BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THÚY

KHẢO SÁT ĐỘ LINH ĐỘNG CỦA
ĐIỆN TỬ TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ
InAs/GaAs

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số

: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG ỨNG DỤNG

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. ĐINH NHƯ THẢO

Huế, Năm 2017

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ

một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 6 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thúy

ii


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giáo PGS. TS.
Đinh Như Thảo, người thầy với sự quan tâm thường xuyên và tận
tụy, và với tấm lòng nhiệt tình, đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập,
nghiên cứu, hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong Khoa Vật Lý và
Phòng Đào tạo Sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế;
các Thầy Cô trong Khoa Vật Lý Trường Đại học Khoa Học - Đại học
Huế; các bạn học viên cao học khóa 24 cùng gia đình và bạn bè đã động
viên, góp ý và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận
văn.
Huế, tháng 6 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thúy

iii


MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Danh sách các bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7


NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Chương 1. CƠ SỞ LÍ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1. Tổng quan về cấu trúc thấp chiều . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2. Tổng quan về giếng lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.1. Giếng lượng tử vuông góc sâu vô hạn . . . . . . . .

14

1.2.2. Giếng lượng tử vuông góc sâu hữu hạn . . . . . . .

16

1.2.3. Giếng lượng tử thế parabol . . . . . . . . . . . . . .

19

1.2.4. Giếng lượng tử tam giác . . . . . . . . . . . . . . . .


20

1.3. Tổng quan về vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.1. Các đặc trưng của của GaAs . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.2. Các đặc trưng của của InAs . . . . . . . . . . . . . .

23

1.3.3. Các thông số của bán dẫn thấp chiều InAs/GaAs . .

24

1.4. Các đặc trưng của khí điện tử hai chiều . . . . . . . . . .

25

1.4.1. Điện tử trong trường tuần hoàn của tinh thể . . . .

25

1.4.2. Đặc trưng của khí điện tử hai chiều . . . . . . . . .

28


1.4.3. Giải phương trình Schrodinger bằng phương pháp
biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.4.4. Đặc trưng của khí điện tử hai chiều . . . . . . . . .

32

1


Chương 2. ĐỘ LINH ĐỘNG CỦA ĐIỆN TỬ TRONG
GIẾNG LƯỢNG TỬ InAs/GaAs . . . . . . . . . . .

34

2.1. Sự phân bố của trong dị cấu trúc điều biến phân cực . . .

34

2.1.1. Hàm sóng biến phân trong dị cấu trúc ứng với rào
thế hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.1.2. Hàm sóng biến phân trong dị cấu trúc ứng với rào
thế hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35


2.1.3. Năng lượng toàn phần của điện tử trong vùng con
thấp nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2. Độ linh động của điện tử ở nhiệt độ thấp trong dị cấu trúc
pha tạp điều biến InAs/GaAs . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.2.1. Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.2.2. Hàm tự tương quan cho các cơ chế tán xạ trong dị
cấu trúc pha tạp điều biến phân cực . . . . . . . . .

43

2.2.3. Mất trật tự do hợp kim (AD) . . . . . . . . . . . . .

43

2.2.4. Độ nhám gây nên bởi bề mặt phân cực . . . . . . .

44

2.2.5. Độ linh động của điện tử ở nhiệt độ thấp . . . . . .


46

Chương 3. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN . .

47

3.1. Hàm sóng trong giếng lượng tử tam giác
InAs/GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.2. Độ linh động của điện tử trong giếng lượng tử tam giác
InAs/GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.2.1. Sự phụ thuộc của độ linh động của điện tử vào mật
độ điện tích phân cực trên mặt chuyển tiếp. . . . . .

51

3.2.2. Sự phụ thuộc của độ linh động của điện tử vào mật
độ lá của điện tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.2.3. Sự phụ thuộc của độ linh động của điện tử vào mật
độ tạp chất cho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2


52


3.2.4. Sự phụ thuộc của độ linh động của điện tử vào bề
dày lớp đệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1

3


DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ
Trang

Đồ thị 1.1 Minh họa giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn.

15

Đồ thị 1.2 Biểu diễn hàm sóng của hạt trong giếng lượng tử
vuông góc sâu vô hạn. . . . . . . . . . . . . . . . .


15

Đồ thị 1.3 Minh họa giếng lượng tử thế vuông góc sâu hữu hạn. 16
Đồ thị 1.4 Biểu diễn các giá trị tương ứng với ba mức năng
lượng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Đồ thị 1.5 Minh họa hàm sóng của hạt trong giếng lượng tử
vuông góc sâu hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . .

18

Đồ thị 1.6 Minh họa giếng thế parabol. . . . . . . . . . . . . .

19

Đồ thị 1.7 Minh họa hàm sóng của hạt trong giếng lượng tử
thế parabol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Đồ thị 1.8 Minh họa giếng lượng tử thế tam giác. . . . . . . .

21

Đồ thị 1.9 Minh họa hàm sóng của hạt trong giếng lượng tử
thế tam giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


22

Đồ thị 1.10 Quy luật tán sắc của điện tử trong chân không. . .

26

Đồ thị 1.11 Quy luật tán sắc của điện tử trong tinh thể. . . . .

27

Đồ thị 3.1 Hàm sóng ζ(z) trong giếng lượng tử tam giác InAs/GaAs
ứng với các giá trị σ/x khác nhau. σ/x dùng trong
đơn vị 1017 m−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Đồ thị 3.2 Hàm sóng ζ(z) trong giếng lượng tử tam giác InAs/GaAs
ứng với các giá trị Ni khác nhau. . . . . . . . . . .

50

Đồ thị 3.3 Biểu diễn sự phụ thuộc của độ linh động của điện
tử vào mật độ điện tích phân cực trên mặt chuyển
o

tiếp σ(x) ứng với Ls = 70 A, ns = 0.5 ∗ 1017 m−2 ,
Ni = 50 ∗ 1023 m−3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4


51


Đồ thị 3.4 Biểu diễn sự phụ thuộc của độ linh động của điện
o

tử vào mật độ lá của điện tử ns ứng với Ls = 70 A,
σ/x = 1 ∗ 1017 m−2 , Ni = 50 ∗ 1023 m−3 . . . . . . .

52

Đồ thị 3.5 Biểu diễn sự phụ thuộc của độ linh động của điện
o

tử vào mật độ tạp chất cho nI ứng với Ls = 70 A,
ns = 0.5 ∗ 1017 m−2 , σ/x = 1 ∗ 1017 m−2 . . . . . . .

53

Đồ thị 3.6 Biểu diễn sự phụ thuộc của độ linh động của điện tử
vào bề dày lớp đệm Ls ứng với Ni = 50 ∗ 1023 m−3 ,
ns = 0.5 ∗ 1017 m−2 , σ/x = 1 ∗ 1017 m−2 . . . . . . .

5

54


DANH SÁCH CÁC BẢNG
Trang


Bảng 1.1 Tóm tắt ba kiểu cơ bản của cấu trúc giam giữ lượng tử. 13
Bảng 1.2 Các thông số của vật liệu bán dẫn GaAs ở nhiệt độ
300 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Bảng 1.3 Các thông số của vật liệu bán dẫn InAs ở nhiệt độ
300 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Bảng 3.1 Các hằng số vật lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

6


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của khoa
học công nghệ, con người đã tìm ra được nhiều loại vật liệu mới, có tính
năng vượt trội ứng dụng vào sản xuất và đời sống. Cùng với các ngành
khoa học khác, vật lý hiện đại cũng có bước phát triển vượt trội, nhất
là vật lý chất rắn. Nhiều loại chất bán dẫn được ứng dụng để sản xuất
ra các linh kiện điện tử cỡ nanomet đáp ứng nhiều yêu cầu khác nhau
trong khoa học và thực tiễn cuộc sống như tốc độ xử lí thông tin, truyền
tin, truyền thông, các diode phát quang (LED). Việc sử dụng chất bán
dẫn so với các nguyên liệu cũ có ưu điểm là tăng tốc độ, giảm kích thước

linh kiện và tiết kiệm năng lượng. Chính vì những ưu điểm này mà hiện
nay trên thế giới các nhà khoa học đang ra sức nghiên cứu các loại vật
liệu bán dẫn có tốc độ cao, tạo cơ sở cho ngành công nghiệp điện tử cũng
như các ngành khoa học, kỹ thuật và công nghệ khác phát triển [1].
Trong vật liệu bán dẫn, tùy theo điện tử và lỗ trống bị giam giữ
theo một chiều hay nhiều chiều mà ta có các cấu trúc bán dẫn thấp chiều
[3]. Cụ thể là, cấu trúc không chiều (chấm lượng tử), cấu trúc một chiều
(dây lượng tử), cấu trúc hai chiều (giếng lượng tử). Nghiên cứu cấu trúc
cũng như các hiện tượng vật lý cho thấy cấu trúc bán dẫn thấp chiều đã
làm thay đổi đáng kể nhiều đặc tính của vật liệu. Đồng thời, cấu trúc
thấp chiều làm xuất hiện nhiều đặc tính mới ưu việt hơn mà các hệ điện
tử chuẩn ba chiều không có như tiêu tốn ít năng lượng, tốc độ hoạt động
nhanh, kích thước nhỏ, khả năng lưu trữ lớn, là cơ sở của sự phát triển
mạnh mẽ các thiết bị điện tử hiện đại thế hệ mới siêu nhỏ, thông minh
và đa năng như hiện nay. Với những tính năng ưu việt của nó, cấu trúc
7


thấp chiều hiện đang thu hút sự nghiên cứu của các nhà khoa học cả về
lý thuyết và thực nghiệm.
Ở đây, chúng tôi quan tâm đến bán dẫn giếng lượng tử. Giếng lượng
tử là một trong các hệ thấp chiều đang được quan tâm nhiều vì phổ năng
lượng (các mức năng lượng) của nó gián đoạn và có thể thay đổi được
khi thay đổi độ rộng của lớp bán dẫn. Giếng lượng tử là cấu trúc trong
đó một lớp mỏng chất bán dẫn này được đặt giữa hai lớp bán dẫn khác.
Nếu lớp bán dẫn (lớp có độ rộng vùng cấm nhỏ) có độ dày đủ mỏng,
hạt dẫn chuyển động vuông góc với mặt tiếp giáp của hai bán dẫn thì
bị lượng tử hóa, tức các mức năng lượng bị gián đoạn. Chuyển động
của hạt trong giếng lượng tử là chuyển động hai chiều (hai chiều tự do).
Giếng lượng tử mà chúng tôi xét ở đây là cấu trúc giếng với hai vật liệu

(vật liệu làm rào và vật liệu làm giếng) [3]. Có nhiều loại giếng lượng
tử như giếng lượng tử vuông góc, giếng lượng tử tam giác, giếng lượng
tử Parabol. Trong cấu trúc khí điện tử hai chiều, chuyển động của hạt
dẫn theo phương x và y là chuyển động tự do, còn chuyển động dọc theo
phương z bị giới hạn trong một vùng không gian hẹp. Như vậy hạt tải
điện tự do trong cấu trúc này sẽ thể hiện tính chất giống như một hạt
chuyển động trong giếng thế [4].
Trong các loại chất bán truyền thống, InAs là một trong trong
những chất bán dẫn hợp chất phổ biến hơn cả. InAs được quan tâm
nghiên cứu của các nhà khoa học bởi các nguyên nhân sau: InAs thuộc
bán dẫn hợp chất AIII B V , có bề rộng vùng cấm rộng 0,354 eV và thuộc
loại vùng cấm thẳng, đó là những đặc tính đặc biệt của vật liệu. InAs có
tiềm năng ứng dụng quan trọng trong việc chế tạo các linh kiện quang
điện tử hoạt động trong vùng hồng ngoại, như một số điốt, transistor
hiệu ứng trường (FET), và các mạch tích hợp (IC). Những ứng dụng đòi
hỏi năng lượng và tốc độ cao, thành phần InAs là hữu ích ở tần số radio
8


siêu cao và trong các ứng dụng chuyển mạch điện tử nhanh. Lợi ích của
việc sử dụng InAs trong thiết bị này là nó tạo ra ít tiếng ồn hơn so với
hầu hết các loại linh kiện bán dẫn và, kết quả là, rất hữu ích trong các
ứng dụng khuếch đại tín hiệu yếu. Hơn nữa, InAs được sử dụng trong
sản xuất các điốt phát sáng (LED), được tìm thấy trong truyền thông
quang học và hệ thống điều khiển. Do những lợi ích này, InAs là một sự
thay thế thích hợp cho silicon trong sản xuất IC tuyến tính và kỹ thuật
số. InAs là vật liệu quan trọng nhất trong kĩ thuật điện tử - truyền thông
hiện đại. Khi cấu trúc mới được hình thành, các tính chất vật lý của
chúng cần được khảo sát. Với cấu trúc giếng lượng tử, một trong những
tính chất vật lý quan trọng được xem là đặc trưng cho phẩm chất linh

kiện là độ linh động hệ điện tử hình thành trong giếng. Độ linh động của
hệ điện tử càng cao thì linh kiện hoạt động dựa trên hệ điện tử này có
phẩm chất càng tốt. Đặc biệt, trong InAs điện tử có tính linh động rất
cao. Vì vậy đưa ra cấu tạo của giếng lượng tử InAs/GaAs là rất quan
trọng trong kỹ thuật.
Gần đây, ở nước ta cũng đã có một số nghiên cứu về lĩnh vực này.
Năm 2010, tác giả Nguyễn Thành Tiên [8] đã nghiên cứu về vận chuyển
điện tử trong các cấu trúc dị chất đơn cấu tạo từ các vật liệu Wurtzite.
Trong luận án này tác giả đã tính được các thế giam giữ trong giếng
lượng tử bề mặt, giải thích được độ linh động của khí điện tử hai chiều
trong giếng lượng tử bề mặt ứng với vật liệu ZnO. Năm 2011, trong luận
văn Thạc sĩ của mình, các tác giả Hoàng Lĩnh [6] và Hồ Thanh Hồng
[5] đã tiến hành nghiên cứu độ linh động của điện tử ứng với cơ chế tán
xạ nhám bề mặt trong dị cấu trúc bán dẫn. Các tác giả đã khảo sát các
nguyên nhân gây nên tán xạ: tán xạ do bề mặt nhám, bề mặt nhám phân
cực ảnh hưởng đến độ linh động của điện tử. Năm 2012, tác giả Võ Hữu
Cầu [2] đã nghiên cứu về độ linh động của khí điện tử hai chiều trong
9


cấu trúc dị chất phân cực điện, khảo sát cho vật liệu MgZnO/ZnO. Luận
văn này đã đưa ra được biểu thức giải tích của thế giam giữ bởi các điện
tích phân cực bề mặt trong cấu trúc dị chất MgZnO/ZnO, giải thích
được sự phụ thuộc của độ linh động của điện tử vào hàm lượng hợp kim
và nồng độ điện tích bề mặt. Năm 2014, tác giả Nguyễn Thị Nhơn [7] đã
nghiên cứu đề tài khảo sát độ linh động trong giếng lượng tử tam giác
GaAs/AlGaAs. Luận văn này đã tiến hành khảo sát độ linh động của
điện tử trong giếng lượng tử tam giác tính ảnh hưởng của một số nguồn
giam giữ như: thế của hàng rào thế, thế gây nên bởi điện tích phân cực
trên mặt chuyển tiếp và thế Hartree gây nên bởi các ion tạp chất và khí

điện tử hai chiều. Ngoài ra còn có nhiều công trình nghiên cứu khác về
lĩnh vực này với các vật liệu khác nhau. Bán dẫn InAs/GaAs cũng là
một vật liệu bán dẫn phân cực điện có vai trò quan trong trong lĩnh vực
này. Đây là một vật liệu bán dẫn vẫn chưa được nghiên cứu nhiều, đặc
biệt là về độ linh động của điện tử trong cấu trúc vật liệu.
Như vậy, dù đã có một số công trình nghiên cứu về độ linh động của
điện tử nhưng qua khảo sát chúng tôi thấy chưa có công trình nào nghiên
cứu về độ linh động của điện tử trong giếng lượng tử InAs/GaAs. Do đó,
việc sử dụng các phương pháp cơ học để nghiên cứu độ linh động của
điện tử trong giếng lượng tử InAs/GaAs là thiết thực. Vì vậy tôi chọn
đề tài "Khảo sát độ linh động của điện tử trong giếng lượng
tử InAs/GaAs" làm đề tài Luận văn Thạc sĩ.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Khảo sát độ linh động của điện tử trong giếng lượng tử tam giác
InAs/GaAs có tính đến ảnh hưởng của một số nguồn giam giữ cụ thể:
mật độ điện tích phân cực trên mặt chuyển tiếp và mật độ lá điện tử,
bằng phương pháp cơ học lượng tử.
10


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Tìm hiểu các tính chất của vật liệu InAs/GaAs;
+ Khảo sát cấu hình giếng lượng tử;
+ Tổng quan về cấu trúc thấp chiều;
+ Nghiên cứu lý thuyết về độ linh động trong giếng lượng tử
InAs/GaAs có tính đến ảnh hưởng một số nguồn giam giữ cụ thể;
+ Lập trình tính toán và vẽ đồ thị;
+ So sánh kết quả nghiên cứu với thực nghiệm.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu độ linh động của điện tử trong giếng lượng tử InAs/GaAs

dựa trên cơ chế tán xạ nhám bề mặt phân cực trong dị cấu trúc bán
dẫn, có tính đến ảnh hưởng của một số các nguồn giam giữ có thể.
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Nghiên cứu lý thuyết dựa trên lý thuyết Cơ học lượng tử;
+ Sử dụng chương trình Mathematica để tính số và vẽ đồ thị.
6. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục, tài liệu tham khảo, Luận văn gồm ba phần:
mở đầu, nội dung và kết luận.
- Phần mở đầu: Trình bày về lí do chọn đề tài, mục tiêu nghiên
cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên
cứu của đề tài.
- Phần nội dung: Bao gồm ba chương:
Chương 1: Cơ sở lí thuyết;
Chương 2: Độ linh động của điện tử trong giếng lượng tử
11


InAs/GaAs;
Chương 3: Kết quả tính số và thảo luận.
- Phần kết luận: Trình bày các kết quả đạt được của luận văn và
đề xuất hướng m��



z + (z + z )/2,
d
s
−zd

VI =

−∞

ζ1∗ VI ζ1 dz +

−zs
−zd

z < −zd ,
−zd < z < −zs . (P.73)
z > −zs .
0

ζ1∗ VI ζ1 dz +

−zs

+∞

ζ1∗ VI ζ1 dz +

ζ2∗ VI ζ2 dz
0

= I7 + I8 + I9 + I10 ,

(P.74)

trong đó
−zd


I7 =
−∞

ζ1∗ VI ζ1 dz

2

−zd

= EI A κ
−∞

P.13

eκz dz = EI A2 e−κzd ,

(P.75)


I8 =

−zs ∗
−zd ζ1 VI ζ1 dz

4πe2 nI A2 κ −zs
= EI
+
(z + zd )2 eκz dz
−z
d

εa 2Ld
= EI A2 (e−κzs − e−κzd )
4πe2 nI A2 κ
−zs 2 κz
−z
−z
+
z e dz + 2zd −zds zeκz dz + zd2 −zds eκz dz
−z
d
εa 2Ld
4πe2 nI A2 κ 1 2 −κzs
2 −κzs
−κzd
(zs e
− zd2 e−κzd
= EI A (e
−e
)+
εa 2Ld κ
2 1
1
−
(−zs e−κzs + zd e−κzd ) − 2 (e−κzs − e−κzd ) + 2zd
κ κ
κ
1
1
1
× (−zs e−κzs + zd e−κzd ) − 2 (e−κzs − e−κzd ) + (e−κzs − e−κzd )

κ
κ
κ
2
2
4πe nI A κ
2zs
2
= EI A2 (e−κzs − e−κzd ) +
zs2 +
+ 2 − 2zd zs
εa 2Ld
κ
κ
2zd
2
2zd
2zd
+ zd2 e−κzs + −zd2 −
− 2 + 2zd2 +
− zd2 e−κzd
−
κ
κ
κ
κ
2
2
2
4πe nI A κ

zs2 + 2zκs + 2 − 2zd zs
= EI A2 (e−κzs − e−κzd ) +
εa 2Ld
κ
2
2zd
+ zd2 e−κzs − 2 e−κzd ,
−
κ
κ
(P.76)
−zs ∗
−zd ζ1 ζ1 dz

0

4πe2 nI 0
zd + zs
+
I9 = EI
z+
A2 κeκz dz
εa
2
−zs
−zs
0
4πe2 nI 2
zd + zs 0 κz
2

−κzs
κz
= EI A (1 − e
)+
Aκ
ze dz +
e dz
εa
2
−zs
−zs
4πe2 nI 2 1 −κzs
1
2
−κzs
= EI A (1 − e
)+
A κ zs e
− 2 (1 − e−κzs )
εa
κ
κ
zd + zs 1
+
(1 − e−κzs )
2 κ
4πe2 nI 2
1 zd + zs −κzs
2
−κzs

= EI A (1 − e
)+
A [ zs + −
e
εa
κ
2
1 zd + zs
− +
],
(P.77)
κ
2
ζ1∗ ζ1 dz

P.14


I10 =

+∞ ∗
ζ2 VI ζ2 dz
0

zd + zs
4πe2 nI +∞
z
+
ζ2∗ ζ2 dz
= EI

+
0
εa
2
zd + zs +∞ ∗
4πe2 nI
+∞
2
2
∗
ζ
dz
+
ζ2 ζ2 dz
= EI B (2 + 2c + c ) +
zζ
2
2
0
0
εa
2
4πe2 nI
+∞
= EI B 2 (2 + 2c + c2 ) +
B 2 k 3 0 z 3 e−kz dz
εa
+∞ 2 −kz
+∞
2 2

+2B k c 0 z e dz + B 2 kc2 0 ze−kz dz + B 2 (2 + 2c + c2 )
4πe2 nI zd +zs
6B 2 4cB 2 c2 B 2
2
2
= EI (1 − A ) +
2 (1 − A ) + k
k + k
εa
4πe2 nI zd + zs
B2 2
2
2
= EI (1 − A ) +
(1 − A ) +
(c + 4c + 6) .
εa
2
k
(P.78)
+∞ ∗
ζ2 ζ2 dz
0

Vậy:
VI

= I7 + I8 + I9 + I10
4πe2 nI A2
2zs

2
2zd
(zs2 +
+ 2 − 2zd zs −
+ zd2
= EI +
εa
2Ld
κ
κ
κ
2Ld
2 −κzd
A2
−κzs
+2Ld zs +
− Ld (zd +zs ))e
− 2e
−
κ
κ
κ
2
2
2
zd + zs A
B 2
A
−
(zd +zs ) +

(c +4c + 6)
+ (zd +zs )+
2
2
2
k
1
4πe2 nI
A2
1 2 2
= EI +
κ zs + κzs + 1 − κzd κzs − κzd + κ2 z2d
2
εa
κ Ld
2
2
1
+κLd κzs +κLd − κLd (κzd +κzs ) e−κzs − e−κzd − κLd ]
2
2
κzd + κzs B
+
+
c2 + 4c + 6
2κ
k
Để ý rằng:
zs = Ls ,
zd = Ld + Ls ,

d = κ(Ld + Ls ) = κzd ,
s = κLs = κzs ,

P.15


ta suy ra
VI

4πe2 nI
=EI +
εa

1
A2
1 2
s + s + 1 − ds − d + d2
κ(d − s)
2
2
1
+(d − s)s + d − s − (d − s)(d + s) e−s − e−d − d + s
2
2
d+s B 2
+
+
(c + 4c + 6)
2κ
k

4πe2 nI d + s
A2
= EI +
+
e−s − e−d − d + s
εa
2κ
κ(d − s)
B2 2
(c + 4c + 6) .
(P.79)
+
k

Ta định nghĩa một hàm hỗ trợ:
n

χn (x) = 1 − e

−x
l=0

xl
.
l!

(P.80)

Ứng với n = 0, n = 1, n = 3, ta có:
χ0 (x) = 1 − e−x

χ1 (x) = 1 − e−x (1 + x)
χ2 (x) = 1 − e

−x

x2
1+x+
2

.

(P.81)

d+s
A2
+
[χ2 (d) − χ2 (s) − dχ1 (d) + sχ1 (s)
2κ
κ(d − s)
d2
s2
B2 2
(c + 4c + 6) ,
(P.82)
+ [χ0 (d) − 1] − [χ0 (s) − 1]] +
2
2
k

VI =EI +


4πe2 nI
εa

Phụ lục 9
Thế trung bình của khí điện tử hai chiều Vs
Ta có


4πe2 ns f (z)
Vs (z) = −
εa 
g(z) + z + f (0) − g(0)
P.16

z < 0,
z > 0.

(P.83)


trong đó
A2 κz
e ,
f (z) =
κ

(P.84)

và

B 2 −kz 2 2
g(z) = e
k z + 2k(c + 2)z + c2 + 4c + 6 .
k
* Tính Vs

(P.85)

+∞

ζ ∗ (z)Vs ζ(z)dz

Vs =
−∞

4πe2 ns
=−
εa

0
−∞

ζ1∗ (z)f (z)ζ1 (z)dz

+∞

ζ2∗ (z) [g(z) + z + f (0) − g(0)] ζ2 (z)dz} .

+
0


= G1 + G2 .

(P.86)

Với
0

0

G1 =
−∞

ζ1∗ (z)f (z)ζ1 (z)dz

=A

4

2κz

e
−∞

A4
dz =
.
2κ

(P.87)


+∞

ζ2∗ (z) [g(z) + z + f (0) − g(0)] ζ2 (z)dz

G2 =
0
+∞

+∞

ζ2∗ (z)g(z)ζ2 (z)dz

=
0

ζ2∗ (z)zζ2 (z)dz

+
0

+∞

ζ2∗ (z)ζ2 (z)dz

+ [f (0) − g(0)]
0

= SH1 + SH2 + SH3,
trong đó

+∞

ζ2∗ (z)g(z)ζ2 (z)dz

SH1 =
0

+∞

z 2 e−2kz k 2 z 2 + 2k(c + 2)z + c2 + 4c + 6 dz

2 2

=B k

0
+∞

ze−2kz k 2 z 2 + 2k(c + 2)z + c2 + 4c + 6 dz

2

+ 2B kc
0
+∞

e−2kz k 2 z 2 + 2k(c + 2)z + c2 + 4c + 6 dz

+ B 2c
0


P.17

(P.88)


+∞

+∞
4 −2kz

4 4

=B k

z e

z 3 e−2kz dz

4 3

dz + 2B k (c + 2)

0

0
+∞

4 2


+∞
2 −2kz

2

+ B k (c + 4c + 6)

z e

dz + 2B k c

0
+∞

0
+∞
2 −2kz

4 2

+ 4B k c(c + 2)

z 3 e−2kz dz

4 3

z e

4


dz + 2B kc(c + 4c + 6)

0

0

+∞

+∞

z 2 e−2kz dz + 2B 4 kc2 (c + 2)

+ B 4 k 2 c2

ze−2kz dz

2

0

ze−2kz dz
0

+∞

e−2kz dz

+ B 4 c2 (c2 + 4c + 6)
0


4!
3!
3!
4 3
4 2 2
5 + 2B k (c + 2)
4 + B k (c + 4c + 6)
(2k)
(2k)
(2k)3
2
1
3!
4 2
4
2
+
4B
k
c(c
+
2)
+
2B
kc(c
+
4c
+
6)
+ 2B 4 k 3 c

(2k)4
(2k)3
(2k)2
1
1
2
4 2
4 2 2
+ B 4 k 2 c2
+
2B
kc
(c
+
2)
+
B
c
(c
+
4c
+
6)
2k
(2k)3
(2k)2
B4 4
=
(2c + 12c3 + 30c2 + 30c + 15),
(P.89)

4k
= B 4k4

+∞

ζ2∗ (z)zζ2 (z)dz

SH2 =
0

+∞

+∞
3 −kz

2 3

=B k

z e

dz + 2B k c

0

+∞
2 −kz

2 2


z e
0

6
2
1
= B 2 k 3 4 + 2B 2 k 2 c 3 + B 2 kc2 2
k
k
k
2
B 2
=
(c + 4c + 6),
k

2

dz + B kc

ze−kz dz

2
0

(P.90)

+∞

ζ2∗ (z)ζ2 (z)dz


SH3 = [f (0) − g(0)]
0

= [f (0) − g(0)] B 2 (c2 + 2c + 2)
A2 B 2 2
−
(c + 4c + 6) B 2 (c2 + 2c + 2)
κ
k
2
A 2 2
B4 4
=
B (c + 2c + 2) −
(c + 6c3 + 16c2 + 20c + 12)
κ
k
A2
B4 4
2
=
(1 − A ) −
(c + 6c3 + 16c2 + 20c + 12),
(P.91)
κ
k
=

P.18



do đó
B2 2
B4 4
3
2
(2c + 12c + 34c + 50c + 33) +
(c + 4c + 6)
G2 = −
4k
k
A2
+
(1 − A2 ).
(P.92)
κ
Suy ra
Vs

4πe2 ns A4 B 4 4
−
(2c + 12c3 + 34c2 + 50c + 33)
=−
εa
2κ 4k
B2 2
A2
+
(c + 4c + 6) +

(1 − A2 ) .
(P.93)
k
κ

Vậy
Vs

4πe2 ns A2 A4 B 2 2
=−
+
−
(c + 4c + 6)
εa
κ
2κ
k
B4 4
(2c + 12c3 + 34c2 + 50c + 33) .
−
4k

(P.94)

Phụ lục 10
Tính Vσ

2π




eσ,
∂Vσ (z)
ε
a
Vσ =
=
2π

∂z

− eσ
εa
−∞

.

(P.95)

nếu z < 0.

∞

0

Vσ =

nếu z > 0,

ζ1∗ Vσ ζ1 dz+


ζ2∗ Vσ ζ2 dz = G3 + G4 ,

(P.96)

0

trong đó
0

G3 =
−∞

ζ1∗ Vσ ζ1 dz

2π
= − eσA2 κ
εa

∞

ζ2∗ Vσ ζ2 dz =

G4 =
0

0

eκz dz = −
−∞


2π
eσ
εa

P.19

2π
eσA2 ,
εa

(P.97)

∞

ζ2∗ ζ2 dz
0

(P.98)


=

2π
2π
eσB 2 (2 + 2c + c2 ) =
eσ(1 − A2 ).
εa
εa


Vậy
Vσ

2π
4πe2 σ
2
=
eσ(1 − 2A ) =
(1 − 2A2 ).
εa
εa 2e

(P.99)

Phụ lục 11
Tính VI




0,
nếu z < −zd ,



∂VI (z) 4πe2 nI
z + zd
=
VI =
−

, nếu−zd < z < −zs ,
∂z
εa 
L
d




1
nếuz > −zs .
−zs

VI

=
−zd

0

ζ1∗ VI ζ1 dz

+
−zs

= G5 + G6 + G7 ,

(P.100)

+∞


ζ1∗ VI ζ1 dz

ζ2∗ VI ζ2 dz

+
0

(P.101)

trong đó
−zs

G5 =
−zd
2

=
=
=
=
=
=

ζ1∗ VI ζ1 dz

4πe nI A2 κ −zs
(z + zd )eκz dz
εa
Ld −zd

−zs
−zs
2
4πe nI A2 κ
κz
ze dz + zd
eκz dz
εa
Ld
−zd
−zd
2
2
4πe nI A κ 1
1
1 −κzs
(−zs e−κzs + zd e−κzd )+ − + zd
(e
− e−κzd )
εa
Ld κ
κ
κ
4πe2 nI A2 κ
1
1
−zs − + zd e−κzs + zd + − zd e−κzd
εa
Ld
κ

κ
4πe2 nI A2
(−κzs + κzd − 1)e−κzs + e−κzd
εa κLd
4πe2 nI A2
(−s + d − 1)e−s + e−d ,
εa d − s
P.20


0

0
4πe2 nI 2
G6 =
=
Aκ
eκz dz
εa
−zs
−zs
2
2
4πe nI 2
4πe nI 2
=
A (1 − e−κzs ) =
A (1 − e−s ),
εa
εa


ζ1∗ VI ζ1 dz

+∞

ζ2∗ VI ζ2 dz

G7 =
0

4πe2 nI
=
εa

(P.102)

+∞

ζ2∗ ζ2 dz
0

4πe2 nI
4πe nI 2
B (2 + 2c + c2 ) =
(1 − A2 ).
εa
εa

(P.103)


4πe2 nI
A2 −s
2
=
1−A −
(e − e−d + s − d) .
εa
d−s

(P.104)

2

=
Từ đó suy ra
VI
Vậy
VI

=

4πe2 nI
εa

1 − A2 −

A2
[χ1 (d) − χ1 (s) − dχ0 (d) + sχ0 (s)] .
d−s
(P.105)


Phụ lục 12
Tính Vs

Vs



nếu z < 0,
∂Vs (z)
4πe2 ns f (z),
=
=−
∂z
εa 
g (z) + 1, nếu z > 0,

(P.106)

f (z) = A2 eκz ,

(P.107)

với

và
g (z) = −B 2 e−kz k 2 z 2 + 2k(c + 2)z + c2 + 4c + 6
B 2 −kz
+ e
2k 2 z + 2k(c + 2) .

k
P.21

(P.108)


Vs

0
4πe2 ns
=−
ζ1∗ f (z)ζ1 dz +
εa
−∞
2
4πe ns
(G8 + G9 + G10 ),
=−
εa

+∞

+∞

ζ2∗ g

ζ2∗ ζ2 dz

(z)ζ2 dz +


0

0

(P.109)

trong đó
0

0

G8 =
−∞

ζ1∗ f

4

(z)ζ1 dz = A κ

e

2κz

−∞

A4
,
dz =
2


(P.110)

+∞

ζ2∗ g (z)ζ2 dz

G9 =
0

+∞

=−B

4

k

z 4 e−2kz dz + 2k 4 c + 2k 4 (c + 2) − 2k 4

5
0

+∞

z 3 e−2kz dz + [k 3 c2 + 4k 3 c(c + 2) + k 3 (c2 + 4c + 6)

×
0


+∞
3

z 2 e−2kz dz + [2k 2 c2 (c + 2)

3

− 4k c − k (2c + 4)]
0

+∞

ze−2kz dz

+ 2k 2 c(c2 + 4c + 6) − 2k 2 c2 − 2k 2 c(2c + 4)]
0
+∞

e−2kz dz

+ [kc2 (c2 + 4c + 6) − kc2 (2c + 4)]
0

= − B 4 k5

3!
4!
4
4
4

+
[2k
c
+
2k
(c
+
2)
−
2k
]
(2k)5
(2k)4

+[ k 3 c2 + 4k 3 c(c + 2) + k 3 (c2 + 4c + 6) − 4k 3 c − k 3 (2c + 4)]
2
2 2
2
2
2 2
×
3 + [2k c (c + 2) + 2k c(c + 4c + 6) − 2k c
(2k)
1
1
2 2
2
− 2k 2 c(2c + 4)]
+
[kc

(c
+
4c
+
6)
−
kc
(2c
+
4)]
2k
(2k)2
B4 4
=−
(c + 4c3 + 8c2 + 8c + 4) ,
2

(P.111)

+∞

ζ2∗ ζ2 dz = B 2 (c2 + 2c + 2) = 1 − A2 .

G10 =

(P.112)

0

Vậy

Vs

4πe2 ns
A4 B 4 4
2
1−A +
−
(c + 4c3 + 8c2 + 8c + 4) .
=−
εa
2
2
(P.113)
P.22