ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

NGUYỄN THỊ THẢO NGỌC

MẶT WEINGARTEN TUYẾN TÍNH
ELLIPTIC TRONG R3

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Thừa Thiên Huế, năm 2018


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

NGUYỄN THỊ THẢO NGỌC

MẶT WEINGARTEN TUYẾN TÍNH
ELLIPTIC TRONG R3
Chuyên ngành: HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ
Mã số: 60460105

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. ĐOÀN THẾ HIẾU
Thừa Thiên Huế, năm 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của
riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong
luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kì một công trình nào khác.
Nguyễn Thị Thảo Ngọc

ii


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo, PGS.
TS. Đoàn Thế Hiếu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự kính trọng đối với
Thầy. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng
như hoàn thành luận văn này.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy cô Khoa Toán, các Thầy ở Đại học Huế
và Viện Toán học đã dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình
học tập.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo
sau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt

khóa học.

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, các anh chị Cao học Toán khóa
XXV trường ĐHSP Huế chuyên ngành Hình học và Tôpô vì sự động viên, giúp
đỡ trong quá trình học tập vừa qua.
Tháng 10 năm 2018.
Học viên thực hiện
Nguyễn Thị Thảo Ngọc

iii


Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Lời nói đầu


4

1 Kiến thức chuẩn bị

6

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

Mặt tham số và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Mặt tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


7

Mặt kẻ và mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Mặt kẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Mặt tham số chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1

Mặt tham số chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.2


Dạng cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Độ cong Gauss và độ cong trung bình . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.1

Mặt định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.2

Ánh xạ Gauss và dạng cơ bản thứ hai

. . . . . . . . . .

15

1.4.3

Độ cong pháp và công thức Euler . . . . . . . . . . . . .

18

1.4.4


Độ cong Gauss và độ cong trung bình . . . . . . . . . . .

20

Độ cong của một số mặt đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1


1.5.1

Mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.5.2

Mặt trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.5.3

Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24


1.5.4

Mặt xuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.5.5

Mặt Catenoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.5.6

Mặt Helicoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2 Mặt Weingarten tuyến tính elliptic trong R3

30

2.1

Định nghĩa mặt Weingarten tuyến tính elliptic trong R3 . . . . .

30

2.2


Một số trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2.1

a = 1, b = 0, c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.2

a = 1, b = 0, c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.3

a = 0, b = 1, c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.4

a = 0, b = 1, c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Mặt Weingarten tuyến tính elliptic 2aH + bK = c . . . . . . . .


35

2.3.1

Mặt Weingarten tuyến tính elliptic 2aH + bK = 0 . . . .

35

2.3.2

Mặt Weingarten tuyến tính elliptic 2aH + bK = c, c = 0

35

2.3

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

42

2


Danh sách hình vẽ
1.1


Mặt tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Mặt hyperboloid một tầng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Mặt yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4

Mặt Helicoid

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5

Mặt Catenoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11


1.6

Mặt xuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1

Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3


LỜI NÓI ĐẦU
Hình học vi phân là một nhánh của toán học, sử dụng các công cụ và
phương pháp của phép tính vi phân, tích phân và đại số tuyến tính để nghiên
cứu các vấn đề hình học. Hình học vi phân đóng vai trò quan trọng trong nhiều
lĩnh vực như vật lí, kĩ thuật và các môn khoa học khác.
Hình học vi phân được hình thành và phát triển ban đầu vào thế kỉ XV III
và thế kỉ XIX. Đầu tiên phải kể đến các nhà toán học Carl Friedrich Gauss
(1777-1855), Bernhard Riemann (1826-1866).
Cho S là một mặt tham số chính quy định hướng. Ta nói S là mặt Weingarten
tuyến tính nếu tồn tại ba số thực a, b, c không đồng thời bằng 0, sao cho 2aH +
bK = c, trong đó H là độ cong trung bình, K là độ cong Gauss của S. Khi
a2 + bc > 0 thì S được gọi là mặt Weingarten tuyến tính elliptic.
Với các giá trị cụ thể của a, b, c thỏa mãn các điều kiện trên, ta sẽ có các ví
dụ là các mặt quen thuộc như mặt cầu, mặt trụ... Thông qua các mặt này, ta
sẽ hiểu rõ hơn về khái niệm và các tính chất của mặt Weingarten tuyến tính

elliptic.
Được sự gợi ý của thầy giáo hướng dẫn PGS.TS. Đoàn Thế Hiếu và với mong
muốn tìm hiểu thêm về mặt Weingarten tuyến tính elliptic nói riêng và hình
học vi phân nói chung, tôi đã chọn đề tài " Mặt Weingarten tuyến tính elliptic
trong R3 " để tìm hiểu với hy vọng có thể hiểu rõ hơn một số kết quả trong vấn
đề này.
Bây giờ, chúng tôi đi vào chi tiết của từng chương. Ngoài phần mở đầu và kết
luận, luận văn chia làm hai chương.
Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của Hình học
vi phân đã được học ở chương trình đại học nhằm mục đích hỗ trợ cho chương
2.
Chương 2 là chương chính của luận văn, gồm 3 mục. Mục 2.1, chúng tôi trình
bày định nghĩa mặt Weingarten tuyến tính elliptic. Mục 2.2, chúng tôi trình bày
một số trường hợp đặc biệt của mặt. Và cuối cùng Mục 2.3, chúng tôi trình bày

4


mặt Weingarten tuyến tính elliptic 2aH + bK = const.

5


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa mặt tham số, mặt tham số
chính quy, độ cong Gauss, độ cong trung bình và xét độ cong của một số mặt
đặc biệt. Các kiến thức trình bày dưới đây được tham khảo từ tài liệu [2] và
một số tài liệu có liên quan.


Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệm mặt tham số và một vài ví dụ.

1.1
1.1.1

Mặt tham số và các ví dụ
Mặt tham số

Định nghĩa 1.1.1. Cho ánh xạ X : U → R3 với U ⊂ R2 là một tập mở. Gọi
S = X(U ) = {X(u, v)|(u, v) ∈ U }.
Khi đó, (X, S) được gọi là một mặt tham số với tham số hóa X. S được gọi là
vết của mặt tham số (Xem hình 1.1).
Nếu X là hàm liên tục, khả vi lớp C k , khả vi lớp C ∞ thì tương ứng ta nói
(X, S) là mặt tham số liên tục, khả vi lớp C k , khả vi lớp C ∞ .
Gọi
X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
trong đó
x : U −→ R, y : U −→ R, z : U −→ R
được gọi là các hàm thành phần của X.
X khả vi lớp C k có nghĩa là các hàm thành phần x, y, z khả vi lớp C k .
6


Hình 1.1: Mặt tham số

Nếu X khả vi lớp C k , ∀p = (u, v) ∈ U , ta có hai vectơ :
∂x ∂y ∂z
∂X
∂x ∂y ∂z

∂X
= ( , , ) = (xu , yu , zu ), Xv =
= ( , , ) = (xv , yv , zv ).
Xu =
∂u
∂u ∂u ∂u
∂v
∂v ∂v ∂v
Mệnh đề 1.1.2. Các mệnh đề sau là tương đương nhau:
(i) Xu , Xv độc lập tuyến tính,
(ii) Xu ∧ Xv = 0,
(iii) Các định thức
∂x ∂y
∂y
∂(x,
y)
∂u ∂u :=
; ∂u
∂x ∂y
∂(u, v) ∂y
∂v ∂v
∂v
không đồng thời bằng không.
Chú ý 1.1.3.

∂z
∂u
∂z
∂v


∂z ∂x
∂(y, z) ∂u ∂u
:=
;
∂(u, v) ∂z ∂x
∂v ∂v

:=

∂(z, x)
∂(u, v)

(i) Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm, ta hiểu ta

đang xét mặt tham số là mặt tham số khả vi tại mọi điểm đến lớp cần
thiết.
(ii) Để chỉ mặt tham số (X, S) đôi khi ta có thể chỉ nhắc đến S nếu tham số
X đã biết hoặc chỉ nhắc đến X.
1.1.2

Các ví dụ

Ví dụ 1.1.4. Chúng ta có thể xem đồ thị của hàm số z = f (x, y) với miền xác
định U ⊂ R2 như là vết của mặt tham số
7


X : U → R3 với X(u, v) = (u, v, f (u, v)).
Ví dụ 1.1.5. Mặt cầu tâm O, bán kính R có một tham số hóa dạng:
X(u, v) = (R sin v cos u, R sin v sin u, R cos v), 0 ≤ u ≤ 2π và 0 ≤ v ≤ 2π.

Ví dụ 1.1.6. Mặt trụ có một tham số hóa dạng:
X(u, v) = (R cos u, R sin u, v), 0 < u < 2π, v ∈ R.
Ví dụ 1.1.7. Mặt phẳng đi qua điểm P (p1 , p2 , p3 ) và nhận hai vectơ
a = (a1 , a2 , a3 ) và b = (b1 , b2 , b3 ) là hai vectơ chỉ phương có tham số hóa dạng:
X(u, v) = (a1 u + b1 v + q1 , a2 u + b2 v + q2 , a3 u + b2 v + q3 ).

1.2
1.2.1

Mặt kẻ và mặt tròn xoay
Mặt kẻ

Định nghĩa 1.2.1. Cho α, w : I → R3 là hai hàm khả vi với I là một khoảng
mở trong R và w(u) = 0, ∀u ∈ I. Chúng ta xét α(u), u ∈ I là các điểm và
w(u), u ∈ I là các vectơ trong R3 . Mặt tham số
X(u, v) = α(u) + vw(u), u ∈ I, v ∈ R
được gọi là mặt kẻ sinh bởi α và w. Các đường thẳng Lu đi qua α(u) với vectơ
chỉ phương w(u) gọi là các đường sinh và đường cong α(u) gọi là đường chuẩn.
Nói một cách đơn giản, mặt S được gọi là mặt kẻ nếu qua mọi điểm thuộc S
đều tồn tại một đường thẳng nằm trong S.
Chú ý rằng chúng ta có thể chấp nhận mặt kẻ có những điểm kì dị, tức là các
điểm mà tại đó Xu ∧ Xv = 0.

Ví dụ 1.2.2. Các mặt sau đây là mặt kẻ
(i) Mặt phẳng.
(ii) Cho α : I → R3 là một đường cong tham số chính quy. Ta có
X(u, v) = α(u) + vα (u), u ∈ I, v ∈ R.
Mặt X là một mặt tham số và được gọi là mặt tiếp tuyến của α. Khi đó
mặt tiếp tuyến của đường chính quy như trên là một mặt kẻ.
8



(iii) Mặt trụ là một mặt kẻ sinh bởi α và w với α(I) chứa trong một mặt phẳng
và w(u) song song với một phương cố định.
(iv) Mặt nón là mặt kẻ sinh bởi α và w với α(I) chứa trong một mặt phẳng P
và các đường sinh Lu cùng đi qua một điể
r (a + r cos u)
r(a + r cos u)
H=

1
2

eG − 2f F + gE
EG − F 2

=

a + 2r cos u
.
r(a + r cos u)

π
3π
Ta nhận thấy các điểm thuộc vào các đường tròn u =
và u =
có độ
2
2
π

3π
cong Gauss K = 0, các điểm thuộc vào miền
có độ cong Gauss
2
2
π
3π
K < 0, các điểm thuộc vào các miền 0 < u <
và
< u < 2π có độ cong
2
2
Gauss K > 0.

1.5.5

Mặt Catenoid

Xét mặt Catenoid có tham số hóa dạng
v
v
X(u, v) = c cosh
cos u, c cosh
sin u, v .
c
c
Ta tính được
v
v

Xu = −c cosh
sin u, c cosh
cos u, 0 ,
c
c

27


Xv = sinh
Xuu = −c cosh
Xuv = − sinh
Xvv =
Xu ∧ Xv = c cosh

v
v
cos u, sinh
sin u, 1 ,
c
c
v
v
cos u, −c cosh
sin u, 0 ,
c
c
v
v
sin u, sinh

cos u, 0 ,
c
c

1
1
v
v
cosh
cos u, cosh
sin u, 0 ,
c
c
c
c
v
v
v
v
cos u, c cosh
sin u, −c sinh
cosh
c
c
c
c
|Xu ∧ Xv | = ±c cosh2

,

v
.
c

Chọn

v 
cos u
sin u
c .
N =
,
v
v ,−
v
cosh
cosh
cosh
c
c
c
Khi đó, ta tính được
v
v
, F = Xu , Xv = 0, G = Xv , Xv = cosh2
,
E = Xu , Xu = c2 cosh2
c
c
1

e = N, Xuu = −c, f = N, Xuv = 0, g = N, Xvv = .
c


sinh

1

1
và k2 =
v
v .
c cosh2
c cosh2
c
c
Do đó các độ cong Gauss và độ cong trung bình là
Ta tính được hai độ cong chính k1 = −

K = k1 k2 = −

1
c2 cosh4

v ,
c

1
H = (k1 + k2 ) = 0.
2

1.5.6

Mặt Helicoid

Xét mặt Helicoid có tham số hóa dạng
X (u, v) = (u cos v, u sin v, cv), 0 < v < 2π, −∞ < u < ∞.
Ta tính được
28


Xu = (cos v, sin v, 0), Xv = (−u sin v, u cos v, c),
Xuu = (0, 0, 0), Xuv = (− sin v, cos v, 0), Xvv = (−u cos v, −u sin v, 0),
√
Xu ∧ Xv = (c sin v, −c cos v, u), |Xu ∧ Xv | = c2 + u2 ,
N=

Xu ∧ Xv
=
|Xu ∧ Xv |

c sin v
−c cos v
u
√
.
,√
,√
c 2 + u2 c 2 + u2 c 2 + u2

Do đó
E = Xu , Xu = 1, F = Xu , Xv = 0, G = Xv , Xv = u2 + c2 ,
c
e = N, Xuu = 0, f = N, Xuv = − √
, g = N, Xvv = 0.
c2 + u2
Độ cong Gauss và độ cong trung bình là
c2
eg − f 2
=− 2
,
K=
EG − f 2
(u + c2 )2
H=

eG − 2f F + gE
= 0.
EG − F 2

29


Chương 2

Mặt Weingarten tuyến tính elliptic
trong R3
Trong không gian R3 , những mặt có độ cong trung bình H là hằng, ta gọi là
H-mặt, có độ cong Gauss K là hằng, ta gọi là K-mặt. Trong chương này, chúng
tôi sẽ xét lớp các mặt chứa H-mặt và K-mặt, đó là lớp các mặt Weingarten

tuyến tính elliptic. Chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa, các ví dụ và tính chất của
nó.

2.1

Định nghĩa mặt Weingarten tuyến tính elliptic trong R3

Định nghĩa 2.1.1. [3] Cho S là một mặt tham số chính quy định hướng. Ta
nói S là mặt Weingarten tuyến tính nếu tồn tại ba số thực a, b, c không đồng
thời bằng 0, sao cho 2aH + bK = c, trong đó H là độ cong trung bình, K là độ
cong Gauss của mặt S. Khi a2 + bc > 0 thì S được gọi là mặt Weingarten tuyến
tính elliptic.

2.2

Một số trường hợp đặc biệt

Với các giá trị cụ thể của a, b, c thỏa mãn các điều kiện trên, ta có các ví dụ
là các mặt quen thuộc như mặt phẳng, mặt cầu, mặt trụ... Sau đây, ta sẽ xét
một vài trường hợp đơn giản.

30


2.2.1

a = 1, b = 0, c = 0

Cho mặt tham số chính quy định hướng S. Nếu tồn tại a = 1, b = 0, c = 0 thì
phương trình 2aH + bK = c trở thành H = 0. Khi đó, mặt Weingarten tuyến

tính là mặt cực tiểu. Ta thấy, a2 + bc = 1 > 0 nên lớp các mặt Weingarten tuyến
tính elliptic chứa lớp các mặt cực tiểu.
Các tính chất địa phương của mặt cực tiểu
Cho mặt tham số chính quy (S, X) với
X : U −→ R3
(u, v) −→ (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).
Ta có
E = Xu , Xu , F = Xu , Xv , G = Xv , Xv .
Định nghĩa 2.2.1. [4] Tham số hóa X : U → R3 gọi là trực giao nếu E = G =
λ2 và F = 0.
Định lý 2.2.2. [4, Lemma 4.1] Cho mặt tham số chính quy S với X(U ) ∈ C 2 .
Nếu X(u, v) là tham số trực giao thì
→
−
∆X = 2λ2 H .
→
−
trong đó, H là vectơ độ cong trung bình.
Chứng minh. Ta có
Xu , Xu = Xv , Xv ,

(2.1)

Xu .Xv = 0.

(2.2)

Đạo hàm hai vế của (2.1) theo biến u ta được
Xuu , Xu = Xuv , Xv .

(2.3)

Đạo hàm hai vế của (2.2) theo biến v ta được
Xuv , Xv + Xu , Xvv = 0.
Từ (2.3) và (2.4), ta có
Xuu , Xu = − Xvv , Xu ,
do đó
Xuu + Xvv , Xu = 0,
hay
31

(2.4)


∆X, Xu = 0.

(2.5)

Đạo hàm hai vế của (2.1) theo biến v ta được
Xu , Xuu = Xv , Xvv .

(2.6)

Đạo hàm hai vế của (2.2) theo biến u ta được
Xuu , Xv + Xu , Xuv = 0.

(2.7)

Từ (2.6) và (2.7), ta có
Xuu , Xv = − Xv , Xvv ,

do đó
Xuu + Xvv , Xv = 0,
hay
∆X, Xv = 0.

(2.8)

Từ (2.5) và (2.8), ta suy ra
∆X ∈ Π ⊥ ,
trong đó, Π là không gian tiếp xúc.
→
−
Lấy H ∈ Π ⊥ , ta có
∆X, N = Xuu , N + Xvv , N = e + g,
mà
H(N ) =

e+g
,
2λ2

nên
∆X, N = e + g = 2λ2 .H(N ).
Ta suy ra
∆X
, N = H(N ),
2λ2
do đó
−
∆X →

=
H,
2λ2→
→
−
−
(Vì ∃! H sao cho H , N = H(N ), ∀N .)
hay
→
−
∆X = 2λ2 . H .

Hệ quả 2.2.3. [4, Lemma 4.2] Mặt tham số (S, X) với tham số hóa X trực giao
là mặt cực tiểu nếu và chỉ nếu x, y, z là các hàm điều hòa, nghĩa là ∆X = 0.

32


Ví dụ 2.2.4. Cho mặt Catenoid có tham số hóa dạng:
v
v
X(u, v) = c cosh
cos u, c cosh
sin u, v .
c
c
Ta đã tính được
1
H = 0, K = −
v .

c2 cosh4
c
Như vậy, mặt Catenoid là mặt cực tiểu.


1
=0
Tồn tại a = 1, b = 0, c = 0 sao cho 2.1.0 + 0. −
4 v
2
c cosh
c
và a2 + bc = 1 > 0 nên mặt Catenoid là mặt Weingarten tuyến tính elliptic.
Ví dụ 2.2.5. Cho mặt Helicoid có tham số hóa dạng:
X(u, v) = (u cos v, u sin v, mv), 0 < v < 2π, −∞ < u < ∞.
Ta đã tính được
H = 0, K = −

m2
.
(u2 + m2 )2

Như vậy, mặt Helicoid là mặt cực tiểu.
m2
=0
(u2 + m2 )2
và a2 + bc = 1 > 0 nên mặt Helicoid là mặt Weingarten tuyến tính elliptic.
Tồn tại a = 1, b = 0, c = 0 sao cho 2.1.0 + 0. −

2.2.2

a = 1, b = 0, c = 0

Cho mặt tham số chính quy định hướng S. Nếu tồn tại a = 1, b = 0, c = 0 thì
c
phương trình 2aH + bK = c trở thành H = , c = 0. Khi đó, mặt Weingarten
2
tuyến tính là mặt có độ cong trung bình H là hằng số. Ta thấy, a2 + bc = 1 > 0
nên lớp các mặt Weingarten tuyến tính elliptic chứa lớp các H-mặt.
Ví dụ 2.2.6. Cho mặt trụ có tham số hóa dạng:
X(u, v) = (R cos u, R sin u, v), 0 < u < 2π, v ∈ R.
Ta đã tính được
1
, K = 0.
2R
1
1
1
Tồn tại a = 1, b = 0, c =
sao cho 2.1.
+ 0.0 =
mà a2 + bc = 1 > 0 nên
R
2R
R
mặt trụ là mặt Weingarten tuyến tính elliptic.
H=

Ví dụ 2.2.7. Cho mặt cầu có tham số hóa dạng:
X(u, v) = (R sin v cos u, R sin v sin u, R cos v).

33


Ta đã tính được
1
1
,K = 2.
R
R
2
1
1
2
Tồn tại a = 1, b = 0, c =
sao cho 2.1. + 0. 2 =
mà a2 + bc = 1 > 0 nên
R
R
R
R
mặt cầu là mặt Weingarten tuyến tính elliptic.
H=

Hình 2.1: Mặt cầu

2.2.3

a = 0, b = 1, c = 0

Cho mặt tham số chính quy định hướng S. Nếu tồn tại a = 0, b = 1, c = 0 thì

phương trình 2aH + bK = c trở thành K = 0. Khi đó, mặt Weingarten tuyến
tính là mặt có độ cong Gauss K = 0. Ta thấy a2 + bc = 0, khi đó mặt S là mặt
ống.
Ví dụ 2.2.8. Xét mặt trụ như ở Ví dụ 2.2.6.
1
Mặt trụ này có K = 0, H =
.
2R
1
Tồn tại a = 0, b = 1, c = 0 sao cho 2.0.
+ 1.0 = 0 mà a2 + bc = 0. Do đó,
2R
trong trường hợp này mặt trụ chỉ là mặt Weingarten tuyến tính.
2.2.4

a = 0, b = 1, c = 0

Cho mặt tham số chính quy định hướng S. Nếu tồn tại a = 0, b = 1, c = 0 thì
phương trình 2aH + bK = c trở thành K = c, c = 0. Khi đó, mặt Weingarten
tuyến tính là mặt có độ cong Gauss K là một hằng số. Hơn nữa, a2 + bc = c > 0
nếu c > 0. Vậy lớp các mặt Weingarten tuyến tính elliptic chứa lớp các mặt có
34


độ cong Gauss K là hằng số dương. Trong trường hợp c < 0 thì lớp các mặt
Weingarten tuyến tính hyperbolic chứa lớp các mặt có độ cong Gauss K là hằng
số âm.
Ví dụ 2.2.9. Xét mặt cầu như ở Ví dụ 2.2.7.
1
1

Mặt cầu này có K = 2 > 0, H = .
R
R
1
1
1
1
1
Tồn tại a = 0, b = 1, c = 2 sao cho 2.0. + 1. 2 = 2 mà a2 + bc = 2 > 0.
R
R
R
R
R
Vậy ta cũng có được kết quả mặt cầu là mặt Weingarten tuyến tính elliptic.

2.3
2.3.1

Mặt Weingarten tuyến tính elliptic 2aH + bK = c
Mặt Weingarten tuyến tính elliptic 2aH + bK = 0

Trong R3 , các ví dụ về trường hợp này còn hạn chế. Dưới đây là một ví dụ
đơn giản.
Ví dụ 2.3.1. Xét mặt phẳng có H = 0 và K = 0. Khi đó
Với a, b, c ∈ R, a = 0, c = 0 thì ta có
2aH + bK = 2.a.0 + b.0 = 0 và a2 + bc = a2 > 0.
Do đó, mặt phẳng là mặt Weingarten tuyến tính elliptic.
2.3.2

Mặt Weingarten tuyến tính elliptic 2aH + bK = c, c = 0

Bổ đề 2.3.2. [3, Lemma 1] Cho S là mặt Weingarten tuyến tính elliptic thỏa
mãn phương trình
2aH + bK = c, c = 0,

(2.9)

thì tồn tại ánh xạ Gauss η : S → S2 và hai số thực α, β sao cho
2αH + βK = γ ≥ 0,

(2.10)

và αI + βII là một metric xác định dương, với I và II lần lượt là dạng cơ bản
thứ nhất và thứ hai của mặt S.
Chứng minh. Nếu c < 0 thì ta đặt α = −a, β = −b, γ = −c. Khi đó (2.10) thỏa
mãn.
Gọi η : S → S2 là ánh xạ Gauss. Giả sử {e1 , e2 } là một cơ sở trực chuẩn của
Tp S gồm toàn các vectơ riêng và dη(ei ) = −ki ei , i = 1, 2.
35


Với σ = αI + βII, ta có
σ(e1 , e1 ) = α + βk1 ,
σ(e2 , e2 ) = α + βk2 ,
σ(e1 , e2 ) = 0.
Gọi A là ma trận của σ,


 

α + βk1
0
σ(e1 , e1 ) σ(e1 , e2 )
=
.
A=
σ(e1 , e2 ) σ(e2 , e2 )
0
α + βk2
Ta có
det A =

α + βk1

0

0

α + βk2

= (α + βk1 )(α + βk2 )

= α2 + β(2αH + βK) = α2 + βγ > 0.
Do đó, σ là xác định.
Nếu σ là xác định âm thì chúng ta đổi η bởi −η. Ta có 2(−α)H + βK = γ và
−(α)I + βII = −σ là xác định dương khi độ cong trung bình và dạng cơ bản
thứ hai đổi dấu cùng với η.
Từ bây giờ, chúng ta sẽ giả sử mọi mặt Weingarten tuyến tính elliptic thỏa
mãn kết quả trên.
Ánh xạ Gauss η trong Bổ đề trên được gọi là ánh xạ Gauss liên kết của mặt.

Bây giờ, chúng ta có một điều kiện để xác định ánh xạ Gauss liên kết của mặt S.

Bổ đề 2.3.3. [3, Lemma 2] Cho S là mặt Weingarten tuyến tính elliptic thỏa
mãn (2.10) với ánh xạ Gauss liên kết η. Tại điểm p với độ cong Gauss K(p) > 0
chúng ta có η(p) là pháp tuyến trong (nghĩa là k1 (p) > 0 và k2 (p) > 0) nếu và
chỉ nếu α ≥ 0 hoặc β ≥ 0.
Chứng minh. Nếu β = 0, giả sử η(p) không phải là pháp tuyến trong. Khi đó,
k1 (p) < 0 và k2 (p) < 0.
Ta có
(α + βk1 (p))(α + βk2 (p)) = α2 + βγ,
nên
36


α + βk2 (p) =

α2 + βγ
.
α + βk1 (p)

Do đó
1
k2 (p) =
β

α2 + βγ
−α +
α + βk1 (p)

=

γ − αk1 (p)
,
α + βk1 (p)

hay
γ − αk1 (p)
< 0.
α + βk1 (p)
Vì σ = αI + βII xác định dương nên α + βk1 (p) > 0.
k2 (p) =

Suy ra γ − αk1 (p) < 0. Do đó 0 ≤ γ < αk1 (p). Vì vậy α < 0 và β < 0.
Nếu β = 0 thì α > 0. Kết quả hiển nhiên đúng.
Ngược lại, giả sử α < 0 và β < 0.
Vì αI + βII xác định dương nên α + βk1 (p) > 0. Suy ra k1 (p) < 0. Vậy η(p) là
pháp tuyến ngoài.
Vậy η(p) là pháp tuyến trong khi và chỉ khi α ≥ 0 hoặc β ≥ 0.
Định lý 2.3.4. [3, Theorem 1] Cho S là mặt Weingarten tuyến tính elliptic
thỏa mãn phương trình (2.10) với ánh xạ Gauss liên kết η. Khi đó
γ + βK
η,
∆σ X = 2
α + βγ
αK − γH
∆σ η = 2 2
η,
α + βγ
trong đó ∆σ là Laplacian đối với metric σ = αI + βII.
Chứng minh. Cho (u, v) là tham số trực giao đối với σ, ta có

I = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 ,
II = edu2 + 2f dudv + gdv 2 ,
σ = αI + βII = (αE + βe)du2 + 2(αF + βf )dudv + (αG + βg)dv 2 .
Vì (u, v) là tham số trực giao đối với σ nên
αE + βe = αG + βg = λ và αF + βf = 0.
Do đó
σ = λ(du2 + dv 2 ).
Xét {η ∧ Xu , η ∧ Xv } là một cơ sở của mặt phẳng tiếp xúc, ta có
αXu − βηu = µ11 η ∧ Xu + µ12 η ∧ Xv ,
αXv − βηv = µ21 η ∧ Xu + µ22 η ∧ Xv .
với µ11 , µ12 , µ21 , µ22 là các hàm thực.
37


Ta lại có
λ = σ(Xu , Xu ) = α Xu , Xu − β Xu , dη(Xu ) = α Xu , Xu − β Xu , ηu
= αXu − βηu , Xu = µ11 η ∧ Xu + µ12 η ∧ Xv , Xu = µ12 η ∧ Xv , Xu
= −µ12 |Xu ∧ Xv |;
0 = σ(Xu , Xv ) = µ11 η ∧ Xu , Xv = µ11 |Xu ∧ Xv |;
0 = σ(Xv , Xu ) = µ22 η ∧ Xv , Xu = −µ22 |Xu ∧ Xv |;
λ = σ(Xv , Xv ) = µ21 η ∧ Xu , Xv = µ21 |Xu ∧ Xv |.
√
Vì |Xu ∧ Xv | = EG − F 2 nên
−λ
αXu − βηu = √
η ∧ Xv ,
EG − F 2
−λ
η ∧ Xu .
αXv − βηv = √

EG − F 2
Mặt khác, vì
λ2 = (αE + βe)(αG + βg) − (αF + βf )2
= (α2 + β(2αH + βK))(EG − F 2 ) = (α2 + βγ)(EG − F 2 ),
nên
αXu − βηu = −

α2 + βγη ∧ Xv ,

(2.11)

αXv − βηv = −

α2 + βγη ∧ Xu .

(2.12)

Khi lấy hai vế của (2.11) cùng nhân có hướng với η ta được
αXu ∧η−βηu ∧η = −

α2 + βγ(η∧Xv )∧η = −

α2 + βγ[−(η.Xv )η+(η.η)Xv ]
=−

α2 + βγXv ,

hay
αXu ∧ η − βηu ∧ η = − α2 + βγXv .

(2.13)

Khi lấy hai vế của (2.12) cùng nhân có hướng với η ta được
αXv ∧ η − βηv ∧ η =

α2 + βγ(η ∧ Xu ) ∧ η =

α2 + βγ[−(η.Xu )η + (η.η)Xu ]
=

α2 + βγXu ,

hay
αXv ∧ η − βηv ∧ η =
38

α2 + βγXu .

(2.14)


Lấy đạo hàm phương trình (2.14) theo biến u trừ đi đạo hàm phương trình (2.13)
theo biến v ta được
α2 + βγ(Xuu + Xvv ) = α[(Xv ∧ η)u − (Xu ∧ η)v ] − β[(ηv ∧ η)u − (ηu ∧ η)v ]
= α[Xvu ∧ η + Xv ∧ ηu − Xuv ∧ η − Xu ∧ ηv ] − β[ηvu ∧ η + ηv ∧ ηu − ηuv ∧ η − ηu ∧ ηv ]
= α(Xv ∧ ηu − Xu ∧ ηv ) − β(2ηv ∧ ηu ) = α(k1 + k2 )Xu ∧ Xv + 2β(k1 k2 )Xu ∧ Xv
= (2αH + 2βK)(Xu ∧ Xv ).
Do đó
γ + βK

Xuu + Xvv =

α2 + βγ

Xu ∧ Xv .

Suy ra
Xuu + Xvv
γ + βK
= 2
η,
λ
α + βγ
hay
γ + βK
η.
α2 + βγ
Lấy đạo hàm phương trình (2.11) theo biến u cộng với đạo hàm phương trình
∆σ X =

(2.12) theo biến v ta được
α(Xuu + Xvv ) − β(ηuu + ηvv ) =

α2 + βγ(ηv ∧ Xu − ηu ∧ Xv )

α2 + βγ(k1 + k2 )Xu ∧ Xv = 2H

=

α2 + βγXu ∧ Xv .

Do đó, nếu β = 0
ηuu + ηvv = 2

αK − γH
α2 + βγ

Xu ∧ Xv .

Suy ra
ηuu + ηvv
αK − γH
=2 2
η,
λ
α + βγ
hay
∆σ η = 2

αK − γH
η.
α2 + βγ

Nhận xét 2.3.5. [3, Remark 1] Nếu H 2 ≥ K trên mọi mặt, cho một mặt
Weingarten tuyến tính elliptic thỏa mãn phương trình (2.10). Khi đó, dấu ”=”
xảy ra khi
K=

γ2
(α ±

γ2
nếu βγ = 0, K = 2 nếu β = 0
4α
α2 + βγ)2
39