ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGÔ BẢO LONG

MỐI QUAN HỆ GIỮA CHỈ SỐ
CHÍNH QUY VÀ HỆ SỐ HILBERT
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. CAO HUY LINH

Thừa Thiên Huế, năm 2017

i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung
thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được
công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Ngô Bảo Long

ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm
túc của thầy Cao Huy Linh, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy, người
đã chỉ dẫn, động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm
Huế, Phòng Đào tạo Sau đại học - Đại học Huế, quý thầy cô giáo, những
người đã giúp tôi có được kiến thức và tạo điều kiện để tôi có thể hoàn
thành việc học tập và nghiên cứu của mình.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên và giúp đỡ
tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua.
Ngô Bảo Long

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục


1

Lời nói đầu

2

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

4

1.1 Vành các phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Độ sâu và chiều của vành và môđun . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3 Iđêan nguyên sơ và iđêan tham số . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5 Hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđun phân bậc . . . . . . . .

11


1.6 Đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.7 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford . . . . . . . . . . . . . .

16

Chương 2 Mối quan hệ giữa chỉ số chính quy và hệ số Hilbert
2.1 Hàm Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert-Samuel . . . . . . . . . . .

17
17

2.2 Mối quan hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert của môđun
phân bậc liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3 Phần tử lọc chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.4 Chỉ số Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5 Chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết và chỉ số Hilbert . .


22

2.6 Chặn trên cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết theo
hệ số Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Kết luận

33

Tài liệu tham khảo

34
1


LỜI NÓI ĐẦU
Cho (R, m) là vành Noether địa phương chiều d và q là iđêan tham số của
qn /qn+1 gọi là vành phân bậc liên kết của R ứng với

R. Lúc đó, Gq (R) =
n≥0

iđêan q. Kí hiệu λ(_) là độ dài của một R-môđun, hàm Hilbert-Samuel của R
ứng với iđêan q là hàm Hq, R : Z −→ N được xác định bởi

 λ(R/qn ) nếu n > 0
Hq, R (n) =
0

nếu n ≤ 0.
Samuel chứng minh được rằng tồn tại một đa thức Pq, R (x) ∈ Q[x] có bậc d
sao cho Hq, R (n) = Pq, R (n) khi n đủ lớn. Chúng ta luôn viết Pq, R (n) dưới dạng
Pq, R (n) = e0 (q, R)

n+d−1
n+d−2
− e1 (q, R)
+ · · · + (−1)d ed (q, R),
d
d−1

trong đó e0 (q, R), e1 (q, R), . . . , ed (q, R) là các số nguyên, gọi là các hệ số Hilbert
của R ứng với q.
Mục đích chính của luận văn là thiết lập một chặn trên cho chỉ số chính quy
của Gq (R) theo các hệ số Hilbert.
Năm 2003, Rossi - Trung - Valla [13] đã thiết lập một chặn trên cho chỉ số
chính quy của vành phân bậc liên kết ứng với iđêan cực đại theo bậc mở rộng.
Năm 2005, Linh [8] đã mở rộng kết quả này trên lớp các iđêan m-nguyên sơ.
Năm 2006, Linh - Trung [9] đã thiết lập một chặn phổ dụng cho chỉ số chính quy
của vành phân bậc liên kết ứng với iđêan tham số của vành Cohen-Macaulay
suy rộng. Năm 2007, Linh [10] đã đưa ra một chặn trên cho chỉ số chính quy của
vành phân bậc liên kết ứng với iđêan m-nguyên sơ theo bậc lũy linh. Năm 2014,
Brodmann - Linh [4] đã thiết lập chặn cho chỉ số chính quy của vành phân bậc
liên kết ứng với iđêan m-nguyên sơ theo chỉ số quan hệ.
Trong luận văn này, chúng tôi đã thiết lập được một chặn trên cho chỉ số
chính quy của vành phân bậc liên kết ứng với iđêan tham số của vành hầu
Cohen-Macaulay theo hệ số Hilbert e1 (q, R), cụ thể là định lý sau:

2



Định lý 2.6.7. Cho (R, m) là vành hầu Cohen-Macaulay, dimR = d > 0, R/m
vô hạn, q = (x1 , . . . , xd ) là iđêan tham số. Lúc đó, ta có
reg(Gq (R)) ≤ max{−e1 (q, R) − 1, 0}

nếu d = 1,

reg(Gq (R)) ≤ max{(−4e1 (q, R))(d−1)! + e1 (q, R) − 1, 0} nếu d ≥ 2.
Đây là kết quả mới mà chúng tôi đạt được, phương pháp mà chúng tôi sử
dụng là dùng hàm Hilbert để ước lượng chỉ số chính quy. Phương pháp này lần
đầu tiên được đưa ra bởi Rossi - Trung - Valla [13].
Cuối cùng, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi có
sai sót. Chúng tôi rất mong nhận được những góp ý cần thiết của quý thầy cô
và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

3


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong luận văn này, vành được xét luôn là vành giao hoán. Kiến thức được
trình bày trong chương này có thể được tìm thấy ở các tài liệu tham khảo [1],
[3], [5], [11], [14], [16], [17], [19].

1.1

Vành các phân thức

Định nghĩa 1.1.1. Một tập hợp con S của vành R gọi là tập nhân đóng nếu

1 ∈ S và với mọi x, y ∈ S thì xy ∈ S.
Trên tích S × R ta xét quan hệ hai ngôi ∼ xác định bởi: với (s, a), (t, b) ∈
S × R,
(s, a) ∼ (t, b) ⇔ Tồn tại u ∈ S sao cho u(at − sb) = 0.
a
là lớp tương
s
đương của phần tử (s, a) và S −1 R là tập hợp tất cả các lớp tương đương này,
Lúc đó, quan hệ hai ngôi ∼ là một quan hệ tương đương. Kí hiệu

chúng ta có định lý sau:
Định lý 1.1.2. Tập hợp S −1 R là một vành giao hoán với các phép toán được
a b
xác định như sau: với mọi , ∈ S −1 R thì
s t
a
+
s
a
·
s

b
at + bs
=
,
t
st
b
ab

= ·
t
st
4


Vành giao hoán S −1 R được gọi là vành các phân thức của vành R ứng với
tập nhân đóng S.
Ví dụ 1.1.3.
1. Cho R là miền nguyên và S = R \ {0} là một tập nhân đóng. Khi đó S −1 R
là một trường, gọi là trường các phân thức của miền nguyên R.
2. Cho p là một iđêan nguyên tố của R thì tập hợp S = R \ p là một tập
nhân đóng. Lúc này, vành các phân thức S −1 R được kí hiệu là Rp và gọi
là vành địa phương hóa của R tại iđêan p, với iđêan cực đại duy nhất là
a
/ p}.
pRp = { ∈ Rp | a ∈ p, s ∈
s

1.2

Độ sâu và chiều của vành và môđun

Một dãy các iđêan nguyên tố phân biệt của R : p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn gọi là
một dãy nguyên tố có độ dài n. Từ đó, chúng ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.2.1. Chiều Krull (hay gọi đơn giản là chiều) của vành R là cận
trên đúng của độ dài tất cả các dãy nguyên tố của R, kí hiệu dimR. Tức là,
dimR = sup{n | n là độ dài dãy nguyên tố của R}.
Ví dụ 1.2.2. Xét miền nguyên Z, ta có 0 ⊂ pZ (p là một số nguyên tố) là dãy
nguyên tố có độ dài lớn nhất của Z nên dimZ = 1.

Mệnh đề 1.2.3. [14, Hệ quả 5.6.5] Nếu R là vành Noether thì dimR[x1 , . . . , xn ] =
n + dimR. Đặc biệt, nếu k là trường thì dimk[x1 , . . . , xn ] = n.
Tiếp theo, cho vành R và M là R-môđun. Lúc đó,
annR M = {r ∈ R | rx = 0, ∀ x ∈ M } = {r ∈ R | rM = 0}
là một iđêan của R (gọi là linh hóa tử của M ). Chiều của môđun M được định
nghĩa như sau:

5


Định nghĩa 1.2.4. Chiều của R-môđun M là chiều của vành thương R/annR M ,
kí hiệu dimR M hoặc dimM . Tức là,
dimR M = dim(R/annR M ).
Nhận xét 1.2.5.
1. Ta có dimM ≤ dimR.
2. Nếu M là R-môđun trung thành thì annR M = 0 nên dimM = dimR.
3. Với I là iđêan của vành R, xem R/I là R-môđun thì annR (R/I) = I nên
dimR (R/I) = dim(R/I).
Tiếp theo chúng ta trình bày các khái niệm liên quan đến độ sâu của R-môđun
M.
Phần tử r ∈ R gọi là ước của không trên M nếu tồn tại m ∈ M, m = 0 sao
cho rm = 0. Tập tất cả các phần tử của R là ước của không trên M kí hiệu là
ZDVR (M ). Tức là,
ZDVR (M ) = {r ∈ R | ∃ m ∈ M, m = 0 : rm = 0}.
Phần tử r ∈ R gọi là phần tử chính quy trên M (hay M -chính quy) nếu nó
không là ước của không trên M . Nói cách khác, r ∈ R là M -chính quy nếu với
mọi m ∈ M, m = 0 thì rm = 0 hay rm = 0 thì m = 0. Tập tất cả các phần tử
M -chính quy của R kí hiệu là N ZDR (M ). Tức là,
N ZDR (M ) = {r ∈ R | ∀ m ∈ M, m = 0 : rm = 0}.
Một dãy có thứ tự r1 , . . . , rn ∈ R gọi là M -dãy chính quy yếu nếu r1 là M chính quy, r2 là M/(r1 )M -chính quy, . . . , rn là M/(r1 , . . . , rn−1 )M -chính quy.

Định nghĩa 1.2.6. Một dãy có thứ tự r1 , . . . , rn ∈ R gọi là M -dãy chính quy nếu
nó là M -dãy chính quy yếu và M/(r1 , . . . , rn )M = 0 (hay (r1 , . . . , rn )M = M ).
Lúc này, n gọi là độ dài của dãy.
Nhận xét 1.2.7.
6


1. Nếu r1 , . . . , rn là M -dãy chính quy thì r1t1 , . . . , rntn cũng là M -dãy chính
quy, với mọi số nguyên dương t1 , . . . , tn bất kì (xem [11, Định lý 16.1]).
2. Cho I là iđêan của R và r1 , . . . , rn ∈ I là M -dãy chính quy. Lúc đó,
r1 , . . . , rn gọi là M -dãy chính quy cực đại trong I nếu với mọi rn+1 ∈ I thì
r1 , . . . , rn , rn+1 không là M -dãy chính quy. Nói cách khác, mọi phần tử của
I đều là ước của không trên M/(r1 , . . . , rn )M .
3. Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh, I là iđêan của R
sao cho IM = M . Lúc đó, mọi M -dãy chính quy cực đại trong I đều có
cùng độ dài (xem [5, Định lý 1.2.5]).
4. Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh.
Lúc đó, hoán vị của một M -dãy chính quy cũng là một M -dãy chính quy
(xem [5, Mệnh đề 1.1.6]).
Lưu ý rằng với M = 0 thì điều kiện mM = M được thỏa mãn theo bổ đề
Nakayama nên từ nhận xét trên chúng ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.2.8.
1. Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R
sao cho IM = M . Lúc đó, độ sâu của M ứng với iđêan I là độ dài của một
M -dãy chính quy cực đại bất kì trong I, kí hiệu depth(I, M ).
2. Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh.
Lúc đó, depth(m, M ) gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depthM .
Nhận xét 1.2.9. Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M = 0 là R-môđun
hữu hạn sinh.
1. Ta luôn có depthM ≤ dimM (xem [5, Mệnh đề 1.2.12]).

2. Nếu depthM = dimM thì M gọi là môđun Cohen-Macaulay.
Vành R gọi là vành Cohen-Macaulay nếu R là R-môđun Cohen-Macaulay.
(Ngoài ra, nếu M = 0 thì chúng ta cũng gọi M là Cohen-Macaulay).

7


3. Nếu depthM ≥ dimM − 1 thì M gọi là môđun hầu Cohen-Macaulay.
Vành R gọi là vành hầu Cohen-Macaulay nếu R là R-môđun hầu CohenMacaulay.
4. Nếu R là vành Cohen-Macaulay thì R[x1 , . . . , xn ] cũng là vành CohenMacaulay (xem [11, Định lý 17.7]).
5. Cho r1 , . . . , rn ∈ m là M -dãy chính quy. Lúc đó, M là môđun CohenMacaulay nếu và chỉ nếu M/(r1 , . . . , rn )M là môđun Cohen-Macaulay (xem
[11, Định lý 17.3]).

1.3

Iđêan nguyên sơ và iđêan tham số

Cho R là vành và I là iđêan của R. Lúc đó,
√
I = {r ∈ R | ∃ n > 0 : rn ∈ I}
cũng là iđêan của R và gọi là căn của I. Rõ ràng ta luôn có I ⊆

√
I.

Định nghĩa 1.3.1. Cho I là iđêan thực sự của R. Lúc đó, I gọi là iđêan nguyên
sơ nếu với mọi a, b ∈ R mà ab ∈ I và giả sử a ∈
/ I thì tồn tại n > 0 sao cho
√
bn ∈ I (hay b ∈ I).

Chúng ta có mệnh đề sau nói lên mối quan hệ giữa tính cực đại, nguyên tố,
nguyên sơ của một iđêan, cũng như mối quan hệ với căn của chúng.
Mệnh đề 1.3.2.
(i) Nếu I là iđêan nguyên tố thì I là iđêan nguyên sơ.
(ii) Nếu I là iđêan nguyên sơ thì

√

I = p là iđêan nguyên tố nhỏ nhất chứa I,

lúc này I gọi là p-nguyên sơ.
(iii) Nếu

√

I = m là iđêan cực đại thì I là iđêan m-nguyên sơ.

Mệnh đề 1.3.3. Cho (R, m) là vành địa phương và I là iđêan của R.

8


(i) Nếu I là iđêan m-nguyên sơ thì với mọi n > 0, I n cũng là iđêan m-nguyên
sơ.
(ii) Iđêan I là m-nguyên sơ nếu và chỉ nếu tồn tại n > 0 sao cho mn ⊆ I ⊆ m.
Bây giờ, chúng ta định nghĩa thế nào là một iđêan tham số. Cho (R, m) là
vành Noether địa phương có chiều d và I là iđêan m-nguyên sơ, gọi µ(I) là số
phần tử sinh tối tiểu của I. Lúc đó, ta luôn có d ≤ µ(I) (xem [14, Mệnh đề
5.4.1]). Hơn nữa, luôn tồn tại iđêan m-nguyên sơ I sao cho µ(I) = d (xem [11,
Định lý 13.4]). Do đó, ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.3.4. Cho (R, m) là vành Noether địa phương có chiều d, một
iđêan m-nguyên sơ I gọi là iđêan tham số của R nếu µ(I) = d và hệ sinh
{x1 , . . . , xd } của I gọi là hệ tham số của R.
Trong những phần tiếp theo, một iđêan tham số sẽ được kí hiệu là q.

1.4

Vành và môđun phân bậc

Định nghĩa 1.4.1. Vành R gọi là Z-phân bậc nếu tồn tại một họ các nhóm
con đối với phép cộng {Rn }n∈Z của R sao cho:
1. R =

Rn (như các Z-môđun),
n∈Z

2. Rn .Rm ⊆ Rn+m , với mọi m, n ∈ Z.
Nhận xét 1.4.2.
1. Mỗi Rn gọi là thành phần phân bậc thứ n của R.
2. Vành R gọi là N-phân bậc (phân bậc không âm) nếu Rn = 0, với mọi n < 0.
Lúc này chúng ta thường viết R =

Rn .
n≥0

3. Phần tử r ∈ R gọi là phần tử thuần nhất bậc n (degr = n) nếu tồn tại
n ∈ Z sao cho r ∈ Rn . Phần tử 0 là phần tử thuần nhất với bậc tùy ý.

9



4. Với r ∈ R thì có biểu diễn duy nhất r =

rn với rn ∈ Rn và chỉ có hữu
n∈Z

hạn rn = 0. Mỗi rn = 0 gọi là thành phần thuần nhất bậc n (degrn = n)
của r.
5. Một iđêan của R gọi là iđêan thuần nhất nếu nó được sinh bởi các phần
tử thuần nhất.
6. R0 là vành con chứa đơn vị của R và Rn là R0 -môđun, với mọi n ∈ Z.
7. Cho R =

Rn là N-phân bậc. Lúc đó, R+ =

Rn là một iđêan thuần
n>0

n≥0

nhất của R.
Định nghĩa 1.4.3. Cho R là vành phân bậc và M là R-môđun. Ta nói M là
R-môđun phân bậc (hay R-phân bậc) nếu tồn tại họ các nhóm con đối với phép
cộng {Mn }n∈Z của M sao cho:
1. M =

Mn (như các Z-môđun),
n∈Z

2. Rn .Mm ⊆ Mn+m , với mọi m, n ∈ Z.

Nhận xét 1.4.4.
1. Mn là thành phần phân bậc thứ n của M .
2. Phần tử u ∈ M gọi là phần tử thuần nhất bậc n (degu = n) nếu tồn tại
n ∈ Z sao cho u ∈ Mn .
3. Với u ∈ M thì có biểu diễn duy nhất u =

un với un ∈ Rn và chỉ có hữu
n∈Z

hạn un = 0. Mỗi un = 0 gọi là thành phần thuần nhất bậc n (degun = n)
của u.
4. Mn là R0 -môđun, với mọi n ∈ Z.
5. R là R-môđun phân bậc.
6. Với k ∈ Z, đặt M (k)n = Mn+k thì M (k) =

M (k)n cũng là R-môđun
n∈Z

phân bậc, gọi là môđun dịch chuyển của M theo k đơn vị.
10


7. Một môđun con N của M gọi là môđun con phân bậc (hay môđun con
thuần nhất) nếu nó được sinh bởi các phần tử thuần nhất.
Cho M là R-môđun phân bậc và N là một môđun con của M . Với mỗi
n ∈ Z, đặt Nn = N ∩ Mn . Nếu họ các nhóm con {Nn }n∈Z làm cho N trở thành
một R-môđun phân bậc thì N gọi là môđun con phân bậc của M . Hơn nữa, vì
Rn .Nm ⊆ Nn+m nên N phân bậc nếu và chỉ nếu N =

Nn . Do đó, ta có mệnh

n∈Z

đề sau:
Mệnh đề 1.4.5. [16, Mệnh đề 2.1] Cho R là vành phân bậc, M là R-môđun
phân bậc và N là môđun con của M . Lúc đó, các điều sau tương đương:
(i) N là R-môđun phân bậc.
N ∩ Mn .

(ii) N =
n∈Z

(iii) N có một hệ sinh gồm các phần tử thuần nhất.
(iv) Với mỗi u ∈ N thì các thành phần thuần nhất của u cũng thuộc N .
Mệnh đề 1.4.6. Cho R là vành phân bậc, M là R-môđun phân bậc.
(i) Nếu N là môđun con phân bậc của M thì M/N cũng là R-môđun phân
bậc, với (M/N )n = (Mn + N )/N (xem [16, Mệnh đề 2.2]).
(ii) Nếu M là R-môđun Noether (Artin) thì Mn là R0 -môđun Noether (Artin),
với mọi n ∈ Z (xem [16, Bổ đề 4.1]).
(iii) R là Noether nếu và chỉ nếu R0 là Noether và R hữu hạn sinh trên R0 (tức
là R = R0 [x1 , . . . , xr ] với x1 , . . . , xr ∈ R+ ) (xem [16, Định lý 4.1]).

1.5

Hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđun phân
bậc

Trước khi định nghĩa hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđun phân bậc,
chúng ta định nghĩa độ dài của một môđun và nêu ra một số tính chất.
11



Cho R là vành và M là R-môđun khác không. Lúc đó, M gọi là môđun đơn
nếu nó chỉ có hai môđun con là 0 và M .
Một dãy hợp thành của R-môđun M là một dãy tăng của hữu hạn môđun
con phân biệt của M có dạng 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn−1 ⊂ Mn = M sao
cho mỗi môđun thương Mi+1 /Mi là đơn (hay Mi cực đại trong Mi+1 ), với mọi
i = 1, . . . , n − 1. Khi đó n gọi là độ dài của dãy hợp thành. Một R-môđun M
có một dãy hợp thành gọi là môđun có dãy hợp thành.
Hơn nữa, theo định lý Jordan-Holder, nếu M có một dãy hợp thành có độ
dài n thì tất cả các dãy hợp thành của M đều có cùng độ dài n. Do đó, chúng
ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.5.1. Một R-môđun M gọi là có độ dài hữu hạn nếu M có ít nhất
một dãy hợp thành và độ dài n của dãy hợp thành gọi là độ dài của môđun M ,
kí hiệu λR (M ) = n hoặc λ(M ) = n. Nếu M không có dãy hợp thành thì ta nói
M có độ dài vô hạn.
Nhận xét 1.5.2.
1. M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu M là Artin và Noether.
2. Cho (R, m) là vành địa phương và I là iđêan của R. Lúc đó, I là iđêan
m-nguyên sơ nếu và chỉ nếu R-môđun R/I có độ dài hữu hạn (xem [19,
Mệnh đề 1.4]).
3. Từ Mệnh đề 1.3.3(i), nếu I là iđêan m-nguyên sơ thì R-môđun R/I n có độ
dài hữu hạn, với mọi n > 0.
Ngoài ra, chúng ta có tính chất quan trọng nói lên mối quan hệ giữa độ dài
hữu hạn của môđun và dãy khớp như sau:
Mệnh đề 1.5.3. [14, Tính chất cộng tính của độ dài, chương 5, trang 3]
Nếu 0 → M1 → M2 → · · · → Mn → 0 là dãy khớp các R-môđun có độ dài hữu
hạn thì λ(M1 ) − λ(M2 ) + · · · + (−1)n−1 λ(Mn ) = 0.
Định lý sau nói lên mối quan hệ giữa độ dài của một môđun và độ dài các
thành phần phân bậc của nó.
12



Định lý 1.5.4. [16, Định lý 4.2] Cho R là vành phân bậc và M là R-môđun
phân bậc. Lúc đó,
λR (M ) =

λR0 (Mn ).
n∈Z

Từ định lý suy ra rằng, M là R-môđun có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu
mỗi Mn là R0 -môđun có độ dài hữu hạn và chỉ có hữu hạn Mn = 0.
Bây giờ, cho R =

Rn là vành phân bậc, R gọi là vành phân bậc chuẩn
n≥0

nếu R = R0 [x1 , . . . , xr ] với x1 , . . . , xr ∈ R1 , kí hiệu R = R0 [R1 ].
Cho R =

Rn là vành phân bậc và M =
n≥0

Mn là R-môđun phân bậc hữu
n∈Z

hạn sinh. Lúc đó, mỗi thành phần thuần nhất Mn là R0 -môđun hữu hạn sinh.
Hơn nữa, nếu R0 là Artin thì λR0 (Mn ) hữu hạn. Từ đó ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.5.5. Hàm Hilbert của môđun phân bậc M là hàm HM được xác
định bởi:
HM : Z −→ N

n −→ HM (n) = λR0 (Mn ).
Hơn nữa, Hilbert chứng minh được rằng, với R là vành phân bậc chuẩn và
dimM = d > 0 thì tồn tại một đa thức PM (x) ∈ Q[x] có bậc d − 1 sao cho
PM (n) = HM (n) khi n đủ lớn (kí hiệu n
PM (n) = e0 (M )

0) và có dạng:

n+d−1
n+d−2
− e1 (M )
+ · · · + (−1)d−1 ed−1 (M ).
d−1
d−2

Đa thức PM (x) gọi là đa thức Hilbert của M , các số nguyên e0 (M ), . . . , ed−1 (M )
gọi là các hệ số Hilbert của M .
Số bội của M (kí hiệu e(M )) được định nghĩa là e0 (M ) nếu d > 0 và λR (M )
nếu d = 0.

1.6

Đối đồng điều địa phương

Cho I là iđêan của vành R và N là môđun con của R-môđun M . Lúc đó, tập
(N :M I) = {m ∈ M | mI ⊆ N } là một môđun con của M . Từ đó chúng ta có
định nghĩa sau:
13



Định nghĩa 1.6.1. Cho I là iđêan của vành R và M là R-môđun. Lúc đó,
∞
n

(0 :M I n )

ΓI (M ) = {m ∈ M | ∃ n > 0 : mI = 0} =

n=1

là môđun con của M .
Ngoài ra, với f : M −→ N là đồng cấu R-môđun thì f (ΓI (M )) ⊆ ΓI (N ).
Thật vậy, xét m ∈ ΓI (M ), tồn tại n > 0 sao cho mI n = 0, suy ra f (m)I n =
f (mI n ) = f (0) = 0 nên f (m) ∈ ΓI (N ). Do đó, có thể định nghĩa đồng cấu
R-môđun
ΓI (f ) = f |ΓI (M ) : ΓI (M ) −→ ΓI (N )
m −→ ΓI (f )(m) = f (m).
Hơn nữa, ΓI (_) là một hàm tử hiệp biến từ phạm trù các R-môđun vào chính
nó.
Mệnh đề 1.6.2. [17, Mệnh đề 2.1] ΓI (_) là một hàm tử hiệp biến, khớp trái.
Cho M là R-môđun, một dãy khớp các R-môđun có dạng
(E) : 0

✲

M

ε✲

E


d0 ✲

0

E

1

d1 ✲

E

2

d2 ✲

···

gọi là giải thức nội xạ của M nếu E i là nội xạ, với mọi i ∈ Z.
Áp dụng hàm tử ΓI (_) vào giải thức nội xạ trên thu được phức
ΓI (E) : 0

✲

ΓI (E 0 )

ΓI (d0 )

✲


ΓI (E 1 )

ΓI (d1 )

✲

ΓI (E 2 )

ΓI (d2 )

✲

···

Lúc đó, ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.6.3. Môđun đối đồng điều thứ i của phức trên
H i (ΓI (E)) =

KerΓI (di )
, với mọi i ∈ Z
ImΓI (di−1 )

(quy ước di = 0, với mọi i < 0) gọi là đối đồng điều địa phương thứ i của môđun
M với giá là iđêan I, kí hiệu HIi (M ).
Nhận xét 1.6.4.
14


1. HIi (M ) = 0, với mọi i < 0.

2. HI0 (M ) ∼
= ΓI (M ).
3. Nếu M là R-môđun nội xạ thì HIi (M ) = 0, với mọi i > 0.
i
(M ) = HIi (M ), với mọi i ≥ 0 (xem [17, Mệnh đề
4. Nếu R là Noether thì H√
I

2.4]).
Mệnh đề 1.6.5. Cho I là iđêan của vành Noether R và M là R-môđun.
(i) HIi (M ) = 0, với mọi i > dimR (xem [17, Định lý 5.5]).
(ii) HIi (M ) = 0, với mọi i > dimM (xem [17, Hệ quả 5.7]).
Hơn nữa, cho (R, m) là vành Noether địa phương, I là iđêan của R, M là
R-môđun hữu hạn sinh có chiều d. Lúc đó, depth(I, M ) = min{i | HIi (M ) = 0}
i
(xem [17, Chú ý 5]) và dimM = sup{i | Hm
(M ) = 0} (xem [17, Định lý 7.6]).

Do đó, chúng ta có nhận xét sau:
Nhận xét 1.6.6.
i
1. depthM = min{i | Hm
(M ) = 0} = r.
i
2. Hm
(M ) = 0 với mọi i < r và i > d.
r
d
3. Hm
(M ) = 0 và Hm

(M ) = 0.

Ngoài ra, chúng ta có những tính chất khác của đối đồng điều địa phương
được nêu trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.6.7. Cho (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn
sinh có chiều d.
i
(i) M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu Hm
(M ) = 0, với mọi i = d

(xem [3, Hệ quả 6.2.9]).
i
(ii) Hm
(M ) là Artin, với mọi i (xem [17, Mệnh đề 2.6]).
d
(iii) Hm
(M ) không hữu hạn sinh (xem [17, Mệnh đề 9.9]).

15


1.7

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford

Cho R =

Mn là

Rn là vành phân bậc chuẩn, R0 là Artin và M =

n≥0

n∈Z

R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Lúc đó, với R+ =

Rn là iđêan thuần nhất
n>0

của R thì HRi + (M ) là các R-môđun phân bậc. Hơn nữa, chúng ta có định lý sau:
Định lý 1.7.1. [3, Định lý 16.1.5] Cho R =

Rn là vành phân bậc và M =
n≥0

Mn là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh.
n∈Z

(i) Với mọi i ≥ 0 và với mọi n ∈ Z thì HRi + (M )n là các R0 -môđun hữu hạn
sinh.
(ii) Tồn tại r ∈ Z sao cho với mọi i ≥ 0 và với mọi n ≥ r ta có HRi + (M )n = 0.
Từ định lý trên suy ra rằng khi n

0 thì HRi + (M )n = 0. Với mỗi i ≥ 0, đặt

ai (M ) = sup{n ∈ Z | HRi + (M )n = 0}.
Từ đó chúng ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.7.2. Với k ≥ 0, giá trị regk (M ) = max{ai (M ) + i | i ≥ k} gọi là
chỉ số chính quy bậc k của M . Đặc biệt, giá trị reg0 (M ) = max{ai (M )+i | i ≥ 0}
gọi là chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của M , kí hiệu là reg(M ).

Nhận xét 1.7.3.
1. Giá trị reg(M ) ∈ Z ∪ {−∞}.
2. Từ Mệnh đề 1.6.5(ii) suy ra
reg(M ) = max{ai (M ) + i | 0 ≤ i ≤ dimM }.
3. Ta có reg(M ) ≥ reg1 (M ) ≥ . . .
4. Giá trị reg1 (M ) còn được kí hiệu là g-reg(M ) và được gọi là chỉ số chính
quy hình học của M .

16


Chương 2
MỐI QUAN HỆ GIỮA CHỈ SỐ
CHÍNH QUY VÀ HỆ SỐ HILBERT
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm về hệ số HilbertSamuel, phần tử lọc chính quy, chỉ số Hilbert. Cuối chương, chúng tôi trình bày
kết quả về chặn trên cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết ứng với
iđêan tham số.

2.1

Hàm Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert-Samuel

Định nghĩa 2.1.1. Cho (R, m) là vành Noether địa phương, I là iđêan mnguyên sơ, M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều d. Lúc đó, hàm Hilbert-Samuel
của môđun M ứng với iđêan I là hàm HI, M được xác định bởi:
HI, M : Z −→ N

 λ (M/I n M ) nếu n > 0
R
n −→ HI, M (n) =
0

nếu n ≤ 0.
Hơn nữa, Samuel chứng minh được rằng, tồn tại một đa thức PI, M (x) ∈ Q[x]
có bậc d sao cho PI, M (n) = HI, M (n) khi n
PI, M (n) = e0 (I, M )

0 và có dạng:

n+d−1
n+d−2
− e1 (I, M )
+ · · · + (−1)d ed (I, M ).
d
d−1

Đa thức PI, M (x) gọi là đa thức Hilbert-Samuel của M ứng với I, các số
17


nguyên e0 (I, M ), . . . , ed (I, M ) gọi là các hệ số Hilbert-Samuel của M ứng với I,
trong đó e0 (I, M ) gọi là số bội, e1 (I, M ) gọi là hệ số Chern.
Nhận xét 2.1.2. Với R là R-môđun thì hàm Hilbert-Samuel của vành R ứng
với iđêan I là hàm HI, R được xác định bởi:
HI, R : Z −→ N

 λ (R/I n ) nếu n > 0
R
n −→ HI, R (n) =
0
nếu n ≤ 0.


2.2

Mối quan hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ
số Hilbert của môđun phân bậc liên kết

Định nghĩa 2.2.1. Cho (R, m) là vành Noether địa phương, I là iđêan m-nguyên
I n M/I n+1 M =

sơ, M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều d. Lúc đó, GI (M ) =
n≥0
n

GI (M )n (với GI (M )n = I M/I

n+1

M ) gọi là môđun phân bậc liên kết của

n≥0

Gn (với Gn = I n /I n+1 ) gọi là

I n /I n+1 =

M ứng với iđêan I và GI (R) =

n≥0

n≥0


vành phân bậc liên kết của R ứng với iđêan I.
Ngoài ra, với r + I m+1 ∈ I m /I m+1 và x + I n+1 M ∈ I n M/I n+1 M , định nghĩa
phép nhân vô hướng
(r + I m+1 )(x + I n+1 M ) = rx + I m+n+1 M
thì
(I m /I m+1 )(I n M/I n+1 M ) ⊆ I m+n M/I m+n+1 M
nên GI (M ) là GI (R)-môđun phân bậc.
Do đó, hàm Hilbert của môđun phân bậc liên kết GI (M ) là hàm HGI (M )
được xác định bởi:
HGI (M ) : Z −→ N
n −→ HGI (M ) (n) = λG0 (GI (M )n ) = λR/I (I n M/I n+1 M ).

18


Đặc biệt, hàm Hilbert của vành phân bậc liên kết GI (R) là hàm HGI (R) được
xác định bởi:
HGI (R) : Z −→ N
n −→ HGI (R) (n) = λG0 (Gn ) = λR/I (I n /I n+1 ).
Hơn nữa, có thể thay λR/I (_) bởi λR (_) trong các công thức trên (xem [14,
Chương 5, trang 5]) nên để ngắn gọn chúng ta viết λ(_).
Bây giờ chúng ta xét mối quan hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert
của môđun phân bậc liên kết. Trước tiên ta có dimGI (M ) = dimM = d (xem
[5, Định lý 4.5.6]).
Mệnh đề 2.2.2. Cho (R, m) là vành Noether địa phương, I là iđêan m-nguyên
sơ, M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều d. Lúc đó, ei (GI (M )) = ei (I, M ), với
mọi i = 0, 1, . . . , d − 1.
Chứng minh. Xét dãy khớp
0 −→ I n M/I n+1 M −→ M/I n+1 M −→ M/I n M −→ 0,
theo Mệnh đề 1.5.3 ta có

λ(M/I n+1 M ) = λ(M/I n M ) + λ(I n M/I n+1 M ).
Do đó
HGI (M ) (n) = HI, M (n + 1) − HI, M (n).
Vì vậy, khi n

0, ta có
PGI (M ) (n) = PI, M (n + 1) − PI, M (n).

Mặt khác
n+d−1
+ · · · + (−1)d−1 ed−1 (GI (M )),
d−1
n+d
n+d−1
PI, M (n + 1) − PI, M (n) = e0 (I, M )
−
d
d
n+1
n
+ · · · + (−1)d−1 ed−1 (I, M )
−
1
1
n+d−1
= e0 (I, M )
+ · · · + (−1)d−1 ed−1 (I, M ).
d−1
PGI (M ) (n) = e0 (GI (M ))


19


Vậy ei (GI (M )) = ei (I, M ), với mọi i = 0, 1, . . . , d − 1.
Bởi mối quan hệ được nêu trong mệnh đề trên mà chúng ta cũng có thể gọi
hệ số Hilbert-Samuel là hệ số Hilbert.

2.3

Phần tử lọc chính quy

Trong phần này, chúng tôi trình bày mối quan hệ giữa sự tồn tại phần tử
siêu bề mặt của một iđêan và sự tồn tại phần tử lọc chính quy của vành phân
bậc liên kết tương ứng. Mối quan hệ này sẽ được áp dụng trong chứng minh của
những phần tiếp theo.
Định nghĩa 2.3.1. Cho R =

Rn là vành phân bậc với R0 là Artin và
n≥0

Mn là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Lúc đó, z ∈ Rm gọi là phần

M =
n∈Z

tử lọc chính quy của M nếu (0 :M z)n = 0, với mọi n

0.

Định nghĩa 2.3.2. Cho (R, m) là vành địa phương và I là iđêan của R. Lúc đó,

x ∈ I gọi là phần tử siêu bề mặt của I nếu tồn tại c > 0 sao cho (I n : x) ∩ I c =
I n−1 , với mọi n > c.
Một dãy x1 , . . . , xk ∈ I gọi là dãy siêu bề mặt của I nếu x1 là phần tử siêu bề
mặt của I và xi là phần tử siêu bề mặt của I/(x1 , . . . , xi−1 ), với mọi i = 2, . . . , k.
Như đã trình bày ở trên, với (R, m) là vành Noether địa phương và I là iđêan
I n /I n+1 =

m-nguyên sơ thì GI (R) =
n≥0

Gn là vành phân bậc liên kết của
n≥0

R ứng với I. Hơn nữa, chúng ta có mối quan hệ giữa phần tử siêu bề mặt của
I và phần tử lọc chính quy của GI (R) như sau: x là phần tử siêu bề mặt của I
nếu và chỉ nếu x∗ là phần tử lọc chính quy của GI (R) (xem [7, Chú ý 2.10]).
Vậy vấn đề chúng ta quan tâm ở đây là sự tồn tại của một trong hai phần
tử sẽ dẫn đến sự tồn tại của phần tử còn lại, định lý dưới đây khẳng định điều
đó. Trước tiên, chúng ta có bổ đề sau để sử dụng trong quá trình chứng minh
định lý.
Bổ đề 2.3.3. [20, Mệnh đề 5.4] Cho (R, m) là vành địa phương với R/m vô hạn
và M là R-môđun. Lúc đó, nếu N1 , N2 , . . . , Nt là các R-môđun con thực sự của
20


M thì N1 ∪ N2 ∪ . . . ∪ Nt

M.

Định lý 2.3.4. [20, Định lý 5.5] Cho (R, m) là vành địa phương với R/m vô

hạn và I là iđêan m-nguyên sơ của R. Lúc đó, tồn tại x ∈ I \ I 2 là phần tử siêu
bề mặt của I, và do đó, tồn tại x∗ = x + I 2 là phần tử lọc chính quy của GI (R).
Chứng minh. Xét (0) = Q1 ∩ . . . ∩ Qs ∩ Qs+1 ∩ . . . ∩ Qg là sự phân tích nguyên
√
sơ của (0) trong vành phân bậc liên kết GI (R). Đặt Pi = Qi với i = 1, . . . , g.
Giả sử G1 ⊆ Pi với i = 1, . . . , s và G1 ⊆ Pj với j = s + 1, . . . , g. Khi đó,
G1 ∩ P1 , . . . , G1 ∩ Ps là các G0 -môđun con thực sự của G1 . Theo bổ đề trên,
tồn tại x ∈ I \ I 2 sao cho x∗ = x + I 2 ∈ I/I 2 = G1 và x∗ ∈

s

Pi . Ta chứng
i=1

minh x là phần tử siêu bề mặt của I. Để chứng minh điều này ta chứng minh
x∗ là phần tử lọc chính quy của GI (R), tức là 0 :GI (R) x∗
0 :GI (R) x∗ ∩ Gn = 0, ∀ n

n

= 0, ∀ n

0 hay

0. Với mọi y ∗ ∈ 0 :GI (R) x∗ , ta có y ∗ x∗ = 0. Do

x∗ ∈ Pi với i = 1, . . . , s nên y ∗ ∈ Qi với i = 1, . . . , s (vì y ∗ x∗ = 0 ∈ Qi , nếu
√
y ∗ ∈ Qi thì x∗ ∈ Qi = Pi (mâu thuẫn)). Vậy 0 :GI (R) x∗ ⊆ Q1 ∩ . . . ∩ Qs . (1)
Mặt khác, vì Qj là Pj -nguyên sơ, với mọi j = 1, . . . , g nên tồn tại m sao

m
cho Pjm ⊆ Qj , với j = 1, . . . , g. Ta có Gm = I m /I m+1 = Gm
1 ⊆ Pj ⊆ Qj , với

j = s + 1, . . . , g. Do đó, Gn ⊆ Qs+1 ∩ . . . ∩ Qg , với mọi n ≥ m.

(2)

Từ (1) và (2) ta có:
0 :GI (R) x∗ ∩ Gn ⊆ Q1 ∩ . . . ∩ Qs ∩ Qs+1 ∩ . . . ∩ Qg = (0), ∀ n

0.

Vậy x∗ là phần tử lọc chính quy của GI (R) nên x là phần tử siêu bề mặt của I.

2.4

Chỉ số Hilbert

Cho HM là hàm Hilbert của môđun phân bậc M , chúng ta đã biết với
PM (x) ∈ Q[x] là đa thức Hilbert của M thì HM (n) = PM (n) khi n

0.

Do đó, khi n không đủ lớn thì HM (n) có thể khác PM (n), từ đó có định nghĩa
sau:

21



Định nghĩa 2.4.1. Cho HM là hàm Hilbert của môđun phân bậc M . Lúc đó, số
nguyên n lớn nhất mà HM (n) còn khác PM (n) gọi là chỉ số Hilbert của môđun
phân bậc M , kí hiệu p(M ). Vậy
p(M ) = sup{n ∈ Z | HM (n) = PM (n)}.
Đối với hàm Hilbert-Samuel chúng ta cũng có định nghĩa tương tự.
Định nghĩa 2.4.2. Cho HI, M là hàm Hilbert-Samuel của môđun M ứng với
iđêan I. Lúc đó
n(I, M ) = sup{n ∈ Z | HI, M (n) = PI, M (n)}
gọi là chỉ số Hilbert của môđun M ứng với iđêan I.
Nhận xét 2.4.3. Cho (R, m) là vành Noether địa phương, I là iđêan m-nguyên
sơ và GI (R) là vành phân bậc liên kết của R.
1. Chỉ số Hilbert của vành phân bậc liên kết GI (R) là
p(GI (R)) = sup{n ∈ Z | HGI (R) (n) = PGI (R) (n)}.
2. Chỉ số Hilbert của vành R ứng với iđêan I là
n(I, R) = sup{n ∈ Z | HI, R (n) = PI, R (n)}
và được kí hiệu là n(I).

2.5

Chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết và
chỉ số Hilbert

Mối quan hệ giữa chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết và chỉ số Hilbert
trong phần này sẽ được dùng để thiết lập một chặn trên cho chỉ số Hilbert sau
khi đã thiết lập được một chặn trên cho chỉ số chính quy của vành phân bậc
liên kết ứng với iđêan tham số trong phần tiếp theo.

22