BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

HỒ VIẾT CƢỜNG

PHÂN TÍCH QUÁ TRÌNH LẬP LUẬN VÀ CHỨNG
MINH CỦA HỌC SINH KHI HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN KIÊM MINH

Huế, năm 2016

i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu và kết quả
nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng.
Kết quả nghiên cứu chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả

Hồ Viết Cƣờng

ii

LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy giáo TS.
Trần Kiêm Minh, người đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tôi hoàn thành luận
văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng
đào tạo sau đại học, Quý Thầy giáo, Cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô
thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình giảng dạy,
truyền thụ cho tôi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong hai năm học vừa qua.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các em học sinh trường THPT
Thuận An, Phú Vang, Thừa Thiên Huế đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong quá trình
thực nghiệm.
Sau cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ, động
viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này.
Do điều kiện thời gian và khả năng hạn chế, tôi xin chân thành biết ơn và lắng
nghe những ý kiến chỉ dẫn, đóng góp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!

iii


MỤC LỤC
Trang
TRANG PHỤ BÌA ......................................................................................................i
LỜI CAM ĐOAN ..................................................................................................... ii
LỜI CẢM ƠN .......................................................................................................... iii
MỤC LỤC ..................................................................................................................1
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT..........................................4
LỜI GIỚI THIỆU .....................................................................................................5
Chương 1. ĐẶT VẤN ĐỀ ...................................................................................... 8

1.1 Khái niệm chứng minh và lập luận...................................................................8
1.1.1 Khái niệm chứng minh ..............................................................................8
1.1.2 Khái niệm lập luận .....................................................................................9
1.2 Các dạng lập luận .............................................................................................9
1.2.1 Suy diễn.....................................................................................................9
1.2.2 Quy nạp ...................................................................................................10
1.2.3. Ngoại suy................................................................................................. 10
1.3. Các dạng ngoại suy ........................................................................................ 11
1.4. Chứng minh trong giáo dục toán .............................................................13
1.3.1. Ngoại suy và chứng minh trong giáo dục toán ....................................... 14
1.5. Mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh....................................................... 15
1.5.1. Các khía cạnh chung giữa lập luận và chứng minh ................................ 15
1.5.2. Mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh trong các nghiên cứu giáo dục
toán .................................................................................................................... 15
1.6. Kết luận chương 1 .......................................................................................... 18
Chương 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ........................................................................... 19
2.1. Mô hình Toulmin ............................................................................................... 19
2.1.1 Cấu trúc của lập luận theo mô hình Toulmin .......................................... 19
2.1.2 Mô hình Toulmin trong các nghiên cứu giáo dục toán về lập luận và
chứng minh ........................................................................................................ 20

1


2.2 Phân tích quá trình lập luận và chứng minh dựa trên mô hình Toulmin ........ 21
2.2.1 Tính thống nhất nhận thức giữa quá trình lập luận và chứng minh ......... 21
2.2.2 Khoảng cách giữa quá trình lập luận và chứng minh .............................. 23
2.2.3 Phân tích cấu trúc giữa lập luận và chứng minh dựa trên mô hình
Toulmin ............................................................................................................. 24
2.2.3.1 Cấu trúc của suy diễn, ngoại suy, quy nạp dựa trên mô hình Toulmin

......................................................................................................................24
2.2.3.2 Phân tích mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh
......................................................................................................................26
2.3 Mô hình Toulmin và phân tích quá trình ngoại suy ....................................... 27
2.3.1 Đối với ngoại suy đã mã hoá ................................................................. 27
2.3.2 Đối với ngoại suy chưa mã hoá ............................................................ 28
2.3.3 Đối với ngoại suy sáng tạo ................................................................... 28
2.4 Vai trò của giáo viên trong quá trình lập luận của học sinh .......................... 29
2.5 Câu hỏi nghiên cứu ......................................................................................... 30
2.6 Kết luận chương 2 .......................................................................................... 30
Chương 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU ................................................................. 31
3.1 Ngữ cảnh và mục tiêu ..................................................................................... 31
3.1.1 Ngữ cảnh ................................................................................................. 31
3.1.2 Mục tiêu ................................................................................................... 31
3.2 Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 31
3.3. Nội dung phiếu học tập .................................................................................. 31
3.3.1. Phiếu học tập 1........................................................................................ 31
3.3.2. Phiếu học tập 2........................................................................................ 38
3.3.3. Phiếu học tập 3........................................................................................ 43
3.3.4. Phiếu học tập 4........................................................................................ 46
3.3.5. Phiếu học tập 4.......................................................................................49
3.4. Kết luận chương 3........................................................................................
Chương 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU .................................................................. 52
4.1. Phân tích bài làm của học sinh ....................................................................... 52

2


4.1.1 Mối liên hệ cấu trúc giữa lập luận và chứng minh .................................. 52
4.1.1.1 Bài toán 1 .......................................................................................... 53

4.1.1.2 Bài toán 2 .......................................................................................... 56
4.1.1.3 Bài toán 3 .......................................................................................... 60
4.1.1.4 Bài toán 4 .......................................................................................... 63
4.1.1.5 Bài toán 5 .......................................................................................... 68
4.1.2 Các dạng ngoại suy .................................................................................. 71
4.2 Kết luận chương 4 .......................................................................................... 76
Chương 5. KẾT LUẬN ........................................................................................... 78
5.1 Kết luận ........................................................................................................... 78
5.2 Đóng góp của nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài .............................. 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 82
PHỤ LỤC..................................................................................................................P1

3


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
CM

:

Chứng minh

GV

:

Giáo viên

HS


:

Học sinh

LL

:

Lập luận


LỜI GIỚI THIỆU
Nghiên cứu về suy luận và chứng minh trong giáo dục toán là một lĩnh vực
nghiên cứu rộng lớn và đã được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm từ lâu (Chazan,
1993, [10]; De Villiers, 1990, [11]; Hanna 1989, [15], Healy and Hoyles 2000;
Lakatos 1976, [17]; Hanna & De Villiers, 2012; Reid & Knipping, 2010, [40];
Pedemonte, 2007, [31]; Nguyễn Thị Ni, 2015, [4]). Trong lĩnh vực nghiên cứu này,
hướng phân tích cấu trúc logic và khía cạnh nhận thức của quá trình lập luận
(argumentation) và chứng minh (proof) gần đây đã có nhiều kết quả quan trọng
(Pedemonte, 2007; Knipping, 2008; Pedemonte & Buchbinder, 2011; Martinez, M.,
& Pedemonte 2014; Simpson, 2015).
Lập luận trong toán học có thể xem như là một quá trình thuyết phục ai đó về
giá trị chân lý của một mệnh đề hay phát biểu (Chazan 1993; De Villiers 1990;
Hanna 1989, Healy and Hoyles 2000; Lakatos 1976). Quá trình lập luận có thể là
suy diễn, ngoại suy hoặc quy nạp. Chứng minh là một trường hợp đặc biệt của quá
trình lập luận trong đó kết luận được đưa ra các lập luận diễn dịch và các quy tắc
suy luận đúng. Trong toán học, chứng minh thường là quá trình lập luận suy diễn,
trong khi đó quá trình lập luận dẫn đến một giả thuyết thường là quá trình ngoại suy
hoặc quy nạp. Trong quá trình lập luận, phát biểu đưa ra có thể bị bác bỏ. Tuy
nhiên, quá trình chứng minh trong toán học không thể thiếu các lập luận. Đặc biệt,

lập luận ngoại suy không những tham gia vào quá trình phân tích các giả thiết của
bài toán mà còn giúp học sinh đưa ra các ý tưởng mới hỗ trợ cho việc xây dựng các
chứng minh toán học.
Lập luận thường có cấu trúc ngoại suy hoặc quy nạp, trong khi đó chứng
minh thường có cấu trúc diễn dịch. Nếu từ các lập luận ngoại suy (quy nạp) hình
thành một giả thuyết, học sinh có thể chuyển đổi thành các lập luận diễn dịch để đi
đến chứng minh (quy nạp toán học) giả thuyết đó thì ta nói có một tính liên tục cấu
trúc (structural continuity) giữa quá trình lập luận và chứng minh. Ngược lại, nếu từ
các lập luận ngoại suy hay quy nạp, học sinh không thể đi đến một chứng minh diễn
dịch thì ta nói có sự gián đoạn cấu trúc (structural distance/structural discontinuity)
giữa quá trình lập luận và chứng minh.


Mô hình Toulmin (Toulmin, 1958, [42]) thường được đề cập đến và được sử
dụng như một công cụ phương pháp luận để phân tích mối quan hệ giữa quá trình
lập luận đi đến một giả thuyết và chứng minh. Mô hình Toulmin cơ bản và đầy đủ
được nhiều tác giả sử dụng để phân tích tính liên tục/gián đoạn cấu trúc giữa quá
trình lập luận và chứng minh (Pedemonte, 2005; Pedemonte, 2007), phân tích vai
trò và các dạng ngoại suy được học sinh sử dụng trong quá trình chứng minh
(Pedemonte & Reid, 2010).
Ở Việt Nam, tác giả Nguyễn Thị Ni (2015, [4]) đã bước đầu vận dụng mô
hình Toulmin vào việc phân tích quá trình suy luận và chứng minh của học sinh
trong giải quyết các bài toán hình học phẳng. Trong nghiên cứu này, chúng tôi sẽ sử
dụng mô hình Toulmin cơ bản để phân tích mối quan hệ giữa quá trình lập luận và
chứng minh và các dạng lập luận ngoại suy của học sinh lớp 11 trong quá trình
chứng minh các bài toán hình học không gian. Nghiên cứu sẽ góp phần làm rõ cấu
trúc và các dạng lập luận ngoại suy của học sinh lớp 11 trong quá trình giải toán
hình học không gian.
Vì những lí do nêu trên chúng tôi quyết định chọn đề tài luận văn là: “Phân
tích quá trình lập luận và chứng minh của học sinh khi học hình học không

gian ” với các mục tiêu như sau:
 Phân tích mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh của
học sinh lớp 11 khi giải quyết các bài toán bài toán hình học không gian.
 Phân tích các dạng ngoại suy khác nhau được học sinh sử dụng trong
quá trình chứng minh khi giải quyết các bài toán hình học không gian.
Luận văn này bao gồm 5 chương:
Trong chương 1, chúng tôi giới thiệu khái niệm lập luận và chứng minh trong
toán học và giáo dục toán; các dạng lập luận thường gặp; các dạng suy luận ngoại
suy và chứng minh trong hình học không gian; mối quan hệ giữa quá trình lập luận
và chứng minh trong Toán. Từ đó chúng tôi đặt ra một số vấn đề khởi đầu cho
nghiên cứu.
Trong chương 2, chúng tôi sẽ trình bày mô hình Toulmin cơ bản, một công
cụ phương pháp luận quan trọng cho phép nghiên cứu mối quan hệ cấu trúc giữa lập


luận và chứng minh. Sau đó, dựa vào mô hình Toulmin, chúng tôi sẽ phân tích mối
liên hệ về cấu trúc giữa lập luận và chứng minh trong toán học và cấu trúc của các
dạng ngoại suy mà học sinh có thể sử dụng trong chứng minh toán. Chương này
cung cấp khung lý thuyết cho phép chúng tôi thiết kế thực nghiệm và phân tích dữ
liệu thực nghiệm trong các chương sau. Cuối cùng, chúng tôi đặt ra một số câu hỏi
nghiên cứu cho đề tài.
Trong chương 3, chúng tôi trình bày ngữ cảnh và mục tiêu của thực nghiệm.
Sau đó, chúng tôi trình bày nội dung của các phiếu học tập. Cuối cùng, chúng tôi
tiến hành phân tích tiên nghiệm các bài toán trong các phiếu học tập. Các phân tích
này cung cấp cái nhìn tổng quan về các bài toán được đưa ra cho học sinh, cũng như
làm cơ sở để đối chiếu và phân tích sau thực nghiệm ở chương 4.
Trong chương 4, trước tiên chúng tôi mô tả lại các dữ liệu thực nghiệm thu
thập được của một số cặp học sinh điển hình. Sau đó, chúng tôi tiến hành phân tích
các kết quả chủ yếu từ dữ liệu thu thập được. Dựa trên các lý thuyết đã trình bày ở
Chương 2, chúng tôi sẽ phân tích theo các hướng: mối liên hệ cấu trúc giữa lập luận

và chứng minh, các dạng ngoại suy học sinh đã sử dụng trong lập luận. Từ đó phát
hiện các khó khăn của học sinh trong việc chuyển đổi cấu trúc lập luận sang chứng
minh và xem xét dạng ngoại suy nào có thể hỗ trợ cho học sinh trong việc chuyển
đổi cấu trúc của lập luận sang chứng minh
Cuối cùng, trong chương 5, chúng tôi đưa ra kết luận cho nghiên cứu này
bằng cách phân tích các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi nghiên cứu đặt ra. Bên
cạnh việc trả lời các câu hỏi nghiên cứu, chúng tôi cũng bàn luận các đóng góp của
nghiên cứu này đối với các vấn đề lớn và có tính khái quát hơn như việc dạy và học
chứng minh trong Toán học. Kết quả nghiên cứu cũng góp phần khẳng định vai trò
chủ đạo của giáo viên trong việc thúc đẩy quá trình lập luận và chứng minh Toán
của học sinh.


Chương 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1 Chứng minh và lập luận
Các tranh luận về sự hợp lý bằng cách sử dụng các vật dụng có sẵn như hình
ảnh hay vật tương tự là tiền đề cho các chứng minh toán học chính xác. Sự phát
triển của chứng minh toán học chủ yếu là sản phẩm của nền văn minh Hy
Lạp. Thales (624–546 TCN) đã chứng minh một số định lý trong hình
học. Eudoxus (408–355 TCN) và Theaetetus (417–369 TCN) đã công thức hóa các
định lý nhưng không chứng minh. Aristoteles (384–322 TCN) nói rằng các định
nghĩa cần được mô tả bằng những khái niệm đã biết. Euclid (300 TCN) đã bắt đầu
từ những thuật ngữ chưa được định nghĩa là các tiên đề (các mệnh đề sử dụng
những thuật ngữ chưa định nghĩa được giả thiết là hiển nhiên đúng, nguyên từ Hy
Lạp là "axios" có nghĩa là "một thứ giá trị") và đã dùng những thứ này để chứng
minh các định lý bằng luận lý suy diễn. Lý thuyết chứng minh hiện đại xem các
chứng minh là những cấu trúc dữ liệu được định nghĩa một cách quy nạp. Người ta
không còn giả thiết rằng các tiên đề lúc nào cũng "đúng đắn"; điều này cho phép các
lý thuyết toán học được xây dựng song song nhau dựa trên những tập tiên đề khác
nhau (Lý thuyết tập hợp tiên đề và Hình học phi Euclid là các ví dụ).

1.1.1 Khái niệm chứng minh
Trong toán học, một chứng minh là một cách trình bày thuyết phục (sử dụng
những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu toán
học là đúng đắn bằng cách sử dụng một dãy các lập luận phù hợp và các quy tắc suy
luận đúng .
Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải là tranh luận
kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm. Có nghĩa là, một chứng minh phải biểu diễn
cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trường hợp, không có ngoại lệ. Một mệnh
đề chưa được chứng minh nhưng được chấp nhận đúng được gọi là một phỏng
đoán. Chẳng hạn, theo Almeida (1994, [4]), chứng minh là một dãy các mệnh đề,
được kết nối với nhau bởi các phép suy luận, mà kết thúc là một mệnh đề kết luận
và khởi đầu là các dữ liệu hoặc các sự kiện được thừa nhận hoặc các nguyên lý.

8


1.1.2 Khái niệm lập luận
Lập luận được định nghĩa rất khác nhau tùy theo ngữ cảnh của hiểu biết về lý
tính như là một hình thức của tri thức. Định nghĩa lôgic là hành động sử dụng lý
tính để rút ra một kết luận từ các tiền đề nhất định bằng cách sử dụng một phương
pháp luận cho trước.
Trong toán học, lập luận liên kết với chứng minh một cách chặt chẽ. Mặc dù
lập luận là hoạt động thường xuyên xảy ra trong lớp nhưng không có một khái niệm
chung nào về lập luận. Các nghiên cứu hiện nay cũng không cung cấp cái nhìn sâu
sắc về vấn đề này. Tuy nhiên, hầu hết các quan niệm về lập luận đều thống nhất cho
rằng lập luận trong toán học là quá trình đưa ra những bằng chứng nhằm dẫn đến
một kết luận nào đấy. Ta cũng có thể xem, quá trình lập luận (argumentation) như
một hoạt động diễn ngôn dựa trên các lí lẽ (arguments).
1.2 Các dạng lập luận
Trong toán học, có ba dạng lập luận thường gặp: suy diễn, quy nạp và ngoại suy.

1.2.1 Suy diễn
Suy diễn là lập luận mà trong đó kết luận được rút ra từ các sự kiện được biết
trước theo kiểu: nếu các tiền đề là đúng thì kết luận phải đúng. Nghĩa là các sự kiện
cho trước đòi hỏi rằng kết luận là đúng.
Suy diễn còn được định nghĩa là kiểu suy luận từ trường hợp tổng quát hơn
tới trường hợp cụ thể hơn, hay là suy luận mà trong đó kết luận có độ xác tính
ngang bằng với các tiền đề (theo Wikipedia).
Theo Petemonte (2007, [31]) , suy diễn là quá trình lập luận cho phép xây
dựng một kết luận từ một số dữ liệu và một quy tắc suy luận đã biết
Lập luận suy diễn có các đặc điểm sau :
 Suy diễn bắt đầu với một trường hợp tổng quát để đưa ra kết
luận cụ thể.
 Suy diễn không dẫn tới một tri thức mới (chỉ dẫn tới kinh
nghiệm để tìm ra một kiến thức mới).
 Thiết lập một kết luận có tính chắc chắn.
1.2.2 Quy nạp

9


Quy nạp hay lập luận quy nạp là quá trình lập luận mà trong đó tiên đề
của lý lẽ được cho là chứng minh cho kết luận nhưng không đảm bảo nó. Kiểu lập
luận này được dùng để gán tính chất hay quan hệ cho một phạm trù dựa trên các ví
dụ của phạm trù đó; hoặc để phát triển định luật dựa trên một số giới hạn các quan
sát của các hiện tượng lặp đi lặp lại (theo Wikipedia).
Suy luận quy nạp là suy luận nhằm rút ra tri thức chung, khái quát từ những
tri thức riêng biệt, cụ thể. Trong suy luận quy nạp, thông thường tiền đề là những
phán đoán riêng, còn kết luận là những phán đoán chung, phán đoán phổ biến.
Theo Petemonte (2007, [31]) , quy nạp là quá trình lập luận cho phép xây
dựng một kết luận bằng việc khái quát hoá một số trường hợp cụ thể:

Lập luận quy nạp có các đặc điểm sau :
 Lập luận quy nạp bắt đầu từ các trường hợp cụ thể đi đến một kết
luận tổng quát.
 Lập luận quy nạp sử dụng những cái đã biết để kết luận những
cái chưa biết (phát hiện quy luật chung).
 Lập luận quy nạp thường đưa ra kết luận không chắc chắn và cần
được xác minh.
1.2.3. Ngoại suy
Theo Petemonte (2007, [31]) , ngoại suy là quá trình lập luận cho phép xây
dựng một kết luận từ một sự kiện quan sát được
Ngoại suy thường có các đặc điểm sau:
 Giải thích giả thuyết quan sát được.
 Đưa ra các ý tưởng mới và giúp mở rộng tri thức.
 Kết luận của một ngoại suy có vẻ hợp lý (plausible) vì kết luận của
nó không thể biết được một cách trực tiếp.
1.3 Các dạng ngoại suy
Trong dạy học toán, ngoại suy thường xuất hiện trong quá trình dạy học
các khái niệm mới thông qua việc quan sát các tình huống để đưa ra các lời giải
thích hoặc quá trình tìm kiếm định lý, công thức mới, tìm kiếm lời giải cho một bài
toán…, đặc biệt là trong quá trình chứng minh.

10


Thuật ngữ ngoại suy đã được giới thiệu bởi C.S.Peirce để chỉ một suy luận
khác biệt so với suy diễn và quy nạp. Trong quá trình phát triển các ý tưởng ngoại
suy, Peirce sử dụng thuật ngữ một cách khác nhau và sử dụng một số từ ngữ để nói
đến nó, kể cả giả thuyết. Trong công việc ban đầu của Peirce về ngoại suy, ông
nhấn mạnh các dạng hợp lý của ngoại suy, trong đó lập luận thu được từ một Quy
tắc và một Kết quả để đi đến một Trường hợp. Ngoại suy lần đầu tiên được giới

thiệu bởi CS. Peirce vào năm 1867 . Trong nghiên cứu của mình, Peirce nhấn mạnh
vào các lôgic hình thức của ngoại suy, ông gọi ngoại suy là ―hypothesis‖ và mô tả
nó bằng phép tam đoạn luận :
Với M bất kỳ có đặc điểm P’ , P’’, P’’’, v.v
S có P’ , P’’, P’’’, v.v
∴ S có lẽ là M.
Ở đây, S: là một đối tượng, một trường hợp cụ thể và P’, P’’, P’’’ là một số
đặc điểm của nó. Ví dụ, ta có thể viết:
Bất kỳ con chim nào cũng có cái mỏ cứng, đẻ trứng, và có thể đi bộ.
Thú mỏ vịt có một cái mỏ cứng, đẻ trứng, và có thể đi bộ.
∴ Thú mỏ vịt có lẽ là một con chim.
Trong trường hợp này, kết luận mạnh hơn "Một loài thú mỏ vịt là một loài
chim" là sai, mà nó chỉ bộc lộ ra một đặc điểm của ngoại suy. Lí lẽ cho kết luận tính
hợp lý, nhưng không chắc chắn. Ngoại lệ duy nhất để điều này xảy ra là khi các đặc
điểm P’, P", P’’’ là toàn diện, trường hợp đó Peirce gọi các đối số "giả thuyết chính
thức" hoặc " lý luận từ định nghĩa".
Ta có thể phân biệt cấu trúc dạng tam đoạn luận của các kiểu suy luận suy
diễn, quy nạp và ngoại suy dựa vào ba yếu tố đặc trưng là trường hợp, kết quả và
quy tắc như sau:
Suy luận suy diễn:
Trường
hợp
Suy diễn
Quy tắc

11

Kết quả



Suy luận quy nạp:

Trường
hợp
Quy nạp

Quy tắc

Ngoại suy

Trường
hợp

Kết quả

Suy luận ngoại suy:

Kết quả

Quy tắc

Trong những năm 1880, Peirce bắt đầu tập trung nhiều hơn vào vai trò của
ngoại suy trong tư duy khoa học và ít hơn vào hình thức hợp lý của nó. Năm 1896,
ông đã giới thiệu thuật ngữ "retroduction" có nghĩa là "việc áp dụng tạm thời một
giả thuyết" (Peirce, 1960) sử dụng "giả thuyết" khác nhau có nghĩa là "một cái gì
đó, mà nó có thể là đúng hoặc đúng mà ta có đủ khả năng xác minh hoặc bác bỏ
bằng cách so sánh với thực tế" (Peirce, 1960).
Về năm 1901, Peirce bắt đầu sử dụng thuật ngữ "abduction" thay vì
"retroduction." Đến 1903, Peirce lại mô tả ngoại suy bằng phép tam đoạn luận,
ngoại suy ở đây được dùng để giải thích các vấn đề quan sát ngẫu nhiên:

Vấn đề C được quan sát ngẫu nhiên
Nếu A đúng thì C là một vấn đề hiển nhiên
∴ Từ đây, có lý do để nghi ngờ C đúng (Peirce, 1960, [36]).
Từ năm 1905 trở đi, Peirce quay trở lại sử dụng thuật ngữ "retroduction" để
đề cập đến ngoại suy. Ông đã sử dụng "retroduction" để tham khảo các bước hợp lý

12


về lý luận từ hậu quả tiền đề (6.469) và đưa ra giả thuyết giải thích quan sát ngẫu
nhiên của sự vật như là bước đầu tiên trong một quá trình lý luận khoa học.
Eco (1983) cho thêm một số khác biệt hữu ích dựa trên xây dựng ngoại suy
của Peirce 1878: sự suy luận của một trường hợp từ một quy tắc và kết quả (Peirce,
1960). Eco chỉ ra rằng quy tắc trong phép tam đoạn luận về ngoại suy của Peirce
không nhất thiết phải luôn luôn rõ ràng và có sẵn. Eco mô tả ngoại suy như là việc
tìm kiếm một quy tắc tổng quát mà từ đó một trường hợp cụ thể sẽ tuân theo. Eco
phân biệt ba dạng ngoại suy như sau:
 Ngoại suy đã mã hoá (overcoded abduction): xảy ra khi người lập
luận nhận thức được chỉ có một quy tắc cho phép giải thích kết quả
quan sát được, giống như quan niệm của Pierce (1878, [35]).
 Ngoại suy chưa mã hoá (undercoded abduction): xảy ra khi có
nhiều quy tắc có thể giải thích cho kết quả quan sát được, trong đó
người lập luận phải chọn ra một quy tắc phù hợp.
 Ngoại suy sáng tạo (creative abdution): xảy ra khi người lập luận
chưa biết một quy tắc nào để giải thích cho kết quả quan sát được, và
người lập luận phải tìm ra một quy tắc mới để giải thích cho kết quả
đó.
1.4. Chứng minh trong giáo dục toán
Trong toán học, chứng minh thường là suy luận suy diễn, nhưng phát hiện và
quá trình suy đoán thường được đặc trưng bởi lập luận ngoại suy. Khi học sinh được

tham gia vào việc thực hành toán học của mình, họ thường " đi lên" với một ý
tưởng. Để phân tích những gì học sinh đang làm khi điều này xảy ra, người ta có thể
tham khảo ngoại suy (Arzarello và cộng sự, 1998b).
Một số nghiên cứu cho thấy ngoại suy đóng một vai trò thiết yếu trong việc
biện chứng giữa suy đoán một giả thuyết và chứng minh một kết quả: ngoại suy hỗ
trợ việc chuyển đổi thành phương thức chứng minh, một số trường hợp nó hòa
quyện vào nhau sâu sắc với nó. Tuy nhiên, trong khi ngoại suy là rất quan trọng
trong việc giới thiệu những ý tưởng mới (Peirce, 1960), đôi khi nó là một trở ngại
cho học sinh khi họ phải xây dựng một chứng minh suy diễn. Khi giải quyết các vấn

13


đề về hình học, một số học sinh không thể xây dựng một chứng minh suy diễn vì họ
không có khả năng chuyển đổi suy luận ngoại suy của họ thành chứng minh suy
luận (Pedemonte, 2007). Điều thú vị là, trở ngại này là không xảy ra nếu vấn đề
nằm ở lĩnh vực đại số (Pedemonte, 2008). Trong đại số, chứng minh được đặc trưng
bởi một cấu trúc suy luận mạnh mẽ. Một khi giải pháp cho một vấn đề đã được viết
như là một công thức, chứng minh có thể bao gồm các thao tác của các công thức để
cho thấy rằng nó có thể được bắt nguồn từ công thức đã biết. Đối với các học sinh,
một chứng minh trong đại số có thể hoàn toàn là máy móc. Như vậy, lập luận ngoại
suy thường là một trở ngại cho học sinh khi xây dựng một chứng minh trong lĩnh
vực đại số, không giống như trong hình học. Ngược lại, đối với hình học, ngoại suy
có vẻ như hỗ trợ nó.
Như vậy, lập luận ngoại suy là một lập luận quan trọng tham gia vào quá
trình phân tích giả thiết và đưa ra các ý tưởng mới nhằm hỗ trợ cho việc xây dựng
chứng minh toán học. Một số dạng ngoại suy có thể giúp học sinh xây dựng chứng
minh dễ dàng bởi vì chúng hỗ trợ trong việc tìm và chọn một định lý hoặc những lý
thuyết cần thiết để đi tới chứng minh nhưng một số ngoại suy khác lại cản trở, gây
khó khăn cho học sinh trong việc xây dựng chứng minh. Điều này có ý nghĩa thiết

thực đối với việc dạy và học chứng minh. Bởi lẽ, ngoại suy cung cấp cái nhìn sâu
sắc trong việc thu hẹp khoảng cách giữa việc tạo ra giả thuyết để đi đến chứng minh
cho cả học sinh và giáo viên. Do đó, việc phát triển cho học sinh các lập luận ngoại
suy trong quá trình chứng minh toán là điều cần thiết.
1.5 Mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh
1.5.1 Các khía cạnh chung giữa lập luận và chứng minh
Mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh đã được các nhà giáo dục toán học
nghiên cứu và phân tích theo các quan điểm khác nhau với nhiều mục đích giáo dục
khác nhau. Trong toán học, lập luận và chứng minh được mô tả qua bốn đặc điểm
chức năng cho phép giải thích các khía cạnh chung của hai khái niệm này:
 Lập luận và chứng minh trong toán học được xem như là một sự biện minh
hợp lý. Đặc điểm biện minh này có thể nhìn thấy trong quá trình lập luận để tạo ra
một phát biểu từ một hoặc nhiều phát biểu cho trước (Duval, 1995, [11]).

14


 Lập luận và chứng minh trong toán học là để thuyết phục. Theo một quan
điểm nhận thức, lập luận và chứng minh trong toán học được phát triển khi một
người nào đó muốn thuyết phục bản thân mình hoặc một người khác về sự thật
của một phát biểu (Chazan, 1993, [10]; De Villiers, 1990, [11]; Hanna, 1989,
[15]; Healy và Hoyles, 2000, [17]; Lakatos, 1976, [23]).
 Lập luận và chứng minh trong toán học được giải quyết cho một đối tượng
phổ thông. Đối tượng ở đây có thể là: một cộng đồng toán học, một lớp học, giáo
viên hoặc chính bản thân mình.
 Lập luận và chứng minh trong toán phụ thuộc vào lĩnh vực: đại số, hình
học, giải tích…
1.5.2 Mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh trong các nghiên cứu giáo
dục toán
Theo Duval (1995, [12]), có một "tính gián đoạn cấu trúc‖ giữa lập luận và

chứng minh ngay cả khi họ sử dụng rất giống hình thức ngôn ngữ và từ nối mệnh
đề. Trái ngược với các cấu trúc lập luận, cấu trúc của một chứng minh có thể được
mô tả bằng một sơ đồ gồm ba yếu tố: dữ liệu, yêu cầu, và các quy tắc suy luận (tiên
đề, định lý, hoặc các định nghĩa). Trong các chứng minh, các bước này được nối với
nhau bằng một "quá trình lập chu kỳ‖ (Duval 1992-1993): kết luận bước đầu là một
điều kiện đầu vào cho các bước tiếp theo. Trong khi đó, quá trình lập luận chỉ đưa
ra các suy luận dựa trên nội dung. Kết quả nghiên cứu này hỗ trợ các quy tắc dạy
học đặc biệt, dựa trên các đồ thị mệnh đề để xây dựng một bước suy luận.
Theo quan điểm sư phạm, chứng minh toán học là một sản phẩm phù hợp với
một mô hình nhất định, nhưng điều quan trọng là các ―yếu tố nội dung‖ được học
sinh đưa vào trong quá trình xây dựng chứng minh. Mối quan hệ giữa học sinh và
chứng minh có liên quan bởi những lập luận, không phải bởi một mô hình chính
thức. Ngoài ra, theo quan điểm toán học Thurston (1994), ủng hộ mô hình suy diễn
trong chứng minh toán học, theo ông quá trình chứng minh và giai đoạn điều chỉnh
chứng minh dựa trên các tiêu chuẩn nội dung hơn là tiêu chuẩn hình thức. Nhiều ví
dụ về tính liên tục đã được quan sát giữa các mối quan hệ, giữa một bên là đối
tượng phỏng đoán, xác định giả thuyết hoặc nêu một giả thuyết mới, một bên là

15


thực hiện các thử nghiệm để đưa ra phát biểu (Lakatos 1976; Thurston 1994).
Các nghiên cứu ở Ý (Boero, Garuti, Mariotti, 1996, [9]) tập trung nhấn mạnh
tính liên tục tồn tại giữa quá trình lập luận đi đến các giả thuyết và việc thiết lập một
chứng minh. Tính liên tục này gọi là tính thống nhất nhận thức. Trong quá trình giải
quyết bài toán, một giả thuyết cần được tạo ra trong lập luận. Theo giả thuyết về
tính thống nhất nhận thức, trong một số trường hợp, lập luận này có thể được các
học sinh sắp xếp lại thành một chuỗi logic để xây dựng một chứng minh. Các
nghiên cứu thực nghiệm liên quan đến tính thống nhất nhận thức (Boero,
Garuti v.v., 1996, [9]) đã chỉ ra rằng, việc chứng minh sẽ dễ dàng hơn đối với học

sinh nếu các hoạt động lập luận dẫn tới việc xây dựng một giả thuyết mà từ đó có
thể xây dựng được chứng minh từ các lập luận .
Nghiên cứu thực nghiệm (Boero et al 1996; Garuti et al 1996, 1998; Mariotti
2001) cho thấy rằng chứng minh là ―dễ gần‖ học sinh nhiều hơn nếu một hoạt động
lập luận được phát triển để xây dựng một giả thuyết. Việc giảng dạy chứng minh,
mà chủ yếu dựa trên "tái hiện" học tập (chứng minh là chỉ đơn thuần là giới thiệu
cho học sinh, họ không xây dựng được chúng) xuất hiện không thành công. Một kết
quả sư phạm của nghiên cứu này là mở ra những vấn đề phù hợp (Arsac et al. 1991)
trong đó kêu gọi cho một phỏng đoán có thể được sử dụng để đưa ra cách học
chứng minh. Thật vậy, theo những nghiên cứu này, khi tính thống nhất nhận thức có
thể được thực hiện, hoạt động lập luận có thể có lợi cho việc xây dựng một chứng
minh. Hơn nữa, ý tưởng về sự thống nhất nhận thức có thể được sử dụng để dự đoán
và phân tích một số khó khăn mà họ sinh có thể có trong việc xây dựng các chứng
minh, đặc biệt là khi sự thống nhất về nhận thức không thể được thực hiện để thực
hiện chứng minh.
Đối với sự thống nhất về nhận thức, nghiên cứu của bài báo tập trung vào hai
điểm:
Trước hết, theo giả thuyết thống nhất nhận thức, có sự thống nhất về nhận
thức nếu nó có thể quan sát sự liên tục giữa các quá trình tạo ra phỏng đoán và xây
dựng chứng minh (Boero et al. 1996). Nghiên cứu của Pedemonte cho thấy tầm
quan trọng của việc xem xét quá trình giải quyết vấn đề bằng cách so sánh các quá

16


trình kết nối các phỏng đoán, biểu hiện bằng cách lập luận và tiếp theo chứng minh
như một sản phẩm (Pedemonte 2002). Thực tế này dẫn đến đặc trưng cho lập luận
và quan hệ của nó với các chứng minh toán học.
Thứ hai, nghiên cứu về tính thống nhất nhận thức được kết nối với các
trường hợp không có các cách thức để phân tích sự liên tục giữa lập luận và chứng

minh. Nó không chỉ là để làm rõ các loại liên tục được so sánh mà còn hữu ích để
tìm một công cụ để phân tích mối quan hệ giữa nhận thức lý luận và chứng minh.
Nhận xét thứ hai này đã được đề cập trong một bài viết trước đó (Pedemonte 2005).
Một số nghiên cứu chỉ ra rằng một số học sinh không thể xây dựng được
một chứng minh, ngay cả khi họ biết các định lý để xây dựng nó. Thực tế này
không phù hợp với giả thuyết thông nhất nhận thức (học sinh có thể thực hiện liên
tiếp giữa quá trình tạo ra các giả thuyết và quá trình xây dựng chứng minh). Phân
tích này chỉ ra rằng, không phải mọi trường hợp đều phù hợp với giả thuyết về
tính thống nhất nhận thức (Pedemonte, 2001; Pedemonte, 2002). Nghiên cứu tính
thống nhất nhận thức là không đủ để giải thích cho trường hợp một số học sinh
không có khả năng xây dựng các chứng minh. Như vậy, các nghiên cứu về tính
thống nhất nhận thức mà không liên quan đến tính liên tục giữa lập luận và chứng
minh không chỉ quan trọng để làm rõ các lo ngại liên tục được so sánh mà nó còn
rất hữu ích trong việc tìm một công cụ để phân tích mối quan hệ nhận thức giữa
lập luận và chứng minh.
1.6. Kết luận chương 1
Trong chương này, chúng tôi đã làm rõ khái niệm lập luận (suy diễn,
ngoại suy và quy nạp) và chứng minh trong toán học, mối quan hệ giữa lập luận và
chứng minh trong các nghiên cứu giáo dục toán. Đặc biệt, chúng tôi đã phân tích
làm rõ các dạng ngoại suy khác nhau dựa trên các nghiên cứu của Peirce và Eco.
Trong chương 2, chúng tôi sẽ trình bày mô hình Toulmin như một cơ sở
lý thuyết và một công cụ phương pháp luận cho phép phân tích và làm sáng tỏ các
vấn đề liên quan đến cấu trúc lập luận của học sinh.

17


Chương 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1. Mô hình Toulmin
2.1.1 Cấu trúc của lập luận theo mô hình Toulmin

Mô hình Toulmin (1958, 1993, [42]) là một khuôn khổ lý thuyết hữu ích cho
phép phân tích quá trình suy luận và chứng minh của học sinh. Thông qua mô hình
này, lập luận và chứng minh có thể được phân tích và so sánh từ một quan điểm về
cấu trúc (Pedemonte, 2007). Mô hình có thể được sử dụng để phân tích lập luận nói
chung, không chỉ lập luận suy diễn, và vì vậy nó cho phép chúng ta so sánh cấu trúc
lý luận với cấu trúc chứng minh. Ở đây, chúng tôi sử dụng nó để phân biệt cấu trúc
của các loại ngoại suy đang được xem xét và sau đó so sánh. Trong mô hình
Toulmin bao gồm ba yếu tố (Toulmin, 1958, 1993):
C (Claim): phát biểu kết luận
D (Data): dữ liệu biện minh cho phát biểu C,
W (Warrant): các quy tắc suy luận, cho phép dữ liệu được kết nối với các
phát biểu kết luận C
Cấu trúc cơ bản của một lập luận được trình bày như hình 2.1:

Dữ liệu (D)

Kết luận (C)
Quy tắc (W)

Hình 2.1: Mô hình Toulmin cơ bản của một lập luận
Có thể nói, bất kì bước đầu tiên nào của một lập luận cũng được trình bày
bởi một quan điểm (một khẳng định, một ý kiến). Toulmin gọi các quan điểm đó là
các phát biểu. Hay nói cách khác đó là kết luận, là mục tiêu của lập luận. Bước thứ
hai là tìm các dữ liệu D để hỗ trợ cho phát biểu C. Các dữ liệu ở đây có thể là các
bằng chứng, sự kiện, thông tin, ví dụ… Còn W cung cấp các quy tắc hỗ trợ cho
việc thuyết phục, biện minh cho mối liên hệ giữa D và C. W ở đây có thể được
trình bày bởi một nguyên lý, hoặc một quy tắc, hoặc một định lý hoạt động như
cầu nối giữa D và C.
Tuy nhiên, các dữ liệu và quy tắc suy luận nhiều lúc không cho phép chúng


18


ta chắc chắn tuyệt đối về kết luận vì vậy ba yếu tố tiếp theo là B (Backing), Q
(qualifier), Re (rebuttal) được đề cập để đưa vào mô hình Toulmin như hình 2.2,
gọi là mô hình Toulmin dạng đầy đủ:
 B (Backing): hỗ trợ thêm cho các quy tắc
 Q (qualifier): bày tỏ mức độ tin cậy đối với phát biểu đưa ra. Các trạng từ thường
dùng : có lẽ, có khả năng, có lẽ đúng v.v
 Re (rebuttal): các điều kiện ngoại lệ của phát biểu hay đưa ra điều kiện để bác
bỏ phát biểu.
Tính chắc chắn của W sẽ giảm nếu có một trường hợp nào đó ngoại lệ: trong
trường hợp này điều kiện của ngoại lệ hay sự bác bỏ cần được đưa vào. Q cũng ảnh
hưởng đến tính chắc chắn của phát biểu. B là cần thiết nếu như quy tắc suy luận đưa
ra chưa đủ thuyết phục hoặc làm rõ thêm cho quy tắc suy luận được đưa ra.
Mô hình Toulmin đầy đủ của một lập luận được trình bày như hình 2.2:

Q: Qualifier

Re: Rebuttal

D: Data

C: Claim

W: Warrant

B: Backing
Hình 2.2: Mô hình Toulmin đầy đủ của một lập luận
2.1.2


Mô hình Toulmin trong các nghiên cứu giáo dục toán về lập luận và

chứng minh:
Trong các tài liệu về giáo dục, mô hình Toulmin đã được các nhà nghiên cứu
sử dụng để phân tích và so sánh nhiều khía cạnh khác nhau liên quan đến lập luận
và chứng minh toán học.
Mô hình Toulmin được sử dụng để phân tích và ghi lại quá trình học tập
trong lớp học của học sinh (Krummehuer, 1995, [21]). Mô hình Toulmin được dùng
như là một công cụ tạo ra ngữ cảnh cho các hoạt động lập luận trong lớp (Wood,
19


1999, [43]).
Theo lý thuyết ngôn ngữ học (Plantin, 1990, [38]) chứng minh là một tập hợp
các luận cứ hợp lý được diễn tả như lập luận, những lập luận này cũng được phân
tích và so sánh bằng mô hình Toulmin.
Mô hình Toulmin cũng được sử dụng bởi nhiều nhà nghiên cứu trong giáo dục
toán học (Inglis, Mejia-Ramos, và Simpson, 2007, [18]; Lavy, 2006, [24]) để kiểm
tra các lập luận toán học của học sinh. Mô hình Toulmin trong các nghiên cứu của
Paolo Boero, Nadia Douek, Francesca Morselli, và Bettina Pedemonte (2010,
[27])… cũng có ý nghĩa quan trọng trong việc so sánh các lập luận của học sinh và
các chứng minh của họ từ quan điểm cấu trúc và nhận thức (Pedemonte 2005, [30];
Pedemonte, 2007, [31]; Pedemonte, 2008, [32]; Pedemonte, 2010, [33]; Pedemonte,
2014, [25]). So sánh này dựa trên giả thuyết chứng minh là một lập luận đặc biệt
trong toán học
Có thể nói, mô hình Toulmin là một công cụ phương pháp luận trong các
nghiên cứu về lập luận và chứng minh, đặc biệt là để phân tích mối liên hệ cấu trúc
giữa lập luận và chứng minh trong những năm gần đây. Trong nghiên cứu này,
chúng tôi chỉ sử dụng mô hình Toulmin cơ bản để phân tích cấu trúc của các bước

lập luận và cấu trúc của các bước chứng minh.
2.2 Phân tích quá trình lập luận và chứng minh dựa trên mô hình Toulmin
2.2.1 Tính thống nhất nhận thức giữa quá trình lập luận và chứng minh
Theo quan điểm triết học Mác-Lênin, nhận thức được định nghĩa là quá trình
phản ánh biện chứng hiện thực khách quan vào trong bộ óc của con người, có tính
tích cực, năng động, sáng tạo, trên cơ sở thực tiễn. Nhận thức là quá trình biện
chứng của sự phản ánh thế giới khách quan trong ý thức con người, nhờ đó con
người tư duy và không ngừng tiến đến gần khách thể.
Các nghiên cứu ở Ý (Boero, Garuti, Mariotti, 1996, [9]) tập trung nhấn mạnh
tính liên tục tồn tại giữa quá trình lập luận đi đến các giả thuyết và việc thiết lập một
chứng minh. Tính liên tục này gọi là tính thống nhất nhận thức. Trong quá trình giải
quyết bài toán, một giả thuyết cần được tạo ra trong lập luận. Theo giả thuyết về
tính thống nhất nhận thức, trong một số trường hợp, lập luận này có thể được các

20


học sinh sắp xếp lại thành một chuỗi lôgic để xây dựng một chứng minh. Các
nghiên cứu thực nghiệm liên quan đến tính thống nhất

nhận thức (Boero,

Garuti v.v., 1996, [9]) đã chỉ ra rằng, việc chứng minh sẽ dễ dàng hơn đối với học
sinh nếu các hoạt động lập luận dẫn tới việc xây dựng một giả thuyết mà từ đó có
thể xây dựng được chứng minh từ các lập luận .
Nghiên cứu thực nghiệm (Boero et al 1996;. Garuti et al 1996, 1998;.
Mariotti 2001) cho thấy rằng chứng minh là ―dễ gần‖ học sinh nhiều hơn nếu một
hoạt động lập luận được phát triển để xây dựng một giả thuyết. Việc giảng dạy
chứng minh, mà chủ yếu dựa trên "tái hiện" học tập xuất hiện không thành công.
Một kết quả sư phạm của nghiên cứu này là mở ra những vấn đề phù hợp (Arsac et

al. 1991) trong đó kêu gọi cho một phỏng đoán có thể được sử dụng để đưa ra cách
học chứng minh. Thật vậy, theo những nghiên cứu này, khi tính thống nhất nhận
thức có thể được thực hiện, hoạt động lập luận có thể có lợi cho việc xây dựng một
chứng minh. Hơn nữa, ý tưởng về sự thống nhất nhận thức có thể được sử dụng để
dự đoán và phân tích một số khó khăn mà họ sinh có thể có trong việc xây dựng các
chứng minh, đặc biệt là khi sự thống nhất về nhận thức không thể được thực hiện để
thực hiện chứng minh.
Theo Pedemonte (2002, [29]) có thể nhận ra tính thống nhất nhận thức (tính
liên tục) tồn tại giữa quá trình tạo ra phỏng đoán và quá trình xây dựng chứng minh
dựa trên hệ thống tham chiếu. Nó bao gồm: hệ thống biểu đạt (ngôn ngữ, hình vẽ,
heuristic …) và hệ thống kiến thức (các khái niệm và các định lý).
 Đối với hệ thống biểu đạt: tính liện tục giữa quá trình tạo ra một phỏng
đoán và quá trình xây dựng một chứng minh xảy ra nếu các từ, cụm từ,
câu, các hình vẽ, các biểu thức đại số … đã sử dụng trong quá trình tạo ra
phỏng đoán được sử dụng lại trong quá trình xây dựng chứng minh.
 Đối với hệ thống kiến thức: tính liên tục giữa quá trình tạo ra phỏng
đoán và quá trình xây dựng chứng minh xảy ra nếu các khái niệm, các
định lý đã sử dụng trong quá trình lập luận cho phỏng đoán đã đưa ra
được sử dụng lại trong quá trình xây dựng chứng minh.
Theo Pedemonte (2002, [29]) quá trình giải quyết một bài toán hình học (có

21


đưa ra các giả thuyết) thường bao gồm 4 giai đoạn:
1. Giai đoạn lập luận để tạo ra phỏng đoán (giả thuyết)
2. Giai đoạn ổn định quá trình xây dựng giả thuyết
3. Giai đoạn xây dựng chứng minh
4. Giai đoạn ổn định và trình bày chứng minh.
Như vậy, tính thống nhất nhận thức được định nghĩa giữa giai đoạn 1 và giai

đoạn 3. Nhưng trong quá trình giải quyết bài toán sự tách biệt giữa các giai đoạn
không phải luôn luôn rõ ràng, bởi vì các lý do sau:
 Giai đoạn tạo ra phỏng đoán nhiều khi cũng tham gia vào việc biện minh tính
hợp lý của nó .
 Quá trình tạo ra phỏng đoán xảy ra nhưng không thể biện minh được tính hợp
lý của nó.
 Các phỏng đoán dùng để xây dựng chứng minh có thể được lấy trực tiếp từ
các lập luận tạo ra giả thuyết.
Do đó, tính thống nhất nhận thức được nghiên cứu trực tiếp giữa quá trình
lập luận và chứng minh. Tính thống nhất nhận thức đã được phát triển để giải thích
và dự đoán những khó khăn của học sinh khi họ tiếp cận với chứng minh. Tuy nhiên
trong quá trình thực nghiệm, nhóm nghiên cứu ở Ý (Garuti, Boero và Lemut, 1998,
[14]) đã phát hiện một sự khác biệt khác giữa quá trình lập luận và chứng minh. Sự
khác biệt này được định nghĩa là khoảng cách giữa lập luận và chứng minh.
2.2.2 Khoảng cách giữa quá trình lập luận và chứng minh
Khoảng cách giữa quá trình lập luận và chứng minh là khoảng cách giữa việc
tạo ra lập luận hợp lý cho giả thuyết và lập luận được xây dựng trong quá trình chứng
minh. Khoảng cách giữa lập luận và chứng minh càng lớn thì càng gây khó khăn cho
học sinh trong quá trình chứng minh (Garuti, Boero và Lemut, 1998, [14] Pedemonte,
2002, [29]). Để xác định những thách thức mà học sinh gặp phải, Pedemonte (2002,
[29]) đã nghiên cứu các dạng khoảng cách dựa trên các khía cạnh:
 Khoảng cách về văn hoá: xác định thông qua các đối tượng không tham gia
vào quá trình chứng minh, hoặc các đối tượng không hiểu rõ sự hữu ích, vai trò của
chứng minh.

22