ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

DƯƠNG TUẤN ANH

NGHIÊN CỨU THAM SỐ DẠNG
CỦA CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ ĐÀN HỒI NUCLEON
LÊN HẠT NHÂN BỀN 208PB

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số

:

8440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN NHƯ LÊ

Thừa Thiên Huế, năm 2018


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kỳ một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 9 năm 2018

Tác giả Luận văn

Dương Tuấn Anh

ii


LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành Luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến cô giáo TS. Nguyễn Như Lê đã tận tình hướng dẫn và
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện Luận
văn.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoa
Vật Lý và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại
học Huế; các bạn học viên Cao học khóa 25 cùng gia đình, bạn bè đã
động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập
và thực hiện Luận văn.
Huế, tháng 9 năm 2018
Tác giả Luận văn

Dương Tuấn Anh

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh mục các từ viết tắt và kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . .

3

Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . .

12


1.1. Tán xạ đàn hồi và không đàn hồi . . . . . . . . . . . . .

12

1.2. Bài toán tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3. Biên độ tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4. Tiết diện tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4.2. Mối liên hệ giữa tiết diện tán xạ vi phân và biên
độ tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4.3. Tiết diện hiệu dụng của tán xạ trong hệ quy chiếu
phòng thí nghiệm và hệ quy chiếu khối tâm . . .

20


Chương 2. THẾ QUANG HỌC THEO LÝ THUYẾT
TRƯỜNG TRUNG BÌNH VI MÔ TỰ HỢP . . .

24

2.1. Lực Skyrme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2. Phương pháp gần đúng trường trung bình dừng . . . . .

26

2.2.1.

Nguyên lý biến phân . . . . . . . . . . . . . . . .
1

26


2.2.2. Trị riêng của Hamiltonian HF . . . . . . . . . . .

30

2.2.3. Phương pháp HF cho lực Skyrme . . . . . . . . .

31


2.3. Phương pháp trường trung bình phụ thuộc thời gian . .

35

2.4. Mẫu quang học hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.5. Mẫu hiện tượng luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.6. Mẫu quang học vi mô

44

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 3. CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU TIẾT
DIỆN TÁN XẠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.1. Phương pháp gần đúng Born sóng méo DWBA . . . . .

49

3.1.1. Lý thuyết tán xạ neutron - hạt nhân . . . . . . .

49


3.1.2. Hệ phương trình liên kênh tán xạ trong biểu diễn
spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.1.3. Phương pháp gần đúng Born sóng méo DWBA .

53

3.2. Phương pháp sử dụng phương trình Lippman-Schwinger

55

3.2.1. Phương trình Lippman-Schwinger cho sóng tán xạ

55

3.2.2. Phương trình Lippmann-Schwinger cho ma trận T

58

3.2.3. Mối liên hệ giữa tiết diện tán xạ và ma trận T . .

61

3.2.4. Kết quả tính số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63


KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU
Cụm từ viết tắt

Nghĩa của cụm từ viết tắt

POP

Thế quang học hiện tượng luận

MOP

Mô hình quang học

TQH

Thế quang học

RPA


Mẫu gần đúng pha ngẫu nhiên

PVC

Tương tác dao động hạt

N-N

Tương tác nucleon- nucleon

HF

Hartree-Fock

MQH

Mẫu quang học

SHF

Phương trình Skyrme- Hartree-Fock

3


DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

1.1

Sơ đồ thí nghiệm tán xạ hệ quy chiếu phòng thí nghiệm

và hệ quy chiếu khối tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2

Sơ đồ thí nghiệm tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3

Sơ đồ mô tả sóng tới và sóng tán xạ . . . . . . . . . . . .

17

1.4

Tán xạ giữa chùm hạt tới và bia đứng yên: hạt bị tán xạ
ở trong góc khối dΩ theo hướng (θ, ϕ) . . . . . . . . . . .

1.5

Tán xạ đàn hồi của hai hạt điểm trong hệ quy chiếu phòng
thí nghiệm và hệ quy chiếu khối tâm . . . . . . . . . . .

2.1

Các đặc trưng của các trạng thái thấp trong


208

45

Biểu diễn biểu đồ của năng lượng Σ(ω) và năng lương bậc
2 Σ(2) (ω). α và β có thể là hạt hoặc lỗ trống . . . . . . .

2.4

43

Pb thu

được bằng HF-RPA sử dụng tương tác SLy5. . . . . . . .
2.3

21

Đồ thị biểu diễn độ sâu của thế thực và thế ảo trong mẫu
hiện tượng luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

18

46

Tính toán W (R, s = 0) của hạt nhât 208 P b tại năng lượng
E = 14.5 MeV. Tương tác SLy5 đã được sử dụng. Đường
liền mạch tương ứng với tính toán OP; đường đứt nét, kết

quả lấy từ [21] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.1

Chu tuyến ứng với sóng tới và sóng tán xạ . . . . . . . .

57

3.2

So sánh kết quả thu được bằng phương pháp sử dụng
phương trình Lippman-Schwinger với phương pháp DWBA
và thực nghiệm tại năng lượng 14.5 MeV.

4

. . . . . . . .

64


3.3

So sánh kết quả thu được bằng phương pháp sử dụng
phương trình Lippman-Schwinger với phương pháp DWBA
và thực nghiệm tại mức năng lượng 5 MeV và 10 MeV. .

5


64


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý hạt nhân đóng vai trò hết sức quan trọng và được ứng dụng
nhiều trong các lĩnh vực nghiên cứu cũng như đời sống ngày nay. Có thể
nghiên cứu hạt nhân thông qua các bức xạ từ các phân rã, tương tác
giữa các electron với hạt nhân. Tuy nhiên, thông tin tốt nhất về cấu trúc
hạt nhân chỉ có thể thu được thông qua tương tác của hạt nhân với môi
trường bên ngoài. Cụ thể, khi bắn một chùm hạt nhân bất kỳ vào bia
vật chất chứa hạt nhân cần khảo sát, và quan sát sự phân bố các hạt
bay ra theo các hướng sẽ cho biết thông tin về tương tác giữa hạt nhân
bia và chùm hạt bắn vào
Sự bắt giữ neutron của các hạt nhân kích thích đóng vai trò rất
quan trọng trong nghiên cứu cơ bản cũng như ứng dụng của lĩnh lực vật
lý hạt nhân. Tuy nhiên, do thời gian sống quá ngắn nên các phản ứng
dời chỗ (d,p) sẽ được nghiên cứu thay thế. Các phản ứng này có thể được
xem là bài toán ba hạt và được khảo sát bởi phương pháp Faddeev-AGS.
Với phương pháp này, các quá trình tán xạ đàn hồi, dời chỗ, phá vỡ đã
được nghiên cứu đầy đủ. Đối lập hoàn toàn với các phương pháp gần
đúng của bài toán ba hạt, phương pháp đưa vào các sai số lý thuyết, rất
khó để định lượng, phương pháp Faddeev có thể cải thiện việc mô tả các
kết quả thực nghiệm nếu sử dụng tương tác đầu vào tốt hay mô hình ba
hạt chuẩn xác.
Thế quang học là đại lượng đầu vào cần thiết trong phương pháp
Faddeev-AGS cho các phản ứng (d,p). Hầu hết thế quang học được xây
6



dựng từ phương pháp hiện tượng luận (POP) và phương pháp vi mô.
Biểu thức của các thế POP được thiết lập thông qua sự hiệu chỉnh số
liệu của quá trình tán xạ đàn hồi. Thế POP mô tả rất tốt tương tác
nucleon-hạt nhân với hầu hết các hạt nhân bia, 24 ≤ A ≤ 209 và năng
lượng tới của hạt đạn, từ 1 keV đến 200 MeV [1] . Tuy nhiên, POP không
thể tiên liệu được các phản ứng trong vùng số liệu thực nghiệm không
tồn tại như vùng hạt nhân kích thích và giàu neutron. Nghĩa là, các công
trình nghiên cứu được viết ở thế quang học hiện tượng luận mặc dù mô
tả tốt các phản ứng hạt nhân nhưng không phải là công cụ mạnh mẽ để
khảo sát các vùng hạt nhân nêu trên. Thay vào đó phải là các mẫu thế
quang học vi mô.
Khó khăn chính khi sử dụng các phương trình Faddeev-AGS cho các
hạt mang điện là tính đến lực Coulomb. Khi kể đến tương tác Coulomb,
phạm vi áp dụng của phương pháp Faddeev-AGS trong không gian xung
lượng chỉ giới hạn cho các hạt nhân nhẹ Z ≤ 20. Điều này là do sự chắn
và quá trình tái chuẩn hoá [2] đã gặp trở ngại khi áp dụng đến các hạt
nhân nặng. Để giải quyết vấn đề này, công trình [3] đã chỉ ra rằng các
phương trình Faddeev phải được viết trong hệ sơ sở Coulomb và thế
quang học (OMP) của hệ tương tác nucleon-hạt nhân dưới dạng biểu
diễn phân tách sẽ thuận tiện cho việc mô tả đầy đủ các trạng thái kích
thích của hạt nhân bia nặng.
Trong lịch sử, có nhiều thế mô hình quang học MOP đã được xây
dựng: mẫu vật chất hạt nhân [4,5], mẫu cấu trúc hạt nhân [6,7], mẫu
bán vi mô [8,9], mẫu dựa trên lý thuyết năng lượng tự hợp [10,11], mẫu
liên kết giữa vật chất hạt nhân và cấu trúc hạt nhân [12,13], mẫu gần
đúng pha ngẫu nhiên (RPA) Faddeev [14] và mẫu liên kết đám [15]. Mẫu
7



vật chất hạt nhân có thể tính được tốt các số liệu thực nghiệm ở năng
lượng E ≥ 50 MeV. Ở năng lượng nhỏ hơn 50 MeV, các tính toán dựa
trên mẫu cấu trúc hạt nhân [6] từ rất sớm đã được thực hiện cho hạt
nhân 208Pb. Mẫu này sử dụng tương tác hiệu dụng Skyrme SIII thông
qua xấp xỉ tương tác dao động hạt (PVC) để tính MOP. Do phần hấp
thụ của MOP quá yếu nên không thể mô tả hoàn chỉnh tán xạ hạt nhân
ở năng lượng nhỏ hơn 30 MeV. Theo cùng định hướng đã nêu, Nobre và
cộng sự [16,17] đã sử dụng phiếm hàm năng lượng phụ thuộc vào mật
độ dựa trên thông tin về cấu trúc hạt nhân để mô tả tốt số liệu thực
nghiệm cho các tán xạ đàn hồi ở năng lượng dưới 70 MeV. Bằng cách
sử dụng xấp xỉ PVC liên tục (cPVC) với lực SkM, Mizuyama và cộng
sự [18] đã mô tả được 85o /o tiết diện tán xạ đàn hồi cho 16O với năng
lượng dưới 30 MeV. Năm 2015, G. Blanchon cùng cộng sự sử dụng xấp
xỉ năng lượng phụ thuộc vào mật độ của lực Gogny [19] đã mô tả được
tán xạ nucleon-hạt nhân ở năng lượng thấp cho 40Ca. Tuy nhiên, các
bia hạt nhân trong các tính toán đã nêu đều bị giới hạn trong vùng hạt
nhân nhẹ và trung bình. Cũng vào năm 2015, T. V. Nhan Hao và cộng
sự áp dụng các tính toán hoàn toàn vi mô dựa trên xấp xỉ tự hợp PVC
[20] đã mô tả thành công các tán xạ đàn hồi lên bia hạt nhân 16O và
208Pb. Phân bố góc ở năng lượng thấp hơn 50 MeV đã được mô tả rất
tốt.
Như thế, việc chuyển sang biểu diễn phân tách cho thế quang học
trong các công trình nghiên cứu tán xạ với năng lượng của hạt đạn bé
hơn 50 MeV rất cần thiết cho nghiên cứu cấu trúc và phản ứng hạt nhân.
Ngoài ra, thế quang học trong biểu diễn mới này sẽ là đầu vào vi mô rất
tốt cho các phương trình Faddeev-AGS mở ra cơ hội kết nối trực tiếp
8


với các đại lượng đo được của phản ứng dời chỗ (d, p) và các tính toán

liên quan.
Để khảo sát các đặc trưng vật lý của thế quang học vi mô viết dưới
dạng biểu diễn phân tách cần có nhiều công đoạn, nhiệm vụ khác nhau.
Một trong những nhiệm vụ quan trọng đó chính là tìm được tham số
dạng cho thế quang học vi mô giữa nucleon với hạt nhân bia (cụ thể
là

208

Pb). Từ những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài “Tham số dạng

của phản ứng tán xạ nucleon lên hạt nhân

208

Pb" làm Luận văn

Thạc sĩ.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là thu được biểu thức giải tích và
tính số tham số dạng cho thế quang học vi mô giữa nucleon với hạt nhân
bia

208

Pb từ đó tính số tiết diện tán xạ và so sánh kết quả tính được với

kết quả tính toán theo phương pháp DWBA và thực nghiệm.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trên cơ sở mục tiêu nghiên cứu của đề tài, chúng tôi đặt ra một số

nhiệm vụ nghiên cứu như sau:
- Tìm hiểu biểu thức giải tích cho thế quang học vi mô trong không gian
xung lượng;
- Xây dựng phương trình Lippmman-Schwinger trong biểu diễn xung
lượng;
- Tìm nghiệm của phương trình Lippmman-Schwinger để suy ra được
tham số dạng;

9


- Tính số tiết diện tán xạ của nucleon lên hạt nhân

208

Pb - Lập trình

tính toán.

4. Phạm vi nghiên cứu
Trong khuôn khổ luận văn, tôi chỉ nghiên cứu phản ứng tán xạ đàn
hồi của neutron với hạt nhân bền cụ thể là

208

Pb.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Trong quá trinh nghiên cứu, chúng tôi sử dụng một số phương
pháp

+ Lý thuyết tán xạ lượng tử;
+ Phương pháp trường trung bình vi mô tự hợp;
+ Phương pháp gần đúng sóng méo DWBA;
+ Phương pháp sử dụng phương trình Lippman-Schwinger
- Để thu được kết quả tính số chúng tôi sử dụng ngôn ngữ lập trình
FORTRAN.
6. Bố cục luận văn
Ngoài Mục lục, Phụ lục và Tài liệu tham khảo, luận văn được chia
làm ba phần chính
- Phần Mở đầu: Nêu rõ tính cấp thiết của đề tài, mục tiêu, nhiệm vụ,
phạm vi, phương pháp nghiên cứu và bố cục của Luận văn.
- Phần Nội dung: Bao gồm ba chương
+ Chương 1: Tổng quan về lý thuyết tán xạ

10


+ Chương 2: Thế quang học theo lý thuyết trường trung bình
vi mô tự hợp
+ Chương 3: Các phương pháp nghiên cứu tiết diện tán xạ
- Phần Kết luận: Nêu lên kết quả đạt được của Luận văn và đề xuất
hướng mở rộng nghiên cứu.

11


NỘI DUNG
Chương 1
TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT TÁN XẠ
Chương này trình bày tổng quan các khái niệm cơ bản về tán

xạ đàn hồi và không đàn hồi; bài toán tán xạ; biên độ tán xạ
và tiết diện tán xạ

1.1.

Tán xạ đàn hồi và không đàn hồi

Trong cơ học cổ điển, sự tán xạ hay sự va chạm giữa hai hạt hoàn
toàn được xác định bởi vận tốc và thông số va chạm của chúng. Trong
cơ học lượng tử do hạt không có quỹ đạo xác định nên khái niệm thông
số va chạm cũng không còn ý nghĩa. Vì vậy, mục tiêu của tán xạ lượng
tử là tìm xác suất để hạt bị tán xạ dưới một góc nào đó [2]. Va chạm
được hiểu theo một nghĩa rộng là tương tác trong quá trình dịch chuyển
đối với nhau. Ở trạng thái ban đầu hai hạt ở xa nhau đến mức tương tác
giữa hai hạt là không đáng kể. Hai hạt lại gần nhau, trong quá trình ấy
tương tác làm thay đổi trạng thái chuyển động của chúng. Sau quá trình
tán xạ, hai hạt chuyển động xa nhau và tương tác giữa chúng trở nên
không đáng kể. Trạng thái này được gọi là trạng thái cuối cùng của quá
trình tán xạ. Tán xạ được gọi là đàn hồi khi các hạt ở trạng thái cuối
chỉ khác với trạng thái ban đầu về xung lượng, mà không có sự thay đổi
về loại hạt và cũng không có thay đổi trạng thái bên trong. Nếu có sự
thay đổi về loại hạt hoặc về trạng thái bên trong thì tán xạ gọi là tán
xạ không đàn hồi.
12


1.2.

Bài toán tán xạ


Khi khảo sát bài toán tán xạ ta thường sử dụng hai hệ quy chiếu:
hệ quy chiếu phòng thí nghiệm trong đó hạt bia ban đầu đứng yên còn
hạt đạn chuyển động và hệ quy chiếu khối tâm trong đó khối tâm của
hai hạt tán xạ đứng yên trước và sau va chạm. Theo lý thuyết cổ điển
thì sự va chạm coi như một quá trình phụ thuộc tường minh vào thời
gian.Thông thường quá trình tán xạ có thể được mô tả như Hình 1.1.2,
trong đó hạt A có khối lượng m2 đứng yên (có thể là một hạt trong vật
rắn đứng yên gọi là bia) và một hạt B khác có khối lượng m1 (có thể là
một hạt trong dòng hạt tới) chuyển động về phía hạt A với vận tốc v
(hoặc xung lượng p ) hướng theo trục Oz. Hạt A gọi là hạt gây ra tán
xạ, hạt B gọi là hạt tán xạ. Sau quá trình tán xạ xung lượng của hạt B
được xác định p1 = m1 v1 và hạt A thì bị giật lùi. Như vậy hướng chuyển
động của hạt B thay đổi. Gọi θ0 là góc hợp bởi p và Oz. Các đại lượng
này đo trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm.
Nếu dùng hệ quy chiếu gắn với khối tâm của hệ hai hạt (gọi là hệ
quy chiếu khối tâm) thì khối tâm đứng yên, hạt B có vận tốc v’
v =v−
và hạt A có vận tốc

m1
m1 +m2 v

m2
m1
v=
v,
m1 + m2
m1 + m2

(1.1)


hướng theo chiều ngược lại. Góc θ xác định

hướng của xung lượng hạt B sau tán xạ, khi đo góc θ trong hệ khối tâm
thì có giá trị khác với θ0 đo trong hệ phòng thí nghiệm
tanθ0 =

m2 sinθ
.
m1 + m2 cosθ

13

(1.2)


Hình 1.1: Sơ đồ thí nghiệm tán xạ hệ quy chiếu phòng thí nghiệm và hệ quy chiếu khối
tâm

14


Trong cơ học lượng tử, thay cho diễn biến của quá trình tán xạ theo
thời gian, ta xét bài toán dừng tương đương với giả thuyết cho rằng có
một dòng liên tục các hạt đến tương tác với bia tán xạ sau đó biến thành
một dòng các hạt tán xạ từ bia bay ra mọi phía. Mật độ dòng phải đủ
nhỏ để có thể bỏ qua tương tác giữa các hạt tới. Trong bài toán tán xạ
dừng, nếu biết được trường lực tán xạ, ta sẽ tính được dòng các hạt tán
xạ (tại khoảng cách vô cùng so với tâm tán xạ) như là hàm của dòng
các hạt tới.


Hình 1.2: Sơ đồ thí nghiệm tán xạ

Hình 1.1 mô tả một thí nghiệm tán xạ điển hình. Máy gia tốc tạo ra
chùm hạt tới. Những dòng hạt này qua khe chắn, năng lượng và loại hạt
được xác định ngay sau đó. Những dòng hạt từ máy gia tốc di chuyển
hướng đến bia và xảy ra sự tán xạ. Ở đây, sự tán xạ diễn ra đủ để cho
phần lớn hạt đi qua bia và tiếp tục truyền đi không bị nhiễu loạn, phân
tán. Để tính toán định lượng quá trình tán xạ này, chùm tia ban đầu
được giả thiết có hướng theo chiều dương trục z và gắn cho mỗi hạt xung
lượng k. Những dòng hạt tán xạ được phát hiện tại một khoảng cách
15


r so với bia ứng với góc tán xạ Ω ≡ (θ, φ) . Góc tán xạ Ω luôn thay đổi
nên phải sử dụng những thiết bị đa dạng để xác định chính xác năng
lượng, vị trí và tính chất của hạt tán xạ.

1.3.

Biên độ tán xạ

Giả sử có một dòng hạt đến tương tác với bia sau đó biến thành
các hạt tán xạ từ bia bay ra mọi phía. Chọn tâm tán xạ (đặt ở bia) cố
định tại gốc tọa độ. Trục z hướng theo phương của các dòng hạt tới. Ở
xa tâm tán xạ, hạt tới chuyển động tự do và năng lượng luôn dương, có
phổ liên tục do không bị lượng tử hóa, hàm sóng của hạt có dạng sóng
phẳng
eikz
.

φ(r) =
(2π)3/2

(1.3)

Tương tác của hạt với tâm tán xạ cố định có thể được mô tả bằng hàm
thế V (r), giả thiết rằng hàm này chỉ khác không trong một miền không
gian hữu hạn có r

a , gọi là miền tác dụng lực. Trong miền này hạt bị

tán xạ do đó hàm sóng của hạt thay đổi. Ngoài khoảng này V (r) = 0,
lúc đó hạt được xem như tự do mô tả bởi sóng phẳng. Khi sóng tới φ(r)
tương tác với bia, sóng đi ra bị tán xạ. Trong trường hợp đẳng hướng,
sóng tán xạ có dạng đối xứng cầu dạng ψtx ∼

eikr
r .

Tuy nhiên trong

trường hợp tổng quát sóng tán xạ không đối xứng cầu, biên độ của nó
thuộc vào hướng (θ, φ) mà dọc theo đó hạt được phát hiện.
Như vậy sóng tán xạ có dạng:
eik r
ψtx = f (θ, ϕ)
.
(2π)3/2
16


(1.4)


Trong đó f (φ, ϕ) gọi là biên độ tán xạ, A là thừa số chuẩn hóa, k là
vecto sóng ứng với tán xạ, θ là góc giữa k và k . Trong tán xạ đàn hồi k
và k có giá trị như nhau.
Sau khi tán xạ xảy ra sóng toàn phần là chồng chất của sóng tới và
sóng tán xạ
ψ(r) = φ(r) + ψtx (r) =

1
eik r
ikz
e
+
f
(θ,
ϕ)
.
r
(2π)3/2

(1.5)

Hình 1.3: Sơ đồ mô tả sóng tới và sóng tán xạ

Trong biểu thức (1.5) số hạng thứ nhất được viết trong tọa độ
Descartes mô tả chuyển động của hạt tới, còn số hạng thứ hai được viết
trong hệ tọa độ cầu mô tả chuyển động của các hạt tán xạ. Ta có thể
biểu diễn như Hình 1.3 .


1.4.

Tiết diện tán xạ

1.4.1.

Khái niệm

Trong các thí nghiệm về tán xạ ta quan sát sự va chạm giữa một
dòng hạt tới và một bia đứng yên. Tổng số va chạm trong thời gian thí
17


Hình 1.4: Tán xạ giữa chùm hạt tới và bia đứng yên: hạt bị tán xạ ở trong góc khối
dΩ theo hướng (θ, ϕ)

nghiệm tỉ lệ với tổng số hạt tới và số hạt trong bia trên một đơn vị diện
tích theo hướng chùm hạt tới. Sau va chạm các hạt không tương tác với
bia sẽ tiếp tục chuyển động (không bị ảnh hưởng) nhưng các hạt tương
tác với bia thì bị lệch (tán xạ) dưới một góc nào đó (Hình 1.4). Số hạt
bị lệch theo các hướng khác nhau là khác nhau. Ta xét số hạt bị tán xạ
trong một phần tử góc khối dΩ thì tỉ lệ với một đại lượng đóng vai trò
quan trọng trong lý thuyết tán xạ, đó là tiết diện vi phân, kí hiệu bởi
dσ(θ, ϕ)/dΩ.
Tiết diện tán xạ vi phân đặc trưng cho sự tán xạ của một dòng hạt.
Như vậy, tiết diện vi phân chính là số hạt bị tán xạ trong một phần tử
thể tích góc khối theo hướng (θ, ϕ) trong một đơn vị thời gian và mật
độ dòng hạt tới:
dσ(θ, ϕ)

1 dNtx (θ, ϕ)
=
,
dΩ
jt
dΩ

(1.6)

trong đó jt là mật độ dòng hạt tới.
Thứ nguyên của tiết diện hiệu dụng là diện tích. Bán kính hạt

18


có độ lớn cỡ 10−12 cm, nên tiết diện tán xạ hạt nhân được đo bằng
1bar = 10−24 cm2 . Tiết diện tán xạ toàn phần là tích phân của tiết diện
hiệu dụng lấy trên tất cả góc khối:
σ=
1.4.2.

dσ
dΩ =
dΩ

π

2π

sinθdθ

0

0

dσ
dϕ.
dΩ

(1.7)

Mối liên hệ giữa tiết diện tán xạ vi phân và biên độ tán
xạ

Ta chọn trục z theo phương chuyển động của các hạt tới (Hình 1.4)
Gọi jxt (r, θ, ϕ) là mật độ dòng các hạt tán xạ. Số hạt tán xạ
dNtx (θ, ϕ) trong một phần tử góc khối Ω theo hướng (θ, ϕ) và đi qua
phần tử bề mặt dS trong một đơn vị thời gian là:
dNtx (θ, ϕ)
= jtx (r, θ, ϕ)dS,
dΩ

(1.8)

trong đó dS là diện tích vi cấp vuông góc với bán kính vectơ vạch từ
tâm tán xạ dưới các góc θ, ϕ. Độ lớn dS và phần tử góc khối dΩ có mối
liên hệ
dS = r2 dΩ,

(1.9)


do đó tiết diện tán xạ vi phân được xác định bằng công thức:
dσ(θ, ϕ) jtx
jtx 2
=
dS =
r dΩ.
dΩ
jt
jt

(1.10)

Trong cơ học lượng tử, jtx và jt theo thứ tự được gọi là mật độ dòng xác
suất tán xạ và mật độ dòng xác suất tới.
Mật độ dòng xác suất của dòng hạt tới và dòng hạt tán xạ được
19


như sau:
jt =

i
i
∂ψ ∗
∗ ∂ψtx
(ψt ∇ψt∗ − ψt∗ ∇ψt ); jtx =
ψtx tx − ψtx
2µ
2µ
∂r

∂r

.

(1.11)

Từ đó, ta tính được

k
;
µ
k
jtx = |A|2 2 |f (θ, ϕ)|2 .
µr
jt = |A|2

(1.12)

Thay (1.12) vào (1.10) ta được mối liên hệ giữa tiết diện vi phân và biên
độ tán xạ
k
dσ
= |f (θ, ϕ)|2 .
Ω
k
1.4.3.

(1.13)

Tiết diện hiệu dụng của tán xạ trong hệ quy chiếu

phòng thí nghiệm và hệ quy chiếu khối tâm

Khi khảo sát bài toán tán xạ ta thường sử dụng hệ quy chiếu phòng
thí nghiệm (LAB) và hệ quy chiếu khối tâm (CM).Việc tính toán tiết
diện tán xạ sẽ dễ dàng hơn nếu dùng hệ quy chiếu khối tâm. Vì vậy để so
sánh kết quả của phép đo trong phòng thí nghiệm và kết quả lý thuyết,
ta phải biến đổi tiết diện tán xạ từ hệ này qua hệ khác. Tiết diện tán
xạ toàn phần là như nhau trong cả hai hệ quy chiếu vì va chạm xảy ra
không phụ thuộc vào hệ tọa độ. Tuy nhiên, tiết diện tán xạ vi phân thì
không như nhau trong hai hệ quy chiếu vì góc tán xạ phụ thuộc hệ tọa
độ
Để tìm mối liên hệ giữa tiết diện tán xạ trong hệ quy chiếu khối
20


tâm và phòng thí nghiệm ta cần tìm hệ thức giữa góc tán xạ trong hai
hệ quy chiếu. Ta xét bài toán tán xạ của hai hạt trong đó hạt đạn có
khối lượng m1 , hạt bia có khối lượng m2 ban đầu đứng yên. Gọi θ1 và θ
lần lượt là góc tán xạ của m1 trong hệ phòng thí nghiệm và hệ khối tâm.
Gọi r1L và r1C lần lượt là vị trí của m1 trong hệ phòng thí nghiệm và
hệ khối tâm. Gọi R là vị trí của khối tâm đối với hệ phòng thí nghiệm
thì r1L = r1C + R. Đạo hàm hệ thức này theo thời gian, ta được hệ thức
liên hệ vận tốc của m1 trong hai hệ quy chiếu:
V1L = V1C + VCM
trong đó VCM là vận tốc của khối tâm đối với hệ phòng thí nghiệm.
Tương tự vận tốc của m1 sau va chạm là: V

1L

=V


1C

+ VCM

Hình 1.5: Tán xạ đàn hồi của hai hạt điểm trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm và hệ
quy chiếu khối tâm

V

1L cos θ1

=V

1C

cos θ + VCM ,

(1.14)

V

1L sin θ1

=V

1C

sin θ.


(1.15)

21


Chia (1.15) cho (1.14) ta được:
tan θ1 =

sin θ
,
cos θ + VVCM
1C

trong đó

VCM
V1C

có thể lấy bằng tỉ số
tan θ1 =

Sử dụng công thức cos θ1 = √

m1
m2 .

Từ đó ta được

sin θ
.

1
cos θ + m
m2

1
tan2 θ1 +1

ta được

cos θ +

cos θ1 =

1+

m21
m22

+

m1
m2

m1
2m
2

.

(1.16)


cos θ

Tương tự ta có thể tìm được hệ thức liên hệ giữa θ2 và θ
Từ (Hình 1.4), ta có V

=V

2L

2CM .

Chiếu hệ này lên hai trục x và

y:
V2L cos θ2 = −V2C cos θ + VCM = −(cos θ + 1)V2C

(1.17)

V2L sin θ2 = −V2C sin θ

(1.18)

Từ (1.17) và (1.18) ta được
tan θ2 =

sin θ
− cos θ +

VCM

V2C

=

sin θ
θ
π−θ
= cot ⇒ θ2 =
1 − cos θ
2
2

(1.19)

Số hạt tán xạ trong góc khối dΩ bằng nhau giữa hai hệ quy chiếu do đó
ta có:
dσ
dΩ1

dΩ1 =
LAB

dσ
dΩ

dσ
dΩ1

dΩ ⇒
CM


22

=
LAB

dσ
dΩ

CM

sin θ dθ dφ
.
sin θ1 dθ1 dφ1