BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN VĂN BẠO

MỘT SỐ DẠNG THỨC CỦA ĐỊNH LÍ PALEYWIENER

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. LÊ VIẾT NGƯ

Huế, Năm 2016


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu
ghi trong Luận văn là trung thực.

Nguyễn Văn Bạo

ii


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu, xin gửi đến PGS.TS. Lê Viết Ngư lời cảm ơn sâu sắc về sự tận tình
giúp đỡ của thầy đối với tôi trong suốt quá trình Thầy giảng dạy tại lớp Cao học
K23 và nhất là trong quá trình tôi hoàn thành Luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy, cô khoa Toán của Trường
Đại học Sư phạm Huế đã tận tình giảng dạy và truyền đạt những kiến thức bổ
ích trong suốt khóa học tại Trường Đại học Sư phạm Huế.
Chân thành cảm ơn các Anh, Chị học viên Cao học khóa 23, đặc biệt là các
Anh, Chị chuyên ngành Toán giải tích và cũng như tất cả bạn bè của tôi đã luôn
hỗ trợ tôi suốt quá trình tôi học tập.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn Bố, Mẹ và toàn thể gia đình tôi-những người đã
động viên tôi rất nhiều và cũng là động lực giúp tôi hoàn thành Luận văn này.
Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng Luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu
sót. Tôi rất mong các thầy cô giáo cùng các bạn đánh giá, góp ý để Luận văn
được hoàn chỉnh hơn.

Nguyễn Văn Bạo

iii


Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn


iii

Mục lục

1

Lời mở đầu

2

1 Các kiến thức liên quan
1.1 Không gian hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian hàm cơ bản D(Ω) . . . . . . . . .
1.1.2 Không gian hàm suy rộng D (Ω) . . . . . . .
1.1.3 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn )

1.2

.
.
.
.

.
.
.
.

. . . . . .

. . . . . .
các hàm
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .

.
.
.
.

4
4
4
5
7

. . . . . .
. . . . . .
suy rộng
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .

10
13
16
16
19
20


.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

1.1.4
1.1.5
Phép
1.2.1

1.2.2
1.2.3

Đạo hàm của hàm suy rộng . . . . . .
Tích chập của hàm suy rộng . . . . . .
biến đổi Fourier trong không gian
Biến đổi Fourier trong S(Rn ) . . .
Biến đổi Fourier trong S (Rn ) . . . . .
Biến đổi Fourier của tích chập . . . .

1.2.4
1.2.5

Các định lý Paley-Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Định lý Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Các định lý Paley- Wiener thực
24
2.1 Định lý Paley-Wiener cho các hàm Schawrtz . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Hàm suy rộng điều hòa dạng tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Các định lý Paley- Wiener phức
35
3.1 Định lý Paley-Wiener phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Mở rộng của hàm nguyên trên Cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Kết luận
41
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1



LỜI MỞ ĐẦU
Hàm suy rộng xuất hiện lần đầu trong thập kỷ thứ hai của thế kỷ 20
trong các công trình của P.A.M Dirac về cơ học lượng tử. Lý thuyết toán học của
hàm suy rộng được S.L.Sobolev đặt cơ sở để giải bài toán Cauchy cho phương
trình hypebolic(1936) và đến năm 1945 L.Schwartz đã xây dựng một cách hệ
thống cho lý thuyết hàm suy rộng. Ngày nay, lý thuyết hàm suy rộng đã đạt
được những thành tựu to lớn và trở thành công cụ đắc lực cho các nhà vật lý và
toán học, góp phần mở rộng khả năng phân tích toán học cổ điển. Hiện nay các
nhà toán học đang rất quan tâm đến việc nghiên cứu đầy đủ hơn về hàm suy
rộng và những ứng dụng của nó. Đặc biệt là ứng dụng của định lý Paley-Wiener
để khảo sát các tính chất cũng như đặc trưng của không gian hàm C m+α (T) và
không gian Sobolev H m (R) = Wl,2 (R).
Phép biến đổi Fourier ra đời vào năm 1807, là một trong lớp những phép biến
đổi tích phân rộng rãi nhất. Joseph Fourier (1768-1830) là một nhà toán học và
vật lý người Pháp, Ông được biết đến với thiết lập chuỗi Fourier và những ứng
dụng trong nhiệt học. Điều này là một minh chứng cho sự gắn kết giữa phép
biến đổi Fourier với những ngành khoa học khác ngay từ thửa ban đầu. Nghiên
cứu các tính chất của hàm số thông qua ảnh Fourier, mà trường hợp riêng là
qua giá của ảnh Fourier (gọi là phổ), là vấn đề luôn được các nhà toán học quan
tâm bởi lẽ phép biến đổi Fourier là một trong những công cụ mạnh nhất để giải
quyết nhiều vấn đề khó trong giải tích hàm, phương trình đạo hàm riêng, lý
thuyết hàm suy rộng...Có thể kể đến nhiều công trình nghiên cứu trong lĩnh vực
này của các nhà toán học lớn như S.N Bernstein, L. Schwartz, E. Stein...Khi
nghiên cứu về tính chất của hàm số thông qua giới hạn của ảnh Fourier thì một
bài toán lớn được đặt ra là điều kiện cần và đủ đối với hàm số đó để ảnh Fourier
là hàm suy rộng có giá chứa trong tập K cho trước. Bài toán này được rất nhiều
nhà toán học quan tâm, trong đó R. Paley, N. Wiener, L. Schwartz, E.M. Stein
... Và được trả lời bởi R. Paley và N. Wiener. Cụ thể là từ năm 1934, R. Paley,
N. Wiener đã tìm được điều kiện cần và đủ để một hàm nguyên dạng mũ có ảnh
Fourier là một hàm số thuộc L2 (R) với giá nằm trong đoạn [-a, a].

Định lý Paley -Wiener được nhiều nhà toán học phát triển cho một số phép
biến đổi tích phân khác như phép biến đổi Mellin, phép biến đổi Hankel... Bắt
đầu với định lý Paley-Wiener gốc nó mô tả biến đổi Fourier của hàm thuộc L2

2


trên đường thẳng thực với giá trong một khoảng đối xứng. Vì các hàm nguyên
kiểu mũ có hạn chế của nó trên đường thẳng thực là các hàm thuộc L2 . Những
kết quả như vậy đã được chứng minh trên nhiều công trình khác nhau. Từ năm
2000 trở đi các phương pháp của Hà Huy Bảng, Vũ Kim Tuấn, N.B. Andersen,
M. de Jeu... với hướng tiếp cận đơn giản được dùng để tìm các định lý loại
Paley-Wiener thực cho một số phép biến đổi tích phân .
Vì vai trò quan trọng của nó nên hiện nay vẫn đang được nhiều nhà toán học
quan tâm nghiên cứu. Việc tìm hiểu các kết quả nghiên cứu này giúp chúng ta
hiểu rõ hơn về Định lý Paley -Wiener. Chính vì vậy chúng tôi chọn đề tài này
làm đề tài luận văn thạc sĩ chuyên ngành Giải tích của mình.
Nội dung của luận văn gồm 3 chương:
+ Chương 1: Trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian
các hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier của hàm suy rộng.
+ Chương 2: Đề cập đến mối quan hệ giữa dáng điệu tăng của dãy {P (∂)n f }∞
n=0
d
trên R và supremum của |P (iλ)| trên giá của Ff .
+ Chương 3: Là các định lý Paley-Wiener phức và mở rộng của hàm nguyên
trên Cd .
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng những thiếu sót là khó tránh khỏi nên chúng
tôi mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện hơn.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô và các bạn đã góp ý và quan tâm đến
luận văn này.


3


CHƯƠNG 1
Các kiến thức liên quan
Trong chương này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không
gian các hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier của hàm suy rộng để làm cơ sở
cho việc nghiên cứu các phần tiếp theo của luận văn.

1.1

Không gian hàm suy rộng

1.1.1

Không gian hàm cơ bản D(Ω)

Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là tập mở trong Rn , không gian các hàm cơ bản D(Ω)
là không gian gồm các hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕj }∞
j=1 là
dãy trong C0∞ (Ω) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) nếu:
a. Có một tập compact K ⊂ Ω mà suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, ...
b. lim supx∈Ω | Dα ϕj (x) − Dα ϕ(x) |= 0, ∀α ∈ Zn+ . Trong đó, suppϕ là giá của
j→∞

hàm ϕ,
suppϕ = {x ∈ Ω|ϕ(x) = 0}.
C0∞ (Ω) gồm các hàm khả vi liên tục vô hạn có giá compact.
α


Dα U = D1α1 D2α2 ...Dnαn , Dj j =

∂ αj
, j = 1, 2, ..., α = (α1 , α2 , ..., αn ) ∈ Zn+
∂xj αj

Kí hiệu ϕ = D− lim ϕj .
j→∞

Rõ ràng nếu Ω1 ⊂ Ω2 thì D(Ω1 ) ⊂ D(Ω2 ).
Ví dụ 1.1.1. Hàm cơ bản trong Rn .

1
Ce− 1− x 2

x <1

ϕ(x) =

.
x ≥1

0
4


Nhận xét 1.1.1.
1. Nếu ϕ = D− lim ϕj thì suppϕ ⊂ K.
j→∞


2. Khái niệm hội tụ trên D(Ω) là tương thích với cấu trúc tuyến tính trên
D(Ω), nghĩa là, nếu: λ, µ ∈ C, ϕk , ψk , ϕ, ψ ∈ D(Ω), k = 1, 2, ... và D− lim ϕk =
k→∞

ϕ, D− lim ψk = ψ thì D− lim (λϕk + µψk ) = λϕ + µψ.
k→∞

k→∞

3. Hơn thế, ta còn có thể chứng minh nếu ∅ ∈ C ∞ (Ω), và ϕ = D− lim ϕj thì
j→∞
∅ϕ = D− lim ∅ϕj .
j→∞

Định nghĩa 1.1.2. Dãy {ϕj }∞
j=1 được gọi là một dãy cauchy trong D(Ω) nếu:
i) Có một tập compact K ⊂ Rn mà suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, ...
ii) lim supx∈K | Dα ϕj (x) − Dα ϕk (x) |= 0, ∀α ∈ Zn+ .
j,k→∞

Cho ϕk ∈ D(Ω), k = 1, 2, ... chuỗi hình thức ∞
k=1 ϕk được gọi là hội tụ trong
k
D(Ω) nếu dãy các tổng riêng { j=1 ϕj }∞
k=1 . hội tụ trong D(Ω).
Mệnh đề 1.1.1. ([3], MĐ. 1.4) Không gian D(Ω) là đầy đủ.

1.1.2


Không gian hàm suy rộng D (Ω)

Định nghĩa 1.1.3. Ta nói f là một hàm suy rộng trong Ω nếu f là một phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω) . Tập hợp tất cả các hàm suy rộng trong Ω
lập thành không gian các hàm suy rộng D (Ω).
Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là f, ϕ .
Ví dụ 1.1.2.
1. Mỗi f ∈ L1loc (Ω) được coi là một hàm suy rộng.
2. Hàm Dirac: δ : ϕ → δ, ϕ = ϕ(0), ϕ ∈ D(Ω). là một hàm suy rộng
Nhận xét 1.1.2.
1. Một hàm suy rộng f là một phiếm hàm trên D(Ω) tức là mỗi ϕ ∈ D(Ω) đặt
tương ứng với một số thực f, ϕ .
2. Hàm suy rộng f là một phiếm hàm tuyến tính trên D(Ω),nghĩa là với ϕ, ψ
thuộc vào D(Ω); λ, µ là các số phức thì:
f, λϕ + µψ = λ f, ϕ + µ f, ψ .
5


3. Hàm suy rộng f là một phiếm hàm liên tục trên D(Ω) nếu ϕk → ϕ khi
k → ∞ trong D(Ω) thì f, ϕk → f, ϕ khi k → ∞. Hai hàm suy rộng
f, g ∈ D (Ω) được gọi là bằng nhau nếu:
f, ϕ = g, ϕ , ∀ϕ ∈ D(Ω).

4. Số 0 là hàm suy rộng xác định như sau:
0, ϕ = 0, ∀ϕ ∈ D(Ω).

5. Hàm suy rộng f = 0 tại x nghĩa là với mọi lân cận mở U ⊂ Ω của x đều có
một hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) mà f, ϕ = 0.
Định nghĩa 1.1.4. Cho fk , f ∈ D (Ω), k = 1, 2, ... ta nói dãy {fk }∞
k=1 hội tụ đến

f trong D (Ω) khi k tiến ra vô cùng nếu:
lim fk , ϕ = f, ϕ , ∀ϕ ∈ D(Ω).

k→∞

Khi đó: D − lim fk = f .
k→∞

Nhận xét 1.1.3.
Với λ, µ ∈ C, fk , gk , f, g ∈ D (Ω), k = 1, 2, ... và D − lim fk = f ,
k→∞

D − lim gk = g thì
k→∞

D − lim (λfk + µgk ) = λf + µg.
k→∞

Dãy {fk }∞
k=1 được gọi là dãy cauchy trong D (Ω) nếu với mỗi ϕ ∈ D(Ω) dãy
{ f k , ϕ }∞
k=1 là dãy cauchy trong C.
Bổ đề 1.1.1. ([3], BĐ. 1.8) Cho dãy {ϕk }∞
k=1 trong D(Ω) mà D− lim ϕk = 0 và
k→∞

{fk }∞
k=1 là dãy cauchy trong D (Ω) . khi đó:
lim fk , ϕk = 0.


k→∞

Định lý 1.1.1. ([3], ĐL. 1.7) Không gian D (Ω) là không gian đủ.
Chứng minh. Lấy {fk }∞
k=1 là dãy cauchy trong D (Ω). Ta phải chứng minh có
một hàm suy rộng f ∈ D (Ω) mà f = D − lim fk .
k→∞

∞
Do {fk }∞
k=1 là dãy cauchy trong D (Ω) nên với mỗi ϕ ∈ D(Ω) dãy { fk , ϕ }k=1
là dãy cauchy trong C. Do đó tồn tại một phần tử kí hiệu : f, ϕ ∈ C mà:

lim fk , ϕ = f, ϕ .

k→∞

6


Rõ ràng, kí hiệu : f : ϕ → f, ϕ là phiếm hàm tuyến tính từ D(Ω) vào C.
Ta sẽ chứng minh f là liên tục. Khi đó :f = D − lim fk .
k→∞

Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử có một dãy {ϕk }∞
k=1 trong D(Ω) mà
D− lim ϕk = 0, nhưng f, ϕk
0 khi k → ∞, nghĩa là có một số c>0 và một
k→∞


dãy con, để đơn giản kí hiệu ta có thể giả sử :
| f, ϕk | = lim | fl , ϕk | > c, k = 1, 2, ...
l→∞

Do đó, với mỗi k có một số lk sao cho: | flk , ϕk | > c. Đặt fk = flk có:
i) {fk }∞
k=1 là dãy cauchy trong D (Ω).
ii) D− lim ϕk = 0.
k→∞
iii) | fk , ϕk | > c, k = 1, 2, ...
Mà theo bổ đề 1.1.1 ta có lim | fk , ϕk | = 0 nên xảy ra điều mâu thuẫn. Do đó,
k→∞

điều giả sử sai hay f liên tục.

1.1.3

Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn )

Định nghĩa 1.1.5. Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ) là không gian gồm
tất cả các hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn ) mà xα Dβ ϕ(x) bị chặn trong Rn với mọi α, β ∈ Zn+ , x ∈
Rn . Không gian S(Rn ) được trang bị với họ chuẩn:
ϕ

α,β

= supx∈Rn |xα Dβ ϕ(x)|

với α, β ∈ Zn+ trong đó xα = xα1 1 .xα2 2 ...xαnn .
2


Ví dụ 1.1.3. Hàm ϕ(x) = xm e−x thuộc vào S(R) với mọi m ∈ Z+ .
Nhận xét 1.1.4. .
1. Hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn ) là hàm giảm nhanh, nghĩa là với mọi α, β ∈ Z+ có
|xα Dβ ϕ(x)| ≤ Cα,β , ∀x ∈ Rn

khi và chỉ khi:
(a) Với mỗi m ∈ Z+ , β ∈ Zn+ có (1 + x 2 )m |Dβ ϕ(x)| ≤ Cm,β , ∀x ∈ Rn .
(b) Hay với mỗi m ∈ Z+ có (1 + x 2 )m
|Dβ ϕ(x)| ≤ Cm , ∀x ∈ Rn .
|β|≤m

S(Rn )

2. Khái niệm hội tụ trong
là phù hợp với cấu trúc tuyến tính trên S(Rn ),
nghĩa là với mỗi λ, µ ∈ C, ϕk , ψk , ϕ, ψ ∈ S(Rn ), k = 1, 2, ... nếu S− lim ϕk = ϕ,
k→∞

S− lim ψk = ψ thì S− lim (λϕk + µψk ) = λϕ + µψ.
k→∞

k→∞

7


3. Tập C0∞ (Rn ) là trù mật trong S(Rn ).
4. Cho ϕk , ϕ ∈ D(Rn ), k = 1, 2, ... và D− lim ϕk = ϕ thì S− lim ϕk = ϕ. Do đó, ta
có phép nhúng liên tục


D(Rn )

→

k→∞
n
S(R ).

k→∞

Định lý 1.1.2. ([3], ĐL. 1.15) Không gian S(Rn ) là không gian đầy đủ.
Định nghĩa 1.1.6. Cho hàm suy rộng f ∈ D (Rn ). Hàm suy rộng f được gọi là
hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại một số C > 0 và một số tự nhiên m sao
cho:
| f, ϕ | ≤ C supx∈Rn (1 + x 2 )m
|Dα ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ D(R).
|α|≤m

Tập hợp tất cả các hàm suy rộng tăng chậm là không gian các hàm suy rộng
tăng chậm S (Rn ).
2

2

2

Ví dụ 1.1.4. Trên R, f (x) = Dcos(ex ) = −2xex sin(ex ) là hàm suy rộng tăng
chậm.
Định lý 1.1.3. ([3], ĐL. 1.16)

a. Cho hàm suy rộng tăng chậm f ∈ S (Rn ). Khi đó ta có thể thác triển f thành
phiếm hàm tuyến tính liên tục từ S(Rn ) vào C.
b. Với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f : S(Rn ) → C đều có thu hẹp trên
D(Rn ) là một hàm suy rộng tăng chậm.
Định nghĩa 1.1.7. Cho fk , f ∈ S (Rn ), k = 1, 2, ... ta nói dãy {fk }∞
k=1 hội tụ đến
n
f trong S (R ) khi k tiến ra vô cùng nếu:
a. Có một số tự nhiên m và một số C >0 sao cho:
|Dα ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ).

| fk , ϕ | ≤ C supx∈Rn (1 + x 2 )m
|α|≤m

n
b. Dãy {fk }∞
k=1 hội tụ đến f trong D (R ). Khi đó:

S− lim fk = f.
k→∞

Định nghĩa 1.1.8. Cho K ⊂ Ω, f ∈ D (Ω). Ta nói hàm suy rộng f có cấp hữu
hạn trên K nếu có một số nguyên không âm k và một số dương C sao cho
supx∈K |Dα ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω), suppϕ ⊂ K.

| fk , ϕ | ≤ C
|x|≤K

8


(1.1)


Số nguyên không âm k nhỏ nhất trong các số nguyên không âm mà ta có
trong bất đẳng thức (1.1) được gọi là cấp của hàm suy rộng f trên K.
Nếu không có một số nguyên không âm k nào để có (1.1) với số dương C nào
đó, thì ta nói rằng, hàm suy rộng f có cấp vô hạn trên tập K .
Ví dụ 1.1.5. Mọi hàm suy rộng f ∈ L1 (Ω) đều có cấp 0.
Nhận xét 1.1.5.
Với λ, µ ∈ C, fk , gk , f, g ∈ S (Rn ), k = 1, 2, ... và
S− lim fk = f, S− lim gk = g thì:
k→∞

k→∞

S− lim (λfk + µgk ) = λf + µg.
k→∞

Định nghĩa 1.1.9. Không gian tôpô đối ngẫu S của không gian Schwartz S
được gọi là không gian của những hàm suy rộng điều hòa.
Bổ đề 1.1.2. ([3], BĐ. 1.19)
Cho fk : S(Rn ) → C, k = 1, 2, ... là các phiếm hàm tuyến tính liên tục sao cho dãy
n
∞
n
{ f k , ϕ }∞
k=1 là dãy cauchy trong C, với mỗi ϕ ∈ S(R ), dãy {ϕk }k=1 trong S(R )

sao cho: S− lim ϕk = 0, khi đó:
k→∞


lim fk , ϕk = 0.

k→∞

Định lý 1.1.4. ([3], ĐL. 1.17) Không gian S (Rn ) là không gian đầy đủ.
n
Chứng minh. Lấy { fk }∞
k=1 là dãy cauchy trong S (R ) nghĩa là:
i. Có một số tự nhiên m và một số dương C sao cho:
|Dα ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ), k = 1, 2, ....
| fk , ϕ | ≤ C supx∈Rn (1 + x 2 )m
|α|≤m

{fk }∞
k=1

ii. Dãy
là cauchy trong D (Rn ).
Do D (Rn ) là không gian đầy đủ nên có một hàm suy rộng f ∈ D (Rn ) sao cho :
D− lim fk = f.
k→∞

Ta chỉ còn phải chứng minh f ∈ S (Rn ) hay có một số tự nhiên m và một số
dương C sao cho:
|Dα ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ).

| f, ϕ | ≤ C supx∈Rn (1 + x 2 )m
|α|≤m


Thật vậy, do với mỗi ϕ ∈ C0∞ (Rn ) có lim fk , ϕ = f, ϕ và:
k→∞

|Dα ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ), k = 1, 2, ...

| fk , ϕ | ≤ C supx∈Rn (1 + x 2 )m
|α|≤m

9


nên:
|Dα ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ).

| f, ϕ | ≤ C supx∈Rn (1 + x 2 )m
|α|≤m

Định lý 1.1.5. ([3], ĐL. 1.18) Cho fk ∈ S (Rn ), k = 1, 2, ... Khi đó,{fk }∞
k=1 là
n
n
dãy Cauchy trong S (R ) khi và chỉ khi với mỗi ϕ ∈ S(R ), dãy { fk , ϕ }∞
k=1 là
dãy Cauchy trong C.

1.1.4

Đạo hàm của hàm suy rộng

Định nghĩa 1.1.10. Đạo hàm suy rộng cấp α ∈ Nn của hàm suy rộng f, kí hiệu

là Dα f, là một hàm số cho bởi
Dα f : D(Ω)

ϕ −→ Dα f, ϕ := (−1)|α| f, ∂ α ϕ ∈ K.

Trong đó Dα f, ϕ là tác động của hàm Dα f lên hàm ϕ ∈ D(Ω).
Nếu α ∈ N thì ta kí hiệu Dα f = f (α) .
Mệnh đề 1.1.2. ([3], mục 1.2.3). Đạo hàm suy rộng Dα f cấp α của hàm suy
rộng f là một hàm suy rộng, nghĩa là hàm số
Dα f : D(Ω)

ϕ −→ Dα f, ϕ := (−1)|α| f, ∂ α ϕ ∈ K.

là một phiến hàm tuyến tính liên tục.
Mệnh đề 1.1.3. ([11], ĐL 2.7). Cho dãy (uk )k ⊂ D (Ω) và hàm suy rộng u, v ∈
D (Ω). khi đó:
1. Dα (u + v) = Dα u + Dα v;
2. Dα (av) = aDα u với mọi a ∈ K;
3. Dα+β u = Dα (Dβ u) = Dβ (Dα u);
4. Nếu uk → u trong D (Ω) thì Dα uk → Dα u trong D (Ω).
Định lý 1.1.6. (Công thức Leibniz, [11], ĐL 2.17). Cho hàm suy rộng u ∈ D (Ω)
và f ∈ C ∞ (Ω). Ta có
Dα (f u) =
β≤α

α!
Dβ f Dα−β u.
(α − β)!

10



Ví dụ 1.1.6.
1. Lấy Ω = (0; 2), xét hàm số

u(x) =


x

0
1

1
.

Ta có u là một hàm khả tích trên Ω, có đạo hàm cổ điển trên các khoảng (0; 1)
với (1; 2) với u (x) = 1 với x ∈ (0; 1), và u (x) = 0 với x ∈ (1; 2), nhưng u không có
đạo hàm (cổ điển) tại x = 1, hay nói cách khác u không có đạo hàm trên Ω. Bây
giờ ta sẽ đi tìm đạo hàm suy rộng cấp 1 của u trên Ω. Xét hàm số

v(x) =


1

0

0

1
.

thì v cũng là hàm khả tích trên Ω, với mọi ϕ ∈ C0∞ , ta có
D1 u, ϕ = − u, ϕ
2

=−

u(x).ϕ (x) dx
0
1

=−

2

x.ϕ (x) dx −
0

ϕ (x) dx
1
1

ϕ(x) dx − (ϕ(2) − ϕ(1))

= −(1.ϕ(1) − 0.ϕ(0)) +

0
1

=

ϕ(x) dx
0
1

=

2

v(x).ϕ(x) dx +
0
2

=

v(x).ϕ(x) dx
1

v(x).ϕ(x) dx = v, ϕ ,
0

do đó Dα u = v.
2. Lấy Ω = (0; 2), xét hàm số

u(x) =


x

0
2

1
.

thì u là hàm khả tích trên Ω, và u (x) = 1 với x ∈ (0; 1), và u (x) = 0 với x ∈ (1; 2),
tất nhiên u không có đạo hàm trên Ω. Hơn nữa, không tồn tại đạo hàm suy rộng
cấp 1 của u trên Ω. Thật vậy nếu tồn tại D1 u thì tương tự như ví dụ trên ta có

11


D1 u = v là một hàm khả tích trên Ω và với mọi v ∈ C0∞ (Ω), ta có
2
1

D u, ϕ = −

2

u(x).ϕ (x) dx =
0

Ta có

2

v(x).ϕ(x) dx.
0

2

v(x).ϕ(x) dx = −
0

u(x).ϕ (x) dx.
0
1

=−

2

x.ϕ (x) dx − 2
0

ϕ (x) dx
1

1

=

ϕ (x) dx + ϕ(1).
0

Lấy dãy hàm (ϕk )k ⊂ C0∞ (Ω) thỏa mãn
0 ≤ ϕk ≤ 1, ϕk (1) = 1, ϕk (x) → 0

(x = 1).

Khi đó ta có
2

v(x).ϕk (x) dx −

1 = lim ϕk (1) = lim (
k→∞

1

k→∞

0

ϕk (x) dx, ) = 0
0

mâu thuẫn này chứng tỏ không tồn tại D1 u.
Ví dụ 1.1.7. .
1. Hàm khả vi thông thường: Cho f ∈ C 1 (Ω), khi đó với mọi ϕ ∈ D(Ω), áp dụng
công thức tích phân từng phần ta có
D1 f, ϕ = − f, ϕ

=−

f (x).ϕ (x) dx =
Ω

ϕ(x).f (x) dx = f , ϕ ,
Ω

suy ra D1 f = f = ∂ 1 f. Hơn nữa, nếu f ∈ C k (Ω) thì Dk f = f k = ∂ k f.
2. Hàm Heaviside: Với mọi ϕ ∈ D(R), ta có
+∞

H , ϕ = − H, ϕ

=−

ϕ (x) dx = ϕ(0) = δ, ϕ ,
0

suy ra H = δ.
3. Với mỗi hàm f ∈ C ∞ (R) thì f.H là một hàm khả tích địa phương (H là hàm
Heaviside), và do đó là một hàm suy rộng. Với mỗi ϕ ∈ D(R), ta có
+∞

(f.H) , ϕ = − H, ϕ

=−

f (x).ϕ (x) dx
0

12


+∞

= f (0)ϕ(0) +

f (x)ϕ(x) dx
0

+∞

= f (0) δ, ϕ +

H(x)f (x)ϕ(x) dx = f (0)δ + H.f , ϕ ,

−∞

suy ra (f H) = f (0)δ + f H.

1.1.5

Tích chập của hàm suy rộng

Định nghĩa 1.1.11. Cho f (x) và g(x) là các hàm số xác định trên Rn . Ký hiệu
f (x − y)g(y)dy, với x ∈ Rn .

(f ∗ g)(x) =
Rn
y

Nếu tích phân vế phải tồn tại thì (f ∗ g) (x) là một hàm xác định trên Rn và
được gọi là tích chập của hai hàm f (x) và g(x).
Định lý 1.1.7. nếu f, g ∈ L1 (Rn ) thì f ∗ g tồn tại và f ∗ g ∈ L1 (Rn ), đồng thời
ta có bất đẳng thức
f ∗g

1

≤ f

1

g 1.

Dấu bằng xảy ra nếu f, g ≥ 0, ∀x ∈ Rn .
Chứng minh. + Trước hết ta giả sử f, g ≥ 0. Đặt
f (x − y)g(y)dy, ∀x ∈ Rn .

h(x) = (f ∗ g) (x) =
Rn
y

Ta thấy
h

1

|f ∗ g(x)| dx =

=
Rn

=

f (x − y)g(y)dy)dx

n
Rn
x Ry

(g(y)
Rn
y

(

f (x − y)dx)dy = f

1

g 1.

Rn
x

+ Nếu f, g ∈ L1 (Rn ) thì |f | ∗ |g| tồn tại và |f ∗ g| ≤ |f | ∗ |g|. Hơn thế
|f ∗ g|1 ≤ |f |1 ∗ |g|1 .

Từ định lý trên ta thấy tích chập có tính chất kết hợp.

13


Nhận xét 1.1.6.
Nếu f là hàm số liên tục trên Rn và g là hàm khả tích địa phương có giá
compact thì f ∗ g xác định.
Định nghĩa 1.1.12. (Tích chập của hàm suy rộng thuộc D và D)
Cho f ∈ D (Rn ) và ϕ(x) ∈ D(Rn ) ta xác định tích chập (f ∗ ϕ)(x) là một hàm số
trên Rnx theo công thức
(f ∗ ϕ)(x) = f (y), ϕ(x − y) , ∀x ∈ Rnx .

Chú ý 1.1.1. Với mỗi x cố định thì ϕ(x − y) ∈ D(Rny ).
Định lý 1.1.8. Nếu f ∈ D (Rn ) và ϕ(x) ∈ D(Rn ) thì (f ∗ g)(x) ∈ C ∞ (Rn ) hơn
nữa supp(f ∗ g)⊂suppf +suppg .
Chứng minh. Ta sử dụng kết quả A đóng, B compact thì A + B đóng và nếu
A, B compact thì A + B là compact
Đặt
h(x) = f ∗ g(x) = f (y), ϕ(x − y) .

Nếu {xk } là dãy hội tụ về x thì hiển nhiên h(xk ) = f (y), ϕ(xk − y) hội tụ về
h(x) = f (y), ϕ(x − y) . Hay nói cách khác, h(x) là hàm liên tục.
Kí hiệu, (e1 , e2 , ..., en ) với ei là véc tơ đơn vị trên xi . Xét
lim
l→0

ϕ(x + lei − y) − ϕ(x − y)
h(x + lei )
= lim f (y),
l

l
l→0
=

f (y), lim

=

f (y),

l→0

ϕ(x + lei − y) − ϕ(x − y)
l

∂ϕ(x − y)
∂xi

.

∂h
Điều này chứng tỏ tồn tại đạo hàm riêng ∂x
. Làm tương tự ta chứng minh
i
được rằng h(x) ∈ C ∞ (Rn ). Ta chú ý rằng, với mỗi x cố định, nếu

suppf ∩ supp ϕ(x − y)
hì h(x) = f ∗ g(x) = f (y), ϕ(x − y) = 0. Do đó nếu h(x) = 0 thì tồn tại y ∈suppf
sao cho x − y ∈suppϕ. Hay nói cách khác ta có
supp(f ∗ g) ⊂ suppf +suppg.

14


Hệ quả 1.1.1. Nếu f ∈ D mà suppf compact thì với mọi ϕ ∈ D (Rn ) ta sẽ có
f ∗ g ∈ D (Rn ).
Định nghĩa 1.1.13. (Tích chập của hàm suy rộng)
i) Giả sử f, g ∈ D , suppg compact. Khi đó tích chập f ∗ g là một hàm suy rộng
xác định theo công thức
f ∗ g, ϕ = f, g ∗ ϕ .

ii) Nếu g là hàm suy rộng tùy ý, f là hàm suy rộng có giá compact. Xét α(x) ∈ C0∞
sao cho α(x) = 1, ∀x ∈ suppf . Ta xác định tích chập như sau
f ∗ g, ϕ = f, α(x).f ∗ g(x) .

Định nghĩa 1.1.14. (Đạo hàm của tích chập)
Ta có
∂
(f ∗ g)(x) =
∂xi

f (y),

∂ϕ(x − y)
∂xi

= (f ∗

∂ϕ
)(x).

∂xi

Do đó
Dα (f ∗ g) = f ∗ Dα ϕ

Mặt khác

∂ϕ(x − y)
∂ϕ(x − y)
=−
∂xi
∂yi

Do đó
Dxα (f ∗ g) = f (y), (−1)α Dyα ϕ(x − y) = Dyα f, ϕ(x − y) = Dyα ∗ ϕ.

Vậy ta có
Dα (f ∗ g) = Dα f ∗ ϕ = f ∗ Dα ϕ.

Ta cũng có: Nếu f, g ∈ D , một trong hai hàm đó có giá compact, thì f ∗ g = g ∗ f .
Hơn nữa,
Dα (f ∗ g) = Dα f ∗ g = f ∗ Dα g.

Thật vậy, ta có thể xem suppf hoặc suppg là compact, khi đó Dα (f ∗ g) là một

15


hàm suy rộng. Mặt khác
Dα (f ∗ g), ϕ

=

f ∗ g, (−1)α Dα ϕ

= (−1)α f ∗ g, Dα ϕ
= (−1)α f, g ∗ Dα ϕ
= (−1)α f, Dα (g ∗ ϕ)
=

Dα f, g ∗ ϕ

=

Dα f ∗ g, ϕ

Tương tự ta cũng có
Dα (f ∗ g) = Dα f ∗ g = f ∗ Dα g.

Ví dụ 1.1.8. (Các trường hợp riêng)
1. f ∈ D ta có f ∗ δ = f và δ, ϕ = ϕ(0).
∀ϕ ∈ D(Rn ): δ ∗ ϕ = ϕ(x).
Thật vậy f ∗ δ, ϕ = f, δ ∗ ϕ = f, ϕ .
Tương tự Dα (f ∗ δ) = Dα f ∗ δ = Dα f.
2. P (D) là toán tử vi phân tuyến tính với hệ số hằng k . Giả sử ω(x) là nghiệm cơ
bản của toán tử vi phân P (D)ω = δ . Khi đó nghiệm của phương trình P (D)u = f
được xác định u = f ∗ ω. Thật vậy:
P (D)u = P (D)(f ∗ ω) = (P (D)ω ∗ f ) = δ ∗ f = f.

1.2

Phép biến đổi Fourier trong không gian các
hàm suy rộng

1.2.1

Biến đổi Fourier trong S(Rn )

Định nghĩa 1.2.1. Với ϕ ∈ S(Rn ), biến đổi Fourier của hàm ϕ kí hiệu là: Fϕ
hay ϕ(ξ)
ˆ
được xác định bởi:
ϕ(ξ)
ˆ
=

1
(2π)n

e−i(x,ξ) ϕ(x)dx.
Rn

Biến đổi Fourier ngược của hàm ϕ kí hiệu là: F−1 ϕ hay ϕ(ξ)
ˇ
được xác định bởi:
ϕ(ξ)
ˇ
=

1

(2π)n

ei(x,ξ) ϕ(x)dx.
Rn

16


n

Trong đó :ϕ ∈ S(Rn ), (ξ, x) =

ξj xj , x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn ,

j=1

ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ), dx = dx1 , dx2 , ..., dxn .

Định lý 1.2.1. Phép biến đổi Fourier F là một ánh xạ
F : S(Rn ) → S(Rn )
và
Dj ϕ(x) = ξj ϕ(ξ),
xj ϕ(x) = −Dj ϕ(ξ).

Chứng minh. Lấy ϕ ∈ S(Rn ), ta phải chứng minh ϕ(ξ) ∈ S . Ta có
1
(2π)n

ϕ(ξ)
ˆ

=

e−i(x,ξ) ϕ(x)dx.
Rn

e−i(x,ξ) (−x)α ϕ(x)dx hội tụ đều trong Rn . Do đó, khi lấy đạo hàm tới

Mặt khác
Rn

cấp k ta có
Dα ϕ(ξ)
ˆ
=

1
(2π)n

e−i(x,ξ) (−x)α ϕ(x)dx
Rn

tồn tại. Hơn thế
(−x)α ϕ(x) = Dα ϕ(ξ)
ˆ
và xj ϕ(x) = −Dj ϕ(ξ).
ˆ

Mặt khác từ công thức
Dα ϕ(ξ)
ˆ

=

1
(2π)n

e−i(x,ξ) (−x)α ϕ(x)dx.
Rn

lấy tích phân từng phần |β| lần, chú ý Dk (−x)α ϕ(x) → 0 khi x → 0, ta có
Dα ϕ(ξ)
ˆ
=

1
(2π)n

ξ −β e−i(x,ξ) Dβ (−x)α ϕ(x) dx.
Rn

Từ đó ta suy ra
ξ β Dα ϕ(ξ)
ˆ
=

1
(2π)n

e−i(x,ξ) Dβ (−x)α ϕ(x) dx
Rn

hay ϕ(ξ)
ˆ
∈ S (do ϕ ∈ S ).
Vậy F : S(Rn ) → S(Rn ) là một ánh xạ.
Cho α = 0 ta có
Dβ ϕ(x) = ξ β ϕ(ξ).
ˆ

17


x 2
2

Hệ quả 1.2.1. Nếu ϕ(x) = e−

.Biến đổi Fourier của hàm ϕ(x) là:

ϕ(ξ)
ˆ
=

√

2π

n −1 ξ
2

2

e

.

Nhận xét 1.2.1.
Nếu P (D) là toán tử vi phân với hệ số hằng và xét phương trình vi phân
P (D)ω = f . Lấy biến đổi Fourier cả hai vế, ta có
P (ξ)ˆ
u(ξ) = fˆ(ξ).

Nếu P (ξ) = 0 thì uˆ(ξ) =

fˆ(ξ)
P (ξ)u(ξ)

.

Định lý 1.2.2. Cho ϕ ∈ S(Rn ) và ϕ(ξ)
ˆ
là phép biến đổi Fourier của nó. Khi đó
công thức biến đổi ngược Fourier đúng
ϕ(x) =

1
(2π)n

ei(x,ξ) ϕ(ξ)dξ
ˆ
∈ S.

Rn

Hơn thế, F là một đẳng cấu.
Chứng minh. Ta có nhận xét với ϕ(x), ψ(x) ∈ S(Rn ) thì tích phân
ϕ(y)ψ(ξ)e−i(x−y,ξ) dydξ
Rn Rn

là hội tụ tuyệt đối. Do đó, ta có thể thay đổi thứ tự tích phân trong tích phân
sau


ei(x,ξ) ψ(x)ϕ(x)dx
ˆ
=
Rn

ei(x,ξ) ψ(x) 
Rn

=

e−i(x,ξ) ϕ(y)dy  dx

Rn

e−i(y−x,ξ) ψ(ξ)dξ

ϕ(y)dy
Rn

Rn

ˆ
ψ(y)ϕ(x
+ y)dx.

=
Rn

Thay biến ξ trong biểu thức ψ(ξ) bởi εξ , chú ý
ψ(εξ)e−i(y,ξ) dξ

ˆ
ψ(εξ)
=
Rn

x

ψ(x)e−i(y, ε ) ε−n dx

=
Rn

y

ψ(x)e−i(x, ε ) ε−n dx

=
Rn

= ε−n ψˆ
18

y
.
ε


Khi đó,

Rn

y
ϕ(x + y)dy
ε

ε−n ψˆ

ei(x,ξ) ψ(εξ)ϕ(ξ)dξ
ˆ
=
Rn

ε−n ψˆ (t) ϕ(x + εt)εn dt

=
Rn

ψˆ (t) ϕ(x + εt)dt

=
Rn

với mọi ϕ, ψ ∈ S . Hai vế trên hội tụ đều, cho ε dần tới 0, ta có
ψ (0)

ei(x,ξ) ϕ(ξ)dξ
ˆ
= ϕ(x)

Rn

Chọn ψ(x) = e−

x 2
2

ˆ
ψ(t)dt.

Rn

, ta có
ϕ(x) =

1
(2π)n

ei(x,ξ) ϕ(ξ)dξ.

ˆ
Rn

Mệnh đề 1.2.1. Với mọi ϕ ∈ S(Rn ) ta có:
1. ei(x,h) ϕ(x)(ξ) = ϕ(ξ
ˆ − h), với ξ, h ∈ Rn , ϕ ∈ S(Rn ).
2. ϕ(x
ˆ − h)(ξ) = e−i(h,ξ) ϕ(ξ)
ˆ , với ξ, h ∈ Rn , ϕ ∈ S(Rn ).
3. ϕ(tx)(ξ)
ˆ
= t−n ϕ(
ˆ ξt ), với t > 0, ξ ∈ Rn , ϕ ∈ S(Rn ).
4. ϕ(−ξ)
ˆ
= ϕ(ξ)
ˇ
= ϕ(−x)
ˆ
, với mọi x, ξ ∈ Rn .

1.2.2

Biến đổi Fourier trong S (Rn )

Định nghĩa 1.2.2. Cho ϕ ∈ S (Rn ) . Biến đổi Fourier của hàm suy rộng f kí
hiệu là Ff hay fˆ là hàm suy rộng tăng chậm xác định bởi:
Ff, ϕ = f, Fϕ , ϕ ∈ S(Rn ).

(1.6)

và phép biến đổi ngược kí hiệu là F−1 f hay fˇ được xác định bởi :
fˇ, ϕ = f, ϕˇ , ϕ ∈ S(Rn ).

(1.7)

Sự tương thích với định nghĩa trên L1 (Rn ). Khi đó với mọi ϕ ∈ S (Rn )
F(P (∂)ϕ)(λ) = P (iλ)Fϕ(λ) (λ ∈ R).

(1.8)

Vì vậy
F(f ∗ ϕ) = Ff.Fϕ (f ∈ Lp (Rd ), ϕ) ∈ S(Rd ).
19


Ví dụ 1.2.1. Biến đổi Fourier của hàm Dirac :
n
δˆ = (2π)− 2 .

Mệnh đề 1.2.2. Có:
1. fˆ, fˇ là các ánh xạ liên tục trên S (Rn ).
ˇ

2. f = f = fˇ , f ∈ S (Rn ). Suy ra phép biến đổi F là đẳng cấu tuyến tính liên
tục trên S (Rn ) và ánh xạ ngược là phép biến đổi ngược F−1 .
Mệnh đề 1.2.3. Cho f ∈ S (Rn ), α, β ∈ Zn+ ta có:
Dα f = (ix)α fˆ và (−ix)β f = Dβ fˆ.
Mệnh đề 1.2.4. Với mọi f ∈ S (Rn ) ta có:
1. f (x − h) = e−i(h,ξ) fˆ với ξ, h ∈ Rn .

2. (e−i(x,h) f )(ξ) = fˆ(ξ + h) với ξ, h ∈ Rn .
3. fˇ(x) = fˆ(−x) = f (−ξ).

1.2.3

Biến đổi Fourier của tích chập

Mệnh đề 1.2.5. Với ϕ, ψ ∈ S(Rn ) có:
ˆ
1. ϕ ∗ ψ(ξ) = ϕ(ξ)
ˆ ψ(ξ).
2. ϕ(x)ψ(x)(ξ) =

1
ˆ
ϕ(ξ)
ˆ ∗ ψ(ξ).
(2π)n

Chứng minh. Với ϕ, ψ ∈ Rn . Theo định lý Fubini ta có:

n

(2π)− 2

e−i(x,ξ) (

ϕ(y)ψ(x − y)dy)dx =

Rn

R
n

e−i(y,ξ) ϕ(y)((2π)− 2

=

e−i(x−y),ξ) ψ(x − y)dx)dy,

Rn

n

(2π)− 2

ei(x,ξ) (
Rn

R

ϕ(y)ψ(x − y)dy)dx =
R
n

e−i(y,ξ) ϕ(y)((2π)− 2

=
Rn

ei(x−y),ξ) ψ(x − y)dx)dy.
R

ˆ
Nên ϕ ∗ ψ(ξ) = ϕ(ξ)
ˆ ψ(ξ)
và
ˇˆ
ˆ
(ϕˆ ∗ ψ)(ξ)
= (2π)n ϕˇˆψ(ξ)
= (2π)n ϕψ(ξ).

20


1.2.4

Các định lý Paley-Wiener

Cho ϕ ∈ C0∞ (Rn )suppϕ ⊂ BR (0), biến đổi Fourier Fϕ của hàm ϕ là một hàm
giảm nhanh, do C0∞ (Rn ) ⊂ S(Rn ). Hơn nũa ta còn có thể thác triển Fϕ lên Cn
n

Fϕ : ζ −→ Fϕ(ζ) = (2π)− 2

e−i x,ζ ϕ(x) dx
BR (0)

với x, ζ = nk=1 xk ζk = nk=1 xk ξk + i nk=1 xk ηk = ξk + iηk . Dễ thấy Fϕ(ζ) là

hàm khả vi vô hạn trên Cn , ngoài ra ta có:
n

ζ α Fϕ(ζ) = (2π)− 2

e− x,ζ (−iD)α ϕ(x) dx
||x||

n

= (2π)− 2

e x,η

−i x,ξ

(−iD)α ϕ(x) dx

||x||

nên |ζ α Fϕ(ζ)| ≤ CeR|η| , do đó với mỗi N > 0 đều có một số CN > 0 sao cho
|Fϕ(ζ)| ≤ CN (1 + || ζ ||)−N eR||Fζ|| , ∀ζ ∈ Cn

(4.1)

Tương tự ta có: |Dα Fϕ(ζ)| = |Fxα ϕ(ζ)| ≤ C.R|α| eR||Fζ|| ∀ζ ∈ C nên Fϕ(ξ) là hàm
giải tích tren Cn .
Định lý Paley- Wiener sẽ chứng minh bất đẳng thức (4.1) là điều kiện cần
và dủ để một hàm giải tích trên Cn là biến đổi Fourier của một hàm khả vi vô
hạn có giá compact trên Rn .

Định lý 1.2.3. ([3] ĐL 2.11) Cho ψ : Cn → C là hàm giải tích. Khi đó, điều
n
kiện cần và đủ để có một số R > 0 một hàm ϕ ∈ C∞
0 (R ), suppϕ ⊂ B R (0) sao cho
ψ(ζ) = Fϕ(ζ) là tồn tại số R > 0, với mỗi N > 0 đều có một số CN > 0 sao cho
|ψ(ζ)| ≤ CN (1 + || ζ ||)−N eR||Fζ|| , ∀ζ ∈ Cn

(4.2)

Chứng minh. Điều kiên cần đã được chứng minh ở trên. Ta chỉ còn phải chứng
n

minh điều kiện đủ. Từ bất đẳng thức (4.2) tích phân ϕ(x) = (2π)− 2

ei x,ξ ψ(ξ) dξ
ξ∈Rn

là xác định với mọi x, đồng thời nó là hàm khả vi theo x, do ξ α ei x,ξ ψ(ξ) là hàm
có tích phân trên R hội tụ đều theo x. Với mỗi η ∈ Rn , do hàm e−i x,ξ ψ(ζ) là
hàm giải tích trên Cn nên nó giải tích theo từng biến. Khi đó ta có
n

ϕ(x) = (2π)− 2

ei x,ξ ψ(ξ) dξ
ξ∈Rn

21

n

n
j=2

ei(x1 ζ1 +

= (2π)− 2

xj ξj )

ξ∈Rn
n

ei(x1 ζ1 +x2 ζ2 +

= (2π)− 2

n

ψ(ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) dξ

n
j=3

xj ξ j )

ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 , ..., ξn ) dξ

ξ∈Rn

= (2π)− 2

ei x,ξ+iη ψ(ξ + iη) dξ
ξ∈Rn

vì vậy, từ bất đẳng thức (4.2) ta có được ψ(ξ + iη) ∈ L2 (Rn ), do đó từ ( [3] mệnh
đề 2.9, phần (iii) ) ta cũng có được:
Fϕ(ξ + iη) = (2π)−n

e−i x,ξ+iη

x∈Rn

= (2π)−n

ei x,ζ+iη ψ(ζ + iη) dζ, dx
ζ∈Rn

e−i x,ξ

x∈Rn

ei x,ζ ψ(ζ + iη) dζ, dx
ζ∈Rn

= F(F−1 [ψ(ξ + iη)])(ξ) = ψ(ξ + iη)
(1 + || ξ ||)−n−1 dξ mà

và |ϕ(x)| ≤ Cn eR||η||− x,η

ξ∈Rn

(1 + || ξ ||)−n−1 dξ hội tụ,
ξ∈Rn

và nếu || x || > R, η = 1t x thì limt→0+ eR||η||− x,η = limt→0+ e
n
ϕ(x) = 0, || x || > 0, do đó ϕ ∈ C∞
0 (R ), suppϕ ⊂ B R (0).

1.2.5

(R−||x||)||x||
t

= 0, nên

Định lý Plancherel

Định lý 1.2.4. Phép biến đổi Fourier trong L2 (Rn ) là một toán tử Unitary.
Chứng minh. Gọi L = {f ∈ L1 (Rn ) : fˆ ∈ L1 (Rn )}.
Trước hết ta chứng minh L trù mật trong L1 (Rn ) ∪ Lp (Rn ), 1 ≤ p < ∞ và
g : g ∈ L} = L.
{ˆ

Ta có L ⊂ L∞ (Rn ) ∪ L1 (Rn ) do đó với mỗi f ∈ L ta đều có
|f (x)|p dx ≤ || f ||p−1
∞ || f ||1
En

suy ra L ⊂ Lp (Rn ).
Bây giờ ta xét dãy f ∗ ϕε trong đó ϕε (x) = ε−n ϕ( xε ), ta chứng minh được
f ∗ ϕε ∈ L

và ta có : (f ∗ ϕε )(x) − f (x) =

f (x − t)ϕε (t) dt −
En

f (x)ϕε (t) dt
En

(f (x − t) − f (x))ϕε (t) dt

=
En

suy ra || (f ∗ ϕε )(x) − f (x) ||p = (

|

1

(f (x − t) − f (x))ϕε (t) dt|p dx) p

En En

22