BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ HOÀNG YẾN

MẶT TRÒN XOAY CỰC ĐẠI
TRONG KHÔNG GIAN R31

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thừa Thiên Huế, Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ HOÀNG YẾN

MẶT TRÒN XOAY CỰC ĐẠI
TRONG KHÔNG GIAN R31
Chuyên ngành: HÌNH HỌC VÀ TÔ PÔ
Mã số: 60460105

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐOÀN THẾ HIẾU

Thừa Thiên Huế, năm 2017
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả trong luận văn là trung thực và được các đồng tác giả cho phép sử dụng.

Nguyễn Thị Hoàng Yến

ii


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin được gửi lời cám ơn đến các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau
đại học trường Đại Học Sư Phạm Huế đã giúp đỡ tạo mọi điều kiện thuận lợi
để tôi hoàn thành khóa học và luận văn.
Đặc biệt tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giáo PGS.TS.
Đoàn Thế Hiếu đã tận tình giúp đỡ, dày công hướng dẫn, đóng góp ý kiến giúp
tôi hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy
khóa cao học K24 đã dành nhiều tâm huyết truyền đạt những kiến thức cần
thiết trong những năm học vừa qua.
Sau cùng, tôi xin được gửi lời cám ơn đến các học viên khóa K23, K24 cùng
gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện giúp tôi trong suốt quá trình học tập
và hoàn thành bài luận văn này.

iii



Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

2

Phần mở đầu

3

Phần nội dung

5

1 Không gian Lorentz-Minkowski
5
1.1 Không gian Lorentz-Minkowski 3-chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Phép biến đổi Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Các phép quay Lorentz với trục L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Mặt cực đại tròn xoay
2.1 Mặt cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Mặt tham số kiểu không gian trong R31 . . . . . . . . . .
2.1.2 Độ cong trung bình. Mặt cực đại . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Phương trình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Mặt tròn xoay kiểu không gian . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Mặt cực đại tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Mặt tròn xoay cực đại kiểu không gian với trục quay thời
gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Mặt tròn xoay cực đại kiểu không gian với trục quay không
gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Mặt tròn xoay cực đại kiểu không gian với trục quay ánh
sáng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

.
.
.
.
.
.

14
14
14
15
22
23
30


. 30
. 31
. 32


Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37

2


PHẦN MỞ ĐẦU
Song song với sự tồn tại của hình học Euclide (hình học được xây dựng trên
không gian xác định bởi tích vô hướng xác định dương) là hình học được xây
dựng trên không gian xác định bởi tích vô hướng không xác định dương đó là
hình học giả Euclide, đặc biệt trên không gian với tích vô hướng chỉ số một còn
gọi là không gian Lorenzt-Minkowski. Trong không gian này có cấu trúc hình
học phức tạp hơn; ví dụ với phép quay, ta phải phân biệt các trục quay là trục
không gian (spacelike), trục thời gian (timelike), và trục ánh sáng (lightlike).
Như vậy, chúng ta có thể xem xét ba loại khác nhau của phép quay với các trục
nêu trên.
Trong không gian Lorentz-Minkowski, các mặt kiểu không gian là các mặt
mà metric cảm sinh trên đó là metric Riemann (xác định dương). Các mặt kiểu
không gian có độ cong trung bình bằng không gọi là mặt cực đại, tương tự như

mặt cực tiểu trong không gian Euclide. Mặt cực đại được nhiều nhà toán học
như Calabi, Lopez, Cheng, Yau...nghiên cứu trong những thập kỷ gần đây.
Như chúng ta đã biết, mặt tròn xoay là mặt nhận được bằng cách quay
một đường cong (đường sinh) xung quanh một đường thẳng (trục quay)(với giả
thiết đường cong và đường thẳng thuộc một mặt phẳng). Để tránh điểm kỳ dị,
người ta thường giả thiết đường cong không cắt đường thẳng). Trong không
gian Lorentz-Minkowski mặt tròn xoay có độ cong trung bình hằng hoặc bằng
không (mặt cực đại) là bề mặt được nghiên cứu bởi một số nhà hình học như
L.McNertney, J.Hano, SungWook Lee, Jeffrey H Varnado...
Với mong muốn tìm hiểu về mặt tròn xoay cực đại trong không gian LorentzMinkowski, được sự gợi ý của PGS.TS Đoàn Thế Hiếu, tôi đã nhận đề tài "Mặt
tròn xoay cực đại trong không gian Lorentz-Minkowski" làm đề tài
nghiên cứu luận văn.
Nội dung của luận văn gồm hai chương như sau:
• Chương I: Không gian Lorentz-Minkowski R31 . Chương này nhằm

giới thiệu về không gian Lorentz-Minkowski ba chiều và các vấn đề liên
quan, trình bày phép biến đổi Lorentz, các phép quay Lorentz với các trục
L khác nhau.
• Chương II: Mặt cực đại tròn xoay. Trong chương này, trình bày về

mặt tròn xoay kiểu không gian, mặt cực đại, mặt cực đại tròn xoay với các
trục quay khác nhau.
3


Tuy đã cố gắng nhiều, nhưng do hạn chế về mặt thời gian và năng lực bản thân,
luận văn này không tránh khỏi những sai sót. Tôi rất mong nhận được những ý
kiến đóng góp của quý Thầy Cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tp.Huế, ngày 01 tháng 08 năm 2017


Nguyễn Thị Hoàng Yến

4


Chương 1
Không gian Lorentz-Minkowski
Trong chương này chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản của không gian
Lorentz-Minkowski R31 , bao gồm các phép quay Lorentz với các trục có thuộc
tính khác nhau.

1.1

Không gian Lorentz-Minkowski 3-chiều

Trong mục này nhằm giới thiệu về không gian Lorentz-Minkowski 3-chiều,
các tính chất đặc trưng của vectơ và không gian con.
Định nghĩa 1.1.1. Không gian Lorentz-Minkowski 3-chiều, kí hiệu R31 , là không
gian vectơ R3 được trang bị dạng song tuyến tính đối xứng và không suy biến
xác định bởi:
x, y L = −x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , với x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ).
Định nghĩa 1.1.2. Cho x ∈ R31 , môđun của x được định nghĩa là |x|L =
| x, x L | . Vectơ x được gọi là đơn vị nếu có môđun bằng một
• nếu x là vectơ kiểu không gian ta viết |x|L =
• nếu x là vectơ kiểu thời gian ta viết |x|L =

x, x L ;
− x, x L .

Định nghĩa 1.1.3. Hai vectơ x, y ∈ R31 được gọi là trực giao với nhau nếu thỏa

mãn x, y L = 0.
Vì , L không xác định dương nên x, x L có thể bằng không hoặc âm. Từ đó
các vectơ trên R31 được phân thành ba loại khác nhau.
Định nghĩa 1.1.4. Cho vectơ x ∈ R31 . Khi đó:
• x được gọi là vectơ kiểu không gian nếu x, x

5

L

> 0 hoặc x = 0;


• x được gọi là vectơ kiểu thời gian nếu x, x

L

< 0;

• x được gọi là vectơ kiểu ánh sáng nếu x, x

L

= 0 và x = 0.

Hình 1.1: Các kiểu vectơ trong không gian Lorentz-Minkowski R31

Tập các vectơ kiểu ánh sáng là nón ánh sáng:
C = {(x, y, z) ∈ R31 :−x2 + y 2 + z 2 = 0}\{(0, 0, 0)}.
Tập các vectơ kiểu thời gian là nón thời gian:

T = {(x, y, z) ∈ R31 :−x2 + y 2 + z 2 < 0}.
Định nghĩa 1.1.5. Hệ vectơ {e1 , e2 , e3 } thỏa mãn e1 , e1 L = −1, e2 , e2 L =
e3 , e3 L = 1, e1 , e2 L = e2 , e3 L = e1 , e3 L = 0 được gọi là một cơ sở trực chuẩn
chính tắc của không gian Lorentz-Minkowski.
Định nghĩa 1.1.6. Cho M là đa tạp 2-chiều và ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ) : M → R31 thỏa
mãn các tính chất:
• đạo hàm tại mọi điểm là đơn ánh;
• đồng phôi lên ảnh (M và ϕ(M ) là đồng phôi).

Khi đó ϕ được gọi là ánh xạ bảo giác nếu:
ϕx , ϕy

6

L

= 0;

(1.1)


và
|ϕx |L = |ϕy |L = eu/2 .

(1.2)

Trong đó (x, y) là hệ tọa độ địa phương của M và u : M → R là một hàm giá trị
thực từ M .
Định nghĩa 1.1.7. Cho W là không gian vectơ con của không gian LorentzMinkowski R31 . Khi đó:
• W được gọi là kiểu không gian nếu nó chỉ chứa các vectơ kiểu không gian


hoặc vectơ 0;
• W được gọi là kiểu thời gian nếu nó có chứa ít nhất một vectơ kiểu thời

gian;
• W được gọi là kiểu ánh sáng nếu nó chứa ít nhất một vectơ kiểu ánh sáng

và không chứa vectơ kiểu thời gian nào.
Định nghĩa 1.1.8. Cho (V, , L ) là không gian với tích vô hướng không suy
biến và U ⊂ V là không gian vectơ con của không gian V . Khi đó ta gọi:
U ⊥ = {v ∈ V, u, v

L

= 0, ∀u ∈ U }

là không gian con trực giao với không gian U .
Tính chất 1.1.9. [2]
1. Cho v ∈ R31 , khi đó v là một vectơ kiểu thời gian khi và chỉ khi v ⊥ là
không gian con kiểu không gian và như vậy R31 = v ⊕ v ⊥ . Tương tự, v
là vectơ kiểu không gian khi và chỉ khi v ⊥ là không gian kiểu thời gian.
2. Cho U là không gian con của không gian V . Khi đó U là kiểu không gian
khi và chỉ khi (U )⊥ là kiểu thời gian.
Định nghĩa 1.1.10. (Tích vectơ) Cho x, y ∈ R31 , tích vectơ (tích có hướng)
Lorentz của hai vectơ này, kí hiệu là u ∧L v , được định nghĩa là:
−e1 e2 e3
x ∧L y := x1
y1

x2 x3 .

y2 y3

Trong đó {e1 , e2 , e3 } là cơ sở trực chuẩn chính tắc.
Nhận xét 1.1.11. [5]
1. (u ∧L v) ⊥L u; (u ∧L v) ⊥L v.
2. |u ∧L v|2 = u, v

2
L

− |u|2L |v|2L .
7

(1.3)


1.2

Phép biến đổi Lorentz

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X, Y là hai không gian Lorentz; f : X → Y gọi là
đẳng cự (Lorentz) nếu f (x), f (y) L = x, y L ; ∀x, y ∈ R31 .
Nhận xét 1.2.2. Ánh xạ đẳng cự là đơn ánh.
Định nghĩa 1.2.3. Cho X, Y là hai không gian Lorentz có dimX = dimY và
f : X → Y là phép đẳng cự. Khi đó f là song ánh và được gọi là biến đổi đẳng
cự hay phép biến đổi Lorentz.
Ta thấy, tập hợp tất cả các phép đẳng cự là một nhóm với phép toán hợp
hai ánh xạ.
Ma trận A của một
 cự (đối với cơ sở trực chuẩn nào đó) thỏa mãn

 phép đẳng
−1 0 0

At GA


= G, với G =  0
0

1 0 .



0 1

Ma trận A cũng là ma trận đổi cơ sở từ cơ sở trực chuẩn sang cơ sở trực
chuẩn.
Kí hiệu O1 (3) là tập tất cả các ma trận thỏa mãn At GA = G. Khi đó:
O1 (3) = {A ∈ GL(3; R) : At GA = G}.

Ta có: At GA = G
Suy ra |At |.|G|.|A| = |G|
Do đó |A|.|G|.|A| = |G|
Hay |A|2 = 1
Vậy det A = ±1.
det A = ±1 có nghĩa là O1 (3) có ít nhất hai thành phần liên thông.
Định nghĩa 1.2.4. Ta kí hiệu SO1 (3) là tập hợp các ma trận A ∈ O1 (3) thỏa
mãn det A = 1. Khi đó, ta có thể kiểm chứng được rằng SO1 (3) là nhóm con của
O1 (3) và được gọi là nhóm Lorentz đặc biệt.
SO1 (3) = {A ∈ O1 (3) : det A = 1}.


Định nghĩa 1.2.5. Cho E1 = (1, 0, 0) và v là vectơ kiểu thời gian. Ta nói rằng
v là có hướng tương lai (có hướng quá khứ) nếu v, E1 < 0 ( v, E1 > 0).
Cơ sở trực chuẩn B có hướng tương lai nếu vectơ kiểu thời gian trong cơ sở
B có hướng tương lai.
8


Ma trận A được gọi là bảo toàn hướng kiểu thời gian nếu phép biến đổi
Lorentz tương ứng biến cơ sở trực chuẩn B có hướng tương lai thành cơ sở B
cũng có hướng tương lai. Ta kí hiệu:
O1+ (3) = {A ∈ O1 (3) : A bảo toàn hướng kiểu thời gian }.

Trên O1+ (3) chia thành hai thành phần O1+ (3) ∩ SO1 (3) và O1+ (3) \ O1+ (3) ∩ SO1 (3).
Ta xác định nhóm đặc biệt O1++ (3) = O1+ (3) ∩ SO1 (3) = {A ∈ O1+ (3) : det A = 1}.
Nhận xét 1.2.6. [2] Các thành phần liên thông của O1 (3) là:
O1++ (3) = {A ∈ O1+ (3) : det A = 1}.
O1+− (3) = {A ∈ O1 (3) : det A = 1; a11 < 0}.
O1−+ (3) = {A ∈ O1 (3) : det A = −1; a11 > 0}.
O1−− (3) = {A ∈ O1 (3) : det A = −1; a11 < 0}.

Định lý 1.2.7. Nếu ma trận A trong O1++ (3) giữ cố định một đường thẳng L
trong R31 thì luôn luôn tồn tại cơ sở trực chuẩn để ma trận A có một trong các
dạng sau:


1

0




0



0 cos y − sin y  ;
0 sin y



cos y



cosh y sinh y 0



 sinh y cosh y 0 ;
0



1+




y2

2

y2
2

0

2

− y2
1−

−y

y2
2

y



a11 a12 a13

1

−y



−y  .




1





Chứng minh. Ta gọi A = a21 a22 a23  ∈ O1++ (3) là ma trận của phép đẳng
a31 a32 a33
9


cự và giữ cố định đường thẳng L trong R31 . Khi đó ma trận A sẽ có các dạng
sau:
1. Trục L là trục thời gian. Qua phép dời hình Lorentz đưa trục L về E1 . Từ
đẳng thức


a11

 



1

A.E1 = E1 ⇔ a21  = 0 ⇔


 





0

a31


a

11

=1

.

a21 = a31 = 0

Do

a


11

=1


1

0

0





0 a32 a33



−1 0 0

⇔ a12 a22 a32   0



a13 a23 a33

⇔

1

0








−1 0 0

1 0 0 a22 a23  =  0

1 0 .

0 1

0 1



0 a32 a33




a = a13 = 0

 12
a2 + a2 = 1

22
32




a2 + a2 = 1
23



1 a12 a13



0





nên A = 0 a22 a23  .

a21 = a31 = 0
Ta có : At GA = G


1 a12 a13



0




.

33



0



Do đó A = 0 cos y − sin y  .
0 sin y

cos y

2. Trục L là trục không gian. Qua phép dời hình Lorentz đưa trục L về E1 .
Từ đẳng thức


a13



 
0

A.E3 = E3 ⇔ a23  = 0 ⇔






 

a33

1

10


a

33

=1

a13 = a23 = 0

.


Do

a


=1

33




nên A = a21 a22 0 .

a13 = a23 = 0
Do At GA = G

1

a21 a31





a33

0

⇔

a23 a33

−1 0 0



0


0




a31 = a32 = 0




a2 − a2 = 1
11







a31 a32

0 1



0 = 0



0


1

0

1 0 a21 a22





a31 a32 1

−1 0 0

⇔ a23 a22 a32   0



a11 a12 0

21

1 0 .



0 1

.




a222 − a212 = 1






a21 a22 − a11 a12 = 0





cosh y sinh y 0



Do đó A =  sinh y cosh y 0 .
0

0

1

3. Trục L là trục ánh sáng. Qua phép dời hình Lorentz đưa về trục L =
E1 + E2 = E . Từ đẳng thức:
   


1

1

a11 a12 a13

   

A.E = E ⇔ a21 a22 a23  1 = 1
0

a31 a32 a33

⇔




a + a12 = 1

 11
a

+a

=1

21
22




a31 + a32 = 0



a11 1 − a11 a13

0

.





Ma trận A viết lại: a21 1 − a21 a23  .
a31
At GA

Do


a11

−a31

=G
a21


a31





−1 0 0

⇔ 1 − a11 1 − a21 −a31   0





a13

a33

a23

a33

0

a11 1 − a11 a13








−1 0 0

1 0 a21 1 − a21 a23  =  0



0 1
11



a31

−a31

a33



0

1 0 .



0 1



⇔


2
2
2


−a11 + a21 + a31 = −1




a211 − a221 − a231 − a11 + a21 = 0






−a a + a21 a23 + a31 a33 = 0

 11 13

−(1 − a )2 + (1 − a )2 + a2 = 2

11
21
31






−a213 + a223 + a233 = 1





(a11 − 1)a13 + (1 − a21 )a23 − a33 a31 = 0






−a13 (1 − a11 ) + a23 (1 − a21 ) − a33 a31 = 0

(1)
(2)
(3)
(4) .
(5)
(6)
(7)

(1) và (2) ⇒ a11 − a21 = 1.
(3) và (7) ⇒ a23 = a13 . (8)

(5) và (8) ⇒ a233 = 1. Từ đây suy ra a33 = 1 (vì det A = 1).
(3) và (8) ⇒ a31 = a13 .

y2
1+


Do đó A = 

y2
2

−y

1.3

2

2

− y2

1−

−y

y2
2




−y  .



y

1

Các phép quay Lorentz với trục L

Có ba loại phép quay quanh trục thời gian, không gian hay ánh sáng trong
Các phép quay quanh trục thời gian E1 ; quay quanh trục không gian E2 , E3 ;
quay quanh trục ánh sáng E1 ± E2 , E1 ± E3 được đặc trưng bởi những ma trận
sau:

R31 .

Định lý 1.3.1. Ma trận tương ứng với phép quay quanh trục E1 được cho bởi:


1

0

0



0 cos y − sin y  .

0 sin y

(1.4)

cos y

Chứng minh. Xem chứng minh ma trận quay (1.4) ở định lý (1.2.7).
Định lý 1.3.2. Ma trận tương ứng với phép quay quanh trục E2 , E3 được cho
bởi:


cosh y 0 sinh y


 0

1

0)  ;

sinh y 0 cosh y
12



(1.5)







cosh y sinh y 0



 sinh y cosh y 0 .
0

0

(1.6)

1

Chứng minh. Xem chứng minh ma trận quay (1.6) ở định lý (1.2.7). Ma trận
quay (1.5) được tìm thấy trong cùng một cách thức.
Định lý 1.3.3. Ma trận tương ứng với phép quay quanh trục E1 + E2 , E1 − E2 ,
E1 + E3 , E1 − E3 được cho bởi:


y2
y2
1+

2

y2
2





−2

1−

−y



1+

y2
2

 y2
 −2



1+

y2
2

y2
2

1+


y2
2


 −y

2

− y2



1

y2
2

−y
y2
2




1
2




y

− y2

1

−y  ;



y 1−

−y
1
y

(1.7)

y ;

−y


 y



−y  ;

y


1−

−y

−y

y2
2

y2
2

y2
2



−y  .



1−

y2
2

Chứng minh. Xem chứng minh ma trận quay (1.7) ở định lý (1.2.7).Các phép
quay khác được tìm thấy trong cùng một cách thức.


13


Chương 2
Mặt cực đại tròn xoay
2.1
2.1.1

Mặt cực đại
Mặt tham số kiểu không gian trong R31

Định nghĩa 2.1.1 (Mặt tham số). Một mặt tham số là một cặp (X, S) với
X : U ⊂ R2 −→ R31 là một ánh xạ khả vi xác định trên U mở và S = X(U ).
Khi đó S được gọi là vết của mặt tham số, X được gọi là tham số hóa của
mặt.
Mặt tham số X được gọi là liên tục, khả vi nếu ánh xạ X là liên tục, khả vi.
Mặt tham số X được gọi là chính quy nếu ánh xạ đạo hàm DXp : R2 → R31
là đơn ánh ∀p ∈ U . Tức là {Xu (p), Xv (p)} độc lập tuyến tính.
Với mong muốn xem xét các tính chất toàn cục đồng thời với các tính chất
địa phương nên từ đây trở đi, ta luôn giả thiết X khả vi đến cấp cần thiết và X
là mặt tham số chính quy trên U , gọi tắt là mặt chính quy.
Tại mọi điểm p trên mặt chính quy S , ta luôn có thể xét đến mặt phẳng tiếp
xúc của nó. Đó là mặt phẳng qua p và nhận vectơ Xu ∧L Xv làm vectơ pháp
tuyến. Không gian tiếp xúc Tp S của mặt S tại p là mặt phẳng đi qua gốc toạ độ
và song song với mặt phẳng tiếp xúc tại p. Khi không quan tâm đến điểm tiếp
xúc, ta có thể đồng nhất không gian tiếp xúc và mặt phẳng tiếp xúc.
Định nghĩa 2.1.2. Cho S là một mặt tham số chính quy trong không gian R31 .
Mặt S được gọi là mặt kiểu không gian (thời gian, ánh sáng) nếu mọi không
gian tiếp xúc của nó đều là kiểu không gian (thời gian, ánh sáng).
Với mỗi mặt kiểu không gian (kiểu thời gian) S và p ∈ S , ta luôn có phân

tích R31 = Tp S ⊕ (Tp S)⊥L , với (Tp S)⊥L là không gian con kiểu thời gian (kiểu
không gian) một chiều. Ta xác định vectơ pháp đơn vị N (p) ∈ (Tp S)⊥L sao cho

14


|N (p)|L = 1 tại mọi p ∈ S .

Ta xét một số ví dụ về mặt trong không gian R31 :
Ví dụ 2.1.3. Mặt phẳng P : ax + by + cz + d = 0 có vectơ pháp tuyến là
N = (−a, b, c). Mặt phẳng P là mặt kiểu không gian (thời gian, ánh sáng) khi và
chỉ khi N là vectơ kiểu thời gian (không gian, ánh sáng).
Ví dụ 2.1.4. Mặt Hyperboloid tâm p0 bán kính r là mặt
H2 (p0 , r) = {p ∈ R31 : p − p0 , p − p0

L

= −r2 , p − p0 , e1

L

< 0}.

Hình 2.1: Mặt Hyperboloid H2 .

Đây là một trong hai thành phần liên thông của Hyperboloid hai tầng. Đặc biệt
khi p0 là gốc tọa độ của R3 và r = 1, ta kí hiệu mặt Hyperboloid là H2 . Mỗi mặt
Hyperboloid là mặt kiểu không gian với vectơ pháp N (p) = (p − p0 )/r là kiểu
thời gian. Và vì N, e1 L < 0 nên N có hướng tương lai.


2.1.2

Độ cong trung bình. Mặt cực đại

Ánh xạ Gauss. Giả sử X : Ω ⊂ R2 → R31 là tham số hóa của mặt kiểu không
gian chính quy, và N là trường vectơ đơn vị xác định bởi:
N :=

1
−1
Xu ∧L Xv hoặc N :=
Xu ∧L Xv
|Xu ∧L Xv |L
|Xu ∧L Xv |L

Ánh xạ Gauss là ánh xạ khả vi
N :Ω −→ S 2
p −→ N(p) .

15


Ánh xạ Weingarten. Từ |N |L = 1 ta có:
∂
N, N
∂u

L

= 2 N, Nu


L

=0

∂
N, N
∂v

L

= 2 N, Nv

L

=0

.

.
Tức là Nu (p) và Nv (p) thuộc Tp S , với mọi p ∈ Ω. Do đó chúng ta có ánh xạ tuyến
tính, gọi là ánh xạ Weingarten tại điểm p
Ap : Tp S → Tp S

biến vectơ tiếp xúc
V = v1 .Xu + v2 .Xv

thành vectơ tiếp xúc
A(V ) := v1 .Nu + v2 .Nv .


Từ đẳng thức N, Xu

L

= 0 và N, Xv

∂
N, Xu
∂u
∂
N, Xv
∂v
∂
N, Xu
∂v
∂
N, Xv
∂u

L

= 0, ta có:

L

= Nu , Xu

L

+ N, Xuu


L

= 0;

L

= Nv , Xv

L

+ N, Xvv

L

= 0;

L

= Nv , Xu

L

+ N, Xuv

L

= 0;

L


= Nu , Xv

L

+ N, Xuv

L

= 0.

Do đó
− AXu , Xu

L

= − Nu , Xu

L

= N, Xuu L ;

− AXv , Xv

L

= − Nv , Xv

L


= N, Xvv

L;

− AXu , Xv

L

= − Nu , Xv

L

= N, Xuv

L

= − Nv , Xu

L

= − AXv , Xu L .

Vậy Ap là ánh xạ tuyến tính từ Tp S vào Tp S biến cơ sở {Xu , Xv } thành cơ sở
{Nu , Nv }.

16


Mệnh đề 2.1.5. Ánh xạ Ap : Tp S −→ Tp S : tự liên hợp, tức là:
∀α, β ∈ Tp S,


Ap (α), β = α, Ap (β) .

Chứng minh. Xét X(u, v) là mặt tham số hóa của mặt S tại p.
{Xu , Xv } là một cơ sở của Tp S . Ta có:
N=
Ap (Xu ) =

X u ∧ L Xv
.
|Xu ∧L Xv |L

∂
∂
(N ) = Nu ; Ap (Xv ) =
(N ) = Nv .
∂u
∂v

Với α, β ∈ Tp S , nghĩa là α = aXu + bXv ; β = cXu + dXv ta có:

Ap (α), β = Ap (aXu + bXv ), cXu + dXv
= aNu + bNv , cXu + dXv
= ac Nu , Xu + ad Nu , Xv + bc Nv , Xu + bd Nv , Xv ;

và tương tự:

α, Ap (β) = aXu + bXv , Ap (cXu + dXv )
= aXu + bXv , cNu + dNv
= ac Xu , Nu + ad Xu , Nv + bc Xv , Nu + bd Xv , Nv .


Mà N, Xu

L

= 0 và N, Xv

L

= 0 nên:

Nv , Xu + N, Xuv = 0.

Nu , Xv + N, Xuv = 0.

Suy ra Nv , Xu = Nu , Xv . Thay vào các khai triển của Ap (α), β
α, Ap (β) , ta thu được:

và

Ap (α), β = α, Ap (β) .

Từ đó ta có thể xác định các dạng song tuyến tính đối xứng trên Tp S như
sau:
17


Dạng cơ bản thứ nhất: I(U, V ) = U, V L , ∀U, V ∈ Tp S.
Dạng cơ bản thứ hai: II(U, V ) = − AU, V L = − U, AV L , ∀U, V ∈ Tp S.
Sau đây ta định nghĩa độ cong trung bình, độ cong Gauss và độ cong chính

cho mặt kiểu không gian:
Độ cong Gauss: Độ cong Gauss của mặt S tại điểm p, kí hiệu là K(p), được
định nghĩa là:
K(p) = det Ap .

Độ cong trung bình: Độ cong trung bình của mặt S tại điểm p, kí hiệu là
H(p), được định nghĩa là:
H(p) =

1
trAp .
2

Độ cong chính: Các giá trị riêng của ánh xạ Weingarten được gọi là các độ
cong chính của mặt S tại điểm p, kí hiệu là k1 , k2 với các vector riêng gọi là các
phương chính. Khi đó:
K = k1 .k2 ;
1
H = (k1 + k2 ).
2

Ta tính độ cong H, K của mặt kiểu không gian với tham số hóa địa phương:
X : Ω ⊂ R2 → R31 ,

X = X(u, v).

Với mặt kiểu không gian EG − F 2 > 0.Vector pháp đơn vị:
N=

Xu ∧L Xv

, với|Xu ∧L Xv | =
|Xu ∧L Xv |L

EG − F 2 .

Ta có Nu , Nv ∈ Tp S .
Mà Tp S có cơ sở {Xu , Xv }, nên:
Nu = aXu + bXv ;
Nv = cXu + dXv .

Vậy ma trận của Ap theo cơ sở {Xu , Xv } là:
a b
c d

.

Tìm ma trận của dạng cơ bản IIp :
− AXu , Xu

L

= − Nu , Xu

L

= N, Xuu

L

− AXu , Xv


L

= − Nu , Xv

L

= N, Xuv

L

− AXv , Xv

L

= − Nv , Xv

L

= N, Xvv

L

18

:= e,
:= f,
:= g.



Vậy ma trận của IIp theo cơ sở {Xu , Xv } là:
e f
f g

.

Ta đã biết ở phần trước, với:
E = Xu , Xu

L

; F = Xu , Xv

L

= Xv , Xv

L

−e = Nu , Xu

L

= aXu + bXv , Xu

L

−g = Nv , Xv

L


= cXu + dXv , Xv

L

−f = Nu , Xv

L

= aXu + bXv , Xv

L

= Nv , Xu

L

= cXu + dXv , Xu

L

; G = Xv , Xv

L

= aE + bF,
= cG + dF,
= aF + bG,
= cE + dF,


hay
−

e f

=

f g

a b

E F

c d

F G

.

Suy ra
−1

a b
c d

e f

E F

f g


F G

1
EG − F 2

G

−F

−F

E

=−

.

Trong đó
−1

E F
F G

=

.

Ta thu được:
a=


f F − eG
eF − f E
gF − f G
f F − gE
; b=
; c=
; d=
.
2
2
2
EG − F
EG − F
EG − F
EG − F 2

Khi đó, độ cong trung bình và độ cong Gauss được tính như sau:
H=

eG − 2f F + gE
;
2(EG − F 2 )

K=

eg − f 2
.
EG − F 2


Ví dụ 2.1.6. Mặt Hyperboloid H2 (r, p0 ).
2
2
2
Xét trường hợp đặc biệt : H+
r = X(y, z) = ( y + z + r , y, z).
19

.


Ta có:
y

Xy =

y 2 + z 2 + r2
z

Xz =

y 2 + z 2 + r2

, 1, 0

;

, 0, 1

;


r2 + z 2

Xyy =

y 2 + z 2 + r2

3

, 0, 0

;

3

, 0, 0

;

3

, 0, 0

.

r2 + y 2

Xzz =

y2


+ z2

+ r2

yz

Xyz =

y 2 + z 2 + r2

Hệ số dạng cơ bản I :
E=

yz
r2 + y 2
r2 + z 2
;
F
=
;
G
=
.
y 2 + z 2 + r2
y 2 + z 2 + r2
y 2 + z 2 + r2

Ta có:
Xy ∧ L Xz =


−y

−1,

,

−z

y 2 + z 2 + r2
y 2 + z 2 + r2
r
;
|Xy ∧L Xz |L =
y 2 + z 2 + r2

N=

Xy ∧L Xz
−1
=
(
|Xy ∧L Xz |L
r

;

y 2 + z 2 + r2 , y, z).

Hệ số dạng cơ bản II :

1
r2 + z 2
1
yz
1
r2 + y 2
e= . 2
;
f
=
.
;
g
=
.
.
r y + z 2 + r2
r y 2 + z 2 + r2
r y 2 + z 2 + r2

Các độ cong:
H=

eG − 2f F + gE
1
= ;
2
2(EG − F )
r


K=

eg − f 2
−1
= 2.
2
EG − F
r

Ta thấy mặt Hyperboloid trong R31 có độ cong hằng tương tự như mặt cầu
trong R3 .
Định nghĩa 2.1.7 (Mặt cực đại). Mặt kiểu không gian được gọi là mặt cực
đại nếu độ cong trung bình H bằng 0 tại mọi điểm trên mặt.
20


Ví dụ 2.1.8.

1. Mặt phẳng kiểu không gian P = {p ∈ R31 | p − p0 , v

L

|v| = 1.

Khi đó N = v và dN = 0; H = K = 0.
2. Mặt Catenoid loại 1 là mặt có tham số hóa:
X(u; v) = (u, sinh u cos v, sinh u sin v).

Hình 2.2: Mặt Catenoid loại 1.


Ta có:
Xu = (1, cosh u sin v, cosh u sin v) ;
Xv = (0, − sinh u sin v, sinh u cos v) ;
Xuu = (0, sinh u cos v, sinh u sin v) ;
Xvv = (0, − cosh u sin v, cosh u cos v) ;
Xuv = (0, − sinh u cos v, − sinh u sin v) .

Hệ số dạng cơ bản I :
E = sinh2 u; F = 0; G = sinh2 u.

Xu ∧L Xv = (− cosh u sinh u, − sinh u cos v, − sinh u sin v) ;
|Xu ∧L Xv |L =
N=

EG − F 2 = sinh2 v;
Xu ∧L Xv
(cosh u; cos v; sin v)
=−
.
|Xu ∧L Xv |L
sinh u

Hệ số dạng cơ bản II :
e = −1; f = 0; g = 1.
21

= 0} với