ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THẢO

NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT
NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHUỖI SPIN
VỚI MÔ HÌNH XXZ

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƢỚNG NGHIÊN CỨU

Thừa Thiên Huế, năm 2017


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THẢO

NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT
NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHUỖI SPIN
VỚI MÔ HÌNH XXZ

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƢỚNG NGHIÊN CỨU

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. PHẠM HƢƠNG THẢO

Thừa Thiên Huế, năm 2017
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết
quả nghiên cứu ghi trong Luận văn là trung thực, đƣợc các đồng tác giả cho phép sử
dụng và chƣa từng đƣợc công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả Luận văn

Nguyễn Thị Phƣơng Thảo

ii


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến cô giáo TS. Phạm Hƣơng Thảo
đã luôn quan tâm giúp đỡ tôi rất nhiều, tận tình hƣớng dẫn tôi trong suốt quá trình học
tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật lý và phòng Đào tạo sau
Đại học, Trƣờng Đại học Sƣ phạm – Đại học Huế đã tận tình giảng dạy, hƣớng dẫn tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Bên cạnh đó, không thể không kể đến sự giúp đỡ, động viên của các bạn, các anh
chị Cao học viên khóa 24 cùng gia đình chính là nguồn động lực rất lớn giúp tôi có thể
hoàn thành Luận văn một cách tốt nhất. Một lần nữa, tôi xin chân thành cám ơn những
tình cảm, sự quan tâm và công sức của Quý thầy cô, gia đình và bạn bè đã giúp tôi có

điều kiện tốt nhất để hoàn thành Luận văn.

Huế, tháng 09 năm 2017
Tác giả Luận văn

Nguyễn Thị Phƣơng Thảo

iii


MỤC LỤC
Trang phụ bìa ................................................................................................................... i
Lời cam đoan ................................................................................................................... ii
Lời cảm ơn ..................................................................................................................... iii
Mục lục ............................................................................................................................ 1
Danh sách các hình vẽ ...................................................................................................... 3
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 5
NỘI DUNG ..................................................................................................................... 9
Chƣơng 1. NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT TỔNG QUAN .......................................... 9
1.1.

Mômen từ nguyên tử .......................................................................................... 9
1.1.1.Trong cơ học cổ điển ............................................................................... 10
1.1.2.Trong cơ học lƣợng tử ............................................................................. 12

1.2.

Tƣơng tác trao đổi ............................................................................................ 13

1.3.


Mô hình Heisenberg và lý thuyết trƣờng trung bình ........................................ 16

1.4.

Các hiệu ứng quan trọng trong các hệ từ tính thấp chiều ................................. 19

Chƣơng 2. NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA
CHUỖI SPIN VỚI MÔ HÌNH XXZ SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN
PHIẾM HÀM ............................................................................................................... 21
2.1.

Giới thiệu .......................................................................................................... 21

2.2.

Mô hình và các đại lƣợng nhiệt động lực học .................................................. 22
2.2.1. Năng lƣợng tự do .................................................................................... 29
2.2.2. Nội năng (xem phụ lục P3) ..................................................................... 30

1


2.2.3. Nhiệt dung riêng (xem phụ lục P4) ......................................................... 31
2.2.4. Độ từ hóa ................................................................................................. 31
2.2.5. Độ cảm từ ................................................................................................ 33
2.3.

Kết luận chƣơng 2 ............................................................................................ 34


Chƣơng 3. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN ................................................. 35
3.1.

Trong gần đúng trƣờng trung bình (MFA) ....................................................... 35

3.2.

Trong gần đúng thăng giáng spin (SFA) .......................................................... 41

3.3.

Kết luận chƣơng 3 ............................................................................................ 45

KẾT LUẬN ................................................................................................................... 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 47
PHỤ LỤC .................................................................................................................... P.1

2


DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
1.1 Mômen từ đƣợc gây ra bởi một điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân ở
khoảng cách r với vận tốc góc  . ...................................................................... 10
1.2 Chuyển động tự quay quanh trục và sự xuất hiện mômen từ spin của điện tử. . 11
1.3 Tƣơng tác trao đổi trực tiếp. ............................................................................... 14
1.4 Tƣơng tác trao đổi gián tiếp. .............................................................................. 14
1.5 Mô hình tƣơng tác siêu trao đổi. ........................................................................ 15
1.6 Mô hình tƣơng tác trao đổi kép. ......................................................................... 16
3.1 Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa với các giá trị khác nhau của tham số
tƣơng tác vùng xa I/J khi không có từ trƣờng ngoài trong MFA, ở đây S=1/2.

Hình chèn vào chỉ ra kết quả của nhóm Li Jialiang [8], trong công trình này
kB=1. ................................................................................................................... 36
3.2 Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm từ với các giá trị khác nhau của tham số
tƣơng tác vùng xa I/J khi không có từ trƣờng ngoài trong MFA, ở đây S=1/2.
Hình chèn vào chỉ ra kết quả của nhóm Li Jialiang [8]...................................... 36
3.3 Sự phụ thuộc nhiệt độ của năng lƣợng tự do với các giá trị khác nhau của
tham số tƣơng tác vùng xa I/J khi không có từ trƣờng ngoài trong MFA, ở
đây S=1/2. Hình chèn vào chỉ ra kết quả của nhóm Li Jialiang [8]. .................. 37
3.4 Sự phụ thuộc nhiệt độ của nội năng với các giá trị khác nhau của tham số
tƣơng tác vùng xa I/J khi không có từ trƣờng ngoài trong MFA, ở đây S=1/2.. 37
3.5 Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung riêng với các giá trị khác nhau của
tham số tƣơng tác vùng xa I/J khi không có từ trƣờng ngoài trong MFA, ở
đây S=1/2. ........................................................................................................... 38
3.6 Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa với các giá trị khác nhau của từ trƣờng
khi tham số tƣơng tác vùng xa I/J = 1,5 trong MFA, ở đây S=1/2 và
kBT/J=1,5. ........................................................................................................... 38

3


3.7 Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa và độ cảm từ với các giá trị khác nhau
của từ trƣờng ngoài trong gần đúng trƣờng trung bình (MFA), ở đây S=1,
I/J=1,5. Hinh chèn vào chỉ ra kết quả cho độ cảm từ. ........................................ 39
3.8 Sự phụ thuộc từ trƣờng của độ từ hóa với các giá trị khác nhau của tham số
tƣơng tác vùng xa I/J trong SFA, ở đây S=1/2 và kBT/J = 1,5. .......................... 40
3.9 Sự phụ thuộc từ trƣờng ngoài của năng lƣợng tự do với các giá trị khác nhau
của tham số tƣơng tác vùng xa I/J, ở đây S=1/2 và kBT/J=0,3. .......................... 40
3.10 Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa tƣơng đối với các giá trị khác nhau của
tham số tƣơng tác vùng xa I/J khi không có từ trƣờng ngoài trong MFA và
SFA, ở đây S=1/2. .............................................................................................. 41

3.11 Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm từ với các giá trị khác nhau của tham số
tƣơng tác vùng xa I/J khi không có từ trƣờng ngoài trong SFA, ở đây S=1/2. .. 42
3.12 Sự phụ thuộc nhiệt độ của năng lƣợng tự do với các giá trị khác nhau của
tham số tƣơng tác vùng xa I/J khi không có từ trƣờng ngoài trong SFA, ở đây
S=1/2. Hình chèn vào chỉ ra năng lƣợng tự do trong SFA và MFA với
I/J=1,7. ................................................................................................................ 42
3.13 Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung riêng với các giá trị khác nhau của
tham số tƣơng tác vùng xa I/J khi không có từ trƣờng ngoài trong SFA, ở đây
S=1/2. .................................................................................................................. 43
3.14 Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm từ với các giá trị khác nhau của từ trƣờng
ngoài khi I/J=1,2, ở đây S=1. Hình chèn vào chỉ ra sự phụ thuộc nhiệt độ của
độ từ hóa, các đƣờng cong đi từ trái qua phải tƣơng ứng với h/J tăng dần từ
0,05 - 0,5. ............................................................................................................ 44
3.15 Sự phụ thuộc từ trƣờng ngoài của độ từ hóa với các giá trị khác nhau của
tham số tƣơng tác vùng xa I/J, ở đây S=1 và kBT/J=0,8. Hình chèn vào chỉ ra
thăng giáng spin .................................................................................................. 44

4


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Từ tính là một thuộc tính của vật liệu. Tất cả các vật liệu, ở mọi trạng thái, dù ít
hay nhiều đều biểu hiện tính chất từ. Các vật liệu từ có những ứng dụng rất quan trọng,
không thể thiếu đƣợc trong khoa học kỹ thuật và cuộc sống. Việc nghiên cứu tính chất
từ của vật liệu giúp chúng ta khám phá thêm những bí ẩn của thiên nhiên, nắm vững
kiến thức khoa học kỹ thuật để ứng dụng chúng ngày càng có hiệu quả hơn, phục vụ lợi
ích con ngƣời, đặc biệt là trong lĩnh vực từ học.
Vật liệu từ đƣợc phát hiện cách đây hàng nghìn năm và ứng dụng tiêu biểu nhất
trong thời kì đó là kim la bàn. Chính la bàn đã tạo điều kiện cho ngành hàng hải phát

triển, góp phần tìm ra các lục địa mới. Việc phát hiện ra loại vật liệu này với những
tính chất đặc biệt của nó đã tạo bƣớc ngoặt lớn trong tiến bộ của loài ngƣời. Ngày nay,
các vật liệu từ đƣợc ứng dụng rộng rãi trong các thiết bị hiện đại của cuộc sống xung
quanh chúng ta nhƣ điện thoại, la bàn, ổ cứng, ti vi. Song song với sự phát triển của các
loại vật liệu từ là sự phát triển của ngành từ học nghiên cứu các tính chất và các hiện
tƣợng của vật liệu đó. Các mô hình lý thuyết giải thích hiện tƣợng từ một cách hiện
tƣợng luận đã đƣợc đƣa ra nhƣ mô hình lý thuyết trƣờng phân tử Weiss (1907) giải
thích hiện tƣợng sắt từ [4], mô hình Neel (1904-2000) giải thích hiện tƣợng phản sắt từ
và feri từ [4]. Tuy nhiên việc phát triển các mô hình vi mô để giải thích đƣợc bản chất
lƣợng tử của các hiện tƣợng từ luôn là nhiệm vụ cần thiết.
Hệ thống từ một chiều cho ta thấy nhiều hiện tƣợng thú vị biểu thị tính chất lƣợng
tử spin của chúng. Do đó, các chuỗi spin đã thu hút đƣợc sự quan tâm đáng kể gần đây.
Tính chất nhiệt động lực học của hệ thống từ một chiều là một trong những đề tài
nghiên cứu tích cực nhất của vật lý chất rắn tại mọi thời điểm cả về lý thuyết lẫn thực
nghiệm [1], [7], [8], [13], [14]. Các nhà nghiên cứu đang xem xét chuỗi spin nhƣ một
ứng cử viên đầy tiềm năng cho các tiến trình thông tin lƣợng tử, ví dụ nhƣ sử dụng
5


chuỗi spin cho truyền thông lƣợng tử, đo các trạng thái lƣợng tử, tạo ra rối lƣợng tử
[13], [14]. Trong số các mô hình đƣợc sử dụng để mô tả và giải thích các tƣơng tác
spin thì mô hình Heisenberg đóng một vai trò cơ bản và quan trọng. Từ quan điểm của
tƣơng tác trao đổi không đẳng hƣớng, có 3 mô hình Heisenberg là mô hình XXX, XXZ
và XYZ. Các mô hình này là cơ sở tốt để nghiên cứu các tính chất nhiệt động của hệ từ
tính lƣợng tử thấp chiều. Chính vì vậy, tôi đã lựa chọn đề tài “Nghiên cứu các tính
chất nhiệt động lực học của chuỗi spin với mô hình XXZ” cho luận văn thạc sĩ của
mình.
2. Mục tiêu của đề tài
Nghiên cứu các tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin với mô hình
Heisenberg XXZ sử dụng phƣơng pháp tích phân phiếm hàm.

3. Lịch sử nghiên cứu của đề tài
3.1. Ở ngoài nước
Các hệ từ một chiều biểu hiện nhiều hiện tƣợng thú vị liên quan đến bản chất spin
lƣợng tử của chúng. Kết quả là các hệ liên quan đến các chuỗi spin đã thu hút nhiều sự
chú ý trong những năm gần đây. Các tính chất nhiệt động lực học của các hệ từ một
chiều là một trong những chủ đề nghiên cứu đƣợc thực hiện nhiều nhất trong vật lý vật
chất cô đặc ở cả hai mảng lý thuyết và thực nghiệm. Tao Xiang [15] sử dụng phƣơng
pháp nhóm tái chuẩn hóa ma trận để nghiên cứu các tính chất nhiệt động lực học của
chuỗi spin Hesenberg lƣợng tử với S=1/2 và S=3/2. J. Sznajd nghiên cứu các tính chất
nhiệt động lực học và véctơ lƣợng tử của chuỗi spin ghép cặp [7]. Hơn thế nữa, các
tính chất nhiệt động lực học của hệ spin 1/2 đẳng hƣớng với mô hình XXZ và XYZ với
các tƣơng tác vùng xa trong từ trƣờng ngoài đã đƣợc nghiên cứu sử dụng phép biến đổi
Jordan-Wigner và phép biến đổi tích phân Gauss [4], [5], [9]. Nhóm của Zhigao Huang
sử dụng phƣơng pháp mô phỏng Monte Carlo nghiên cứu hành vi của độ từ hóa của
chuỗi spin feri từ với cách sắp xếp phức tạp của các spin khi có trƣờng ngoài [18].

6


Tuy nhiên, phƣơng pháp tích phân phiếm hàm mới đƣợc sử dụng để nghiên cứu
hệ spin ba chiều [17] và hệ spin giả hai chiều [5], [6].
3.2. Ở trong nước
Hiện nay trong nƣớc chỉ có một nhóm nghiên cứu các hệ từ tính thấp chiều sử
dụng phƣơng pháp tích phân phiếm hàm, đó là nhóm của GS. TS. Bạch Thành Công tại
trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội. Nhóm của GS. TS. Bạch Thành Công đang
tập trung vào nghiên cứu các tính chất các hệ spin giả hai chiều, cụ thể là màng mỏng
kích thƣớc nanômét [5], [6].
4. Nội dung nghiên cứu
 Nghiên cứu các tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin với mô hình XXZ.
 Nghiên cứu sự phụ thuộc vào nhiệt độ và từ trƣờng ngoài của các đại lƣợng

nhiệt động lực học của chuỗi spin sử dụng phƣơng pháp tích phân phiếm hàm.
5. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
5.1. Đối tượng nghiên cứu
Các tính chất nhiệt động của chuỗi spin tuyến tính.
5.2. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài chỉ giới hạn nghiên cứu các tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin
tuyến tính với mô hình XXZ trong gần đúng trƣờng trung bình và gần đúng thăng
giáng spin.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
 Phƣơng pháp tích phân phiếm hàm.
 Phƣơng pháp tính số.
7. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn đƣợc chia làm 3 phần.

7


♦ Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài, lịch sử nghiên cứu,
nội dung nghiên cứu, đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu, phƣơng pháp nghiên cứu và
bố cục luận văn.
♦ Phần nội dung: Gồm 3 chƣơng
Chƣơng 1: Nghiên cứu lý thuyết tổng quan về mômen từ nguyên tử, tƣơng tác trao
đổi, mô hình Heisenberg và lý thuyết trƣờng trung bình, các hiệu ứng quan trọng
trong các hệ từ tính thấp chiều.
Chƣơng 2: Nghiên cứu các tính chất của chuỗi spin với mô hình XXZ sử dụng
phƣơng pháp tích phân phiếm hàm, bao gồm mô hình, hàm thống kê và các đại
lƣợng nhiệt động học.
Chƣơng 3: Trình bày kết quả tính số và thảo luận.
♦ Phần kết luận: Trình bày các kết quả đạt đƣợc và hƣớng phát triển của đề tài.


8


NỘI DUNG
Chƣơng 1
NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT TỔNG QUAN
Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về mômen từ nguyên tử
bao gồm mômen từ quỹ đạo và mômen từ spin của điện tử, tương tác trao
đổi, mô hình Heisenberg và áp dụng lý thuyết trường trung bình cho mô
hình Heisenberg.

1.1. Mômen từ nguyên tử
Những năm đầu thế kỷ XX, việc đề xuất và phát triển mô hình cấu trúc nguyên tử
đã làm nền tảng đi sâu tìm hiểu bản chất của hiện tƣợng từ và vật liệu từ.
Năm 1913, Niels Bohr (1885 – 1962) đƣa ra mô hình cấu trúc nguyên tử với
mômen từ quỹ đạo của dòng điện quỹ đạo mang tính chất lƣợng tử. Ít năm sau Otto
Stern (1888 – 1969) và Waltler Gerlach (1889 – 1979) làm thực nghiệm, cho chùm
điện tử phát ra từ nguyên tử bạc (Ag) đi qua một từ trƣờng bất đồng nhất đã phát hiện
ra sự định hƣớng spin điện tử bị lƣợng tử hóa và xuất hiện lý thuyết lƣợng tử về
nguyên tử [3].
Tháng 1 năm 1925, W. Pauli đã quả quyết là, không thể có hai điện tử ở trên cùng
một trạng thái với các số lƣợng tử nhƣ nhau đƣợc gọi là nguyên lý loại trừ Pauli. Hiện
nay, ta biết các số lƣợng tử đó là n, l, m, s, tƣơng ứng là các số lƣợng tử chính, số
lƣợng tử quỹ đạo, số lƣợng tử từ và số lƣợng tử spin.
Giai đoạn 1925 – 1928 vật lý lƣợng tử đã có bƣớc nhảy vƣợt bậc với các nhà lý
thuyết W. Heisenberg (1901 – 1976), E. Schrodinger (1887 – 1961). Cấu trúc nguyên
tử đã đƣợc chấp nhận cả về lý thuyết và cả về thực nghiệm. Các điện tử có mômen từ
quỹ đạo và mômen từ spin, tạo nên mômen từ nguyên tử.
9



Các tính chất từ vĩ mô của vật liệu là kết quả của các mômen từ gắn với các điện
tử. Nói cách khác, tính chất từ của nguyên tử chủ yếu gây ra bởi đóng góp của các điện
tử, đóng góp từ của hạt nhân là không đáng kể. Mỗi điện tử trong nguyên tử có các
mômen từ xuất phát từ hai nguồn. Một liên quan đến chuyển động quỹ đạo của điện tử
xung quanh hạt nhân và một liên quan đến chuyển động tự quay quanh trục của điện tử,
nhƣ vậy mômen từ còn lại của điện tử bắt nguồn từ spin điện tử.
1.1.1. Trong cơ học cổ điển
(i) Mômen từ quỹ đạo của điện tử
Theo mẫu nguyên tử của Bohr, nguyên tử hyđro có một hạt nhân (điện tích
dƣơng) ở tâm và một điện tử (điện tích âm e) chuyển động theo quỹ đạo tròn xung
quanh hạt nhân với bán kính r [3].

Hình 1.1: Mômen từ đƣợc gây ra bởi một điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân ở khoảng
cách r với vận tốc góc  .

Với chuyển động tròn có vận tốc góc là  , dòng điện do điện tử tạo ra là i:

e
ev
e
i 
 ,
t
2 r
2

(1.1)

trong đó, v là vận tốc của điện tử, t là thời gian điện tử chuyển động hết một vòng quỹ

đạo có diện tích S. Mômen từ do dòng điện kín sinh ra là:

10


ml  iSez ,

(1.2)

suy ra:
2
ml  e     r 2ez  e  r ez .

 2 

2

(1.3)

Mặt khác, mômen động lƣợng quỹ đạo của điện tử (mômen cơ) đƣợc cho bởi:

Ll  me  r  v   mer 2  mer 2 ez .

(1.4)

Từ đó ta có mối quan hệ cổ điển giữa mômen từ và mômen cơ của điện tử:

ml  

e

L.
2me l

(1.5)

(ii) Mômen từ spin của điện tử
Điện tử không chỉ chuyển động xung quanh hạt nhân mà còn tự quay xung quanh
trục của nó. Chuyển động này liên quan đến một mômen spin nội tại. Sự quay này sinh
ra các dòng điện và do đó sinh ra các mômen từ hƣớng dọc theo trục quay [3].

Hình 1.2: Chuyển động tự quay quanh trục và sự xuất hiện mômen từ spin của điện tử.

Mối quan hệ giữa mômen cơ spin LS và mômen từ spin mS của điện tử:

mS  

11

e
L .
me S

(1.6)


1.1.1. Trong cơ học lƣợng tử
Với một nguyên tử trung hòa, giả sử điện tích hạt nhân là Ze, có Z điện tử chuyển
động quỹ đạo. Theo cơ học lƣợng tử, kích thƣớc quỹ đạo các điện tử đƣợc xác định bởi
các số lƣợng tử chính n với các giá trị nguyên dƣơng là 1, 2, 3,… tƣơng ứng với các
lớp vỏ điện tử, đƣợc ký hiệu bằng K, L, M,…Năng lƣợng các lớp vỏ quỹ đạo phụ thuộc


E
vào n: En   21 . En là mức năng lƣợng có số lƣợng tử n. Ngoài ra, dạng quỹ đạo
n

điện tử phụ thuộc vào mômen xung lƣợng của nó, mômen xung lƣợng quỹ đạo đƣợc
xác định bằng số lƣợng tử l (số lƣợng tử obitan):

l  0, 1, 2, 3,,  n  1 .

(1.7)

Các điện tử có l = 0, 1, 2, 3, 4,…tƣơng ứng các lớp đƣợc ký hiệu là s, p, d, f,…
Số lƣợng tử l xác định mômen quỹ đạo (mômen cơ):

Ll  l , Ll  l (l  1) .

(1.8)

Dƣới tác dụng của từ trƣờng ngoài, mômen xung lƣợng của nguyên tử định
hƣớng theo từ trƣờng với các giá trị gián đoạn. Chẳng hạn nhƣ quỹ đạo có số lƣợng tử
l, mômen xung lƣợng có (2l+1) giá trị định hƣớng theo từ trƣờng. Hiện tƣợng này
đƣợc gọi là sự lƣợng tử hóa không gian của mômen từ quỹ đạo. Tƣơng ứng với hiện
tƣợng lƣợng tử hóa không gian, ta có thành phần l theo hƣớng từ trƣờng ngoài là m, m
gọi là số lƣợng tử từ.

m  l , l  1, l  2, ,0,   l  1 ,  l.

(1.9)


Từ đó, ta có mômen từ của điện tử:

ml  

e
e
eh
Ll  
l 
l  Bl ,
2me
2me
4 me

12

(1.10)


trong đó B 

eh
=0,927×10-23 J/T  là mangheton Bohr, là lƣợng tử của
4 me

mômen từ, hay mômen từ đơn vị.
Các kết quả thực nghiệm cho thấy ngoài mômen động lƣợng xác định bằng số
lƣợng tử l, điện tử còn có mômen động lƣợng riêng, gọi là mômen cơ spin:

LS  s , LS  S (S  1)


h
.
2

(1.11)

Spin các điện tử có thể có một trong hai vị trí song song (S=1/2) và đối song (S=-1/2)
với từ trƣờng ngoài. Do đó ta có mômen từ spin:

mS  2

eh
S  2B S .
4 me

(1.12)

1.2. Tƣơng tác trao đổi
Tƣơng tác trao đổi là tƣơng tác đƣợc giả thiết theo lý thuyết sắt từ Heisenberg
nhằm giải thích sự định hƣớng song song của các mômen từ trong vật liệu. Tƣơng tác
trao đổi có bản chất là tƣơng tác tĩnh điện đặc biệt giữa các điện tử tạo ra sự định
hƣớng song song (hoặc đối song) của các spin khi các điện tử ở một khoảng cách đủ
gần sao cho các hàm sóng của chúng phủ nhau để cực tiểu hóa năng lƣợng của hệ.
Tƣơng tác trao đổi phụ thuộc vào môi trƣờng xung quanh các nguyên tử và chỉ
tồn tại trong một khoảng cách ngắn, cƣờng độ của tƣơng tác trao đổi giảm rất nhanh
khi khoảng cách tăng.
Năng lƣợng tƣơng tác trao đổi:

ETD  


1
J ijSi S j ,
2
i, j

trong đó: Jij > 0: tƣơng tác săt từ; Jij <0: tƣơng tác phản săt từ.
Các loại tƣơng tác trao đổi:

13

(1.13)


-

Tương tác trao đổi trực tiếp
Tƣơng tác trao đổi trực tiếp xảy ra khi hàm sóng của các điện tử của hai nguyên

tử lân cận phủ nhau, tƣơng tác này còn gọi là tƣơng tác vùng ngắn.

Hình 1.3: Tƣơng tác trao đổi trực tiếp.

-

Tương tác trao đổi gián tiếp
Giữa hai ion từ không có sự phủ nhau của các hàm sóng, tƣơng tác trao đổi gián

tiếp đƣợc thực hiện thông qua sự phân cực của các điện tử dẫn.


Hình 1.4: Tƣơng tác trao đổi gián tiếp.

Trong các kim loại đất hiếm 4f, electron lần lƣợt điền vào obitan 4f của lớp thứ 3
từ ngoài vào, thong khi lớp ngoài cùng có 2 electron (6s2) và lớp thứ 2 của các nguyên
tố có 8 electron (5s25p6), ví dụ nhƣ Gadolini (Gd – [Xe]4f7 5d1 6s2) – cơ chế trao đổi
gián tiếp đƣợc thực hiện thông qua các điện tử lớp ngoài 5d có hàm sóng chồng lên
một phần với hàm sóng của các điện tử lớp 4f.

14


-

Tương tác siêu trao đổi
Siêu trao đổi là tƣơng tác trao đổi gián tiếp giữa các ion từ không nằm gần nhau,

đƣợc chen giữa bởi một ion không có tính chất từ. Tƣơng tác siêu trao đổi giải thích
cho các tính chất từ trong các oxit kim loại chuyển tiếp cách điện, trong đó các ion từ ở
quá xa nên tƣơng tác trao đổi trực tiếp không thể giải tích đƣợc sự có mặt của trật tự từ,
và cũng dùng để giải tích trật tự phản sắt từ trong các vật liệu perovskite.
Trong các hợp chất perovskite, các nguyên tử của kim loại chuyển tiếp có bán
o


kính nhỏ bị ngăn cách bởi anion O2- ở giữa có bán kính khá lớn 1,36A  , lớn hơn



nguyên tử ở vị trí B nên không có sự xen phủ trực tiếp giũa các cation kim loại chuyển
tiếp. Vì thế cƣờng độ tƣơng tác trao đổi trực tiếp giữa chúng là rất yếu. Lúc này, các

cation kim loại chuyển tiếp chủ yếu tƣơng tác với nhau thông qua việc trao đổi điện tử
với anion O2-.

Hình 1.5: Mô hình tƣơng tác siêu trao đổi.

-

Tương tác trao đổi kép
Với mô hình tƣơng tác siêu trao đổi đã giải thích đƣợc tính chất từ của vật liệu

perovskite không pha tạp và pha tạp hoàn toàn nhƣng mô hình này không giải thích
đƣợc tính chất của vật liệu khi pha tạp một phần. Ví dụ: các manganat pha tạp R1xAxMnO3,

trong đó các ion Mn thể hiện trạng thái oxi hóa 3+ và 4+. Các ghép cặp sắt từ

giữa các ion Mn3+ và Mn4+ tham gia vào vận chuyển điện tử là do cơ chế trao đổi kép,
đƣợc giới thiệu lần đầu vào năm 1951 bởi Zener.
Zener đã đƣa ra mô hình cơ chế tƣơng tác trao đổi kép nhƣ sau:
15


+ Liên kết Hund nội nguyên tử là rất mạnh nên mặc dù cấu hình spin của các ion thay
đổi, do sự trao đổi đồng thời các điện tử của các ion lân cận, nhƣng spin của mỗi điện
tử luôn song song với spin định xứ của ion.
+ Spin của điện tử là không thay đổi nên sự trao đổi điện tử chỉ xảy ra khi spin của hai
ion lân cận định hƣớng song song.
+ Quá trình trao đổi điện tử xảy ra làm giảm năng lƣợng trạng thái cơ bản.
Quá trình nhảy: các điện tử ở eg của cation Mn3+ ở bên phải nhảy sang quỹ đạo p
của anion O2-, đồng thời một điện tử của quỹ đạo p có cùng hƣớng nhảy sang quỹ đạo
eg của Mn4+ lân cận. Vậy tƣơng tác trao đổi kép là nguyên nhân gây ra quá trình

chuyển pha trong vật liệu perovskite, chuyển pha phản sắt từ - điện môi sang pha sắt từ
- kim loại (hoặc sắt từ - bán dẫn).

Hình 1.6: Mô hình tƣơng tác trao đổi kép.

1.3. Mô hình Heisenberg và lý thuyết trƣờng trung bình
Các spin định xứ đƣợc mô tả bởi Hamiltonian Heisenberg và trong lý thuyết
trƣờng trung bình Hamiltonian này có dạng

H   J ijSi S j  g  B hext . Si ,
i, j

(1.14)

i

ở đây hext là từ trƣờng ngoài, g là hệ số Lande. Số hạng thứ nhất nằm ở vế phải của
(1.14) là năng lƣợng trao đổi Heisenberg, số hạng thứ hai là năng lƣợng Zeeman. Chỉ

16


số i chạy theo tất cả các nguyên tử và chỉ số j lấy theo tất cả các nguyên tử lân cận của
một nguyên tử tham gia vào tƣơng tác trao đổi. Jij là hằng số trao đổi giữa nguyên tử i
và nguyên tử lân cận j.
Xét theo quan điểm tƣơng tác trao đổi dị hƣớng, ta có thể chia mô hình
Heisenberg thành 3 loại:
- Mô hình Heisenberg đẳng hƣớng XXX:






1
H   J  Six S xj  Siy S jy  Siz S zj  g B hext . Si .
2 i, j
i

(1.15)

- Mô hình Heisenberg dị hƣớng XXZ:





1
1
H   J  Six S xj  Siy S jy  I  Siz S zj  g B hext . Si .
2 i, j
2 i, j
i

(1.16)

- Mô hình Heisenberg dị hƣớng XYZ:






1
1
H   J  1    Six S xj  1    Siy S jy  I  Siz S zj  g B hext . Si , (1.17)
2 i, j
2 i, j
i

với  là tham số dị hƣớng trong mặt phẳng Oxy.


Nếu h ext  Oz , ta định nghĩa các thành phần của thăng giáng spin nhƣ sau:

 S zj  S zj  S zj ,  S xj  S xj ,  S jy  S jy .

(1.18)

Trong gần đúng trƣờng trung bình bỏ qua các thăng giáng spin, do đó ta có thể viết lại
(1.14) dƣới dạng:

H =  (   J ij S zj  g  B hext )Siz  g  B  heff Siz ,
i

i, j

(1.19)

i

với


heff   J ij S zj  g  B hext .
i, j

17

(1.20)


Từ (1.19) có thể thấy rằng trong Hamiltonian Heisenberg chứa tƣơng tác giữa các spin
tại nút i của toán tử spin Si và trƣờng hiệu dụng heff . Tƣơng tác trao đổi đƣợc coi
tƣơng đƣơng với một trƣờng nội tại hMF , làm tăng trƣờng ngoài tới một trƣờng hiệu
dụng toàn phần
heff  hMF  hext  
j

J ij S zj
g B

 hext .

(1.21)

Trong gần đúng trƣờng trung bình tích của các toán tử spin đƣợc thay bởi tích của
toán tử spin Si và giá trị trung bình của các toán tử spin lân cận của nó S j  S (hệ
đồng nhất). Giả sử chỉ tồn tại những tƣơng tác lân cận gần nhất với Zn là số các lân cận
gần nhất, và Jij = J giống nhau cho tất cả các lân cận gần nhất. Trong gần đúng trƣờng
trung bình ta có
hMF 


với  

Zn J z
S  M ,
g B

(1.22)

Z n JV
và độ từ hóa đƣợc biểu diễn theo các số hạng spin trung bình nhƣ sau
Ng 2  B2

M  g B

N
S .
V

(1.23)

Hamiltonian (1.14) bây giờ đƣợc đồng nhất cho Hamiltonian của N spin độc lập trong
trƣờng hiệu dụng heff . Mô hình này đƣợc biết nhƣ mô hình Weiss của sắt từ [1]. Sắt từ
đƣợc đặc trƣng bởi độ từ hóa bão hòa MS, là độ từ hóa cực đại mà chúng ta nhậ đƣợc
khi tất cả các spin của hệ sắp xếp cùng hƣớng với nhau. Ở T = 0K, do tƣơng tác trao
đổi mà tất cả các spin của hệ sắp xếp cùng hƣớng với nhau, vì vậy

M S  g B

18


N
.
V

(1.24)


Theo lý thuyết Weiss cho sắt từ, tỉ số của độ từ hóa ở nhiệt độ hữu hạn bất kỳ và
độ từ hóa bão hòa có dạng

M
 SB( Sy )  b  y  ,
MS

(1.25)

với B(y) là hàm Brillouin đƣợc cho bởi

B( y) 

2S  1
2S  1
1
1
coth(
y) 
coth(
y ),
2S
2S

2S
2S

(1.26)

và
y

g  B J (hext   M )
.
k BT

(1.27)

Khi không có trƣờng ngoài tác dụng vào hệ ( hext  0 ) thì sự phụ thuộc nhiệt độ
của độ từ hóa trong gần đúng trƣờng trung bình đƣợc cho bởi

M
g J M
 b( B
).
MS
k BT
Khi y

(1.28)

1 , từ (1.25) - (1.28), nhiệt độ Curie có thể đƣợc tìm thấy dƣới dạng
TC 


Z n J S ( S  1)
,
3k B

(1.29)

là nhiệt độ tới hạn, trên nhiệt độ này tính sắt từ triệt tiêu, ở đây S là giá trị của một spin.

1.4. Các hiệu ứng quan trọng trong các hệ từ tính thấp chiều
Các hệ từ tính thấp chiều là những đối tƣợng đƣợc nghiên cứu nhiều trong những
năm gần đây, chúng đƣợc chế tạo từ các kim loại, hợp kim kim loại chuyển tiếp,
perovskite, oxit đất hiếm. Mục tiêu của các nghiên cứu về các hệ này đều hƣớng tới
việc tìm tòi và chế tạo ra những vật liệu mới với các tính chất đặc biệt nhằm phục vụ
cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật trong thế kỷ 21.

19


Từ học hệ thấp chiều đã mang đến những đóng góp quan trọng cho sự hiểu biết
của chúng ta về vật lý từ học song song với các ứng dụng tới hạn trong kĩ thuật thông
tin, đặc biệt rõ ràng từ khi khám phá ra hiệu ứng từ trở khổng lồ và sau những tác động
của nó trên công nghệ đầu đọc của máy tính [1]. Các hệ từ tính có thấp chiều có nhiều
ứng dụng quan trọng trong đời sống, ví dụ trong các phƣơng tiện ghi dữ liệu, đầu đọc,
bộ cảm biến từ điện trở, bộ nhớ truy cập ngẫu nhiên từ. Vấn đề vật lý quan trọng nhất
đó là để tăng dung lƣợng bộ nhớ cần giảm kích thƣớc của các đơn vị nhớ và về mặt lý
thuyết cần chỉ ra ở giới hạn nào thì còn trật tự từ xa trong hệ. Lý thuyết thang đo
(scaling theory) đã dự đoán rằng khi độ dài tƣơng quan spin – spin lớn hơn kích thƣớc
hệ thì trật tự từ xa bị phá hủy, điều này cần đƣợc kiểm tra bởi các lý thuyết khác [1].
Nhƣ vậy, để có thể thay đổi môi trƣờng nguyên tử định xứ, ta có thể thay đổi kích
thƣớc của hệ trong phạm vi của vùng các độ dài đặc trƣng của hiện tƣợng từ học, ví dụ

nhƣ độ dài tƣơng quan trao đổi từ.
Một trong số các nguyên nhân quan trọng gây nên các tính chất vật lý mới trong
các hệ từ tính thấp chiều đó là hiệu ứng bề mặt và hiệu ứng phụ thuộc kích thƣớc. Các
hiệu ứng phụ thuộc kích thƣớc trong các hệ thấp chiều đã đƣợc từ 2 chiều sẽ không bền
vững do các thăng giáng nhiệt ở nhiệt độ hữu hạn – kết quả này sau đó đã đƣợc xem
xét và xác định tính đúng đắn của nó bởi Mermin và Wagner [10]. Theo Mermin –
Wagner, trật tự từ xa không thể tồn tại trong các mô hình Heisenberg đẳng hƣớng 1
chiều (1D) và 2 chiều (2D). Hiệu ứng bề mặt dẫn đến mômen từ không đồng nhất trong
các hệ thấp chiều. Ví dụ nhƣ trong các màng mỏng, mômen từ của mỗi nguyên tử (đo
trong đơn vị µB) đƣợc tăng cƣờng mạnh ở bề mặt, giảm dần theo vị trí các lớp và đạt
đến giá trị khối ở lớp trung tâm [1].
Nhƣ vậy, đa số các lý thuyết đều tập trung nghiên cứu bốn vấn đề cơ bản của từ
học thấp chiều. Mômen từ là đại lƣợng cơ bản nhất trong từ học, giúp xác định đƣợc
nhiệt độ Curie của các hệ; hằng số trao đổi là một hằng số cơ bản trong từ học, cực kỳ
khó để đo chính xác trong các hệ khối, và càng khó hơn trong các hệ thấp chiều; vai trò
của số chiều lên các hành vi từ và cuối cùng là tính dị hƣớng bề mặt.
20


Chƣơng 2
NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG LỰC
HỌC CỦA CHUỖI SPIN VỚI MÔ HÌNH XXZ SỬ DỤNG
PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM
Trong chương này, mô hình Heisenberg XXZ với tương tác trao đổi vùng xa
giữa các thành phần z của các spin được đưa ra và sau đó áp dụng phương
pháp tích phân phiếm hàm để tính toán và đưa ra các biểu thức giải tích cho
các đại lượng nhiệt động lực học như năng lượng tự do, nội năng, nhiệt
dung riêng, độ từ hóa và độ cảm từ của chuỗi spin lượng tử.

2.1.


Giới thiệu
Các hệ từ tính 1 chiều biểu hiện đa dạng các hiện tƣợng thú vị liên quan đến bản

chất spin lƣợng tử của hệ, do đó thu hút nhiều sự quan tâm trong thời gian gần đây.
Các tính chất nhiệt động học của các hệ từ 1 chiều là một trong những chủ đề nghiên
cứu sôi động nhất cả về mặt lý thuyết lẫn thực nghiệm. Trong số các mô hình đƣợc sử
dụng để mô tả tƣơng tác spin, mô hình Heisenberg lƣợng tử đóng một vai trò cơ bản và
quan trọng. Từ khía cạnh tƣơng tác trao đổi dị hƣớng, có ba loại mô hình Heisenberg,
đó là mô hình XXX, XXZ và XYZ. Các mô hình này cung cấp một nền tảng tốt để
nghiên cứu các tính chất nhiệt động học của các hệ từ tính thấp chiều. Về mặt lý thuyết,
Tao Xiang [15] sử dụng phƣơng pháp nhóm tái chuẩn hóa ma trận để nghiên cứu các
tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin Hesenberg lƣợng tử với S=1/2 và S=3/2. J.
Sznajd nghiên cứu các tính chất nhiệt động lực học và thăng giáng lƣợng tử của chuỗi
spin ghép cặp [7]. Hơn thế nữa, các tính chất nhiệt động lực học của hệ spin 1/2 với mô
hình XXZ và XYZ với các tƣơng tác vùng xa trong từ trƣờng ngoài đã đƣợc nghiên
cứu sử dụng phép biến đổi Jordan-Wigner [8], [10]. Trong [8], nhóm Li Jialiang đã đƣa
ra các kết quả cho S=1/2 trong gần đúng trƣờng trung bình. Tuy nhiên, phƣơng pháp
21