ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----

LÊ VĂN CHIẾN

KHẢO SÁT TỪ TRỞ TRONG GRAPHENE ĐƠN LỚP
DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA TƯƠNG TÁC
ELECTRON–PHONON ÂM

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số

: 60 44 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
Người hướng dẫn khoa học
TS. BÙI ĐÌNH HỢI

Thừa Thiên Huế, 2017
i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ
một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 9 năm 2017

Tác giả luận văn

Lê Văn Chiến

ii


LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến TS. Bùi Đình Hợi và TS. Lê Thị Thu Phương đã tận tình hướng
dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoa
Vật Lý và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học
Huế; gia đình cùng các bạn học viên Cao học khóa K24, bạn bè đã động
viên, góp ý, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và
thực hiện luận văn.
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả luận văn

Lê Văn Chiến

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i


Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Chương 1. TỔNG QUAN VỀ GRAPHENE ĐƠN LỚP

5

1.1. Cấu trúc mạng tinh thể và một số tính chất nổi bật của

graphene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Hàm sóng, phổ năng lượng của electron trong graphene
đơn lớp khi không có từ trường . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Hàm sóng, phổ năng lượng của electron trong graphene
đơn lớp khi đặt trong từ trường vuông góc với tấm graphene 14
Chương 2. CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA TENSOR ĐỘ DẪN TRONG LÝ THUYẾT PHẢN ỨNG
TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1. Biểu thức tổng quát cho tensor độ dẫn từ không chéo . . . 17
2.2. Biểu thức tổng quá cho tensor độ dẫn từ chéo . . . . . . . 21
Chương 3. ÁP DỤNG KHẢO SÁT TỪ TRỞ TRONG
GRAPHENE ĐƠN LỚP KHI ĐẶT TRONG TỪ
TRƯỜNG VUÔNG GÓC . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1. Thành phần σyx của tensor độ dẫn từ không chéo . . . . . 27
3.2. Thành phần σxx của tensor độ dẫn từ chéo

iv

. . . . . . . . 29


3.3. Kết quả tính số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.1. Sự phụ thuộc của từ trở vào từ trường . . . . . . . 34
3.3.2. Sự phụ thuộc của từ trở vào nhiệt độ . . . . . . . . 35
KẾT LUẬN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
PHỤ LỤC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1

v


DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

1.1

Graphene là cấu trúc cơ bản (2D) của các cấu trúc nanocarbon khác (0D, 1D và 3D) [34]. . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Cấu trúc tổ ong của graphene đơn lớp. . . . . . . . . . . .

7

1.3

Cấu trúc màng graphene, trong đó các nguyên tử carbon
được sắp xếp đều đặn trên các ô lục giác với các vector
đơn vị mạng thuận l1 và l2 [11]. . . . . . . . . . . . . . . .

7


1.4

Vùng Brillouin thứ nhất [11].

9

1.5

Minh họa cấu trúc vùng năng lượng của graphene trong

. . . . . . . . . . . . . . . .

vùng Brillouin thứ nhất dựa trên hệ thức tán sắc thu được
từ phép gần đúng liên kết mạnh [11]. . . . . . . . . . . . . 13
1.6

Sự phụ thuộc của năng lượng các mức Landau vào từ
trường với các chỉ số mức Landau n = 0 ÷ 4 [36]. . . . . . 16

3.1

Sự phụ thuộc của từ trở dọc ρxx vào từ trường tại các giá
trị khác nhau của tham số W . Ở đây nhiệt độ T = 200 (K). 35

3.2

Sự phụ thuộc của từ trở dọc ρxx vào nhiệt độ tại các giá
trị khác nhau của từ trường: B = 8 T (đường nét liền),
B = 10 T (đường nét đứt), B = 12 T (đường nét chấm). Ở
đây W −1 = 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


vi


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sự phát triển khoa học và công nghệ hiện nay đã đạt được những
thành tựu hết sức to lớn. Trong lĩnh vực công nghệ nano, chúng ta đã
tìm ra nhiều loại vật liệu mới có tiềm năng ứng dụng cao, một trong
số những loại vật liệu đó là graphene. Graphene đã được P. R. Wallace
nghiên cứu trên lý thuyết vào năm 1946 là một ví dụ sách vở cho các
phép tính trong ngành vật lý chất rắn. Tuy nhiên tại thời điểm đó các
nhà khoa học không tin rằng có thể tồn tại một cấu trúc hai chiều chỉ có
bề dày một nguyên tử, và cũng trong thời gian đó, các thiết bị kỹ thuật
không thể quan sát cấu trúc này. Đến năm 2004, hai nhà Vật lý A. K.
Geim và K. S. Novoselov thuộc trường đại học Manchester ở Anh đã tạo
ra được graphene bằng thực nghiệm. Họ đã sử dụng một phương pháp
bóc tách cơ học đơn giản nhưng hiệu quả để trích ra những lớp mỏng
graphite từ một tinh thể graphite bằng loại băng dính văn phòng và sau
đó đưa những lớp này lên trên một chất nền silicon. Với công trình nghiên
cứu này họ được trao giải Nobel Vật lý vào năm 2010.
Graphene là một loại vật liệu có cấu trúc hai chiều và có bề dày chỉ
bằng kích thước một nguyên tử. Trong graphene, mỗi nguyên tử carbon
liên kết cộng hóa trị với ba nguyên tử carbon khác hình thành nên các ô
hình lục giác (kiểu tổ ong) với khoảng cách carbon - carbon là 0,142nm, do
đó mỗi nguyên tử carbon trong mạng còn thừa một electron, các electron
còn lại này có thể chuyển động tự do trong mặt phẳng graphene. Với
cấu trúc như thế, graphene có những tính chất vật lý tuyệt vời và được
xem là vật liệu trong tương lai. Ngày nay graphene đã được nghiên cứu
và ứng dụng thành công trong nhiều lĩnh vực của khoa học và đời sống,

1


một số ứng dụng có thể kể đến như mạch máy tính graphene tốc độ cao,
bóng đèn graphene, pin graphene, ứng dụng trong y học. Với phạm vi
ứng dụng rộng rãi và vô tận của graphene chứng tỏ nó có nhiều tiềm năng
ứng dụng trong khoa học, công nghệ và đời sống. Vì vậy nên graphene
đã, đang và sẽ là đối tượng thu hút một số lượng lớn sự quan tâm nghiên
cứu của các nhà vật lý chất rắn và khoa học vật liệu trên cả phương diện
lý thuyết và thực nghiệm.
Ở nước ngoài, nhiều hiệu ứng quan trọng trong graphene đã được
nhiều tác giả nghiên cứu cả về lý thuyết và thực nghiệm và gặt hái được
nhiều thành công. Ta có thể kể ra một số nhóm tác giả như:
+ Nhóm tác giả Engin Tiras đã khảo sát hiệu ứng từ trở trong
graphen bằng thực nghiệm qua công trình "Các tính chất chuyển tải của
fermions Dirac trong graphene đơn lớp chế tạo bằng lắng đọng hơi hóa
học".
+ Nhóm tác giả W. Xu, F. M. Peeters và T. C. Lu đã sử dụng phương
trình cân bằng xung lượng để khảo sát sự phụ thuộc của điện trở suất
trong graphene qua công trình "Sự phụ thuộc của điện trở suất vào nhiệt
độ và mật độ electron trong graphene" [37].
+ Nhóm tác giả E. H. Hwang and S. Das Sarma bằng phương
pháp phương trình động Boltzmann đã khảo sát từ trở dọc dưới ảnh
hưởng tương tác electron - phonon âm qua công trình "Độ linh động của
graphene 2 chiều giới hạn bởi tán xạ phonon âm" [19].
Ở Việt Nam, do điều kiện tiến hành nghiên cứu thực nghiệm về
graphene còn hạn chế nên các nghiên cứu lý thuyết là cần thiết, góp
phần vào sự phát triển chung của nền khoa học vật liệu nước nhà, bắt
kịp với sự phát triển của nền khoa học tiên tiến trên thế giới. Trong nước
ta một vài năm nay đã hình thành nên nhiều nhóm nghiên cứu lý thuyết


2


mạnh về graphene, điển hình như:
+ Nhóm của GS.VS. Nguyễn Văn Hiệu (Viện Vật lý - Viện Hàn Lâm
KH&CN VN) và đã đạt được một số thành công nhất định, như đã thiết
lập hàm Green của fermion Dirac trong graphene đơn lớp rộng vô hạn ở
nhiệt độ không tuyệt đối và ở nhiệt độ hữu hạn.
+ Nhóm của PGS.TS. Huỳnh Vĩnh Phúc khảo sát các tính chất
điện tử và quang từ trong vậy liệu graphene. Trong công trình "Cộng
hưởng cyclotron-phonon trong graphene thông qua quá trình hấp thụ
nhiều photon".
Hiện tại, chúng tôi vẫn chưa tìm thấy đề tài nào nghiên cứu về từ trở
trong graphene đơn lớp sử dụng phương trình động lượng tử dẫn ra từ
phương pháp chiếu của Zwanzig trong gần đúng phản ứng tuyến tính. Do
đó chúng tôi quyết định chọn đề tài “Khảo sát từ trở trong graphene
đơn lớp dưới ảnh hưởng của tương tác electron - phonon âm”
cho Luận văn Thạc sĩ này.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu sự phụ thuộc của từ trở vào từ trường và nhiệt độ trong
graphene đơn lớp dưới ảnh hưởng của tương tác electron - phonon âm.
3. Nội dung nghiên cứu
- Tìm hiểu về cấu trúc, tính chất điện tử của graphene đơn lớp khi
không có và có mặt từ trường ngoài.
- Thiết lập biểu thức giải tích của từ trở trong graphene đơn lớp
khi đặt trong từ trường vuông góc với tấm graphene (xét đến tương tác
electron - phonon âm).
- Tiến hành tính số, vẽ đồ thị và thảo luận sự phụ thuộc của từ trở
3



vào từ trường và nhiệt độ của hệ.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp chiếu của Zwanzig kết hợp với gần đúng
phản ứng tuyến tính để tính toán từ trở.
- Sử dụng chương trình mathematica để tính số và vẽ đồ thị.
5. Phạm vi nghiên cứu
- Chỉ xét đến tương tác electron-phonon âm, bỏ qua các tương tác
cùng loại (electron - electron, phonon - phonon).
- Chỉ xét đến thành phần tuyến tính của độ dẫn từ.
6. Bố cục luận văn
Luận văn gồm có 3 phần chính:
Phần mở đầu: Trình bày về lí do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu,
nội dung nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và
bố cục luận văn.
Phần nội dung: Gồm 3 chương
• Chương 1: Tổng quan về graphene đơn lớp.
• Chương 2: Công thức tổng quát của tensor độ dẫn trong lý thuyết
phản ứng tuyến tính.
• Chương 3: Áp dụng khảo sát từ trở trong graphene đơn lớp khi
đặt trong từ trường vuông góc.
Phần kết luận
Tóm tắt các kết quả chính đạt được, kết luận và đề xuất hướng phát
triển của đề tài.

4


NỘI DUNG

Chương 1
TỔNG QUAN VỀ GRAPHENE ĐƠN LỚP
Chương này trình bày một số vấn đề tổng quan về graphene đơn
lớp như cấu trúc mạng tinh thể của graphene, hàm sóng và phổ
năng lượng của electron trong graphene đơn lớp khi không có từ
trường và khi đặt trong từ trường vuông góc với tấm graphene.

1.1.

Cấu trúc mạng tinh thể và một số tính chất nổi
bật của graphene

Graphene là cấu trúc gồm các nguyên tử carbon xếp thành một lớp
đơn nguyên tử trong mặt phẳng hai chiều (2D) có cấu trúc lục giác (dạng
tổ ong). Dưới kính hiển vi điện tử, graphene có hình dáng của một màng
lưới có bề dày bằng bề dày của một nguyên tử carbon. Graphene là khối
kết cấu cơ bản của nhiều cấu trúc nano khác, cụ thể graphene có thể
bọc lại thành những fulleren (0D), cuộn lại thành ống nanocarbon (1D)
hoặc xếp thành than chì (3D) như hình 1.1. Graphene được phát hiện
bởi Andre Geim và Kostya Novoselov vào năm 2004 [15], [24].
Cacbon là nguyên tử ở vị trí thứ 6 trong bảng tuần hoàn, có cấu
hình nguyên tử là 1s2 2s2 2p2 . Bốn điện tử phân bố ở trạng thái 2s và 2p
đóng vai trò quan trọng trong việc liên kết hóa học giữa các nguyên tử
với nhau. Các trạng thái 2s và 2p của nguyên tử carbon lai hóa với nhau
tạo thành 3 trạng thái sp định hướng trong một mặt phẳng hướng ra
3 phương tạo với nhau một góc 120o . Mỗi trạng thái sp của nguyên tử
carbon này xen phủ với một trạng thái sp của nguyên tử carbon khác
5



Hình 1.1: Graphene là cấu trúc cơ bản (2D) của các cấu trúc nanocarbon khác (0D, 1D
và 3D) [34].

hình thành một liên kết cộng hóa trị dạng σ bền vững. Chính các liên
kết σ này quy định cấu trúc mạng tinh thể graphene dưới dạng hình tổ
ong và lý giải tại sao graphene rất bền vững. Ngoài các liên kết σ, giữa
hai nguyên tử carbon lân cận còn tồn tại một liên kết π khác kém bền
vững hơn được hình thành do sự xen phủ của các orbital pz không bị lai
hóa với các orbital s. Do liên kết π này yếu và có định hướng không gian
vuông góc với các orbital sp nên các điện tử tham gia liên kết này rất
linh động và quy định tích chất điện và quang của graphene.
Mặc dù có sự đối xứng cao trong cấu trúc, ô lục giác trong graphene
không được chọn làm ô đơn vị, do các nguyên tử carbon liền kề không
tương đương nhau trong hệ tọa độ Dercates, điều này được thể hiện trong
hình 1.3. Một cách tổng quát, có thể xem mạng bravai này gồm 2 mạng
tam giác con lồng vào nhau [11], [27]. Điều này có nghĩa là cấu trúc tinh
thể của graphene có thể được mô tả bằng các vector đơn vị của các mạng
6


Hình 1.2: Cấu trúc tổ ong của graphene đơn lớp.

con này. Do đó, cấu trúc lục giác của màng graphene có thể được xác
định thông qua các vector nguyên tố l1 và l2 có giá trị
√
→
−
d
l1 =
3, 3 ,

2
√
→
−
d
l2 =
3, − 3 ,
2

(1.1)
(1.2)

trong đó d là khoảng cách giữa các nguyên tử carbon gần nhất, d ≈
1, 42 Ao [4].

Hình 1.3: Cấu trúc màng graphene, trong đó các nguyên tử carbon được sắp xếp đều
đặn trên các ô lục giác với các vector đơn vị mạng thuận l1 và l2 [11].

Cấu trúc tinh thể của graphene đơn lớp như hình 1.3 bao gồm hai
7


mạng tam giác lồng vào nhau, mỗi nguyên tử carbon của mạng này
(nguyên tử màu vàng) có ba nguyên tử carbon lân cận khác (nguyên tử
màu xanh) [4]. Do vậy mỗi ô nguyên tố trong mạng thực của graphene
sẽ chứa hai loại nguyên tử carbon (màu xanh và màu vàng). Vị trí của
nguyên tử carbon trong mạng chứa hai loại nguyên tử này được liên hệ
thông qua các vector tương ứng
√
→

−
d
d1 =
1, 3 ,
2
√
→
−
d
d2 =
1, − 3 ,
2
→
−
d3 = −d (1, 0) .

(1.3)
(1.4)
(1.5)

Từ các vectơ tịnh tiến cơ sở ta có thể xây dựng các vectơ mạng đảo
và vùng Brillouin thứ nhất của graphene một cách dễ dàng như chỉ ra
trên hình 1.4. Trong không gian mạng đảo Brillouin tương ứng, các vector
→
− →
−
mạng đảo được xác định bởi điều kiện k i l j = 2πδij , lúc này ta tính
được
√
→

−
2π
k1 =
1, 3 ,
3d
√
→
−
2π
1, − 3 .
k2 =
3d

(1.6)
(1.7)

Bên cạnh các vector đơn vị, toạ độ của các nguyên tử carbon gần
nhất cũng được xác định thông qua các vector. Ngoài ra trong không gian
mạng đảo, vị trí của các điểm góc K và K của vùng Brillouin thứ nhất
→
−
→
−
được xác định thông qua các vector K và K như hình 1.4, hai điểm K
và K này đóng vai trò quan trọng trong tính chất điện của graphene.
Các điểm này được gọi là các điểm Dirac, có vector tọa độ trong không
gian xung lượng như sau
→
−
2π

K=
3d

1
1, √ ,
3
8

(1.8)


−
→ 2π
K =
3d

1
1, − √ .
3

(1.9)

Hình 1.4: Vùng Brillouin thứ nhất [11].

Do có cấu trúc tinh thể đặc biệt nên graphene là vật liệu có nhiều
tính chất vật lý nổi bật.
Về tính chất điện, khả năng dẫn điện của một vật liệu được đánh
giá dựa trên tính linh động của các electron trong vật liệu đó. Tính linh
động trên mặt phẳng graphene tinh khiết không pha tạp chất đạt đến
200000 cm2 /V.s, giá trị này gấp 140 lần so với tính linh động của silicon

(1400 cm2 /V.s), gấp đôi so với ống nano carbon (100000 cm2 /V.s) và gấp
gần 3 lần so với indium antimonide (77000 cm2 /V.s) có thể nói graphene
là vật liệu dẫn điện và dẫn nhiệt tốt nhất hiện nay, đặc biệt khi ở dạng
tinh khiết.
Về độ bền cơ học, trong lý thuyết vật rắn, độ bền và độ cứng thường
được quy về độ bền của các liên kết hóa học, tức là độ lớn của lực tác
động để làm gãy các liên kết hóa học trong cấu trúc tinh thể của vật rắn.
Lực cần thiết để làm thủng một tấm phim graphene là 42 N/m tương
đương với 125 GPa, và độ cứng 342 N/m tương đương 1020 GPa [23].
9


Thép thường được dùng như một tiêu chuẩn so sánh cho sức bền của vật
liệu, thép có sức bền trong ngưỡng 0, 25 − 1, 2 GPa và độ cứng 203 GPa,
qua đó cho thấy graphene có cơ tính tương tự như ống than nano nhưng
độ bền lớn gấp 100 lần và độ cứng gấp 5 lần so với thép.
Hơn thế nữa graphene hầu như trong suốt, nó hấp thụ chỉ khoảng
2, 3 % cường độ ánh sáng chiếu tới, độc lập với bước sóng trong vùng
quang học. Như vậy, miếng graphene lơ lửng không có màu sắc.

1.2.

Hàm sóng, phổ năng lượng của electron trong
graphene đơn lớp khi không có từ trường

Trong phép gần đúng liên kết mạnh, trị riêng năng lượng Ei k
được xác định thông qua phương trình [6]
det [H − ES] = 0,

(1.10)


trong đó H là ma trận Hamiltonian thể hiện tương tác truyền, S là ma
trận thể hiện tương tác xen phủ.
Sự không tương đương giữa các nguyên tử carbon lân cận dẫn đến
màng graphene được xem là sự kết hợp giữa hai mạng tinh thể chỉ gồm
các nguyên tử carbon ở vị trí A và các nguyên tử carbon ở vị trí B. Do
đó, hàm sóng toàn phần mô tả trạng thái của graphene có thể xem là sự
tổ hợp tuyến tính giữa các trạng thái của mạng nguyên tử A và nguyên
tử B
ψ k, r = CA ψA k, r + CB ψB k, r ,

(1.11)

trong đó
1
ψα k, r = √
N

eikRα ϕ r − Rα ,
Rα

→
−
với N là tổng số ô đơn vị trong mạng graphene; k = (kx , ky ); Rα là
10


vector định vị nguyên tử α; α = A, B; ϕ r − Rα

là hàm sóng mô tả


trạng thái của các nguyên tử carbon trong mạng A hoặc B.
Phổ năng lượng được xác định thông qua việc giải phương trình
Schrodinger được quy về ma trận chéo (2 × 2) có dạng


HAA HAB
,
H=
HBA HBB

(1.12)

với HAA , HAB , HBA , HBB là Hamiltonian tương tác giữa các nguyên tử
carbon trong mạng A, B và giữa các nguyên tử carbon trong hai mạng
này với nhau, được tính theo công thức Hij = ψi | H |ψj .
Trong các mạng chỉ gồm các nguyên tử A hoặc B, khi chỉ xét tương
tác giữa các nguyên tử carbon gần nhất với nhau, ta có HAA = HBB =
E2p , với E2p là năng lượng tương ứng với trạng thái cơ bản của các vân
đạo tham gia tạo liên kết π. Đồng thời, Hamiltonian tương tác giữa các
nguyên tử A và B lân cận được xác định thông qua các vector d1 , d2 , d3
2HAB = t eikd1 + eikd2 + eikd3 = tf k ,

(1.13)

trong đó t đặc trưng cho sự truyền năng lượng giữa các nguyên tử A và
B lân cận. Trong tọa độ Decartes, ta có
f k =e

√

ikx d/ 3

+ 2e

√
−ikx d/2 3

cos

ky d
,
2

(1.14)

∗
do f k là hàm phức nên HAB là toán tử Hermite và HBA = HAB
.

Thay giá trị của HAA , HAB , HBA , HBB vào (1.12), ta được


E2p
tf k
.
H=
∗
tf k
E2p


(1.15)

Ma trận thể hiện tương tác xen phủ S cũng được quy về ma trận
chéo (2 × 2) có dạng

S=

SAA SAB
SBA SBB
11


,

(1.16)


∗
= sf k với s đặc
trong đó Sji = ψi | |ψj ; SAA = SBB = 1, SAB = SBA

trưng cho sự che phủ năng lượng giữa các nguyên tử A và B lân cận. Biểu
thức cuối cùng của ma trận sen phủ S có dạng


1
sf k
.
S=
∗

sf k
1

(1.17)

Thay (1.15) và (1.17) vào (1.10), ta được biểu thức tán sắc năng
lượng theo vector sóng k
E2p ± tω k
E± k =

,

(1.18)

1 ± sω k
các giá trị E+ , E− thể hiện năng lượng ở các trạng thái cơ bản và trạng
thái kích thích, với hàm
√

3
1
kx d cos
ky d + 4 cos2
2
2

2

ω k =


f k

=

1 + 4 cos

1
ky d .
2
(1.19)

Trong hầu hết các trường hợp, ta thường chọn s = 0 để đơn giản
trong việc tính toán cấu trúc vùng năng lượng của graphene. Khi đó,
theo phương trình (1.18), các vùng π ,π ∗ trở nên đối xứng quanh giá trị
E = E2p và hệ thức tán sắc có dạng
√
E± (kx , ky ) = ±t

1 + 4 cos

3
1
kx d cos
ky d + 4 cos2
2
2

1
ky d ,
2

(1.20)

tại các vị trí có tính đối xứng cao, E lần lượt nhận các giá trị ±3t, ±t và
0, tương ứng với các điểm Γ, M và K.
Từ hệ thức tán sắc, có thể thấy được tại các vị trí đối xứng K (điểm
Dirac), khoảng cách giữa các mức năng lượng tại các trạng thái liên kết
π và phản liên kết π ∗ của graphene là bằng 0, nghĩa là graphene có thể
12


Hình 1.5: Minh họa cấu trúc vùng năng lượng của graphene trong vùng Brillouin thứ
nhất dựa trên hệ thức tán sắc thu được từ phép gần đúng liên kết mạnh [11].

được xem như chất bán dẫn có độ rộng vùng cấm bằng 0. Lân cận các
điểm này, sự tán sắc năng lượng là tuyến tính, nghĩa là E phụ thuộc bậc
nhất theo k, thay vì bậc hai như trong các hệ chất rắn thông thường.
Tuy nhiên, sự tồn tại của vùng cấm này tại các điểm đối xứng K và K
yêu cầu tính đối xứng cao trong cấu trúc, nghĩa là mạng các nguyên tử
A và B phải đóng vai trò tương đương nhau. Trong trường hợp A và B
là các nguyên tử khác loại, giữa các mức π và π ∗ sẽ xuất hiện vùng cấm
như các bán dẫn thông thường. Hiện tượng này đóng vai trò quan trọng
trong việc giải thích khả năng truyền dẫn điện tử cao và các hiệu ứng
lượng tử đặc biệt khác của mạng graphene cũng như ống nano carbon.

13


1.3.

Hàm sóng, phổ năng lượng của electron trong

graphene đơn lớp khi đặt trong từ trường vuông
góc với tấm graphene

Trong tấm graphene vùng dẫn và vùng hóa trị bao gồm quỹ đạo chéo
π đi qua điểm K và K của vùng Brillouin không, trong đó mức Fermi
được xác định. Trạng thái của điện tử từ π gần điểm K trong từ trường
B vuông góc với tấm graphene mô tả bằng phương pháp k.p. Phương
trình Schrodinger tương ứng
Ho F (r) = εF (r) ,
với


H0 = γ 

trong đó γ =

√

0

kˆx − ikˆy

kˆx + ikˆy

0

(1.21)


 = γ σ.k ,


(1.22)

3/2 aγo là tham số vùng, γo = 2, 8 (eV) [11], a =

0, 246 (nm) là hằng số mạng graphene, σ = (σx , σy ) là các ma trận Pauli,
kˆ = kˆx , kˆy = −i∇ + eA/ là toán tử vector sóng, A = (Bx, 0) là thế
vector của trường.
Hàm sóng và phổ năng lượng cho hạt tải điện graphene có dạng [7]


sn φ|n|−1 (x − χ)
Cn
2
,
ψn (r) = √ e−iχy/l 
(1.23)
L
φ|n| (x − χ)
ε n = s n ωB

|n|,

(1.24)

trong đó
Cn =




(1 + δn,0 )  1; (n = 0)
=
1

2
 √ ; (n = 0)
2

14

(1.25)






 1; (n > 0)
sn =
0; (n = 0)



 −1; (n < 0)
φ|n| (x) =

i|n|

1 x
exp −

√
2 l
2|n| |n|! πl

(1.26)

2

H|n|

x
,
l

(1.27)

với n = 0, ±1, ±2, ... là chỉ số mức Landau, Hn (x/l) là đa thức Hermite
/eB là bán kinh cyclotron, χ = ky l2 là tọa độ tâm và
√
nó liên hệ với vector sóng hạt theo trục y, ωB = 2γ l là năng lượng
bậc n, l =

Landau. Các trạng thái điện tử cho hạt tải được xác định bởi tập hợp số
lượng tử α = (n, χ). Ở đây chúng ta đã bỏ qua sự tách mức Zeeman do
từ trường.
Đối với hệ K , hàm Hamiltonian được cho bởi


ˆ
ˆ

0
kx + iky
 = γ σ ∗ .k ,
Ho = γ 
kˆx − ikˆy
0
và hàm sóng tương ứng được cho bởi


φ|n| (x − χ)
Cn
2
.
ψn (r) = √ e−iχy/l 
L
sn φ|n|−1 (x − χ)

(1.28)

(1.29)

Dưới đây là hình vẽ mô phỏng về phổ năng lượng của graphene khi
có từ trường.

15


Hình 1.6: Sự phụ thuộc của năng lượng các mức Landau vào từ trường với các chỉ số
mức Landau n = 0 ÷ 4 [36].


16


Chương 2
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA TENSOR ĐỘ
DẪN TRONG LÝ THUYẾT PHẢN ỨNG TUYẾN
TÍNH
Phương pháp toán tử chiếu của Zwanzig và áp dụng để thu được
các tính chất chuyển tải của các vật liệu bán dẫn đặt trong từ
trường đã được giới thiệu chi tiết bởi nhóm nghiên cứu K. M.
Van Vliet trong các công trình đăng tải trên tạp chí Journal
of mathematics physics [29], [30], [13], [31]. Trong chương này
chúng tôi sẽ giới thiệu tóm tắt quá trình dẫn ra biểu thức tổng
quát của tensor độ dẫn trong các công trình trên để làm cơ sở
cho các tính toán trong graphene.

2.1.

Biểu thức tổng quát cho tensor độ dẫn từ không
chéo

Phương trình động lượng tử tổng quát trong biểu diễn lượng tử hóa
lần thứ hai có dạng
∂ Cξ+1 Cξ2

→
−
1 − e−β (εξ1 −εξ2 )
− F (t)
nξ2

ε ξ1 − ε ξ2

∂t
→
−
− β F (t) nξ1

eq

1 − nξ1

eq

1 − nξ1

ξ2 | α˙ |ξ1

eq

−
−
{[ ξ | →
α |ξ − ξ1 | →
α |ξ1 ]

eq
ξ

× Wξ1 ,ξ
=


1 − nξ

Wξ ξ1 nξ

t

eq

+ Wξ ,ξ1 nξ

1 − nξ1

t

eq

δξ1 ξ2

− Wξ1 ξ nξ1

t

1 − nξ

t

δξ1 ξ2

ξ


−

i

(εξ2 − εξ1 ) Cξ+1 Cξ2

,

(2.1)

t

17


với ξ là trạng thái lượng tử đơn hạt (hàm sóng 1 hạt), εξ là năng lượng
tương ứng với trạng thái ξ, Cξ+ và Cξ là toán tử sinh và huỷ điện tử ở
trạng thái tương ứng, nξ

eq

và nξ

t

là các hàm phân bố điện tử cân bằng

và không cân bằng (các số lấp đầy), Wξξ là xác suất dịch chuyển giữa hai
trạng thái được cho bởi quy tắc vàng Fermi (phụ thuộc vào từng loại tán

−
−
−
−
−
xạ), β = 1/kB T , →
α =→
r − →
r eq , →
r và →
r eq là vị trí của điện tử và vị
→
−
→
−
trí cân bằng của nó (trước khi đặt trường ngoài vào), F (t) = e E (t).
Khi ξ1 = ξ2 , ta sẽ có phương trình động lượng tử cho phần không
chéo (nondiagonal) của phương trình (2.1) có dạng (δξ1 ξ2 = 0)
∂ Cξ+1 Cξ2

t

1 − e−β (εξ1 −εξ2 )
− eEυ (t)
nξ2
εξ1 − εξ2

∂t
i
= − (εξ2 − εξ1 ) Cξ+1 Cξ2

với ξ1 = ξ2 ,

eq

1 − nξ1

eq

ξ2 | α˙ ν |ξ1

,

(2.2)

t

υ = x, y, z.

Ta giải phương trình (2.2) với giả thiết Cξ+1 Cξ2
= 0,
t=0
i
đặt ∆ = εξ2 − εξ1 , χ = − ∆, Y (t) = Cξ+1 Cξ2 ,
t

1 − eβ (εξ2 −εξ1 )
G (t) = eEυ (t)
nξ2
εξ2 − εξ1


eq

1 − nξ1

eq

ξ2 | α˙ ν |ξ1 ,

phương trình (2.2) được viết lại như sau
∂Y (t)
= χY (t) + G (t) .
∂t
Trước hết ta giải phương trình vi phân thuần nhất
∂Y o (t)
= χY o (t) ,
∂t
Y o (t) = eχt = e−i∆t/ ,
đặt Y (t) = ϕ (t) Y o (t), thay vào (2.3) ta có
Y o (t)

∂ϕ (t)
+ χϕ (t) Y o (t) = χϕ (t) Y o (t) + G (t) ,
∂t
18

(2.3)


t


t

G (t )
dt .
Y o (t )

G (t1 )
dt1 =
Y o (t1 )

ϕ (t) =

0

0

Vậy
Y (t) = Cξ+1 Cξ2

= Y o (t) ϕ (t)
t

t

= e−i∆t/

e−i∆t / G (t ) dt
0

t


=e

e

1 − eβ∆
nξ2
dt Eυ (t )
∆

−i∆(t−t )/

eq

1 − nξ1

eq

ξ2 | α˙ ν |ξ1 ,

0

(2.4)
trong đó e là độ lớn điện tích của electron (e > 0), ξ1 , ξ2 là các trạng thái
đơn hạt của điện tử.
Ta có biểu thức của mật độ dòng toàn phần (đóng góp của tất cả
điện tử) [32]
jµ t =

e

Vo

Cξ+ Cξ
ξ,ξ

t

ξ| α˙ µ |ξ ,

(2.5)

với Vo là thể tích của hệ, µ = x, y, z.
Thay biểu thức (2.4) vào (2.5) ta có:
jµ

t

e2
=
Vo

t

Eυ (t ) dt e−i∆(t−t )/
ξ,ξ 0

× 1 − nξ1

eq


1 − eβ∆
nξ2
∆

ξ2 | α˙ ν |ξ1 ξ1 | α˙ µ |ξ2 .

eq

(2.6)

Mặt khác theo công thức của lý thuyết phản ứng tuyến tính [29]
t

jµ t = ∆ β˙ (t)

dt Φ (t − t ) Eυ (t ) ,

=
µ
0

với Φ (t) được gọi là hàm phản ứng (response function).
19

(2.7)