ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THÚY NGA

KHẢO SÁT CẤU HÌNH NHÁM THÔNG QUA
MẬT ĐỘ HẤP THỤ TÍCH HỢP
TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ InAs/AlAs

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. ĐINH NHƯ THẢO

Thừa Thiên Huế, năm 2017
i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kỳ một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thúy Nga

ii


LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến Thầy giáo PGS.TS.Đinh Như Thảo, người đã giảng dạy,
định hướng và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài của
mình.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô trong khoa Vật lý,
phòng Đào tạo sau Đại học Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế đã
giảng dạy, giúp đỡ tôi suốt hai năm học qua.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè, các
bạn học viên cao học khóa 24 đã luôn động viên, giúp đỡ, góp ý cho tôi
trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thúy Nga

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i


Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh mục các bảng biểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Danh mục các từ viết tắt và kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . .

4

Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

I. Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


8

II. Mục tiêu đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

III. Nội dung đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

IV. Phương pháp nghiên cứu

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

V. Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

VI. Bố cục khóa luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 1: Cơ sở lý thuyết


12

1.1. Tổng quan về giếng lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Điện tử trong hệ bán dẫn hai chiều

12

. . . . . . . . .

13

1.1.2. Giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn . . . . . .

15

1.1.3. Giếng lượng tử thế vuông góc sâu hữu hạn . . . . .

17

1.1.4. Giếng lượng tử thế parabol . . . . . . . . . . . . . .

21

1.1.5. Giếng thế tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.2. Sơ lược về cấu hình nhám . . . . . . . . . . . . . . . . . .


26

1.2.1. Tán xạ nhám bề mặt (SR) . . . . . . . . . . . . . .

27

1.2.2. Tán xạ do phonon (LO phonon và LA phonon) . . .

27

1


1.2.3. Tán xạ do các tạp chất ion hóa (II) . . . . . . . . .

28

1.2.4. Tán xạ do mất trật tự hợp kim bán dẫn (AD)

. . .

29

1.3. Tổng quan về vật liệu bán dẫn InAs/AlAs . . . . . . . . .

29

1.3.1. Các thông số của vật liệu bán dẫn InAs . . . . . . .

30


1.3.2. Các thông số của vật liệu bán dẫn AlAs . . . . . . .

31

1.3.3. Dị cấu trúc bán dẫn InAs/AlAs . . . . . . . . . . .

33

Chương 2: Khảo sát cấu hình nhám bề mặt trong giếng
lượng tử InAs/AlAs

36

2.1. Mô hình giếng lượng tử hình thành trong dị cấu trúc bán
dẫn InAs/AlAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.1.1. Giếng lượng tử hình thành trong chuyển tiếp dị chất
đơn InAs/AlAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.1.2. Giếng lượng tử hình thành trong chuyển tiếp dị chất
kép AlAs/InAs/AlAs . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.1.3. Hàm sóng trong giếng lượng tử InAs/AlAs . . . . .


39

2.2. Các đại lượng đặc trưng của cấu hình nhám . . . . . . . .

41

2.3. Ảnh hưởng của tán xạ nhám bề mặt đến độ rộng vạch phổ

43

2.4. Cách xác định chiều dài tương quan từ dữ liệu quang học
đơn trị cấu hình nhám . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 3: Kết quả tính toán và thảo luận

46
48

3.1. Xác định giá trị của chiều dài tương quan Λ . . . . . . . .

48

3.2. Xác định giá trị của biên độ nhám ∆ . . . . . . . . . . . .

49

3.3. So sánh cấu hình nhám của vật liệu InAs/AlAs khi thay
đổi tham số của giếng lượng tử . . . . . . . . . . . . . . .

50


KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1
2


DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 1.1

Các thông số của vật liệu bán dẫn InAs ở nhiệt độ
300 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bảng 1.2

31

Các thông số của vật liệu bán dẫn AlAs ở nhiệt độ
300 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

32



DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU
Cụm từ viết tắt Nghĩa của cụm từ viết tắt
2DEG

Khí điện tử hai chiều

AD

Mất trật tự hợp kim

II

Tạp ion hóa

LA

Phonon âm

LO

Phonon quang

QW

Giếng lượng tử

SR


Nhám bề mặt

4


DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1

Cấu trúc của giếng lượng tử. . . . . . . . . . . . .

Hình 1.2

Mô hình giếng lượng tử hình thành bởi lớp GaAs

13

kẹp giữa hai lớp AlGaAs. . . . . . . . . . . . . . .

13

Hình 1.3

Minh họa giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn.

15

Hình 1.4

Đồ thị hàm sóng của hạt trong giếng lượng tử thế

vuông góc sâu vô hạn. . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Hình 1.5

Minh họa giếng lượng tử thế vuông góc sâu hữu hạn. 18

Hình 1.6

Đồ thị xác định các giá trị η tương ứng với các mức
năng lượng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 1.7

20

Đồ thị hàm sóng của hạt trong giếng lượng tử thế
vuông góc sâu hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . .

20

Hình 1.8

Minh họa giếng lượng tử thế parabol. . . . . . . .

21

Hình 1.9


Đồ thị hàm sóng của hạt trong giếng lượng tử thế
parabol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Hình 1.10 Minh họa giếng lượng tử thế tam giác. . . . . . . .

24

Hình 1.11 Đồ thị hàm sóng của hạt trong giếng lượng tử thế
tam giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Hình 1.12 Cấu trúc tinh thể InAs. . . . . . . . . . . . . . . .

30

Hình 1.13 Cấu trúc tinh thể AlAs. . . . . . . . . . . . . . . .

32

Hình 1.14 Sơ đồ minh họa giếng lượng tử InAs/AlAs. . . . .

34

Hình 1.15 Bề rộng khe vùng của InAs/AlAs. . . . . . . . . .

34


Hình 2.1

Minh họa giếng lượng tử trong chuyển tiếp dị chất
đơn InAs/AlAs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 2.2

37

Minh họa giếng lượng tử trong chuyển tiếp dị chất
kép AlAs/InAs/AlAs. . . . . . . . . . . . . . . . .

5

38


Hình 2.3

Minh họa hai kích thước đặc trưng của cấu hình
nhám là biên độ nhám ∆ và chiều dài tương quan Λ. 42

Hình 3.1

Sự phụ thuộc của cường độ hấp thụ tích hợp I(L, ns ; Λ)
vào chiều dài tương quan Λ trong giếng lượng tử
˚ trong đó,
InAs/AlAs với độ rộng giếng L = 90 A;
đường liền nét màu đỏ biểu diễn kết quả tính số
theo lý thuyết, đường đứt nét màu xanh biểu diễn

kết quả từ thực nghiệm và dấu mũi tên chính là giá
trị của Λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 3.2

49

Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ γSR (∆) = γSR (L, ns ; ∆; Λ)
vào biên độ nhám ∆ trong giếng lượng tử InAs/AlAs
˚ và chiều dài tương quan
với độ rộng giếng L = 90 A
được lấy từ hình 3.1: Λ = 80 ˚
A; trong đó, đường
liền nét màu đỏ biểu diễn kết quả tính số theo lý
thuyết, đường đứt nét màu xanh biểu diễn kết quả
từ thực nghiệm và dấu mũi tên chính là giá trị của
∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 3.3

50

Sự phụ thuộc của cường độ hấp thụ tích hợp I(L, ns ; Λ)
vào chiều dài tương quan Λ trong giếng lượng tử
InAs/AlAs với độ rộng giếng L = 100 ˚
A (tăng 10
˚
A so với ban đầu là L = 90 ˚
A); trong đó, đường
liền nét màu đỏ biểu diễn kết quả tính số theo lý

thuyết, đường đứt nét màu xanh biểu diễn kết quả
từ thực nghiệm và dấu mũi tên chính là giá trị của Λ. 51

6


Hình 3.4

Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ γSR (∆) = γSR (L, ns ; ∆; Λ)
vào biên độ nhám ∆ trong giếng lượng tử InAs/AlAs
với độ rộng giếng L = 100 ˚
A (tăng 10 ˚
A so với ban
đầu là L = 90 ˚
A) và chiều dài tương quan được
˚ trong đó, đường liền nét
lấy từ hình 3.3: Λ = 85 A;
màu đỏ biểu diễn kết quả tính số theo lý thuyết,
đường đứt nét màu xanh biểu diễn kết quả từ thực
nghiệm và dấu mũi tên chính là giá trị của ∆. . . .

7

52


MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, nghiên cứu và ứng dụng dị cấu trúc bán dẫn rất phát
triển và nhanh chóng chiếm một vị trí chủ đạo trong ngành vật lý chất

rắn hiện đại [4]. Một trong những dị cấu trúc được các nhà khoa học
quan tâm nghiên cứu hiện nay là giếng lượng tử. Giếng lượng tử là cấu
trúc giam giữ hạt vi mô một chiều. Đặc trưng cơ bản nhất của hệ lượng
tử này là phổ năng lượng chuyển từ liên tục sang gián đoạn dẫn đến
hiện tượng chuyển dời quang giữa các mức năng lượng là có thể và làm
thay đổi phân bố điện tử. Sự thay đổi này làm thay đổi cường độ tán
xạ nhám bề mặt vì thế làm thay đổi độ rộng vạch phổ. Do đó, chính sự
thay đổi về mặt năng lượng của hạt vi mô trong giếng lượng tử làm cho
cấu trúc này có nhiều ưu điểm vượt bậc và được dùng làm cơ sở để chế
tạo các linh kiện quang điện tử, vật liệu nhạy quang.
Tán xạ nhám bề mặt là một hiện tượng tán xạ gây ra bởi bề mặt
tiếp xúc gồ ghề của vật liệu dị cấu trúc. Nguyên nhân là do sự không
tương thích hằng số mạng tại chỗ tiếp giáp của hai loại vật liệu bán dẫn
khác nhau và nguyên tử của hai loại vật liệu này chiếm các vị trí trên
nút mạng một cách ngẫu nhiên. Hiện tượng này là nhân tố chính ảnh
hưởng đến độ rộng vạch phổ và được xác định bởi cấu hình nhám. Vì
vậy, cấu hình nhám có vai trò rất quan trọng trong việc nghiên cứu các
tính chất của các dị cấu trúc. Cấu hình nhám được đặc trưng bởi hai
tham số là biên độ nhám (∆) và chiều dài tương quan (Λ).
Hiện nay, có nhiều phương pháp để khảo sát cấu hình nhám như
thông qua tỷ số độ rộng phổ hay dựa vào độ linh động của điện tử. Một
trong những phương pháp tối ưu nhất hiện nay là sử dụng mật độ hấp
thụ tích hợp. Mật độ hấp thụ tích hợp bằng tích của độ rộng phổ nhân
8


với chiều cao của đỉnh phổ. Xác định được mật độ hấp thụ thì chúng ta
sẽ suy ra được cấu hình nhám. Điểm nổi bậc của phương pháp này là
xác định đơn trị riêng lẻ hai kích thước nhám chỉ đơn thuần dựa trên dữ
liệu quang học.

Các hợp chất III-Arsenide là những hợp chất được sử dụng nhiều
nhất trong các thiết bị công nghệ hiện nay. Một trong những số hợp chất
đó là InAs và AlAs. InAs có độ linh động điện tử cao, nó là một vật liệu
rất quan trọng được sử dụng trong các thiết bị điện tử tốc độ cao. Còn
AlAs có bề rộng vùng cấm lớn đã được sử dụng rộng rãi làm hàng rào
thế năng trong điều chế dị cấu trúc pha tạp và giếng lượng tử bán dẫn.
Do đó, giếng lượng tử hình thành từ vật liệu InAs/AlAs có những ưu
điểm nổi bật về công suất, độ dẫn điện và khả năng chịu nhiệt nên được
ứng dụng phổ biến trong các thiết bị quang điện tử.
Gần đây, ở nước ta cũng đã có một số nghiên cứu về cấu hình nhám.
Năm 2013, tác giả Phan Thị Vân đã khảo sát cấu hình nhám trong giếng
lượng tử InGa/GaN [11]. Năm 2014, tác giả Nguyễn Thị Trình đã khảo
sát cấu hình nhám trong giếng lượng tử AlGaN/GaN [10], tác giả Dương
Đình Phước đã khảo sát cấu hình nhám trong giếng lượng tử InAs/GaAs
trong năm 2015 [6]. Năm 2016, tác giả Đinh Như Thảo và các cộng sự
đã xác định đơn trị hai kích thước nhám chỉ đơn thuần dựa trên dữ liệu
quang học [14]. Cũng trong năm 2016 tác giả Trần Thị Hồng Lê đã khảo
sát cấu hình nhám bề mặt trong giếng lượng tử InN/GaN [5]. Tuy nhiên,
cho đến nay chúng tôi chưa tìm thấy một nghiên cứu nào về cấu hình
nhám được tính toán từ mật độ hấp thụ tích hợp trong giếng lượng tử
InAs/AlAs.
Từ những lý do trên tôi quyết định chọn đề tài: “Khảo sát cấu
hình nhám thông qua mật độ hấp thụ tích hợp trong giếng
lượng tử InAs/AlAs” làm Luận văn Thạc sĩ.
9


II. Mục tiêu đề tài
Khảo sát hai kích thước của cấu hình nhám là chiều dài tương quan
và biên độ nhám thông qua mật độ hấp thụ tích hợp trong giếng lượng

tử InAs/AlAs.
III. Nội dung đề tài
Đề tài chủ yếu tập trung vào các vấn đề sau:
– Khảo sát cấu hình của giếng lượng tử;
– Tìm hiểu khái quát về vật liệu;
– Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về cấu hình nhám trong giếng lượng
tử InAs/AlAs;
– Tính toán và rút ra kết quả nghiên cứu.
IV. Phạm vi nghiên cứu
Trong khuôn khổ Luận văn chúng tôi chỉ nghiên cứu về khảo sát
cấu hình nhám thông qua mật độ hấp thụ tích hợp trong giếng lượng tử
InAs/AlAs.
V. Phương pháp nghiên cứu
– Nghiên cứu lý thuyết dựa trên lý thuyết Cơ học lượng tử;
– Sử dụng các phương pháp số;
– Sử dụng chương trình Mathematica để tính số và vẽ đồ thị.
VI. Bố cục luận văn
Luận văn gồm có ba phần chính: Mở đầu, Nội dung và Kết luận.
1. Phần Mở đầu: Trình bày về lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên
cứu, nội dung nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu
10


và bố cục luận văn.
2. Phần Nội dung: Gồm ba chương
Chương 1: Cơ sở lý thuyết;
Chương 2: Khảo sát cấu hình nhám thông qua mật độ hấp thụ tích
hợp trong giếng lượng tử InAs/AlAs;
Chương 3: Kết quả tính toán và thảo luận.
3. Phần Kết luận: Trình bày các kết quả đạt được của luận văn và

đề xuất hướng phát triển nghiên cứu.

11


NỘI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này chúng tôi sẽ trình bày tổng quan về giếng lượng tử, các
mô hình của giếng lượng tử bao gồm giếng lượng tử thế vuông góc sâu
vô hạn, giếng lượng tử thế vuông góc sâu hữu hạn, giếng lượng tử thế
parabol, giếng lượng tử thế tam giác và vẽ các đồ thị hàm sóng tương ứng
với mỗi loại giếng. Chúng tôi sẽ trình bày về cấu hình nhám và các cơ
chế tán xạ của hạt tải chủ yếu ảnh hưởng đến cấu hình nhám. Cuối cùng
chúng tôi sẽ trình bày tổng quan về các tham số của vật liệu InAs/AlAs.

1.1.

Tổng quan về giếng lượng tử

Giếng lượng tử là cấu trúc giam giữ hạt vi mô một chiều, trong đó
một lớp mỏng chất bán dẫn này được đặt giữa hai lớp chất bán dẫn khác
có độ rộng vùng cấm lớn hơn. Sự khác biệt của các cực tiểu vùng dẫn
của hai chất bán dẫn đó tạo nên một giếng thế lượng tử. Các hạt tải
điện nằm trong mỗi chất bán dẫn này không thể xuyên qua miền phân
cách để đi đến lớp bên cạnh. Do vậy, trong cấu trúc giếng lượng tử, các
hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách ly lẫn nhau bởi các hàng
rào thế. Đặc điểm chung của hệ điện tử trong cấu trúc giếng lượng tử là
chuyển động của chúng là tự do theo hai chiều, còn sự chuyển động theo

chiều thứ ba bị giới hạn nên bị lượng tử hóa [2]. Cấu trúc này được mô
tả ở hình 1.1.

12


Hình 1.1: Cấu trúc của giếng lượng tử.

Bán dẫn giếng lượng tử thông dụng nhất là hệ được tạo thành từ
hai chất bán dẫn khác nhau. Một mô hình bán dẫn giếng lượng tử được
mô tả ở hình 1.2, đây là trường hợp một cấu trúc GaAs/AlGaAs được
nuôi cấy trên đế GaAs.

Hình 1.2: Mô hình giếng lượng tử hình thành bởi lớp GaAs kẹp giữa hai lớp AlGaAs.

1.1.1.

Điện tử trong hệ bán dẫn hai chiều

Về mặt hình thức, tất cả các cấu trúc của hệ điện tử chuẩn hai
chiều đều có thể xem như giếng thế một chiều V (z) theo hướng mà
chuyển động của các điện tử bị giới hạn (hướng z). Sự khác biệt giữa
các cấu trúc này là dạng của thế giam giữ V (z). Theo cơ học lượng tử,
13


chuyển động của các điện tử trong giếng lượng tử bị lượng tử hóa và
năng lượng của điện tử

n


được đặc trưng bởi một số lượng tử n nào

đó. Trong khi đó, chuyển động của điện tử trong mặt phẳng (x, y) là tự
do, năng lượng phụ thuộc vào véc-tơ sóng của electron theo hai phương
này. Để tìm năng lượng và hàm sóng trong trường hợp này ta áp dụng
cách giải phương trình Schr¨odinger như trong trường hợp ba chiều. Một
cách tổng quát, năng lượng và hàm sóng của electron trong giếng lượng
tử thu được bằng cách giải phương trình Schr¨odinger cho electron
2m
ψ(r) + 2 E − V (r) ψ(r) = 0,
(1.1)
trong đó V (r) là thế năng tương tác Coulomb giữa electron và trường
mạng tinh thể, m là khối lượng hiệu dụng của electron. Ta đã giả sử
electron chuyển động tự do trong mặt phẳng (x, y) và bị giam giữ theo
phương z. Từ đó, thế năng V (r) được chia thành hai thành phần
V (r) = V (x, y, z) = V (x, y) + V (z),
trong đó V (x, y) = 0 do electron chuyển động tự do trong mặt phẳng
(x, y), V (z) là thế năng giam giữ theo phương z có dạng phụ thuộc vào
từng trường hợp cụ thể. Vì chuyển động của electron trong mặt phẳng
(x, y) độc lập với chuyển động của electron theo phương z nên phương
trình (1.1) có thể tách thành hai phương trình [2]
2m
Ex,y ψ(x, y) = 0,
x,y ψ(x, y) +
2
z ψ(z)

+


2m
2

Ez − V (z) ψ(z) = 0,

(1.2)
(1.3)

trong đó Ex,y và ψ(x, y) lần lượt là năng lượng và hàm sóng của electron
trong mặt phẳng (x, y), Ez và ψ(z) lần lượt là năng lượng và hàm sóng
của electron theo phương z. Chuyển động của electron trong mặt phẳng
(x, y) là tự do nên theo cơ học lượng tử phương trình (1.2) có nghiệm [2]
2
1
Ex,y =
kx2 + ky2 , ψkx ,ky (x, y) =
ei(kx x+ky y) ,
(1.4)
2m
Lx Ly
14


với kx , ky lần lượt là các thành phần véc-tơ sóng của electron theo các
hướng x, y. Phương trình (1.3) có nghiệm là Ez và ψ(z) với dạng cụ thể
phụ thuộc vào dạng thế năng V (z). Sau đây, chúng tôi sẽ xét các dạng
thế năng V (z) trong các trường hợp khác nhau.
1.1.2.

Giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn


Xét hạt chuyển động trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn
có bề rộng L. Trong trường hợp này thế giam giữ điện tử một chiều theo
trục z, biểu thức thế năng có dạng

 0 khi 0 ≤ z ≤ L;
V (z) =
 ∞ khi z < 0, z > L.

(1.5)

Giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn được minh họa ở hình 1.3.

Hình 1.3: Minh họa giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn.

Do thế giam giữ cao vô hạn nên hạt không tồn tại ở bên ngoài giếng,
tức là hạt hoàn toàn bị giam giữ trong giếng thế. Vì vậy hàm sóng của
hạt ở miền (I) và miền (III) bằng 0. Phương trình Schr¨odinger cho hạt
trong miền (II) ở trạng thái dừng có dạng
d2 ψ(z) 2mE
+ 2 ψ(z) = 0.
dz 2
15

(1.6)


Đặt k 2 = 2mE/ 2 , phương trình (1.6) được viết lại
d2 ψ(z)
+ k 2 ψ(z) = 0.

2
dz

(1.7)

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.7) có dạng
ψ(z) = A sin kz + B cos kz.
Từ điều kiện biên của hàm sóng ψ(0) = ψ(L) = 0, ta được


 A sin 0 + B cos 0 = 0
B=0
nπ
,
⇔
⇒k=
 AsinkL + BcoskL = 0
 A sin kL = 0
L

(1.8)

(1.9)

với n = 1, 2, 3, ... Để tìm được hệ số A ta chuẩn hóa hàm sóng
L

L

ψ ∗ (z)ψ(z)dz = 1 ⇒ A2

0

sin2

√
2
nπ
z =1⇒A=
.
L
L

(1.10)

0

Vậy hàm sóng và năng lượng của hạt lần lượt là [5]
nπ
2
sin
z, (n = 1, 2, 3, ...),
L
L

ψn (z) =

π2 2 2
n = n2 E0 ,
En =
2mL2


(1.11)
(1.12)

trong đó E0 = π 2 2 /(2mL2 ) là năng lượng của hạt ở trạng thái cơ bản.
Đồ thị hàm sóng của hạt trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn
được mô tả ở hình (1.4).

16


Hình 1.4: Đồ thị hàm sóng của hạt trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn.

1.1.3.

Giếng lượng tử thế vuông góc sâu hữu hạn

Xét một giếng lượng tử thế vuông góc có chiều sâu V0 . Trường hợp
năng lượng của hạt E < V0 thì hạt bị giam giữ trong giếng, năng lượng
của hạt bị lượng tử hóa ứng với các trạng thái liên kết. Khác với trường
hợp giếng có chiều sâu vô hạn, hạt trong giếng sâu hữu hạn có thể được
tìm thấy ở bên ngoài do hiệu ứng đường ngầm.
Bây giờ ta xét hạt chuyển động trong giếng thế đối xứng một chiều
vuông góc sâu hữu hạn có bề rộng 2a. Biểu thức thế năng có dạng

 0 khi |z| < a;
V (z) =
(1.13)
 V0 khi |z| ≥ a.
Giếng lượng tử thế vuông góc sâu hữu hạn được minh họa ở hình 1.5.

Phương trình Schr¨odinger cho hạt trong miền (II) ở trạng thái dừng có
dạng
d2 ψ(z) 2mEn
+
ψ(z) = 0.
2
dz 2

(1.14)

Ở miền (I) và miền (III) phương trình Schr¨odinger có dạng
d2 ψ(z) 2m(En − V0 )
+
ψ(z) = 0.
2
dz 2
17

(1.15)


Hình 1.5: Minh họa giếng lượng tử thế vuông góc sâu hữu hạn.

Giải phương trình (1.14) và (1.15) ta tìm được hàm sóng của hạt ở cả
ba miền với hai lớp nghiệm chẵn và nghiệm lẻ [5]
- Lớp nghiệm chẵn


κ(z+a)


z ≤ −a;

 B cos(ka)e
ψ(z) =
B cos(kz)
− a ≤ z ≤ a;



 B cos(ka)e−κ(z−a)
z ≥ a;

(1.16)

- Lớp nghiệm lẻ

ψ(z) =



κ(z+a)


 −Asin(ka)e

z ≤ −a;

Asin(kz)
− a ≤ z ≤ a;




 A sin(ka)e−κ(z−a) z ≥ a;

(1.17)

trong đó k 2 = 2mEn / 2 , κ2 = 2m(V0 − E)/ 2 , A và B là các hệ số chuẩn
hóa có dạng
1

A=
a+

2
1
κ sin (ka)

−

1
2k

a+

1
2
κ cos (ka)

+


1
2k sin(2ka)

(1.18)

.

(1.19)

cos(2ka)

1

B=

,

Để vẽ được dạng hàm sóng, ta phải tìm được các giá trị κ và k. Từ

18


điều kiện tan(ka) = κ/k và −cot(κa) = κ/k ta đặt
η = ka = a

2mE

,

2


ζ0 = a

2mV0
2

,

(1.20)

với lưu ý −cot(ka) = tan[π/2 + ka], biến đổi ta được
ζ02
− 1,
η2

tan η =

− cot η =

(1.21)

ζ02
− 1.
η2

(1.22)

Phương trình (1.21) tương ứng với lớp nghiệm chẵn và phương trình
(1.22) tương ứng với lớp nghiệm lẻ. Để xác định các giá trị của năng
lượng, ta phải tìm được giá trị của η. Giá trị của η chính là giao điểm

ζ02
η2

của ba đồ thị f (η) = tanη, f (η) =

− 1 và f (η) = −cotη (hình 1.6).

Giá trị năng lượng được suy ra từ công thức (1.20)
E=

η2 2
.
2ma2

Xét giếng lượng tử có bề rộng a = 0,45 nm, độ sâu giếng V0 = 10, 5
eV, giá trị ζ0 tính được là ζ0 = 7, 46. Từ đồ thị hình 1.6 ta xác định được
các giá trị η tương ứng với các mức năng lượng đầu tiên như sau:
η1 = 1, 40 → n = 1 → E1

0, 37 eV;

η2 = 2, 80 → n = 2 → E2

1, 49 eV;

η3 = 1, 40 → n = 3 → E3

3, 29 eV.

19



Hình 1.6: Đồ thị xác định các giá trị η tương ứng với các mức năng lượng.

Đồ thị hàm sóng của hạt trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu
hữu hạn được mô tả ở hình 1.7.

Hình 1.7: Đồ thị hàm sóng của hạt trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu hữu hạn.

20


1.1.4.

Giếng lượng tử thế parabol

Xét hạt chuyển động trong giếng thế parabol. Biểu thức thế năng
có dạng
1
V (z) = mω 2 z 2 .
2

(1.23)

Dạng thế này mô tả một dao động tử điều hòa. Hạt có khối lượng m trong
trường thế năng cho bởi (1.23) thực hiện dao động điều hòa z = z0 cosωt,
với tần số góc ω =

K/m. Giếng lượng tử thế parabol được minh họa


ở hình 1.8.

Hình 1.8: Minh họa giếng lượng tử thế parabol.

Phương trình Schr¨odinger không phụ thuộc vào thời gian có dạng
d2 ψ(z) 2m
1
+
(E
−
mω 2 z 2 )ψ(z) = 0.
2
2
dz
2
Đặt α =

(1.24)

mω/ z và β = 2E/( ω), phương trình (1.24) trở thành
d2 ψ(α)
+ (β − α2 )ψ(α) = 0.
2
dz

(1.25)

Để tìm nghiệm của phương trình (1.25), ta xét các nghiệm tiệm cận. Khi
α → ±∞, phương trình (1.25) trở thành
d2 ψ(α)

− α2 ψ(α) = 0.
2
dz
21

(1.26)


Nghiệm của phương trình (1.26) có dạng
ψ(α) = eα

2

/2

+ e−α

2

/2

.

Do điều kiện giới nội của hàm sóng nên ta chỉ chọn số hạng e−α

(1.27)
2

/2


. Khi

α có giá trị bất kì thì nghiệm của (1.25) có dạng
ψ(α) = Ae−α

2

/2

f (α).

(1.28)

Lấy đạo hàm bậc hai của hàm ψ(α) theo α rồi thế vào phương trình
(1.25) ta được
f (α) − 2αf (α) + (β − 1)f (α) = 0,

(1.29)

đây là phương trình Hermite, nghiệm của phương trình Hermite là một
đa thức Hermite. Bây giờ ta tìm nghiệm của (1.29) dưới dạng chuỗi lũy
thừa

∞

ak α k .

f (α) =

(1.30)


k=0

Thay đạo hàm bậc nhất và bậc hai của f (α) theo (α) vào (1.29), sau đó
∞

đưa các số hạng về cùng tổng

ta được
k=0

∞

[(k + 1)(k + 2)ak+2 − 2kak + (β − 1)ak ] = 0,

(1.31)

k=0

từ đó ta suy ra công thức truy toán để xác định các hệ số ak
ak+2 =

2k + 1 − β
ak .
(k + 1)(k + 2)

(1.32)

Khi α → ∞, để thỏa mãn điều kiện giới nội của hàm sóng thì chuỗi
(1.30) phải bị chặn tại một số hạng nào đó, nghĩa là trở thành một đa

thức bậc n nào đó, khi đó an = 0, an+2 = 0, từ công thức truy toán ta
suy ra
2n + 1 − β = 0

⇒ β = 2n + 1.
22

(1.33)