ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÂM THỊ TUYẾT NHUNG

KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN
CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP
THÊM HAI PHOTON TÍCH SU (1,1) LẺ

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số

: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC

Thừa Thiên Huế, năm 2017

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các
kết quả, số liệu, đồ thị được nêu trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ
một công trình nghiên cứu nào khác.

Huế, tháng 10 năm 2017
Tác giả luận văn

Lâm Thị Tuyết Nhung

ii


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp này, tôi xin đặc biệt bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS. Trương Minh Đức đã tận
tâm giảng dạy, hướng dẫn, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong
suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô trong khoa Vật Lý và
phòng Đào tạo sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế
đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn tôi trong quá trình học tập và hoàn
thành luận văn này.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình cùng bạn bè,
các anh, chị học viên Cao học khóa 24 đã động viên, góp ý, giúp đỡ và
tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài.
Huế, tháng 10 năm 2017
Tác giả luận văn

Lâm Thị Tuyết Nhung

iii


MỤC LỤC


Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . .


12

1.1. Trạng thái kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.2. Các tính chất của trạng thái kết hợp . . . . . . . . .

16

1.1.3. Trạng thái kết hợp thêm photon . . . . . . . . . . .

19

1.2. Trạng thái nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3. Một số tính chất phi cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.1. Tính chất nén tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22


1.3.2. Tính chất nén hiệu

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.3.3. Tính chất nén Hillery bậc cao . . . . . . . . . . . . .

24

1.3.4. Tính chất phản kết chùm bậc cao . . . . . . . . . .

25

1.3.5. Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . .

27

1.4. Các tiêu chuẩn đan rối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.4.1. Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy . . . . . . . . . .

28

1.4.2. Tiêu chuẩn đan rối entropy von Newmann . . . . . .

30


Chương 2. KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT NÉN CỦA
TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI
PHOTON TÍCH SU (1,1) LẺ . . . . . . . . . . . . . .
1

33


2.1. Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ 33
2.1.1. Trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1) . . . . . . . .

33

2.1.2. Trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1) lẻ . . . . . . .

34

2.1.3. Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU (1,1) lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.2. Khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ. . . . . . . . . . . . .

37

2.3. Khảo sát tính chất nén hiệu của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ. . . . . . . . . . . . .


41

2.4. Khảo sát tính chất nén Hillery bậc cao của trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ. . . . . . .
Chương 3.

46

KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHẢN KẾT

CHÙM VÀ SƯ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHYSCHWARZ CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT
HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH SU (1,1) LẺ . .

53

3.1. Khảo sát tính chất phản kết chùm của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ . . . . . . . . . .

53

3.1.1. Trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.1.2. Trường hợp l =1, p=1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.1.3. Trường hợp l =2, p=1 . . . . . . . . . . . . . . . . .


57

3.1.4. Trường hợp l =2, p=2 . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.1.5. Trường hợp l =3, p=1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.1.6. Trường hợp l =3, p=2 . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.1.7. Trường hợp l =3, p=3 . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.1.8. Trường hợp l =4, p=3 . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.2. Khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của
trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU ( 1,1) lẻ 61

2


Chương 4. KHẢO SÁT TÍNH CHẤT ĐAN RỐI CỦA

TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI
PHOTON TÍCH SU (1,1) LẺ . . . . . . . . . . . . . .

65

4.1. Khảo sát tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ bằng tiêu chuẩn đan rối
Hillery-Zubairy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.2. Khảo sát tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ bằng tiêu chuẩn đan rối
entropy von Newmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

TÀI LIỆU THAM KHẢO

75

3


DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ


Hình 2.1

Sự phụ thuộc của S của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0 (đường
chấm chấm gạch), q = 2 (đường chấm gạch) và
trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ khi q = 0
(đường nét liền), q = 2 (đường nét đứt) vào biên độ
kết hợp r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 2.2

40

Sự phụ thuộc của tham số nén hiệu D của trạng thái
hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ
khi q = 1 (đường nét liền), q = 2 (đường nét đứt),
q = 3 (đường chấm chấm gạch) vào biên độ kết hợp
r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 2.3

45

Sự phụ thuộc của tham số H2 (φ) của trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi
q = 0 (đường nét liền), q = 1 (đường nét đứt), q = 2
(đường chấm chấm gạch) vào biên độ kết hợp r. . .

Hình 3.1


49

Sự phụ thuộc của Aab (1, 1) của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0
(đường chấm chấm gạch), q = 3 (đường chấm gạch)
và trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ khi q = 0
(đường nét liền), q = 3 (đường nét đứt) vào biên độ
kết hợp r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

56


Hình 3.2

Sự phụ thuộc của Aab (2, 1) của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0
(đường chấm chấm gạch), q = 3 (đường chấm gạch)
và trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ khi q = 0
(đường nét liền), q = 3 (đường nét đứt) vào biên độ
kết hợp r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 3.3

57

Sự phụ thuộc của Aab (2, 2) của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0
(đường chấm chấm gạch), q = 3 (đường chấm gạch)

và trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ khi q = 0
(đường nét liền), q = 3 (đường nét đứt) vào biên độ
kết hợp r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 3.4

57

Sự phụ thuộc của Aab (3, 1) của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0
(đường chấm chấm gạch), q = 3 (đường chấm gạch)
và trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ khi q = 0
(đường nét liền), q = 3 (đường nét đứt) vào biên độ
kết hợp r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 3.5

58

Sự phụ thuộc của Aab (3, 2) của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0
(đường chấm chấm gạch), q = 3 (đường chấm gạch)
và trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ khi q = 0
(đường nét liền), q = 3 (đường nét đứt) vào biên độ
kết hợp r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

58



Hình 3.6

Sự phụ thuộc của Aab (3, 3) của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0
(đường chấm chấm gạch), q = 3 (đường chấm gạch)
và trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ khi q = 0
(đường nét liền), q = 3 (đường nét đứt) vào biên độ
kết hợp r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 3.7

59

Sự phụ thuộc của Aab (4, 3) của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0
(đường chấm chấm gạch), q = 3 (đường chấm gạch)
và trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ khi q = 0
(đường nét liền), q = 3 (đường nét đứt) vào biên độ
kết hợp r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 3.8

59

Sự phụ thuộc của A(1, 1), A(2, 1), A(3, 1) của trạng
thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)
lẻ vào r với q = 2. Đường biểu diễn các tham số
được chọn theo thứ tự tương ứng với đường nét
liền, đường nét đứt, đường chấm chấm gạch.


Hình 3.9

. . .

60

Sự phụ thuộc của I của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0 (đường
chấm chấm gạch), q = 3 (đường chấm gạch) và
trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ khi q = 0
(đường nét liền), q = 3 (đường chấm gạch) vào biên
độ kết hợp r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

63


Hình 4.1

Sự phụ thuộc của R1 của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0
(đường nét liền), q = 1 (đường nét đứt), q = 2
(đường chấm chấm gạch) vào biên độ kết hợp r ứng
với m = n = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 4.2

69


Sự phụ thuộc của Ev của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0
(đường nét liền), q = 1 (đường nét đứt), q = 2
(đường chấm gạch) vào biên độ kết hợp r. . . . . .

7

72


MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Vật lý học ở thế kỷ XX mang nhiều thành tựu nổi bật, đáng kể
nhất là ở lĩnh vực công nghệ thông tin, thông tin lượng tử. Sự phát triển
này là tất yếu khi cuộc sống con người ngày càng hiện đại, nhu cầu liên
lạc, tốc độ truyền và xử lý tín hiệu luôn được quan tâm. Nhận thấy rằng
trong quá trình truyền tín hiệu thì các tín hiệu này bị nhiễm, làm giảm
độ chính xác của phép đo quang học, dẫn đến chất lượng truyền tin sẽ
bị hạn chế. Hiểu được tầm quan trọng này các nhà vật lý lý thuyết và
vật lý thực nghiệm đã tìm các phương pháp tạo ra các trạng thái vật lý
mà ở đó các thăng gián sẽ được hạn chế ở mức tối đa có thể và sau đó
áp dụng vào thực nghiệm để chế tạo các dụng cụ quang học đảm bảo
tính lọc lựa và độ chính xác cao.
Nghiên cứu các trạng thái phi cổ điển rất quan trọng, cụ thể đi tìm
hiểu các tính chất phi cổ điển của các trạng thái cho trước và các hiệu
ứng phi cổ điển của trạng thái lượng tử. Trạng thái vật lý được nghiên
cứu đầu tiên là trạng thái kết hợp. Năm 1963, Glauber [14] và Sudarshan
[32], đã đưa ra chính thức trạng thái kết hợp. Đây là trạng thái ứng với
giá trị thăng gián nhỏ nhất suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg và

trạng thái này có thể được xem là tập hợp các trạng thái cổ điển. Sau
đó, Stoler đã đưa ra một kiểu trạng thái mới, được gọi là trạng thái
nén Stoler [31] vào năm 1970 và được thực nghiệm khẳng định vào năm
1987. Đây là trạng thái mở đầu cho lớp các trạng thái phi cổ điển của
trường điện từ và mở ra cơ hội cho sự nghiên cứu của các nhà khoa học
đạt nhiều thành tựu quan trọng.

8


Tạo ra các trạng thái phi cổ điển của trường điện từ được các nhà
khoa học rất quan tâm, điển hình là các trạng thái nén và các trạng thái
kết hợp, vì chúng tuân theo các tính chất phi cổ điển. Trạng thái hai
mode kết hợp SU (1, 1) đã được Perelomov [29], tìm ra vào năm 1972.
Trong thực nghiệm, trạng thái hai mode hai mode kết hợp SU (1, 1) đã
được tạo ra bởi công nghệ lượng tử. Vào năm 2015, học viên Phạm
Văn Tiến đã nghiên cứu đề tài “Nghiên cứu các tính chất phi cổ điển
của trạng thái hai mode SU (1, 1) lẻ”. Năm 2016, học viên Nguyễn Thị
Huyền Trang đã nghiên cứu đề tài “Nghiên cứu các tính chất nén và
phản kết chùm trạng thái hai mode SU (1, 1) thêm một photon lẻ” [4].
Tuy nhiên chưa có đề tài nào nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của
trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ. Với mong
muốn hiểu rõ các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ và bước đầu tiên nghiên cứu ứng dụng
của trạng thái này trong công nghệ thông tin lượng tử cũng như các ứng
dụng sau này.
Từ những lý do trên, tôi quyết định chọn đề tài “Khảo sát các
tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai
photon tích SU(1,1) lẻ” làm Luận văn Thạc sĩ.
2. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu các tính chất nén bao gồm tính
chất nén tổng, nén hiệu hai mode, nén Hillery bậc cao của trạng thái
hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ. Đồng thời, chúng tôi
nghiên cứu tính chất phản kết chùm bậc cao, tính chất đan rối và sự vi
phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ.
9


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trên cơ sở mục tiêu nghiên cứu của đề tài, tôi đặt ra một số nhiệm
vụ nghiên cứu như sau:
- Nghiên cứu các tính chất nén tổng, nén hiệu hai mode và nén Hillery
bậc cao của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)
lẻ;
- Nghiên cứu tính chất phản kết chùm bậc cao, tính chất đan rối và sự vi
phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ.
- Nghiên cứu ngôn ngữ lập trình Mathematica để vẽ đồ thị.
4. Phạm vi nghiên cứu
Trong Luận văn này, tôi chỉ nghiên cứu các tính chất phi cổ điển
của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ và
nén Hillery bậc cao, tính chất phản kết chùm, tính chất đan rối và sự vi
phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ.
5. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu, tôi sử dụng một số phương pháp nghiên
cứu sau:
- Phương pháp phân tích, tổng hợp tài liệu;
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử;

- Phương pháp quang lượng tử;
- Sử dụng ngôn ngữ lập trình Mathematica để tính số và vẽ đồ thị.

10


6. Bố cục luận văn
Ngoài trang phụ bìa, lời cảm ơn, lời cam đoan, mục lục, danh sách
hình vẽ, luận văn được chia làm ba phần:
- Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, lịch sử vấn đề, mục tiêu
nghiên cứu, nội dung nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vi
nghiên cứu, bố cục luận văn.
- Phần nội dung gồm 4 chương:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Chương 2: Khảo sát các tính chất nén của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ
Chương 3: Khảo sát tính chất phản kết chùm và sự vi phạm bất đẳng
thức Cauchy-Schawrz của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon
tích SU (1, 1) lẻ
Chương 4: Khảo sát tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ
Phần kết luận: Nêu lên kết quả đạt được của Luận văn và đề xuất hướng
mở rộng nghiên cứu.

11


NỘI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương một, chúng tôi trình bày tổng quan về trạng thái
kết hợp, trạng thái nén và các tính chất phi cổ điển. Trong
đó, các tính chất phi cổ điển bao gồm: tính chất nén tổng, nén
hiệu hai mode; tính chất nén kiểu Hillery bậc cao; tính phản kết
chùm bậc cao; sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy- Schwarz; tiêu
chuẩn đan rối Hillery-Zubairy và tiêu chuẩn đan rối entropy
von Newmann.

1.1.

Trạng thái kết hợp

1.1.1.

Định nghĩa
Trạng thái kết hợp đã được Glauber [14] và Sudarshan [32] đưa

ra vào năm 1963 dùng để mô tả tính chất của chùm tia laser, là chùm
tia có có độ đơn sắc cao tạo ra các trường điện từ chứa các trạng thái
kết hợp.
Trạng thái kết hợp |α có thể được tạo ra bằng cách tác dụng toán tử
ˆ
dịch chuyển D(α)
lên trạng thái chân không |0 của trường điện từ.
ˆ
|α = D(α)|0
.

(1.1)


ˆ
trong đó D(α)
= exp(αˆ
a† ) exp(−α∗ a
ˆ) là toán tử dịch chuyển với tham
số kết hợp là α = r exp(iϕ); r và ϕ lần lượt là biên độ và pha kết hợp;
a
ˆ† (ˆ
a) là toán tử sinh (hủy) hạt boson và chúng tuân theo hệ thức giao
hoán.
12


a
ˆ, a
ˆ = a
ˆ† , a
ˆ† = 0,
a
ˆ, a
ˆ† = a
ˆa
ˆ† − a
ˆ† a
ˆ = 1.
ˆ B]
ˆ = 0 và
Theo công thức Baker-Hausdorff [15], nếu [A,
ˆ B],
ˆ A]

ˆ = [[A,
ˆ B],
ˆ B]
ˆ =0
[[A,

(1.2)

ˆ
ˆ = exp(A)
ˆ exp(B)
ˆ exp(− 1 [AˆB]).
exp(Aˆ + B)
2

(1.3)

thì

ˆ = −α∗ a
ˆ B]
ˆ = |α|2 thỏa mãn hệ thức (1.3),
Ta chọn Aˆ = αˆ
a† , B
ˆ và [A,
ta có

ˆ
D(α)
= exp(αˆ

a† − α ∗ a
ˆ)
1 †
= exp(αˆ
a† ) exp(−α∗ a
ˆ) exp(− [αˆ
a , −α∗ a
ˆ]).
2

(1.4)

trong đó
[αˆ
a† , −α∗ a
ˆ] = −|α|2 [ˆ
a† , a
ˆ] = |α|2 [ˆ
a, a
ˆ† ] = |α|2 .

(1.5)

1
ˆ
D(α)
= exp(αˆ
a† ) exp(−α∗ a
ˆ) exp(− |α|2 ).
2


(1.6)

Do đó

Áp dụng khai triển chuỗi Taylor của hàm dạng cho hai thừa số đầu tiên
trong biểu thức (1.6) ta được
2

(αˆ
a† ) (αˆ
a† )
exp(αˆ
a )=1+
+
+ ... =
1!
2!

∞

†

n=0

(−α∗ a
ˆ) (−α∗ a
ˆ)2
exp(−α a
ˆ) = 1 +

+
+ ... =
1!
2!

n

(αˆ
a† )
n!
∞

∗

13

n=0

(−α∗ a
ˆ)n
n!

(1.7)

(1.8)


Bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển lên trạng thái chân không của
trường điện từ ta thu được
1

ˆ
D(α)|0
= exp(αˆ
a† ) exp(−α∗ a
ˆ) exp(− |α|2 )|0 .
2

(1.9)

Từ (1.8) và (1.9) ta có
∞

1 2
(−α∗ a
ˆ)n
ˆ
D(α)|0 = exp(αˆ
a ) exp(− |α| )
|0 .
2
n!
n=0
†

Chúng ta cần lưu ý a
ˆl |0 = 0 (ngoại trừ l = 0) và (ˆ
a† )n |0 =

(1.10)
√


n!|n , ta

có
∞
∗ †

exp(−α a
ˆ )|0 =
l=0
∞
†

exp(αˆ
a )|0 =
n=0

(−α∗ a
ˆ† )l
|0 = |0 ,
l!
αn † n
(ˆ
a ) |0 =
n!

∞

n=0


αn
√ |n .
n!

(1.11)
(1.12)

Từ đó suy ra
∞

1 2
αn
ˆ
√ |n ,
|α = D(α)|0 = exp(− |α| )
2
n!
n=0

(1.13)

n

trong đó |n =

(ˆ
a† )
√
n!


|0 là các trạng thái Fock. |n là trạng thái riêng của

toán tử số hạt n
ˆ=a
ˆ† a
ˆ nghĩa là
√
a
ˆ|0 = 0, a
ˆ|n = n|n − 1 ,
√
a
ˆ† |n = n + 1|n + 1 .

(1.14)
(1.15)

Các trạng thái Fock tạo nên một hệ cơ sở đủ, nghĩa là
∞

n=0

αn
|n n| = 1,
n!

(1.16)

Vì vậy ta có thể khai triển một vectơ bất kỳ trong hệ cơ sở này. Điều
này có nghĩa là trong không gian Fock, các trạng thái kết hợp có thể

biểu diễn dưới dạng
∞

1 2
αn
|α = exp(− |α| )
|n .
2
n!
n=0
14

(1.17)


Bên cạnh đó, trạng thái kết hợp |α là trạng thái riêng của toán tử hủy
photon a
ˆ ứng với trị riêng α
a
ˆ|α = α|α .

(1.18)

Thật vậy
∞

∞

αn
1 2

αn √
1 2
√
a
ˆ|n = exp(− |α| )
n|n − 1
a
ˆ|α = exp(− |α| )
2
n!
2
n!
n=0
n=0
∞

1
= exp(− |α|2 )
2
n=0

αn−1 α
(n − 1)!

|n − 1 = α|α .

Phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp |α là
(∆ˆ
n)2 = n
ˆ2 − n

ˆ

2

= n|ˆ
n2 |n − n|ˆ
n|n

= α|ˆ
a† a
ˆa
ˆ† a
ˆ|α − α|ˆ
a† a
ˆ|α

2

2

= α|α∗ a
ˆa
ˆ† α|α − α|ˆ
a† a
ˆ|α

2

= |α|2 α|1 + a
ˆ† a

ˆ|α − |α|4 = |α|2 ( α|α + α|ˆ
a† a
ˆ|α ) − |α|4
= |α|2 (1 + |α|2 ) − |α|4 = |α|2 .
Đối với trạng thái Fock
(∆ˆ
n)2 = n
ˆ2 − n
ˆ

2

= n|ˆ
n2 |n − n|ˆ
n|n

= n|ˆ
a† a
ˆa
ˆ† a
ˆ|n − n|ˆ
a† a
ˆ|n

2

2

= n n − 1|ˆ
aa

ˆ† |n − 1 − n2 n − 1|n − 1

2

= n n − 1|ˆ
a† a
ˆ + 1|n − 1 − n2
= n(n − 1) n − 2|n − 2 + n n − 1|n − 1 − n2
= n(n − 1) + n − n2 = n2 − n + n − n2 = 0.
Như vậy, số hạt có thể đo được một cách chính xác đối với trạng thái
Fock nhưng trong trạng thái kết hợp |α thì phép đo phải chịu một sai
số tỉ lệ với trung bình của số hạt.

15


1.1.2.

Các tính chất của trạng thái kết hợp

Tính chất 1: Phân bố số hạt ở trạng thái kết hợp |α tuân theo
phân bố Poisson. Số hạt boson trung bình của trạng thái kết hợp |α là
n
ˆ = α2 .

(1.19)

n
ˆ = α|ˆ
n|α = α|ˆ

a† a
ˆ|α .

(1.20)

a
ˆ|α = α|α , α|ˆ
a† = α|α∗ , α = r exp(iϕ).

(1.21)

n
ˆ = α|α∗ α|α = |α|2

(1.22)

Thật vậy

Mặt khác

do đó

Tính chất 2: Tập hợp tất cả các trạng thái |α là một tập hợp đủ
1
π

|α α|d2 α = 1.

(1.23)


Thật vậy
∞
−|α|

2

|α α|d α =

e

2

n=0

αn
√ |n
n!

∞

(α∗ )m
√
m|d2 α,
m!
m=0

(1.24)

trong đó α = r exp(iϕ). Chuyển sang tọa độ cực ta được d2 α = rdrdϕ,
do đó

∞
2

|α α|d α =
2π i(n−m)ϕ
dϕ
0 e

dϕe−r

rdr
0

với

2π
0

2

n,m

rn+m ei(n−m)ϕ
√
|n m|.
n!m!

= 2πδmn , nên suy ra

|α α|d2 α = 2π

∞

=
n=0

∞
0 rdr
2π
n! |n

16

∞
n=0

n|

e−r

2

2π
n! |n

n|

∞ −r2 2n+1
r
dr.
0 e


(1.25)


∞ −r2 2n+1
r
dr
0 e

mà

= n!2 .

Do đó
|α α|d2 α = π,
hay ta có
1
π

(1.26)

∞
2

|α α|d α =

|n n| = 1.

(1.27)


n=0

Tính chất 3: Các trạng thái kết hợp thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa
α|α = 1 nhưng chúng lại không trực giao với nhau, nghĩa là với α = β
thì α|β = 0.
Thật vậy, ta có

∞

1 2
(α∗ )n
√
n|,
α| = exp(− |α| )
2
n!
n=0

(1.28)

∞

1 2
βm
√
|β = exp(− |β| )
m|,
2
m!
m=0

nên
α|β = exp(− 21 |α|2 ) exp(− 12 |β|2 )

∞
n,m=0
∞

= exp(− 12 |α|2 ) exp(− 21 |β|2 )
= exp(− 12 |α|2 − 12 |β|2 )
=
=

exp(− 12 |α|2
exp(− 21 |α|2

−
−

∞

(1.29)

n

(α∗ ) β m
√ √
n! m!

n|m


n

n,m=0

(α∗ ) β m
√ √ δnm
n! m!

n

(α∗ ) β n
n!

n=0
2
1
∗
2 |β| ) exp α β
2
1
∗
2 |β| + α β) =

0.

và
| α|αββ |2 = ( α|αββ )∗ α|αββ
= exp(− 21 |α|2 − 12 |β|2 + αβ ∗ ) exp(− 21 |α|2 − 12 |β|2 + α∗ β)
= exp(−|α|2 − |β|2 + αβ ∗ + α∗ β)
= exp(−|α − β|2 ).

Nhận xét

17


+ Trường hợp α = β thì exp(−|α − β|2 ) = 0, nghĩa là các trạng
thái kết hợp không trực giao với nhau.
+ Trường hợp|α − β|

1 thì exp(−|α − β|2 ) = 0, nghĩa là các

trạng thái kết hợp xem như gần trực giao với nhau.
Do đó, trạng thái kết hợp không trực giao với nhau, chúng được
xem như là gần gần trực giao với nhau khi |α − β|

1.

Hệ quả của sự không trực giao nhau là bất kì trạng thái kết hợp nào
cũng có thể khai triển theo các trạng thái kết hợp khác, nghĩa là
1
|α α|αα α d2 α
α|=
π
1
1
1
=
d2 α|α exp(− |α|2 + α α∗ − |α|2 ).
(1.30)
π

2
2
Điều này cho thấy rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo thành
hệ đủ.
Tính chất 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái tương ứng với độ bất
định nhỏ nhất, được suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg
ˆ 2 ) (∆Pˆ 2 ) = 1 .
(1.31)
(∆X
16
Để chứng minh trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định cực tiểu,
chúng tôi đưa vào hai đại lượng X, P không thứ nguyên và được biểu
ˆ và Pˆ được định nghĩa
diễn thông qua hai toán tử tương ứng là X
i †
ˆ = 1 (ˆ
X
a† + a
ˆ), Pˆ = (ˆ
a −a
ˆ).
(1.32)
2
2
ˆ và Pˆ là các toán tử Hermite nên chúng tương ứng với các
Mặt khác, X
đại lượng vật lý đo được. Do đó, phương sai của mỗi đại lượng là .
ˆ
Phương sai của X
2


ˆ |α = α|X
ˆ 2 |α − ( α|X|α
ˆ )2
α|(∆X)
2
1
a† + a
ˆ) |α − 41 (
4 α|(ˆ
= 41 (α∗2 + α2 + 2|α|2 +
= 14 .

=

18

α|(ˆ
a† + a
ˆ)|α )2
1) − 14 (α∗2 + α2 + 2αα∗ )


Phương sai của Pˆ
2

α|(∆Pˆ ) |α = α|Pˆ 2 |α − ( α|Pˆ |α )2 = 41 .
Vậy
2


2

ˆ |α α|(∆Pˆ ) |α =
α|(∆X)

1
.
16

(1.33)

Đây là giá trị nhỏ nhất tương ứng với hệ thức bất định Heisenberg. Do
đó, các trạng thái kết hợp là trạng thái cho phép thực hiện các phép đo
ˆ và Pˆ với sai số nhỏ nhất.
đồng thời hai toán tử X
Hệ thức (1.33) gọi là giới hạn lượng tử chuẩn. Đây cũng chính là tính
chất quan trọng nhất của trạng thái kết hợp.
1.1.3.

Trạng thái kết hợp thêm photon
Vào năm 1991, Agarwal và Tara [10] đã đưa ra được định nghĩa

được trạng thái kết hợp thêm photon. Trạng thái kết hợp thêm photon
là trung gian giữa trạng thái Fock và trạng thái kết hợp. Với trạng thái
kết hợp |α , trạng thái kết hợp thêm photon được định nghĩa như sau
a
ˆ†m |α

|α, m =


α|ˆ
am a
ˆ†m |α

,

(1.34)

với m là số nguyên không âm. Trong đó
m
m †m

α|ˆ
a a
ˆ |α =
k=0

(m!)2
2(m−p)
= Lm (−|α|2 )m!,
2 |α|
[(m − p)!] p!

với

m

Lm (x) =
n=0


(−x)n m!
(n!)2 (m − n)!

là đa thức Laguerre bậc m theo x. Hay ta có thể viết lại
|α, m =

a
ˆ†m |α
[m!Lm (−|α|2 )]1/2
19

.


Trường hợp m = 1 thì (1.34) trở thành
a
ˆ† |α

|α, 1 =

α|ˆ
aa
ˆ† |α

=

|α, 1
1 + |α|2

.


Trạng thái |α, m được biểu diễn dưới dạng trạng thái Fock là
2

|α, m =

1.2.

∞

exp(− |α|2 )
[m!Lm (−|α|2 )]1/2

n=0

αn (n + m)!
|n + m .
n!

(1.35)

Trạng thái nén
Các tính chất toán học của các trạng thái nén đã được Stoler

[31] khảo sát vào năm 1970 và đến năm 1979 được Hollenhorst [20] đặt
tên. Sau đó, nó đã được khẳng định bằng thực nghiệm vào năm 1987.
ˆ theo thứ tự lần
Từ hệ thức bất định Heisenberg với hai toán tử Aˆ và B
lượt biểu diễn cho hai đại lượng vật lý A và B. Theo cơ học lượng tử
ˆ

nếu hai đại lượng này không đo được đồng thời thì hai toán tử Aˆ và B
không giao hoán với nhau, nghĩa là
ˆ B]
ˆ = AˆB
ˆ −B
ˆ Aˆ = C.
ˆ
[A,

(1.36)

Với trường hợp này, ta có được hệ thức bất định trong trạng thái bất kỳ
|ϕ của hệ
2

ˆ
(∆A)

2

ˆ
(∆B)

1 ˆ ˆ 2 | Cˆ 2 |
≥ | [A,
B] | =
.
4
4


(1.37)

Trong đó, đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của giá trị đo
được A quanh giá trị trung bình lượng tử Aˆ của đại lượng A là phương
2

ˆ
sai (∆A)

được định nghĩa
2

ˆ
(∆A)

2
= (Aˆ − Aˆ ) = Aˆ2 − Aˆ 2 .

ˆ và B
ˆ = Pˆ thì
Nếu chúng ta cụ thể hóa cho Aˆ = X,

20

(1.38)


ˆ Pˆ ]
Cˆ = [X,
= [ 21 (ˆ

a† + a
ˆ), 2i (ˆ
a† − a
ˆ)]
=

i
4
i
2.

[ˆ
a† , a
ˆ† ] − [ˆ
a† , a
ˆ] + [ˆ
a, a
ˆ† ] − [ˆ
a, a
ˆ]

=
Đối với các trạng thái Fock |n ta có
ˆ 2 |n = n| (X)
ˆ 2 |n − n| X
ˆ |n
n| (∆X)
=

1

4

2

n| (ˆ
a† + a
ˆ) |n −

1
4

2

n|(ˆ
a† + a
ˆ)|n

2

= 41 ( n| a
ˆ†2 |n + n| a
ˆ2 |n + n| a
ˆ† a
ˆ |n
+ n| a
ˆa
ˆ† |n ) − 41 ( n| a
ˆ† |n + n| a
ˆ |n )2
= 41 (2n + 1).

Tương tự ta có
2
2
n| (∆Pˆ ) |n = n| (Pˆ ) |n − n| Pˆ |n
2

= − 41 n| (ˆ
a† − a
ˆ) |n +

1
4

n|(ˆ
a† − a
ˆ)|n

2
2

ˆ†2 |n + n| a
ˆ2 |n − n| a
ˆ† a
ˆ |n
= − 41 ( n| a
ˆ† |n − n| a
ˆ |n )2
− n| a
ˆa
ˆ† |n ) + 41 ( n| a

= 41 (2n + 1).
Vậy ta được
2
2
1
| Cˆ |
1
2
2
ˆ
(∆X) (∆P ) = (2n + 1) ≥
=
.
16
16
4

(1.39)

Đối với trạng thái kết hợp ta có
ˆ 2 |α = α| (∆Pˆ )2 |α = 1 ,
α| (∆X)
4

(1.40)

hay
ˆ |2
1
|

C
ˆ |α α| (∆Pˆ ) |α =
α| (∆X)
=
.
(1.41)
16
4
Từ (1.39) và (1.41) ta thấy rằng nếu ở trạng thái kích thích các trạng
2

2

thái Fock luôn thể hiện dấu lớn hơn trong hệ thức bất định Heisenberg
21


hay thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg.
Đối với trạng thái kết hợp |α thì dấu bằng của hệ thức bất định Heisenberg ở (1.42) xảy ra và các phương sai của toán tử biên độ trực giao
ˆ 2 = (∆B)
ˆ 2 = 1/4. Do đó, các trạng thái kết hợp
bằng nhau (∆A)
còn được gọi là trạng thái ứng với độ bất định tối thiểu. Bên cạnh đó,
hệ thức bất định Heisenberg chỉ áp đặt sự bất định lên tích của các
ˆ 2 (∆B)
ˆ 2 . Nếu một trong hai thăng giáng là rất bé
thăng giáng (∆A)
và thăng giáng còn lại trở nên lớn hơn thì hệ thức này hoàn toàn không
vi phạm. Về mặt toán học, một trạng thái gọi là trạng thái nén với đại
lượng A nếu thỏa mãn

2
| Cˆ |
ˆ
.
(∆A) <
2

Giá trị tương ứng với độ bất định

| Cˆ |
2

(1.42)

ứng với giới hạn lượng tử chuẩn.

Vậy nên, một trạng thái có một thăng giáng lượng tử nhỏ hơn giới hạn
lượng tử chuẩn thì trạng thái đó được gọi là trạng thái nén. Đối với
trường hợp đặc biệt, nếu trạng thái nào mà các thăng giáng lượng tử
bằng giới hạn lượng tử chuẩn thì trạng thái đó có thể coi là trạng thái
nén lý tưởng.

1.3.

Một số tính chất phi cổ điển

1.3.1.

Tính chất nén tổng
Nén tổng được hiểu đơn giản là hiện tượng hai photon ở hai


mode a và b có tần số lần lượt là ωa , ωb (ωa = ωb ), kết hợp thành một
photon có tần số ωc = ωa + ωb . Toán tửu nén tổng được định nghĩa như
sau:
1
Vˆφ = (eiφ a
ˆ†ˆb† + e−iφ a
ˆˆb),
2
22

(1.43)