ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HỒNG THỊ THANH TÂM

MẶT KẺ CỰC ĐẠI TRONG
KHÔNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Thừa Thiên Huế, Năm 2017


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HỒNG THỊ THANH TÂM

MẶT KẺ CỰC ĐẠI TRONG
KHÔNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI
Chuyên ngành: HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ
Mã số: 60460105

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐOÀN THẾ HIẾU

Thừa Thiên Huế, năm 2017

i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng công bố trong một công trình nghiên cứu nào khác.
Hồng Thị Thanh Tâm

ii


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của
thầy giáo PGS.TS Đoàn Thế Hiếu. Lời đầu tiên của luận văn này, tôi xin phép
được gởi đến thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy trong thời
gian hướng dẫn tôi thực hiện luận văn.
Nhân dịp này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy cô
giáo đã tham gia giảng dạy khóa cao học K24, những người đã giúp tôi trang bị
những kiến thức cần thiết trong hơn hai năm học vừa qua.
Đồng thời, tôi cũng xin gởi lời cám ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu,
Phòng Đào tạo Sau đại học và Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Huế đã tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn của
mình.
Sau cùng, tôi xin được gởi lời cám ơn đến gia đình, bạn bè, và đặc biệt là
các anh chị trong lớp "Hình học và Tôpô" khóa K22, K23, K24 đã nhiệt tình
giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn cũng như quá trình học tập.
Hồng Thị Thanh Tâm

iii



Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Lời mở đầu

2

Chương 1

Mặt kẻ trong không gian R3

4

1.1


Mặt tham số trong không gian R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Mặt kẻ trong không gian R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Đường thắt của mặt kẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5

Mặt Helicoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Chương 2

Mặt kẻ cực đại trong không gian R31

20


2.1

Không gian R31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2

Mặt tham số kiểu không gian. Mặt tham số kiểu thời gian . . . . 23
2.2.1

Mặt tham số kiểu không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2

Mặt tham số kiểu thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.3

Các độ cong địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3

Mặt kẻ kiểu thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4

Mặt kẻ cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5


Mặt Helicoid Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

44

1


LỜI MỞ ĐẦU
Mặt Helicoid H0 := {(x, y, z) ∈ R3 : x tan z = y} được phát hiện lần đầu tiên
bởi Jean Baptiste Meusnier vào năm 1776. Sau mặt phẳng và mặt Catenoid,
mặt Helicoid là mặt cực tiểu thứ ba trong không gian Euclidean R3 được biết
đến. Mặt Helicoid được sinh ra bởi sự chuyển động theo chiều xoắn ốc của một
đường thẳng nằm ngang dọc theo chiều thẳng đứng, và vì vậy, mặt Helicoid còn
được gọi là mặt kẻ hình lá đinh ốc. Mặt Helicoid có hình dạng giống như đinh
ốc Archimedes nhưng có kích thước vô hạn theo mọi chiều.
Tương tự như mặt cực tiểu trong không gian R3 , mặt cực đại trong không
gian Lorentz-Minkowski 3-chiều R31 = {R3 , dx2 + dy 2 − dz 2 } là mặt kiểu không
gian có độ cong trung bình H = 0 tại mọi điểm trên mặt. Mặt cực đại có ý nghĩa
quan trọng trong thuyết tương đối cổ điển.
Mặt Helicoid Lorentz là một phần của mặt Helicoid H0 bằng cách bỏ đi phần
thuộc khối trụ trục Oz bán kính 1 (vì phần này không phải mặt kiểu không gian),
được xác định như sau: H := {(x, y, z) ∈ R31 |x tan(z) = y, x2 + y 2 > 1}. Kobayashi
đã chứng minh rằng chỉ có mặt Helicoid Lorentz và mặt phẳng kiểu không gian
vừa là mặt cực đại, vừa là mặt cực tiểu.

Với mong muốn tìm hiểu các tính chất, đặc trưng của mặt kẻ, đặc biệt là mặt
kẻ cực đại trong không gian R31 . Đồng thời tìm hiểu sâu hơn về mặt Helicoid và
mặt Helicoid Lorentz. Được sự gợi ý của PGS.TS Đoàn Thế Hiếu, tôi đã nhận
đề tài "Mặt kẻ cực đại trong không gian Lorentz-Minkowski" làm đề tài
nghiên cứu của luận văn. Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung luận văn
được trình bày theo hai chương:
Chương 1: Mặt kẻ trong không gian R3 .
Trong chương này tôi giới thiệu khái niệm về mặt tham số trong không gian
R3 , mặt kẻ và các tính chất, đưa ra các ví dụ về mặt kẻ, giới thiệu mặt
Helicoid và chứng minh tính cực tiểu duy nhất của nó.
Chương 2: Mặt kẻ cực đại trong không gian R31 .
Trong chương này tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản của không gian
Lorentz-Minkowski R31 , đồng thời trình bày về mặt tham số kiểu không
gian và thời gian, mặt kẻ kiểu thời gian, mặt kẻ cực đại và mặt Helicoid
Lorentz.

2


Dù đã có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về mặt thời gian cũng như kiến
thức còn hạn hẹp nên luận văn không tránh khỏi những sai xót. Tôi rất mong
nhận được những ý kiến đóng góp của quý Thầy Cô và bạn đọc để luận văn
được hoàn thiện hơn.
Huế, tháng 10 năm 2017.
Hồng Thị Thanh Tâm

3


Chương 1

MẶT KẺ TRONG KHÔNG GIAN R3

Trong chương này tôi giới thiệu khái niệm về mặt tham số và mặt kẻ trong
không gian R3 , chứng minh các tính chất, đường thắt của mặt kẻ, đưa ra các ví
dụ về mặt kẻ và chứng minh tính cực tiểu duy nhất của mặt Helicoid. Các kiến
thức được tham khảo từ tài liệu [1], [2].

1.1

Mặt tham số trong không gian R3

Mục này nhằm giới thiệu mặt tham số trong không gian R3 , đưa ra công
thức tính toán các độ cong địa phương và trình bày các ví dụ.
Định nghĩa 1.1.1. Mặt tham số là một cặp (X, S), trong đó
X : U ⊂ R2 → R3
(u, v) → X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
U mở, là ánh xạ và S = X(U ).
X(U ) được gọi là vết của mặt tham số, X được gọi là một tham số hóa của

mặt S .
Mặt tham số X được gọi là liên tục, khả vi nếu ánh xạ X là liên tục, khả vi.
Mặt tham số X được gọi là chính quy nếu {Xu (p), Xv (p)} độc lập tuyến tính.
Chú ý rằng mặt tham số ngay cả khi chính quy cũng có thể tự cắt.
Mệnh đề 1.1.2. Cho X : U ⊂ R2 → R3 là mặt tham số chính quy và q là một
điểm thuộc U . Khi đó tồn tại một lân cận V của q trong U sao cho X(V ) ⊂ R3
là một mặt chính quy.
Chứng minh. Giả sử X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Từ tính chính quy, ta có
thể giả sử:
x u yu
xv y v


=

∂(x, y)
= 0.
∂(u, v)

4


Xét ánh xạ:
F : U × R → R3
(u, v, t) → F (u, v, t) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v) + t), (u, v, t) ∈ U × R.
∂(x, y)
(q) = 0 nên theo định lý hàm ngược, tồn tại lân cận
∂(u, v)
W1 của q và lân cận W2 của F (q) sao cho F : W1 → W2 là một vi phôi. Đặt

Do det(F (q)) =

V = W1 ∩ U , ta có F |V = X|V . Do X(V ) vi phôi với V nên X là mặt chính

quy.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X : U ⊂ R2 → R3 là mặt chính quy và N là trường
pháp vector đơn vị xác định bởi:
N :=

1
X u ∧ Xv .
|Xu ∧ Xv |


Xét ánh xạ khả vi N : U ⊂ R2 → S 2 ⊂ R3 . Ánh xạ này được gọi là ánh xạ
Gauss của mặt X .
Định nghĩa 1.1.4. Ánh xạ tuyến tính DNp : Tp S → Tp S biến vector tiếp xúc
V = v1 Xu + v2 Xv thành vector tiếp xúc DNp (V ) = v1 Nu + v2 Nv được gọi là ánh
xạ Weingarten tại điểm p.
Ta có DNp là ánh xạ tuyến tính có tính chất tự liên hợp, nghĩa là ∀α, β ∈
Tp S, DNp (α), β = α, DNp (β) . Từ đó ta có thể xác định các dạng song tuyến
tính đối xứng trên Tp S như sau:
Dạng cơ bản thứ nhất: I(U, V ) = U, V , ∀U, V ∈ Tp S.
Dạng cơ bản thứ hai: II(U, V ) = − DNp U, V = − U, DNp V , ∀U, V ∈ Tp S.
Độ cong Gauss: Độ cong Gauss của mặt S tại điểm p, kí hiệu là K(p), được
định nghĩa là:
K(p) = det DNp .

Độ cong trung bình: Độ cong trung bình của mặt S tại điểm p, kí hiệu là
H(p), được định nghĩa là:
1
H(p) = − tr DNp .
2

Độ cong chính: Các giá trị riêng của ánh xạ Weingarten được gọi là các độ
cong chính của mặt S tại điểm p, kí hiệu là k1 , k2 , với các vector riêng gọi là các
phương chính. Khi đó:
1
H = (k1 + k2 );
2
K = k1 .k2 .
5



Khi tìm ma trận của ánh xạ DNp đối với cơ sở {Xu , Xv } ta được công thức
tính độ cong Gauss và độ cong trung bình như sau:
H=

eG − 2f F + gE
;
2(EG − F 2 )

K=

eg − f 2
,
EG − F 2

trong đó E, G, F là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và e, g, f là các hệ số của
dạng cơ bản thứ hai.
Định nghĩa 1.1.5. Mặt tham số chính quy X : U → R3 được gọi là mặt cực
tiểu nếu độ cong trung bình H = 0 tại mọi điểm trên mặt.
Ví dụ 1.1.6.

1. Mặt Helicoid có tham số hóa X(u, v) = (u cos v, u sin v, v).

Ta có:
Xu = (cos v, sin v, 0); Xv = (−u sin v, u cos v, 1);
Xuu = (0, 0, 0); Xvv = (−u cos v, −u sin v, 0); Xuv = (− sin v, cos v, 0).

Hệ số dạng cơ bản I :
E = 1; F = 0; G = 1 + u2 .


Ta có:
Xu ∧ Xv = (sin v, − cos v, u); |Xu ∧ Xv | =
N=

1 + u2 ;

Xu ∧ Xv
1
=√
(sin v, − cos v, u).
|Xu ∧ Xv |
1 + u2

Hệ số dạng cơ bản II :
e = 0; f = √

Các độ cong:
H=

−1
1 + u2

; g = 0.

eG − 2f F + gE
= 0;
2(EG − F 2 )

eg − f 2
−1

K=
=
.
2
EG − F
(1 + u2 )3/2

Mặt Helicoid có độ cong trung bình H = 0 nên nó là mặt cực tiểu.
2. Mặt Catenoid có tham số hóa X(u, v) = (cosh v sin u, cosh v cos u, v).
Ta có:
Xu = (cosh v cos u, − cosh v sin u, 0); Xv = (sinh v sin u, sinh v cos u, 1);
6


Xuu = (− cosh v sin u, − cosh v cos u, 0); Xvv = (cosh v sin u, cosh v cos u, 0);
Xuv = (sinh v cos u, − sinh v sin u, 0).

Hệ số dạng cơ bản I :
E = cosh2 v; F = 0; G = cosh2 v.

Ta có:
Xu ∧ Xv = (− cosh v sin u, − cosh v cos u, cosh v sinh v); |Xu ∧ Xv | = cosh2 v;
N=

1
Xu ∧ Xv
=
(− sin u, − cos u, sinh v).
|Xu ∧ Xv |
cosh v


Hệ số dạng cơ bản II :
e = 1; f = 0; g = −1.

Các độ cong:
H = 0;
1
K=−
.
cosh4 v

Mặt Catenoid có độ cong trung bình H = 0 nên nó là mặt cực tiểu.

Hình 1.1: Mặt Catenoid.
3

3

3. Mặt Enneper có tham số hóa X(u, v) = u − u3 + uv 2 , v − v3 + u2 v, u2 − v 2 .
Ta có:
Xu = (1 − u2 + v 2 , 2uv, 2u); Xv = (2uv, 1 − v 2 + u2 , −2v);
7


Xuu = (−2u, 2v, 2); Xvv = (2u, −2v, −2); Xuv = (2v, 2u, 0).

Hệ số dạng cơ bản I :
E = (1 + u2 + v 2 )2 ; F = 0; G = (1 + u2 + v 2 )2 .

Ta có:

Xu ∧ Xv = −2u(1 + u2 + v 2 ), 2v(1 + u2 + v 2 ), 1 − (u2 + v 2 )2 ;
|Xu ∧ Xv | = (1 + u2 + v 2 )2 ;
N=

1
Xu ∧ Xv
=
(−2u, 2v, 1 − u2 − v 2 ).
|Xu ∧ Xv |
(1 + u2 + v 2 )

Hệ số dạng cơ bản II :
e = 2; f = 0; g = −2.

Các độ cong:
H = 0;
−4
K=
.
(1 + u2 + v 2 )4

Mặt Enneper có độ cong trung bình H = 0 nên nó là mặt cực tiểu.

Hình 1.2: Mặt Enneper.

1.2

Mặt kẻ trong không gian R3

Mục này trình bày khái niệm mặt kẻ trong không gian R3 và đưa ra các ví

dụ cơ bản của mặt kẻ.

8


Định nghĩa 1.2.1. Cho α, ω : I → R3 là hai hàm khả vi với I là một khoảng
mở trong R3 và ω(u) = 0, α (u) = 0, ∀u ∈ I . Ta sẽ xem α(u), u ∈ I là các điểm,
còn ω(u), u ∈ I là các vector trong R3 .
Mặt tham số X(u, v) = α(u) + vω(u), u ∈ I, v ∈ R được gọi là mặt kẻ sinh bởi
α và ω .
Các đường thẳng Lu đi qua α(u) với vector chỉ phương ω(u) gọi là các đường
sinh, các đường cong α(u) gọi là đường chuẩn.
Chú ý rằng ta có thể chấp nhận các mặt kẻ có những điểm kỳ dị, tức là các
điểm mà tại đó Xu ∧ Xv = 0.
Nhận xét 1.2.2. Ta luôn có thể chọn α(u) là đường cong trực giao với họ
các đường thẳng của mặt S , ω(u) là trường vector đơn vị dọc α và là vector chỉ
phương của các đường thẳng đi qua α(u). Đồng thời giả sử u là tham số hóa độ dài
cung. Do đó luôn giả thiết được rằng một mặt kẻ bất kì trong R3 có tham số hóa
X(u, v) = α(u) + vω(u), u ∈ I, v ∈ R với |α (u)| = |ω(u)| = 1, α (u) ⊥ ω(u), ∀u ∈ I .
Ví dụ 1.2.3. Các mặt sau là mặt kẻ:
1. Mặt phẳng.
2. Mặt trụ là mặt kẻ sinh bởi α, ω , với α(I) chứa trong một mặt phẳng và các
đường sinh Lu song song với một phương cố định.
3. Mặt nón là mặt kẻ sinh bởi α, ω , với α(I) chứa trong một mặt phẳng P và
các đường sinh Lu cùng đi qua một điểm cố định p ∈
/ P.
4. Mặt Hyperboloid tròn xoay.
5. Mặt yên ngựa.
6. Mặt Helicoid.


1.3

Các tính chất

Mục này trình bày một số tính chất của mặt kẻ trong không gian R3 .
Tính chất 1.3.1. Cho S là một mặt kẻ trong R3 có tham số hóa
X : U ⊂ R2 → R3
(u, v) → X(u, v) = α(u) + vω(u).

Khi đó điểm (u0 , v0 ) là một điểm kỳ dị khi và chỉ khi hai vector α (u0 )+vω (u0 )
và ω(u0 ) phụ thuộc tuyến tính.
9


Chứng minh. Xét mặt kẻ có tham số hóa X(u, v) = α(u) + vω(u). Khi đó:
Xu = α (u) + vω (u); Xv = ω(u).
(u0 , v0 ) là điểm kỳ dị ⇔ {Xu0 ; Xv0 } phụ thuộc tuyến tính
⇔ {α (u0 ) + v0 ω (u0 ); ω(u0 )} phụ thuộc tuyến tính.

Tính chất 1.3.2. Cho S là một mặt kẻ trong R3 có tham số hóa
X : U ⊂ R2 → R3
(u, v) → X(u, v) = α(u) + vω(u).

Giả sử S không có điểm kỳ dị. Khi đó các mặt phẳng tiếp xúc tại mọi điểm của
đường thẳng sinh Lu = u0 trùng nhau khi và chỉ khi hệ vector {α (u), ω(u), ω (u)}
phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh. Dọc theo đường thẳng sinh Lu = u0 , vector pháp tuyến của mặt
phẳng tiếp xúc tại (u0 , v) có dạng:
n(u0 , v) = Xu (u0 , v) ∧ Xv (u0 , v)
= (α (u0 ) + vω (u0 )) ∧ ω(u0 )

= α (u0 ) ∧ ω(u0 ) + vω (u0 ) ∧ ω(u0 ).

Đặt x = α (u0 ) ∧ ω(u0 ) và y = ω (u0 ) ∧ ω(u0 ). Rõ ràng x không đổi và y có
phương không đổi. Khi đó n(u0 , v) = x + vy .
Nếu x không cùng phương với y thì n(u0 , v) thay đổi phụ thuộc vào v . Như
vậy các mặt phẳng tiếp xúc của mặt trên cùng một đường tọa độ không trùng
nhau.
Nếu x cùng phương với y thì n(u0 , v) có phương trùng với phương của x. Do
đó mặt phẳng tiếp xúc của mặt không thay đổi trên cùng một đường tọa độ.
Vậy các mặt phẳng tiếp xúc của mặt trên cùng một đường thẳng sinh trùng
nhau khi và chỉ khi x, y cùng phương.
x, y cùng phương ⇔ x ∧ y = 0
⇔ (α (u0 ) ∧ ω(u0 )) ∧ (ω (u0 ) ∧ ω(u0 )) = 0
⇔ [α (u0 )(ω (u0 ) ∧ ω(u0 ))]ω(u0 ) − [(ω (u0 ) ∧ ω(u0 ))ω(u0 )]α (u0 ) = 0
⇔ [α (u0 )(ω (u0 ) ∧ ω(u0 ))]ω(u0 ) = 0.
10


Do ω(u0 ) = 0, ∀u0 ∈ I nên ta có:
[α (u0 )(ω (u0 ) ∧ ω(u0 ))]ω(u0 ) = 0 ⇔ α (u0 )(ω (u0 ) ∧ ω(u0 )) = 0
⇔ {α (u0 ), ω(u0 ), ω (u0 )} phụ thuộc tuyến tính.

Tính chất 1.3.3. Cho S là một mặt kẻ trong R3 có tham số hóa
X : U ⊂ R2 → R3
(u, v) → X(u, v) = α(u) + vω(u).

Nếu {ω(u), ω (u)} độc lập tuyến tính và các mặt phẳng tiếp xúc tại mọi điểm
trên đường thẳng sinh Lu = u0 , ∀u0 ∈ I trùng nhau thì có duy nhất hai hàm số
f, g xác định trên I để α (u) = f (u)ω(u) + g(u)ω (u).
Chứng minh. Theo giả thiết, mặt phẳng tiếp xúc tại mọi điểm trên đường

thẳng sinh Lu = u0 , ∀u0 ∈ I là trùng nhau nên theo tính chất 1.3.2 ta có hệ
{α (u), ω(u), ω (u)} phụ thuộc tuyến tính.
Lại có {ω(u), ω (u)} độc lập tuyến tính. Do đó tồn tại hàm f, g xác định trên
I để:
α (u) = f (u)ω(u) + g(u)ω (u).

(1)

Bây giờ giả sử tồn tại hàm f1 , g1 xác định trên I để:
α (u) = f1 (u)ω(u) + g1 (u)ω (u).

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:
f (u)ω(u) + g(u)ω (u) = f1 (u)ω(u) + g1 (u)ω (u), ∀u ∈ I
⇔ [f (u) − f1 (u)]ω(u) + [g(u) − g1 (u)]ω (u) = 0, ∀u ∈ I.

Do {ω(u), ω (u)} độc lập tuyến tính nên ta có:


f (u) − f (u) = 0, ∀u ∈ I
f (u) = f (u), ∀u ∈ I
1
1
⇔
g(u) − g1 (u) = 0, ∀u ∈ I
g(u) = g1 (u), ∀u ∈ I


f = f

1
⇔
g = g1

.

Vậy tồn tại duy nhất f, g xác định trên I để α (u) = f (u)ω(u) + g(u)ω (u).
Tính chất 1.3.4. Ánh xạ affine từ R3 vào R3 biến mặt kẻ thành mặt kẻ.

11


Chứng minh. Xét ánh xạ affine f : R3 → R3 . Xét mặt kẻ trong R3 có tham số
hóa
X : U ⊂ R2 → R3
(u, v) → X(u, v) = α(u) + vω(u).

Ảnh của mặt kẻ qua ánh xạ affine xác định bởi:
f (X(u, v)) = f (α(u) + vω(u))
= f (α(u)) + f (vω(u))
= f (α(u)) + vf (ω(u)).

Đặt X(u, v) = f (X(u, v)), α(u, v) = f (α(u)) và ω(u, v) = f (ω(u)).
Rõ ràng α, ω là các hàm khả vi và ω(u) = 0, ∀u ∈ I . Do đó X(u, v) = α(u) +
v ω(u) là một mặt kẻ trong R3 .
Định nghĩa 1.3.5. Mặt kẻ trong R3 có độ cong trung bình H = 0 tại mọi điểm
được gọi là mặt kẻ cực tiểu.

1.4


Đường thắt của mặt kẻ

Mục này trình bày định nghĩa đường thắt của mặt kẻ, các ví dụ và chứng
minh một số tính chất của đường thắt.
Định nghĩa 1.4.1. Cho S là mặt kẻ trong R3 có tham số hóa
X : U ⊂ R2 → R3
(u, v) → X(u, v) = α(u) + vω(u), u ∈ I, v ∈ R,

với giả thiết ω (u) = 0, ∀u ∈ I . Mặt kẻ S như vậy được gọi là mặt kẻ không trụ.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử |ω(u)| = 1, ∀u ∈ I . Đường tham số:
β(u) = α(u) − ϕ(u)ω(u),

với ϕ(u) =

α (u), ω (u)
, được gọi là đường thắt của mặt kẻ.
ω 2 (u)

Mỗi điểm β được gọi là một điểm trung tâm của mặt kẻ.
Tính chất 1.4.2. Đường thắt β nằm trên mặt kẻ.
Tính chất 1.4.3. Đường tham số β(u) = α(u)−ϕ(u)ω(u), với ϕ(u) =
là đường thắt của mặt kẻ. Khi đó β (u), ω (u) = 0, ∀u ∈ I .
12

α (u), ω (u)
,
ω 2 (u)


Chứng minh. Giả sử β(u) được xác định như trên là đường thắt của mặt kẻ, ta

chứng minh β (u), ω (u) = 0, ∀u ∈ I . Ta có:
β(u) = α(u) − ϕ(u)ω(u);
β (u) = α (u) − ϕ (u)ω(u) − ϕ(u)ω (u).

Suy ra
β (u), ω (u) = α (u), ω (u) − ϕ (u) ω(u), ω (u) − ϕ(u) ω (u), ω (u)
= α (u), ω (u) − ϕ(u) ω (u), ω (u)
(do |ω(u)| = 1 nên ω(u), ω (u) = 0)
= α (u), ω (u) −

α (u), ω (u)
ω (u), ω (u) = 0.
ω 2 (u)

Tính chất 1.4.4. Đường thắt của mặt kẻ không phụ thuộc vào đường chuẩn.
Chứng minh. Xét mặt kẻ có tham số hóa X(u, v) = α(u) + vω(u), u ∈ I, v ∈ R và
đường tham số β(u) = α(u) − ϕ(u)ω(u), với ϕ(u) =

α (u), ω (u)
, là đường thắt
ω 2 (u)

của mặt kẻ. Ta có:
X(u, v) = α(u) + vω(u) = α(u) + v0 ω(u) + (v − v0 )ω(u), v0 = 0.

Xét hai đường chuẩn X(u, 0) = α(u) và X(u, v0 ) = α(u) + v0 ω(u), v0 = 0. Khi
đó đường thắt của mặt kẻ tương ứng với hai đường chuẩn đó lần lượt là:
β(u) = α(u) −

α (u), ω (u)

ω(u);
ω 2 (u)
α (u) + v0 ω (u), ω (u)
ω(u).
ω 2 (u)

β0 (u) = α(u) + v0 ω(u) −

Ta chứng minh β(u) = β0 (u). Ta có:
α (u), ω (u) + v0 ω (u), ω (u)
ω(u)
ω 2 (u)
α (u), ω (u)
= α(u) + v0 ω(u) −
ω(u) − v0 ω(u)
ω 2 (u)
α (u), ω (u)
= α(u) −
ω(u) = β(u).
ω 2 (u)

β0 (u) = α(u) + v0 ω(u) −

13


Tính chất 1.4.5. Các điểm kỳ dị của mặt kẻ nằm trên đường thắt.
Chứng minh. Xét mặt kẻ có tham số hóa X(u, v) = α(u) + vω(u), u ∈ I, v ∈ R và
đường tham số β(u) = α(u) − ϕ(u)ω(u), với ϕ(u) =


α (u), ω (u)
, là đường thắt
ω 2 (u)

của mặt kẻ. Ta có:
Xu = α (u) + vω (u); Xv = ω(u).
(u, v) là một điểm kỳ dị của mặt kẻ ⇔ Xu ∧ Xv = 0
⇔ (α (u) + vω (u)) ∧ ω(u) = 0
⇔ (α (u) ∧ ω(u)) + v(ω (u)) ∧ ω(u)) = 0.

(3)

Để chứng minh điểm kỳ dị (u, v) nằm trên đường thắt ta chứng minh v =
−ϕ(u). Thật vậy:
(3) ⇔ [(α (u) ∧ ω(u)) + v(ω (u)) ∧ ω(u))](α (u) ∧ ω (u)) = 0
⇔

α (u)α (u) α (u)ω (u)
ω(u)α (u)

ω(u)ω (u)

+v

ω (u)α (u) ω (u)ω (u)
ω(u)α (u)

ω(u)ω (u)

=0


⇔ −(α (u)ω (u))(ω(u)α (u)) − vω 2 (u)(ω(u)α (u)) = 0
⇔ (ω(u)α (u))[−α (u)ω (u) − vω 2 (u)] = 0.

Nếu (−α (u)ω (u) − vω 2 (u)) = 0 thì
v=−

α (u), ω (u)
= −ϕ(u).
ω 2 (u)

Nếu ω(u)α (u) = 0 thì ω(u) ⊥ α (u).
Hơn nữa ω(u) ⊥ ω (u), Xu = α (u) + vω (u).
Do đó Xu ⊥ ω(u). Lại có Xv = ω(u) = 0. Suy ra để Xu ∧ Xv = 0 thì Xu = 0.
Xu = 0 ⇔ α (u) + vω (u) = 0
⇔ (α (u) + vω (u))ω (u) = 0
⇔ α (u)ω (u) + vω 2 (u) = 0
⇔v=−

α (u), ω (u)
= −ϕ(u).
ω 2 (u)

Tính chất 1.4.6. Tại các điểm chính quy, độ cong Gauss của mặt kẻ thỏa mãn
K ≤ 0 và độ cong K = 0 dọc theo các đường sinh đi qua các điểm kỳ dị của
đường thắt.
14


Chứng minh. Xét mặt kẻ có tham số hóa X(u, v) = α(u) + vω(u), u ∈ I, v ∈ R.

Độ cong Gauss được cho bởi:
eg − f 2
−f 2
K=
=
,
EG − F 2
EG − F 2

với E, G, F, e, g, f là các hệ số của dạng cơ bản I và II .
Ta chứng minh tại các điểm chính quy thì EG − F 2 > 0. Ta có:
EG − F 2 = Xu2 Xv2 − (Xu Xv )2 .

Do (Xu Xv )2 < Xu2 Xv2 nên Xu2 Xv2 − (Xu Xv )2 > Xu2 Xv2 − Xu2 Xv2 = 0.
Suy ra EG − F 2 > 0.
Do đó tại các điểm chính quy của mặt kẻ độ cong Gauss K ≤ 0.
Tiếp theo ta chứng minh K = 0 dọc theo các đường sinh đi qua các điểm kỳ
dị của đường thắt.
Ta chứng minh f = 0.
Xu ∧ Xv
Xuv = 0
|Xu ∧ Xv |
(α (u) + vω (u)) ∧ ω(u)
⇔
Xuv = 0
|Xu ∧ Xv |

f =0⇔

⇔ [(α (u) + vω (u)) ∧ ω(u)]ω (u) = 0

⇔ [(α (u) ∧ ω(u)) + v(ω (u) ∧ ω(u))]ω (u) = 0
⇔ (α (u) ∧ ω(u))ω (u) = 0.

(4)

Ta chứng minh (4) đúng.
Giả sử đường tham số β(u) = α(u) − ϕ(u)ω(u), với ϕ(u) =

α (u), ω (u)
, là
ω 2 (u)

đường thắt của mặt kẻ. Khi đó u là điểm kỳ dị của đường thắt khi và chỉ khi
β (u) = 0 hay α (u) + (−ϕ (u))ω(u) + (−ϕ(u))ω (u) = 0.
Điều này chứng tỏ {α (u), ω(u), ω (u)} phụ thuộc tuyến tính.
Suy ra (α (u) ∧ ω(u))ω (u) = 0.
Ví dụ 1.4.7.

1. Xét mặt nón xác định bởi tham số hóa
X : U ⊂ R2 → R3
(u, v) → X(u, v) = (0, 0, 0) + v

cos u sin u 1
√ , √ ,√
2
2
2

.


Ta có:
α(u) = (0, 0, 0); ω(u) =

cos u sin u 1
√ , √ ,√
2
2
2
15

; |ω(u)| = 1, ∀u;


α (u) = (0, 0, 0); ω (u) =

Suy ra ϕ(u) =

− sin u cos u
√ , √ ,0 .
2
2

α (u), ω (u)
= 0.
ω 2 (u)

Do đó
β(u) = (0, 0, 0) − 0

cos u sin u 1

√ , √ ,√
2
2
2

= (0, 0, 0).

Như vậy đường thắt của mặt nón là gốc tọa độ O.
2. Xét mặt Helicoid có tham số hóa
X : U ⊂ R2 → R3
(u, v) → X(u, v) = (0, 0, u) + v(cos u, sin u, 0), u ∈ I, v ∈ R.

Ta có:
α(u) = (0, 0, u); ω(u) = (cos u, sin u, 0); |ω(u)| = 1, ∀u;
α (u) = (0, 0, 1); ω (u) = (− sin u, cos u, 0).

Suy ra ϕ(u) =

α (u), ω (u)
= 0.
ω 2 (u)

Do đó
β(u) = (0, 0, u) − 0

cos u sin u 1
√ , √ ,√
2
2
2


= (0, 0, u).

Như vậy đường thắt của mặt Helicoid là trục Oz .

1.5

Mặt Helicoid

Mục này chứng minh mặt Helicoid là mặt kẻ cực tiểu duy nhất khác mặt
phẳng.
Định nghĩa 1.5.1. Mặt tham số hóa của mặt Helicoid có dạng X(u, v) =
(a sinh u cos v, a sinh u sin v, av) hoặc X(u, v) = (au cos v, au sin v, av) với 0 < v <
2π, −∞ < u < +∞, a > 0.

16


Hình 1.3: Mặt Helicoid.

Mệnh đề 1.5.2. Mặt Helicoid là mặt kẻ cực tiểu duy nhất khác mặt phẳng.
Chứng minh. Xét S là mặt kẻ có tham số hóa X(u, v) = α(u)+vω(u), u ∈ I, v ∈ R,
trong đó |α | = |ω| = 1 và α ⊥ ω . Vì ω ⊥ α = t và |ω| = 1 nên ω có thể viết dưới
dạng:
ω(u) = n(u) cos θ(u) + b(u) sin θ(u), θ(u) ∈ [0, 2π].

Khi đó:
ω = −θ n sin θ + n cos θ + θ b cos θ + b sin θ
= −θ n sin θ − κt cos θ + τ b cos θ + θ b cos θ − τ n sin θ
= −κt cos θ − (τ + θ )n sin θ + (τ + θ )b cos θ;

ω ∧ ω = [−κt cos θ − (τ + θ )n sin θ + (τ + θ )b cos θ] ∧ [n cos θ + b sin θ]
= [−κt cos θ] ∧ n cos θ + [−(τ + θ )n sin θ] ∧ n cos θ + [(τ + θ )b cos θ] ∧ n cos θ
+ [−κt cos θ] ∧ b sin θ + [−(τ + θ )n sin θ] ∧ b sin θ + [(τ + θ )b cos θ] ∧ b sin θ
= −(τ + θ )t cos2 θ − κb cos2 θ + κn cos θ sin θ − (τ + θ )t sin2 θ
= −(τ + θ )t − κ cos θ(b cos θ − n sin θ);
Xu = α + vω = t + vω ; Xv = ω;
Xuu = α + vω = t + vω = κn + vω ; Xvv = 0; Xuv = ω ;
Xu ∧ Xv = (t + vω ) ∧ ω
= t ∧ (n cos θ + b sin θ) + v[−(τ + θ )t − κ cos θ(b cos θ − n sin θ)]
= b cos θ − n sin θ + v[−(τ + θ )t − κ cos θ(b cos θ − n sin θ)].
17


Tại v = 0, ta có:
Xu = t; Xv = ω;
E = G = 1; F = 0;
Xu ∧ Xv = b cos θ − n sin θ; |Xu ∧ Xv | = 1;
N=

Xu ∧ Xv
= b cos θ − n sin θ;
|Xu ∧ Xv |

Xuu = t = κn; Xvv = 0; Xuv = ω ;
e = (b cos θ − n sin θ)κn = κnb cos θ − κn2 sin θ = −κ sin θ; g = 0;
f = (b cos θ − n sin θ)ω
= b cos θ[−κt cos θ − (τ + θ )n sin θ + (τ + θ )b cos θ]
− n sin θ[−κt cos θ − (τ + θ )n sin θ + (τ + θ )b cos θ]
= btκ cos2 θ − (τ + θ )bn cos θ sin θ + (τ + θ )b2 cos2 θ
+ κnt sin θ cos θ + (τ + θ )n2 sin2 θ − (τ + θ )bn sin θ cos θ

= (τ + θ )(sin2 θ + cos2 θ)
=τ +θ;
H=

−κ sin θ
eG − 2f F + gE
=
.
2(EG − F 2 )
2

Vì κ = 0 nên H = 0 ⇔ sin θ = 0 ⇔ cos θ = ±1. Suy ra θ = 0.
Khi đó ω = ±n. Thay vào các biểu thức ở trên, ta có:
ω = −κt + τ b;
ω = −κ t − κt + τ b + τ b
= −κ t + τ b − κ2 n − τ 2 n
= −κ t − (κ2 + τ 2 )n + τ b;
Xu = t + vω = (1 − κv)t + vτ b;
Xvv = 0; Xuv = ω = κt + τ b;
Xuu = κn + vω
= κn + v[−κ t − (κ2 + τ 2 )n + τ b]
= κn − vκ t + vτ b − vn(κ2 + τ 2 )
= −vκ t − n[v(κ2 + τ 2 ) − κ] + vτ b;

18


E = ((1 − κv)t + vτ b)2 = (1 − κv)2 + (vτ )2 ; G = ω 2 = 1; F = [(1 − κv)t + vτ b]ω = 0;
Xu ∧ Xv = b + v[−(τ + θ )t − κb]
= b − vτ t − vκb

= −vτ t + (1 − vκ)b;
|Xu ∧ Xv |2 = E = (1 − κv)2 + (vτ )2 ;
N=
e=

−vτ t + (1 − vκ)b
Xu ∧ Xv
√
=
;
|Xu ∧ Xv |
E

v 2 τ κ + vτ (1 − vκ)
vτ κ + τ (1 − vκ)
√
√
; g = 0; f =
;
E
E
H=
=
=

eG − 2f F + gE
2(EG − F 2 )
v 2 τ κ + vτ (1 − vκ)
3


2E 2
v[vτ κ + τ (1 − vκ)]
3

.

2E 2
S là mặt cực tiểu ⇔ H = 0
⇔ v[vτ κ + τ (1 − vκ)] = 0
⇔

⇔

v=0
vτ κ + τ (1 − vκ) = 0
v=0
v(κτ − τ κ ) = τ , v = 0


τ = 0
(5) đúng khi
κτ − τ κ = 0
Vậy nếu τ = 0 thì S là mặt phẳng, nếu
đó S là mặt Helicoid.

19

τ
κ


(5)

.

⇔ τ = κ = 0.

= const thì α là đường Helix và do


Chương 2
MẶT KẺ CỰC ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN R31

Trong chương này tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản của không gian LorentzMinkowski R31 , đồng thời trình bày về mặt tham số kiểu không gian và thời gian,
mặt kẻ kiểu thời gian, mặt kẻ cực đại và mặt Helicoid Lorentz. Các kiến thức
được tham khảo từ tài liệu [3], [4], [5], [6], [7].

2.1

Không gian R31

Mục này nhằm giới thiệu về không gian Lorentz-Minkowski 3-chiều, các tính
chất đặc trưng của vector và không gian con. Các kiến thức được tham khảo từ
tài liệu [6].
Định nghĩa 2.1.1. Không gian Lorentz-Minkowski 3-chiều, kí hiệu là R31 , là
không gian vector R3 cùng với dạng song tuyến tính xác định như sau:
u, v L = u1 v1 + u2 v2 − u3 v3 , với u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ).
Dạng song tuyến tính trên được gọi là tích Lorentz.
Vì , L không xác định dương nên với mỗi vector u ∈ R31 , ta thấy rằng u, u L
có thể nhận giá trị âm, dương hoặc bằng không. Từ đây ta phân loại các vector
như sau:

Định nghĩa 2.1.2. Cho vector u ∈ R31 . Khi đó u được gọi là:
• vector kiểu không gian (spacelike) nếu u, u

L

> 0 hoặc u = 0;

• vector kiểu thời gian (timelike) nếu u, u

L

< 0;

• vector kiểu ánh sáng (lightlike) nếu u, u

L

= 0 và u = 0.

Định nghĩa 2.1.3. Cho vector u ∈ R31 , môđun của u được định nghĩa là |u|L =
| u, u L | . Vector u được gọi là vector đơn vị nếu |u|L = 1.
Từ đây ta thấy rằng nếu u là vector kiểu không gian (thời gian) thì |u|L =
u, u L ( |u|L = − u, u L ).
Cho không gian vector R3 với cơ sở trực chuẩn chính tắc B = {e1 , e2 , e3 },
trong đó |e1 |L = |e2 |L = 1, |e3 |L = −1, e1 , e2 L = e1 , e3 L = e2 , e3 L = 0.
20


Tập các vector kiểu thời gian là nón thời gian:
T = {(x, y, z) ∈ R31 :x2 + y 2 − z 2 < 0}.


Khi đó T gồm hai thành phần liên thông. Hai vector nằm trên cùng một
thành phần liên thông của T gọi là cùng nón kiểu thời gian. Với mỗi vector
v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ T , nếu v3 < 0 thì v được gọi là vector kiểu thời gian định hướng
quá khứ, ngược lại gọi là định hướng tương lai.

Hình 2.1: Các kiểu vector trong không gian Lorentz-Minkowski R31 .

Cho U ⊂ R3 là không gian vector con, xét metric cảm sinh trên U là ,
xác định bởi:
u, v

U

U

= u, v L , u, v ∈ U.

Khi đó ta có các loại không gian con sau:
Định nghĩa 2.1.4. Cho U ⊂ R31 là không gian vector con. Khi đó U được gọi
là:
• không gian con kiểu không gian nếu u, u

L

> 0, ∀u ∈ U , u = 0;

• không gian con kiểu thời gian nếu ∃u ∈ U , u, u
• không gian con kiểu ánh sáng nếu u, u
u, u


L

L

L

< 0;

≥ 0, ∀u ∈ U và ∃u ∈ U , u = 0:

= 0.

Ví dụ 2.1.5. 1. Vector e1 và e2 là vector kiểu không gian, vector e3 là vector
kiểu thời gian, vector e2 + e3 là vector kiểu ánh sáng.
21