ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ HỒNG VÂN

MẶT TRÒN XOAY CÓ ĐỘ CONG
HẰNG TRONG KHÔNG GIAN R3

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Huế, Năm 2017


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ HỒNG VÂN

MẶT TRÒN XOAY CÓ ĐỘ CONG HẰNG
TRONG KHÔNG GIAN R3
Chuyên ngành: HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ
Mã số: 60460105

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐOÀN THẾ HIẾU

Thừa Thiên Huế, năm 2017

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng
và chưa từng công bố trong một công trình nghiên cứu nào khác.
Tp.Huế, ngày 01 tháng 10 năm 2017
Trần Thị Hồng Vân

ii


Lời cảm ơn
Được sự hướng dẫn tận tâm và đầy kiên nhẫn của thầy giáo, PGS.TS Đoàn
Thế Hiếu, tôi đã có thể hoàn thành được luận văn này. Lời đầu tiên, tôi xin gửi
đến Thầy lòng tôn kính và tri ân sâu sắc vì những điều tâm huyết mà Thầy đã
truyền dạy trong thời gian qua.
Tôi xin trân trọng tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô đã tham gia giảng dạy
cho thế hệ cao học khóa K24, chuyên ngành Toán học, trường Đại học Sư phạm
Huế vì đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu trong suốt thời gian của
khóa học.
Bên cạnh đó, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Khoa Toán
và Phòng Đào tạo Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Huế đã hỗ trợ và tạo
điều kiện học tập thuận lợi, đảm bảo hiệu quả để chúng tôi có thể hoàn thành
khóa học của mình một cách tốt đẹp.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành cùng lòng kính trọng đến gia đình đã
luôn ủng hộ và dành lời động viên cho tôi trong suốt cả chặng đường dài không
ít khó khăn vừa qua.
Và một lời nữa, tôi xin dành cho bạn bè, nhất là các thành viên của lớp
Hình Học Tô-pô K23, K24 niên khóa 2014-2016, 2015-2017 cũng như các anh
chị trong nhóm Seminar Hình Học ở Huế sự biết ơn sâu sắc vì đã nhiệt tình giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học và thực hiện đề tài luận văn của mình.
Tp.Huế, ngày 01 tháng 08 năm 2017

Trần Thị Hồng Vân


Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

2

Lời nói đầu

3

Phần nội dung

3


1 Độ cong Gauss
1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Mặt tham số trong không gian R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Dạng cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Nhát cắt chuẩn tắc. Độ cong Gauss, độ cong trung bình. Các ví dụ
1.3.1 Độ cong pháp. Nhát cắt chuẩn tắc. Độ cong chính . . . . .
1.3.2 Các đường cong chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Độ cong Gauss - Độ cong trung bình . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Một số công thức tính độ cong Gauss . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Độ cong Gauss và độ cong trung bình của một số mặt . .

4
4
4
6
8
8
10
11
11
13

2 Mặt tròn xoay có độ cong hằng
2.1 Mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Độ cong của mặt tròn xoay . . . . . .
2.3 Mặt tròn xoay có độ cong hằng dương
2.4 Mặt tròn xoay có độ cong hằng âm . .
2.5 Mặt Catenoid . . . . . . . . . . . . . .


16
16
19
22
27
33

1

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.


2.5.1
2.5.2

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Độ cong Gauss của mặt catenoid . . . . . . . . . . . . . . . 34

Kết luận

35

Tài liệu tham khảo

36


2


Lời nói đầu
Trong không gian R3 , mặt tròn xoay là mặt nhận được bằng cách quay một
đường cong phẳng (đường sinh) xung quanh một đường thẳng (trục quay) với
giả thiết đường cong và đường thẳng thuộc một mặt phẳng. Để tránh điểm kỳ
dị, người ta thường giả thiết đường cong không cắt đường thẳng.
Mặt tròn xoay có độ cong trung bình hằng hoặc bằng không (mặt tròn xoay
cực tiểu) là đề tài được nhiều người quan tâm.
Ngoài độ cong trung bình thì độ cong Gauss cũng cho chúng ta nhiều tính
chất về mặt. Độ cong Gauss của một mặt tại một điểm là tích của hai độ cong
chính và được đặt theo tên của nhà toán học Carl Friedrich Gauss.
Các mặt có độ cong Gauss hằng (gọi tắt là có độ cong hằng) cũng là một
trong các đối tượng khá thú vị được nhiều nhà Toán học quan tâm.
Vậy, vấn đề đặt ra ở đây là việc đi tìm các mặt tròn xoay có độ cong hằng
âm hay độ cong hằng dương như thế nào, chúng có hình dạng ra sao?
Với mong muốn được tìm hiểu về độ cong Gauss cũng như các mặt tròn xoay
có độ cong Gauss hằng, được sự gợi ý của PGS.TS. Đoàn Thế Hiếu, tôi đã nhận
đề tài “Mặt tròn xoay có độ cong hằng trong không gian R3 ” làm đề tài
nghiên cứu của luận văn. Luận văn được trình bày theo ba phần,
• Lời nói đầu: Giới thiệu nội dung nghiên cứu của luận văn.
• Phần nội dung: Bao gồm hai chương:

Chương 1: Độ cong Gauss.
Trong chương này tôi trình bày một số kiến thức về mặt, tổng hợp và
chứng minh chi tiết các công thức tính độ cong Gauss trên cơ sở liên hệ
với khái niệm "nhát cắt chuẩn tắc" và chỉ ra các ví dụ liên quan trong
không gian R3 , theo đó, ta có thể áp dụng để tính nhanh độ cong của
một số mặt quen thuộc.

Chương 2: Mặt tròn xoay có độ cong hằng.
Trong chương này tôi giới thiệu khái niệm về mặt tròn xoay, nêu ví dụ
và chỉ ra các mặt tròn xoay trong không gian R3 có độ cong hằng dương
hay hằng âm.
• Phần kết luận: Tổng kết các kết quả đạt được, đồng thời nêu một số vấn

đề chưa giải quyết được trong luận văn.
3


Chương 1

Độ cong Gauss
1.1

Kiến thức chuẩn bị

Để tiếp cận các kiến thức trong nội dung chính ở chương này được dễ dàng
và hiệu quả hơn, chúng ta sẽ củng cố lại một vài khái niệm, các kiến thức được
tham khảo từ tài liệu [1].

1.2

Mặt tham số trong không gian R3

Mục này nhằm giới thiệu mặt tham số trong không gian R3 , đưa ra công thức
tính toán các độ cong địa phương và trình bày các ví dụ.
Định nghĩa 1.2.1 (Mặt tham số). Một mặt tham số là một cặp (X, S) với
X : U ⊂ R2 → R3
(u, v) → X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))


là một ánh xạ khả vi xác định trên U mở và S = X(U ).
Khi đó S được gọi là vết của mặt tham số, X được gọi là tham số hóa của
mặt.
Mặt tham số X được gọi là liên tục, khả vi nếu ánh xạ X là liên tục, khả vi.
Mặt tham số X được gọi là chính quy nếu ánh xạ đạo hàm DXp : R2 → R3 là
đơn ánh ∀p ∈ U . Tức là {Xu (p), Xv (p)} độc lập tuyến tính.
Mệnh đề 1.2.2. Cho X : U ⊂ R2 → R3 là mặt tham số chính quy và q là một
điểm thuộc U . Khi đó tồn tại một lân cận V của q trong U sao cho X(V ) ⊂ R3
là một mặt chính quy.

4


Chứng minh. Giả sử X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Từ tính chính quy, ta có
thể giả sử
xu y u
xv y v

=

∂(x, y)
= 0.
∂(u, v)

Xét ánh xạ
F : U × R → R3
(u, v, t) → F (u, v, t) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v) + t), (u, v, t) ∈ U × R.
∂(x,y)
Do det(F (q)) = ∂(u,v)

(q) = 0 nên theo định lý hàm ngược, tồn tại lân cận
W1 của q và lân cận W2 của F (q) sao cho F : W1 → W2 là một vi phôi. Đặt
V = W1 ∩ U , ta có F |V = X|V . Do X(V ) vi phôi với V nên X là mặt chính
quy.

Định nghĩa 1.2.3. Một vector tiếp xúc v của mặt chính quy S tại điểm p ∈ S
là vector tiếp xúc của một cung tham số α khả vi có vết nằm trên S .
α : (− ; ) −→ S
α(0) = p,
α (0) = v.

Đặt Tp S = {v : v là vector tiếp xúc với S tại p} là tập gồm tất cả các vector
tiếp xúc của S tại p được gọi là mặt phẳng tiếp xúc của S đặt tại p và được ký
hiệu là Tp S .
Ta có thể thấy rằng mỗi không gian tiếp xúc Tp S là một không gian vector
2-chiều và {Xu , Xv } là hai vector tiếp xúc lập thành một cơ sở của không gian
tiếp xúc Tp S .
Định nghĩa 1.2.4 (Mặt phẳng tiếp xúc). Xét q(u, v) ∈ Ω, ta có X(q) = p ∈ S .
Khi đó, mặt phẳng đi qua p nhận Xu (q), Xv (q) làm cặp vector chỉ phương được
gọi là mặt phẳng tiếp xúc của S tại p.
Khi không quan tâm đến điểm tiếp xúc, ta có thể đồng nhất không gian tiếp
xúc và mặt phẳng tiếp xúc.
Định nghĩa 1.2.5 (Dạng cơ bản thứ nhất). Cho S ⊂ R3 là một mặt chính
quy, p ∈ S . Tích vô hướng trên mỗi mặt phẳng tiếp xúc Tp S cảm sinh từ tích vô
hướng trên R3 được xác định như sau:
ω1 , ω2

p

= ω1 .ω2 , ∀ω1 , ω2 ∈ Tp S.

5


Khi đó, dạng toàn phương:
Ip : Tp S −→ R
ω −→ Ip (ω) = ω, ω

p

= ω.ω = |ω|2 , với ω ∈ Tp S

được gọi là dạng cơ bản thứ nhất của mặt S tại điểm p.

1.2.1

Dạng cơ bản thứ hai

Cho S là một mặt chính quy và V ⊂ S là một tập mở.
Định nghĩa 1.2.6. Cho một trường vector trên V với ánh xạ F : V −→ R3 .
Trường vector này được gọi là liên tục, khả vi nếu ánh xạ F liên tục, khả vi.
Nếu ∀p ∈ V, F (p) ∈ Tp S thì F được gọi là trường vector tiếp xúc trên V .
Nếu ∀p ∈ V, F (p)⊥Tp S thì F được gọi là trường vector pháp trên V .
Nếu ∀p ∈ V, F (p)| = 1, thì F được gọi là trường vector đơn vị trên V .
Định nghĩa 1.2.7 (Mặt định hướng). Xét một mặt chính quy S , nếu có một
trường pháp vector đơn vị liên tục N xác định trên toàn bộ mặt thì mặt đó
được gọi là định hướng được. Khi đó, trường pháp vector N được gọi là một
định hướng của S . Một mặt chính quy định hướng là mặt chính quy định hướng
được cùng hướng xác định N .
Định nghĩa 1.2.8 (Ánh xạ Gauss). Cho (S, N ) là một mặt chính quy định
hướng, giả thiết rằng định hướng N của mặt là khả vi. Do |Np | = 1, ∀p ∈ S nên

ta có thể coi N là ánh xạ khả vi đi từ mặt chính quy S vào mặt cầu đơn vị S 2 ,
biến mỗi điểm p trên mặt S thành điểm ngọn của vector pháp Np thuộc mặt S 2 .
Ánh xạ:
N :S −→ S 2
p −→ Np

được gọi là ánh xạ Gauss của mặt định hướng S .
Ta có ánh xạ Gauss khả vi và đạo hàm của nó tại p ∈ S là một ánh xạ tuyến
tính.
Vì Tp S⊥Np , TNp S 2 ⊥Np , ∀p ∈ S nên ta thường đồng nhất Tp S và TNp S 2 tại
mọi p ∈ S . Do đó có thể xem dNp là một tự đồng cấu tuyến tính của Tp S :
dNp : Tp S −→ TNp S 2 ≡ Tp S.
6


Mệnh đề sau đây là một tính chất quan trọng của ánh xạ dNp .
Mệnh đề 1.2.9. Ánh xạ dNp : Tp S −→ Tp S là tự liên hợp, tức là:
∀α, β ∈ Tp S,

dNp (α), β = α, dNp (β) .

(1.1)

Chứng minh. Xét X(u, v) là mặt tham số hóa của mặt S tại p, {Xu , Xv } là một
cơ sở của Tp S . Ta có:
N=
dNp (Xu ) =

Xu ∧ Xv
;

|Xu ∧ Xv |

∂
∂
(N ) = Nu ; dNp (Xv ) =
(N ) = Nv .
∂u
∂v

Với α, β ∈ Tp S , nghĩa là α = aXu + bXv ; β = cXu + dXv , ta có:

dNp (α), β = dNp (aXu + bXv ), cXu + dXv
= aNu + bNv , cXu + dXv
= ac Nu , Xu + ad Nu , Xv + bc Nv , Xu + bd Nv , Xv ;
α, dNp (β) = aXu + bXv , dNp (cXu + dXv )
= aXu + bXv , cNu + dNv
= ac Xu , Nu + ad Xu , Nv + bc Xv , Nu + bd Xv , Nv .

Mà N, Xu = 0 và N, Xv = 0 nên:
Nv , Xu + N, Xuv = 0;

(1.2)

Nu , Xv + N, Xuv = 0.

(1.3)

Từ (1.2) và (1.3), suy ra Nv , Xu = Nu , Xv . Thay vào các khai triển của
dNp (α), β và α, dNp (β) , ta thu được:
dNp (α), β = α, dNp (β) .


Định nghĩa 1.2.10 (Dạng cơ bản thứ hai). Dạng toàn phương IIp (α) :=
− dNp (α), α được gọi là dạng cơ bản thứ hai của mặt S tại điểm p.

7


1.3
1.3.1

Nhát cắt chuẩn tắc. Độ cong Gauss, độ cong trung bình.
Các ví dụ
Độ cong pháp. Nhát cắt chuẩn tắc. Độ cong chính

Định nghĩa 1.3.1 (Độ cong pháp của đường cong). Xét C là một đường
cong chính quy trên mặt S , đi qua p. Giả sử np là pháp vector (đơn vị) của
đường cong C tại p, Np là pháp vector (đơn vị) của mặt S tại p. Gọi k(p) là độ
cong của C tại p. Lúc này ta có:
kn (p) = k(p). np , Np ,

số này được gọi là độ cong pháp của đường cong C tại p.
Có thể thấy rằng độ cong pháp chính là độ dài hình chiếu của k(p)np lên pháp
tuyến của mặt S . Dấu của nó phụ thuộc vào hướng của pháp vector Np .
Giả sử ω ∈ Tp S, |ω| = 1. Gọi α là đường tham số (với tham số hóa độ dài
cung)
α : (− ; ) −→ S

sao cho α(0) = p và α (0) = ω . Ký hiệu N (s) là hạn chế của ánh xạ Gauss lên
đường tham số α. Vì N, α = 0, dẫn đến:
N (s), α (s) = − N (s), α (s) .


Do vậy
IIp (α (0)) = − dNp (α (0)), α (0)
= − N (0), α (0)
= N (0), α (0)
= N, k n (p) = kn (p).

Định nghĩa 1.3.2 (Độ cong pháp của mặt). Độ cong pháp của mặt S tại
điểm p ∈ S theo hướng của vector ω được định nghĩa là độ cong của một đường
chính quy trên mặt S , đi qua p, đồng thời có vector tiếp xúc tại p chính là ω .
Định nghĩa 1.3.3 (Nhát cắt chuẩn tắc). Cho mặt S chính quy, ta xét mặt
phẳng P chứa p, nhận ω và N làm cặp vector chỉ phương. Khi đó, giao của P và
S được gọi là nhát cắt chuẩn tắc của S tại p dọc theo ω .

8


Trong một lân cận của p, nhát cắt chuẩn tắc này chính là một đường cong
phẳng, đồng thời có pháp vector là ±Np .
Ta có một số kết quả liên quan như sau:
Mệnh đề 1.3.4. Giá trị tuyệt đối của độ cong pháp của mặt S tại một điểm p
theo vector v bằng độ cong của nhát cắt chuẩn tắc của S tại p dọc theo v .
Vì ánh xạ tuyến tính dNp liên hợp nên tồn tại cơ sở trực chuẩn {e1 , e2 } để:
dNp (e1 ) = −k1 e1 ; dNp (e2 ) = −k2 e2 .

(1.4)

Nghĩa là −k1 , −k2 là các giá trị riêng, còn e1 , e2 là các vector riêng đơn vị lần
lượt tương ứng với các giá trị riêng đó của ánh xạ dNp . Ta có thể giả thiết rằng
k1 ≤ k2 .

Chứng minh. Xem độ cong pháp như là một hàm k : Sp1 −→ R, trong đó Sp1 là
tập các vector tiếp xúc đơn vị trong không gian tiếp xúc Tp S . Vì Sp1 là một đường
tròn, nó là compact và hơn nữa, k đạt giá trị lớn nhất tại một vector đơn vị nào
đó, gọi đó là e1 ∈ Sp1 . Chọn e2 tùy ý trong Sp1 sao cho e1 ⊥ e2 . Khi đó {e1 , e2 } là
một cơ sở trực chuẩn của Tp S và
dNp (e1 ) = (dNp (e1 ).e1 )e1 + (dNp (e1 ).e2 )e2
dNp (e2 ) = (dNp (e2 ).e1 )e1 + (dNp (e2 ).e2 )e2

.

(1.5)

Xem u = u(θ). Đặt u(θ) = e1 cos θ + e2 sin θ; k(θ) = k(u(θ)), khi đó:
k(θ) = (dNp (e1 ).e1 ) cos2 θ + 2(dNp (e1 ).e2 ) sin θ cos θ + (dNp (e2 ).e2 ) sin2 θ,

(1.6)

sao cho
d
k(θ) = 2(dNp (e2 ).e2 − dNp (e1 ).e1 ) sin θ cos θ + 2(dNp (e1 ).e2 )(cos2 θ − sin2 θ). (1.7)
dθ

Đặc biệt:
0=

d
(0) = 2dNp (e1 ).e2 .
dθ

(1.8)


Vì k(θ) đạt cực đại tại θ = 0, từ (1.5) và (1.8) ta có được (1.4). Từ (1.4) cho
thấy e1 , e2 là các vector riêng của dNp , từ (1.6) cho thấy các độ cong chính của
S tại p là các giá trị riêng của dNp .
Định nghĩa 1.3.5 (Độ cong chính - Phương chính). Các giá trị k1 , k2 được
gọi là các độ cong chính. Các phương được xác định bởi các vector riêng e1 , e2
được gọi là các phương chính của mặt S tại p. Các vector e1 , e2 được gọi là các
9


vector chỉ phương chính.
Trong một vài trường hợp, ta đồng nhất e1 , e2 với các phương chính được xác
định bởi chúng để thuận tiện hơn trong khi phát biểu.
1.3.2

Các đường cong chính

Cho S là mặt định hướng, N là mặt phẳng pháp đơn vị.
Định nghĩa 1.3.6. Một đường cong α trên một mặt chính quy S ⊂ R3 được
gọi là đường cong chính nếu vector α thuộc một phương. Tức là:
dNp (α ) = ki α ,

trong đó dNp là ánh xạ tuyến tính của S đối với N, ki (i = 1, 2) là độ cong chính
của S.
Bổ đề 1.3.7. Một vector tiếp xúc khác không vp của mặt chính quy S ⊂ R3
thuộc một vector chính khi và chỉ khi dNp (vp ) ∧ vp = 0.
Do đó, đường cong α trên S là đường cong chính khi và chỉ khi dNp (α )∧α = 0.
Chứng minh. Nếu dNp (vp ) = ki vp thì dNp (vp ) ∧ vp = ki vp ∧ vp = 0. Ngược lại, nếu
dNp (vp ) ∧ vp = 0 thì dNp (vp ) và vp là phụ thuộc tuyến tính.
Định lý 1.3.8. Cho α là một đường cong có vết nằm trên giao tuyến của hai

mặt chính quy S1 , S2 ⊂ R3 . Kí hiệu Ni là các vector pháp của Si , i = 1, 2.
Giả sử dọc α, hai mặt gặp nhau tại một góc không đổi, N1 .N2 = const. Khi đó,
α là một đường cong chính trong S1 khi và chỉ khi α cũng là đường cong chính
trong S2 .
Chứng minh. Dọc theo đường cong giao tuyến, ta có:
0=

d
d
d
(N1 .N2 ) = ( N1 ).N2 + N1 .( N2 ).
dt
dt
dt

(1.9)

Giả sử đường cong giao tuyến α là đường cong chính trong S1 , khi đó:
d
N1 = −k1 α , (k1 là độ cong chính trên S1 )
dt

(1.10)

nhưng α ⊥ N2 , vì vậy từ (1.9) và (1.10), ta có:
N1 .(

d
N2 ) = 0.
dt


10

(1.11)


Vì

d
N2 ⊥ N2 nên từ (1.11), ta có:
dt
d
N2 = −k2 α , k2 tùy ý.
dt

(1.12)

Nói cách khác, α cũng là đường cong chính trong S2 .
1.3.3

Độ cong Gauss - Độ cong trung bình

Định nghĩa 1.3.9. Cho mặt chính quy định hướng (S, N ), p ∈ S , dNp là ánh
xạ đạo hàm của ánh xạ Gauss tại điểm p. Khi đó ta có các khái niệm sau:
• Độ cong Gauss của S tại điểm p được định nghĩa là định thức của dNp , ký

hiệu:
K(p) = det dNp .
• Độ cong trung bình của S tại điểm p là một nửa vết của −dNp , ký hiệu:
1

H(p) = Tr(−dNp ).
2

Từ định nghĩa này, ta có thể nhận thấy:
a. Các độ cong:
K = k1 .k2 ;
H=

k1 + k2
.
2

(1.13)
(1.14)

b. Khi định hướng của mặt thay đổi sẽ làm đổi dấu độ cong trung bình nhưng
không làm thay đổi độ cong Gauss.
1.3.4

Một số công thức tính độ cong Gauss

Theo trên, ta xây dựng công thức tính toán cụ thể của các độ cong Gauss và
độ cong trung bình như sau:
Với (S, N ) là mặt chính quy định hướng và có tham số hóa địa phương tại
điểm p ∈ S là X : U −→ S . Giả sử rằng hướng của N tương thích với X , tức là:
N=

Xu ∧ Xv
.
|Xu ∧ Xv |


Ta có N, N = 1, suy ra N, Nu = 0; N, Nv = 0. Do đó Nu , Nv ∈ Tp S .
Mà Tp S có cơ sở {Xu , Xv } nên:
Nu = aXu + bXv ;
11


Nv = cXu + dXv .

Vậy ma trận của dNp theo cơ sở {Xu , Xv } là:
a b
c d

.

Tìm ma trận của dạng cơ bản IIp :
− dNp (Xu ), Xu = − Nu , Xu = N, Xuu := e;
− dNp (Xu ), Xv = − Nu , Xv = N, Xuv := f ;
− dNp (Xv ), Xv = − Nv , Xv = N, Xvv := g.

Vậy ma trận của IIp theo cơ sở {Xu , Xv } là:
e f
f g

.

Ta đã biết ở phần trước, với:
Xv , Xv = G.

Xu , Xv = Xv , Xv = F ;


Xu , Xu = E;

Ta có:
−e = Nu , Xu = aXu + bXv , Xu = aE + bF ;
−g = Nv , Xv = cXu + dXv , Xv = cG + dF ;
−f = Nu , Xv = aXu + bXv , Xv = aF + bG
= Nv , Xu = cXu + dXv , Xu = cE + dF,

hay
−

e f

=

f g

a b

E F

c d

F G

.

Suy ra
−1


a b
c d

=−

e f

E F

f g

F G

1
EG − F 2

G

−F

−F

E

.

Trong đó
−1


E F
F G

=

12

.


Ta thu được:
a=

f F − eG
eF − f E
gF − f G
f F − gE
; b=
; c=
; d=
.
2
2
2
EG − F
EG − F
EG − F
EG − F 2

(1.15)


Như vậy, với các định nghĩa độ cong nêu trên và thông qua tính toán, ta có:

• Độ cong trung bình:
H(N ) =

eG − 2f F + gE
.
2(EG − F 2 )

(1.16)

eg − f 2
.
EG − F 2

(1.17)

• Độ cong Gauss:
K(N ) =

Định lý 1.3.10. (Phương Trình Weingarten). Cho X : U −→ R3 là một
mặt chính quy, khi đó ánh xạ dNp của X được cho theo cơ sở {Xu , Xv } xác định
bởi:

 −dNp (Xu ) = Uu = f F − eG Xu + eF − f E Xv
EG − F 2
EG − F 2
.
(1.18)

gF
−
f
G
f
F − gE
 −dN (X ) = U =
X +
X
p

v

v

EG − F 2

u

EG − F 2

v

Chứng minh. Vì X là chính quy và Xu , Xv là độc lập tuyến tính, nên ta có thể
viết lại:
−dNp (Xu ) = Uu = aXu + bXv
−dNp (Xv ) = Uv = cXu + dXv

.


(1.19)

Theo cách xây dựng công thức tính độ cong Gauss như trên và từ (1.15) ta
thu được phương trình Weingarten.
1.3.5

Độ cong Gauss và độ cong trung bình của một số mặt

Từ công thức tính độ cong Gauss ở (1.13), độ cong trung bình ở (1.14) và
mối quan hệ giữa độ cong chính với độ cong của nhát cắt chuẩn tắc thuộc mặt
S tại p, dọc theo phương ω , ta có thể tính toán nhanh độ cong của một số mặt
phổ biến dưới đây.
1. Mặt phẳng.
Tại mỗi điểm p ∈ (P ), Tp (P ) ≡ (P ).
13


Np là vector pháp của (P ) tại p.

Với mỗi ω ∈ Tp (P ), ta gọi (Np , ω) là mặt phẳng qua p chứa Np và ω . Khi đó
(Np , ω) ∩ (P ) = ∆ với ∆ là đường thẳng. Tức là tất cả các nhát cắt chuẩn
tắc của mặt phẳng đều là đường thẳng, có độ cong bằng 0. Vậy các độ cong
chính k1 = k2 = 0. Do đó:
K(p) = k1 k2 = 0;
k1 + k2
H(p) =
= 0.
2

2. Mặt cầu. Cho mặt cầu S , tâm I có bán kính là R.

Tại mỗi điểm p ∈ (S), Tp (S) là một mặt phẳng.
Np là vector pháp của (S) tại p. (Ở đây ta xét trường hợp Np hướng ra ngoài
mặt cầu).
Xét các vector ωi đặt gốc tại p, sai lệch nhau bởi các góc quay từ 0o đến
360o . Gọi (Np , ωi ) là mặt phẳng qua p chứa Np và ωi . Khi đó (Np , ωi ) ∩ (S)
sẽ cho ra các đường tròn có tâm chính là tâm của mặt cầu. Các đường tròn
này (với vector pháp Np hướng ra ngoài) có độ cong k = − R1 .
Vậy hai độ cong chính là k1 = k2 = − R1 . Do đó:
1
;
R2
k1 + k2
1
H(p) =
=− .
2
R
K(p) = k1 k2 =

3. Mặt trụ. Cho mặt trụ C , trục d có bán kính đáy là R.
Tại mỗi điểm p ∈ (C), Tp (C) là một mặt phẳng.
Np là vector pháp của (C) tại p. (Lưu ý rằng Np có hai khả năng hoặc là
hướng ra ngoài, hoặc là hướng vào trong; ở đây ta xét trường hợp Np hướng
ra ngoài mặt trụ).
Xét các vector ωi đặt gốc tại p, sai lệch nhau bởi các góc quay từ 0o đến
360o . Gọi (Np , ωi ) là mặt phẳng qua p chứa Np và ωi . Khi đó (Np , ωi ) ∩ (C)
sẽ cho ra ba dạng đường cong sau:

14



– đường thẳng có độ cong k = 0;
– đường tròn (vector pháp Np hướng ra ngoài) có độ cong k = − R1 ;
– các đường elip có độ cong − R1 < k < 0.
Vậy hai độ cong chính là k1 = 0 và k2 = − R1 . Do đó:
K(p) = k1 k2 = 0;
H(p) =

k1 + k2
1
=− .
2
2R

15


Chương 2

Mặt tròn xoay có độ cong hằng
Nhiều vật dụng hàng ngày trong cuộc sống của chúng ta có hình dạng của
một mặt tròn xoay. Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu về mặt tròn xoay
có độ cong Gauss hằng (gọi tắt là độ cong hằng), các kết quả được tham khảo
ở tài liệu [4].

2.1

Mặt tròn xoay

Một cách tổng quát, trong không gian R3 , mặt tròn xoay là mặt nhận được

bằng cách quay một đường cong phẳng quanh một đường thẳng với giả thiết
đường cong và đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng. Hay nói một cách chính
xác hơn:
Định nghĩa 2.1.1. Cho (P ) là mặt phẳng trong R3 , d là đường thẳng trong
(P ) và α là một đường cong phẳng trong (P ). Khi quay α quanh d ta nhận được
một mặt tròn xoay M tạo ra bởi α. Đường thẳng d được gọi là trục của mặt
tròn xoay M .
Để thuận tiện hơn cho việc tính toán, chúng ta chọn (P ) là mặt phẳng xz và
d là trục z . Đôi khi để tránh điểm kỳ dị, ta sẽ giả thiết d không cắt α.
Bây giờ ta sẽ đi tìm một tham số hóa của mặt tròn xoay:
Giả sử đường cong α khả vi có một tham số hóa dạng:
α(v) = (ϕ(v), 0, ψ(v)).

Khi đó, quay α quanh trục z , ta thu được một mặt tròn xoay được tham số
hóa bởi:
X(u, v) = (ϕ(v) cos u, ϕ(v) sin u, ψ(v)), ϕ(v) > 0.
(2.1)
Trong đó u là góc quay quanh trục z, 0 < u < 2π, a < v < b và giả định
ϕ(v) > 0 để đảm bảo rằng các đường sinh không cắt trục của mặt tròn xoay.
16


Trái Đất là một ví dụ của mặt tròn xoay. Một kinh tuyến trên Trái Đất là
một vòng tròn lớn đi qua cực Bắc và cực Nam, một vĩ tuyến là một vòng tròn
trên Trái Đất song song với đường xích đạo. Sau đây là những khái niệm mở
rộng cho một mặt tròn xoay bất kỳ:
Định nghĩa 2.1.2. Cho α là một đường cong trong mặt phẳng (P ) ⊂ R3 và M
là mặt tròn xoay trong R3 được tạo ra bằng cách quay α quanh trục d, (d ⊂ (P )).
Các kinh tuyến trên M là giao điểm của M với các mặt phẳng chứa trục z. Các
vĩ tuyến trên M là giao điểm của M với các mặt phẳng trực giao với trục z.

Với một mặt được tham số hóa bởi (2.1), vĩ tuyến
u −→ X(u, v0 ) = (ϕ(v0 ) cos u, ϕ(v0 ) sin u, ψ(v0 ))

(2.2)

v −→ X(u0 , v) = (ϕ(v) cos u0 , ϕ(v) sin u0 , ψ(v))

(2.3)

và kinh tuyến

là các đường cong tọa độ để mô phỏng hình ảnh của mặt tròn xoay.
Hình (2.1) dưới đây biểu diễn các kinh tuyến và vĩ tuyến với các kinh tuyến
hình bên phải và các vĩ tuyến ở bên trái.

Hình 2.1: Các vĩ tuyến và kinh tuyến trên một mặt tròn xoay tổng quát tạo bởi đường cong t →
1
(2 + sin 2t, t).
2

ϕ(v0 ) biểu diễn bán kính của từng vĩ tuyến và ψ(v0 ) biểu diễn độ cao (dương

hay âm) của các vĩ tuyến tính từ mặt phẳng xy .
17


Định lý 2.1.3. Giả sử mặt tròn xoay M được tạo bởi đường cong phẳng α là
một mặt chính quy. Khi đó, các kinh tuyến và vĩ tuyến trên M là các đường cong
chính.
Chứng minh. Mỗi kinh tuyến là một đường cong tạo bởi giao của M với mặt

phẳng chứa trục quay.
Theo định lí (1.3.8), các kinh tuyến là các đường cong chính của M .
Tương tự, mỗi vĩ tuyến là một đường cong tạo bởi giao của M với mặt phẳng
trực giao với trục quay của M . Theo định lí (1.3.8), các vĩ tuyến cũng là các
đường cong chính.
Định nghĩa 2.1.4. Một mảnh chính là một mặt tham số X : U −→ R3 mà các
đường cong
u −→ X(u, v) và v −→ X(u, v)
là các đường cong chính.
Bổ đề 2.1.5. Cho mặt tham số X : U −→ R3 , khi đó:
i) Nếu F = f = 0 tại mọi điểm của U thì X là mảnh chính.
ii) Nếu X là mảnh chính với các độ cong chính khác biệt thì F = f = 0 trên U .
Chứng minh.
i) Nếu F = f = 0 thì theo phương trình Weingarten (1.18), ta có:
e
Xu ;
E
g
dNp (Xv ) = Xv ,
G

dNp (Xu ) =

nghĩa là Xu , Xv là hai vector riêng của ánh xạ dNp . Do đó X là mảnh chính.
ii) Ngược lại, nếu X là mảnh chính thì cả Xu , Xv là hai vector riêng của ánh
xạ dNp . Nếu trong điều kiện các độ cong chính là khác biệt, thì theo mệnh đề
(1.3.4), ta có F = f = 0.
Hệ quả 2.1.6. Cho X : U −→ R3 là một mặt chính quy mà F = f = 0. Khi đó
e
g

các độ cong chính là
và .

E
G
Chứng minh. Khi F = f = 0, theo phương trình Weingarten (1.18), ta có:
e
g
dNp (Xu ) = Xu ; dNp (Xv ) = Xv .
E
G
e g
Theo định nghĩa (1.3.6), ta có , là các giá trị riêng của ánh xạ dNp nên
E G
e g
k1 , k2 là , theo thứ tự đó.
E G
18


2.2

Độ cong của mặt tròn xoay

Trong mục này chúng ta sẽ đi xây dựng công thức độ cong của một mặt tròn
xoay tổng quát. Trước tiên, ta sẽ đi tính các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và
dạng cơ bản thứ hai cũng như vector pháp đơn vị của mặt tròn xoay.
Bổ đề 2.2.1. Cho M là mặt tròn xoay với đường cong α = (ϕ, ψ), X là tham số
hóa chuẩn của M . Khi đó:
E = ϕ2 ; F = 0; G = ϕ 2 + ψ 2 ,


(2.4)

với X là chính quy, ϕ 2 + ψ 2 = 0.
e=

−|ϕ|.ψ
ϕ2+ψ2

; f = 0; g =

(sign)(ϕ ψ − ϕ ψ )
ϕ2+ψ2

và
N=

sign ϕ
ϕ2+ψ2

(ψ cos u, ψ sin u, −ϕ ).

Chứng minh. Từ (2.1) ta có X(u, v) = (ϕ(v) cos u, ϕ(v) sin u, ψ(v)).
Lại có:
Xu = (−ϕ(v) sin u, ϕ(v) cos u, 0)
Xv = (ϕ (v) cos u, ϕ (v) sin u, ψ (v))

.

Do đó:

E = Xu .Xu = ϕ2 (v);
F = Xu .Xv = 0;
G = Xv .Xv = ϕ 2 (v) + ψ 2 (v).
N=

X u ∧ Xv
=
|Xu ∧ Xv |

|ϕ(v)|
ϕ 2 (v) + ψ 2 (v)

(ψ (v) cos u, ψ (v) sin u, −ψ (v)).

Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của X, ta được:


 Xuu = (−ϕ(v) cos u, −ϕ(v) sin u, 0)
Xuv = (−ϕ (v) sin u, ϕ (v) cos u, 0)




Xvv = (ϕ (v) cos u, ϕ (v) sin u, ψ (v))

19

.

(2.5)



Vì vậy
−|ϕ|.ψ

e = N.Xuu =

ϕ2+ψ2

;

f = N.Xuv = 0;
g = N.Xvv =

(sign)(ϕ ψ − ϕ ψ )
ϕ2+ψ2

.

Tại thời điểm này, chúng ta có thể tính được độ cong Gauss K từ công thức
(1.17), tuy nhiên chúng ta sẽ đi tìm hiểu thêm về công thức tính độ cong Gauss
theo các đường cong chính.
Như chúng ta đã biết, các đường cong tọa độ ở (2.2), (2.3) là các đường cong
chính. Ta ký hiệu các độ cong chính là kp , km thay vì thường là k1 , k2 . Cụ thể
hơn thì kp là độ cong của vĩ tuyến và km là độ cong của kinh tuyến.
Định lý 2.2.2. Các độ cong chính của mặt tròn xoay được tham số hóa bởi (2.1)
được cho bởi:

−ϕ
e



 kp = E =
|ϕ| ϕ 2 + ψ 2
.
(2.6)
(sign ϕ(ϕ ψ − ϕ ψ )
g


 km = G =
2
2 3
(ϕ + ψ )

Độ cong Gauss là
K=

−ψ 2 ϕ + ϕ ψ ψ
ϕ(ϕ 2 + ψ 2 )2

(2.7)

và độ cong trung bình
H=

ϕ(ϕ ψ − ϕ ψ ) − ψ (ϕ 2 + ψ 2 )
2|ϕ|

Chứng minh. Vì F = f = 0, cặp


(ϕ 2 + ψ 2 )3

Xu Xv
,
|Xu | |Xv |

.

(2.8)

tạo thành một cơ sở trực chuẩn mà

các ánh xạ dNp là chéo hóa được với mọi X chính quy. Do đó, theo hệ quả (2.1.6)
ta có:
dNp (Xu ) =

g
e
Xu ; dNp (Xv ) = Xv .
E
G

g
e
; kp = . Từ (2.4), (2.5) ta có được (2.6).
G
E
1
Áp dụng K = kp .km ; H = (kp .km ) ta thu được (2.7) và (2.8).

2

Như vậy km =

Hệ quả 2.2.3. Cho một mặt tròn xoay, các hàm K, H, kp , km , E, F, G, e, f, g là
các hàm hằng dọc các vĩ tuyến.
20


Chứng minh. Tất cả các hàm này đều được biểu diễn qua ϕ, ψ và các toán tử
của nó nhưng ϕ, ψ không phụ thuộc vào u.
Để có được các công thức tính độ cong cho một mặt tròn xoay đơn giản hơn
và thuận tiện cho việc tính toán, trong một vài trường hợp, chúng ta có thể chọn
một đường cong có vận tốc đơn vị (ϕ 2 + ψ 2 = 1), từ đó ta có hệ quả dưới đây:
Hệ quả 2.2.4. Cho X là tham số hóa cho bởi (2.1) của một mặt tròn xoay trong
R3 với đường cong α = (ϕ, ψ) có vận tốc đơn vị. Khi đó:
E = ϕ2 ; F = 0; G = 1;
e = −|ϕ|.ψ ; f = 0; g = (sign)(ϕ ψ − ϕ ψ );
kp = −

ψ
;
|ϕ|

km = (sign)(ϕ ψ − ϕ ψ );

2H = (sign)(ϕ ψ − ϕ ψ ) −

ψ
;

|ϕ|

K=−

ϕ
.
ϕ

Chứng minh. Vì |α | = 1 = ϕ 2 + ψ 2 . Do đó, kết hợp với (2.4),(2.5) và (2.6)
hiển nhiên ta có được các công thức tính E, F, G, e, f, g.
Từ (2.7), ta có:
K=

−ψ 2 (v)ϕ (v) + ϕ (v)ψ (v)ψ (v)
.
ϕ(v)(ϕ 2 (v) + ψ 2 (v))2

Mặt khác (|α |) = ϕ (v).ϕ (v) + ψ (v).ψ (v) = 0. Thay vào (2.9), ta được:
−(1 − ϕ 2 (v)).ϕ (v) + ϕ (v).ψ (v).ψ (v)
ϕ(v)
ϕ 2 (v).ϕ (v) − ϕ (v) + ϕ (v).ψ (v).ψ (v)
=
ϕ(v)
ϕ (v).(ϕ (v).ϕ (v) + ψ (v).ψ (v)) − ϕ (v)
=
ϕ(v)
−ϕ (v)
=
.
ϕ(v)


K=

.

21

(2.9)