Nghiệm viscosity đối với bài toán điều khiển tối ưu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (470.25 KB, 81 trang )
(t) = y(t) = x và f là hàm lõm đối với (y, u) nên
f (y(s), u(s)) − f (y ∗ (s), u∗ (s)) ≤ fx∗ (y(s) − y ∗ (s)) + fu∗ (u(s) − u∗ (s))
và p∗ (s)T ≤ 0 với mọi s ∈ [t, T ]. Do đó
Jt,x (u) − Jt,x (u∗ ) ≥ 0.
Hay Jt,x (u) ≥ Jt,x (u∗ ) với mọi điều khiển chấp nhận được u. Do đó u∗ là điều
khiển tối ưu cho bài toán.
Ví dụ 3.2.1. Xét lại Ví dụ 3.1.2 ta thấy L, f và p∗ (s) thỏa các yêu cầu của
Định lý 3.2.2 nên u∗ (s) = s − 1 là điều khiển tối ưu của bài toán.
Ví dụ 3.2.2. Xét điều khiển tối ưu cực tiểu hóa hàm số
1
y 2 (s) + u2 (s) ds
J(u) =
0
với y (s) = y(s) + u(s), y(0) = 1. Giả sử u∗ là cực tiểu hóa của hàm J(u). Khi
đó phương trình Hamilton - Jacobi có dạng
H(y ∗ (s), p∗ (s)) = max [−p(s)f (y(s), u(s)) − L(y(s), u(s))]
u∈R
= max −p(s).(y(s) + u(s)) − y 2 (s) − u2 (s)
u∈R
1
= p∗2 (s) − p∗ (s)y ∗ (s) − y ∗2 (s).
4
Khi đó (y ∗ , p∗ ) thỏa hệ
y ∗ (s) = −Hp (y ∗ (s), p∗ (s)) = − 1 p∗ (s) + y ∗ (s),
2
p ∗ (s) = H (y ∗ (s), p∗ (s)) = −p∗ (s) − 2y ∗ (s),
x
Viết dưới dạng ma trận, ta được
y ∗ (s)
1 − 12
y ∗ (s)
=
.
∗
∗
p (s)
p (s)
−2 −1
M
75
y ∗ (0) = 1
p∗ (1) = 0.
Khi đó
∗
y (s)
y (0)
= eM s
.
∗
∗
p (s)
p (0)
∗
M 2n = 2n .I2 , với n ∈ N∗ . Đặt
√
√
√
( 2s)2 ( 2s)4 ( 2s)6
A(s) = 1 +
+
+
+ ···
2!
4!
6!
√
√
√
1 √
( 2s)3 ( 2s)5 ( 2s)7
B(s) = √
+
+
+ ···
2s +
3!
5!
7!
2
Ta có M 2n+1 = 2n .M,
.
Khi đó esM = A(s).I2 + B(s).M . Do đó
y ∗ (s) = A(s)y ∗ (0) + B(s)y ∗ (0) − 1 B(s)p∗ (0)
2
p∗ (s) = A(s)p∗ (0) − 2B(s)y ∗ (0) − B(s)p∗ (0).
với mọi s ∈ [0, 1]. Ta chứng minh được p∗ (s) ≥ 0, với mọi s ∈ [0, 1]. Khi đó,
L, f, p∗ (s) thỏa các yêu cầu của Định lý 3.2.1 nên u∗ (s) = − 21 p∗ (s) là điều khiển
tối ưu của bài toán.
76
KẾT LUẬN
Trong luận văn này chúng tôi đã thu được các kết quả sau:
1. Tổng quan và hệ thống lý thuyết, các kiến thức cơ bản về hàm liên tục
Lipschitz, hàm lồi, hàm nửa lõm, hàm đa trị; trên vi phân và dưới vi phân
của hàm nửa lõm và các kết quả về nghiệm cổ điển của phương trình vi
phân thường, nghiệm viscosity của phương trình Hamilton-Jacobi.
2. Nghiên cứu các kết quả về sự tồn tại và duy nhất của điều khiển tối ưu,
tính chất của hàm giá V , nguyên lý cực đại Pontryagin của bài toán điều
khiển tối ưu với thời gian giới hạn và không gian không hạn chế đó là hai
bài toán Mayer và Bolza.
3. Nghiên cứu điều kiện cần và đủ tồn tại điều khiển tối ưu cho bài toán Bolza
dạng đơn giản và khảo sát ví dụ minh họa.
Với khả năng nghiên cứu, đọc hiểu của bản thân cuốn luận văn này giúp tôi
nắm chắc các kiến thức về giải tích, phương trình vi phân, đặc biệt các khái
niệm đạo hàm, vi phân suy rộng, nghiệm viscosity của phương trình HamiltonJacobi. Ngoài ra, tôi còn nắm được các kiến thức về bài toán điều khiển tối ưu,
bước đầu tìm hiểu nguyên lý quy hoạch động, mối liên hệ giữa phương trình
Hamilton-Jacobi và bài toán điều khiển tối ưu. Hơn nữa, cuốn luận văn còn giúp
tôi trang bị các kiến thức cơ bản, hệ thống để có thể tiếp cận các vấn đề thời
sự của lý thuyết điều khiển tối ưu.
Lý thuyết điều khiển tối ưu vẫn còn nhiều bài toán mở. Chúng tôi hy vọng sẽ
trở lại nghiên cứu vấn đề này trong các trường hợp tổng quát hơn.
77
Tài liệu tham khảo
[1] Albano P., Cannarsa P. (2000), Propagation of singularities for concave
solutions of Hamilton-Jacobi equations, in International Conference on Differential Equations, World Sci. Publishing, River Edge, NJ.
[2] Alberto Bressan,Viscosity solution of Hamilton-Jacobi equations and optimal control Problems, S.I.S.S.A., Trieste 34014 Italy.
[3] Cannarsa P., Sinestrari C. (2004), Semiconcave functions, Hamilton-Jacobi
equations and optimal control, Birkhauser, Boston.
[4] Chachuat B. (2007), Nonlinear and Dynamic Optimization, Automatic Control Laboratory, EPFL, Switzerland.
[5] Lawrence C.Evans, An introduction to Mathematical Optimal Control, Theory Version 0.2, Department of Mathematics University of California, Berkeley.
[6] M.G.Crandall; L.C.Evans; P.L.Lions (1984), Some properties of viscosity
solutions of Hamilton-Jacobi equations, Trans.Amer. Math. Soc., Vol. 282,
No.2., pp. 487-502.
78
