BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN VŨ THỤY

NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN
CỦA TRẠNG THÁI THÊM HAI VÀ BỚT MỘT
PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP LẺ

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số:

60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG ỨNG DỤNG
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC

Huế, năm 2017

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kỳ một công trình nghiên cứu nào khác.

Huế, tháng 5 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Vũ Thụy

ii


LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc nhất đến thầy PGS. TS. Trương Minh Đức, người
đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoa
Vật Lý và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại
học Huế; các bạn học viên Cao học khóa 24 cùng gia đình, bạn bè đã
động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập
và thực hiện luận văn.
Huế, tháng 5 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Vũ Thụy

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh mục các đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . .

10


1.1. Trạng thái kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.3. Trạng thái kết hợp lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.1.4. Trạng thái kết hợp thêm photon . . . . . . . . . . .

18

1.2. Một số tính chất phi cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.2.1. Khái niệm trạng thái nén . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.2.2. Nén tổng hai mode . . . . . . . . . . . . . . . . . .


21

1.2.3. Nén hiệu hai mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.4. Tính chất phản kết chùm . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.5. Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz . . . .

25

1.3. Một số tiêu chuẩn đan rối . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.3.1. Tiêu chuẩn đan rối Hillery – Zubairy . . . . . . . . .

26

1.3.2. Tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha - Jeawan Kim . .

27

Chương 2. TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI
THÊM HAI VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI
MODE KẾT HỢP LẺ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1


31


2.1. Trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết
hợp lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2. Nén tổng hai mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.3. Nén hiệu hai mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Chương 3. SỰ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
- SCHWARZ VÀ TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM
CỦA TRẠNG THÁI THÊM HAI VÀ BỚT MỘT
PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP LẺ . . . . .

40

3.1. Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz . . . . . . . .

40

3.2. Tính chất phản kết chùm . . . . . . . . . . . . . . . . . .


43

Chương 4. TÍNH ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI THÊM
HAI VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE
KẾT HỢP LẺ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.1. Tính đan rối Hillery - Zubairy . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.2. Tính đan rối Hyunchul Nha - Jeawan Kim . . . . . . . . .

67

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1

2


DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ


Tên đồ thị

Trang

Đồ thị 2.1

Khảo sát sự phụ thuộc của tham số S vào biên độ
π
kết hợp rb với ϕb = . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Đồ thị 2.2 Khảo sát nén tổng hai mode của trạng thái thêm

35

hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ (đường
màu xanh) và trạng thái hai mode kết hợp thêm
photon lẻ (đường màu đỏ). . . . . . . . . . . . . .
Đồ thị 2.3

35

Khảo sát sự phụ thuộc của tham số D vào biên độ
kết hợp rb và pha dao động ϕb . . . . . . . . . . . .

38

Đồ thị 3.1

Khảo sát sự phụ thuộc của I vào biên độ kết hợp

π
rb với ϕb = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2
Đồ thị 3.2 Khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai
mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) và trạng thái
hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ).
Đồ thị 3.3

43

Khảo sát sự phụ thuộc của Rab (2, 2) vào biên độ rb
của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai
mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) và trạng thái
hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ).

Đồ thị 3.4

49

Khảo sát sự phụ thuộc của Rab (3, 2) vào biên độ rb
của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai
mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) và trạng thái
hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ).

3

51



Đồ thị 3.5

Khảo sát sự phụ thuộc của Rab (3, 3) vào biên độ rb
của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai
mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) và trạng thái
hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ).

Đồ thị 3.6

51

Khảo sát sự phụ thuộc của Rab (4, 2) vào biên độ rb
của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai
mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) và trạng thái
hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ).

Đồ thị 3.7

54

Khảo sát sự phụ thuộc của Rab (4, 3) vào biên độ rb
của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai
mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) và trạng thái
hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ).

Đồ thị 3.8

56

Khảo sát sự phụ thuộc của Rab (4, 4) vào biên độ rb

của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai
mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) và trạng thái
hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ).

Đồ thị 3.9

58

Khảo sát sự phụ thuộc của Rab (5, 2) vào biên độ rb
của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai
mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) và trạng thái
hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ).

58

Đồ thị 3.10 Khảo sát sự phụ thuộc của Rab (5, 4) vào biên độ rb
của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai
mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) và trạng thái
hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ).

4

62


Đồ thị 3.11 Khảo sát sự phụ thuộc của Rab (2, 2), Rab (3, 3) và
Rab (4, 4) vào biên độ rb với ra = rb2 , ϕa = 2ϕb và
π
ϕb = . Các tham số được chọn theo thứ tự tương
2

ứng với màu đỏ, màu xanh lá cây và màu xanh da
trời. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Đồ thị 3.12 Khảo sát sự phụ thuộc của Rab (3, 2), Rab (4, 3) và
Rab (5, 4) vào biên độ rb với ra = rb2 , ϕa = 2ϕb và
π
ϕb = . Các tham số được chọn theo thứ tự tương
2
ứng với màu đỏ, màu xanh lá cây và màu xanh da
trời. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Đồ thị 3.13 Khảo sát sự phụ thuộc của Rab (3, 2), Rab (4, 2) và
Rab (5, 2) vào biên độ rb với ra = rb2 , ϕa = 2ϕb và
π
ϕb = . Các tham số được chọn theo thứ tự tương
2
ứng với màu đỏ, màu xanh lá cây và màu xanh da
trời. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Đồ thị 4.1 Khảo sát sự phụ thuộc của tham số đan rối RH vào
biên độ rb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66


Đồ thị 4.2 Khảo sát sự phụ thuộc của tham số đan rối RN vào
biên độ rb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

70


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Các trạng thái kết hợp là những trạng thái có thăng giáng lượng
tử nhỏ, do đó trong thời gian gần đây các tính chất phi cổ điển của các
trạng thái kết hợp đang được các nhà khoa học trên thế giới nghiên cứu
và ứng dụng vào thực nghiệm. Trạng thái kết hợp lần đầu tiên được đưa
ra bởi Glauber (1963) [13] và Sudarshan (1963) [25], đây là trạng thái
ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất được suy ra từ hệ thức bất định
Heisenberg. Trạng thái này có thể được xem là “trạng thái biên” của tập
hợp các trạng thái cổ điển. Từ đó các nhà khoa học đã nghĩ đến một
trạng thái kết hợp khác đó là trạng thái kết hợp phi cổ điển, và thực tế
đã chứng minh cho dự đoán đó, nhiều trạng thái kết hợp phi cổ điển đã
ra đời dựa trên lý thuyết và thực nghiệm.
Năm 1970, khái niệm về trạng thái nén lần đầu tiên được đưa ra bởi
Stoler [24] và đã được thực nghiệm chứng minh vào năm 1987, đây cũng
là trạng thái mở đầu cho lớp các trạng thái phi cổ điển. Khái niệm về
các trạng thái phi cổ điển được các nhà khoa học không ngừng nghiên
cứu và phát triển, điển hình như các trạng thái nén, trạng thái kết hợp
chẵn, lẻ. Vào năm 1991, Agarwal và Tara đã đề xuất ý tưởng về trạng
thái kết hợp thêm photon [8] và cũng đã chứng minh được nó là một
trạng thái phi cổ điển có thể hiện tính nén, tính antibunching (phản kết
chùm) và tuân theo thống kê sub-Poisson. Thêm và bớt photon vào một

trạng thái vật lý là một phương pháp quan trọng trong việc tạo ra một
trạng thái phi cổ điển mới, nghiên cứu tính chất của các trạng thái phi
cổ điển này mở ra những ứng dụng mới trong kỹ thuật. Áp dụng những
nghiên cứu về trạng thái phi cổ điển vào thực nghiệm cho phép chúng
6


ta tạo ra các thiết bị quang học, các thiết bị điện tử với độ chính xác và
tốc độ cao để đáp ứng sự phát triển của khoa học kỹ thuật ngày nay.
Khảo sát tính đan rối và viễn tải lượng tử của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon đã được tác giả Nguyễn Thị Thùy Dung [1]
nghiên cứu trong năm 2013. Trong năm 2014, tác giả Nguyễn Thanh
Pháp đã nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon [5], đồng thời tác giả Huỳnh Vũ cũng đã nghiên
cứu tính chất nén bậc cao và tính phản chùm của trạng thái hai mode
kết hợp SU(2) lẻ [7]. Cũng trong thời gian đó, tác giả Nguyễn Thị Hồng
Hạnh [4] đã khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode
kết hợp thêm photon lẻ. Tuy nhiên, việc nghiên cứu các tính chất phi cổ
điển của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ
chưa được đề cập đến. Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài: "Nghiên
cứu các tính chất phi cổ điển của trạng thái thêm hai và bớt
một photon lên hai mode kết hợp lẻ" để làm luận văn thạc sĩ của
mình.
2. Mục tiêu của luận văn
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu các tính chất phi cổ điển bậc
thấp và bậc cao đó là nén tổng và nén hiệu hai mode, tính chất phản
kết chùm hai mode, tính đan rối và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy
– Schwarz của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết
hợp lẻ.
3. Nội dung nghiên cứu

Trên cơ sở mục tiêu đề ra của đề tài tôi đưa ra một số nhiệm vụ cụ thể
như sau:
- Hệ thống trạng thái kết hợp, trạng thái thêm hai và bớt một
7


photon lên hai mode kết hợp lẻ và các tính chất phi cổ điển;
- Nghiên cứu tính chất nén tổng, nén hiệu hai mode của trạng thái
thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ;
- Khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz và tính chất
phản kết chùm của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode
kết hợp lẻ;
- Khảo sát tính đan rối của trạng thái thêm hai và bớt một photon
lên hai mode kết hợp lẻ.
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn này chúng tôi sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp phân tích, tổng hợp tài liệu;
- Vận dụng kiến thức về lý thuyết trường lượng tử để tính toán đưa
ra các biểu thức cụ thể;
- Sử dụng chương trình Mathematica để xử lý và vẽ đồ thị.
5. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài thuộc lĩnh vực quang lượng tử và chỉ nghiên cứu các tính chất
phi cổ điển của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết
hợp lẻ.
6. Bố cục luận văn
Luận văn gồm có ba phần chính: mở đầu, nội dung và kết luận.
- Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu,
nhiệm vụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và
bố cục của luận văn.
- Phần nội dung: gồm bốn chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết.
8


Chương 2: Tính chất nén của trạng thái thêm hai và bớt một photon
lên hai mode kết hợp lẻ.
Chương 3: Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và tính
chất phản kết chùm của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai
mode kết hợp lẻ.
Chương 4: Tính đan rối của trạng thái thêm hai và bớt một photon
lên hai mode kết hợp lẻ.
- Phần kết luận: Tóm tắt các kết quả đạt được, đề xuất hướng
mở rộng nghiên cứu của đề tài.

9


NỘI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Chương này trình bày tổng quan về các kiến thức làm cơ sở lý
thuyết như trạng thái kết hợp, trạng thái kết hợp lẻ, trạng thái
kết hợp thêm photon. Bên cạnh đó, các tính chất phi cổ điển
như nén tổng, nén hiệu, tính chất phản kết chùm hai mode và
sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy – Shwarz cũng như một số
tiêu chuẩn đan rối cũng được chúng tôi trình bày khá chi tiết.

1.1.

Trạng thái kết hợp


1.1.1.

Khái niệm

Năm 1963, trạng thái kết hợp lần đầu tiên được đưa ra bởi hai nhà
khoa học Glauber [13] và Sudarshan [25], đây là trạng thái ứng với giá
trị thăng giáng nhỏ nhất được suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg.
Trạng thái kết hợp được đưa ra bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển
ˆ
D(α)
lên vector trạng thái chân không |0 của trường điện từ [2]
ˆ
|α = D(α)|0
,

(1.1)

trong đó toán tử dịch chuyển
ˆ
D(α)
= exp(αˆ
a† − α ∗ a
ˆ),

(1.2)

với α = r exp(iϕ) là một số phức, a
ˆ† và a
ˆ lần lượt là toán tử sinh, hủy

photon của trường điện từ và chúng tuân theo hệ thức giao hoán
a
ˆ, a
ˆ† = 1,

[ˆ
a, a
ˆ] = a
ˆ† , a
ˆ† = 0.
10


ˆ không
Sử dụng đồng nhất thức Baker – Hausdorff cho hai toán tử Aˆ và B
giao hoán với nhau, ta có
ˆ = exp Aˆ exp B
ˆ exp 1 A,
ˆ B
ˆ
exp Aˆ + B
2

.

(1.3)

ˆ = −α∗ a
Cho Aˆ = αˆ
a† và B

ˆ , từ đó
ˆ B
ˆ = AˆB
ˆ −B
ˆ Aˆ = αˆ
A,
a† (−α∗ a
ˆ ) + α∗ a
ˆαˆ
a†
= |α|2 a
ˆa
ˆ† − a
ˆ† a
ˆ = |α|2 a
ˆ, a
ˆ† .

(1.4)

Từ (1.2),(1.3) và (1.4), ta có
1
ˆ
D(α)
= exp αˆ
a† − α ∗ a
ˆ = exp αˆ
a† exp (−αˆ
a) exp − |α|2 . (1.5)
2

Áp dụng khai triển Taylor cho hai thừa số đầu tiên trong biểu thức (1.5),
ta được
exp αˆ
a

†

αˆ
a†
αˆ
a†
+
=1+
1!
2!

2

αˆ
a†
+
3!

2

3

∞

+ ... =

3

α∗ a
ˆ (α∗ a
ˆ)
(α∗ a
ˆ)
exp (−α a
ˆ) = 1 −
+
−
+ ... =
1!
2!
3!

n=0
∞

∗

n=0

αˆ
a†
n!

n

,


(1.6)

(−α∗ a
ˆ)n
. (1.7)
n!

ˆ
Bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển D(α)
lên vector trạng thái chân
không |0 , ta được
1
ˆ
|α = D(α)|0
= exp αˆ
a† exp (−α∗ a
ˆ) exp − |α|2 |0 .
2

(1.8)

Thay (1.7) vào (1.8), ta được
1
|α = exp αˆ
a exp − |α|2
2

∞


†

n=0

(−α∗ a
ˆ)n
|0 ,
n!

(1.9)

Trong đó
∞

n=0

(−α∗ a
ˆ)n
|0 =
n!

α∗ a
ˆ (α∗ a
ˆ)2 (α∗ a
ˆ)3
1−
+
−
+ . . . |0 = |0 .
1!

2!
3!
11


Phương trình (1.9) trở thành
1
|α = exp αˆ
a† exp − |α|2 |0 .
2

(1.10)

Thay (1.6) vào (1.10), ta được
1
ˆ
|α = D(α)|0
= exp − |α|2
2
1
= exp − |α|2
2
1
= exp − |α|2
2
1
= exp − |α|2
2

∞


n=0
∞

n=0
∞

n=0

α

n

∞

n=0
† n

αˆ
a†
n!

n

|0

a
ˆ
|0
n!

√
αn n!
|n
n!
αn
√ |n ,
n!

(1.11)

n

a
ˆ†
trong đó |n = √ |0 là vector trạng thái chứa n hạt boson hay còn
n!
gọi là các trạng thái Fock. Trạng thái kết hợp |α là hàm riêng của toán
tử hủy photon ứng với trị riêng α, nghĩa là
a
ˆ|α = α|α .

(1.12)

Lấy liên hiệp Hermite của (1.12), ta được
(ˆ
a|α )∗ = α|ˆ
a† = α|α∗ .
1.1.2.

(1.13)


Tính chất

Trạng thái kết hợp có một số tính chất sau đây:
Tính chất 1: Số hạt trung bình của trạng thái kết hợp chính bằng
bình phương biên độ kết hợp, đồng thời phân bố số hạt của trạng thái
kết hợp chính là phân bố Poisson.
Thật vậy, số hạt trung bình ở trạng thái kết hợp |α là
n
ˆ = α|ˆ
n|α = α|ˆ
a† a
ˆ|α = |α|2 .
12

(1.14)


Phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp |α là
V n = (∆n)2 = α|ˆ
n2 |α − α|ˆ
n|α
= α|ˆ
a† a
ˆa
ˆ† a
ˆ|α − α|ˆ
a† a
ˆ|α


2

2

= α|ˆ
a† a
ˆ† a
ˆ+1 a
ˆ|α − |α|4

= α|ˆ
a†2 a
ˆ2 + a
ˆ† a
ˆ|α − |α|4 = |α|4 + |α|2 − |α|4 = |α|2 .

(1.15)

Từ (1.14) và (1.15), ta có
n
ˆ = (∆n)2 .

(1.16)

Biểu thức (1.16) chứng tỏ trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson.
Từ (1.11), ta thấy rằng
1
n|α = exp − |α|2
2


αn
√ .
n!

(1.17)

Từ (1.17), ta tìm được xác suất tìm hạt ở trạng thái kết hợp |α là
p(n) = | n|α |2 = ( n|α )∗ n|α
1 2 αn
1 2 (α∗ )n
√ exp − |α| √
= exp − |α|
2
2
n!
n!
2n
2
n
|α| exp(−|α| )
n
ˆ exp(− n
ˆ )
=
=
.
n!
n!

(1.18)


Như vậy phân bố số hạt của trạng thái kết hợp chính là phân bố Poisson.
Do đó, trạng thái kết hợp là trạng thái cổ điển.
Tính chất 2: Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp |α là một tập
hợp đủ.
1
π

|α α|d2 α = 1.

(1.19)

Thật vậy, ta có
∞
2

|α α|d α =

−|α|2

e

n=0

αn
√ |n
n!

∞


(α∗ )m
√
m|d2 α,
m!
m=0

(1.20)

trong đó α = r exp(iϕ), sử dụng hệ tọa độ cực ta có d2 α = rdrdϕ, do đó
∞
2

|α α|d α =

2π

rdr
0

∞

dϕe
0

−r2

rn+m ei(n−m)ϕ
√
|n m|.
n!m!

n,m=0

13

(1.21)


2π

ei(n−m)ϕ dϕ = 2πδnm , ta có

Với
0

∞
2

|α α| d α =

∞

rdr

e

−r2 2πr

n!

n=0


0
∞

=
n=0

2n

|n n|

∞

2π
|n n|
n!

2

e−r r2n+1 dr.

(1.22)

0

Sử dụng tích phân Poisson, ta có
∞
2

e−r r2n+1 dr =


n!
.
2

(1.23)

|α α| d2 α = 1.

(1.24)

0

Vậy
|α α| d2 α = π

1
π

hay

Tính chất 3: Trạng thái kết hợp là chuẩn hóa nhưng lại không
trực giao với nhau.
Thật vậy, ta có
1
1
α| β = exp − |α|2 exp − |β|2
2
2
1

1
= exp − |α|2 exp − |β|2
2
2
1
1
= exp − |α|2 exp − |β|2
2
2

∞

∞

∞

∞

β m (α∗ )n
√
√
n|m
m!
n!
n=0 m=0
β m (α∗ )n
√
√ δnm
m!
n!

n=0 m=0
∞

n=0

(α∗ β)n
n!

1
1
= exp − |α|2 exp − |β|2 exp (α∗ β)
2
2
1
1
= exp − |α|2 − |β|2 + α∗ β .
2
2
Từ kết quả trên, ta có
| α | β |2 = ( α | β )∗ α | β
14

(1.25)


1
1
1
1
= exp − |α|2 − |β|2 + αβ ∗ exp − |α|2 − |β|2 + α∗ β

2
2
2
2
= exp −|α|2 − |β|2 + αβ ∗ + α∗ β = exp −|α − β|2 .
Hệ quả của sự không trực giao là bất kỳ một trạng thái kết hợp nào
cũng được khai triển theo các trạng thái kết hợp khác [6], do đó
1
π
1
=
π

|α =

|α α | α d2 α
1 2
1
d2 α |α exp − |α|2 + α α∗ − |α | .
2
2

(1.26)

Điều này cho thấy rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo
thành hệ quá đủ (overcomplete) [6].
Tính chất 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định nhỏ
nhất được suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg.
Để chứng minh điều này, ta xét với hai toán tử tọa độ và xung lượng
được định nghĩa như sau

xˆ =

1 †
a
ˆ +a
ˆ ,
2

pˆ =

i †
a
ˆ −a
ˆ .
2

(1.27)

Phương sai của xˆ là
α| (∆ˆ
x)2 |α = α| xˆ2 |α − ( α| xˆ |α )2
1
1
2
2
= α| a
α| a
ˆ† + a
ˆ |α
ˆ† + a

ˆ |α −
4
4
1
1
= α| a
ˆ†2 + a
ˆ2 + a
ˆ† a
ˆ+a
ˆa
ˆ† |α − (α∗ + α)2
4
4
1
1
= α| a
ˆ†2 + a
ˆ2 + a
ˆ† a
ˆ+a
ˆ† a
ˆ + 1 |α − (α∗ + α)2
4
4
1 ∗2
1
=
α + α2 + 2|α|2 + 1 −
α2 + α∗2 + 2|α|2

4
4
1
= .
4
Tương tự ta tính phương sai của pˆ
α| (∆ˆ
p)2 |α = α| pˆ2 |α − ( α| pˆ |α )2
15


1
4
1
=−
4
1
=−
4
1
=−
4
1
= .
4
=−

1
2
α| a

ˆ† − a
ˆ |α
4
1
α| a
ˆ†2 + a
ˆ2 − a
ˆ† a
ˆ−a
ˆa
ˆ† |α + (α∗ − α)2
4
1
α| a
ˆ†2 + a
ˆ2 − a
ˆ† a
ˆ−a
ˆ† a
ˆ − 1 |α + (α∗ − α)2
4
1
α∗2 + α2 − 2|α|2 − 1 +
α2 + α∗2 − 2|α|2
4
α| a
ˆ† − a
ˆ

2


|α +

Vậy ta thu được
α| (∆ˆ
x)2 |α α| (∆ˆ
p)2 |α =

1
.
16

(1.28)

Đây chính là giá trị nhỏ nhất ứng với hệ thức bất định Heisenberg. Như
vậy, đối với trạng thái kết hợp, ta có thể đo được đồng thời xˆ và pˆ với sai
số nhỏ nhất ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Biểu thức (1.28) được gọi
là giới hạn lượng tử chuẩn (standard quantum limit). Đây là tính chất
quan trọng nhất của trạng thái kết hợp.
1.1.3.

Trạng thái kết hợp lẻ

Xuất phát từ trạng thái kết hợp với toán tử dịch chuyển, trạng thái
kết hợp lẻ đã được Dodonov [11] và cộng sự đưa ra bằng lý thuyết lần
đầu tiên vào năm 1973 và chúng đã được tạo ra bằng thực nghiệm năm
1992. Trạng thái kết hợp lẻ được định nghĩa
ˆ a (α) − D
ˆ a (−α) |0 .
|α l = Cl (|α − |−α ) = Cl D


(1.29)

Dễ dàng thấy |α l là hàm lẻ theo α, nghĩa là
|α l = −|−α l .

(1.30)

Nếu biểu diễn theo các trạng thái Fock, ta có
|α l = Cl

|α|2
exp −
2

∞

n=0

αn
|α|2
√ |n − exp −
2
n!
16

∞

n=0


(−α)n
√
|n
n!


|α|2
= 2Cl exp −
2

∞

α2n+1
(2n + 1)!

n=0

|2n + 1 .

(1.31)

Từ biểu thức trên, ta thấy rằng khi biểu diễn sang trạng thái Fock thì
trạng thái kết hợp lẻ là tổ hợp của các trạng thái ứng với số hạt là lẻ.
Trạng thái kết hợp lẻ có một số tính chất sau
- Các trạng thái kết hợp lẻ không trực giao với nhau nhưng lại trực
giao với trạng thái kết hợp chẵn.
Thật vậy, ta có
l

1

1
α | β l = 4Cl (α) Cl (β) exp − |α|2 exp − |β|2
2
2
∞

∞

×

β 2m+1

(α∗ )2n+1

β 2m+1

(α∗ )2n+1

2n + 1 | 2m + 1
(2m
+
1)!
(2n
+
1)!
n=0 m=0
1
1
= 4Cl (α) Cl (β) exp − |α|2 exp − |β|2
2

2
∞

∞

×

(2m + 1)!

n=0 m=0

(2n + 1)!

δnm

1
1
= 4Cl (α) Cl (β) exp − |α|2 exp − |β|2
2
2

∞

n=0

(α∗ β)2n+1
(2n + 1)!

1
1

= 4Cl (α) Cl (β) exp − |α|2 exp − |β|2 sinh (α∗ β) ,
2
2
và
ch

1
1
α | β l = 4Cch (α) Cl (β) exp − |α|2 exp − |β|2
2
2
∞

∞

×
n=0 m=0

β 2m+1

(α∗ )2n

(2m + 1)!

(2n)!

2n | 2m + 1

= 0.
- Các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ có thể chuyển đổi qua

lại lẫn nhau bằng cách tác dụng toán tử hủy lên chúng.
Thật vậy, ta có
1
a
ˆ|α l = 2Cl exp − |α|2
2

∞

α2n+1
(2n + 1)!

n=0

17

a
ˆ |2n + 1


∞

1
= 2Cl exp − |α|2
2

√

α2n+1
(2n + 1)!


n=0

∞

1
Cch
exp − |α|2
= 2αCl
Cch
2

n=0

α2n
(2n)!

2n + 1 |2n

|2n =

Cl
α|α
Cch

ch .

Hoàn toàn tương tự, ta có
a
ˆ|α


ch

Cch
α|α l .
Cl

=

(1.32)

Hệ thức (1.32) chứng tỏ rằng toán tử hủy a
ˆ có tác dụng như là một toán
tử quay (rotation operator) giữa |α

ch

và |α l .

- Khác với trạng thái kết hợp, trạng thái kết hợp lẻ là hàm riêng
của toán tử a
ˆ2 ứng với các trị riêng α2 , nghĩa là
1
a
ˆ |α l = 2Cl exp − |α|2
2

∞

α2n+1


2

1
= 2Cl exp − |α|2
2

(2n + 1)!

n=0
∞

α2n+1
(2n + 1)!

n=0

1
= 2α Cl exp − |α|2
2

a
ˆ2 |2n + 1

∞

α2n−1

2


(2n − 1)!

n=0

(2n + 1)2n |2n − 1
|2n − 1 = α2 |α l . (1.33)

- Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ tạo thành
một hệ đủ, nghĩa là
1
π
1.1.4.

|α

jj

α|d2 α = 1.

(1.34)

j=ch,l

Trạng thái kết hợp thêm photon

Trạng thái kết hợp thêm photon đã được Sivakumar [23] định nghĩa
là
|α, m =

a

ˆ†m |α
α| a
ˆm a
ˆ†m |α

,

(1.35)

Khi m = 1, ta có trạng thái kết hợp thêm một photon
|α, 1 =

a
ˆ† |α
α| a
ˆa
ˆ† |α

=

a
ˆ† |α
α| a
ˆ† a
ˆ + 1 |α
18

=

a

ˆ† |α
2

|α| + 1

.

(1.36)


Khi m = 2, ta có trạng thái kết hợp thêm hai photon
a
ˆ†2 |α
a
ˆ†2 |α
|α, 2 =
=
α| a
ˆ2 a
ˆ†2 |α
α| a
ˆ†2 a
ˆ2 + 4ˆ
a† a
ˆ + 2 |α
a
ˆ†2 |α
=
.
4

2
|α| + 4|α| + 2

1.2.

Một số tính chất phi cổ điển

1.2.1.

Khái niệm trạng thái nén

(1.37)

ˆ lần lượt là các toán tử biểu diễn
Cho hai toán tử Hermite Aˆ và B
cho hai đại lượng vật lý A và B. Về mặt nguyên tắc, chúng ta có thể đo
một đại lượng A nào đó trong các trạng thái nén với độ chính xác tuyệt
đối, nhưng khi đó để không vi phạm hệ thức bất định Heisenberg thì
sai số khi đo đại lượng B là vô cùng. Theo cơ học lượng tử, nếu hai đại
lượng này không đo được đồng thời thì về mặt toán học hai toán tử của
chúng cũng không giao hoán với nhau, nghĩa là
ˆ B
ˆ = AˆB
ˆ −B
ˆ Aˆ = C,
ˆ
A,

(1.38)


trong đó Cˆ là toán tử khác không. Trong trường hợp này, ta có được hệ
thức bất định đối với trạng thái bất kỳ của hệ
∆Aˆ
trong đó

∆Aˆ

2

ˆ
∆B

Cˆ

2

≥

4

2

,

(1.39)

2

là đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của


giá trị đo được A quanh giá trị trung bình lượng tử Aˆ của đại lượng
A và được định nghĩa như sau
∆Aˆ

2

=

Aˆ − Aˆ

2

2

= Aˆ2 − Aˆ .

(1.40)

ˆ = pˆ, ta dễ dàng tính được
Nếu xét trong trường hợp cụ thể Aˆ = xˆ, B
i
a
ˆ† + a
Cˆ = [ˆ
x, pˆ] =
ˆ , a
ˆ† − a
ˆ
4
19



i
4
i
=
4

a
ˆ† , a
ˆ† − a
ˆ† , a
ˆ + a
ˆ, a
ˆ† − [ˆ
a, a
ˆ]

=

i
= .
2

a
ˆ, a
ˆ† + a
ˆ, a
ˆ†


Từ (1.39), ta có
∆Aˆ

2

2

ˆ
∆B

Cˆ
≥

2

=

4

1
.
16

(1.41)

Mặt khác, từ (1.28) ta lại có
α| (∆ˆ
x)2 |α α| (∆ˆ
p)2 |α =


1
,
16

hay
1
.
(1.42)
16
Biểu thức (1.42) cho thấy thăng giáng trong trạng thái kết hợp luôn
(∆ˆ
x)2

(∆ˆ
p)2 =

bằng hệ thức bất định Heisenberg. Vì vậy các trạng thái kết hợp được
gọi là các trạng thái có độ bất định tối thiểu. Mặt khác, hệ thức bất
định Heisenberg chỉ áp đặt sự bất định lên tích của các thăng giáng
2
2
ˆ
∆Aˆ
∆B
. Hệ thức này hoàn toàn không bị vi phạm nếu
một trong hai thăng giáng là nhỏ rất nhỏ và thăng giáng còn lại trở nên
lớn hơn rất nhiều. Nếu xét về mặt toán học, một trạng thái được gọi là
nén với đại lượng A nếu thỏa mãn
∆Aˆ


Cˆ

2

<

4

2

Cˆ
=

2

,

(1.43)

Cˆ
trong đó

là độ bất định ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Như
2
vậy trạng thái nén được định nghĩa là trạng thái có một thăng giáng
lượng tử nhỏ hơn giới hạn lượng tử chuẩn. Trong trường hợp đặc biệt
nếu trạng thái nén thỏa mãn điều kiện là tích của các thăng giáng
2
2
ˆ

∆Aˆ
∆B
bằng độ bất định tối thiểu thì nó được gọi là
trạng thái nén lý tưởng.
20


1.2.2.

Nén tổng hai mode

Trạng thái nén đa mode bậc cao đã được Hillery [15] đưa ra vào
năm 1989. Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi chỉ xét cho trường hợp
hai mode được đưa ra bởi Hillery và được gọi là nén tổng và nén hiệu hai
mode. Xét hai photon a và b có tần số tương ứng là ωa và ωb (ωa = ωb ),
nén tổng được hiểu một cách đơn giản là hai photon này kết hợp thành
một photon có tần số ωc = ωa + ωb . Ta định nghĩa toán tử nén tổng như
sau
1 iϕ †ˆ†
ˆˆb ,
e a
ˆ b + e−iϕ a
Vˆϕ =
2

(1.44)

trong đó a
ˆ, a
ˆ† là toán tử sinh, hủy photon của mode thứ nhất, ˆb, ˆb† là

toán tử sinh hủy photon của mode thứ hai. Toán tử nén tổng ứng với
π
ϕ+
có dạng
2
π
1 i(ϕ+ π2 ) †ˆ†
a
ˆ b + e−i(ϕ+ 2 ) a
ˆˆb .
Vˆ(ϕ+ π ) =
e
2
2

(1.45)

Hai toán tử này thỏa mãn biểu thức giao hoán
i
Vˆϕ , Vˆ(ϕ+ π ) = (ˆ
na + n
ˆ b + 1) ,
2
2

(1.46)

trong đó n
ˆa = a
ˆ† a

ˆ và n
ˆ b = ˆb†ˆb lần lượt là toán tử số hạt của mode a và
mode b.
Mặt khác, chúng luôn thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg
1
∆Vˆϕ ∆Vˆ(ϕ+ π ) ≥ n
ˆa + n
ˆb + 1 .
2
4

(1.47)

Một trạng thái được gọi là nén tổng hai mode nếu trung bình trạng thái
này thỏa mãn bất đẳng thức sau
∆Vˆϕ

2

<

1
(ˆ
na + n
ˆ b + 1) ,
4

với mọi ϕ.
21


(1.48)


1.2.3.

Nén hiệu hai mode

Nén hiệu được hiểu là hai photon có tần số lần lượt là ωa và ωb (ωa =
ωb ) kết hợp với nhau thành một photon có tần số ωc = ωb − ωa , giả sử
ωb > ωa ta định nghĩa toán tử nén hiệu như sau
ˆ ϕ = 1 eiϕ a
ˆˆb† + e−iϕ a
ˆ†ˆb .
W
2
π
Toán tử nén hiệu ứng với ϕ +
có dạng
2
1 i(ϕ+ π2 ) ˆ†
−i(ϕ+ π2 ) †ˆ
ˆ
W
a
ˆ
b
+
e
a
ˆb .

=
e
π
ϕ+
( 2) 2

(1.49)

(1.50)

Các toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán
i
ˆ ϕ, W
ˆ
W
=
(ˆ
na − n
ˆ b) ,
π
(ϕ+ 2 )
2

(1.51)

trong đó n
ˆa = a
ˆ† a
ˆ và n
ˆ b = ˆb†ˆb lần lượt là toán tử số hạt của mode a và

mode b.
Mặt khác, chúng luôn thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg
1
ˆ ϕ ∆W
ˆ
∆W
≥
ˆa − n
ˆb .
π
(ϕ+ 2 ) 4 n

(1.52)

Một trạng thái được gọi là nén hiệu hai mode nếu trung bình trạng thái
này thỏa mãn bất đẳng thức sau
ˆϕ
∆W
1.2.4.

2

<

1
(ˆ
na − n
ˆ b) .
4


(1.53)

Tính chất phản kết chùm

Khái niệm phản kết chùm được đưa ra bởi Kimble – Mandel [18]
và Carmichael – Walls [9] vào năm 1976 và được kiểm chứng bằng thực
nghiệm bởi Kimble, Dagenais và Mandel [19] vào năm 1977. Các photon
phản kết chùm có thể được hiểu là các photon độc lập, cách xa nhau
và không thể kết hợp với nhau. Như ta đã biết, photon phản kết chùm
22