận thấy nếu đặt u n  n, vn  4  

8
 1 thì lim u n  ,
n2

lim v n  1 .

Bước 3: Đưa đối tượng vào một lớp đối tượng theo thuộc tính, quan hệ đã
xác định. Xác định những nguyên tắc, quy luật, công thức tổng quát của lớp đối

24


tượng đó có liên quan đến việc giải quyết vấn đề.
GV có thể đặt câu hỏi sau cho HS:
- Nếu lim u n   và lim vn  1 thì lim u n vn  sẽ như thế nào?
Dự kiến HS trả lời: lim u n vn    (Ở đây, HS đã đặt tình huống cụ thể trên

vào tình huống tổng quát, đó là: Nếu lim u n   , lim vn  L  0 , vn  0 thì
lim u n vn    ).

- Hãy trình bày lại lời giải!
Với cách biến đổi thứ hai, KQH tham gia với trật tự tương tự như trên, tức
là HS đã đặt tình huống cụ thể lim un  3 , lim vn  0 , vn  0 để tìm lim

un
vào tình
vn

huống tổng quát, đó là: Nếu lim un  L L  0 , lim vn  0 , vn  0 kể từ số hạng nào
đó thì lim

un
  .
vn

KQH đến cái tổng quát chưa biết.
Dạng khái quát này đi đến kiến thức mới, có thể là một khái niệm, một định
lí hay một bài tập nào đó mà ta muốn hình thành hoặc mở rộng.
Bước 1: Xác định vấn đề cần khái quát;
Bước 2: Xác định các đặc điểm của các đối tượng riêng lẻ;
Bước 3: So sánh các đặc điểm đó để tìm ra các đặc điểm giống nhau và khác
nhau;
Bước 4: Trong các đặc điểm giống nhau đó giữ lại cái bản chất và trừu xuất
chúng ra khỏi đối tượng;
Bước 5: Chuyển từ việc nghiên cứu các đối tượng riêng lẻ sang nghiên cứu
một tập lớn hơn chứa các đối tượng riêng lẻ đó;
Bước 6: Chứng minh các đặc điểm vừa tách ra ở bước 4 cũng thỏa mãn

trong tập lớn hơn ở bước 5;
Bước 7: Phát biểu kết quả tổng quát vừa chứng minh được.
Dạng KQH này đi đến kiến thức mới, chẳng hạn như hình thành khái niệm
theo con đường quy nạp, mở rộng một khái niệm, mở rộng một định lí, mở rộng một
bài toán, ...

25