BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TÔN NỮ SINH NHÃ

MẶT CỰC TIỂU KIỂU ĐỒ THỊ
TRONG KHÔNG GIAN R ×ω R2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Huế, Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TÔN NỮ SINH NHÃ

MẶT CỰC TIỂU KIỂU ĐỒ THỊ
TRONG KHÔNG GIAN R ×ω R2
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC TÔ PÔ
Mã số: 60.46.01.05

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐOÀN THẾ HIẾU

Huế, Năm 2016

Lời cảm ơn
Được sự hướng dẫn tận tâm, nhiệt tình và đầy kiên nhẫn của thầy giáo, PGS.TS
Đoàn Thế Hiếu, tôi đã có thể hoàn thành được luận văn này. Lời đầu tiên, tôi xin gửi
đến Thầy lòng tôn kính và tri ân sâu sắc vì những điều tâm huyết mà Thầy đã truyền
dạy trong thời gian qua.
Tôi xin trân trọng tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô đã tham gia giảng dạy cho thế hệ
cao học viên K23, chuyên ngành Toán học, trường ĐHSP Huế vì đã tận tình truyền đạt
những kiến thức quý báu trong suốt thời gian của khóa học.
Bên cạnh đó, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Khoa Toán và Phòng
Đào tạo Sau đại học, trường Đại Học Sư Phạm Huế đã hỗ trợ và tạo điều kiện học tập
thuận lợi, đảm bảo hiệu quả để chúng tôi có thể hoàn thành khóa học của mình một cách
tốt đẹp.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành cùng lòng kính trọng đến mẹ của mình
vì tất cả những yêu thương, quan tâm mà tôi đã được đón nhận; gửi lòng tri ân đến gia
đình đã luôn ủng hộ và dành lời động viên cho tôi trong suốt cả chặng đường dài không
ít khó khăn vừa qua.
Và một lời nữa, tôi xin dành cho bạn bè, nhất là các thành viên của lớp Hình Học
Tô-pô K23 niên khóa 2014-2016 cũng như các anh chị trong nhóm Seminar Hình Học ở
Huế sự biết ơn thật nhiều vì đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học và thực
hiện đề tài luận văn của mình.
Tp.Huế, ngày 10 tháng 10 năm 2016

Tôn Nữ Sinh Nhã


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả
trong luận văn là trung thực và được các đồng tác giả cho phép sử dụng.
Tp.Huế, ngày 10 tháng 10 năm 2016

Tôn Nữ Sinh Nhã


Mục lục
Lời nói đầu

5

1 Mặt cực tiểu kiểu đồ thị trong R3 .
1.1 Kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Mặt chính quy-Dạng cơ bản thứ nhất. . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Mặt định hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Ánh xạ Gauss và dạng cơ bản thứ hai. . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Bài toán Plateau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Nhát cắt chuẩn tắc. Độ cong Gauss, độ cong trung bình. Các ví dụ. . . .
1.3.1 Độ cong pháp. Nhát cắt chuẩn tắc. Độ cong chính. Công thức Euler.
1.3.2 Độ cong Gauss - Độ cong trung bình. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Mặt cực tiểu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Mặt cực tiểu kiểu đồ thị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Phương trình Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Tính cực tiểu diện tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Định lý Bernstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6
6
7
7
8

9
9
11
13
14
17
17
18
20

2 Mặt cực tiểu kiểu đồ thị trong không gian R ×ω R2 .
2.1 Không gian tích cong R ×ω R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Các phép toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Mặt cực tiểu kiểu đồ thị trong không gian tích cong R ×ω R2 . .
2.2.1 Mặt kiểu đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bài toán biến phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Diện tích. Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích.
2.2.4 Độ cong trung bình. Mặt cực tiểu. . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Phương trình Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Một số ví dụ điển hình: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Độ cong của các thớ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24
24
24
25
27
27
27

29
30
30
31
34

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

Kết luận

35

Phụ lục

36

4


Lời nói đầu
Trong khi nghiên cứu các đối tượng hình học, người ta dành nhiều sự quan tâm đến
việc khảo sát cũng như tìm kiếm lớp các mặt cực tiểu. R3 là không gian khá quen thuộc
và gắn liền với nhiều ứng dụng trong thực tế, do đó, người ta mong muốn biểu diễn các
đối tượng hình học trong không gian này để từ đó, dựa vào các công cụ giải tích, ta có
thể khảo sát và tính toán dễ dàng hơn.
Không gian R ×ω R2 là không gian tích R × R2 , trên đó được trang bị tích vô hướng
được xác định dựa trên các tích vô hướng trên R và trên R2 cùng một hàm dương ω trên
R thông qua biểu thức được viết ngắn gọn như sau: g = gR + ω 2 gR2 .
Với một không gian được định nghĩa như vậy, vấn đề đặt ra ở đây là liệu các khái
niệm, kết quả mà ta có được khi khảo sát trong không gian R3 giờ đây sẽ thay đổi như
thế nào và có còn đảm bảo tính đúng đắn? Cụ thể là việc khảo sát mặt cực tiểu trong
không gian này như thế nào?

Xuất phát từ mong muốn được tìm hiểu và làm rõ những vấn đề trên, dưới sự hướng
dẫn của Thầy giáo, PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu, tôi nhận làm về đề tài: “Mặt cực tiểu
kiểu đồ thị trong không gian R ×ω R2 ” trong luận văn của mình.
Đề tài góp phần làm rõ các khái niệm, kết quả liên quan đến mặt cực tiểu kiểu đồ
thị trong không gian R ×ω R2 trên cơ sở đối chiếu với các đối tượng tương đương trong
không gian R3 , từ đó có thể giúp cho những ai vừa tìm hiểu về không gian R ×ω R2 có
được cái nhìn tổng quan và gần gũi hơn.
Luận văn được trình bày theo bốn phần:
• Lời nói đầu: Giới thiệu nội dung nghiên cứu của luận văn.
• Phần nội dung.
• Phần kết luận: Tổng kết các kết quả đạt được, đồng thời nêu một số vấn đề chưa
giải quyết được trong luận văn.
• Phần phụ lục: Bổ sung các chứng minh chi tiết của một số kết quả có tính dẫn dắt
và phục vụ cho việc đưa ra các kết luận ở phần nội dung chính.
Phần nội dung của luận văn bao gồm hai chương:
Chương 1: Mặt cực tiểu kiểu đồ thị trong R3 .
Chương 2: Mặt cực tiểu kiểu đồ thị trong không gian R ×ω R2 .

5


Chương 1
Mặt cực tiểu kiểu đồ thị trong R3.
1.1

Kiến thức chuẩn bị.

Trong phần này, ta sẽ củng cố lại một vài khái niệm nhằm hỗ trợ cho việc tiếp cận các
kiến thức thuộc về nội dung chính của chương được dễ dàng và đạt hiệu quả hơn.


1.1.1

Mặt chính quy-Dạng cơ bản thứ nhất.

Định nghĩa 1.1.1. Một tập con S ⊂ R3 được gọi là một mặt chính quy nếu ∀p ∈ S tồn
tại lân cận V ⊂ R3 của p, tập con mở U ⊂ R2 cùng với ánh xạ X : U −→ V ∩ S sao cho:
1. X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)); (u, v) ∈ S, với các x, y, z là các hàm có đạo hàm
riêng tại mọi cấp. Khi đó, ta nói X là ánh xạ khả vi.
2. X là một đồng phôi từ U vào V ∩ S. Điều này có nghĩa X là song ánh liên tục, có
ánh xạ ngược X −1 : V ∩ S −→ U liên tục. Hay, có thể hiểu X −1 là hạn chế của một
ánh xạ liên tục F : Ω ⊂ R3 −→ R2 , với (V ∩ S) ⊂ Ω.
3. (Tính chính quy) Với mọi p, đạo hàm dXp : R2 −→ R3 là một đơn ánh.
Khi đó, X được gọi là tham số hóa địa phương của S; cặp (U, V ) gọi là hệ tọa độ địa
phương hoặc bản đồ của S; V ∩ S là lân cận của p trong S và được gọi là lân cận tọa độ.
Định nghĩa 1.1.2. Một mặt tham số là một cặp (X, S) với X : R2 ⊃ U −→ R3 là một
ánh xạ khả vi xác định trên U mở và S = X(U ). Khi đó:
S được gọi là vết của mặt tham số; X được gọi là tham số hóa của mặt.
Định nghĩa 1.1.3. Trong R3 , xét mặt S được cho bởi hàm vector sau:
X : Ω −→ R3
(u, v) → X(u, v) := (u, v, f (u, v)).
Trong đó, f là hàm hai biến lớp C; f : Ω ⊂ R2 −→ R, và Ω là một miền mở liên
thông với bao đóng compact có biên trơn trong R2 .
Khi đó, S chính là đồ thị của hàm f trong R3 , đồ thị này có dạng là một mặt trong
không gian ba chiều. Mặt S được gọi là mặt kiểu đồ thị.

6


Định nghĩa 1.1.4. Một vector tiếp xúc của mặt chính quy S tại điểm p ∈ S là vector
tiếp xúc của một cung tham số khả vi có vết nằm trên S

α : (− ; ) −→ S
sao cho α(0) = p.
Tập gồm tất cả các vector tiếp xúc của S tại p được gọi là không gian tiếp xúc của S đặt
tại p và được ký hiệu là Tp S.
Ta có thể thấy rằng mỗi không gian tiếp xúc Tp S là một không gian vector 2-chiều.
Với điểm q(u, v) ∈ Ω, ta có X(q) = p ∈ S, ta có thể kiểm chứng được rằng hệ
{Xu (q), Xv (q)} gồm các vector tiếp xúc với các đường tọa độ qua p chính là một cơ sở
của Tp S. Do vậy, Tp S làm không gian chỉ phương cho mặt phẳng tiếp xúc của S tại p.
Khi không quan tâm đến điểm tiếp xúc, ta có thể đồng nhất không gian tiếp xúc và mặt
phẳng tiếp xúc. Ta đưa ra định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.5. Xét q(u, v) ∈ Ω, ta có X(q) = p ∈ S. Khi đó, mặt phẳng đi qua p
nhận Xu (q), Xv (q) làm cặp vector chỉ phương được gọi là mặt phẳng tiếp xúc của S tại
p.
Định nghĩa 1.1.6. Cho S ⊂ R3 là một mặt chính quy. Tích vô hướng trên mỗi mặt
phẳng tiếp xúc Tp S cảm sinh từ tích vô hướng trên R3 được xác định như sau:
ω1 , ω2

p

= ω1 .ω2 , ∀ω1 , ω2 ∈ Tp S.

Khi đó, với mỗi mặt phẳng tiếp xúc Tp S, dạng toàn phương Ip (ω) = ω, ω
Tp S được gọi là dạng cơ bản thứ nhất của mặt S tại điểm p.

1.1.2

p

= |ω|2 , với ω ∈


Mặt định hướng.

Trong phần này, cho S là một mặt chính quy và V ⊂ S là một tập mở.
Định nghĩa 1.1.7. Một trường vector trên V được định nghĩa là ánh xạ F : V −→ R3 .
Trường vector này được gọi là liên tục, khả vi nếu ánh xạ ánh xạ F có các tính chất đó.
Ta nói F là trường vector tiếp xúc trên V nếu ∀p ∈ V, F (p) ∈ Tp S.
Nếu ∀p ∈ V, F (p)⊥Tp S thì F được gọi là trường vector pháp trên V .
Nếu |F (p)| = 1, ∀p ∈ V , F được gọi là trường vector đơn vị trên V .
Định nghĩa 1.1.8. Xét một mặt chính quy S, nếu có một trường pháp vector đơn vị
liên tục N xác định trên toàn bộ mặt thì mặt đó được gọi là định hướng được. Khi đó,
trường pháp vector N được gọi là một định hướng của S. Một mặt chính quy định hướng
là mặt chính quy định hướng được cùng hướng xác định N .

1.1.3

Ánh xạ Gauss và dạng cơ bản thứ hai.

Cho (S, N ) là một mặt chính quy định hướng. Ở đây, ta giả thiết rằng định hướng N
của mặt là khả vi. Do |Np | = 1, ∀p ∈ S nên ta có thể coi N là ánh xạ khả vi đi từ mặt
chính quy S vào mặt cầu đơn vị S 2 , biến mỗi điểm p trên mặt S thành điểm ngọn của
vector pháp Np thuộc mặt S 2 .

7


Định nghĩa 1.1.9 (Ánh xạ Gauss). Ánh xạ N : S −→ S 2 như mô tả ở trên được gọi
là ánh xạ Gauss của mặt định hướng S.
Ta có ánh xạ Gauss khả vi và đạo hàm của nó tại p ∈ S là một ánh xạ tuyến tính:
dNp : Tp S −→ TNp S 2 .
Vì Tp S⊥Np , TNp S 2 ⊥Np , ∀p ∈ S, nên ta thường đồng nhất Tp S và TNp S 2 tại mọi p ∈ S.

Nói cách khác, dNp là một tự đồng cấu tuyến tính của Tp S.
Mệnh đề sau đây nêu lên một tính chất quan trọng của ánh xạ dNp .
Mệnh đề 1.1.10. Ánh xạ dNp : Tp S −→ Tp S tự liên hợp, tức là:
∀α, β ∈ Tp S, dNp (α), β = α, dNp (β)

(1.1)

Chứng minh. Việc chứng minh của mệnh đề này có thể xem ở phần phụ lục (2.2.10).
Định nghĩa 1.1.11 (Dạng cơ bản thứ hai). Dạng toàn phương IIp (α) := − dNp (α), α
gọi là dạng cơ bản thứ hai của mặt S tại điểm p.

1.2

Bài toán Plateau.

Bài toán này đặt ra câu hỏi liệu có hay không sự tồn tại của mặt cực tiểu diện tích
trong một họ mặt cùng biên cho trước. Mặc dù bài toán đã được đưa ra bởi Joseph-Louis
Lagrange vào năm 1760 nhưng vẫn thường được gọi là bài toán Joseph Plateau, hay ngắn
gọn là bài toán Plateau, lấy theo tên của người đã miệt mài quan sát những thí nghiệm
màng xà phòng và rút ra những quy luật để từ đó có thể đưa ra các phát biểu liên quan
đến bài toán. Cũng vì lẽ đó mà bài toán này còn được biết đến như bài toán bong bóng
xà phòng.
Bài toán Plateau được xem là một mảng nghiên cứu của Phép tính biến phân. Các
vấn đề liên quan đến việc chỉ ra sự tồn tại và tính chính quy được lấy từ Lý thuyết độ đo
hình học.
Có thể hình dung bài toán này thông qua hiện tượng thực tế như sau:
Ta có một màng xà phòng với biên cố định. Ban đầu, nó ở trạng thái có thể được
xem là mặt phẳng. Thổi nhẹ vào màng xà phòng này khiến nó dao động; quá trình này
làm cho mặt phẳng ban đầu có hình thù biến dạng liên tục tạo ra một họ các mặt mà
ta có thể xem như một biến phân của mặt ban đầu theo thời gian t chạy trong khoảng

(−ε; ε). Tại mỗi thời điểm, ta có một màng xà phòng với một diện tích tương ứng. Điều
này có nghĩa là diện tích của các mặt cũng biến đổi theo thời gian t nói trên, dẫn tới việc
ta cũng thu được một biến phân theo thời gian t của hàm diện tích.
Ta có ánh xạ
A : (−ε; ε) −→ R
t → A(t)
Trong quá trình đi tìm mặt cực tiểu diện tích (Area Minimal Surface-AMS) trong họ
các màng xà phòng nói trên, ta thu được lớp các mặt cực tiểu (Minimal Surface-MS) là
8


những mặt thỏa điều kiện A (t) = 0 và lớp các mặt cực tiểu diện tích địa phương còn gọi
là các mặt ổn định (Stable Minimal Surface-SMS) thỏa điều kiện A (t) ≥ 0. Mục tiêu
của bài toán Plateau chính là khảo sát sự tồn tại và chỉ ra AMS tức là mặt cực tiểu diện
tích xét trên toàn cục.
Một số trường hợp đặc biệt của bài toán đã có được lời giải nhưng phải đến năm
1930, nghiệm tổng quát của bài toán mới được tìm thấy bởi hai nhà toán học nghiên cứu
độc lập là Jesse Douglas và Tibor Radó.
Trong khi công trình của Tibor Radó được phát triển trên cơ sở kế thừa nghiên cứu
của René Garnier và chỉ áp dụng đối với trường hợp đường cong đơn đóng hiệu chỉnh
được, thì Jesse Douglas lại giải quyết bài toán theo một hướng hoàn toàn mới mẻ và
lời giải đưa ra đúng với đường cong đơn đóng bất kỳ. Douglas trở thành một trong hai
người đã đoạt được giải thưởng Field đầu tiên vào năm 1936, cho những cống hiến của ông.
Bài toán sau đó được mở rộng lên không gian nhiều chiều (cụ thể là xét mặt k-chiều
trong không gian n chiều) nhưng quả thật không đơn giản để nghiên cứu. Trong khi
nghiệm tìm được cho bài toán cổ điển có tính chính quy thì người ta chỉ ra được rằng lời
giải cho bài toán mở rộng lại xuất hiện trường hợp kỳ dị nếu k ≤ n − 2 và trong trường
hợp khảo sát siêu mặt có số chiều k = n − 1 thì nghiệm kỳ dị chỉ xảy ra khi n ≥ 8.
Để giải bài toán mở rộng trong một số trường hợp đặc biệt, Lý thuyết chu vi (De
Giorgi) áp dụng cho đối chiều 1 cũng như Lý thuyết dòng hiệu chỉnh (Federer và Fleming) cho đối chiều cao hơn đã và đang được phát triển.

Bài toán Plateau nhiều chiều trong lớp các mặt phổ (các mặt được tham số hóa bởi
phổ của các đa tạp có biên cố định) đã được giải quyết vào năm 1969 bởi A. T. Fomenko.

1.3

Nhát cắt chuẩn tắc. Độ cong Gauss, độ cong
trung bình. Các ví dụ.

1.3.1

Độ cong pháp. Nhát cắt chuẩn tắc. Độ cong chính. Công
thức Euler.

Định nghĩa 1.3.1 (Độ cong pháp của đường cong). Xét C là một đường cong chính
quy trên mặt S, đi qua p. Khi đó, np là pháp vector (đơn vị) của đường cong C tại p, Np
là pháp vector (đơn vị) của mặt S tại p. Gọi k(p) là độ cong của C tại p. Lúc này, ta có:
kn (p) = k(p). np , Np ,
số này được gọi là độ cong pháp của đường cong C tại p.
Có thể thấy rằng độ cong pháp chính là độ dài hình chiếu của k(p)np lên pháp tuyến
của mặt S. Dấu của nó phụ thuộc vào hướng của pháp vector Np .
k(p)np được gọi là vector độ cong trung bình của đường cong C tại p.
Giả sử ω ∈ Tp S, |ω| = 1. Gọi α là đường tham số (với tham số hóa độ dài cung)
α : (− ; ) −→ S
9


α(0) = p và α (0) = ω. Ký hiệu N (s) là hạn chế của ánh xạ Gauss lên đường tham số α.
Vì N, α = 0, dẫn đến:
N (s), α (s) = − N (s), α (s) .
Do vậy

IIp (α (0)) = − dNp (α (0)), α (0)
= − N (0), α (0)
= N (0), α (0)
= N, kn (p) = kn (p).
Điều này đưa đến các nhận xét sau đây:
Nhận xét 1.3.2.
• Giá trị nhận được của dạng cơ bản thứ hai IIp đối với vector đơn
vị ω ∈ Tp S cũng chính là độ cong pháp của một đường cong chính quy đi qua điểm
p đồng thời nhận vector ω làm vector tiếp xúc.
• Độ cong pháp kn (p) chỉ phụ thuộc vào vector tiếp xúc chứ không phụ thuộc vào
đường cong hay chiều của đường cong.
• Trong trường hợp xét vector ω ∈ Tp S bất kỳ, không bắt buộc phải là vector đơn vị,
ta có công thức sau:
IIp (ω)
.
kn (p) =
Ip (ω)
Chứng minh. Đặt v =

ω
,
|ω|

ta có v là vector đơn vị. Khi đó,

kn (p) = IIp (v) = IIp

IIp (ω)
ω
=

.
|ω|
Ip (ω)

Từ những nhận xét này đưa đến định lý sau:
Định lý 1.3.3 (Định lý Meusnier). Tất cả các đường cong nằm trên mặt cùng đi qua
một điểm p và có các tiếp tuyến tại điểm này trùng nhau thì sẽ có độ cong pháp tại đó
giống nhau.
Theo đó, ta có các định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.3.4 (Độ cong pháp của mặt). Độ cong pháp của mặt S tại điểm p ∈ S
theo hướng của vector ω được định nghĩa là độ cong của một đường chính quy trên mặt
S, đi qua p, đồng thời có vector tiếp xúc tại p chính là ω.
Định nghĩa 1.3.5 (Nhát cắt chuẩn tắc). Ta xét mặt phẳng P chứa p, nhận ω và N
làm cặp vector chỉ phương. Khi đó, giao của P và S được gọi là nhát cắt chuẩn tắc của
S tại p dọc theo ω.
Ta có thể thấy rằng, trong một lân cận của p, nhát cắt chuẩn tắc này chính là một
đường cong phẳng, đồng thời có pháp vector là ±Np .
Ta có một số kết quả liên quan như sau:

10


Mệnh đề 1.3.6. Giá trị tuyệt đối của độ cong pháp của mặt S tại một điểm p theo
vector v bằng độ cong của nhát cắt chuẩn tắc của S tại p dọc theo v.
Vì ánh xạ tuyến tính dNp liên hợp, tồn tại cơ sở trực chuẩn {e1 , e2 } để
dNp (e1 ) = −k1 e1 , dNp (e2 ) = −k2 e2 .
Nghĩa là, −k1 , −k2 là các giá trị riêng, còn e1 , e2 là các vector riêng đơn vị lần lượt tương
ứng với các giá trị riêng đó của ánh xạ dNp . Ta có thể giả thiết rằng k1 ≤ k2 .
Định nghĩa 1.3.7 (Độ cong chính- Phương chính). Các giá trị k1 , k2 được gọi là
các độ cong chính. Các phương được xác định bởi các vector riêng e1 , e2 được gọi là các

phương chính của mặt S tại p. Do vậy, có thể gọi e1 , e2 là các vector chỉ phương chính.
Trong một vài trường hợp, ta đồng nhất e1 , e2 với các phương chính được xác định bởi
chúng để thuận tiện hơn trong khi phát biểu.
Định nghĩa 1.3.8 (Công thức Euler). Giả sử {e1 , e2 } là một cơ sở trực chuẩn của
Tp S, gồm các vector riêng của ánh xạ dNp . Xét ω ∈ Tp S, |ω| = 1, ω = cos ηe1 + sin ηe2 .
Ta có:
IIp (ω) = − dNp (ω), ω
= − dNp (cos ηe1 + sin ηe2 ), cos ηe1 + sin ηe2
= k1 cos ηe1 + k2 sin ηe2 , cos ηe1 + sin ηe2
= k1 cos2 ηe1 + k2 sin2 ηe2 = kn (p, ω).
Đến đây, ta thu được công thức Euler như sau:
kn (p, ω) = k1 cos2 ηe1 + k2 sin2 ηe2 .

(1.2)

Nhận xét 1.3.9. Theo (1.2), xét trên đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Tp S, ta nhận
thấy các độ cong chính k1 , k2 lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của dạng cơ
bản IIp , nghĩa là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của độ cong pháp tại điểm p.
Ta có thể nhìn nhận điều này như sau, khi cho ω đổi hướng (tức là ω quay quanh p theo
các góc từ 0o đến 360o ), thì cứ ứng với mỗi ω như thế ta lại có span (N, ω) (không gian
sinh bởi N và ω) thay đổi. Một cách tương ứng, độ cong pháp của đường cong C theo
hướng ω đối với vector pháp N , ký hiệu là kn (p, ω), cũng thay đổi.
Vì phạm vi biến đổi của ω là một tập compact nên miền giá trị nhận được của các kn (p, ω)
tồn tại k1 (p) = min kn (p, ω) và k2 (p) = max kn (p, ω). Hai giá trị k1 (p), k2 (p) (nếu không
có gì nhầm lẫn, ta có thể viết lần lượt là k1 , k2 ) là các độ cong chính của S tại p ứng với
vector pháp N .

1.3.2

Độ cong Gauss - Độ cong trung bình.


Định nghĩa 1.3.10. Cho mặt chính quy định hướng (S, N ), p ∈ S, dNp là ánh xạ đạo
hàm của ánh xạ Gauss tại điểm p. Khi đó, ta có các khái niệm sau:
• Độ cong Gauss của S tại điểm p được định nghĩa là định thức của dNp . Ký hiệu
K(p).
• Một nửa vết của −dNp được gọi là độ cong trung bình của S tại p. Ký hiệu H(p).
11


Từ định nghĩa này, ta có thể nhận thấy:
a.
K = k1 .k2 .
H=

k1 + k2
.
2

(1.3)
(1.4)

b. Khi định hướng của mặt thay đổi sẽ làm đổi dấu độ cong trung bình nhưng không
làm thay đổi độ cong Gauss.
Theo đó, ta xây dựng công thức tính toán cụ thể của các độ cong này như sau:
Với (S, N ) là mặt chính quy định hướng và có tham số hóa địa phương tại điểm p ∈ S là
X : U −→ S. Giả sử rằng hướng của N tương thích với X, tức là:
N=

Xu ∧ Xv
|Xu ∧ Xv |


Ta có N, N = 1, suy ra N, Nu = 0, N, Nv = 0. Do đó, Nu , Nv ∈ Tp S.
Mà Tp S có cơ sở {Xu , Xv }, nên:
Nu = aXu + bXv ,
Nv = cXu + dXv .
Vậy, ma trận của dNp theo cơ sở {Xu , Xv } là:
a b
.
c d
Tiếp theo, ta đi tìm ma trận của dạng cơ bản IIp :
IIp (Xu ) = − dNp (Xu ), Xu = − Nu , Xu = N, Xuu := e,
− dNp (Xu ), Xv = − Nu , Xv = N, Xuv := f,
IIp (Xv ) = − dNp (Xv ), Xv = − Nv , Xv = N, Xvv := g.

Vậy, ma trận của IIp theo cơ sở {Xu , Xv } là:
e f
.
f g
Khi đó, với:
Xu , Xu = E; Xu , Xv = Xv , Xv = F ; Xv , Xv = G.

−e = Nu , Xu = aXu + bXv , Xu = aE + bF,
−g = Nv , Xv = cXu + dXv , Xv = cG + dF,
−f = Nu , Xv = aXu + bXv , Xv = aF + bG,
= Nv , Xu = cXu + dXv , Xu = cE + dF,
12


hay
−


e f
f g

a b
c d

=

E F
.
F G

Suy ra
a b
c d

=−

e f
f g

E F
F G

−1

.

Trong đó,

E F
F G

−1

=

1
EG − F 2

G −F
−F E

.

Ta thu được:
a=

f F − eG
eF − f E
gF − f G
f F − gE
; b=
; c=
; d=
.
2
2
2
EG − F

EG − F
EG − F
EG − F 2

Như vậy, với các định nghĩa độ cong nêu trên và thông qua tính toán, ta có:
• Độ cong trung bình:
H(N ) =

eG − 2f F + gE
.
2(EG − F 2 )

• Độ cong Gauss:
K(N ) =

1.3.3

eg − f 2
.
EG − F 2

Các ví dụ.

Từ công thức tính độ cong Gauss (1.3), độ cong trung bình (1.4), công thức Euler (1.2)
và mối quan hệ giữa độ cong chính với độ cong của nhát cắt chuẩn tắc thuộc mặt S tại
p, dọc theo phương ω, ta có thể tính toán nhanh độ cong của một số mặt phổ biến dưới
đây.
1. Mặt phẳng: (P )
Tại mỗi điểm p ∈ (P ), Tp (P ) ≡ (P ).
Np là vector pháp của (P ) tại p.

Với mỗi ω ∈ Tp (P ), ta đều có span (Np , ω) ∩ (P ) = ∆, ∆ là đường thẳng. Tức là
tất cả các nhát cắt chuẩn tắc của mặt đều là đường thẳng, có độ cong bằng 0. Vậy
các độ cong chính k1 = k2 = 0. Do đó:
k1 + k2
= 0;
2
K(p) = k1 k2 = 0.

H(p) =

13


2. Mặt trụ: (C) có bán kính đáy là R
Tại mỗi điểm p ∈ (C), Tp (C) là một mặt phẳng.
Np là vector pháp của (C) tại p. (Lưu ý rằng, Np có hai khả năng hoặc là hướng
ra ngoài, hoặc là hướng vào trong; ở đây ta xét trường hợp Np hướng ra ngoài mặt
trụ.)
Xét các vector ωi đặt gốc tại p, sai lệch nhau bởi các góc quay từ 0o đến 360o . Khi
đó span (Np , ωi ) ∩ (C) sẽ cho ra ba dạng đường cong sau:
– đường thẳng có độ cong k = 0;
– đường tròn (vector pháp Np hướng ra ngoài) có độ cong k =
– các đường elip có độ cong 0 < k <

1
;
R

1
.

R

Vậy, hai độ cong chính là k1 = 0 và k2 =

1
.
R

Do đó:

k1 + k2
1
=
;
2
2R
K(p) = k1 k2 = 0.

H(p) =

3. Mặt cầu: (S) có bán kính là R
Tại mỗi điểm p ∈ (S), Tp (S) là một mặt phẳng.
Np là vector pháp của (S) tại p. (Ở đây, ta xét trường hợp Np hướng ra ngoài mặt
cầu)
Xét các vector ωi đặt gốc tại p, sai lệch nhau bởi các góc quay từ 0o đến 360o . Khi
đó span (Np , ωi ) ∩ (S) sẽ cho ra các đường tròn có tâm chính là tâm của mặt cầu.
Các đường tròn này (với vector pháp Np hướng ra ngoài) có độ cong k = R1 .
Vậy, hai độ cong chính là k1 = k2 = R1 . Do đó:
k1 + k2
1

= ;
2
R
1
K(p) = k1 k2 = 2 .
R

H(p) =

1.4

Mặt cực tiểu.

Định nghĩa 1.4.1 (Vector độ cong trung bình). Như ta đã nêu ở phần trước, độ
cong trung bình của S tại p, ứng với pháp vector N được xác định bởi công thức:
H(N ) =

eG − 2f F + gE
.
2(EG − F 2 )

Ta có:
Tp S ⊥ −→ R
N → H(N )
14


H tuyến tính theo N .
Khi đó, tồn tại duy nhất H sao cho: H(N ) = H.N, ∀N ∈ Tp S ⊥ .
Vector H như trên được gọi là vector độ cong trung bình của S tại p. Vector này không

phụ thuộc vào N và có vai trò được xem như là ma trận của ánh xạ H(.) đối với một cơ
sở nào đó.
Định nghĩa 1.4.2 (Mặt cực tiểu). Mặt M là một mặt cực tiểu nếu vector độ cong
trung bình của nó triệt tiêu tại mọi điểm. Mà ta có H(N ) = H.N , theo đó thì mặt M là
một mặt cực tiểu nếu độ cong trung bình của nó bằng 0 tại mọi điểm. Dưới đây, ta có
phương trình của mặt cực tiểu:
H(N ) = 0 ⇔ eG − 2f F + gE = 0.
Ví dụ 1.4.1.
• Mặt Catenoid:
),
Mặt này nhận được bằng cách quay đường dây xích (Catenary) x = a cosh( z−b
a
với a = 0; a, b ∈ R quanh trục Oz . Nếu ta xét b = 0 thì phương trình của mặt có
dạng:
X(u, v) = (a cosh v cos u; a cosh v sin u; av)
Với − ∞ < v < +∞; 0 < u < 2π

Hình 1.1: Mặt Catenoid.

• Mặt Helicoid:
Phương trình:
X(u, v) = (a sinh v sin u; −a sinh v cos u; au)
Với − ∞ < v < +∞; 0 < u < 2π

15


Hình 1.2: Mặt Helicoid.

• Mặt Enneper:

Phương trình:
X(u, v) = (u −

v3
u3
+ uv 2 ; −v +
− v 2 u; u2 − v 2 )
3
3

Hình 1.3: Mặt Enneper.

Đặc biệt, với mỗi t ∈ (−π; π), ta xét
X(u, v, t) = cos t(sinh v sin u; − sinh v cos u; u) + sin t(cosh v cos u; cosh v sin u; u).
Khi đó:
X(u, v, 0) = (sinh v sin u; − sinh v cos u; u) : có dạng của mặt Helicoid,
π
X(u, v, ) = (cosh v cos u; cosh v sin u; u) : có dạng của mặt Catenoid.
2

16


Nhận xét 1.4.3. cos tX(u, v, 0) + sin tX(u, v, π2 ) = X(u, v, t), khi ta cho t chạy từ 0 đến
π
, ta thu được một họ mặt biến dạng từ Helicoid sang Catenoid.
2
Một điều thú vị nữa là, mỗi X(u, v, t) trong họ mặt này đều là mặt cực tiểu. Thật vậy,
bằng tính toán, ta sẽ thu được:
E = cosh2 v, F = 0, G = cosh2 v

e = − sin t, f = cos t, g = sin t.
Khi đó:
H=

1.5
1.5.1

eG − 2f F + gE
= 0.
2(EG − F 2 )

Mặt cực tiểu kiểu đồ thị.
Phương trình Lagrange.

Trong R3 , xét mặt cực tiểu S được tham số hóa kiểu đồ thị:
X : Ω −→ R3
(u, v) → X(u, v) := (u, v, f (u, v)).
Bằng tính toán, ta thu được:
Xu = (1, 0, fu ); Xv = (0, 1, fv )
Xuu = (0, 0, fuu ); Xuv = (0, 0, fuv ); Xvv = (0, 0, fvv )
N=

Xu ∧ Xv
=
|Xu ∧ Xv |

fu2

1
(−fu , −fv , 1).

+ fv2 + 1

Các hệ số của dạng cơ bản I:
E = Xu , Xu = 1 + fu2
F = Xu , Xv = Xv , Xu = fu fv
G = Xv , Xv = 1 + fv2 .
Các hệ số của dạng cơ bản II:
e = Xuu , N =

fu2

fuu
+ fv2 + 1

f = Xuv , N = Xvu , N =
g = Xvv , N =

17

fu2

fuv
fu2 + fv2 + 1

fvv
.
+ fv2 + 1


S là mặt cực tiểu, tức là:

eG − 2f F + gE
=0
2(EG − F 2 )
⇔ eG − 2f F + gE = 0
fuv
fuu
⇔
(1 + fv2 ) − 2
fu fv +
fu2 + fv2 + 1
fu2 + fv2 + 1
⇔ fuu (1 + fv2 ) − 2fuv fuv + fvv (1 + fu2 ) = 0.

H=

fvv
(1 + fu2 ) = 0
fu2 + fv2 + 1

Đây chính là phương trình của mặt cực tiểu kiểu đồ thị và được gọi là phương trình
Lagrange nhằm tưởng nhớ công lao phát hiện ra đầu tiên bởi nhà toán học này.

1.5.2

Tính cực tiểu diện tích.

Cho một mặt tham số hóa X : Ω −→ R3 . Tham số hóa này được gọi là trực giao nếu
E = G và F = 0.
Về mặt địa phương, ta luôn có thể biểu thị một mặt cực tiểu bằng một tham số hóa trực
giao. Điều này được khẳng định trong định lý dưới đây:

Định lý 1.5.1. Mỗi mặt tham số cực tiểu X đều có tham số hóa trực giao địa phương.
Chứng minh. Với S có tham số hóa kiểu đồ thị, giả sử rằng X(x, y) = (x, y, f (x, y)).
Xét p ∈ S, p = X(x0 , y0 ), trong đó (x0 , y0 ) ∈ Ω. Lưu ý rằng, các phép biến đổi đẳng cự
sẽ không gây ảnh hưởng đến các hệ số của dạng cơ bản I và II, do vậy chúng không làm
thay đổi tính cực tiểu của mặt. Vậy nên, ta có thể xét p trùng với gốc tọa độ O, mặt
phẳng tiếp xúc là Tp S ≡ Oxy.
Giả thiết đưa ra ban đầu là S cực tiểu, nghĩa là f thỏa mãn phương trình Lagrange. Lúc
này, theo như Bài toán (2.2.9) (phần phụ lục), ta thu được các kết quả:
1) Ma trận của dạng cơ bản I:
G=

1 + (fx1 )2
f x1 f x2
.
f x1 f x2
1 + (fx2 )2

2)
detG = [1 + (fx1 )2 ].[1 + (fx2 )2 ] − (fx1 )2 .(fx2 )2
= 1 + (fx1 )2 + (fx2 )2 .
hay để cho thuận tiện khi tính toán về sau, ta có thể viết lại: detG = 1 + fx21 + fx22 .
3)
1 + fx22
√
detG

x1

fx fx
= √1 2

detG

;
x2

f f
√x1 x2
detG

x1

1 + f2
= √ x1
detG

.

(1.5)

x2

Suy ra sự tồn tại của các hàm g và h sao cho:
fx , fx
fx , fx
1 + f2
1 + f2
gx1 = √ x1 ; gx2 = √1 2 ; hx1 = √1 2 ; hx2 = √ x2 .
detG
detG
detG

detG

18

(1.6)


Xét hàm:
T : Ω −→ R2
(x, y) → T (x, y) = (x + g(x, y), y + h(x, y)).
Khi đó, ma trận Jacobi của T :
dT =
Định thức |dT | =

1 + gx
gy
hx
1 + hy

√
(1+ detG)2
√
detG

=

1+f 2
√ x
detG
f f

√x y
detG

1+

1

f f
√x y
detG
1+fy2
+ √detG

.

> 0, áp dụng định lý hàm ngược, tồn tại hàm
T −1 (u, v) = (x, y).

Khi đó,
d(T

−1

−1

) = (dT )

1
√
=

(1 + detG)2
xu xv
=
.
yu yv

1+f 2
√ y
detG
f x fy
√
− detG

x fy
− √fdetG

1+

1
=
detdT
√

1+

1+f 2
√ x
detG

detG + 1 + fy2 √ −fx fy

−fx fy
detG + 1 + fx2

Ta tiến hành kiểm chứng tham số sau là trực giao: X(u, v) = (x(u, v); y(u, v); f (x(u, v), y(u, v))).
Thật vậy,
√
√
1
√
Xu =
.( detG + 1 + fy2 ; −fx fy ; ( detG + 1 + fy2 )fx + fy (−fx fy )),
(1 + detG)2
√
√
1
√
.(−fx fy ; detG + 1 + fx2 ; ( detG + 1 + fx2 )fy + fx (−fx fy )).
Xv =
(1 + detG)2
Theo đó, bằng tính toán, ta thu được:
E=G=

detG
√
,
(1 + detG)2

đồng thời
F = 0.


Định lý 1.5.2. Tham số hóa X(u, v) là trực giao thì
∆X = Xuu + Xvv = (2EH).N
Chứng minh. Ta có {Xu , Xv , N } là một trường mục tiêu trên mặt, ta có thể biểu diễn
Xuu và Xvv qua trường mục tiêu này. Cụ thể ∃ a, b, c, m, n, p sao cho:
Xuu = aXu + bXv + cN,

(1.7)

Xvv = mXu + nXv + pN.

(1.8)

Trong đó, a, b, c, m, n, p đều là các hàm khả vi xác định trên mặt. Ta tiến hành tính toán
cụ thể để tìm các hàm này như sau:
19


• Khi nhân (1.7) với lần lượt Xu , Xv , N , ta được:
∂
Eu
Xu , Xu =
2∂u
2
∂
Ev
= Xuu , Xv = − Xu , Xuv = −
Xu , Xu = −
2∂v
2
c = Xuu , N = e.


a Xu , Xu = Xuu , Xu =
b Xv , Xv

• Khi nhân (1.8) với lần lượt Xu , Xv , N , ta được:
Gu
∂
Xv , Xv = −
2∂u
2
∂
Gv
= Xvv , Xv =
Xv , Xv =
2∂v
2
p = Xvv , N = g.

m Xu , Xu = Xvv , Xu = − Xv , Xuv = −
n Xv , Xv

Tóm lại, ta có:
Eu
Ev
, b = − , c = e,
2E
2G
Gu
Gv
m=− , n=

, p = g.
2E
2G
a=

Thay vào (1.7) và (1.8), ta được:
Eu
Ev
Gu
Gv
Xu −
Xv + eN + −
Xu +
Xv + gN
2E
2G
2E
2G
Eu
Gu
Ev
Gv
= (e + g)N +
−
−
Xu +
Xv
2E 2E
2G 2G
e+g

N = (2EH)N.
= (e + g)N = 2E
2E

Xuu + Xvv =

Điều sau đây được xem như một hệ quả trực tiếp của định lý trên và được dùng như
một trong những công cụ để kiểm tra tính cực tiểu của một mặt:
Hệ quả 1.5.3. Mỗi mặt tham số trực giao X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) là mặt cực
tiểu khi và chỉ khi các hàm x, y, z là những hàm điều hòa, hay ∆X = 0.

1.5.3

Định lý Bernstein.

Theo như nhận định của nhà toán học Osserman thì đây là định lý mang tính chất phổ
quát và đáng để người ta tìm hiểu. Hai lý do chính được đưa ra cho nhận xét này, một
là người ta có thể sử dụng các kết quả sơ cấp để chứng minh nó và điều thứ hai là dựa
vào nó, người ta phát hiện thêm một loạt các kết quả đáng lưu tâm khác. Để dẫn dắt
cho người đọc tiện theo dõi, ta bắt đầu từ những kết quả có tính sơ cấp dưới đây:

20


Bổ đề 1.5.4. Cho hàm số F (x1 , x2 ) thuộc lớp C 2 , được xác định trên một miền lồi D,
Fx1 x1 Fx1 x2
được giả thiết rằng xác định dương. Xét ánh xạ:
ma trận Hessian
Fx2 x1 Fx2 x2
(x1 , x2 ) → (u1 , u2 ), với ui = Fxi .


(1.9)

Khi đó, nếu a, b là hai điểm phân biệt trong D và u, v lần lượt là ảnh của chúng qua ánh
xạ (1.9) thì ta có:
(v − u).(b − a) > 0 .
Chứng minh. Để cho thuận tiện trong việc tính toán, với a = (a1 , a2 ), ta có thể viết
F (a1 , a2 ) = F (a).
Vì D lồi nên với a = (a1 , a2 ); b = (b1 , b2 ) ∈ D, ta có [tb + (1 − t)a] ∈ D, với 0 ≤ t ≤ 1.
Khi đó, ta đặt α(t) = F (tb + (1 − t)a).
α (t) = (b − a).F (tb + (1 − t)a)
2

[Fxi (tb + (1 − t)a)](bi − ai ),

=
i=1

với lưu ý rằng, ta ký hiệu Fxi (.) là đạo hàm theo biến thứ i của hàm F (.).
Từ đó, ta có:
2

[Fxi xj (tb + (1 − t)a)](bi − ai )(bj − aj ).

α (t) =

i,j=1

Theo giả thiết, α (t) > 0, ∀t ∈ [0, 1], do vậy α là một hàm tăng. Suy ra α (0) < α (1).
Cụ thể, nếu ta đặt y = (y1 , y2 ) = tb + (1 − t)a, 0 ≤ t ≤ 1, với ánh xạ (1.9), ta xác định

được v = (v1 , v2 ) là ảnh của y, vi = Fxi (y).
Vậy
2

α =

[Fxi (tb + (1 − t)a)](bi − ai )

(1.10)

vi (bi − ai ).

(1.11)

i=1
2

=
i=1

Khi đó, xét 0 ≤ t1 < t2 ≤ 1, ta xác định được hai điểm phân biệt trên D là t1 b + (1 − t1 )a
và t2 b + (1 − t2 )a, ảnh của chúng qua ánh xạ (1.9) lần lượt là u(u1 , u2 ) và w(w1 , w2 ).
α là hàm tăng trên [0; 1] nên α (t1 ) < α (t2 ).
Áp dụng sự phân tích ở (1.11), ta được:
2

2

ui (bi − ai ) <
i=1


wi (bi − ai )
i=1

2

⇔

(wi − ui ).(bi − ai ) > 0
i=1

⇔ (w − u).(b − a) > 0
⇔ (w − u).(t2 − t1 ).(b − a) > 0
⇔ (w − u).[(t2 b + (1 − t2 )a) − (t1 b + (1 − t1 )a)] > 0.
21


Đây chính là điều ta cần chứng minh.
Bổ đề 1.5.5. Cũng với giả thiết như trong Bổ đề (1.5.4), nếu chúng ta xét hàm:
G(x1 , x2 ) = (ξ1 , ξ2 ) := (x1 + Fx1 , x2 + Fx2 )
thì với hai điểm phân biệt a, b trong D, ảnh ξ và η của chúng sẽ thỏa mãn bất đẳng thức
sau:
|η − ξ| > |b − a|.
(1.12)
Chứng minh. Với v = (v1 , v2 ) = (Fb1 , Fb2 ); u = (u1 , u2 ) = (Fa1 , Fa2 ).
η − ξ = (η1 ; η2 ) − (ξ1 ; ξ2 )
= (b1 + Fb1 ; b2 + Fb2 ) − (a1 + Fa1 ; a2 + Fa2 )
= (b1 + v1 ; b2 + v2 ) − (a1 + u1 ; a2 + u2 )
= (b − a) + (v − u).
Theo Bổ đề (1.5.4), ta suy ra:

(η − ξ).(b − a) > (b − a)2 .

(1.13)

Theo bất đẳng thức Cauchy Schwatz, ta có:
|η − ξ|.|b − a| ≥ |(η − ξ).(b − a)| > |b − a|2
⇒ |η − ξ| > |b − a|.
Bổ đề 1.5.6. Nếu D = {(x1 , x2 )|x21 + x22 < r2 }, thì ánh xạ G được đề cập ở Bổ đề (1.5.5)
là một vi phôi đi từ D lên một miền mở chứa một đĩa có tâm là G(0, 0), bán kính r.
Chứng minh. Ta có F thuộc lớp C 2 nên G thuộc lớp C 1 .
Giả sử α(t) là một đường cong khả vi trong miền D và β(t) là ảnh của nó qua ánh xạ G.
Khi đó, dựa theo Bổ đề (1.5.5), ta thu được:
|α (t)| < |β (t)|.
Do đó, Jacobian của G lớn hơn 1 tại mọi điểm. Theo định lý hàm ngược, hàm G là vi
phôi địa phương. Mặt khác, dựa vào bất đẳng thức (1.12), ta thấy G : 1 − 1. Vậy nên G
là một vi phôi toàn cục vào một miền mở V , ta lần lượt xét hai trường hợp sau:
• V ≡ R2 , hiển nhiên đảm bảo điều cần chứng minh là đúng.
• V = R2 ⇒ R2 \ V = ∅. Do đó, tồn tại điểm µ sao cho:
d(µ; G(0)) ≤ d(ν; G(0)), ∀ν ∈ R2 \ V.
(Lưu ý rằng, để gọn và thuận tiện khi tính toán, ta viết G(0) để thay cho G(0; 0))
Xét dãy (µn )n với µn ∈ V, µn −→ µ. Khi đó sẽ có tương ứng dãy (xn )n ⊂ D, dãy
này không thể có điểm tụ ở trong D vì ảnh của nó sẽ là µ. Vậy, |xn | −→ r.
Theo bất đẳng thức (1.12), ta có |µn − G(0)| > |xn | kéo theo |µn − G(0)| ≥ r.
Tóm lại, các điểm thuộc R2 \ V thì sẽ có khoảng cách đến G(0) đều lớn hơn hoặc
bằng r, điều này đồng nghĩa với các điểm có khoảng cách đến G(0) nhỏ hơn r thì
đều nằm trong V .
22


Bổ đề 1.5.7. Cho f (x1 , x2 ) xác định trên D = {(x1 , x2 )|x21 + x22 < r2 } thỏa mãn phương

trình mặt cực tiểu:
(1 + |fx1 |2 ).fx1 x1 − 2fx1 fx2 fx1 x2 + (1 + |fx2 |2 ) = 0.
Với hai hàm g và h được xác định như ở Bài toán (2.2.9) (phần phụ lục), ta xét hàm:
G(x1 , x2 ) = (ξ1 , ξ2 ) = (x1 + g(x1 , x2 ), x2 + h(x1 , x2 )).
Ta có G là một vi phôi vào miền mở U chứa một đĩa tâm G(0, 0), bán kính r, (để thuận
tiện, nếu không có gì nhầm lẫn, ta có thể viết G(0, 0) = G(0)).
Chứng minh. Theo Bài toán (2.2.9), ta chỉ ra tồn tại hàm E thỏa mãn:
Ex1 = g, Ex2 = h.
Khi đó, hàm E thuộc lớp C 2 , đồng thời:
1 + f2
∂(g, h)
=1.
Ex1 x1 = gx1 = √ x1 ; Ex1 x2 =
∂(x1 , x2 )
detG
Do vậy, ta dễ dàng nhận thấy E thỏa mãn các điều kiện được nêu trong các Bổ đề (1.5.4),
(1.5.5), (1.5.6), từ đấy dẫn đến điều cần phải chứng minh.
Bổ đề 1.5.8. Cho hàm f (x1 , x2 ) là hàm thuộc lớp C 1 nhận giá trị thực, được xác định
trên một miền mở U . điều kiện cần và đủ để mặt X(x1 , x2 ) = (x1 , x2 , f (x1 , x2 )) nằm trên
một mặt phẳng là tồn tại một phép biến đổi tuyến tính biến (u1 , u2 ) thành (x1 , x2 ) được
gọi là phép biến đổi tham số sao cho đảm bảo hai điều kiện sau:
• Phép biến đổi này phải không suy biến.
• X(u, u) là tham số hóa trực giao của mặt X.
Chứng minh. Giả sử tồn tại tham số (u1 , u2 ) thỏa mãn điều kiện nêu trên. Ta đặt:
ϕk (z) = (xk )u1 − i(xk )u2 , k = 1, 2, 3
với x3 = f (x1 , x2 )
Vì x1 , x2 là các hàm tuyến tính theo u1 và u2 nên (xk )uj , j = 1, 2; k = 1, 2 là các hàm
hằng, do vậy ϕ1 , ϕ2 cũng là các hàm hằng.
Mặt khác, vì (u1 , u2 ) là tham số hóa trực giao nên ϕ3 là hàm hằng. Điều này có nghĩa
là hàm x3 = f có gradient hằng nên f (x1 , x2 ) = Ax1 + Bx2 + C (có đồ thị biểu diễn là

một mặt phẳng). Ngược lại, nếu f (x1 , x2 ) = Ax1 + Bx2 + C, ta hoàn toàn có thể đặt
x1 = λAu1 + Bu2 , x2 = λBu1 − Au2 , với λ2 = 1+A21+B 2 .
Hệ quả 1.5.9 (Định lý Bernstein). Mặt tham số cực tiểu kiểu đồ thị xác định trên
toàn bộ mặt phẳng là mặt phẳng.
Chứng minh. Điều này được suy ra trực tiếp từ Bổ đề (1.5.8).
23


Chương 2
Mặt cực tiểu kiểu đồ thị trong
không gian R ×ω R2.
2.1
2.1.1

Không gian tích cong R ×ω R2.
Định nghĩa.

Cho B và F là hai đa tạp Riemann cùng với các metric Riemann tương ứng lần lượt là
gB và gF .
Cho ω là một hàm trơn, dương trên B.
Xét đa tạp tích B × F với các phép chiếu:
π : B × F −→ B
σ : B × F −→ F.
Khi đó, đa tạp tích cong M = B ×ω F được định nghĩa là đa tạp B × F và trên đó
được trang bị metric:
g = π ∗ (gB ) + (ω ◦ π)2 σ ∗ (gF )
Với mọi vector X ∈ T(p,q) M , ta có:
g(X, X) = gB (dπ(X), dπ(X)) + ω 2 (π(p, q)).gF (dσ(X), dσ(X))
g(X, X) = gB (dπ(X), dπ(X)) + ω 2 (p). gF (dσ(X), dσ(X)).
và ta có thể viết gọn lại là:

g = gB + ω 2 gF .
Hàm ω được nêu trên gọi là hàm tích cong (warp product). Ta có thể thấy rằng,
metric trong không gian này sẽ không chỉ còn đơn thuần phụ thuộc vào vector X mà còn
bị chi phối bởi vị trí điểm đặt (p, q).
Trong trường hợp ω = 1 thì B ×ω F chính là đa tạp tích Riemann thông thường.
B được gọi là nền (base) và F được gọi là thớ (fiber) của đa tạp tích cong M .
Tại mỗi điểm (p, q) ∈ M , ta có các đa tạp semi-Riemann con của M :
p × F = π −1 (p) được gọi là các fiber,

24