BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗

HUỲNH CHÂU TUẤN

MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA
GIẢI TÍCH THÔ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Huế - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HUỲNH CHÂU TUẤN

MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA
GIẢI TÍCH THÔ
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. HUỲNH THẾ PHÙNG

Huế - 2016


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này do chính bản thân tôi thực hiện dưới sự hướng
dẫn khoa học của PGS. TS. Huỳnh Thế Phùng. Các kết quả trích dẫn trong luận
văn đã nêu trong phần tài liệu tham khảo ở cuối luận văn này.

Huỳnh Châu Tuấn

i


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế dưới sự
hướng dẫn tận tình và hết lòng giúp đỡ của PGS. TS. Huỳnh Thế Phùng. Nhân
dịp này tôi bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy dành cho tôi trong
suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Nhân đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả quý thầy cô giáo trong
khoa Toán của trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế đã nhiệt tình giảng dạy và
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban chủ nhiệm cùng các thầy cô trường
Đại học Sư phạm - Đại học Huế và các Anh, Chị học viên Cao học khóa XXIII,
đặc biệt là các Anh, Chị chuyên ngành Toán Giải tích đã tạo điều kiên giúp đỡ và
góp ý chân thành cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, tôi xin ghi nhớ công lao to lớn của gia đình và người thân đã tạo
điều kiện thuận lợi để em yên tâm học tập.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!

Vì thời gian có hạn, bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót, kính mong sự đánh giá, góp ý của quý thầy cô và các bạn quan
tâm để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

Huỳnh Châu Tuấn

ii


MỤC LỤC
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Danh mục ký hiệu và viết tắt

iv

Mở đầu

v


1 Hội
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7

.
.
.
.
.
.
.

1
1
6
12
17
20
23
26

.
.
.
.

.
.

33
33
46
47
53
59
67

tụ thô. Liên tục thô
Hội tụ thô . . . . . . . . . . . . . . . . . .
So sánh các khái niệm hội tụ . . . . . . . .
Sự phụ thuộc của hội tụ thô vào độ thô . .
Dãy Cauchy thô . . . . . . . . . . . . . . .
Liên tục thô . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ước lượng khoảng bằng hằng số self-Jung .
Định lý điểm-bất động . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.

2 Hàm lồi thô
2.1 Định nghĩa và mối liên hệ giữa các khái niệm lồi thô
2.2 Các phép toán trên các lớp hàm lồi thô . . . . . . . .
2.3 Một số tính chất tối ưu của các hàm lồi thô . . . . .
2.4 Hàm γ -lồi trên đường thẳng thực . . . . . . . . . . .
2.5 Hàm γ -lồi trên không gian nhiều chiều . . . . . . . .
2.6 Hàm γ -lồi đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.


Kết luận

82

Tài liệu tham khảo

83

iii


DANH MỤC KÝ HIỆU
N, Q, R
Br (x), B r (x), Sr (x)
LIMS,r xi
diam S
rA (S)
CA (S)
JS (X)
span S
conv S
int S, ∂S, cl S
LimsupSi , Liminf Si
i→∞

i→∞

các tập số tự nhiên, số hữu tỉ, số thực
hình cầu mở, hình cầu đóng, mặt cầu tâm x bán kính r

tập r-giới hạn của dãy (xi ) thuộc tập S
đường kính của tập S
bán kính tương đối của tập S đối với A
tập các tâm tương đối của tập S đối với A
hằng số self-Jung của X
bao tuyến tính của tập S
bao lồi của tập S
phần trong, biên và bao đóng của S
giới hạn trên và dưới của dãy các tập con (Si )
phần nguyên của số α

[α]

DANH MỤC VIẾT TẮT
l.s.c, u.s.c

nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên

iv


MỞ ĐẦU
Nhiều khái niệm của giải tích thường được định nghĩa liên quan tới điều kiện
“với mọi”. Tuy nhiên nhiều đối tượng trong thế giới vật chất không thể đáp ứng
được với điều kiện “với mọi” này. Giải tích thô đã được phát triển như là một cầu
nối giữa thế giới vật chất với giải tích cổ điển. Đầu tháng 9 năm 2002, trong báo
cáo tại Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 6 tổ chức tại Huế, với nhan đề “Mấy
ý tưởng của giải tích thô”, GS. Hoàng Xuân Phú đã đưa ra một số khái niệm “hội
tụ thô”, “liên tục thô”, “điểm bất động thô”, “lồi thô”. Các khái niệm này là sự mở
rộng của các khái niệm theo nghĩa thông thường. Ví dụ, dãy (xn ) trong không

gian định chuẩn được gọi là hội tụ thô tới x¯ với độ thô r ≥ 0 nếu với mọi r > r,
tồn tại n ∈ N sao cho với mọi n ≥ n , ta có xn − x¯ < r . Hàm f : D → R được
gọi là lồi thô với độ thô r nếu với mọi cặp x0 , x1 ∈ D thỏa mãn x0 − x1 > r và
với mọi λ ∈ [0, 1] ta có
λx0 + (1 − λ)x1 ∈ D;

f (λx0 + (1 − λ)x1 ) ≤ λf (x0 ) + (1 − λ)f (x1 ).

Cũng trong báo cáo đó, giáo sư đã tóm tắt một số kết quả liên quan đến hội tụ
thô và liên tục thô, định lý điểm bất động của ánh xạ liên tục thô, lồi thô và ứng
dụng của nó vào tối ưu hóa toàn cục.
Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về các khái niệm mở rộng này của
giải tích, ngoài mục lục, bảng ký hiệu chữ viết tắt, phần mở đầu và phần kết luận,
luận văn được chúng tôi chia thành hai chương.
Chương 1: Hội tụ thô. Liên tục thô. Trước hết trình bày một số tính chất
của hội tụ thô; so sánh các khái niệm hội tụ và sự phụ thuộc của hội tụ thô vào độ
thô. Khảo sát dãy Cauchy thô và tìm độ tụ nhỏ nhất của dãy Cauchy thô trong
không gian định chuẩn. Tiếp theo là trình bày về liên tục thô và chỉ ra rằng ánh
xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y là r-0-liên
tục với r là số thực dương cố định. Cuối cùng là trình bày định lý điểm bất động
sử dụng ước lượng khoảng bằng hằng số self-Jung.
Chương 2: Hàm lồi thô. Đây là phần chính của luận văn. Ba mục đầu tiên
dành cho việc khảo sát các hàm lồi thô với những độ thô khác nhau; mối liên
hệ giữa các khái niệm lồi thô; tính đóng kín của các lớp hàm lồi đối với những
phép toán hàm quen thuộc và một số tính chất tối ưu của các hàm lồi thô. Mục
v


tiếp theo trình bày cấu trúc và khảo sát chi tiết các tính chất cơ bản của hàm
γ -lồi trên đường thẳng thực. Nội dung chính của mục này là chỉ ra rằng để nghiên

cứu các tính chất cơ bản của hàm γ -lồi như liên tục, khả tích Riemann, khả tích
Lebesgue, khả vi hầu khắp nơi, . . . ta chỉ cần nghiên cứu những tính chất đó trên
những một đoạn có độ dài γ là đủ. Hai mục cuối cùng là khảo sát các tính chất
bị chặn và liên tục của lớp hàm γ -lồi và lớp con của nó, lớp hàm γ -đối xứng trên
không gian nhiều chiều. Chỉ ra một số mối liên hệ giữa tính bị chặn và liên tục
tại điểm này với cùng tính chất đó tai những điểm nhất định khác.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và năng lực có hạn nên luận
văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của
quý thầy cô cũng như các bạn quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn.

vi


Chương 1
HỘI TỤ THÔ. LIÊN TỤC THÔ
1.1

Hội tụ thô

Cho (X, · ) luôn được giả thiết là một không gian định chuẩn. Với x0 , x1 ∈ D,
λ ∈ R, ta kí hiệu
xλ := (1 − λ)x0 + λx1 ,
[x0 , x1 ] := {xλ : 0 ≤ λ ≤ 1},
(x0 , x1 ] := [x0 , x1 ]\{x0 }.

Các tập hợp [x0 , x1 ) và (x0 , x1 ) được định nghĩa tương tự.
Với r là một số thực dương, đặt
Br (x0 ) := {y ∈ X : y − x < r},
B r (x0 ) := {y ∈ X : y − x ≤ r},
Sr (x0 ) := {y ∈ X : y − x = r}.

r

Định nghĩa 1.1.1. Dãy (xi ) ∈ X được gọi là r-hội tụ tới x∗ ∈ X , ký hiệu xi →
− x∗ ,
nếu
∀ε > 0, ∃iε ∈ N, ∀i ≥ iε , xi − x∗ < r + ε,
(1.1)
tức là, nếu
lim sup xi − x∗ ≤ r.

(1.2)

i→∞

Lúc đó, x∗ được gọi là điểm r-giới hạn của (xi ). Điểm x∗ như vậy nói chung là
không duy nhất. Với S ∈ X , tập
r

LIMS,r xi := {x∗ ∈ S : xi →
− x∗ }

(1.3)

được gọi là tâp r-giới hạn của (xi ) thuộc S. Với S = X , ký hiệu LIMr xi := LIMX,r xi .
Nếu LIMr xi = ∅ thì ta nói (xi ) là r-hội tụ và r được gọi là độ tụ của (xi ).

1


Ví dụ 1.1. Cho dãy (yi ) với

yi = 0.5 + 2(−1)i /i,

i = 1, 2, . . .

Dễ thấy (yi ) hội tụ về 0.5. Đặt
xi := zi ,

i = 1, 2, . . .

trong đó zi là số thực thõa zi − 0.5 ≤ yi < zi + 0.5, chẳng hạn
x1 = −1,

x2 = 2,

x2j−1 = 0

và x2i = 1,

j = 2, 3, . . .

r

− 0.5 với r = 0.5 và
Dãy (xi ) có thể không hội tụ, nhưng xi →
LIMr xi =

∅,
[1 − r, r],

nếu r < 0.5,

nếu r ≥ 0.5.

Với S = (xi ) thì
LIM(xi ),r xi =

∅,
{xi : i ≥ 3},

nếu r < 1,
nếu r ≥ 1.

Như ta đã biết nếu một dãy hội tụ theo nghĩa cổ điển thì nó bị chặn và giới
hạn là duy nhất, và mỗi dãy con của một dãy hội tụ cũng hội tụ đến cùng một
điểm. Hội tụ thô cũng có một số tính chất tương tự như sau.
Mệnh đề 1.1.1. Cho (xi ) là một dãy trong X . Khi đó:
(a) Đường kính của tập r-giới hạn không lớn hơn 2r, tức là diam(LIMr xi ) ≤ 2r.
Hơn nữa, 2r là cận trên tối ưu.
(b) Nếu (xi ) ⊂ (xi ) thì LIMr xi ⊆ LIMr xi .
(c) Dãy (xi ) là bị chặn khi và chỉ khi tồn tại r ≥ 0 sao cho LIMr xi = ∅. Với mọi
r > 0, dãy bị chặn (xi ) luôn chứa một dãy con (xij ) thỏa mãn
LIM(xij ),r xij = ∅.

(d) Nếu C ⊂ X là compact tương đối và r ≥ 0, thì với mỗi dãy (xi ) trong
C + B r (0) = {x + z : x ∈ C, z ∈ B r (0)},

đều chứa một dãy con (xij ) thỏa mãn
LIMr xij = ∅

và


LIM(xij ),r xij = ∅,

2

∀r > r.


Chứng minh. (a) Ta chứng minh rằng
diam(LIMr xi ) := sup{ y − z : y, z ∈ LIMr xi } ≤ 2r.

Giả sử diam(LIMr xi ) > 2r, tức là tồn tại y, z ∈ LIMr xi sao cho
d := y − z > 2r.

Do đó, với ε ∈ (0, d/2 − r), từ (1.1) và (1.3), tồn tại iε ∈ N sao cho
xi − y < r + ε

và

xi − z < r + ε,

∀i ≥ iε .

Khi đó
y − z ≤ xi − y + xi − z < 2r + 2ε < 2r + 2(d/2 − r) = d,

mâu thuẫn với giả thiết, hay diam(LIMr xi ) ≤ 2r.
Xét một dãy hội tụ (xi ) với lim xi = x∗ . Theo Mệnh đề 1.2.3 (sẽ chứng minh
sau) thì LIMr xi = B r (x∗ ). Mà do diam B r (x∗ ) = 2r nên nói chung cận trên 2r của
diam(LIMr xi ) không thể giảm.
(b) Nếu LIMr xi = ∅ thì ta có điều phải chứng minh.

Nếu LIMr xi = ∅ thì với mọi x∗ ∈ LIMr xi , ta cần chứng minh x∗ ∈ LIMr xi . Do
x∗ ∈ LIMr xi , từ (1.1) và (1.3), với mọi ε > 0 tồn tại iε ∈ N sao cho
xi − x∗ < r + ε,

∀i ≥ iε .

Mà (xi ) ⊂ (xi ), nên (xi ) = (xij ). Khi đó với k ≥ iε , ta có
xij − x∗ < r + ε,

∀ij ≥ k,

hay x∗ ∈ LIMr xi .
(c) Giả sử dãy (xi ) là bị chặn, tức là tồn tại r ≥ 0 sao cho
xi ≤ r,

∀i ∈ N.

Do đó với mọi ε > 0 ta có
xi − 0 = xi < r + ε,

∀i ∈ N,

hay 0 ∈ LIMr xi hay LIMr xi = ∅.
Ngược lại giả sử tồn tại r ≥ 0 sao cho LIMr xi = ∅, tức là tồn tại x∗ ∈ LIMr xi .
Với ε0 > 0, từ (1.1) và (1.3), tồn tại iε0 ∈ N sao cho
xi − x∗ < r + ε0 ,

∀i ≥ iε0 .

Do đó:

xi ≤ xi − x∗ + x∗ < r + ε0 + x∗ ,
3

∀i ≥ iε0 .


Đặt
M := max{ x0 , x1 , . . . , xiε0 , r + ε0 + x∗ },

thì xi ≤ M với mọi i ∈ N, hay dãy (xi ) bị chặn.
Ngoài ra, một dãy bị chặn (xi ) trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều thì
chứa một dãy con hội tụ (xij ). Gọi x∗ là điểm hội tụ của (xij ), thì LIMr xij = B r (x∗ )
và với r > 0, ta có
LIM(xij ),r xij = {xij : xij − x∗ ≤ r} = ∅.

(d) Giả sử (xi ) là một dãy trong C + B r (0), tồn tại hai dãy (yi ) và (zi ) sao cho
yi ∈ C,

zi ≤ r

và xi = yi + zi ,

i = 1, 2, . . .

Do C là compact tương đối, nên (yi ) có một dãy con (yij ) thỏa
yij → y∗ ∈ cl C

khi ij → ∞.

Do đó, với mọi ε > 0 tồn tại iε ∈ N sao cho

xij − y∗ ≤ xij − yij + yij − y∗ < r + ε,

∀ij ≥ iε ,

hay y∗ ∈ LIMr xij . Hơn nữa, đặt
N := {xij : yij − y∗ < r − r},

là một tập con khác rỗng của dãy con (xij ) và với x∗ ∈ N ta có
xij − x∗ ≤ xij − y∗ + y∗ − x∗ < r + ε + r − r < r + ε,

∀ij ≥ iε

hay ∅ = N ⊂ LIM(xij ),r xij .
Trong giải tích cổ điển, tập giới hạn của một dãy hội tụ chỉ chứa một điểm duy
nhất. Nhưng với r > 0, tập r-giới hạn nói chung không phải là tập một điểm. Tính
chất topo và hình học của nó được thể hiện trong mệnh đề dưới đây.
Nhắc lại X được gọi là lồi chặt nếu với mọi x0 , x1 ∈ X ,
z0 = z1 = 1,

z0 = z1 ,

0<λ<1

⇒

(1 − λ)z0 + λz1 < 1.

X được gọi là lồi đều nếu với mọi ε ∈ (0, 2] tồn tại δε > 0 sao cho với mọi z0 , z1 ∈ X ,
z0 = z1 = 1,


z0 − z1 ≥ ε

⇒

(z0 + z1 )/2 ≤ 1 − δε .

Mệnh đề 1.1.2. Cho (xi ) là một dãy trong X và r, r0 , r1 ≥ 0. Khi đó:
(a) LIMr xi là tập đóng.

4


(b) Nếu y0 ∈ LIMr0 xi và y1 ∈ LIMr1 xi thì
yλ := λy0 + (1 − λ)y1 ∈ LIMλr0 +(1−λ)r1 xi ,

∀λ ∈ [0, 1].

Suy ra LIMr xi là lồi.
(c) Nếu X lồi đều thì LIMr xi là lồi chặt, tức là với y0 , y1 ∈ LIMr xi và y0 = y1 ta
có
yλ ∈ int(LIMr xi ),

∀λ ∈ (0, 1).

Chứng minh.
(a) Nếu LIMr xi = ∅ thì LIMr xi là tập đóng. Bây giờ giả sử LIMr xi = ∅. Xét
tùy ý một dãy (yi ) trong LIMr xi , hội tụ đến y∗ . Với mọi ε > 0, từ định nghĩa, tồn
tại jε/2 và iε/2 sao cho
yjε/2 − y∗ < ε/2


xi − yjε/2 < r + ε/2,

∀i ≥ iε/2 .

xi − y∗ ≤ xi − yjε/2 + yjε/2 − y∗ < r + ε,

∀i ≥ iε/2 ,

và

Khi đó
tức là y∗ ∈ LIMr xi , hay LIMr xi là tập đóng.
(b) Do y0 ∈ LIMr0 xi và y1 ∈ LIMr1 xi , từ (1.1) và (1.3), với mọi ε > 0 tồn tại
iε0 , iε1 ∈ N sao cho
xi − y0 < r0 + ε,

∀i ≥ iε0 ,

xi − y1 < r1 + ε,

∀i ≥ iε1 .

Đặt iε := max{iε0 , iε1 }. Khi đó với mọi i ≥ iε ta có
xi − yλ ≤ λ xi − y0 + (1 − λ) xi − y1
< λ(r0 + ε) + (1 − λ)(r1 + ε)
= λr0 + (1 − λ)r1 + ε,

tức là yλ ∈ LIMλr0 +(1−λ)r1 xi .
Áp dụng chứng minh trên cho r = r0 = r1 , ta thấy LIMr xi là lồi.
Riêng (c), để chứng minh ta cần bổ đề sau.

Bổ đề 1.1.3 ([22]). Hai khẳng định sau là tương đương
(a) X lồi đều.
(b) Với mỗi r > 0 và ε ∈ (0, 2], tồn tại δε sao cho với bất kỳ dãy (z0i ) và (z1i ) trong
X thỏa mãn
lim sup z0i ≤ r,
i→∞

lim sup z1i ≤ r,

z0i + z1i ≥ ε,

i→∞

ta có
lim sup (z0i − z1i )/2 ≤ r − δε .
i→∞

5

i = 1, 2, . . . ,


Chứng minh Mệnh đề 1.1.2. (c). Giả sử X lồi đều và y0 , y1 ∈ LIMr xi , y0 = y1 . Để
chứng minh LIMr xi là lồi chặt, ta chỉ cần chứng minh
y1/2 ∈ int(LIMr xi ),

bởi vì với mọi yλ , 0 < λ < 1, tồn tại y0 , y1 ∈ LIMr xi sao cho y0 = y1 và yλ =
(y0 + y1 )/2.
Đặt
z0i = y0 − xi và z1i = y1 − xi .

Từ (1.2), ta có
lim sup z0i ≤ r,
i→∞

lim sup z1i ≤ r,

z0i − z1i = y0 − y1 > 0,

i = 1, 2, . . .

i→∞

Theo Bổ đề 1.1.3 (d) thì tồn tại δ > 0 sao cho
lim sup (y0 + y1 )/2 − xi = lim sup (z0i + z1i )/2 ≤ r − δ,
i→∞

i→∞

từ (1.2), ta lại có
y1/2 = (y0 + y1 )/2 ∈ LIMr−δ xi .

Khi đó, theo Mệnh đề 1.2.1 (sẽ chứng minh sau) thì y ∈ LIMr xi với mọi y ∈ X
thỏa y − y1/2 ≤ δ . Vì vậy y1/2 ∈ int(LIMr xi ).
Chú ý rằng, khi X không lồi đều, LIMr xi có thể không lồi chặt, ta xét ví dụ
sau.
Ví dụ 1.2. Cho (xi ) là dãy trong R2 với xi = ((−1)i , 0). Với · là chuẩn maximum
thì
LIM1 xi = {(0, η) ∈ R2 : |η| ≤ 1.}
Tuy nhiên LIM1 xi không phải lồi chặt vì int(LIM1 xi ) = ∅.


1.2

So sánh các khái niệm hội tụ

Trong mục này chúng ta sẽ trình bày mối quan hệ giữa hội tụ thô với một số
khái niệm hội tụ khác. Đầu tiên, chúng ta có tính chất cộng tính của hội tụ thô.
Mệnh đề 1.2.1. Cho r1 ≥ 0 và r2 > 0. Dãy (xi ) là (r1 + r2 )-hội tụ tới x∗ khi và
chỉ khi tồn tại một dãy (yi ) trong X sao cho
r

1
yi −→
x∗

xi − yi < r2 ,

và

i = 1, 2, . . .

r

(1.4)

1
Chứng minh. Giả sử (1.4). Do yi −→
x∗ nên với mọi ε > 0 tồn tại iε ∈ N sao cho

yi − x∗ < r1 + ε,
6


∀i ≥ iε .


Khi đó
xi − x∗ ≤ xi − yi + yi − x∗ < r1 + r2 + ε,

∀i ≥ iε ,

tức là (xi ) là (r1 + r2 )-hội tụ tới x∗ .
Ngược lại giả sử (xi ) là (r1 + r2 )-hội tụ tới x∗ . Xét

 x∗ ,
nếu xi − x∗ ≤ r2 ,
yi :=

 xi + r2

x∗ − xi
,
x∗ − xi

nếu xi − x∗ > r2 ,

ta có
xi − y i ≤ r 2 ,

i = 1, 2, . . .

Với ε > 0, thì do (xi ) là (r1 + r2 )-hội tụ tới x∗ nên tồn tại iε ∈ N sao cho

xi − x∗ < r1 + r2 + ε,

∀i ≥ iε .

Với mọi i ≥ iε , nếu xi − x∗ ≤ r2 thì
yi − x∗ = 0 < r1 + ε,

(1.5)

Nếu xi − x∗ > r2 , thì
1
x∗ − xi
= xi − x∗ − r 2

yi − x∗ = 1 − r2

xi − x∗

∀i ≥ iε .

< r1 + ε,

(1.6)

r

1
Từ (1.5) và (1.6) suy ra yi −→
x∗ .


Đặc biệt, với r1 = 0 và r2 = r > 0 thì một dãy (xi ) là r-hội tụ tới x∗ khi và chỉ
khi tồn tại một dãy (yi ) trong X sao cho
yi → x ∗

và

xi − yi < r,

i = 1, 2, . . .

Điều kiện cần có nghĩa nếu (xi ) là một xấp xỉ của dãy hội tụ yi → x∗ với r là cận
trên của sai số xấp xỉ thì nó r-hội tụ tới x∗ . Ngược lại, nếu (xi ) là r-hội tụ tới x∗
thì tồn tại một dãy (yi ) gần (xi ) (tức là xi − yi < r với mọi i) hội tụ (theo nghĩa
cổ điển) tới x∗ .
Mệnh đề 1.2.2. Cho dãy (xi ) trong (Rn , · ) hội tụ tới x∗ . Với x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈
Rn , đặt [x] := ([x1 ], [x2 ], . . . , [xn ]), trong đó [α] là phần nguyên của số thực α.
(a) Nếu

·

là chuẩn maximum thì
x∗ ∈ LIM1 [xi ]

và

7

LIM0.5 [xi ] = ∅.



(b) Nếu

·

là chuẩn Euclide thì
√

x∗ ∈ LIM

n

LIM0.5

và

[xi ]

√

n

[xi ] = ∅.

Chứng minh. Do 0 ≤ xji − [xji ] < 1 với mọi i ∈ N và j ∈ {1, 2, . . . , n}, ta có
xi − [xi ] <

·
·

nếu

nếu

1,
√
n,

là chuẩn maximum,
là chuẩn Euclide.

Từ Mệnh đề 1.2.1 suy ra
x∗ ∈ LIMr [xi ],

1,
√

với r =

·
·

nếu
nếu

n,

là chuẩn maximum,
là chuẩn Euclide.

Đặt x∗ := [x∗ ] − (0.5, 0.5, . . . , 0.5). Do xi → x∗ nên tồn tại i∗ ∈ N sao cho
[xj∗ ] − 1 < xji < [xj∗ ] + 1,


j ∈ {1, 2, . . . , n}, i ≥ i∗ ,

suy ra [xji ] ∈ {[xj∗ ] − 1, [xj∗ ]}, và
|[xji ] − xj∗ | = 0.5,

j ∈ {1, 2, . . . , n}, i ≥ i∗ .

Khi đó
0.5,
√
0.5 n,

[xi ] − x∗ =

·
·

nếu
nếu

là chuẩn maximum,
là chuẩn Euclide,

với mọi i ≥ i∗ , tức là
x∗ ∈ LIMr [xi ],

với r =

nếu

nếu

0.5,
√
0.5 n,

·
·

là chuẩn maximum,
là chuẩn Euclide.

Lưu ý, tất cả các tham số r ghi trong Mệnh đề 1.2.2 là tối ưu, tức là, ta không
thể tìm được tham số thỏa mãn nào nhỏ hơn nữa. Để thấy điều này, ta xét ví dụ
sau.
Ví dụ 1.3. Cho
x1i = x2i = · · · = xni = (−1)i /i.

Thì xi = (x1i , x2i , . . . , xni ) hội tụ tới x∗ = (0, 0, . . . , 0) và
[xi ] =

(0, 0, . . . , 0),
−(1, 1, . . . , 1),

nếu i chẵn,
nếu i lẻ.

Do
− (1, 1, . . . , 1) − (0, 0, . . . , 0) =


1,
√
8

n,

nếu
nếu

·
·

là chuẩn maximum,
là chuẩn Euclide,


nên
x∗ ∈
/ LIMr [xi ],

1,
√

với r <

·
·

nếu
nếu


n,

là chuẩn maximum,
là chuẩn Euclide,

và
LIMr [xi ] = ∅,

với r <

0.5,
√
0.5 n,

·
·

nếu
nếu

là chuẩn maximum,
là chuẩn Euclide.

Trong chứng minh của Mệnh đề 1.1.1 (a), ta có nói nếu (xi ) hội tụ tới x∗ thì
LIMr xi = B r (x∗ ). Mệnh đề sau cho ta thấy rõ điều này và chiều ngược lại cũng
đúng.
Mệnh đề 1.2.3. Cho r > 0 và (xi ) ⊂ X .
(a) Nếu (xi ) hội tụ tới x∗ thì LIMr xi = B r (x∗ ).
(b) Nếu (xi ) nằm gọn trong một tập compact và LIMr xi = B r (x∗ ) thì xi → x∗ .

(c) Nếu X lồi đều và nếu tồn tại
y0 , y1 ∈ LIMrxi ,

y0 − y1 = 2r,

thì (xi ) hội tụ tới (y0 + y1 )/2.
Chứng minh.
(a) Với mỗi y ∈ B r (x∗ ), ta có y − x∗ ≤ r. Do xi → x∗ nên với mọi ε > 0 tồn
tại iε ∈ N sao cho
xi − x∗ < ε,

∀i ≥ iε .

Khi đó
xi − y ≤ xi − x∗ + x∗ − y < r + ε,

∀i ≥ iε ,

r

tức là xi →
− y hay y ∈ LIMr xi .
Với mỗi y ∈ LIMr xi , từ (1.1) và (1.3), với mọi ε > 0, tồn tại iε0 ∈ N sao cho
xi − y < r + ε/2,

∀i ≥ iε0 .

Do xi → x∗ nên với ε > 0 ở trên, tồn tại iε1 ∈ N sao cho
xi − x∗ < ε/2,


∀i ≥ iε1 .

Chọn iε ≥ max{iε0 , iε1 }. Khi đó, với mọi i ≥ iε ta có
x∗ − y ≤ x∗ − xi + xi − y < r + ε.

Suy ra, với mọi ε > 0, x∗ − y < r + ε. Cho ε → 0 ta được y ∈ B r (x∗ ). Vậy
LIMr xi = B r (x∗ ).
(b) Giả sử xi
x∗ , tức tồn tại ε0 > 0, tồn tại dãy con (xik ) ⊂ (xi ) sao cho
xik − x∗ ≥ ε0 , với mọi k ∈ N. Vì (xik ) ⊂ (xi ) nằm gọn trong một tập compact
9


X1 ⊆ X nên (xik ) có dãy con hội tụ. Giả sử (xikl ) ⊂ (xik ) và xikl → y ∈ X1 . Theo

(a) và Mệnh đề 1.1.1, ta có
B r (x∗ ) = LIMr xi ⊆ LIMr xik ⊆ LIMr xikl = B r (y).

Như vậy B r (x∗ ) ⊆ B r (y).
Giả sử y = x∗ thì x∗ − y > 0. Đặt
z := x∗ + r

x∗ − y
.
x∗ − y

Suy ra z − x∗ = r, hay z ∈ B r (x∗ ) ⊆ B r (y). Khi đó
r ≥ z−y = 1+

r

x∗ − y

x∗ − y = r + x∗ − y .

Suy ra x∗ − y ≤ 0, mâu thuẫn với y = x∗ . Do đó y = x∗ nên xikl → y = x∗ , mâu
thuẫn với giả thiết. Vì vậy xi → x∗ .
(c) Đặt z0i = y0 − xi và z1i = xi − y1 . Từ (1.2), y0 , y1 ∈ LIMr xi và y0 − y1 = 2r,
ta có
lim sup z0i ≤ r,

lim sup z1i ≤ r,

i→∞

(z0i +z1i )/2 = y0 −y1 /2 = r,

i = 1, 2, . . .

i→∞

Khi đó, theo Bổ đề 1.1.3 (c) thì
lim (y0 + y1 )/2 − xi = (1/2) lim z0i − z1i = 0,

i→∞

i→∞

hay (xi ) hội tụ tới (y0 + y1 )/2.
Ví dụ 1.4. Xét lại ví dụ trước, cho (xi ) là dãy trong R2 với xi = ((−1)i , 0) và ·
là chuẩn maximum. Rõ ràng, y1 = (0, 1) và y2 = (0, −1) thỏa y1 , y2 ∈ LIM1 xi và

y1 − y2 = 2, nhưng dãy (xi ) không hội tụ. Điều này cho thấy vai trò của lồi chặt
trong Mệnh đề 1.2.3 (c).
Mệnh đề trước trình bày mối quan hệ giữa một dãy hội tụ và tập r-giới hạn
của nó. Tiếp theo ta có mệnh đề liên quan đến điểm tụ.
Mệnh đề 1.2.4. Gọi C là tập các điểm tụ của (xi ) ⊂ X .
(a) Nếu C = ∅ thì
LIMr xi ⊆

B r (c).

(1.7)

c∈C

(b) Nếu (xi ) nằm gọn trong một tập compact của X thì
LIMr (xi ) =

B r (c) = {x∗ ∈ X : C ⊆ B r (x∗ )}.
c∈C

10

(1.8)


Chứng minh.
(a) Nếu LIMr xi = ∅ ta có điều phải chứng minh. Nếu LIMr xi = ∅, lấy x∗ ∈
LIMr xi . Từ (1.1) và (1.3), với mọi ε > 0, tồn tại iε ∈ N sao cho
xi − x∗ < r + ε/2,


∀i ≥ iε .

Với mọi c ∈ C , ta chứng minh x∗ ∈ B r (c). Thật vậy, do c là điểm tụ của (xi ) nên
tồn tại (xik ) ⊂ (xi ) sao cho xik → c, tức là với ε > 0 ở trên, tồn tại kε ∈ N sao cho
với mọi k ≥ kε ta có
xik − c < ε/2.

Suy ra, với ik ≥ max{ikε ,iε } ta có
x∗ − c ≤ x∗ − xik + xik − c < r + ε.

Do đó x∗ − c < r + ε với mọi ε > 0. Cho ε → 0 ta có x∗ − c < r. Vậy x∗ ∈ B r (c)
với mọi c ∈ C hay x∗ ∈ c∈C B r (c).
(b) Theo (a), ta chỉ cần chứng minh c∈C B r (c) ⊆ LIMr (xi ). Lấy x∗ ∈ c∈C B r (c),
ta có
x∗ − c ≤ r,

∀c ∈ C.

Giả sử x∗ ∈
/ LIMr xi , từ (1.1) và (1.3), tồn tại ε0 và tồn tại (xik ) ⊂ (xi ) sao cho
xik − x∗ > r + ε0 ,

∀k ∈ N.

Do (xik ) ⊂ (xi ) nằm gọn trong một tập compact của X nên (xik ) có dãy con hội tụ.
Giả sử (xikl ) ⊆ (xik ), xikl → x∗ , hay x∗ ∈ C , nên x∗ −x∗ ≤ r. Mà cũng vì xikl → x∗
nên với ε0 > 0 ở trên, tồn tại l0 ∈ N sao cho với mọi l ≥ l0 , ta có xikl − x∗ < ε/2.
Khi đó
r + ε0 ≤ xikl − x∗ ≤ xikl − x∗ + x∗ − x∗ < r + ε/2,


điều này vô lý. Vì vậy x∗ ∈ LIMr xi .
Ví dụ 1.5. Xét lại ví dụ trước, cho (xi ) là dãy trong R2 với xi = ((−1)i , 0) và ·
là chuẩn maximum. Do (xi ) chỉ có hai điểm tụ (−1, 0) và (1, 0) nên
LIM1 xi = B 1 ((−1, 0)) ∩ B 1 ((1, 0)) = {(0, η) ∈ R2 : |η ≤ 1|}.

Nhắc lại, nếu (Ki ) là một dãy các tập con trong không gian metric X thì
LimsupKi := {x ∈ X| lim inf d(x, Ki ) = 0},
i→∞

i→∞

Liminf Ki := {x ∈ X| lim d(x, Ki ) = 0},
i→∞

i→∞

được gọi là giới hạn trên và dưới của dãy (Ki ).
Từ định nghĩa, Limsup{xi } là tập tất cả các điểm tụ của (xi ). Do đó từ (1.7)
ta có
LIMr xi ⊆

B r (c).
c∈Limsup{xi }

11


Mệnh đề 1.2.5. LIMr xi = Liminf B r (xi ).
Chứng minh. Giả sử y ∈ LIMr xi . Đặt
yi :=


xi +

r
(y − xi ),
y − xi

nếu y − xi > r,
nếu ngược lại.

y,

Do
xi +

r
r
(y − xi ) − y = 1 −
y − xi
y − xi

(y − xi ) = y − xi − r,

nên
yi − y =

y − xi − r,
0,

nếu y − xi > r,

nếu ngược lại.

Vì y ∈ LIMr xi nên từ (1.1) và (1.3), với mọi ε > 0 tồn tại iε ∈ N sao cho với
mọi i ≥ iε ta có xi − y < r + ε. Do đó yi − y < ε, hay yi → y . Theo Mệnh đề
1.2.1, ta có xi − yi ≤ r, suy ra yi ∈ B r (xi ). Vì vậy limi→∞ d(x, B r (xi )) = 0 hay
y ∈ Liminf i→∞ B r (xi ).
Ngược lại giả sử y ∈ Liminf i→∞ B r (xi ), ta có
lim d(x, B r (xi )) = 0.

i→∞

r

− y hay
Do đó tồn tại (yi ) ⊂ B r (xi ) sao cho yi → y . Theo Mệnh đề 1.2.1, ta có xi →
r
y ∈ LIM xi .

1.3

Sự phụ thuộc của hội tụ thô vào độ thô

Mục trước là trình bày một số tính chất của tập r-giới hạn với một độ thô cố
định r. Bây giờ chúng ta nghiên cứu sự phụ thuộc của tập r-giới hạn LIMr xi của
một dãy cố định (xi ) với tham số r.
Cho (xi ) là một dãy trong X . Từ định nghĩa, dễ thấy
LIMr1 xi ⊆ LIMr2 xi ,

với 0 ≤ r1 < r2 .


(1.9)

Mệnh đề 1.3.1. Cho (xi ) là một dãy trong X .
(a) Nếu r ≥ 0 và σ > 0 thì LIMr xi ⊆ LIMr xi + B σ (0) ⊆ LIMr+σ xi .
(b) Nếu X lồi đều và nếu y là một điểm trong của LIMr xi thì tồn tại r ∈ [0, r)
sao cho y ∈ LIMr xi .
(c) Nếu (xi ) nằm gọn trong một tập compact của X thì B σ (y) ⊆ LIMr xi kéo theo
y ∈ LIMr−σ xi .
12


Chứng minh.
(a) Lấy y ∈ LIMr xi và z ∈ B σ (0). Theo định nghĩa, với mọi ε > 0, tồn tại iε ∈ N
sao cho xi − y < r + ε với mọi i ≥ iε . Khi đó
xi − (y + z) ≤ xi − y + z < r + ε + σ,

∀i ≥ iε ,

tức là x + y ∈ LIMr+σ xi . Ngoài ra, do σ > 0 nên 0 ∈ B σ (0). Suy ra với mọi
y ∈ LIMr xi , ta có y = y + 0 ∈ LIMr xi + B σ (0).
(b) Giả sử y là điểm trong của LIMr xi . Thì tồn tại y0 , y1 ∈ LIMr xi sao cho
y0 − y1 > 0 và y = (y0 + y1 )/2. Đặt z0i = y0 − xi và z1i = y1 − xi , từ (1.2) ta có
lim sup z0i ≤ r,
i→∞

lim sup z1i ≤ r,

z0i − z1i = y0 − y1 > 0,

i = 1, 2, . . .


i→∞

Do X lồi đều nên theo Bổ đề 1.1.3 (d) thì tồn tại r ∈ [0, r) sao cho
lim sup (y0 + y1 )/2 − xi = lim sup (z0i + z1i )/2 ≤ r .
i→∞

i→∞

Từ (1.2) ta lại có y = (y0 + y1 )/2 ∈ LIMr xi .
(c) Lấy tùy ý một điểm tụ c của (xi ). Giả sử y − c > r − σ . Đặt
x∗ := y +

σ
(y − c).
y−c

Khi đó
x∗ − c = σ + y − c > σ + (r − σ) = r.

Suy ra x∗ ∈
/ B r (c), từ (1.7), x∗ ∈
/ LIMr xi . Điều này mâu thuẫn với giả thiết vì
có x∗ − y = σ nên x∗ ∈ B σ (y) ⊆ LIMr xi . Do đó, y − c ≤ r − σ với mọi c ∈ C .
Cho nên y ∈ B r−σ (c) với mọi c ∈ C , theo (1.8), y ∈ c∈C B r−σ (c) = LIMr−σ xi .
Nói chung LIMr xi + B σ (0) = LIMr+σ xi . Ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 1.6. Xét lại ví dụ trước, cho (xi ) là dãy trong R2 với xi = ((−1)i , 0) nhưng
· là chuẩn Euclide. Ta có
LIM1 xi = {(0, 0)},


LIM2 xi = B 2 ((0, −1)) ∩ B 2 ((0, 1))

Khi đó
√

mà ( 3, 0) − xi

LIM1 xi + B 1 (0) = B 1 (0),
√
√
= ( 3, ±1) = 2 nên ( 3, 0) ∈ LIM2 xi \B 1 (0), hay
LIM1 xi + B 1 (0) = LIM2 xi .

Đặt
r := inf{r ∈ R+ : LIMr xi = ∅}.

13

(1.10)


Do tính đơn điệu trong (1.9), ta có
LIMr xi

= ∅,
= ∅,

nếu r < r,
nếu r ≥ r.


(1.11)

Hơn nữa, với mọi r > r thì LIMr+(r−r)/2 xi = ∅, nên theo Mệnh đề 1.3.1 (b) ta có
∅ = LIMr+(r−r)/2 xi + B (r−r)/2 (0) ⊆ LIMr xi ,

hay
int(LIMr xi ) = ∅,

∀r > r.

(1.12)

thì r ≤ r,

(1.13)

Khi đó
int(LIMr xi ) = ∅

nếu
và

LIMr xi = ∅,

∀r ∈ [0, r).

Hơn nữa, ta có
Mệnh đề 1.3.2.
LIMr xi


cl

⊆ LIMr xi =

0≤r
Nếu r = r thì cl(

0≤r
LIMr xi .
r >r

LIMr xi ) = LIMr xi .

Chứng minh. Từ (1.9), do tính đơn điệu của LIMr xi và do LIMr xi là tập đóng
nên
LIMr xi

cl

⊆ LIMr xi ⊆

LIMr xi .
r >r

0≤r
Lấy bất kỳ y ∈ X\ LIMr xi . Từ định nghĩa, tồn tại ε > 0 sao cho
∀k ∈ N, ∃i ≥ k : xi − y ≥ r + ε.

Với r < r + ε, đặt ε := r + ε − r > 0 thì
∀k ∈ N, ∃i ≥ k : xi − y ≥ r + ε .

Do đó y ∈
/ LIMr xi với r < r + ε, nên y ∈
/
r
r >r LIM xi .
Với r < r thì
LIMr xi

cl

r >r

LIMr xi . Khi đó LIMr xi =

= LIMr xi = ∅.

0≤r
Với r = r1 > r, đặt r0 = (r + r1 )/2 > r. Do r0 > r, tồn tại y0 ∈ LIMr0 xi . Với mọi
y1 ∈ LIMr1 xi , theo Mệnh đề 1.1.2, ta có
yλ = (1 − λ)y0 + λy1 ∈ LIM(1−λ)r0 +λr1 xi ,
14

∀λ ∈ (0, 1).

Suy ra
LIMr xi ,

yλ ∈

∀λ ∈ (0, 1).

0≤r
Mặc khác
yλ − y1 = (1 − λ) y0 − y1 → 0

khi λ → 1,

nên
LIMr xi

y1 ∈ cl

.

0≤r
Khi đó
LIMr xi

cl

= LIMr xi .

0≤r
Mệnh đề 1.3.3. Cho (xi ) là một dãy trong X .
(a) Nếu (xi ) nằm gọn trong một tập compact thì int(LIMr xi ) = ∅.
(b) Nếu X hữu hạn chiều thì r = r khi và chỉ khi
LIMr xi = ∅

và

int(LIMr xi ) = ∅.

(1.14)

Chứng minh.
(a) Giả sử int(LIMr xi ) = ∅. Thì LIMr xi chứa hình cầu B σ (y). Do (xi ) nằm gọn
trong một tập compact, nên từ Mệnh đề 1.3.1, ta có y ∈ LIMr−σ xi , mâu thuẫn với
định nghĩa của r trong (1.10). Do đó, int(LIMr xi ) = ∅.
(b) Giả sử r = r, từ Mệnh đề 1.3.2, ta có LIMr xi = r >r LIMr xi . Mà với
r > r, theo (1.11) và Mệnh đề 1.1.2, LIMr xi là khác rỗng và đóng. Do (1.9) ta có
LIMr xi =

LIMr xi =
r >r

LIMr xi ,
r
mà LIMr xi , r ∈ (r, r + 1] là họ các tập con đóng và bị chặn trong tập compact
LIMr+1 xi có tính chất giao hữu hạn. Do đó LIMr xi = ∅.
Nếu int(LIMr xi ) = ∅ thì LIMr xi chứa một hình cầu B σ (y) với σ > 0. Và từ

Mệnh đề 1.3.1, ta có LIMr−σ xi = ∅, tức là r > r. Điều này mâu thuẫn với r = r,
hay int(LIMr xi ) = ∅.
Ngược lại giả sử (1.14). Do LIMr xi = ∅ nên r ≥ r. Và do int(LIMr xi ) = ∅, từ
(1.13) nên r ≤ r. Vì vây r = r.
Để kết thúc mục này, ta xét tính liên tục của ánh xạ
F : R+ → 2X ,

với F (r) := LIMr xi .

15


F được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c.) tại r nếu với mỗi tập mở U thỏa mãn
F (r) ∩ U = ∅, tồn tại lân cận V (r) sao cho
t ∈ V (r)

⇒

F (t) ∩ U = ∅.

F được gọi là nửa liên tục trên (u.s.c.) tại r nếu với mỗi tập mở U chứa F (r), tồn
tại lân cận V (r) sao cho
t ∈ V (r)

⇒

F (t) ⊂ U.

F l.s.c. (tương ứng u.s.c.) trên I nếu nó l.s.c. (tương ứng u.s.c.) tại mọi r ∈ I .

Mệnh đề 1.3.4. Cho X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều. Khi đó F l.s.c.
trên (r, +∞) và u.s.c. trên [r, +∞).
Chứng minh. Giả sử r > r và U là tập mở thỏa mãn F (r) ∩ U = ∅. Do F (r) =
LIMr xi lồi (theo Mệnh đề 1.1.2) và int(LIMr xi ) = ∅ (theo (1.12)), nên int(LIMr xi )∩
U là mở và khác rỗng. Khi đó tồn tại hình cầu B σ (y) trong int(LIMr xi ) ∩ U ⊂
LIMr xi . Theo Mệnh đề 1.3.1 thì y ∈ int(LIMr−σ xi ) ∩ U . Theo (1.9) thì
y ∈ LIMr−σ xi ∩ U ⊆ LIMt xi ∩ U = F (t) ∩ U,

t ∈ (r − σ, +∞).

Khi đó F l.s.c. tại mỗi r ∈ (r, +∞).
Bây giờ giả sử r ≥ r và U là một tập mở thỏa mãn F (r) ⊂ U . Theo (1.9) thì
F (t) = LIMt xi ⊆ LIMr xi = F (r) ⊂ U,

t ∈ [0, r].

Do đó, ta chỉ cần chứng minh rằng tồn tại δ > 0 sao cho
F (t) = LIMt xi ⊂ U,

t ∈ (r, r + δ).

Giả sử ngược lại, thì tồn tại một dãy giảm (tj ) sao cho
lim tj = r

và

LIMtj xi \U = ∅, j = 1, 2, . . .

Rõ ràng
LIMt xi ⊆

t>r

LIMtj xi .
j∈N

t

Nếu y ∈
/ t>r LIM xi thì tồn tại t > r sao cho y ∈
/ LIMt xi . Do lim tj = r và (1.9)
/ j∈N LIMtj xi . Vì vậy
nên có tj < t sao cho y ∈
/ LIMtj xi . Suy ra y ∈
LIMt xi =
t>r

LIMtj xi .
j∈N

Khi đó, theo Mệnh đề 1.3.2 và do LIMr xi ⊂ U nên


LIMtj xi \U = 
j∈N

LIMtj xi  \U = LIMr xi \U = ∅.
j∈N

Tuy nhiên LIMtj xi \U , j = 1, 2, . . . , tạo thành một dãy giảm các tập con đóng và
khác rỗng chứa trong tập compact LIMt1 xi , do đó giao của họ này là khác rỗng.

Mâu thuẫn với điều vừa mới chứng minh trên.
16


1.4

Dãy Cauchy thô

Định nghĩa 1.4.1. Dãy (xi ) ∈ X được gọi là ρ-Cauchy và ρ được gọi là độ Cauchy
nếu
∀ε > 0, ∃iε ∈ N : ∀i, j ≥ iε ⇒ xi − xj < ρ + ε.
(1.15)
Hai tính chất sau suy ra từ định nghĩa và Mệnh đề 1.1.1.
Mệnh đề 1.4.1.
(a) Đơn điệu: Cho ρ > ρ. Nếu dãy (xi ) là ρ-Cauchy thì (xi ) cũng là ρ - Cauchy.
(b) Bị chặn: Dãy (xi ) là bị chặn khi và chỉ khi tồn tại ρ ≥ 0 sao cho (xi ) là dãy
ρ-Cauchy.
Mệnh đề 1.4.2 ([19]). Nếu (xi ) ⊂ X là một dãy r-hội tụ thì (xi ) là dãy ρ-Cauchy
với ρ ≥ 2r.
∗ (ρ) của dãy
Thật ra, điều quan tâm trong mục này là tìm độ tụ nhỏ nhất rX
ρ-Cauchy trong không gian định chuẩn X . Để làm điều này, ta có thể sử dụng
hằng số self-Jung.
Cho S là một tập bị chặn trong không gian định chuẩn X , ký hiệu

diam S := sup x − y ,

rX (S) := inf sup x − y
x∈X y∈S

x,y∈S

(1.16)

lần lượt được gọi là là đường kính và bán kính của S trong X . Số
J(X) := sup

2rX (S)
: S ⊂ X, 0 < diam S < ∞
diam S

(1.17)

được gọi là hằng số self-Jung của X.
Mệnh đề 1.4.3. Cho C là tập các điểm tụ của dãy bị chặn (xi ) trong không gian
định chuẩn hữu hạn chiều X . Khi đó diam C là độ Cauchy nhỏ nhất và rX (C) là
độ tụ nhỏ nhất của (xi ), tức là
diam C = min{ρ ∈ R+ : (xi )là một dãy ρ-Cauchy},

(1.18)

và
LIMr xi

= ∅,
= ∅,

nếu r < rX (C),
nếu r ≥ rX (C).

(1.19)

Chứng minh.
(a) Nếu 0 ≤ ρ < diam C thì với ε = (diam C − ρ)/3, từ (1.16), tồn tại hai điểm
tụ c1 và c2 sao cho c1 − c2 > ρ + 2ε. Với mọi k ∈ N tồn tại i1 , i2 ≥ k sao cho
xi1 − c1 < ε/2

và
17

xi2 − c2 < ε/2.