BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ HUYỀN TRÂM

KHẢO SÁT CẤU HÌNH NHÁM TỪ CƯỜNG ĐỘ
HẤP THỤ TÍCH HỢP TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ
GaAs/AlGaAs

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số

: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG ỨNG DỤNG
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. ĐINH NHƯ THẢO

Huế, năm 2017

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kỳ một công trình nghiên cứu nào khác.

Huế, tháng 5 năm 2017
Tác giả luận văn

Lê Thị Huyền Trâm

ii


LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS. TS. Đinh Như Thảo đã tận tình hướng
dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoa
Vật Lý và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại
học Huế; các bạn học viên Cao học khóa 24 cùng gia đình, bạn bè đã
động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập
và thực hiện luận văn.
Huế, tháng 5 năm 2017
Tác giả luận văn

Lê Thị Huyền Trâm

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Danh sách các bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Danh sách các cụm từ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7


NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 1. Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1. Giới thiệu về vật liệu bán dẫn GaAs/ AlGaAs . . . . . . .

12

1.1.1. Tổng quan về vật liệu bán dẫn GaAs . . . . . . . . .

12

1.1.2. Tổng quan về vật liệu bán dẫn AlGaAs . . . . . . .

14

1.1.3. Các thông số của bán dẫn thấp chiều GaAs/AlGaAs

14

1.2. Các cấu hình của giếng lượng tử . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.1. Giếng thế vuông góc có chiều cao vô hạn . . . . . .


17

1.2.2. Giếng thế vuông góc có chiều cao hữu hạn . . . . .

19

1.2.3. Giếng lượng tử thế parabol . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.4. Giếng lượng tử thế tam giác . . . . . . . . . . . . .

26

1.3. Tổng quan về khí điện tử hai chiều . . . . . . . . . . . . .

28

1.3.1. Đặc điểm khí điện tử hai chiều . . . . . . . . . . . .

28

1.3.2. Các cơ chế tán xạ của khí điện tử hai chiều . . . . .

29

Chương 2. Khảo sát cấu hình nhám từ cường độ hấp
thụ trong giếng lượng tử GaAs/AlGaAs . . . . . . .

32


2.1. Mô hình vật lý của hệ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . .

32

1


2.2. Dạng của các thế giam giữ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.3. Các chế độ giam giữ trong giếng lượng tử bán
dẫn GaAs/AlGaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.4. Cực tiểu hóa năng lượng bằng phương pháp biến phân . .

39

2.5. Độ mở rộng vạch phổ bởi tán xạ nhám bề mặt . . . . . . .

40

Chương 3. Kết quả tính toán và thảo luận . . . . . . . .

42

3.1. Xác định giá trị của chiều dài tương quan Λ . . . . . . . .


43

3.2. Xác định giá trị của biên độ nhám ∆ . . . . . . . . . . . .

44

3.3. So sánh cấu hình nhám khi thay đổi các tham số giếng
lượng tử đối với vật liệu GaAs/AlGaAs . . . . . . . . . . .

45

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2


DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ
Trang

Đồ thị 1.1 Cấu trúc tinh thể GaAs: các đỉnh tứ diện là As và
tâm là Ga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13


Đồ thị 1.2 Cấu trúc tinh thể AlGaAs. . . . . . . . . . . . . .

14

Đồ thị 1.3 Sắp xếp vùng năng lượng trong bán dẫn GaAs/
Alx Ga1−x As. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Đồ thị 1.4 Đáy của vùng dẫn và đỉnh của vùng hóa trị trong
giếng lượng tử GaAs/AlGaAs. . . . . . . . . . . . .

16

Đồ thị 1.5 Sơ đồ thế năng của giếng thế vuông góc có chiều
cao vô hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Đồ thị 1.6 Sơ đồ thế năng của giếng thế vuông góc có chiều
cao hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Đồ thị 1.7 Xác định các giá trị ξ1 , ξ2 , ξ3 ứng với ba mức năng
lượng E1 , E2 , E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22


Đồ thị 1.8 Minh họa giếng lượng tử thế parabol. . . . . . . . .

23

Đồ thị 1.9 Minh họa giếng lượng tử thế tam giác. . . . . . . .

26

Đồ thị 1.10 Minh họa quy luật tán sắc của điện tử trong bán
dẫn thấp chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Đồ thị 2.1 Giếng lượng tử tạo bởi bội tiếp giáp dị chất. . . . .

33

Đồ thị 2.2 Minh họa giếng lượng tử trong chuyển tiếp dị chất
kép AlGaAs/GaAs/AlGaAs. . . . . . . . . . . . . .

33

Đồ thị 3.1 Tỉ số giữa độ rộng vạch phổ Rγ(Λ) = Rγ (L, ns , L , ns , Λ)
trong giếng lượng tử GaAs/AlGaAs với độ rộng
giếng L = 35 ˚
A, L = 100 ˚
A. . . . . . . . . . . . . .

3


44


Đồ thị 3.2 Độ rộng vạch phổ γSR(∆) = γSR(L, ns , ∆, Λ) trong
giếng lượng tử GaAs/AlGaAs với độ rộng giếng L =
35 ˚
A và chiều dài tương quan được lấy từ hình 3.1:
Λ = 90˚
A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Đồ thị 3.3 Tỉ số giữa độ rộng vạch phổ Rγ(Λ) = Rγ (L, ns , L , ns , Λ)
trong giếng lượng tử GaAs/AlGaAs với độ rộng
giếng L = 40 ˚
A, L = 50 ˚
A. . . . . . . . . . . . . .

46

Đồ thị 3.4 Độ rộng vạch phổ γSR(∆) = γSR(L, ns , ∆, Λ) trong
giếng lượng tử GaAs/AlGaAs với độ rộng giếng L =
40 ˚
A và chiều dài tương quan được lấy từ hình 3.3:
Λ = 90˚
A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

46



DANH SÁCH CÁC BẢNG
Trang

Bảng 1.1 Các thông số của GaAs thu được từ thực nghiệm ở
nhiệt độ 300 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Bảng 1.2 Các thông số của Alx Ga1−x As thu được từ thực nghiệm
ở nhiệt độ 300 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

15


DANH SÁCH CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT
Cụm từ viết tắt Nghĩa của cụm từ viết tắt
MBE

Epitaxy chùm phân tử

2DEG

Khí điện tử hai chiều

AD


Mất trật tự hợp kim

II

Tạp ion hóa

LA

Phonon âm

LO

Phonon quang

QW

Giếng lượng tử

SR

Nhám bề mặt

6


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những thập niên gần đây, vật lý hiện đại đã có những bước
phát triển mạnh mẽ, đặc biệt là vật lý chất rắn. Sự ra đời của công nghệ
nano là một bước đột phá trong lĩnh vực khoa học vật liệu, góp phần

thúc đẩy sự phát triển của khoa học cơ bản và khoa học ứng dụng, từ
đó khoa học công nghệ nano ra đời mở ra hướng nghiên cứu mới cho
ngành điện tử với các vật liệu có kích thước nano [8]. Trong những năm
gần đây, công nghệ nano đã nhận được sự quan tâm lớn từ cộng đồng
khoa học công nghệ trong và ngoài nước, với nhiều hướng tiếp cận từ lý
thuyết, thực nghiệm cho đến mô phỏng bằng các chương trình máy tính.
Bán dẫn có cấu trúc nano là bán dẫn gồm nhiều lớp mỏng xen kẽ
nhau, độ dày của mỗi lớp vào cỡ nano mét (nm). Các bán dẫn có kích
thước vào cỡ bước sóng De Broglie của điện tử được gọi là bán dẫn thấp
chiều [8]. Trong hệ vật liệu này, tùy theo việc điện tử và lỗ trống bị giam
giữ theo một chiều hay nhiều chiều mà hệ này có những tên gọi khác
nhau như: cấu trúc phẳng hai chiều như giếng lượng tử, cấu trúc một
chiều như dây lượng tử và cấu trúc không chiều như chấm lượng tử.
Trong các hệ này, các điện tử, lỗ trống và các exciton chịu ảnh hưởng
của sự giam giữ lượng tử, khi chuyển động của chúng bị giới hạn dọc
theo chiều giam giữ dẫn đến các hiệu ứng cơ học lượng tử, các phản ứng
khác biệt của điện tử so với trong bán dẫn khối. Việc nghiên cứu các
đặc điểm cấu trúc và các hiện tượng vật lý cho ta thấy những tính chất
quan trọng của cấu trúc bán dẫn thấp chiều đã làm thay đổi nhiều đặc
tính của vật liệu, đồng thời xuất hiện nhiều đặc tính mới ưu việt hơn
mà các hệ điện tử chuẩn ba chiều không có được như: kích thước nhỏ,
7


khả năng lưu trữ lớn và đặc biệt là tiêu tốn ít năng lượng trong khi đó
tốc độ hoạt động cũng như hiệu suất cao. Với những ưu điểm vượt trội
như trên, cấu trúc bán dẫn thấp chiều đã và đang được áp dụng cho việc
phát triển các linh kiện điện tử và quang điện tử.
Trong những năm gần đây, hệ cấu trúc bán dẫn thấp chiều đã và
đang được nghiên cứu rộng rãi vì tính ưu việt của nó so với các hệ điện

tử chuẩn ba chiều, trong đó vật lý bán dẫn thấp chiều đặc biệt chú
trọng vào việc nghiên cứu tạo ra các bán dẫn có cấu trúc dị chất. Ví
dụ như lớp hợp kim GaAs mỏng kẹp giữa hai lớp Alx Ga1−x As tạo ra
giếng lượng tử (cấu trúc cụ thể là Alx Ga1−x As/GaAs/Alx Ga1−x As), cấu
trúc này còn gọi là giếng lượng tử hình thành bởi nhiều lớp tiếp giáp
dị chất. Trong đó các điện tử và lỗ trống chỉ chuyển động tự do theo
phương song song với các lớp. Hệ này được gọi là khí điện tử hai chiều.
Khi cho lớp hợp kim GaAs mỏng kẹp giữa hai lớp Alx Ga1−x As sẽ tạo
ra một giếng lượng tử, giếng lượng tử ở đây chính là các hạt tải điện
chịu sự giam giữ lượng tử bởi thế một chiều hình thành trong các lớp
bán dẫn mỏng (cỡ nanomet). Sự giam cầm này làm cho các mức năng
lượng bị lượng tử hoá theo hướng nuôi tinh thể trong các mẫu nuôi dẫn
đến chuyển dời quang giữa các mức này là có thể. Sự chuyển dời từ các
mức năng lượng trong vùng hóa trị đến các mức năng lượng trong vùng
dẫn được gọi là chuyển dời khác vùng, ngược lại sự chuyển dời giữa các
mức năng lượng bị tách ra do hiệu ứng lượng tử vừa đề cập trong cùng
một vùng được gọi là chuyển dời giữa các vùng con. Sự tách mức năng
lượng trong giếng lượng tử phụ thuộc cơ bản vào độ rộng và độ sâu của
giếng, nó ảnh hưởng cơ bản vào hiệu ứng chuyển dời. Tuy nhiên, nó còn
phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác, tùy từng hệ vật liệu nghiên cứu [1].
Đối với giếng lượng tử hình thành trên mẫu vật liệu GaAs/AlGaAs biểu
hiện nhiều hiệu ứng cơ học lượng tử và có những ưu điểm vượt trội so
8


với các vật liệu khác về tần số, công suất nên được áp dụng cho các linh
kiện điện tử, quang điện tử và trong các sản phẩm cao tần.
Khí điện tử hai chiều hình thành ở tiếp giáp dị chất là đối tượng vật
lý quan trọng cần được nghiên cứu. Trong đó, tại vị trí tiếp giáp của hai
lớp vật liệu, do không tương thích hằng số mạng và do nguyên tử của

hai loại vật liệu này lần lượt chiếm các vị trí trên nút mạng một cách
ngẫu nhiên làm cho bề mặt tiếp xúc bị nhám. Sự nhám bề mặt là một
hiện tượng thăng giáng xảy ra trên bề mặt với nhiều cấu hình bề mặt
nhám khác nhau. Điều này làm thay đổi điều kiện biên của hàng rào thế
và gây ra tán xạ hạt tải [8]. Cơ chế tán xạ này gọi là tán xạ nhám bề
mặt truyền thống. Còn khi dị cấu trúc bán dẫn được làm bằng vật liệu
phân cực, sự không liên tục ở nơi giao nhau giữa hai phần dị chất sẽ tạo
ra một hệ điện tích phân cực ở bề mặt. Các điện tích phân cực này đóng
vai quan trọng đến thế giam cầm hạt tải, làm thay đổi cấu trúc điện và
đặc tính quang của vật liệu. Vì vậy, cấu hình nhám có vai trò rất quan
trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của các dị cấu trúc [3].
Vào những năm gần đây, ở nước ta cũng đã có một số nghiên cứu về
lĩnh vực này. Năm 2012, tác giả Đoàn Nhật Quang cùng các cộng sự của
mình đã có sự đánh giá về cấu hình bề mặt từ dữ liệu độ rộng vạch phổ
hấp thụ liên vùng con [12]. Liên quan đến giếng lượng tử, tác giả Nguyễn
Thành Tiên và các cộng sự đã nghiên cứu độ rộng vạch phổ hấp thụ tạo
bởi cấu trúc giếng lượng tử AlGaAs/GaAs/AlGaAs pha tạp điều biến do
tán xạ nhám bề mặt [1]. Trong năm 2013, tác giả Phan Thị Vân đã khảo
sát cấu hình nhám trong giếng lượng tử tam giác InGaN/GaN. Đến năm
2014, tác giả Nguyễn Thị Trình đã khảo sát cấu hình nhám trong giếng
lượng tử tam giác AlGaN/GaN. Sau đó tác giả Dương Đình Phước đã
khảo sát cấu hình nhám bề mặt trong giếng lượng tử InAs/GaAs trong
năm 2015 [5].
9


Cường độ hấp thụ tích hợp là một khái niệm mới để tính toán cấu
hình nhám trong giếng lượng tử, nó bằng tích của độ rộng phổ với chiều
cao của đỉnh phổ. Thông thường ta chỉ tìm độ rộng phổ để tính toán
cấu hình nhám thì bây giờ người ta lại đưa ra khái niệm cường độ hấp

thụ tích hợp như là một cách kiểm tra thứ hai về cấu hình nhám trong
giếng lượng tử. Bởi vì từ cường độ hấp thụ tích hợp thì có thể suy ra
được cấu hình nhám.
Tuy nhiên, cho đến nay chúng tôi chưa tìm thấy một nghiên cứu
nào về cấu hình nhám được tính toán từ cường độ hấp thụ tích hợp
trong giếng lượng tử GaAs/AlGaAs. Từ những lí do nêu trên, tôi quyết
định chọn đề tài “Khảo sát cấu hình nhám từ cường độ hấp thụ tích hợp
trong giếng lượng tử GaAs/AlGaAs” làm Luận văn Thạc sĩ.
2. Mục tiêu của luận văn
Mục tiêu của đề tài là tính toán được cấu hình nhám từ cường độ
hấp thụ tích hợp trong giếng lượng tử GaAs/AlGaAs.
3. Nội dung nghiên cứu
- Tìm hiểu về vật liệu GaAs/AlGaAs;
- Khảo sát các cấu hình giếng lượng tử hình thành từ GaAs/AlGaAs;
- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về cấu hình nhám trong giếng lượng
tử GaAs/AlGaAs;
- Tính toán và rút ra kết quả nghiên cứu.
4. Phạm vi nghiên cứu
Trong khuôn khổ Luận văn chúng tôi chỉ nghiên cứu về khảo sát
cấu hình nhám từ cường độ hấp thụ tích hợp trong giếng lượng tử
GaAs/AlGaAs.
10


5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp biến phân và phương pháp số;
- Sử dụng chương trình Mathematica để tính số và vẽ đồ thị.
6. Bố cục luận văn
Luận văn gồm có ba phần: mở đầu, nội dung và kết luận.
1. Phần mở đầu: Trình bày về lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên

cứu, nội dung nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu
và bố cục luận văn.
2. Phần nội dung: gồm ba chương:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết.
Chương 2: Khảo sát cấu hình nhám từ cường độ hấp thụ tích hợp
trong giếng lượng tử GaAs/AlGaAs.
Chương 3: Kết quả tính toán và thảo luận.
3. Phần kết luận: Trình bày các kết quả đạt được của luận văn và
đề xuất hướng phát triển nghiên cứu.
Ngoài ra, còn có các phần: mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo.

11


NỘI DUNG
Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Chương này trình bày tổng quan về các tính chất và thông số
của vật liệu bán dẫn GaAs/AlGaAs, một số đặc điểm và tính
chất của khí điện tử hai chiều. Khảo sát một số loại giếng lượng
tử để tìm hàm sóng và năng lượng của hạt.

1.1.

Giới thiệu về vật liệu bán dẫn GaAs/ AlGaAs

1.1.1.

Tổng quan về vật liệu bán dẫn GaAs

Gallium arsenide (GaAs) là một chất bán dẫn hợp chất của gallium

(Ga) và arsenide (As). Ga là một nguyên tố hoá học thuộc nhóm IIIA,
là một kim loại yếu màu bạc ánh kim. Ga dạng nguyên tố không tồn tại
trong tự nhiên và cũng không có khoáng chất nào có hàm lượng Ga đủ
cao để có thể tách nó hay các hợp chất của nó. Tuy nhiên Ga có thể được
tách ra từ các quặng bôxít, than đá, diaspore, germanit và sphalerit với
lượng rất nhỏ, khoảng dưới 1% theo trọng lượng. Do đó Ga khá hiếm,
có thể nói là hiếm hơn vàng. As là một nguyên tố hoá học thuộc nhóm
VA, là một á kim. As không hiếm nhưng lại là một chất rất độc.
GaAs là vật liệu hợp chất bán dẫn AIII BV . Tinh thể GaAs có cấu
trúc lập phương giả kẽm (lập phương zinc blende) và đều thuộc loại cấu
trúc tứ diện. Cấu trúc tứ diện là cấu trúc mà trong đó mỗi nguyên tử là
tâm của một tứ diện được tạo thành từ bốn nguyên tử gần nhất xung
quanh nó. Cấu trúc tinh thể GaAs thuộc mạng lập phương tâm diện với
gốc mạng là hai nguyên tử khác loại, do đó ta có thể xem cấu trúc tinh
thể GaAs gồm hai mạng lập phương tâm diện lồng vào nhau.
12


Hình 1.1: Cấu trúc tinh thể GaAs: các đỉnh tứ diện là As và tâm là Ga.
Bảng 1.1: Các thông số của GaAs thu được từ thực nghiệm ở nhiệt độ 300 K

Thông số

Ký hiệu

Giá trị

Khối lượng hiệu dụng của electron

m∗e


0,063 m0

Khối lượng hiệu dụng của lỗ trống

m∗h

0,51 m0

Số nguyên tử trong 1cm3

n

4,42.1022

Mật độ trạng thái hiệu dụng trong vùng dẫn

Nc

4,7.1017 cm−3

Mật độ trạng thái hiệu dụng trong vùng hoá trị

Nv

9.1018 cm−3

Nhiệt độ Debye

TD


360K

Hằng số điện môi tĩnh

εst

12,9

Hằng số điện môi tần số cao

ε∞

10,89

Hằng số mạng

a

5,65325 ˚
A

Năng lượng vùng cấm

Eg

1,424 eV

Năng lượng phonon quang


ω

0,035 eV

Trong đó, năng lượng vùng cấm của vật liệu bán dẫn GaAs phụ
thuộc vào nhiệt độ theo biểu thức
5, 405.10−4 .T 2
,
Eg = Eg (0) −
T + 204

(1.1)

với Eg (0) = 1,519 eV là năng lượng vùng cấm ở nhiệt độ T = 0 K.
Mật độ trạng thái hiệu dụng trong vùng dẫn và trong vùng hóa trị phụ

13


thuộc vào nhiệt độ theo các biểu thức:
me kB T
Nc = 2
2π 2
mh kB T
Nv = 2
2π 2
1.1.2.

3
2


,

(1.2)

.

(1.3)

3
2

Tổng quan về vật liệu bán dẫn AlGaAs

Alluminium galium arsenide (Alx Ga1−x As) là một vật liệu bán dẫn
có hằng số mạng gần giống với GaAs, nhưng có năng lượng khe vùng
lớn hơn. Tinh thể AlGaAs có cấu trúc lập phương giả kẽm (zinc blende)
và thuộc loại cấu trúc tứ diện.

Hình 1.2: Cấu trúc tinh thể AlGaAs.

1.1.3.

Các thông số của bán dẫn thấp chiều GaAs/AlGaAs

Đặc điểm và tính chất của dị cấu trúc trong bán dẫn thấp chiều phụ
thuộc chủ yếu vào cấu trúc tinh thể, thành phần hóa học, hằng số điện
môi, bề rộng khe vùng và các mật độ trạng thái hiệu dụng trong vùng
dẫn và vùng hóa trị của các bán dẫn thành phần GaAs/AlGaAs. Trong
dị tiếp xúc của bán dẫn thấp chiều có rất nhiều kiểu sắp xếp vùng. Sự

phân loại được dựa trên thứ tự tương đối của các biên vùng năng lượng.
Bán dẫn thấp chiều GaAs/Alx Ga1−x As sắp xếp theo kiểu "straddling"
như hình 1.3 [2].
14


Bảng 1.2: Các thông số của Alx Ga1−x As thu được từ thực nghiệm ở nhiệt độ 300 K

Thông số

Ký hiệu

Giá trị

Khối lượng hiệu dụng của electron

m∗e

(0,063 + 0,083x) m0

Khối lượng hiệu dụng của lỗ trống

m∗h

(0,51 + 0,25x) m0

Số nguyên tử trong 1cm3

n


(4, 42 − 0, 17x).1022

Nhiệt độ Debye

TD

370 + 54x + 22x2 K

Hằng số điện môi tĩnh

εst

12, 9 − 2, 84x

Hằng số điện môi tần số cao

ε∞

10, 89 − 2, 73x

Hằng số mạng

a

5,6533 + 0,0078x ˚
A

Năng lượng vùng cấm

Eg


1,42 + 1,25x eV

Năng lượng phonon quang

ω

36, 25 + 1, 83x + 17, 12x2 − 5, 11x3 meV

Hình 1.3: Sắp xếp vùng năng lượng trong bán dẫn GaAs/Alx Ga1−x As.

Do sự chênh lệch bề rộng năng lượng vùng cấm của hai vật liệu trên
nên khi ghép hai vật liệu này lại để tạo nên dị cấu trúc GaAs/AlGaAs thì
đỉnh vùng hóa trị và đáy vùng dẫn của GaAs nằm trong khe vùng của
AlGaAs. Độ chênh của khe vùng tại tại mặt tiếp xúc là ∆Eg = 1, 25x

15


(eV). Thực nghiệm cho thấy độ chênh này phân phối khoảng 60% ở vùng
dẫn và 40% ở vùng hóa trị.

Hình 1.4: Đáy của vùng dẫn và đỉnh của vùng hóa trị trong giếng lượng tử
GaAs/AlGaAs.

Hằng số mạng của GaAs là 5,6533 ˚
A và của Alx Ga1−x As là 5,6533
+ 0,0078x ˚
A, do có sự sai khác về hằng số mạng của các vật liệu nên cần
phải có kỹ thuật tốt trong việc nuôi cấy. Phương pháp Epitaxy chùm

phân tử (MBE) dễ dàng nuôi cấy tinh thể AlGaAs trên nền GaAs, nhưng
quy trình ngược lại (nuôi cấy tinh thể GaAs trên nền AlGaAs) còn gặp
nhiều khó khăn. Kỹ thuật nuôi cấy càng tốt thì độ nhám trên bề mặt
tiếp xúc giữa hai lớp vật liệu sẽ càng nhỏ. Độ nhám là một trong những
nguyên nhân gây ảnh hưởng trực tiếp đến tính dẫn điện và một số đặc
tính ưu việt khác của vật liệu, bởi vì độ nhám bề mặt là một trong
những nguyên nhân gây ra tán xạ hạt tải, từ đó làm giảm độ linh động
của hạt tải trong lớp gần biên.

1.2.

Các cấu hình của giếng lượng tử

Trong giếng lượng tử các hạt mang điện chuyển động tự do theo hai
chiều và bị giam giữ theo một chiều. Ta giả sử chiều giam giữ là chiều
lớn lên của tinh thể trong kỹ thuật epitaxy ứng với thế giam giữ V(z),
16


chiều tự do là x và y, nghĩa là hạt chuyển động tự do trong mặt phẳng
(xy) [2]. Sau đây ta sẽ đi khảo sát các loại giếng lượng tử ứng với các
thế giam giữ cụ thể.
1.2.1.

Giếng thế vuông góc có chiều cao vô hạn

Xét trường hợp một hạt chuyển động tự do trong giếng thế một
chiều có chiều cao vô hạn, bề rộng L, có dạng giải tích của thế năng là:



0, khi 0 ≤ x ≤ L;
(1.4)
U (x) =

∞, khi x < 0 và x > L.

Hình 1.5: Sơ đồ thế năng của giếng thế vuông góc có chiều cao vô hạn.

Vì thế giam giữ có chiều cao vô hạn nên hạt không tồn tại bên ngoài
giếng thế, do đó khi x < 0 và x > L thì hàm sóng bằng không. Xét về
mặt hình thức thì ta có thể xem hạt tương đương với một viên bi trượt
không ma sát dọc theo một sợi dây được căng giữa hai bức tường rắn
sao cho va chạm của viên bi với chúng là tuyệt đối đàn hồi [3]. Như vậy
ta chỉ xét hạt chuyển động trong giếng thế (0 ≤ x ≤ L). Khi này phương
trình Schrodinger cho hạt trong giếng thế ở trạng thái dừng có dạng:
d2 ψ(x) 2mE
+ 2 ψ(x) = 0.
dx2
17

(1.5)


Đặt k 2 = 2mE/ 2 , ta được phương trình
d2 ψ(x)
+ k 2 ψ(x) = 0.
2
dx

(1.6)


Nghiệm của phương trình vi phân (1.6) có dạng:
ψ(x) = A sin kx + B cos kx.

(1.7)

Từ điều kiện liên tục của hàm sóng tại các điểm biên ψ(0) = ψ(L) = 0,
ta có:


A sin 0 + B cos 0 = 0;

⇒


A sin kL + B cos kL = 0;



sin kL = 0;

B = 0;



k = nπ ;
L
⇒

B = 0.

(1.8)

Với k 2 = 2mE/ 2 , ta có biểu thức năng lượng của hạt trong giếng thế
vuông góc có chiều cao vô hạn là:
π2 2 2
En =
n = n2 E0 ,
2
2mL

(1.9)

trong đó E0 = π 2 2 /2mL2 là năng lượng của hạt ứng với n = 1 và được
gọi là năng lượng ở trạng thái cơ bản. Hàm sóng (1.7) được viết lại như
sau
ψ(x) = A sin

nπ
x.
L

(1.10)

Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng, ta có
L

|A|2

sin2


L
nπ
xdx = 1 ⇔ |A|2 = 1 ⇒ A =
L
2

2
.
L

(1.11)

0

Vậy hàm sóng của hạt ở trạng thái dừng có dạng
ψ(x) =

2
nπ
sin
x.
L
L

18

(1.12)


1.2.2.


Giếng thế vuông góc có chiều cao hữu hạn

Bây giờ ta xét trường hợp một hạt chuyển động tự do trong giếng
thế một chiều có chiều cao hữu hạn, bề rộng L, có dạng giải tích của thế
năng là
U (x) =



0, khi

−L
2

≤ x ≤ L2 ;

(1.13)


U0 , khi |x| > L .
2

Hình 1.6: Sơ đồ thế năng của giếng thế vuông góc có chiều cao hữu hạn.

Vì thế giam giữ có chiều cao hữu hạn nên hạt có thể tồn tại ở bên
trong hoặc bên ngoài giếng. Dựa vào sơ đồ thế năng (hình 1.6), ta có
thể thấy rằng khi năng lượng E > U0 thì hạt tự do không bị liên kết,
năng lượng E là liên tục. Ngược lại, khi E < U0 hạt bị nhốt trong giếng,
năng lượng của hạt bị lượng tử hóa ứng với các trạng thái liên kết [3].

Phương trình Schrodinger cho hạt trong giếng thế ở trạng thái dừng có
dạng:
d2 ψ(x) 2mE
+ 2 ψ(x) = 0.
dx2

(1.14)

Phương trình Schrodinger cho hạt ngoài giếng thế có dạng
d2 ψ(x) 2m(E − U0 )
+
ψ(x) = 0.
2
dx2

19

(1.15)


Đặt
k=

2mE
2

,

k =


−2m(U0 − E)
2

= iκ.

(1.16)

Ta thu được phương trình Schrodinger tương ứng cho từng miền có dạng
Miền (I): ψ1” (x) − κ2 ψ1 (x) = 0.
Miền (II): ψ2” (x) − k 2 ψ2 (x) = 0.
Miền (III): ψ3” (x) − κ2 ψ3 (x) = 0.
Giải ba phương trình trên, ta thu được



ψ1 (x) = Ceκx
(x ≤ −L/2);



ψ2 (x) = A sin kx + B cos kx (−L/2 ≤ x ≤ L/2);




ψ (x) = De−κx
(x ≥ L/2).
3

(1.17)


Từ điều kiện liên tục của hàm sóng tại các điểm biên x = ±L/2, ta thu
được:
κL

A = 0, C = D = Be 2 cos

kL
.
2

(1.18)

Vậy ta đưa hàm sóng về theo cùng hệ số chuẩn hóa B:


kL κ(x+L/2)

ψ
(x)
=
B
cos
(x ≤ −L/2);
1

2 e


ψ2 (x) = B cos kx

(−L/2 ≤ x ≤ L/2);




ψ (x) = B cos kL e−κ(x−L/2) (x ≥ L/2).
3
2

(1.19)

Áp dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ψ(x)|ψ(x) = 1, hay:
−L/2

L/2

ψ1∗ (x)ψ1 (x)dx +
−∞

∞

ψ3∗ (x)ψ3 (x)dx = 1, (1.20)

ψ2∗ (x)ψ2 (x)dx +

−L/2

L/2

từ đó ta tính được hệ số chuẩn hóa B có dạng

1

B=
L
2

+

1
κ

cos2 kL
2
20

.
+

1
2k

sin kL

(1.21)


Nếu từ điều kiện liên tục, ta xét với B = 0, ta thu được:
B = 0, C = −D = −Ae

−κL

2

sin

kL
.
2

(1.22)

Vậy hàm sóng được đưa về cùng hệ số chuẩn hóa A:


κ(x+L/2)

ψ1 (x) = −A sin kL
(x ≤ −L/2);

2 e


ψ2 (x) = A sin kx
(−L/2 ≤ x ≤ L/2);




ψ (x) = A sin kL e−κ(x−L/2) (x ≥ L/2).
3
2

Tương tự như trên, ta tính được hệ số chuẩn hoá A có dạng
1

A=
L
2

+

1
κ

.

sin2 kL
2

−

1
2k

(1.23)

cos kL

Vì giếng thế là đối xứng nên nghiệm ở miền II thuộc về lớp nghiệm chẵn
(ψ2 (x) = ψc = B cos kx) hoặc nghiệm lẻ (ψ2 (x) = ψl = A sin kx) [3]. Từ
đó ta được
kL

2
kL
cot
2

tan

κ
,
k
κ
=− .
k
=

(1.24)
(1.25)

Phương trình (1.24) tương ứng với lớp nghiệm chẵn và phương trình
(1.25) tương ứng với lớp nghiệm lẻ.
Đặt:
ξ=

kL L
=
2
2

2mE
2


,

ξ0 =

L
2

2mU0
2

,

(1.26)

với lưu ý tan[α + π/2] = − cot α, biến đổi ta được:
tan ξ =

ξ02
− 1,
ξ2

(1.27)

− cot ξ =

ξ02
− 1.
ξ2


(1.28)

21


Để xác định các giá trị của năng lượng, ta phải xác định các giá trị của
ξ và ξ0 . Giá trị của ξ chính là giao điểm của hai đồ thị tan ξ = f (ξ) đối
với lớp nghiệm chẵn, và là giao điểm của hai đồ thị − cot ξ = f (ξ) đối
ξ02
ξ2

với lớp nghiệm lẻ trong đó f (ξ) =

− 1.

Xét hạt electron chuyển động trong giếng lượng tử có bề rộng L =
1nm, độ cao thế năng U0 = 15eV, ta tính được ξ0 = 9,9.

Đồ thị 1.7: Xác định các giá trị ξ1 , ξ2 , ξ3 ứng với ba mức năng lượng E1 , E2 , E3 .

Từ đồ thị hình 1.7, ta xác định được các giá trị ξ ứng với các mức
năng lượng đầu tiên






ξ1 = 1, 43;
n = 1;







⇒ ξ2 = 2, 85;
n = 2;








ξ = 4, 27;
n = 3;
3
1.2.3.




E1 = 0, 31eV ;



⇒ E2 = 1, 24eV ;





E = 2, 78eV.
3

(1.29)

Giếng lượng tử thế parabol

Xét trường hợp hạt chuyển động trong giếng thế với thế giam giữ
có dạng
1
U (x) = mω 2 x2 .
2

(1.30)

Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian có dạng:
d2 ψ(x) 2m
mω 2 x2
+ 2 E−
dx2
2
22

ψ(x) = 0.

(1.31)