ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ KIM MAI

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ
HỘI TỤ THEO ĐỘ ĐO MỜ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Thừa Thiên Huế, năm 2017


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ KIM MAI

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ
HỘI TỤ THEO ĐỘ ĐO MỜ
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60. 46. 01. 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. TRƯƠNG VĂN THƯƠNG

Thừa Thiên Huế, năm 2017
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, luận văn này là công trình nghiên cứu
của tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy giáo TS. Trương
Văn Thương.
Trong quá trình nghiên cứu đề tài luận văn, tôi đã kế
thừa thành quả khoa học của các nhà Toán học và các nhà
Khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Tác giả
Nguyễn Thị Kim Mai

ii


LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo TS. Trương Văn
Thương, cảm ơn những lời động viên, nhắc nhở của Thầy trong suốt
quá trình hướng dẫn khoa học cho tôi. Thầy đã giúp tôi vượt qua
những khó khăn để hoàn thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu
của mình.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy - Cô giáo đã giảng
dạy lớp cao học Toán Khóa 24 của trường ĐHSP Huế cũng như toàn
thể các thầy cô trong khoa Toán trường ĐHSP Huế vì sự giảng dạy
tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ tôi trong suốt quá trình
học tập và thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến BGH trường ĐHSP Huế, Phòng
Sau Đại học trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành

công việc học tập, nghiên cứu của mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý
thầy, cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Cuối cùng, tôi xin chia sẻ niềm vui lớn này với bạn bè, người thân
và gia đình tôi, những người luôn sát cánh động viên giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn!

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1


Mở đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

σ -đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

σ -đại số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


6

1.1.4

Độ đo trên một đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Độ đo mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.2

Tính chất liên tục và không-cộng tính của độ đo mờ .


12

1.4

Các khái niệm hội tụ cho dãy hàm đo được . . . . . . . . . .

20

1.5

Một số tính chất của các dạng hội tụ cho dãy hàm đo được .

22

2 Một số định lí hội tụ theo độ đo mờ
2.1

2.2

29

Định lí Egorov đối với độ đo mờ . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.1.1

Hội tụ hầu khắp nơi kéo theo hội tụ gần đều . . . . .

29


2.1.2

Định lí Egorov đối với thuộc tính giả-hội tụ . . . . . .

43

2.1.3

Định lí Egorov đối với độ đo mờ liên tục . . . . . . .

47

Định lí Lusin đối với độ đo mờ
1

. . . . . . . . . . . . . . . .

49


2.2.1

Định lí Lusin đối với độ đo mờ liên tục . . . . . . . .

50

2.2.2

Định lí Lusin đối với độ đo mờ tùy ý . . . . . . . . .


60

Kết luận

69

Tài liệu tham khảo

70

2


MỞ ĐẦU
Trong toán học, độ đo là một hàm số cho tương ứng một “chiều dài”, một
“thể tích” hoặc một “xác suất”,... ứng với một số thực nào đó. Đó là một khái
niệm quan trọng trong giải tích và trong lý thuyết xác suất. Một cách hình
thức, độ đo µ là một hàm số cho tương ứng với mỗi phần tử S của một tập
hợp A đại số trên X với một giá trị µ(S) là một số thực không âm hoặc vô
hạn. Các tính chất sau đây phải thỏa mãn:
i) µ(A) ≥ 0 với mọi A ∈ A;
ii) µ(∅) = 0;
iii) µ là σ -cộng tính, tức là, với dãy (An )n ⊂ A sao cho An rời nhau đôi một
∞

∞

An ∈ A thì µ(


và
n=1

∞

An ) =

n=1

µAn .
n=1

Trong trường hợp, chúng ta bỏ đi điều kiện σ -cộng tính và µ thỏa mãn:
i) µ(∅) = 0 và µ(X) > 0;
ii) µ(A) ≤ µ(B) với A ⊂ B và A, B ∈ A;
khi đó µ được gọi là độ đo mờ.
Trong giáo trình “Lý thuyết độ đo và tích phân” chúng ta đã được tìm
hiểu đầy đủ về độ đo µ cũng như các tính chất liên quan chẳng hạn: Định lí
Egorov, Định lí Lusin. Trong trường hợp, nếu thay độ đo µ bởi độ đo mờ thì
độ đo mờ có những tính chất, định lí hội tụ như thế nào?
Với mong muốn nghiên cứu sâu hơn về độ đo mờ cũng như các định lí hội
tụ theo độ đo mờ. Đó là một đề tài thú vị và mới mẽ đối với tôi. Và được sự
định hướng của thầy giáo hướng dẫn TS. Trương Văn Thương, tôi đã chọn đề
tài “Một số định lí hội tụ theo độ đo mờ” cho luận văn thạc sĩ thuộc chuyên
ngành Toán Giải tích.
Luận văn được chia thành hai chương:

3



Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này được chúng tôi trình bày
các kiến thức cơ sở cần thiết nhất về độ đo, độ đo mờ, hàm đo được, các
khái niệm hội tụ cho dãy hàm đo được và một số tính chất của các dạng
hội tụ cho dãy hàm đo được.
Chương 2: Một số định lí hội tụ theo độ đo mờ. Trong chương này,
chúng tôi tập trung trình bày hai định lí hội tụ theo độ đo mờ: Định lí
Egorov và Định lí Lusin. Bao gồm các nội dung:
i) Hội tụ hầu khắp nơi kéo theo hội tụ gần đều.
ii) Định lí Egorov đối với thuộc tính giả-hội tụ.
iii) Định lí Egorov đối với độ đo mờ liên tục.
iv) Định lí Lusin đối với độ đo mờ liên tục.
v) Định lí Lusin đối với độ đo mờ tùy ý.

4


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Độ đo
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản

về đại số, σ -đại số, σ -đại số Borel và độ đo trên một đại số tập hợp. Những
kết quả ở đây được tham khảo từ tài liệu [1].
1.1.1

Đại số


Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập khác rỗng. Xét A là một lớp khác
rỗng những tập con của X . Lớp A được gọi là một đại số trên X nếu:
i) A ∪ B ∈ A với mọi A, B ∈ A;
ii) Phần bù Ac = X \ A ∈ A với mọi A ∈ A.
Dễ dàng thấy rằng các lớp A = {∅, X} và A = P(X) là những đại số.
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử A là một đại số trên X . Lúc đó, các tập rỗng và X
đều thuộc A. Ngoài ra, nếu A, B thuộc A thì A ∩ B, A \ B và A∆B cũng
thuộc A.
1.1.2

σ-đại số

Định nghĩa 1.1.3. Một lớp khác rỗng A ⊂ P(X) được gọi là một σ -đại số
trên X nếu:
∞

An ∈ A với mọi dãy (An )n ⊂ A;

i)
n=1

5


ii) Phần bù Ac = X \ A ∈ A với mọi A ∈ A.
Các lớp A = {∅, X} và A = P(X) là những σ -đại số. Nếu X là một tập
vô hạn thì họ A gồm các tập con A là không quá đếm được hoặc Ac là không
quá đếm được cũng là một σ -đại số.
Nhận xét 1.1.4.
i) Nếu A là một σ -đại số trên X thì A là một đại số trên X .

∞

An ∈ A.

ii) Giả sử A là một σ -đại số trên X . Lúc đó, nếu (An )n ⊂ A thì
n=1

Định lí 1.1.5. Cho A ⊂ P(X) là một lớp khác rỗng. Lúc đó, tồn tại duy
nhất một σ -đại số F(A) chứa A và chứa trong mọi σ -đại số chứa A, σ -đại
số F(A) được gọi là σ -đại số sinh bởi A.
1.1.3

σ-đại số Borel

Định nghĩa 1.1.6. Cho X là một không gian tôpô. Lúc đó, σ -đại số sinh ra
bởi họ các tập mở của X được gọi là σ -đại số Borel trên X , ký hiệu là BX
hoặc B(X) hoặc đơn giản hơn là B . Mỗi phần tử của B(X) được gọi là một
tập Borel.
Nhận xét 1.1.7.
i) Các tập mở, tập đóng là các tập Borel;
∞

ii) Nếu An , n = 1, 2, ... là các tập Borel thì

∞

An ,
n=1

An theo thứ tự là các

n=1

tập kiểu Fδ , Gσ cũng là những tập Borel;
iii) Giả sử X là một không gian tôpô. Lúc đó, σ -đại số Borel trên X cũng
là σ -đại số sinh bởi lớp các tập đóng.
1.1.4

Độ đo trên một đại số tập hợp

Định nghĩa 1.1.8. Cho A ⊂ P(X) là một lớp không rỗng. Một ánh xạ

f : A → R được gọi là một hàm tập.
6


Hàm tập f gọi là cộng tính nếu với bất kỳ n phần tử A1 , A2 , ..., An của A,
n

∈ A thì

rời nhau đôi một và
i=1

n

n

f (Ai ).

Ai ) =


f(

i=1

i=1

Hàm tập f gọi là σ - cộng tính nếu với bất kỳ dãy (An )n ⊂ A sao cho
∞

∈ A thì

các An rời nhau đôi một và
n=1
∞

∞

f(

An ) =

n=1

f (An ).
n=1

Định nghĩa 1.1.9. Giả sử A là một đại số trên X . Một hàm tập µ : A → R
được gọi là một độ đo nếu:
i) µ(A) ≥ 0 với mọi A ∈ A;

ii) µ(∅) = 0;
iii) µ là σ -cộng tính, tức là, với bất kỳ dãy (An )n ⊂ A sao cho các An là rời
∞

∈ A thì

nhau đôi một và
n=1

∞

µ(

∞

An ) =

n=1

1.2

µ(An ).
n=1

Hàm đo được
Mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản về hàm

đo được, Định lí Egorov và Định lí Lusin. Những kết quả ở đây được tham
khảo từ tài liệu [1].
Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một tập khác rỗng, một cặp (X, A) với A là

một σ -đại số trên X gọi là một không gian đo được và mỗi phần tử của A
là một tập đo được.
Cho A ∈ A và f : A → R. Hàm f được gọi là đo được trên A đối với
7


σ -đại số A nếu với mỗi a ∈ R, tập
{x ∈ A : f (x) > a}
là đo được.
Nếu trên A có một độ đo µ thì ta cũng bảo rằng hàm f là đo được đối
với µ. Nếu X = Rk và A là σ -đại số các tập Lebesgue đo được của Rk thì
ta bảo f là Lebesgue đo được trên A. Đặc biệt, nếu A là σ -đại số Borel trên
Rk thì hàm f được gọi là Borel đo được trên A hay f là một hàm Borel.
Để đơn giản, ta sẽ dùng kí hiệu {f > a} hoặc {x ∈ A : f > a} để thay
cho tập {x ∈ A : f (x) > a}.
Tập tất cả các hàm đo được, các hàm đo được không âm lần lượt kí hiệu
là F, F+ .
Mệnh đề 1.2.2. Cho f : A → R. Lúc đó, f là đo được nếu và chỉ nếu nó
thỏa mãn một trong các mệnh đề sau:
i) {x ∈ A : f (x) ≥ a} là đo được với mỗi a ∈ R.
ii) {x ∈ A : f (x) < a} là đo được với mỗi a ∈ R.
iii) {x ∈ A : f (x) ≤ a} là đo được với mỗi a ∈ R.
Hệ quả 1.2.3. Nếu f đo được trên A thì các tập {f = +∞}, {f = −∞},

{a < f ≤ b}, {a ≤ f ≤ b}, {a ≤ f < b}, {a < f < b}, {f = a} là đo được.
Định lí 1.2.4.
1) Nếu f là đo được trên A thì f là đo được trên B với B là tập con đo được
bất kỳ của A.
2) Nếu f là đo được trên A thì các hàm kf với k ∈ R và |f |α với α là số
thực dương, là đo được.

3) Giả sử (An )n là một dãy (hữu hạn hoặc đếm được) những tập đo được.
Nếu hàm f là đo được trên mỗi An thì f sẽ đo được trên

An và trên
n

An .
n

8


Định lí 1.2.5. Cho f : A → R. Lúc đó, các mệnh đề sau là tương đương:
1) f là đo được.
2) f −1 (G) là đo được với mọi tập mở G ⊂ R.
3) f −1 (F ) là đo được với mọi tập đóng F ⊂ R.
4) f −1 (B) là đo được với mọi tập Borel B ⊂ R.
Định lí 1.2.6. Cho f là một hàm xác định trên một tập đo được A và E là
một tập con trù mật của R. Nếu {x ∈ A : f (x) > a} là đo được với mỗi

a ∈ E thì f là đo được.
Định lí 1.2.7. Cho φ : R → R là một hàm liên tục. Giả sử f : A → R là
đo được. Lúc đó, hàm hợp φ ◦ f là đo được trên A.
Định lí 1.2.8.
1) Cho f và g là hai hàm đo được trên A, nhận giá trị hữu hạn. Lúc đó, các
hàm số f + g , f g , min(f, g), max(f, g) là đo được. Nếu thêm giả thiết

g(x) = 0 thì hàm

f

là đo được.
g

2) Giả sử (fn )n là một dãy những hàm thực đo được trên A. Lúc đó, các hàm
số inf fn ; sup fn ; lim inf fn ; lim sup fn là đo được. Nếu lim fn = f thì
n→∞

n→∞

n→∞

f là đo được.
Định nghĩa 1.2.9. (Hàm đơn giản) Cho A ⊂ X . Một hàm số f xác định
trên A được gọi là một hàm đơn giản nếu f là đo được và chỉ nhận một số
hữu hạn những giá trị thực.
Giả sử rằng f (A) = {a1 , a2 , ..., am } ⊂ R. Đặt Ai = {x ∈ A : f (x) = ai }
m

với i = 1, 2, ..., m. Lúc đó, các tập Ai này là rời nhau đôi một và A =

Ai .
i=1

Lưu ý rằng f đo được trên A khi và chỉ khi các tập Ai là đo được. Ta có thể
biểu diễn f thành một tổ hợp tuyến tính
m

f=

ai χAi .

i=1

Biểu diễn này được gọi là dạng chuẩn của hàm đơn giản f .
9


Định lí 1.2.10. Cho f là một hàm đo được trên A. Lúc đó, tồn tại một dãy

(fn )n những hàm đơn giản trên A sao cho lim fn = f.
n→∞

Nếu f ≥ 0 thì ta có thể chọn sao cho 0 ≤ fn ≤ fn+1 với mỗi n ∈ N.
Định lí 1.2.11. (Định lí Egorov) Giả sử µA < +∞. Xét (fn )n là một dãy
những hàm đo được hữu hạn hầu khắp và fn → f hầu khắp trên A. Lúc đó,
với mỗi ε > 0, tồn tại một tập E ⊂ A sao cho µ(A \ E) < ε và fn → f đều
trên E .
Định lí 1.2.12. (Định lí Lusin) Cho A ⊂ Rk là một tập đo được, µA < +∞.
Xét f : A → R là một hàm đo được. Lúc đó, với mỗi ε > 0, tồn tại một tập
đóng F ⊂ A sao cho µ(A \ F ) < ε và thu hẹp f|F của f lên F là liên tục.

1.3

Độ đo mờ

1.3.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.3.1. Cho (X, A) là không gian đo được. Một hàm tập


µ : A → [0, +∞] được gọi là một độ đo mờ nếu thỏa các điều kiện sau:
i) µ(∅) = 0 và µ(X) > 0;
ii) µ(A) ≤ µ(B) với A, B ∈ A và A ⊂ B .
Nếu µ(X) < +∞ thì µ được gọi là độ đo mờ hữu hạn trên (X, A).
Ví dụ 1.
a) Giả sử A = P(X), X = ∅.
Xét hàm tập

µ : A → [0, +∞]

 0 nếu A = ∅
A → µA =
 1 nếu A = ∅
là một độ đo mờ. Thật vậy,
i) µ(∅) = 0 và µ(X) = 1 > 0.
ii) Với mọi A, B ∈ A và A ⊂ B ta có µA ≤ µB .
10

(1.1)


b) Giả sử A = P(X) và a ∈ X .
Xét hàm tập

µ : A → [0, +∞]

 0 nếu a ∈
/A
A → µA =
 1 nếu a ∈ A


(1.2)

là độ đo mờ. Thật vậy,
i) Do a ∈
/ ∅ nên µ(∅) = 0 và a ∈ X nên µ(X) = 1 > 0.
ii) Với mọi A, B ∈ A và A ⊂ B ta có:
+ Nếu a ∈ A và a ∈ B thì µA = µB = 1.
+ Nếu a ∈
/ A và a ∈ B thì µA = 0 và µB = 1.
+ Nếu a ∈
/ A và a ∈
/ B thì µA = µB = 0.
Như vậy, µA ≤ µB .
c) Giả sử A = P(X) và X là tập vô hạn.
Xét hàm tập

µ : A → [0, +∞]

 n nếu A là tập hữu hạn có n phần tử
A → µA =
 +∞ nếu A là tập vô hạn

(1.3)

là độ đo mờ. Thật vậy,
i) µ(∅) = 0, µ(X) = +∞ (do X là tập vô hạn).
ii) Với mọi A, B ∈ A và A ⊂ B :
+ Nếu A, B hữu hạn và do A ⊂ B nên số phần tử của A bé hơn hoặc
bằng số phần tử của B . Do đó µA ≤ µB .

+ Nếu A là tập hữu hạn có n phần tử và B là tập vô hạn thì ta có

µA < µB .
+ Nếu A, B là các tập vô hạn thì µA = µB = +∞.
Như vậy, µA ≤ µB .
Định nghĩa 1.3.2. Cho µ là độ đo mờ hữu hạn trên không gian đo được

11


(X, A). Hàm tập µ : A → [0; +∞] được gọi là độ đo mờ liên hợp của µ nếu:
µ(A) = µ(X) − µ(X \ A), với mọi A ∈ A.
Nhận xét 1.3.3. Cho µ là độ đo mờ hữu hạn trên không gian đo được

(X, A). Khi đó:
i) µ là độ đo mờ hữu hạn.
ii) µ = µ.
Chứng minh.
i) Với mọi A ∈ A, ta có µ(A) = µ(X) − µ(X \ A).
Thay A = X ta có:

µ(X) = µ(X) − µ(∅) = µ(X) < +∞.
Do đó, µ là độ đo hữu hạn trên (X, A).
ii) Với mọi A ∈ A, ta có:

µ(A) = µ(X) − µ(X \ A)
= µ(X) − [µ(X) − µ(X \ (X \ A))]

(1.4)


= µ(X) − µ(X) + µ(A) = µ(A).
Vậy µ = µ.
1.3.2

Tính chất liên tục và không-cộng tính của độ đo mờ

Định nghĩa 1.3.4. Cho µ là độ đo mờ trong không gian đo được (X, A).
Khi đó, µ được gọi là:
i) liên tục dưới (hoặc nửa liên tục dưới) nếu với mọi dãy (An )n ⊂ A và

A ∈ A sao cho An

A thì lim µ(An ) = µ(A);
n→∞

ii) liên tục trên (hoặc nửa liên tục trên) nếu với mọi dãy (An )n ⊂ A và

A ∈ A sao cho tồn tại no ∈ N để µ(Ano ) < ∞ và An
lim µ(An ) = µ(A);

n→∞

iii) liên tục nếu µ liên tục trên và liên tục dưới;
12

A thì


iv) tự liên tục trên nếu với mọi A ∈ A, (An )n ⊂ A và lim µ(An ) = 0 thì
n→∞


lim µ(A ∪ An ) = µ(A);

n→∞

v) tự liên tục dưới nếu với mọi A ∈ A, (An )n ⊂ A và lim µ(An ) = 0 thì
n→∞

lim µ(A \ An ) = µ(A);

n→∞

vi) liên tục thứ tự nếu với mọi (An )n ⊂ A sao cho An

∅ thì

lim µ(An ) = 0;

n→∞

vii) liên tục thứ tự mạnh nếu với mọi A ∈ A, (An )n ⊂ A sao cho An

A

và µ(A) = 0 thì lim µ(An ) = 0;
n→∞

viii) vét cạn nếu với mọi dãy (An )n ⊂ A rời nhau đôi một thì lim µ(An ) = 0.
n→∞


Định nghĩa 1.3.5. Cho µ là độ đo mờ trong không gian đo được (X, A).
Khi đó, µ được gọi là:
i) không-cộng tính nếu

∀A, B ∈ A sao cho µ(B) = 0 thì µ(A ∪ B) = µ(A);
ii) không-cộng tính yếu nếu

∀A, B ∈ A sao cho µ(A) = µ(B) = 0 thì µ(A ∪ B) = 0;
ii) không-cộng tính ngược nếu

∀A, B ∈ A sao cho µ(A) = µ(B) < +∞ và B ⊂ A thì µ(A \ B) = 0.
Định nghĩa 1.3.6. Cho µ là độ đo mờ trong không gian đo được (X, A).
Khi đó, µ được gọi là:
i) có tính chất [S] nếu với mọi dãy (An )n ⊂ A sao cho lim µ(An ) = 0 và
∞

∞

tồn tại dãy con (Ani )i ⊂ (An )n thỏa mãn µ(

n→∞

Ani ) = 0;

k=1 i=k

ii) có tính chất [p.g.p.] nếu các dãy (An )n , (Bn )n ⊂ A sao cho

lim max(µ(An ), µ(Bn )) = 0 thì lim µ(An ∪ Bn ) = 0, hay


n→∞

n→∞

∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀E, F ∈ A thỏa mãn max(µE, µF ) < δ thì
µ(E ∪ F ) < ε.
13


Mệnh đề 1.3.7. Cho µ là độ đo mờ trong không gian đo được (X, A). Lúc
đó, các mệnh đề sau là đúng.
i) Nếu µ tự liên tục trên hoặc tự liên tục dưới thì µ không-cộng tính.
ii) Nếu µ không-cộng tính thì thì µ không-cộng tính yếu.
iii) Nếu µ không-cộng tính và liên tục thứ tự thì µ liên tục thứ tự mạnh.
iv) Nếu µ liên tục thứ tự mạnh thì µ liên tục thứ tự.
v) Nếu µ liên tục thứ tự thì µ vét cạn.
vi) Nếu µ nửa liên tục dưới thì µ liên tục thứ tự khi và chỉ khi µ vét cạn.
vii) Nếu µ có tính chất [p.g.p.] thì µ không-cộng tính yếu.
viii) Nếu µ nửa liên tục dưới và có tính chất [p.g.p.] thì µ có tính chất [S].
ix) Nếu µ liên tục thứ tự mạnh, có tính chất [S] và không-cộng tính yếu thì

µ có tính chất [p.g.p.].
Chứng minh.
i) +) Giả sử µ tự liên tục trên.
Với mọi A, B ∈ A sao cho µB = 0.
Xét dãy (Bn )n với Bn = B, ∀n ∈ N∗ ta có

(Bn )n ⊂ A và lim µ(Bn ) = lim µ(B) = 0.
n→∞


n→∞

Vì µ tự liên tục trên nên lim µ(A ∪ Bn ) = µA hay µ(A ∪ B) = µA.
n→∞

Vậy µ không-cộng tính.
+) Giả sử µ tự liên tục dưới.
Với mọi A, B ∈ A sao cho µB = 0.
Xét dãy (Bn )n với Bn = B, ∀n ∈ N∗ ta có

(Bn )n ⊂ A và lim µ(Bn ) = lim µ(B) = 0.
n→∞

n→∞

Vì µ tự liên tục dưới nên

lim µ(A \ Bn ) = µA hay µ(A \ B) = µA.

n→∞

14


Suy ra

µ((A ∪ B) \ B) = µ(A ∪ B) hay µ(A \ B) = µ(A ∪ B).
Do đó

µ(A ∪ B) = µA.

Vậy, µ không-cộng tính.
ii) Giả sử µ không-cộng tính.
Với mọi A, B ∈ A sao cho µA = µB = 0. Vì µ không-cộng tính nên

µ(A ∪ B) = µA.
Suy ra

µ(A ∪ B) = 0.
Vậy, µ không-cộng tính yếu.
iii) Giả sử µ không-cộng tính và liên tục thứ tự.
Với mọi A ∈ A, (An )n ⊂ A sao cho An
Khi đó, ta có An \ A

A và µA = 0.

∅ và µ liên tục thứ tự nên lim µ(An \ A) = 0.
n→∞

Mặt khác, An \ A, An , A ∈ A, µA = 0 và µ không-cộng tính nên

µ((An \ A) ∪ A) = µ(An \ A) và µ(An ∪ A) = µAn , ∀n ∈ N∗ .
Mặt khác,

µ((An \ A) ∪ A) = µ(An ∪ A) (vì (An \ A) ∪ A = An ∪ A).
Do đó,

µAn = µ(An \ A), ∀n ∈ N∗ .
Suy ra

lim µAn = lim µ(An \ A) = 0.


n→∞

n→∞

Vậy µ liên tục thứ tự mạnh.
iv) Giả sử µ liên tục thứ tự mạnh.
Với mọi dãy (An )n ⊂ A sao cho An

∅. Ta có, µ(∅) = 0 và µ liên tục thứ

tự mạnh nên lim µAn = 0.
n→∞

15


Vậy, µ liên tục thứ tự.
v) Giả sử µ liên tục thứ tự.
Với mọi dãy (An )n ⊂ A rời nhau từng đôi một. Khi đó,
∞

∞

Ai = ∅.
n=1 i=n
∞

n−1


Ai và Dn =

Thật vậy, đặt A =
i=1

Ai .
i=1

Ta có
∞

∞

∞

n=1

n=1

∞

(1.5)

∞

Dnc ) = A ∩ (

=A∩(

(A ∩ Dnc )


(A \ Dn ) =

Ai =
n=1 i=n

∞

n=1

Đặt

Dn )c = A ∩ Ac = ∅.

n=1

∞

Ai với mỗi n ∈ N∗ .

Bn =
i=n

Ta có

∞

... ⊂ Bn ⊂ ... ⊂ B1 và

∞


∞

Ai = ∅.

Bn =
n=1

n=1 i=n

Do đó

∅.

Bn

∞

Mặt khác, µ liên tục thứ tự nên lim µ(Bn ) = 0, hay lim µ(
n→∞

n→∞

Ai ) = 0.

i=n

Suy ra

lim µ(An ) = 0.


n→∞

Vậy, µ vét cạn.
vi) Điều kiện cần. Giả sử µ nửa liên tục dưới và µ liên tục thứ tự.
Vì µ liên tục thứ tự nên theo v), ta có µ vét cạn.
Điều kiện đủ. Giả sử µ vét cạn.
Với mỗi dãy (An )n ⊂ A sao cho An

∅. Vì µ vét cạn nên

ε
∀ε > 0, ∃n◦ ∈ N sao cho µ(An ∆Am ) < , ∀m, n ≥ n◦ .
2
16


Đặc biệt,

ε
µ(An◦ ∆An ) < , ∀n ≥ n◦
2
hay

ε
µ(An◦ \ An ) < , ∀n ≥ n◦ .
2
Ta có

∞


∞

(An◦ \ An ) = An◦ \ (

An◦ \ An

(1.6)

An ) = An◦

n=1

n=1

và µ liên tục dưới nên ∃n1 ∈ N sao cho

ε
µ(An◦ ) − µ(An◦ \ An ) < , ∀n ≥ n1 .
2

(1.7)

Đặt n∗ = max(n◦ , n1 ).
Từ (1.6) và (1.7) ta có µ(An◦ ) < ε, ∀n ≥ n∗ .
Vì An ⊂ An◦ , ∀n ≥ n◦ nên µAn < ε, ∀n ≥ n∗ .
Vậy µ liên tục thứ tự.
vii) Giả sử µ có tính chất [p.g.p.].
Với mọi A, B ∈ A mà µA = µB = 0.
Xét hai dãy:


(An )n với An = A, ∀n ∈ N∗ .
(Bn )n với Bn = B, ∀n ∈ N∗ .
Khi đó, (An )n , (Bn )n ⊂ A và lim max(µAn , µBn ) = 0.
n→∞

Mặt khác, µ có tính chất [p.g.p.] nên lim µ(An ∪ Bn ) = 0.
n→∞

Suy ra

lim µ(A ∪ B) = 0.
Do đó

µ(A ∪ B) = 0.
Vậy µ không-cộng tính yếu.
viii) Để chứng minh tính chất trên trước tiên ta chứng minh nhận xét sau
Nhận xét: “Cho µ là độ đo mờ liên tục dưới và có tính chất [p.g.p.] trên
17


không gian đo được (X, A). Khi đó, tồn tại dãy số thực (δn )n sao cho δn

0

và với mọi dãy (En )n ⊂ A thỏa mãn µEn < δn ta có
∞

Ek ) ≤ δn , n ≥ 1”.


µ(
k=n+1

Thật vậy, µ có tính chất [p.g.p.] nên với ε =

1
1
chọn 0 < δ1 < sao cho
2
2

1
max(µE, µF ) < δ1 thì µ(E ∪ F ) < .
2
1
Với δ1 trên, chọn 0 < δ2 < min( 2 , δ1 ) sao cho max(µE, µF ) < δ2 thì
2
µ(E ∪ F ) < δ1 .
1
Tương tự, với δ2 trên, chọn 0 < δ3 < min( 3 , δ2 ) sao cho max(µE, µF ) < δ3
2
thì µ(E ∪ F ) < δ2 .
Lặp lại quá trình này, ta có thể chọn dãy số thực (δn )n thỏa mãn

0 < δn+1 < min(

1
2n+1

, δn ).


Nếu µEn < δn , n ≥ 1 ta có
n+r

Ek ) < δn với n, r ≥ 1.

µ(
k=n+1
n+r

Ek với n, r ≥ 1. Ta có

Đặt Br =
k=n+1

∞

∞

Br

Br =
r=1

∞

n+r

Ek =
r=1 k=n+1


Ek
k=n+1

và µ liên tục dưới nên
∞

µ(
k=n+1

n+r

Ek ) ≤ δn với mọi n ≥ 1.

Ek ) = lim µ(
r→+∞

k=n+1

Bậy giờ, ta chứng minh tính chất viii).
Vì µ là độ đo mờ liên tục dưới, có tính chất [p.g.p.] và lim µEn = 0, theo
n→∞

nhận xét trên tồn tại dãy con (Eni )i ⊂ (En )n sao cho
∞

1
Eni ) ≤ , ∀k ≥ 1.
k
i=k+1


µ(

18


Suy ra

∞

lim µ(

k→∞

Vì

∞

Eni ) = 0.

i=k
∞

∞

Eni ⊂
nên

∞


Eni
i=k

k=1 i=k
∞

Eni ) = 0.

µ(
k=1 i=k

Vậy µ có tính chất [S].
ix) Giả sử µ không có tính chất [p.g.p.].
Khi đó, tồn tại εo > 0 và hai dãy (An )n và (Bn )n sao cho

lim max(µAn , µBn ) = 0

n→∞

và

µ(Ank ∪ Bnk ) ≥ εo , ∀k ≥ 1.

(1)

Vì lim max(µAn , µBn ) = 0 và µ là độ đo mờ nên
n→∞

lim µAn = 0 và lim µBn = 0.


n→∞

n→∞

Vì µ có tính chất [S] nên tồn tại dãy (Ani )i ⊂ (An )n và (Bni )i ⊂ (Bn )n sao
cho

∞

∞

µ(

∞

∞

Ani ) = 0 và µ(

k=1 i=k

Bni ) = 0.

k=1 i=k

Mặt khác, µ không-cộng tính yếu nên
∞

∞


∞

∞

Ani ∪

µ
k=1 i=k

hay

∞

Bni

=0

k=1 i=k
∞

(Ani ∪ Bni ) = 0.

µ
k=1 i=k

∞

∞

i=k

∞

(Ani ∪ Bni ) = 0.

lim µ

(Ani ∪ Bni ) nên

(Ani ∪ Bni )

Ngoài ra, µ liên tục thứ tự mạnh và

k→∞

∞

i=k

19

k=1 i=k


Mặt khác,

∞

Ani ∪ Bni ⊂

(Ani ∪ Bni )

i=k

nên

∞

lim µ(Ani ∪ Bni ) ≤ lim µ

i→∞

k→∞

(Ani ∪ Bni ) .
i=k

Suy ra

lim µ(Ani ∪ Bni ) = 0, mâu thuẫn với (1).

i→∞

Như vậy, µ có tính chất [p.g.p.].

1.4

Các khái niệm hội tụ cho dãy hàm đo được

Định nghĩa 1.4.1. Cho µ là một độ đo mờ trên không gian đo được (X, A),

A ∈ A và P là một tính chất liên quan đến các phần tử x ∈ A có thể có

hoặc không.
i) Nếu tồn tại một tập E ∈ A sao cho µE = 0 và tính chất P được nghiệm
đúng với mọi x ∈ A \ E thì ta gọi P thỏa mãn hầu khắp nơi trên A.
ii) Nếu tồn tại một tập F ∈ A sao cho µ(A \ F ) = µA và tính chất P được
nghiệm đúng với mọi x ∈ A \ F thì ta gọi P thỏa mãn giả hầu khắp nơi
trên A.
Định nghĩa 1.4.2. Cho f, f1 , f2 , ... : X → R là các hàm thực, khi đó:
i) (fn )n∈N được gọi là hội tụ điểm về hàm f nếu với mỗi x ∈ X thì

lim fn (x) − f (x) = 0,

n→∞

hay

∀x ∈ X, ∀ε > 0, ∃n◦ , ∀n ≥ n◦ : |fn (x) − f (x)| < ε,
kí hiệu là fn → f .
ii) (fn )n∈N được gọi là hội tụ đều về hàm f nếu

lim sup |fn (x) − f (x)| x ∈ X = 0,

n→∞

20


hay

∀ε > 0, ∃n◦ , ∀n ≥ n◦ , ∀x ∈ X : |fn (x) − f (x)| < ε,
kí hiệu là fn ⇒ f .

Trong trường hợp f |A , f1 |A , f2 |A , ... với A ⊂ X thì chúng ta nói rằng (fn )n
hội tụ điểm (tương ứng, hội tụ đều) về f trên A và sử dụng ký hiệu fn → f
trên A (tương ứng, fn ⇒ f trên A).
Định nghĩa 1.4.3. Cho µ là một độ đo mờ trên không gian đo được (X, A)
và f, f1 , f2 , ..., fn là các hàm đo được. Khi đó:
i) (fn )n∈N được gọi là hội tụ hầu khắp nơi về hàm f nếu

∃E ∈ A : µE = 0 và lim fn (x) = f (x), ∀x ∈ X \ E,
n→∞

a.e.

ký hiệu: fn −→ f hoặc fn → f h.k.n.
ii) (fn )n∈N được gọi là hội tụ giả hầu khắp nơi về hàm f nếu

∃F ∈ A : µ(X \ F ) = µX và lim fn (x) = f (x), ∀x ∈ X \ F,
n→∞

p.a.e.

ký hiệu: fn −→ f .
iii) (fn )n∈N được gọi là hội tụ gần đều về hàm f nếu

∀ε > 0, ∃Eε ∈ A : µ(X \ Eε ) < ε và fn ⇒ f trên Eε ,
a.u.

ký hiệu: fn −→ f .
iv) (fn )n∈N được gọi là hội tụ giả gần đều về hàm f nếu

∃(Fk )k ⊂ A : lim µ(X\Fk ) = µX và ∀ k ∈ N ta có fn ⇒ f trên X\Fk ,

k→∞

p.a.u.

ký hiệu: fn −→ f .
v) (fn )n∈N được gọi là hội tụ theo độ đo mờ µ về hàm f nếu

∀α > 0 : lim µ({x ∈ X : |fn (x) − f (x)| ≥ α}) = 0,
n→∞

µ

ký hiệu: fn −→ f .
21