❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖
✣❸■ ❍➴❈ ❍❯➌
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

◆●❯❨➍◆ ❱❿◆ ❚❘➑

▼➄❚ ❈Ü❈ ✣❸■ ❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆
❘❖❇❊❘❚❙❖◆✲❲❆▲❑❊❘

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❍✉➳✱ ◆➠♠ ✷✵✶✼


❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖
✣❸■ ❍➴❈ ❍❯➌
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

◆●❯❨➍◆ ❱❿◆ ❚❘➑

▼➄❚ ❈Ü❈ ✣❸■ ❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆
❘❖❇❊❘❚❙❖◆✲❲❆▲❑❊❘
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❍➐◆❍ ❍➴❈ ❱⑨ ❚➷ P➷
▼➣ sè✿ ✻✵ ✹✻ ✵✶ ✵✺

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❈→♥ ❜ë ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿

❚❙✳ ✣➄◆● ❱❿◆ ❈×❮◆●

❍✉➳✱ ◆➠♠ ✷✵✶✼

✐



ổ ổ tr ự ừ r tổ số
t q ự tr tr tỹ ữủ ỗ t
sỷ ử ữ tứ ữủ ổ ố tr t ởt ổ tr

r





ữủ t ữợ sỹ ữợ t t ừ t
ữớ ổ ữủ ỷ sỹ trồ ỏ
t ỡ s s sỹ t t ừ tr tớ ữợ tổ tỹ

ổ ữủ tọ ỏ t ỡ t tợ t ổ t
õ ồ ỳ ữớ ú tổ tr ỳ
tự tt tr ỳ ồ ứ q
ổ ụ ỷ ớ ỡ t Pỏ t
s ồ ồ ữ t t ủ
tổ tr q tr ồ t tỹ ừ
ũ tổ ữủ ỷ ớ ỡ ữớ t t

tr ợ ồ ồ tổổ ổ q t
ở ú ù tổ tr sốt tớ tỹ ụ ữ tr
ồ ứ q

r




▼ö❝ ❧ö❝
❚r❛♥❣ ♣❤ö ❜➻❛
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▼ö❝ ❧ö❝
P❤➛♥ ♠ð ✤➛✉
P❤➛♥ ♥ë✐ ❞✉♥❣
✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ▲♦r❡♥t③✲▼✐♥❦♦✇s❦✐

✐
✐✐
✐✐✐
✷
✸
✺
✺

✶✳✶

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ▲♦r❡♥t③✲▼✐♥❦♦✇s❦✐ ✸✲❝❤✐➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳


✺

✶✳✷

2
▼➦t ❦✐➸✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tr♦♥❣ R1 × R ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✸

▼➦t ❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✶✳✸✳✶

❇✐➳♥ ♣❤➙♥ t❤ù ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✶✳✸✳✷

❈æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ✤ë ❝♦♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✶✳✸✳✸

▼➦t ❝ü❝ ✤↕✐


✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺

✶✳✸✳✹

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛❣r❛♥❣❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✶✳✸✳✺

❚➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣

✶✽

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❘♦❜❡rts♦♥✲❲❛❧❦❡r

✷✶

✷✳✶

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❘♦❜❡rts♦♥✲❲❛❧❦❡r ✸✲❝❤✐➲✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶


✷✳✷

▼➦t ❦✐➸✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tr♦♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✷✳✸

▼➦t ❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

✷✳✸✳✶

❈æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ✤ë ❝♦♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

✷✳✸✳✷

▼➦t ❝ü❝ ✤↕✐

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

✷✳✸✳✸


P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛❣r❛♥❣❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✷

✷✳✸✳✹

❚➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣

✸✹

(R1 )×w R2

✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳


✸ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❘♦❜❡rts♦♥✲❲❛❧❦❡r ✈î✐ ♠➟t ✤ë ❦✐➸✉ ●❛✉ss

✸✻

✸✳✶

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡ ✈î✐ ♠➟t ✤ë

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✻


✸✳✷

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ▲♦r❡♥t③✲▼✐♥❦♦✇s❦✐ ✈î✐ ♠➟t ✤ë ❦✐➸✉ ●❛✉ss ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✽

✸✳✷✳✶

✣ë ❝♦♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✈î✐ ♠➟t ✤ë ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✽

✸✳✷✳✷

Þ ♥❣❤➽❛ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛

L ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✾

✸✳✷✳✸

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛❣r❛♥❣❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✵

✸✳✷✳✹

❚➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣


✹✶

✸✳✸

∇f, N

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❘♦❜❡rts♦♥✲❲❛❧❦❡r ✈î✐ ♠➟t ✤ë ❦✐➸✉ ●❛✉ss

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✸

✸✳✸✳✶

✣ë ❝♦♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✈î✐ ♠➟t ✤ë ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✸

✸✳✸✳✷

Þ ♥❣❤➽❛ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛

w ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✸

✸✳✸✳✸


P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛❣r❛♥❣❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✺

✸✳✸✳✹

❚➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣

✹✻

∇f, N

❑➳t ❧✉➟♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✽
✹✾

✷


P é
t ồ ự r s ỹ ổ
rts tr õ ởt s t t ố
ự ổ ữỡ ồ t rt r ổ tr
s tr t ổ tr ữỡ
t ổ õ ở tr ổ ữủ ồ t ỹ
ổ rts õ ỵ tr ự tứ

trữớ ồ ụ trử

ứ ỳ ổ rtsr t t tứ
t q ừ t ồ ổ r r ỳ
r P rts tứ rtr r r tứ ữỡ qố
ỹ ổ rtsr ởt t tr t
ổ ừ ụ trử ồ ổ rtsr ởt
trữớ ủ ừ ổ rPrt ữủ ỹ tr t ừ
ởt s t t ố ự ổ ữỡ t
r ử tở tr t ừ tỡ ứ õ õ s r
t t ợ õ ỵ ợ tr ự tt tữỡ ố rở
ừ st

ởt tr ỳ ữợ t tr ợ ừ ồ
ữủ ú trồ ự ổ ợ t ở tỗ t ởt ữỡ
ồ t ở õ trỏ trồ số tr t
t t r ổ ợ t ở

ef

t õ ở tr ợ t

ở f ở tr ổ ữủ ồ t

f ỹ

t

rở ự ổ rts ổ
rtsr ợ t ở

ổ ồ t

f ỹ

ef

ũ ợ t õ

f ở

tr

ợ õ ỵ ợ

ố õ ữủ sỹ ủ ỵ ừ ữớ tổ ồ t


t ỹ tr ổ rtsr

ự ừ



t


ở ừ ỗ ữỡ ữ s




ữỡ ổ rts

ữỡ

ợ t ổ rts t ổ
ở tr ừ ởt t ổ t ỹ ởt số
t t õ ữủ ữ ởt trữớ ủ t ừ ổ
rtsr t



w = 1

ữỡ ổ rtsr

é ữỡ tổ

t tr ợ t ổ rtsr t ổ
ử tr ổ rtsr t ở
tr ừ ởt t ỗ t ổ t ỹ t q
tữỡ tỹ ữ tr ổ rts



ữỡ ổ ợ t ở

r ữỡ ố tổ rở

t q tr ữỡ trữợ ổ rts
ổ rtsr ợ t ở ss

ũ õ ố ữ t tớ
ổ tr ọ ỳ s sõt ổ rt ữủ ỳ ỵ õ õ
qỵ ổ ữủ t ỡ

t

r




ữỡ

ổ rts
r ữỡ ú tổ ợ t ởt qt ổ
rts

(R1 ) ì R2

tỡ ổ

ổ tự t ở tr ừ ởt t ỗ t ổ
tổ q ừ t ứ õ t ỹ
ụ ữ t t ừ õ r tổ ợ t ự t ỹ
t ữỡ ừ t ỹ ữỡ ù

ổ rts
t ú tổ ợ t ổ rts
t t trữ ừ tỡ ổ
ổ tỡ




R3

ợ ỡ s trỹ t

= {e1 ; e2 ; e3 }

ổ rts ổ tỡ

R3 ũ ợ s t t ố ự ổ s ữ s
u, v

L

= u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

ợ

u = (u1 ; u2 ; u3 ), v = (v1 ; v2 ; v3 ).

s t t tr t ổ ữợ tr ổ rts
ữủ ồ t rt ổ ữợ ổ ử tở
t ừ tỡ
ổ rts ỵ

R1 ì R2

r ổ rts ổ ừ tỡ


|u|L =


| u, u L |
,

tỡ

u

ữủ ồ ỡ

u

ữủ

|u|L = 1

L ổ ữỡ ợ ộ tỡ

u

t t r

u, u

L õ t

tr ữỡ ổ ứ õ t õ tỡ s





tỡ

u R1 ì R2

tỡ ổ s


tỡ

u, u

L

u

ữủ ồ

>0



u = 0


•


✈❡❝tì ❦✐➸✉ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✭t✐♠❡❧✐❦❡✮ ♥➳✉

u, u

L

< 0❀

•

✈❡❝tì ❦✐➸✉ →♥❤ s→♥❣ ✭❧✐❣❤t❧✐❦❡✮ ♥➳✉

u, u

L

=0

✈➔

u = 0✳

❍➻♥❤ ✶✳✶✿ ❈→❝ ❦✐➳✉ ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ▲♦r❡♥t③✲▼✐♥❦♦✇s❦✐

❱î✐ ❤❛✐ ✈❡❝tì

u, v ∈ R1 × R2 ✱

♥➳✉


✭t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ▲♦r❡♥t③✮ ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔

u, v

L

=0

R 1 × R2

t❤➻ t❛ ❣å✐ ❧➔

u

trü❝ ❣✐❛♦ ✈î✐

v

u ⊥L v ✳

❚➟♣ ❝→❝ ✈❡❝tì ❦✐➸✉ →♥❤ s→♥❣ ❧➔ ♥â♥ →♥❤ s→♥❣✿

C = {(x; y; z) ∈ R31 : −x2 + y 2 + z 2 = 0}\{(0; 0; 0)}✳
❚➟♣ ❝→❝ ✈❡❝tì ❦✐➸✉ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❧➔ ♥â♥ ❦✐➸✉ t❤í✐ ❣✐❛♥✿

T = {(x; y; z) ∈ R31 : −x2 + y 2 + z 2 < 0}✳
❈↔

C


✈➔

T

✤➲✉ ❣ç♠ ❤❛✐ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣✳ ❍❛✐ ✈❡❝tì ♥➡♠ tr➯♥ ❝ò♥❣

♠é✐ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ❝õ❛

v = (x; y; z) ∈ T ✱

♥➳✉

x>0

t❤➻

T

❣å✐ ❧➔ ❝ò♥❣ ♥â♥ ❦✐➸✉ t❤í✐ ❣✐❛♥✳ ❱î✐ ♠é✐ ✈❡❝tì

v

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✈❡❝tì ❦✐➸✉ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❤÷î♥❣

t÷ì♥❣ ❧❛✐✱ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❣å✐ ❧➔ ✤à♥❤ ❤÷î♥❣ q✉→ ❦❤ù✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳
❣å✐

•


U

❈❤♦

U ⊂ R1 × R2

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ❝♦♥✳ ❑❤✐ ✤â t❛

❧➔✿

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❦✐➸✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➳✉
❝❤ù❛ ❝→❝ ✈❡❝tì ❦✐➸✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥❀

✻

u, u

L

> 0 ✱∀u ∈ U ✱ u = 0

tù❝ ❧➔ ❝❤➾


•

u, u

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❦✐➸✉ →♥❤ s→♥❣ ♥➳✉


u, u

❝❤♦

L

= 0✱

L

≥ 0 ✱∀u ∈ U

✈➔

∃u ∈ U ; u = 0

s❛♦

tù❝ ❧➔ ❝❤ù❛ ➼t ♥❤➜t ♠ët ✈❡❝tì ❦✐➸✉ →♥❤ s→♥❣ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛

✈❡❝tì ❦✐➸✉ t❤í✐ ❣✐❛♥ ♥➔♦❀

•

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❦✐➸✉ t❤í✐ ❣✐❛♥ ♥➳✉

∃u ∈ U, u, u

L


< 0✱

tù❝ ❧➔ ❝❤ù❛ ➼t ♥❤➜t

♠ët ✈❡❝tì ❦✐➸✉ t❤í✐ ❣✐❛♥✳
❚❛ ❝â ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ✈❡❝tì ✈➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ❝♦♥ tr♦♥❣

R1 × R2

♥❤÷ s❛✉✿

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✳✹✳
✷✲❝❤✐➲✉✳ ❑❤✐ ✤â

U

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✳✺✳

❬✺❪ ❈❤♦

U ⊂ R1 × R2

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❦✐➸✉ t❤í✐ ❣✐❛♥

❝❤ù❛ ✷ ✈❡❝tì ❦✐➸✉ →♥❤ s→♥❣ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤✳
❬✺❪ ❈❤♦

U ⊂ R1 × R2


❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❦✐➸✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

⊥
✭❦✐➸✉ t❤í✐ ❣✐❛♥✮✳ ❑❤✐ ✤â U L ❧➔ ❦✐➸✉ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✭❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✮✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✳✻✳
❛✮ ◆➳✉
t❤➻

u, v

u, v ∈ R1 × R2 ✳

♥➡♠ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✷✲❝❤✐➲✉

u, v

♥➡♠ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✷✲❝❤✐➲✉

❧➔ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❦✐➸✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

U

❧➔ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❦✐➸✉ t❤í✐ ❣✐❛♥

| u, v L | ≥ |u|L .|v|L ✳
u

❝✮ ❉➜✉ ✧❂✧ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
❞✮ ✣➦❝ ❜✐➺t ♥➳✉


u

✈➔

❦✐➸✉ t❤í✐ ❣✐❛♥ t❤➻

ϕ

U

❑❤✐ ✤â t❛ ❝â✿

| u, v L | ≤ |u|L .|v|L ✳

❜✮ ◆➳✉
t❤➻

❬✺❪ ❈❤♦ ✷ ✈❡❝tì

v

✈➔

v

❝ò♥❣ ♣❤÷ì♥❣✳

❧➔ ✷ ✈❡❝tì ❦✐➸✉ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ ♥➡♠ tr➯♥ ❝ò♥❣ ♠ët ♥â♥


∃ϕ ≥ 0

s❛♦ ❝❤♦

u, v

L

= −|u|L .|v|L . cosh ϕ

❣å✐ ❧➔ ❣â❝ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ❣✐ú❛

u

✈➔

✳

v✳

❙❛✉ ✤➙② ❝❤ó♥❣ tæ✐ s➩ ①➨t ✤➳♥ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➼❝❤ ✈❡❝tì✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✼✳

❈❤♦ ❤❛✐ ✈❡❝tì

▲♦r❡♥t③ ❝õ❛ ❤❛✐ ✈❡❝tì

u, v


u, v ∈ R1 × R2 ✱

❧➔ ♠ët ✈❡❝tì✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔

t➼❝❤ ✈❡❝tì ✭t➼❝❤ ❝â ❤÷î♥❣✮

u ∧L v ✱

✈➔ ✤÷ñ❝ t➼♥❤ ❜ð✐ ❝æ♥❣

t❤ù❝ s❛✉✿

−e1 e2 e3
u ∧L v :=

❚r♦♥❣ ✤â

ξ = {e1 ; e2 ; e3 }

u1

u2 u3

v��

tù❝ ❧➔

❧➔ tr÷í♥❣ ✈❡❝tì ♣❤→♣

Ω × R✳

L✳

df ω = 0✳

ω = P dx ∧ dy + Qdx ∧ dz + Rdy ∧ dz ✳

❚❛ ❝â✿

P = ω(e1 ; e2 ) = √
Q = ω(e1 ; e3 ) = √
R = ω(e2 ; e3 ) = √

uz
1 − ∇u2
−uy
1 − ∇u2
1
1 − ∇u2

;
;
.

❉♦ ✤â✿

df ω = ef .d e−f ω
= ef .d e−f P dx ∧ dy + e−f Qdx ∧ dz + e−f Rdy ∧ dz
e−f uy
e−f uz
∂

√
√
+
.dx ∧ dy ∧ dz
∂y
1 − ∇u2
1 − ∇u2
uy
y.uy
∂
√
+
.dx ∧ dy ∧ dz
= −√
2
∂y
1 − ∇u
1 − ∇u2
z.uz
∂
uz
√
+ −√
+
.dx ∧ dy ∧ dz
1 − ∇u2 ∂z
1 − ∇u2
∂
∂z


= ef .

= −divf (N ).dx ∧ dy ∧ dz
= 2Hf .dx ∧ dy ∧ dz = 0.
❱➻ t❛ ❝❤➾ ①➨t ❝→❝ ♠➦t ❦✐➸✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➯♥
♥â♥ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈î✐

N

ω(Y ; Z) = − ξ, N

L

✈➔

|ξ|L = 1✳

S

✈➔

S

S

❣✐↔ sû

ξ

♥➡♠ ❝ò♥❣


❚❛ ❝â✿

≥ |ξ|L .|N |L ≥ 1✳

❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
❳➨t

∀ξ = Y ∧L Z ✱

ξ = Y ∧L Z ∈ Tp S ⊥L ✳

❧➔ ♠➦t ❦✐➸✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❜➜t ❦➻ ❝ò♥❣ ❜✐➯♥ ✈î✐

S✳ V

❧➔ ♠✐➲♥ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❜ð✐

✳

⑩♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ✸✳✶✳✺ t❛ ❝â✿

0=

df ω =
V

ω=
∂V


ω−

ω=
S−S

S

ω✳
S

❙✉② r❛

ω ≥ Af (S )✳

ω=
S
❍❛②

Af (S) ≥ Af (S )✳ ❱➟② ♠➦t S

S
❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✭✈î✐ ♠➟t ✤ë✮ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳

✹✷


✸✳✸ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❘♦❜❡rts♦♥✲❲❛❧❦❡r ✈î✐ ♠➟t ✤ë ❦✐➸✉ ●❛✉ss
❙❛✉ ✤➙② tæ✐ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❘♦❜❡rts♦♥✲❲❛❧❦❡r
♠➟t ✤ë


e−f

1 −
e
=
2π

y 2 +z 2
2

✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ●❛✉ss ❤❛✐ ❝❤✐➲✉
trö❝

R 1 ×w G 2 ✱

R1 ×w R2

❝ò♥❣ ✈î✐

❧➔ t➼❝❤ ❝♦♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

R1

✈î✐

G2 ✳ ❈→❝ t➟♣ ♠ù❝ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➔② ❧➔ ❝→❝ ♠➦t trö

Ox✳


✸✳✸✳✶ ✣ë ❝♦♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✈î✐ ♠➟t ✤ë

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✸✳✶✳

R1 ×w G2

❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

✤ë ❝♦♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✈î✐ ♠➟t ✤ë

✭f ✲✤ë ❝♦♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤✮ ❝õ❛ ♠➦t ✤ç t❤à ❦✐➸✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤÷ñ❝ t➼♥❤ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝✿

1
Hf = H + . ∇f, N
2
tr♦♥❣ ✤â

N

❧➔ ✈❡❝tì ♣❤→♣ ✤ì♥ ✈à ✈➔

H

w✳

❧➔ ✤ë ❝♦♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✤÷ñ❝ t➼♥❤ ð ❝❤÷ì♥❣

■■ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝✿


1
H= .
2

∂L
∂
−
∂u ∂z

∂L
∂uz

−

∂
∂y

∂L
∂uy

1 2w4 wu − 3w2 wu ∇u2 + wuyy w2 − u2z + wuzz w2 − u2y + 2wuyz uy uz
.
= .
√
3
2
w2 − ∇u2
✈➔

N=


Xy ∧w Xz
1
−w2 (u(y; z)); −uy ; −uz
= √
2
2
|Xy ∧w Xz |w
w w − ∇u

❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❤➔♠ t➼❝❤ ❝♦♥❣

w=c

✈î✐

c

✳

❧➔ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣ t❤➻✿

c uyy c2 − u2z + uzz c2 − u2y + 2uyz uy uz
H= .
✳
√
3
2
2
2

c − ∇u
✈➔

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✸✳✷✳

1
N= √
−c2 ; −uy ; −uz
2
2
c c − ∇u
❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

R1 ×w G2

✳

♠➦t ❦✐➸✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝â

❝♦♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❜➡♥❣ ❦❤æ♥❣ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ tr➯♥ ♠➦t ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠➦t

✸✳✸✳✷ Þ ♥❣❤➽❛ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✸✳✸✳

✤↕✐✳

w

✭❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❘♦❜❡rts♦♥✮


❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
✈❡❝tì ♣❤→♣

∇f, N

f ✲❝ü❝

f ✲✤ë

R1 ×w G2

N = (a; b; c)✳

❝❤♦ ♠➦t ♣❤➥♥❣

P

✤✐ q✉❛

M0 = (x0 ; y0 ; z0 )

❑❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣

P

P : −a(x − x0 ) + w2 .b(y − y0 ) + w2 .c(z − z0 ) = 0✳
✹✸

❧➔


✈➔ ❝â


M = (x ; y ; z )

ợ

t tứ

M

t

P

ữủ t

ổ tự

a (x x0 ) + w2 (x0 ) .b (y y0 ) + w2 (x0 ) .c (z z0 )
dw (M, P ) =
|N |w
õ

y2 + z2
+ ln (2) s r f = (0; y; z)
2
p = (x0 ; y0 ; z0 ) tr t S ợ tỡ




f=

sỷ t

t õ ữỡ tr t t ú ừ

S

t

p

ỡ

N (p) = (a; b; c)



Tp S : a(x x0 ) + w2 .b(y y0 ) + w2 .c(z z0 ) = 0
ồ

(p) = (x0 ; 0; 0)

ừ

| f (p), N (p)

t

w = c

ợ

c

w|

p

trử

Ox

õ t õ

= w2 . |by0 + cz0 | = dw ((p), Tp S).

r ổ

R 1 ìw G 2

t trữớ ủ t

số ữỡ tợ r t

f ỹ




ự S ởt tợ õ S ổ õ ợ trử Ox ợ t
ý

pS

t õ

dw ((p), Tp S) = 0 f (p), N (p)
t t ử t
tợ t

t
w = c

ợ

c

f ỹ

S

t ỹ

w

= 0

H = 0


õ

Hf = 0





r ổ

R 1 ìw G 2

t trữớ ủ t

số ữỡ t rts t

f ỹ



ự t rts ữủ t số ỗ t
z
arctan ; y; z
y

X(y; z) = (u(y; z); y; z) =
õ

1


f = (0; y; z) tỡ N =
c

c2 2



c2 ;

+ z2

1

z
y
;
y2 + z2 y2 + z2



y2 + z2

r

f, N

w

1


=
c

c2 2

+ z2

1

yz
zy

y2 + z2 y2 + z2

= 0

y2 + z2

t t ử t t rts t ỹ
õ

Hf = 0

t rts t



f ỹ




H = 0


✸✳✸✳✸ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛❣r❛♥❣❡
❈❤♦

S

❧➔ ♠➦t ✤ç t❤à ❦✐➸✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✿

S = X(y; z) = {(u(y; z); y; z)|(y; z) ∈ R2 }✳
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ■■ t❛ ✤➣ ❝â✿

1 2w4 wu − 3w2 wu ∇u2 + wuyy w2 − u2z + wuzz w2 − u2y + 2wuyz uy uz
H= .
✳
√
3
2
2
2
w − ∇u
✈➔

N=
▼➦t ❦❤→❝ t❛ ❝â

Xy ∧w Xz
1

= √
−w2 (u(y; z)); −uy ; −uz
2
2
|Xy ∧w Xz |w
w w − ∇u
∇f = (0; y; z)✳

❉♦ ✤â

∇f, N
❱➻ ✈➟②

f ✲✤ë

✳

❝♦♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛

w

S

wy.uy + wz.uz
=− √
✳
w2 − ∇u2
❧➔

1

∇f, N w
2
1 2w4 wu − 3w2 wu ∇u2 + wuyy w2 − u2z + wuzz w2 − u2y + 2wuyz uy uz
= .
√
3
2
w2 − ∇u2

Hf = H +

1 wy.uy + wz.uz
− . √
.
2
w2 − ∇u2
❚❛ ❝â

Hf = 0

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐✿

2w5 wu − 3w3 wu ∇u2 + w2 uyy w2 − u2z + w2 uzz w2 − u2y + 2w2 uyz uy uz
− (y.uy + z.uz ) w2 − ∇u2 = 0.
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛❣r❛♥❣❡ ❝❤♦ ♠➦t
❣✐❛♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❘♦❜❡rts♦♥✲❲❛❧❦❡r ✈î✐ ♠➟t ✤ë
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❤➔♠ t➼❝❤ ❝♦♥❣
❝♦♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛ ♠➦t

S


w = c✱

✈î✐

c

f ✲❝ü❝ ✤↕✐ ❦✐➸✉ ❦❤æ♥❣

R1 ×w G2 ✳

❧➔ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣✳ ❚❛ ❝â ✤ë

❧➔✿

1
∇f, N w
2
c uyy c2 − u2z + uzz c2 − u2y + 2uyz uy uz
c y.uy + z.uz
= .
− .√
√
3
2
2 c2 − ∇u2
c2 − ∇u2

Hf = H +


c uyy c2 − u2z + uzz c2 − u2y + 2uyz uy uz − (y.uy + z.uz ) c2 − ∇u2
.
= .
√
3
2
c2 − ∇u2
❙✉② r❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛❣r❛♥❣❡✿

uyy c2 − u2z + uzz c2 − u2y + 2uyz uy uz − (y.uy + z.uz ) c2 − ∇u2 = 0.
✹✺


ỹ t ữỡ
ữỡ tỹ ữ tr ổ

R1 ìG2 ữỡ ù ú

tổ ự t ỹ t ữỡ ừ t


R1 ìw G2

t trữớ ủ t

w = c

ợ

c


f ỹ

tr ổ

số ữỡ

ờ r ổ R1ìw G2 t trữớ ủ t w = c
ợ c số ữỡ t S t ỗ t ổ
S = X(y; z) = {(u(y; z); y; z)|(y; z) R2 }
õ ợ N trữớ tỡ ỡ t õ divf N = 2Hf
ự õ
N=

1
c4

c2 u2

c2 ; uy ; uz





divN = 2H
r

divf N = ef .div ef N
= ef .div

= ef
ef

ef .uy
ef .uz
;
;
c4 c2 u2
c4 c2 u2
c4 c2 u2
ef .uy
ef .c2



ef
y
c4 c2 u2
c4 c2 u2




x


z




ef .c2

ef .uz

c4 c2 u2
y.uy
uy


=

4
2
2
4
y
c c u
c c2 u2
z.uz

uz

+

c4 c2 u2 z
c4 c2 u2
= divN f, N

w


= 2H f, N

w

= 2Hf .

ỵ r ổ rtsr ợ t ở R1ìw G2 t
trữớ ủ t w = c ợ c số ữỡ t f ỹ S t
ỹ t ợ t ở ữỡ




❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❈❤♦

S

❧➔ ♠➦t

f ✲❝ü❝ ✤↕✐ ❦✐➸✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✳ N

✤ì♥ ✈à t❤→❝ tr✐➸♥ s♦♥❣ s♦♥❣ t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣
❳➨t

2−❞↕♥❣

✈✐ ♣❤➙♥ ♣❤↔♥ ①ù♥❣✿


❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
●✐↔ sû

ω

❧➔ ❞↕♥❣

Ox

❜➯♥ tr♦♥❣

ω(Y ; Z) = − Y ∧w Z, N

f ✲✤â♥❣✱

tù❝ ❧➔

❧➔ tr÷í♥❣ ✈❡❝tì ♣❤→♣

Ω × R✳
w✳

df ω = 0✳

ω = P dx ∧ dy + Qdx ∧ dz + Rdy ∧ dz ✳
P = ω(e1 ; e2 ) = √
Q = ω(e1 ; e3 ) = √
R = ω(e2 ; e3 ) = √

❚❛ ❝â✿


c2 .uz
c4 − c2 ∇u2
−c2 .uy
c4 − c2 ∇u2
c2
c4 − c2 ∇u2

;
;
.

❉♦ ✤â✿

df ω = ef .d e−f ω
= ef .d e−f P dx ∧ dy + e−f Qdx ∧ dz + e−f Rdy ∧ dz
e−f uy
∂
e−f uz
√
√
+
.dx ∧ dy ∧ dz
∂y
1 − ∇u2
1 − ∇u2
uy
y.uy
∂
√

= −√
+
.dx ∧ dy ∧ dz
1 − ∇u2 ∂y
1 − ∇u2
z.uz
uz
∂
√
+ −√
+
.dx ∧ dy ∧ dz
1 − ∇u2 ∂z
1 − ∇u2
∂
∂z

= ef .

= −divf (N ).dx ∧ dy ∧ dz
= 2Hf .dx ∧ dy ∧ dz = 0.
❱➻ t❛ ❝❤➾ ①➨t ❝→❝ ♠➦t ❦✐➸✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➯♥
♥â♥ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈î✐

N

ω(Y ; Z) = − ξ, N

w


✈➔

|ξ|w = 1✳

S

✈➔

S

S

❣✐↔ sû

ξ

♥➡♠ ❝ò♥❣

❚❛ ❝â✿

≥ |ξ|w .|N |w ≥ 1✳

❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
❳➨t

∀ξ = Y ∧w Z ✱

ξ = Y ∧L Z ∈ Tp S ⊥w ✳

❧➔ ♠➦t ❦✐➸✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❜➜t ❦➻ ❝ò♥❣ ❜✐➯♥ ✈î✐


S✳ V

❧➔ ♠✐➲♥ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❜ð✐

✳

⑩♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ✸✳✶✳✺ t❛ ❝â✿

0=

df ω =
V

ω=
∂V

ω−

ω=
S−S

S

ω✳
S

❙✉② r❛

ω ≥ Af (S )✳


ω=
S
❍❛②

Af (S) ≥ Af (S )✳ ❱➟② ♠➦t S

S
❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✭✈î✐ ♠➟t ✤ë✮ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳

✹✼



r tổ tr t q s
r ữỡ ú tổ ợ t tờ q ổ rt
s tr t t ừ t ổ ổ q
t ợ t ổ tự t ở tr
ứ õ t ỹ ũ ử ử t ữỡ tr
r tr ự t ỹ t ữỡ ừ
t ỹ ỵ
r ữỡ ú tổ ợ t qt ổ rts
r ởt số t t ừ tỡ ổ
t ổ ũ ử t t ừ õ ợ
t ổ tự t ở tr ữỡ tr r ừ t
ỹ ự t ỹ t ữỡ ừ t ỹ
ỵ
r ữỡ ú tổ ợ t ởt số ổ ợ t ở
ss


f ở

tr t

tr ổ

R1 ì G2



f ỹ

R1 ìw G2

r ởt số t

f ỹ



t t

ợ t ữỡ tr r t

f ỹ

tr ổ

rts ổ rtsr ợ t ở
ss ử ữỡ ù ú tổ tr

ự t

f ỹ

t ữỡ tr ổ

ỵ tr ổ

R1 ìw G2

R1 ì G2

ỵ

tớ tỹ ỏ
tr ổ ữủ qt trt ừ t q tr ổ

R1 ìw G2

q trữớ ủ t

w = c

ợ

c

số

ữỡ ũ ố ữ ổ tr ọ ởt số t sõt

qỵ t ổ õ ỵ ờ s ữủ t ỡ
t ỡ




❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦
❚➔✐ ▲✐➺✉ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t
✣ç t❤à ❢✲❝ü❝ ✤↕✐ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ▲♦r❡♥t③✲
▼✐♥❦♦✇s❦✐ ✈î✐ ♠➟t ✤ë ❦✐➸✉ ●❛✉ss✱ ▲✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ s➽✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷

❬✶❪ ❍✉ý♥❤ ❱➠♥ ◗✉è❝ ❻♥ ✭✷✵✶✹✮✱

♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❍✉➳✳

▼➦t ❦✐➸✉ ✤ç t❤à tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t➼❝❤ ❝♦♥❣
R ×f R2 ✱ ❇→♦ ❝→♦ ❤ë✐ t❤↔♦ ❦❤♦❛ ❤å❝✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❍✉➳✳

❬✷❪ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ▼ÿ ❉✉②➯♥ ✭✷✵✶✻✮✱

❚➔✐ ▲✐➺✉ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤

❯♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ♠❛①✐♠❛❧ s✉r✲
❢❛❝❡s ✐♥ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❘♦❜❡rts♦♥✲❲❛❧❦❡r s♣❛❝❡t✐♠❡s ❛♥❞ ❈❛❧❛❜✐✲❇❡r♥st❡✐♥ t②♣❡
♣r♦❜❧❡♠s✳ ❏✳ ●❡♦♠✳ P❤②s✳ ✻✵✱ ✸✾✹✲✹✵✷✳
❬✹❪ ❋❡r♥❛♥❞❡③ ■✳✱ ▲♦♣❡③✱ ❋r❛♥❝✐s❝♦ ❏✳ ✭✷✵✶✶✮✱ ❖♥ t❤❡ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ t❤❡ ❤❡❧✐✲
❝♦✐❞ ❛♥❞ ❊♥♥❡♣❡r✬s s✉r❢❛❝❡ ✐♥ t❤❡ ▲♦r❡♥t③✲▼✐♥❦♦✇s❦✐ s♣❛❝❡ R31✳ ❚r❛♥s✳ ❆♠❡r✳
❬✸❪ ❈❛❜❛❧❧❡r♦✱ ▼✳❀ ❘♦♠❡r♦✱ ❆✳❀ ❘✉❜✐♦✱ ❘✳▼✳ ✭✷✵✶✵✮✱

▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ ✸✻✸✱ ♥♦✳ ✾✱ ✹✻✵✸✕✹✻✺✵✳

❬✺❪ ▲â♣❡③ ❘✳ ✭✷✵✶✹✮✱

❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❣❡♦♠❡tr② ♦❢ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s ✐♥ ▲♦r❡♥t③✲

▼✐♥❦♦✇s❦✐ s♣❛❝❡✱ ■♥t✳ ❊❧❡❝tr♦♥✳ ❏✳ ●❡♦♠✱ ✈♦❧✳ ✼✱ ♥♦✳ ✶✱ ✹✹✲✶✵✼✳
❬✻❪ ❖✬◆❡✐❧❧✱ ❇✳ ✭✶✾✽✸✮✱ ❙❡♠✐✲❘✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ●❡♦♠❡tr② ✇✐t❤ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t♦ ❘❡❧❛t✐✈✲
✐t②✳ ❆❝❛❞❡♠✐❝ Pr❡ss✳
❬✼❪ ❑♦❜❛②❛s❤✐ ❖✳ ✭✶✾✽✸✮✱ ▼❛①✐♠❛❧ s✉r❢❛❝❡s ✐♥ t❤❡ ✸✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ▼✐♥❦♦✇s❦✐ s♣❛❝❡
L3✱

❚♦❦②♦ ❏✳ ▼❛t❤✳✱ ✈♦❧✳ ✻✱ ♥♦✳ ✷✳

✹✾