ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ NHƯ NGỌC

KHÔNG GIAN CĂN NGHIỆM VÀ BIỂU DIỄN
CỦA ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Thừa Thiên Huế, năm 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng công bố trong một công trình nghiên cứu nào khác.
Nguyễn Thị Như Ngọc

ii


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình, chu
đáo của Thầy giáo, PGS. TS. Trần Đạo Dõng. Tôi xin gửi đến Thầy sự kính

trọng và lòng biết ơn sâu sắc.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm
Huế, quý Thầy Cô giáo ở Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng Đào
tạo Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Huế cùng quý Thầy Cô giáo đã tham
gia giảng dạy Cao học Khóa 24, những người đã giúp tôi có được kiến thức khoa
học cũng như những điều kiện để hoàn thành công việc học tập, nghiên cứu của
mình.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn những người thân, bạn bè, đặc biệt
là các bạn học viên cao học Toán Khóa 24 - ĐHSP Huế đã quan tâm, giúp đỡ
và động viên tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua.
Thừa Thiên Huế, tháng 10 năm 2017
Nguyễn Thị Như Ngọc

iii


Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục


1

Lời mở đầu

2

Chương 1

Một số kiến thức cơ sở

3

1.1

Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Đại số Lie nửa đơn và đại số Lie quy . . . . . . . . . . . . . . .

7


Chương 2

Đại số con Cartan và không gian căn nghiệm

9

2.1

Đại số con Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2

Phân tích căn nghiệm và hệ căn nghiệm . . . . . . . . . . . . .

13

Chương 3

Biểu diễn của đại số Lie nửa đơn

20

3.1

Biểu diễn của đại số Lie đơn sl(2, C) . . . . . . . . . . . . . . .

20


3.2

g-môđun và tính khả quy đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.3

Phân lớp các biểu diễn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.4

Biểu diễn của đại số Lie sl(n, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Kết luận

48

Tài liệu tham khảo

49

1



LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết Lie ra đời từ thế kỉ XIX bởi nhà toán học Sophus Lie (1842-1899)
và có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và vật lý.
Một trong những hướng phát triển của lý thuyết Lie là khảo sát cấu trúc
và phân lớp các đại số Lie nửa đơn. Đây là một vấn đề đã được nhiều nhà toán
học nghiên cứu như G. Bellamy, A. W. Knapp, W. Ziller,... thể hiện qua một số
công trình tiêu biểu như ở [2], [4], [8].
Trong khuôn khổ một luận văn thạc sĩ, chúng tôi mong muốn được tìm hiểu
và làm rõ một số vấn đề cụ thể liên quan đến đại số Lie nửa đơn. Được sự
gợi ý của PGS.TS. Trần Đạo Dõng, chúng tôi chọn đề tài "Không gian căn
nghiệm và biểu diễn của đại số Lie nửa đơn" làm đề tài nghiên cứu của
luận văn.
Về cấu trúc, luận văn được chia thành 3 chương:
Trong chương 1, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản và các kết quả
liên quan đến đề tài. Nội dung chủ yếu của chương này là trình bày sơ lược kiến
thức của đại số Lie, đại số Lie nửa đơn và đại số quy để góp phần khảo sát các
khái niệm, tính chất và các kết quả liên quan ở các chương sau.
Trong chương 2, chúng tôi khảo sát các khái niệm, tính chất về đại số con
Cartan và không gian căn nghiệm của một đại số Lie phức nửa đơn. Theo đó,
mỗi đại số Lie phức nửa đơn hữu hạn chiều g đều tồn tại một đại số con Cartan
h và thu được một phân tích theo h với các không gian căn nghiệm 1-chiều ứng
với hệ căn nghiệm R. Các tính chất của không gian căn nghiệm cũng được làm
rõ góp phần phân lớp các biểu diễn của đại số Lie nửa đơn ở chương sau.
Chương 3 thể hiện nội dung chính của luận văn. Trước hết chúng tôi khảo
sát biểu diễn của đại số Lie sl(2, C), thể hiện biểu diễn của đại số Lie theo ngôn
ngữ môđun để khảo sát tính khả quy đầy đủ của đại số Lie đơn, nửa đơn. Từ
đó ứng dụng hệ căn nghiệm trừu tượng được trình bày trong chương 2 để phân
lớp các biểu diễn hữu hạn chiều của các đại số Lie phức nửa đơn.
Hầu hết các kết quả trong luận văn được trích dẫn từ [1], [2], [4] và đã được
trình bày một cách chi tiết, rõ ràng hơn.

Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng nhưng việc trình bày luận văn khó tránh
khỏi những sai sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý
thầy cô và các đồng nghiệp dành cho luận văn.
2


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về đại số
Lie, đại số Lie giải được, đại số Lie lũy linh, đại số Lie nửa đơn và đại số quy.
Các khái niệm và kết quả chủ yếu tham khảo từ những tài liệu [3], [4], [5] và [7].

1.1

Đại số Lie

Định nghĩa 1.1.1. Cho g là một không gian vectơ trên trường k. Khi đó, g
được gọi là đại số Lie trên k nếu tồn tại phép toán
[, ] :

g × g −→
g
(X, Y ) −→ [X, Y ]

sao cho
a) [, ] tuyến tính từng biến;
b) [X, X] = 0, ∀X ∈ g;
c) Thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi, tức là
[[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0, ∀X, Y, Z ∈ g.

Số chiều của không gian vectơ g được gọi là chiều của đại số Lie g, kí hiệu
dimk g, [, ] gọi là tích Lie.
k = R : g được gọi là đại số Lie thực.
k = C : g được gọi là đại số Lie phức.
Đại số Lie g được gọi là giao hoán nếu [X, Y ] = 0, ∀X, Y ∈ g.
Ví dụ 1.1.1.
1) Mỗi không gian vectơ V trên trường k là một đại số Lie giao hoán với tích
Lie
[X, Y ] = 0, ∀X, Y ∈ V.

3


2) Cho g là một đại số kết hợp trên k. Khi đó g là một đại số Lie với tích Lie
được xác định
[, ] :

g × g −→ g
(X, Y ) −→ [X, Y ] = XY − Y X.

3) Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường k. Khi đó, không gian
gl(V ) := Endk V là một đại số Lie với tích Lie
[X, Y ] = X ◦ Y − Y ◦ X, ∀X, Y ∈ gl(V ).
4) gl(n, k) := Mat(n, k) = {A = (aij )n |aij ∈ k} là một đại số Lie với tích Lie
[A, B] = AB − BA, ∀A, B ∈ gl(n, k).
Định nghĩa 1.1.2. Cho g là một đại số Lie trên trường k.
1) h ⊆ g được gọi là đại số Lie con nếu h là không gian vectơ con bảo toàn
tích Lie, tức là ∀X, Y ∈ h, ta có [X, Y ] ∈ a.
2) a ⊆ g được gọi là iđêan của g nếu a là không gian vectơ con và với bất kỳ
X ∈ g, A ∈ a ta có [X, A] ∈ a.

3) Cho a là một không gian vectơ con của đại số Lie g. Tâm hóa của a trong
g được định nghĩa là
Zg (a) = {X ∈ g|[X, Y ] = 0, ∀Y ∈ a}.
Đặc biệt tâm hóa của g trong g được gọi là tâm của g và kí hiệu là Z(g).
4) Cho a là một không gian vectơ con của đại số Lie g. Chuẩn tắc hóa của
a trong g được định nghĩa là
Ng (a) = {X ∈ g|[X, Y ] ∈ a, ∀Y ∈ a}.
Nhận xét 1.1.1.
1) Zg (a), Z(g), Ng (a) là các đại số Lie con của g.
2) Mỗi iđêan là một đại số Lie con. Điều ngược lại nói chung không đúng.
3) Kí hiệu [a, b] là không gian vectơ con sinh bởi [A, B] với A ∈ a, B ∈ b và
a, b ⊂ g. Cho h là một không gian vectơ con của g. Khi đó
(a) h là một đại số Lie con ⇔ [h, h] ⊆ h.
(b) a là một iđêan ⇔ [a, g] ⊆ a.
4


Định nghĩa 1.1.3. Cho g, h là các đại số Lie trên trường k.
(a) Ánh xạ ϕ : g → h được gọi là đồng cấu đại số Lie nếu ϕ là ánh xạ tuyến
tính bảo toàn tích Lie, tức là
ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), ϕ(Y )], ∀X, Y ∈ g.
(b) Đồng cấu đại số Lie ϕ được gọi là đơn (toàn, đẳng) cấu nếu ϕ là đơn
(toàn, song) ánh. Đại số Lie g được gọi là đẳng cấu với đại số Lie h nếu
tồn tại ϕ : g → h là đẳng cấu đại số Lie. Khi đó ta viết g h.
Ví dụ 1.1.2. Cho g là một đại số Lie trên trường k.
ad : g −→ gl(g) = Endk (g)
X −→
adX :
g −→ g
Y −→ (ad(X))(Y ) = [X, Y ].

Khi đó, ad là một đồng cấu đại số Lie, được gọi là biểu diễn liên hợp của g.

1.2

Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh

Định nghĩa 1.2.1. Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường k. Khi
đó, g được gọi là giải được nếu trong chuỗi các hoán tử
g0 = g, g1 = [g0 , g0 ], . . . , gl+1 = [gl , gl ], . . .
tồn tại l ∈ N sao cho gl = {0}.
Định nghĩa 1.2.2. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều trên trường k và V là
không gian vectơ trên trường K, k ⊂ K ⊂ C. Xét EndK V như là k-không gian
vectơ và kí hiệu là (EndK V )k . Khi đó, ánh xạ
σ : g −→ (EndK V )k
được gọi là một biểu diễn của g trong V nếu σ là một đồng cấu đại số Lie. Để
đơn giản ta thường viết σ : g → EndK V và ký hiệu biểu diễn V thay cho σ.
Không gian vectơ con U ⊆ V được gọi là không gian con ổn định qua
biểu diễn σ nếu σ(g)U ⊆ U .
Đinh lý sau cho ta tính chất cơ bản của đại số Lie giải được hữu hạn chiều.
Định lý 1.2.1 ([4], Theorem 1.25). Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều
giải được trên trường k, V là K-không gian vectơ khác 0, k ⊂ K ⊂ C. Xét
σ : g → EndK V là một biểu diễn của g. Khi đó
5


(a) Nếu K đóng đại số, thì tồn tại v ∈ V, v = 0 sao cho v là một vectơ riêng
của σ(X), với mọi X ∈ g.
(b) Trường hợp tổng quát đối với K, tồn tại v ∈ V \{0} là vectơ riêng của σ(X),
với mọi X ∈ g khi và chỉ khi các giá trị riêng của σ(X) thuộc vào K.
Nhận xét 1.2.1. Khi g là một đại số Lie giải được và σ là một biểu diễn, ta có

σ(g) là giải được. Ngoài ra, định lí trên đóng vai trò quan trọng để chứng minh
V có một cơ sở sao cho các ma trận của σ(X), X ∈ g, đều có dạng tam giác.
Điều này được chỉ rõ trong hệ quả 1.2.1 dưới đây.
Hệ quả 1.2.1 ([4], Corollary 1.29). Cho g, V, k, K và σ như giả thiết của định
lí 1.2.1. Khi đó, tồn tại dãy các không gian vectơ con
V = V0 ⊇ V1 ⊇ · · · ⊇ Vm = {0}
sao cho Vi ổn định qua tác động của σ(g) và dim(Vi /Vi+1 ) = 1, i = 0, . . . , m − 1.
Suy ra trong g tồn tại một cơ sở sao cho ma trận của σ(g) có dạng tam giác
trên.
Định nghĩa 1.2.3. Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường k. Khi
đó, g được gọi là lũy linh nếu chuỗi tâm dưới
g0 = g, g1 = [g0 , g], . . . , gk+1 = [gk , g], . . .
tồn tại k ∈ N : gk = {0}.
Nhận xét 1.2.2. Nếu g là đại số Lie lũy linh thì g là giải được, nhưng chiều
ngược lại nói chung không đúng.
Định lý Engel dưới đây cho ta mối liên hệ mật thiết giữa đại số Lie các tự
đồng cấu lũy linh của V với đại số các ma trận có dạng tam giác trên với đường
chéo bằng không.
Định lý 1.2.2 ([4], Theorem 1.35). Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều
trên trường k, g là đại số Lie gồm các tự đồng cấu lũy linh của V. Khi đó
1) g là lũy linh.
2) Tồn tại phần tử v khác không của V sao cho với mọi X ∈ g thì X(v) = 0.
3) Tồn tại một cơ sở của v sao cho ma trận của X ∈ g có dạng tam giác trên
ngặt.

6


Mệnh đề sau cho ta điều kiện tương đương của một đại số Lie luỹ linh.
Mệnh đề 1.2.1 ([4], Proposition 1.32). Cho g là đại số Lie. Khi đó, các điều

kiện sau tương đương:
i) g là đại số Lie lũy linh.
ii) Đại số Lie adg là lũy linh.
Từ định lý 1.2.2 và mệnh đề 1.2.1, ta được hệ quả sau.
Hệ quả 1.2.2 ([4], Corollary 1.38). Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều. Khi đó,
g là lũy linh nếu và chỉ nếu adX lũy linh ∀X ∈ g.

1.3

Đại số Lie nửa đơn và đại số Lie quy

Định nghĩa 1.3.1. Cho g là đại số Lie trên trường k.
1) g được gọi là đơn nếu g không giao hoán và không có iđêan nào khác 0 và
chính nó.
2) g được gọi là nửa đơn nếu g không có iđêan giải được thực sự khác 0 nào.
Định nghĩa 1.3.2. Cho g là một đại số Lie trên trường k. Với mỗi X, Y ∈ g,
phần tử κ(X, Y ) = Tr(adX ◦ adY ) xác định một dạng song tuyến tính trên g
κ:

g × g −→ K
(X, Y ) −→ κ(X, Y ) = Tr(adX ◦ adY )

được gọi là dạng Killing của g.
Dạng Killing κ của đại số Lie hữu hạn chiều g được gọi là không suy biến
nếu
radκ := {X ∈ g|κ(X, Y ) = 0, ∀Y ∈ g} = {0}.
Từ định nghĩa của dạng Killing ta thu được một số tính chất sau.
Nhận xét 1.3.1.
1) Dạng Killing κ bất biến qua mọi tự đẳng cấu của g, nghĩa là
κ(ϕ(X), ϕ(Y )) = κ(X, Y ), ∀ϕ ∈ Aut g, ∀X, Y ∈ g,

trong đó Aut g là tập tất cả các tự đẳng cấu của g.

7


2) Với mọi X, Y, Z ∈ g, ta có
κ([X, Y ], Z) = −κ(Y, [X, Z]) = κ(X, [Y, Z]).

(1.3.1)

Tiếp theo là tiêu chuẩn Cartan cho tính nửa đơn.
Định lý 1.3.1 ([4], Theorem 1.45). Đại số Lie g là nửa đơn khi và chỉ khi dạng
Killing của g không suy biến.
Ta thấy các đại số Lie đơn là đại số Lie nửa đơn, nhưng chiều ngược lại nói
chung là không đúng. Tuy nhiên, các đại số Lie nửa đơn có thể được xác định
từ các đại số Lie đơn. Định lí sau sẽ cho thấy điều đó.
Định lý 1.3.2 ([4], Theorem 1.54). Đại số Lie hữu hạn chiều g là nửa đơn nếu
và chỉ nếu g = g1 ⊕ · · · ⊕ gm , với gj là các đại số Lie đơn. Trong trường hợp này,
sự phân tích là duy nhất và các iđêan của g là tổng của một số gj khác nhau.
Hệ quả 1.3.1 ([4], Corollary 1.55).
1) Nếu g là nửa đơn thì g = [g, g].
2) Nếu a là một iđêan bất kỳ của g thì a⊥ cũng là một iđêan của g và g = a⊕a⊥ ,
trong đó, a⊥ = {X ∈ g|κ(X, Y ) = 0, với mọi Y ∈ a}.
Định nghĩa 1.3.3. Đại số Lie g được gọi là quy (reductive) nếu với mỗi iđêan
a của g tồn tại iđêan b của g sao cho g = a ⊕ b.
Theo hệ quả 1.3.1, mỗi đại số Lie nửa đơn là đại số Lie quy. Ngoài ra, từ
định lý 1.3.2 suy ra mỗi đại số Lie có dạng tổng trực tiếp của một đại số Lie nửa
đơn và một đại số Lie giao hoán là đại số Lie quy. Hơn nữa, kết quả dưới đây
cho thấy mỗi đại số Lie quy đều có thể đưa về dạng tổng trực tiếp như trên.
Hệ quả 1.3.2 ([4], Corollary 1.56). Mỗi đại số Lie quy g đều có dạng phân tích

g = [g, g] ⊕ Z(g), trong đó [g, g] là nửa đơn và tâm Z(g) là giao hoán.
Nhận xét 1.3.2. Mỗi đại số Lie quy g là nửa đơn nếu và chỉ nếu tâm của g
bằng 0.
Ví dụ 1.3.1. Ta có g = gl(2, R) là đại số Lie quy nhưng không là đại số Lie
nửa đơn, do có tâm Z(g) khác không.

8


Chương 2
ĐẠI SỐ CON CARTAN VÀ KHÔNG GIAN
CĂN NGHIỆM

Trọng tâm của chương này trình bày về các khái niệm đại số con Cartan,
căn nghiệm và một số tính chất liên quan. Các khái niệm và kết quả chủ yếu
được tham khảo từ những tài liệu [1], [3], [4].

2.1

Đại số con Cartan

Định nghĩa 2.1.1. Cho g là một đại số Lie.
1) Một phần tử X ∈ g được gọi là nửa đơn nếu toán tử adX : g → g là nửa
đơn, tức là toán tử adX chéo hóa được.
2) Một phần tử X ∈ g được gọi là lũy linh nếu toán tử adX : g → g là lũy
linh, tức là tồn tại số nguyên dương n sao cho (adX)n = 0.
Một trong các tính chất cơ bản của đại số Lie nửa đơn là mỗi phần tử của
đại số Lie này đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của các phần tử nửa đơn và
phần tử lũy linh. Định lý dưới đây sẽ thể hiện tính chất nói trên, về chứng minh
chi tiết xin tham khảo tài liệu trích dẫn.

Định lý 2.1.1 ([3], Theorem 6.26). Nếu g là một đại số Lie phức nửa đơn thì
bất kỳ phần tử X ∈ g đều có thể biểu diễn duy nhất dạng:
X = Xs + Xn ,
với Xs là nửa đơn, Xn là lũy linh và [Xs , Xn ] = 0. Hơn nữa, nếu Y ∈ g thỏa
[X, Y ] = 0 thì [Xs , Y ] = 0.
Bây giờ chúng ta sẽ xét một lớp đại số Lie con giao hoán, chứa các phần tử
nửa đơn được gọi là đại số con xuyến, cùng với một số tính chất liên quan.
Định nghĩa 2.1.2. Cho g là một đại số Lie. Một đại số Lie con h ⊂ g được gọi
là đại số con xuyến nếu h giao hoán và mọi phần tử của h đều nửa đơn.

9


Định lý 2.1.2 ([3], Theorem 6.30). Cho g là đại số Lie phức nửa đơn, h ⊂ g là
đại số con xuyến và (, ) là một dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến, không
suy biến trên g (chẳng hạn dạng Killing). Khi đó
(1) g = ⊕α∈h∗ gα , với gα là không gian con riêng cho tất cả biểu diễn adH, H ∈ h
với giá trị riêng α, tức là:
gα = {X| [H, X] = α, H X, ∀H ∈ h}.
Đặc biệt, h ⊂ g0 .
(2) [gα , gβ ] ⊂ gα+β .
(3) Nếu α + β = 0 thì gα và gβ trực giao ứng với dạng (, ).
(4) Với bất kỳ α, dạng (, ) không suy biến trên gα ⊗ g−α → C, ở đây gα ⊗ g−α
là tích tenxơ của các không gian vectơ con gα và g−α .
Chứng minh. (1) Theo định nghĩa của đại số con xuyến, với mỗi H ∈ h, toán
tử adH chéo hóa được. Với mọi H, K ∈ h, ta có:
[adH, adK] = ad[H, K] = 0.
Nên tất cả adH giao hoán với nhau và do đó chúng có thể đồng thời được chéo
hóa. Từ đó ta có được phân tích trên.
Đặc biệt, với mỗi X ∈ h thì

adH.X = [H, X] = 0.
Suy ra X ∈ g0 . Do đó h ⊂ g0 . Vì g hữu hạn chiều nên gα = 0 chỉ có hữu hạn
α ∈ h∗ .
(2) Với mọi Y ∈ gα , Z ∈ gβ , H ∈ h, ta có:
adH.[Y, Z] = [adH.Y, Z] + [Y, adH.Z]
= [ α, H Y, Z] + [Y, β, H Z]
= α, H [Y, Z] + β, H [Y, Z]
= α + β, H [Y, Z].
Suy ra [Y, Z] ∈ gα+β . Vậy [gα , gβ ] ⊂ gα+β .
(3) Với mọi X ∈ gα , Y ∈ gβ , H ∈ h. Ta có:
0 = ([H, X], Y )+(X, [H, Y ]) = ( α, H X, Y )+(X, β, H Y ) = α+β, H (X, Y ).
10


Nếu (X, Y ) = 0 thì α + β, H = 0, ∀H ∈ h. Do đó α + β = 0.
Vậy nếu α + β = 0 thì (X, Y ) = 0.
(4) Với mọi X ∈ gα , ta có:
(X, gβ ) = 0, ∀β = −α.
Do đó
(X, g−α ) = 0.
Vậy (, )|gα ⊗g−α không suy biến.
Áp dụng định lý 2.1.1 và định lý 2.1.2 ta được hệ quả sau.
Bổ đề 2.1.1 ([3], Lemma 6.31). Với các giả thiết như định lý 2.1.2, ta có:
(1) Thu hẹp của dạng (, ) trên g0 là không suy biến.
(2) Xét X ∈ g0 , X = Xs + Xn (như trong định lý 2.1.1). Khi đó Xn , Xs ∈ g0 .
(3) g0 là một đại số con quy trong g.
Bây giờ dựa vào đại số con xuyến, ta định nghĩa đại số con Cartan của một
đại số Lie phức nửa đơn.
Định nghĩa 2.1.3. Cho g là một đại số Lie phức nửa đơn. Đại số con Cartan
h ⊂ g là đại số con xuyến trùng với tâm hóa của h, tức là

C(h) = {X|[X, h] = 0} = h.
Ví dụ 2.1.1. Cho g = sl(n, C) và h là đại số Lie con của g gồm tất cả các ma
trận chéo có vết bằng 0. Khi đó, h giao hoán và mọi ma trận chéo có vết bằng
0 đềulà nửa đơn nên h làđại số con xuyến. Vì h giao hoán nên h ⊂ C(h). Xét
x
x12 · · · x1n
 11

x

 21 x22 · · · x2n 
X= .
∈ C(h), ta có:
.. . .
.. 
 ..
.
.
. 


xn1 xn2 · · · xnn




h

0


···

0

0

· · · hn

 1
 0 h ···
2

[X, H] = 0, ∀H =  . . .
..
..
 ..




0

0

∈h
.. 
.


11







x12 (h2 − h1 ) · · · x1n (hn − h1 )

0
· · · x2n (hn − h2 )

 = 0, ∀hi ∈ C :
..
..
...

.
.

xn1 (h1 − hn ) xn2 (h2 − hn ) · · ·
0
⇐⇒ ∀i = j, xij (hj − hi ) = 0, ∀hi ∈ C : hi = 0
⇐⇒ ∀i = j, xij = 0
⇐⇒ X ∈ h.
Suy ra C(h) = h. Vậy h là đại số con Cartan của g.
0


 x (h − h )
2

 21 1
⇐⇒ 
.
..



hi = 0

Định lý sau cho ta một điều kiện đủ của đại số con Cartan.
Định lý 2.1.3 ([3], Theorem 6.35). Cho h ⊂ g là một đại số con xuyến cực đại,
tức là một đại số con xuyến không chứa thực sự trong bất kỳ đại số con xuyến
nào. Khi đó, h là đại số con Cartan.
Chứng minh. Ta có g = ⊕α∈h∗ gα là phân tích của g thành các không gian
riêng ứng với biểu diễn adH như trong định lý 2.1.2. Khi đó g0 = C(h). Ta sẽ
chứng minh g0 = C(h) là đại số con xuyến.
Trước hết, ta để ý rằng với bất kỳ X ∈ g0 , toán tử adX|g0 lũy linh. Thật
vậy, giả sử adX|g0 không lũy linh thì nó sẽ có giá trị riêng khác 0. Khi đó, phần
tử nửa đơn Xs thỏa mãn adXs = 0, suy ra Xs ∈
/ h. Mặt khác, [h, Xs ] = 0 (vì
Xs ∈ g0 và bổ đề 2.1.1). Cho nên CXs ⊕ h là đại số con xuyến (mâu thuẫn với
tính cực đại của h). Suy ra adX|g0 lũy linh nên theo định lý Engel ta có g0 lũy
linh. Từ bổ đề 6.31 ta có g0 là đại số Lie quy nên suy ra g0 giao hoán.
Tiếp theo ta chứng minh với bất kỳ phần tử X ∈ g0 đều nửa đơn, tức là
ta chứng minh với mỗi X ∈ g0 , X = Xs + Xn , thành phần lũy linh Xn = 0.
Thật vậy, theo bổ đề 2.1.1 ta có Xn ∈ g0 . Do adXn là lũy linh và g0 giao hoán
nên với mọi Y ∈ g0 , adXn ◦ adY lũy linh. Do đó với mọi Y ∈ g0 , ta có toán tử
Trg (adXn ◦ adY ) = 0. Vì dạng Killing không suy biến trên g0 (theo bổ đề 2.1.1)
nên Xn = 0. Vậy g0 = C(h) là đại số con xuyến. Ta có h ⊂ g0 và h được chọn là
cực đại nên C(h) = h. Hay h là đại số con Cartan.

Từ định lý trên ta thu được hệ quả quan trọng sau.
Hệ quả 2.1.1 ([3], Corollary 6.36). Mọi đại số Lie phức nửa đơn đều tồn tại
một đại số con Cartan.

12


2.2

Phân tích căn nghiệm và hệ căn nghiệm

Cho g là đại số Lie phức nửa đơn và h là đại số con Cartan của g. Áp dụng
định lý 2.1.2 với g0 = h ta thu được định lý sau.
Định lý 2.2.1 ([3], Theorem 6.38).
(1) Ta có phân tích của g như sau và được gọi là phân tích căn nghiệm
g=h⊕

gα ,
α∈R

với
gα = {X| [H, X] = α, H X, ∀H ∈ h},
R = {α ∈ h∗ \{0}|gα = 0}.
Tập R được gọi là hệ căn nghiệm của g, α ∈ R được gọi là căn nghiệm
và không gian con gα được gọi là không gian con căn nghiệm.
(2) [gα , gβ ] ⊂ gα+β .
(3) Nếu α + β = 0 thì gα và gβ là trực giao tương ứng với dạng Killing κ đó.
(4) Với bất kỳ α, dạng Killing κ là không suy biến trên gα ⊗ g−α → C. Đặc biệt,
hạn chế của dạng Killing trên h không suy biến.
Định lý sau cho phép chúng ta xác định đại số con Cartan của một đại số

Lie nửa đơn dựa vào đại số con Cartan của các đại số Lie đơn tương ứng.
Định lý 2.2.2 ([3], Theorem 6.39). Cho g1 , . . . , gn là các đại số Lie đơn và
g = gi .
(1) Gọi hi ⊂ gi là các đại số con Cartan của gi và Ri ⊂ h∗i là hệ căn nghiệm
tương ứng của gi . Khi đó, h =
hi là một đại số con Cartan trong g với
hệ căn nghiệm tương ứng là R = ∪Ri .
(2) Mỗi đại số con Cartan trong g đều có dạng h =
con Cartan trong gi .

hi với hi ⊂ gi là đại số

Chứng minh. (1) Từ định nghĩa ta có:
gi = hi ⊕

giα .
α∈Ri

Do đó
g = ⊕gi =

hi ⊕

giα =
α∈Ri

13

hi ⊕


gα
α∈R


với R = ∪Ri . Suy ra h =

hi là đại số con Cartan.

(2) Xét πi : g → gi là phép chiếu tự nhiên. Đặt hi = πi (h). Ta sẽ chứng
minh hi là đại số con Cartan của gi . Ta có hi ⊂ h nên hi giao hoán và mọi phần
tử đều nửa đơn. Cho nên hi là đại số con xuyến. Với bất kỳ X ∈ gi , H ∈ hi ,
ta có [H, X] = [πi (H), X]. Cho nên với bất kỳ X ∈ C(hi ) thì X ∈ gi và
[X, hi ] = [X, πi (h)] = [X, h] = 0, suy ra X ∈ h. Do đó X ∈ hi . Từ đó hi là đại
số con Cartan của gi . Tiếp theo ta chứng minh h = hi . Ta luôn có h ⊆ hi .
Vì
hi là đại số con xuyến, theo định nghĩa của đại số con Cartan ta được:
h = hi .
Sau đây là ví dụ về đại số con Cartan và hệ căn nghiệm tương ứng của đại
số Lie phức nửa đơn.
Ví dụ 2.2.1. Xét đại số Lie phức nửa đơn g = sl(n, C) = {X ∈ gl(n, C)|TrX = 0}
và đại số con h = tất cả ma trận chéo với vết bằng 0 . Ta xác định
ei :

−→ C

h








h1
...
hn





−→ hi

là một phần tử của h∗ , với mỗi i = 1, n. Do mỗi phần tử của h∗ có vết bằng 0
nên suy ra
ei = 0. Gọi Eij là ma trận có vị trí (i, j) bằng 1, còn các vị trí
khác bằng 0. Ta có:
(adH)Eij = [H, Eij ] = (hi − hj )Eij = (ei (H) − ej (H))Eij = (ei − ej )(H)Eij .
Nói cách khác, Eij là một vectơ riêng cho mọi adH, với giá trị riêng ei (H)−ej (H).
Suy ra
g=h⊕
CEij ,
i=j

và có thể viết lại
g=h⊕

gei −ej ,
i=j


trong đó gei −ej = {X ∈ g|(adH)X = (ei − ej )(H)X, ∀H ∈ h} và h = g0 . Suy ra
h là đại số con Cartan của sl(n, C) và tập các căn nghiệm
R = ei − ej ∈ h∗ |i = j, i, j = 1, n .
Ta xác định dạng Killing trên h :
Xét Hi = Eii − Ei+1,i+1 , i = 1, n − 1. Ta có {Eij (i = j), Hi (i = 1, n − 1)} là cơ
14


sở của g. Với cơ sở này, adH có dạng chéo. Khi đó, adH ◦ adH cũng có dạng
chéo và các giá trị riêng là 0 và (hi − hj )(hi − hj ). Do đó
(H, H ) = Tr(adH ◦ adH ) =

(hi − hj )(hi − hj )
i=j

(hi hi + hj hj − hi hj − hi hj )

=
i=j

(hi hi + hj hj ) −

=
i=j

(hi hj + hi hj ).
i=j

Vì
hi


hj =

hi hi +

(hi hj + hj hi ) = 0.
i=j

Suy ra
−

(hi hj + hi hj ) =
i=j

(hi hi + hj hj ).
i=j

Do đó
(hi − hj )(hi − hj ) = 2n

(H, H ) =

hi hj .

i=j

Nếu λ, µ ∈ h∗ , ta có thể chọn được
λ=

λi ei , µ =


µi ei thỏa điều kiện

λi =

µi = 0.

Khi đó
(λ, µ) = (

λi ei ,

µi ei ) =

λi µ i .

Từ đây về sau, ta sẽ ký hiệu dạng song tuyến tính đối xứng bất biến không
suy biến trên g là (, ). Từ đó, hạn chế của (, ) trên h × h là không suy biến (theo
định lý 2.2.1) nên ta xác định được ánh xạ tuyến tính:
j : h −→
h∗
H −→ j(H) :
h −→ C
H1 −→ j(H)(H1 ) = (H, H1 ).
Ta có: Ker(j) = {H ∈ h|j(H) = 0} = {0} (do (, ) không suy biến). Suy ra
j đơn ánh. Mặt khác, ∀α ∈ h∗ , α(H1 ) ∈ C, ∀H1 ∈ h, vì (, ) không suy biến nên
∃H ∈ h : (H, H1 ) = j(H). Khi đó: j(H)(H1 ) = (H, H1 ) = α(H1 ) hay j(H) = α.
Do đó j toàn ánh. Vậy j song ánh. Hay h
h∗ . Ta xác định một dạng song
tuyến tính không suy biến trên h∗ cũng ký hiệu là (, ). Từ đó ta xác định được

phép toán giữa h và h∗ cụ thể như sau: với mọi α ∈ h∗ , ký hiệu Hα là phần tử
tương ứng của α qua đẳng cấu tuyến tính j, tương ứng
15


(, ) : h∗ × h∗ −→
C
(α, β) →
(α, β) := Hα , β
là một dạng song tuyến tính không suy biến trên h∗ sao cho
(α, β) = Hα , β = (Hα , Hβ )
với mọi α, β ∈ h∗ .
Tiếp theo ta sẽ khảo sát một số tính chất của hệ căn nghiệm R của đại số
Lie phức nửa đơn g tương ứng với đại số con Cartan h.
Bổ đề 2.2.1 ([1], Lemma 9.7). Xét R là tập căn nghiệm của g ứng với đại số
con Cartan h.
(1) Nếu α ∈ R thì −α ∈ R.
(2) R sinh ra h∗ .
Chứng minh. (1) Từ định lý 2.2.1 suy ra chỉ có g−α có tích trong khác 0 với
gα . Vì (, ) không suy biến nên ta có khẳng định.
(2) Giả sử R không sinh ra h∗ . Khi đó, R sinh ra một không gian con thực
sự của h∗ nên
R⊥ = {H ∈ h|α(H) = 0, ∀α ∈ R} = {0}.
Do đó, ∃H ∈ h sao cho
α(H) = 0, ∀α ∈ R.
Từ đó
[H, gα ] = 0
với mọi α ∈ R. Vì
[H, h] = 0
và

g=h⊕(

gα )

α∈h∗ \{0}

nên
[H, g] = 0,
tức là
H ∈ Z(g).
Nhưng g nửa đơn nên Z(g) = 0. Điều này dẫn đến mâu thuẫn.

16


Bổ đề 2.2.2 ([4], Lemma 2.18). Xét R là tập căn nghiệm của g ứng với đại số
con Cartan h.
(a) Nếu α ∈ R, E ∈ gα , F ∈ g−α thì [E, F ] = (E, F )Hα .
(b) Nếu α, β ∈ R thì β(Hα ) là một bội nguyên của α(Hα ).
(c) Nếu α ∈ R thì α(Hα ) = 0.
Mệnh đề sau cho ta một tính chất quan trọng về số chiều của không gian
trọng.
Mệnh đề 2.2.1 ([4], Proposition 2.21). Nếu α ∈ R thì dim gα = 1 và nα ∈
/ R,
với mọi n ≥ 2, n ∈ Z.
Chứng minh. Chọn X−α ∈ g−α : (Eα , X−α ) = 1. Đặt
g = CEα ⊕ CHα ⊕n<0 gnα
thì g ổn định qua adHα và adEα (theo định lý 2.2.1) và nó cũng ổn định qua
adX−α (theo định lý 2.2.1, và bổ đề 2.2.2a). Ta có [Eα , X−α ] = Hα nên adHα
tác động lên g có vết bằng 0. Mặt khác, tác động của adHα lên ba nhóm số

hạng của g có các giá trị riêng tương ứng khác nhau và do đó vết của adHα
cũng bằng
α(Hα ) + 0 +
α(H) dim gnα .
n<0

Suy ra
α(Hα )(1 +

dim gnα ) = 0
n<0

mà α(Hα ) = 0 (theo bổ đề 2.2.2) nên
∞

dim g−nα = 1.
n=1

Do đó, dim g−α = 1, dim g−nα = 0, ∀n ≥ 2. Theo bổ đề 2.2.1, thay −α bởi α ta
được dim gα = 1, dim gnα = 0, ∀n ≥ 2.
Nhận xét 2.2.1. Từ kết quả trên ta có thể nói rằng g được xác định từ các
bản sao của sl(2, C) theo một cách nào đó. Để thấy điều này, xét Eα , E−α sao
cho (Eα , E−α ) = 1. Theo Bổ để 2.2.2a, ta có:
[Hα , Eα ] = α(Hα )Eα , [Hα , E−α ] = −α(Hα )E−α , [Eα , E−α ] = Hα .

17


Chuẩn hóa các vectơ này một cách thích hợp, chẳng hạn chọn
Hα =


2
2
Hα , Eα =
Eα , E−α = E−α .
α(Hα )
α(Hα )

Khi đó
[Hα , Eα ] = 2Eα , [Hα , E−α ] = −2E−α , [Eα , E−α ] = Hα .
Xét cơ sở {H, E, F } của sl(2, C) xác định bởi
H=

0 1
,F =
0 0

1 0
,E =
0 −1

0 0
.
1 0

Ta có
[H, E] = 2E, [H, F ] = −2F, [E, F ] = H.
Từ đó tương ứng
Hα −→ H, Eα −→ E, E−α −→ F
mở rộng một cách tuyến tính đến một đẳng cấu của không gian sinh bởi tập

hợp {Hα , Eα , E−α } lên sl(2, C).
Như vậy g có thể đồng nhất với không gian sinh bởi các bản sao của sl(2, C).
Khi tổng quát hóa các tính chất cơ bản của hệ căn nghiệm, ta xây dựng được
một hệ căn nghiệm mới, được gọi là hệ căn nghiệm trừu tượng. Trong luận văn,
chúng tôi chỉ trình bày một cách sơ lược một số khái niệm và kết quả của phần
này để phục vụ cho việc phân loại biểu diễn của đại số Lie phức nửa đơn.
Định nghĩa 2.2.1. Một hệ căn nghiệm trừu tượng là một tập hữu hạn các
phần tử R ⊂ E\{0}, với E là không gian vectơ Euclide (tức không gian vectơ
thực với tích trong) thỏa mãn các điều kiện:
(R1) R sinh ra E,
(R2) Với hai căn nghiệm α, β, nαβ =

2 α, β
là số nguyên,
β, β

2 α, λ
α.
α, α
Khi đó, với bất kỳ α, β ∈ R thì sα (β) ∈ R.
Số r = dim E được gọi là hạng của R.

(R3) Xét sα : E → E xác định bởi sα (λ) = λ −

Hệ căn nghiệm R được gọi là hệ căn nghiệm trừu tượng thu gọn nếu R thỏa
mãn thêm tính chất
18


(R4) Nếu α, cα ∈ R thì c = ±1.

Ví dụ 2.2.2. Cho {ei , i = 1, n} là một cơ sở trực chuẩn của Rn với tích trong
thông thường (ei , ej ) = δij và E = {(λ1 , . . . , λn ) ∈ Rn | λi = 0}. Khi đó,
R = {ei − ej |1 ≤ i, j ≤ n, i = j} ⊂ E
là một hệ căn nghiệm trừu tượng thu gọn.
Để khảo sát một không gian vectơ, người ta thường khảo sát trên một cơ sở
của nó. Tương tự, ta sẽ tìm những căn nghiệm đặc trưng cho một hệ căn nghiệm
trừu tượng cho trước. Ở đây ta cần đưa ra khái niệm căn nghiệm dương.
Xét t ∈ E thỏa (t, α) = 0, ∀α ∈ R (t được gọi là phần tử chính quy). Khi đó
ta có thể viết
R = R+ ∪ R− ,
R+ = {α ∈ R|(α, t) > 0}, R− = {α ∈ R|(α, t) < 0}.
Phân tích này được gọi là một phân cực của R. Căn nghiệm α ∈ R+ được gọi
là căn nghiệm dương và căn nghiệm α ∈ R− được gọi là căn nghiệm âm.
Định nghĩa 2.2.2. Một căn nghiệm α ∈ R+ được gọi là căn nghiệm đơn nếu
nó không thể biểu diễn thành tổng của 2 căn nghiệm dương. Ta ký hiệu tập các
căn nghiệm đơn là Π ⊂ R+ .
Sau đây là một số tính chất quan trọng của tập các căn nghiệm đơn. Về
chứng minh chi tiết các kết quả xin tham khảo trong các tài liệu trích dẫn.
Bổ đề 2.2.3 ([3], Lemma 7.13). Mỗi căn nghiệm dương có thể biểu diễn thành
tổng của các căn nghiệm đơn.
Định lý 2.2.3 ([3], Theorem 7.16). Cho R = R+ ∪ R− ⊂ E là một hệ căn
nghiệm. Khi đó, các căn nghiệm đơn là một cơ sở của không gian vectơ E.
Mệnh đề 2.2.2 ([3], Corollary 7.18). Với mỗi α ∈ R có thể biễu diễn duy nhất
thành một tổ hợp tuyến tính các căn nghiệm đơn với hệ số nguyên:
r

ni αi , ni ∈ Z

α=
i=1


với {α1 , . . . , αr } = Π là tập các căn nghiệm đơn. Nếu α ∈ R+ thì tất cả ni ≥ 0,
nếu α ∈ R− thì tất cả ni ≤ 0.

19


Chương 3
BIỂU DIỄN CỦA ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN

Trọng tâm chương này là trình bày về biểu diễn của đại số Lie đơn sl(2, C),
thể hiện biểu diễn của đại số Lie theo ngôn ngữ môđun để khảo sát tính khả
quy đầy đủ của đại số Lie đơn, nửa đơn. Từ đó ứng dụng hệ căn nghiệm trừu
tượng được trình bày trong chương 2 để phân lớp các biểu diễn hữu hạn chiều
của các đại số Lie phức đơn và nửa đơn. Các khái niệm và kết quả chủ yếu được
tham khảo từ những tài liệu [1], [3], [4].

3.1

Biểu diễn của đại số Lie đơn sl(2, C)

Xét đại số Lie phức đơn sl(2, C) các ma trận vuông cấp 2 trên trường C
có vết bằng 0. Đại số Lie này được sinh ra bởi 3 phần tử
E=

0 1
,F =
0 0

0 0

,H =
1 0

1 0
0 −1

thỏa mãn các hệ thức
[E, F ] = H, [H, E] = 2E, [H, F ] = −2F.
Định nghĩa 3.1.1. Cho V là một biểu diễn của sl(2, C). Một vectơ v ∈ V được
gọi là vectơ của trọng λ, λ ∈ C, nếu v là vectơ riêng của H với giá trị riêng λ,
tức là
Hv = λv.
Ký hiệu V [λ] ⊂ V là không gian con gồm tất cả các vectơ riêng của H với giá
trị riêng λ, tức là
V [λ] = {v ∈ V |Hv = λv}.
V [λ] = 0 thì λ được gọi là trọng.
Bổ đề 3.1.1 ([3], Lemma 4.55).
EV [λ] ⊂ V [λ + 2],
F V [λ] ⊂ V [λ − 2].

20


Chứng minh. Xét v ∈ V [λ]. Ta có:
H.(Ev) = [H, E]v + EHv = 2Ev + λEv = (λ + 2)Ev ⇒ Ev ∈ V [λ + 2],
H.(F v) = [H, F ]v + F Hv = −2F v + λF v = (λ − 2)F v ⇒ F v ∈ V [λ − 2].
Mục đích chính của phần này là phân loại các biểu diễn hữu hạn chiều bất
khả quy nên từ nay về sau xét V là biểu diễn bất khả quy của sl(2, C).
Định nghĩa 3.1.2. Cho λ là một trọng của V (tức là V [λ] = 0). Khi đó, λ được
gọi là trọng cao nhất của V nếu Reλ ≥ Reλ với mọi trọng λ của V . Vectơ

v ∈ V [λ] tương ứng được gọi là vectơ trọng cao nhất.
Do mỗi biểu diễn hữu hạn chiều đều có hữu hạn trọng nên có ít nhất một
vectơ trọng cao nhất khác 0. Chúng ta sẽ xét một số tính chất của vectơ trọng
cao nhất đó.
Bổ đề 3.1.2 ([3], Lemma 4.57). Xét v ∈ V [λ] là vectơ trọng cao nhất trong V .
Khi đó:
(1) Ev = 0.
(2) Xét
Fk
v =
v, ∀k ≥ 0.
k!
k

Ta có:
Hv k = (λ − 2)v k ,
F v k = (k + 1)v k+1 ,
Ev k = (λ − k + 1)v k−1 , k > 0.
Chứng minh. (1) Theo bổ đề 3.1.1, ta có:
Ev ∈ V [λ + 2].
Nhưng theo định nghĩa của vectơ trọng cao nhất thì
V [λ + 2] = 0.
Do đó
Ev = 0.
(2) Với k ≥ 0, ta có:
F vk = F

Fk
F k+1
k + 1 k+1

v =
v=
F v = (k + 1)v k+1 .
k!
k!
(k + 1)!
21

(3.1.1)


Theo bổ đề 3.1.1, ta có:
F V [λ] ⊂ V [λ − 2]
suy ra
F k V [λ] ⊂ V [λ − 2k].
Do đó
Fk
1
1
Hv = H
v = H(F k v) = (λ − 2k)F k v = (λ − 2k)v k .
k!
k!
k!
k

Cuối cùng ta chứng minh Ev k = (λ − k + 1)v k−1 , k > 0 bằng quy nạp. Với
k = 1, ta có:
Ev 1 = EF v = [E, F ]v + F Ev = Hv = λv.
Giả sử đẳng thức đúng với k > 1, tức là

Ev k = (λ − k + 1)v k−1 .
Ta chứng minh
Ev k+1 = (λ − k)v k .
Thật vậy:
Ev

k+1

F k+1
1
Fk
=E
v =
E F
v
(k + 1)!
k+1
k!
1
1
=
EF v k =
(Hv k + F Ev k )
k+1
k+1
1
=
(λ − 2k)v k + (λ − k + 1)F v k−1
k+1
1

(λ − 2k)v k + (λ − k + 1)kv k
=
k+1
1
=
λ − 2k + (λ − k + 1)k v k
k+1
1
=
(λ − k)(1 + k)v k
k+1
= (λ − k)v k .

Vì V hữu hạn chiều nên chỉ có hữu hạn vectơ cơ sở v k = 0. Tuy nhiên có thể
xét V như là không gian thương của không gian vô hạn chiều với cơ sở {v k },
k = 0, 1, 2, . . . thể hiện trong bổ đề sau.
Bổ đề 3.1.3 ([3], Lemma 4.58). Cho λ ∈ C. Định nghĩa Mλ là không gian vectơ
vô hạn chiều với cơ sở là {v k }, với k = 0, 1, 2, . . . . Khi đó ta có:
22