BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ HOÀNG ANH

KHAI TRIỂN WAVELET CHO
KHÔNG GIAN Bϕ-SPLINES

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
TS. LÊ THỊ NHƯ BÍCH

HUẾ, 2016

i


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình,
chu đáo của Cô giáo, TS. Lê Thị Như Bích. Tôi xin gửi đến Cô sự trân
trọng và biết ơn sâu sắc.
Xin được bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng đến quý Thầy Cô giáo
Trường ĐHSP Huế, ĐHKH Huế, những người đã tận tình giảng dạy và
luôn động viên, khích lệ tôi trong suốt hai năm học qua.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn BGH trường ĐHSP Huế, các Thầy
Cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế, ĐHKH Huế và PQLSĐH trường ĐHSP
Huế, những người đã giúp tôi có được kiến thức khoa học cũng như những

điều kiện để hoàn thành công việc học tập, nghiên cứu của mình.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn.

ii


Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

1

Lời nói đầu

3

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

4

1.1

Xấp xỉ một hàm số bởi các hàm bậc thang [1] . . . . . . . . . . . .


5

1.2

Wavelet Haar [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Một số tính chất của cơ sở wavelet Haar [1] . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Mối liên hệ giữa các hàm H(x) và B(x) [1] . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

Công thức khai triển và hồi phục [1] . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.6

B - splines


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.7

Một số kết quả đại số [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 KHÔNG GIAN CÁC Bϕ -SPLINES BẬC NHẤT

12

2.1

Xây dựng các Bϕ -splines bậc nhất [3] . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Tính chất của các Bϕ -splines bậc nhất [3] . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3

Một số ví dụ về Bϕ -splines bậc nhất [3] . . . . . . . . . . . . . . .


14

2.4

Mối liên hệ của các Bϕ -splines bậc nhất [3] . . . . . . . . . . . . .

15

2.5

Các phiếm hàm song trực giao [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.6

Công thức khai triển, hồi phục. [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.6.1

Công thức khai triển. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.6.2

Công thức hồi phục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


20

Khai triển wavelet cho dãy lưới lồng vào nhau [3] . . . . . . . . . .

20

2.7

3 KHÔNG GIAN CÁC Bϕ - SPLINES BẬC HAI

1

22


3.1

Xây dựng các Bϕ -splines bậc hai [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.2

Điều kiện đầy đủ của hệ vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.3


Tính chất của các Bϕ -splines bậc hai [5] . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.4

Một số ví dụ về Bϕ -splines bậc hai [5] . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.5

Các phiếm hàm song trực giao [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.6

Mối liên hệ của các Bϕ -splines [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.7

Công thức khai triển, hồi phục [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.7.1


Công thức khai triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.7.2

Công thức hồi phục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Khai triển wavelet cho dãy lưới lồng vào nhau [5] . . . . . . . . . .

37

3.8

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

40

2


LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết wavelet được áp dụng nhiều trong lĩnh vực xử lý thông tin, trong
đó khai triển wavelet được xem như một công cụ hiệu quả để xây dựng các thuật

toán nén các luồng dữ liệu lớn. Luồng dữ liệu này có thể là một dãy các tín hiệu
số rời rạc, và khi xử lý dãy tín hiệu này, ta hay xem chúng như giá trị của một
hàm thực nào đó và xử lý chúng thông qua hàm số này. Việc xấp xỉ n điểm bởi
đường cong B-splines (basic splines) đã được biết đến từ lâu (khoảng giữa thế
kỷ thứ 19, do nhà Toán học Nikolai Lobachevski nghĩ ra). Phương trình đường
cong này là tổ hợp tuyến tính của các đa thức có bậc không vượt quá n − 1.
Mở rộng khái niệm B-splines, Bϕ -splines được xây dựng ( khoảng vào năm 2005)
dựa trên một vector hàm số ϕ thỏa mãn tính khả vi liên tục đồng thời giá trị
của các thành phần của vector hàm số này tại các điểm chia lưới không làm suy
biến định thức ma trận Wronskian. Các Bϕ -splines này không nhất thiết phải là
những đa thức mà nó có thể là một hàm số bất kỳ, như hàm lượng giác, hàm
hyperbol, hàm số mũ,... Đặc biệt dựa trên các Bϕ -splines này ta xây dựng được
không gian wavelet, mà khai triển wavelet cho không gian này cho ta công thức
khai triển và công thức hồi phục, một thuật toán để nén dãy tín hiệu số.
Vì vai trò quan trọng của nó nên hiện nay không gian các Bϕ -splines này
vẫn đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Việc tổng hợp lại các
kết quả nghiên cứu này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về không gian các Bϕ -splines
cũng như hiểu rõ về lý thuyết wavelet cũng như ứng dụng của nó. Chính vì vậy
tôi chọn đề tài này làm đề tài luận văn thạc sĩ chuyên ngành Giải tích của mình.
Nội dung của luận văn được chia làm ba chương.
Chương 1 giới thiệu một số kiến thức cơ sở để tiếp cận với lý thuyết wavelet.
Chương 2 dành cho việc giới thiệu cách xây dựng không gian các Bϕ -splines
bậc nhất và khai triển wavelet cho không gian này.
Chương 2 giới thiệu cách xây dựng không gian các Bϕ -splines bậc hai và khai
triển wavelet cho không gian này.
Mặc dù bản thân đã hết sức cố gắng nhưng trong việc trình bày luận văn
không thể tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp để luận văn hoàn thiện hơn.

Huế, ngày 15 tháng 9 năm 2016

Trần Thị Hoàng Anh

3


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
Lý thuyết wavelet bắt đầu xuất hiện khoảng 20 năm trước đây, và đến nay
đã có những bước tiến đáng kể, đặc biệt là những ứng dụng của nó trong lĩnh
vực xử lý thông tin, truyền tải, nén dữ liệu,...Các nhà toán học đóng vai trò
quan trọng trong việc phát triển lý thuyết wavelet phải kể đến là Meyer, Chui,
Daubechies, Matlat,...
Lý thuyết wavelet xoay quanh các vấn đề liên quan đến việc xây dựng một
hệ phân tích đa phân giải (viết tắt là MRA), gồm một dãy các không gian con
{Vn } lồng vào nhau của không gian L2 . Các không gian này sinh ra từ một hàm
sinh ϕ(x), được gọi là hàm sinh MRA, và từ đó ta xây dựng các hàm wavelet
ψ(x) tương ứng. Từ hàm wavelet ψ(x) này, bằng cách co giãn theo tỉ lệ 2n và tịnh
tiến m đơn vị trên trục hoành, ta xây dựng được các hàm ψm,n (x), là một cơ sở
của không gian L2 .
Với cách xây dựng này, một hàm f (tức dữ liệu vào) có thể được biểu diễn
xấp xỉ ở các độ phân giải khác nhau thông qua dãy không gian {Vn }. Ở độ phân
giải càng cao (tức n càng lớn), việc xấp xỉ càng chính xác, tuy nhiên cũng cần
nhiều hệ số để biểu diễn sự xấp xỉ đó. Ngược lại, ở độ phân giải thấp, cần ít
hệ số để biểu diễn hơn, tuy nhiên độ chính xác cũng thấp, sai số lớn. Ta có thể
hình dung một bức ảnh kỹ thuật số, ở độ phân giải càng cao, bức ảnh càng rõ
nét nhưng dung lượng cũng sẽ lớn, việc sao chép, lưu trữ, truyền tải sẽ gặp khó
khăn. Còn khi ta làm việc đó với một bức ảnh dung lượng nhỏ, tốc độ sẽ nhanh
hơn, dĩ nhiên bức ảnh khi xem sẽ không đẹp và nét bằng. Vấn đề này nảy sinh
câu hỏi làm thế nào để một hàm f biểu diễn ở độ phân giải cao có thể biến đổi
sang độ phân giải thấp và ngược lại. Không gian wavelet cho ta làm được điều

này nhờ mối liên hệ chặt chẽ giữa các hệ số khi biểu diễn hàm f ở độ phân giải n
và độ phân giải n + 1 và ngược lại. Từ đó ta có thể linh hoạt thay đổi biểu diễn
hàm f ở các độ phân giải khác nhau. Để tiếp cận với lý thuyết wavelet, ta sẽ tìm
hiểu hàm wavelet đơn giản nhất, là hàm wavelet Haar trong các phần sau đây.

4


1.1

Xấp xỉ một hàm số bởi các hàm bậc thang [1]

Ký hiệu: L2 = {f : R −→ C :
định nghĩa tích vô hướng:

´
R

|f (t)|2 dt < ∞}. Trong không gian này, ta

ˆ

f, g =

f (x)g(x)dx.
R

L2 là không gian Hilbert có chuẩn là ||f || =

Ký hiệu


l2

= {(an )n :

|an

|2

f, f .

< ∞} Xét các hàm số:

n∈Z

1,
0,

Xn,k (x) =

x ∈ [2−n k, 2−n (k + 1))
x∈
/ [2−n k, 2−n (k + 1))

Ta biết rằng mỗi hàm f ∈ L2 đều được xấp xỉ bởi các hàm bậc thang
cn,k Xn,k ,

fn (x) =

n∈N


k∈Z

sao cho
lim ||fn − f || = 0

n→∞

Đặt
an,k Xn,k , (an,k )k∈Z ∈ l2 }

Vn = {gn : gn =
k∈Z

Khi đó, {Vn } là một dãy các không gian con của L2 , đồng thời với mọi f ∈ L2 ,
tồn tại fn ∈ Vn sao cho:
lim ||fn − f || = 0

n→∞

Dãy {Vn } có các tính chất sau:
1) ... ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ ...
2)

n∈Z Vn

= L2

3)


n∈Z Vn

= {0}

Dãy {Vn }n∈Z được gọi là một phân tích đa phân giải (viết tắt là MRA) của L2 .
Cho B(x) là hàm xác định như sau:
B(x) =

1,

0≤x<1

0,

x∈
/ [0, 1)

Khi đó {B(x − k)}k∈Z là cơ sở trực chuẩn của V0 .
Đặt
Bn,k (x) = 2n/2 B(2n x − k) n, k ∈ Z.

Ta quy ước B0,k (x) = Bk (x), khi đó {Bn,k }k∈Z là cơ sở trực chuẩn của Vn . Hàm
B(x) được gọi là hàm sinh MRA (hay hàm mẹ).
5


1.2

Wavelet Haar [1]


Gọi Wn là phần bù trực giao của Vn trong Vn+1 , ta có:
Wn

Vn = Vn+1 ,

Wn ⊥Vn

Khi đó
L2 =

Wn ⊥Wn

Wn ,

n=n

Không gian Wn được gọi là không gian wavelet. Ta sẽ đi tìm cơ sở trực chuẩn
của Wn .
Ta thấy rằng Vn là phép giãn 2n của V0 nên Wn là phép giãn 2n của W0 . Do đó,
để tìm cơ sở trực chuẩn của Wn , ta đi tìm cơ sở trực chuẩn của W0 .
Để làm được điều này, ta xét hàm số:

1


 1, 0 ≤ x <
H(x) =

−1,




0,

2
1
≤x<1
2
x∈
/ [0, 1)

Hàm H(x) được gọi là wavelet Haar.

1.3

Một số tính chất của cơ sở wavelet Haar [1]

Định nghĩa 1.1 Một hàm ψ ∈ L2 được gọi là một hàm wavelet trực chuẩn nếu
họ {ψn,m }n,m∈Z là một cơ sở trực chuẩn của L2 , trong đó
ψn,m (x) = 2n/2 ψ(2n x − m), m, n ∈ Z.

Cơ sở {ψn,m } sinh ra bởi ψ được gọi là cơ sở wavelet trực chuẩn của L2 .
Bổ đề 1.1 Đặt
Hk (x) = H(n − k)

và
Hn,k (x) = 2n/2 H(2n x − k) n, k ∈ Z, x ∈ R.

Khi đó, {Hk }k∈Z là cơ sở trực chuẩn của W0 và {Hn,k (x)}k∈Z là cơ sở trực chuẩn
của Wn .

Chứng minh.
Ta có:

ˆ

ˆk+1
|Hk (x)|2 dx =

||Hk ||2L2 (R) =

dx = 1
k

R

6


ˆ

và

ˆ
Hk (x)Hk (x)dx = 1 khi k = k ,

R

Hk (x)Hk (x)dx = 0 khi k = k
R


Như vậy, {Hk }k∈Z là hệ trực chuẩn của W0 . Ta sẽ chứng minh {Hk }k∈Z là cơ sở
của W0 Thật vậy, với mỗi g ∈ W0 , khi đó g ∈ V1 , luôn tồn tại dãy (ck ) ∈ l2 sao
cho:
g=

ck B1,k =

(c2l B1,2l + c2l+1 B1,2l+1 )

k∈Z

l∈Z

Vì g⊥V0 nên ta có c2l+1 = −c2l Mặt khác, ta lại có:
1
Hl = √ (B1,2l − B1,2l+1 )
2

Do đó
(c2l B1,2l − c2l B1,2l+1 )

g=
l∈Z

=

√

2
l∈Z


1
√ c2l (B1,2l − B1,2l+1 )
2

√
= 2

c2l Hl ,

(c2l ) ∈ l2

l∈Z

Suy ra {Hk }k∈Z là cơ sở của W0 . Do đó, {Hk }k∈Z là cơ sở trực chuẩn của W0 . Vậy
{Hn,k (x)}k∈Z là cơ sở trực chuẩn của Wn .
Định lý 1.1 Dãy {Hn,k }n,k∈Z là cơ sở wavelet trực chuẩn của L2 .
Chứng minh.
Ta có L2 =
Wn , mà {Hn,k (x)}k∈Z là cơ sở trực chuẩn của Wn nên {Hn,k }n,k∈Z
là cơ sở trực chuẩn của L2 . Do đó {Hn,k }n,k∈Z là cơ sở wavelet trực chuẩn.

1.4

Mối liên hệ giữa các hàm H(x) và B(x) [1]

Ta có:

1
0≤x<

2
B(2x) =
1
 0, k ∈
/ [0, )
2

 1, 1 ≤ x < 1
2
B(2x − 1) =
1
 0, k ∈
/ [ , 1)
2


 1,

Suy ra B(x) = B(2x) + B(2x − 1) và H(x) = B(2x) − B(2x − 1).

7


1.5

Công thức khai triển và hồi phục [1]

Vì {Hn,k }n,k∈Z là cơ sở trực chuẩn của L2 nên với mọi f ∈ L2 , ta luôn có:
f=


dnk Hnk

với dnk = f, Hnk .
Mặt khác
Vj =

Wk
k
và Vj → 0 khi j → −∞ nên
f=

cjk Bjk +

dnk Hnk
n≥j k∈Z

k∈Z

Không mất tính tổng quát, ta giả sử j = 0, khi đó
∞

f=

ck Bk +

dnk Hnk
n=0 k∈Z

k∈Z

Đặt
N −1

fN =

ck Bk +

djk Hjk
j=0 k∈Z

k∈Z

Suy ra
f = P rojVn f

và ||fN − f || → 0 khi N → ∞ Mặt khác, fN ∈ VN nên ta có:
fN =

cN k BN k
k∈Z

Do đó

N −1

ck Bk +
k∈Z

djk Hjk =

j=0 k∈Z

cN k BN k
k∈Z

Với B(x) = B(2x) + B(2x − 1) và H(x) = B(2x) − B(2x − 1) ta tính được:

1

 cn−1k = √ (cn2k + cn2k+1 )
2

1

 dn−1k = √ (cn2k − cn2k+1 )
2

Như vậy, ta có thể tính toán ck , dk , d1k , ..., dN −1k từ cN k .

8


Ví dụ 1.1
4

c4,k B4,k với c4,0 = 1, c4,1 = 2, c4,2 = 4, c4,3 = −2, c4,4 = −3.

Cho f (x) =
k=0

c4k = (..., 0, 1, 2, 4, −2, −3, 0, ...)

Suy ra:

√

3
3
2(..., 0, , 1, − , 0, ...)
2
2
√
1
3
d3k = 2(..., 0, − , 3, − , 0, ...)
2
2
5 3
c2k = 2(..., 0, , − , 0, ...)
4 4
1 3
d2k = 2(..., 0, , − , 0, ...)
4 4
√
1
c1k = 2 2(..., 0, , 0, ...)
4
√
d1k = 2 2(..., 0, 1, 0, ...)
c3k =

1
ck = 4(..., 0, , 0, ...)
8
1
dk = 4(..., 0, , 0, ...)
8

Do đó

1.6

√
1
1
3
1
f (x) = B(x) + H(x) + 2 2H1,0 (x) + H2,0 (x) − H2,1 (x)
2
2
2
2
√
√
√
2
3 2
H3,0 (x) + 3 3H3,1 (x) −
H3,2 (x)
−

2
2

B- splines

Một B - spline bậc m ký hiệu là Nm (x) được định nghĩa như sau:
N1 (x) = B(x) =

ˆ

1,

0≤x<1

0,

x∈
/ [0, 1)

ˆ

1

Nm (x) = Nm−1 (x) ∗ N1 (x) =

x

Nm−1 (x − t)dt =
0

Nm−1 (t)dt
x−1

Nghĩa là

m

Nm (x) = N1 ∗ N1 ∗ ... ∗ N1 (x)

trong đó ký hiệu f ∗ g(x) =

´

R

f (x − t)g(t)dt là tích chập của f và g .

9


Định lý 1.2 B -spline bậc m có tính chất sau:
1) supp Nm = [0, m].
2) Nm ∈ C m−2 (R) và Nm là một đa thức bậc m − 1 trên mỗi đoạn [k, k + 1], 0 ≤
k ≤ m − 1.

3) Nm (x) > 0 ∀x ∈ (0, m),
4) Nm (x) đối xứng qua đường thẳng x = m/2, tức là
Nm (x) = Nm (m − x).

Chứng minh.

1) Ta có supp N1 = [0, 1]
supp Nm = supp N1 + ... + supp N1 = [0, m]
m

2) N2 (x) là đa thức bậc 1 trên [k, k + 1], 0 ≤ k < 1 nên N2 (x) ∈ C 0 (R).

Giả sử Nm−1 (x) là đa thức bậc m − 2 trên [k, k + 1], 0 ≤ k < m − 2 và Nm−1 (x) ∈
C m−2 (R).
Ta có
ˆ x
Nm (x) =

Nm−1 (t)dt
x−1

Suy ra Nm (x) là đa thức bậc m−1 trên [k, k+1], 0 ≤ k < m−1 và Nm (x) ∈ C m−1 (R).
3) Ta có N1 (x) = B(x) > 0 ∀x ∈ (0, 1).
Giả sử Nm−1 (x) > 0 ∀x ∈ (0, m − 1). Suy ra
ˆ x
Nm−1 (t)dt > 0 ∀x ∈ (0, m)

Nm (x) =
x−1

4) Với m = 1 thì N1 (x) = N1 (1 − x) = B(x).

Giả sử Nm−1 (x) = Nm−1 (1 − x). Ta có:
ˆ 1
Nm−1 (m − x − t)dt

Nm (m − x) =
0

ˆ

1

Nm−1 (m − 1 − (x + t − 1))dt

=
0

ˆ

1

Nm−1 (x − t)dt = Nm (x).

=
0

Ví dụ 1.2
N2 (x) =







x,

x ∈ [0, 1)

2 − x,
0,

x ∈ [1, 2)
x∈
/ [0, 2)

10


Ví dụ 1.3

N3 (x) =

1 2
x ,
2
3
− (x − )2 ,
4
2
1
(x − 3)2 ,
2
0,







 3







x ∈ [0, 1)
x ∈ [1, 2)
x ∈ [2, 3)
x∈
/ [0, 3)

Ví dụ 1.4

N4 (x) =


1 3


x ,



6


1
2

3
2


 − 2 (x − 2) − (x − 2) + 3 ,
1

2

(x − 2)3 − (x − 2)2 + ,

2
3


1

3

(4 − x) ,




6


0,

x ∈ [0, 1)
x ∈ [1, 2)
x ∈ [2, 3)
x ∈ [3, 4)
x∈
/ [0, 4)

Định lý 1.3 B -splines bậc m là hàm sinh MRA.

1.7

Một số kết quả đại số [4]

Các kết quả sau nhằm phục vụ cho việc tính toán ở chương 3.
Bổ đề 1.2 Cho a, b, c, d, e, f ∈ R3 , khi đó:
det(a × b, c × d, e × f) = det(a, c, d) det(b, e, f) − det(b, c, d) det(a, e, f)

Bổ đề 1.3 Cho các vector A, B, C, D ∈ R3 , ta có:
det(A × B, B × C, C × D) = det(A, B, C) det(B, C, D)

Bổ đề 1.4 Cho các vector A, B, C, c ∈ R3 , ta có:
det(A × B, B × C, c) = det(A, B, C)(B . c)

Bổ đề 1.5 Cho các vector B, C, D, E,c ∈ R3 và C . c = 0, ta có:
det(B × C, c, D × E) = det(C, D, E)(B . c)

Bổ đề 1.6
det

B.c
D.c

B.c
D.c

= det(B, C, D)

(1.1)

với C = c × c
Bổ đề 1.7 Cho các vector B, P, Q, R,S, T ∈ R3 ta có:
det(P, Q, R) det(R, S, T) + det(Q, R, S)det(P, R, T) = det(Q, R, T) det(P, R, S)
11


Chương 2
KHÔNG GIAN CÁC Bϕ-SPLINES
BẬC NHẤT
Khái niệm Bϕ -splines được đưa ra đầu tiên khoảng vào năm 2005 bởi Makarov.
Theo đó, các Bϕ -splines được xây dựng từ việc xấp xỉ một vectơ hàm số hai thành
phần ϕ(t) ∈ C1 [a, b]. Các Bϕ -splines này được gọi là các Bϕ -splines bậc nhất. Tiếp
sau đó, khoảng vào năm 2006, Y. K. Demjanovich đã mở rộng khái niệm này
bằng cách xấp xỉ một hàm vectơ ba thành phần ϕ(t) ∈ C 2 [a, b] để được các Bϕ splines bậc hai. Các Bϕ -splines này khác biệt hơn các B -splines ở chổ nếu các
B -splines được cấu thành từ các đa thức thì các Bϕ -splines là tổ hợp tuyến tính
của các hàm bất kỳ thỏa mãn tính chất của vectơ hàm số ϕ(t). Các Bϕ -splines

bậc cao hơn cũng được xây dựng vào những năm sau đó với mục đích xây dựng
không gian wavelet để biểu diễn xấp xỉ bởi một hàm tốt hơn. Trong chương này,
ta sẽ tìm hiểu về các Bϕ -splines bậc nhất. Ta sử dụng các ký hiệu sau:
1) R2 là không gian các vectơ cột có hai thành phần.
2) aT b là tích trong của hai vectơ a và b (aT b = a, b = a1 b1 + a2 b2 ).
4) (a, b) là ma trận vuông cấp 2 với a, b, c ∈ R2 .
5) det(a, b) là định thức của ma trận vuông cấp 2 với a, b ∈ R2 .
5) C(a, b) là tập các hàm số liên tục trên khoảng (a, b).

2.1

Xây dựng các Bϕ-splines bậc nhất [3]

Trên khoảng (a, b) ⊂ R ta xét X là một lưới xác định như sau:
X : ... < x−1 < x0 < x1 < ...

với
a = lim xj , b = lim xj
j→−∞

j→+∞

12


Xét ϕ(t) = (ϕ0 (t), ϕ1 (t)) là hàm vectơ có hai thành phần của không gian C 1 (a, b)
và thỏa mãn điều kiện:
det(ϕ(t), ϕ (t)) = 0, ∀t ∈ (a, b).

Ta ký hiệu:

(xj , xj+1 ), Sj = [xj , xj+2 ], Jk = {k − 1, k}, k, j ∈ Z

M=
j∈Z

Cho K0 ∈ R1 , K0 ≥ 1, X (K0 , a, b) là tập hợp các xj ∈ X thỏa mãn:
K0−1 ≤ (xj+1 − xj )(xj − xj−1 )−1 ≤ K0

Đặt hX = supj∈Z (xj+1 − xj ).
Dãy {aj }j∈Z được gọi là dãy vectơ đầy đủ nếu det(aj−1 , aj ) = 0, ∀j ∈ Z.
Ta sẽ tìm các hàm số ωj (t) thỏa mãn:
ωj (t) = 0 ∀t ∈
/ M ∩ Sj , j ∈ Z,

aj ωj (t), ∀t ∈ (xk , xk+1 ).

ϕ(t) =
j∈Jk

Theo quy tắc Cramer ta có:
ωj (t) =
ωj (t) =

det(ϕ(t), aj+1 )
, t ∈ (xj , xj+1 ),
det(aj , aj+1 )

det(aj−1 , ϕ(t))
, t ∈ (xj+1 , xj+2 ).
det(aj−1 , aj )

Khi đó, các hàm số ωj (j ∈ Z) được gọi là các Bϕ -splines bậc nhất.
cj ωj , cj ∈ R} gọi là không gian các Bϕ -splines bậc nhất trên
Bϕ1 (X) = {u : u =
j

lưới X .
Bổ đề 2.1 Nếu ϕ ∈ C 1 (a, b) và det(ϕ, ϕ )(t) = 0∀t ∈ (a, b), X ∈ X (K0 , a, b) với
K0 ≥ 0 thì tồn tại > 0 sao cho hX < và dãy vectơ {aj } đầy đủ.

2.2

Tính chất của các Bϕ-splines bậc nhất [3]

Với j ∈ Z ta ký hiệu:
ϕj = ϕ(xj ), aj = ϕj+1 , dTj x = det(ϕj , x), x ∈ R2 , j ∈ Z.

Khi đó
aj = ([ϕj+1 ]0 , [ϕj+1 ]1 )T ,
dj = (−[ϕj ]1 , [ϕj ]0 )T .
13


Bổ đề 2.2 Nếu dãy vectơ {aj } đầy đủ thì ωj (t) ∈ C(a, b) và:
ωj (t) =

ωj (t) =

dTj ϕ(t)
dTj aj

dTj+2 ϕ(t)
dTj+2 aj

, t ∈ [xj , xj+1 ),

, t ∈ [xj+1 , xj+2 ],

ωj (t) = 0, ∀t ∈
/ [xj , xj+2 ].

Từ bổ đề trên suy ra
[ϕ(t)]1 − [ϕj ]1
, t ∈ [xj , xj+1 ),
[ϕj+1 ]1 − [ϕj ]1

ωj (t) =
ωj (t) =

[ϕj+2 ]1 − [ϕ(t)]1
, t ∈ [xj+1 , xj+2 ].
[ϕj+2 ]1 − [ϕj+1 ]1

Do đó, ta có:
ωj (xj ) = 0, ωj (xj+1 ) = 1, ωj (xj+2 ) = 0.

Từ đó ta có định lý sau.
Định lý 2.1 Với j, k ∈ Z ta có:
1) ωj (t) ∈ C(a, b).
2) supp ωj (t) = [xj , xj+2 ].

3) ωj (t) > 0 với t ∈ (xj , xj+2 ) và ωj (t) = 0, với t ∈
/ [xj , xj+2 ].
k

4)

ωj (t) = 1.
k−1

5) {ωj (t)}j∈Z là hệ độc lập tuyến tính.

2.3

Một số ví dụ về Bϕ-splines bậc nhất [3]

Ví dụ 2.1 Cho ϕ(t) = (1, tλ )T và λ ∈ R\{0}. Suy ra ϕ (t) = (0, λtλ−1 )T và
det(ϕ(t), ϕ (t)) = λtλ−1
X là một lưới trên khoảng (a, b) không chứa điểm 0, các Bϕ -splines bậc nhất trên

lưới X như sau:






tλ − xλj




xλj+2 − xλj+1

xλj+1 − xλj
ωj (x) =
λ
λ

 xj+2 − t

14

t ∈ [xj , xj+1 )

,
,

t ∈ [xj+1 , xj+2 ]


Ví dụ 2.2 Cho ϕ(t) = (1, sin λt)T và λ ∈ R\{0}. Suy ra ϕ (t) = (0, λ cos λt)T và
det(ϕ(t), ϕ (t)) = λ cos λt
X là một lưới trên khoảng (a, b) không chứa các điểm

π
π
+ k (k ∈ Z), các
2λ
λ

Bϕ -splines bậc nhất trên lưới X như sau:
sin λt − sin λxj
,
sin λxj+1 − sin λxj
ωj (x) =
sin λxj+2 − sin λt


,
sin λxj+2 − sin λxj+1





t ∈ [xj , xj+1 )
t ∈ [xj+1 , xj+2 ]

Ví dụ 2.3 Cho ϕ(t) = (1, eλt )T và λ ∈ R\{0}. Suy ra ϕ (t) = (0, λeλt )T và
det(ϕ(t), ϕ (t)) = λeλt
X là một lưới trên khoảng (a, b), các Bϕ -splines bậc nhất trên lưới X như sau:
eλt − eλxj
,
λxj+1 − eλxj
e
ωj (x) =
λxj+2 − eλt

 e
,

eλxj+2 − eλxj+1





2.4

t ∈ [xj , xj+1 )
t ∈ [xj+1 , xj+2 ]

Mối liên hệ của các Bϕ-splines bậc nhất [3]

Trong phần này, ta sẽ bổ sung thêm điểm ξ vào lưới X thu được lưới mới X .
Lúc đó ta cũng xây dựng các Bϕ -splines ω j (t)trên lưới X và tìm mối liên hệ giữa
ωj (t) và ω j (t)
Giả sử ξ ∈ (xk , xk+1 ). Ký hiệu xj là điểm của lưới X .
Ta có:
xj = xj , j ≤ k,
xk+1 = ξ
xj = xj−1 j ≥ k + 2.

Ta ký hiệu:
T

ϕj = ϕ(xj ), aj = ϕj+1 , dj x = det(ϕj , x), x ∈ R2 , j ∈ Z.

Suy ra
dj = dj , j ≤ k,
T

dk+1 x = det(ϕj (ξ), x), x ∈ R2 ,
dj = dj−1 , j ≥ k + 2,
15


aj = aj , j ≤ k − 1,
ak = ϕj (ξ)
aj = aj−1 , j ≥ k + 1.
Định lý 2.2 Với mọi t ∈ (a, b), ta có:
ωj (t) =

j ≤ k − 2,

ω j (t),

ω j+1 (t), j ≥ k + 1,

ωk−1 (t) = ω k−1 (t) + pk−1,k ω k (t),
ωk (t) = pk,k ω k (t) + ω k+1 (t),

với

T

pk−1,k =

T
(dk−1 ak

T
− dk−1 ak+1

dk ak
T

dk ak+1

T

)/dk−1 ak−1

T

dk ak

pk,k =

T

dk ak+1
Chứng minh: Xem [3]
Ký hiệu
ω(t) = (..., ω−2 (t), ω−1 (t), ω0 (t), ω1 (t)ω2 (t), ...)T ,
ω(t) = (..., ω −2 (t), ω −1 (t), ω 0 (t), ω 1 (t), ω 2 (t), ...)T .

Định lý 2.3 Ta có:
ω(t) = Bω(t)

với B là ma trận xác định như sau:

B = (pi,j )i,j∈Z

trong đó
pi,j =

δi,j ,

i

δi,j−1 ,

≤ k − 2,
i ≥ k + 1,

pk−1,j = δk−1,j , j = k
pk,j = δk+1,j , j = k

16


2.5

Các phiếm hàm song trực giao [3]

Hệ {fj }j∈Z được gọi là song trực giao với hệ ωj
fj , ωj

j ∈Z

nếu

= δi,j , j, j ∈ Z,

với δi,j được định nghĩa như sau:
0, i = j,

δi,j =

1, i = j,

Đặt u(xj+1 ) = fj , u với u ∈ C(a, b), j ∈ Z, ta có suppfj = xj+1 .

Định lý 2.4 Hệ {fj }j∈Z song trực giao với hệ ωj
fj , ωj

j ∈Z

, nghĩa là:

= δj,j , j, j ∈ Z.

Chứng minh.
Với j ≤ j − 1 và Với j ≥ j + 1 ta có ωj (xj+1 ) = 0. Suy ra:
fj , ωj

= ωj (xj+1 ) = 0.

Với j = j , ta có:
fj , ωj

= fj , ωj = ωj (xj+1 ) = 1.

Định lý 2.5 Phương trình u(xj+1 ) = vj , j ∈ Z, {vj } là dãy số thực cho trước có
nghiệm duy nhất trong không gian Bϕ1 (X). Nghiệm này xác định như sau:
u(t) =

vj ωj (t)
j∈Z

Chứng minh.
Ta có
u(xj+1 ) =

vj ωj (xj+1 ) = vj
j∈Z

Suy ra u(t) là một nghiệm của phương trình u(xj+1 ) = vj . Giả sử v(t) cũng là
một nghiệm của phương trình u(xj+1 ) = vj . Khi đó:
u(xj+1 ) = v(xj+1 )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Đặt
qj,j = fj , ω j , ∀j, j ∈ Z

Ta có kết quả sau:
17


Định lý 2.6
qj,j = δj,j , j ≤ k − 1

qj,k = 0
qj,j = δj,j

−1 ,

j ≥k+1

Chứng minh.
Với j ≥ k + 2, ta có ωj−1 (t) = ω j (t) nên:
qj,j = fj , ω j

= fj , ωj

= δj,j

Với j ≤ k − 2, ta có ωj (t) = ω j (t) nên:
qj,j = fj , ω j

= fj , ωj

−1

= δj,j

−1

Với j = k − 1, ta có:
qj,k−1 = fj , ω k−1 = fj , ωk−1 − pk−1,k fj , ω k = δj,k−1 = δj,j

Với j = k , ta có :

qj,k = fj , ω k = ( fj , ωk − fj , ω k+1 )/pk,k = (δj,k − δj,k )/pk,k = 0

Với j = k + 1, ta có suppfj = xj+1 và
(xk+1 , xk+2 ) = (xk+2 , xk+3 )

Do đó ωk (t) = ω k+1 (t). Mặt khác suppω k (t) = [xk , xk+2 ] nên:
qj,k+1 = fj , ω k+1 = ( fj , ωk = δj,k

Định lý 2.7 Đặt Q = (qi,j )i,j∈Z , ta có:
QB T = I

Chứng minh.
Ta có: ω(t) = Bω(t) Suy ra (ω)T (t) = (ω)T (t)B T hay QB T = I.

2.6
2.6.1

Công thức khai triển, hồi phục. [3]
Công thức khai triển.

Ta nhắc lại các ký hiệu: Bϕ1 (X) là không gian sinh bởi các Bϕ -splines bậc
nhất trên lưới X. Bϕ1 (X) là không gian sinh bởi các Bϕ -splines bậc nhất trên lưới
X , Bϕ1 (X) = {u : u =
cj ω j , cj ∈ R1 }.
j

18


Ta có Bϕ1 (X) ⊂ Bϕ1 (X)

Xét ánh xạ
P : Bϕ1 (X) −→ Bϕ1 (X)
u → Pu =

ai ωi
i

với ai = f i , u . Đặt Q = I − P , với I là phép đồng nhất và W = QBϕ (X).
Không gian W được gọi là không gian wavelet. Khi đó ta có khai triển:
Bϕ1 (X) = Bϕ1 (X)

W

được gọi là khai tiển wavelet của không gian Bϕ1 (X)
Vì Bϕ1 (X) = Bϕ1 (X) W nên với u ∈ Bϕ1 (X) ta có:
u=

bi ω i =

ai ω i +
i

(

i

ai pi,i + bi )ω i
i

i

Suy ra
cj = f j , u =

j∈Z

ai pi,j + bj ,
i

Mặt khác, u ∈ Bϕ1 (X) nên u =

ai ω i . Do đó:
i

bj = c j −

pi,j ai = cj −
i

pi,j fi , u = cj −
i

= cj −
i

i

ci f i , ω i = cj −

pi,j

ai =

qi,i ci
i

và
bj = c j −

(

pi,j qi,i )ci
i

i

được gọi là công thức khai triển.
Định lý 2.8 Ta có:
ai =

ci ,

i

ci+1 ,

≤k−1
i ≥k

bj = 0, j = k

bk = ck − pk−1,k ck−1 − pk,k ck+1

19

i

pi,j
i

i

ci ω i )

pi,j fi ,

ci qi,i .
i


Chứng minh.
Với i ≤ k − 1, ta có
ai =

qi,i ci =
i

δi,i ci = ci
i

Với i ≥ k, ta có

ai =

qi,i ci =

δi,i −1 ci = ci+1

i

i

Suy ra
bj = c j −

pi,j ci −
i≤k−1

= cj −

pi,j ci+1
i≥k

δi,j ci − pk−1,j ck−1 pk,j ck+1 −
i≤k−2

δi,j−1 ci+1
i≥k+1

Với j = k , ta có
b j = cj − cj = 0

Với j = k , ta có
bk = c j −

δi,k ci −pk−1,k ck−1 pk,k ck+1 −
i≤k−2

δi,k−1 ci+1 = ck −pk−1,k ck−1 −pk,k ck+1 .
i≥k+1

Hệ quả 2.1 Không gian W là không gian một chiều được sinh ra bởi Bϕ -splines
ωk
W = {bω k : b ∈ R}.

2.6.2

Công thức hồi phục.

Cho u ∈ Bϕ1 (X) và P u =

ai Ωi , Qu = bω k , với ai , b là những số cho trước.
i

Khi đó, ta sẽ tìm cách biểu diễn cj trong công thức u =

cj ω j theo ai và b. Lúc
j

đó ta có công thức hồi phục.
Định lý 2.9 Ta có:
ci =

ai ,

i

≤k−1
i ≥k+1

ai−1 ,

ck = bk − pk−1,k ak−1 − pk,k ak

2.7

Khai triển wavelet cho dãy lưới lồng vào nhau
[3]

Ký hiệu X s , s = 0, 1, 2, ... là một dãy các lưới lồng vào nhau X 0 ⊂ X 1 ⊂ X 2 ⊂
... sao cho lưới X k chứa nhiều hơn lưới X k−1 một điểm. Giả sử X s ∈ K(a, b, K0 ),
20


K0 ∈ R và hX s < , s = 0, 1, 2, ..., với
Bϕ1 (X s )

⊂

Bϕ1 (X s+1 ),

được trình bày ở bổ đề 2.1 Ta có

s = 0, 1, 2, ... Suy ra
Bϕ1 (X 0 ) ⊂ Bϕ1 (X 1 ) ⊂ Bϕ1 (X 2 ) ⊂ ...

Ký hiệu ωi,s là Bϕ -splines bậc nhất được xây dựng trên lưới X s . Khi đó, ta có:
(s)

pi,j ωj,s+1 (t), ∀t ∈ (a, b)

ωi,s (t) =
i

với được xác định như sau:
T

(s)
pk−1,k

=

T
(dk−1 ak

T
− dk−1 ak+1

d k ak
T

dk ak+1

T

)/dk−1 ak−1

T

(s)
pk,k

d k ak

=

T

dk ak+1

δi,j ,

(s)

pi,j =

≤ k − 2,

i

i ≥ k + 1,

δi,j−1 ,

(s)

pk−1,j = δk−1,j , j = k
(s)

pk,j = δk+1,j , j = k

Ký hiệu X = X s , X = X s+1 , ta có khai triển wavelet
Bϕ (X s+1 ) = Bϕ (X s )

Ws

Lặp lại quá trình này, ta có công thức khai triển wavelet cho không gian Bϕ như
sau:
+∞

Bϕ (X s ) = Bϕ (X s )

Bϕ =

W0

W1

W 2 ...

s=0

Từ các số 0, 1, 2, ..., ta xây dựng dãy con
s0 < s1 < s2 < ...sp < ...sq < ...

và dãy lưới tương ứng X s0 ⊂ X s1 ⊂ X s2 ⊂ ... Trong đó, lưới X sq thu được bằng
cách bổ sung sq − sp điểm vào lưới X sp . Lúc đó, ta có:
Bϕ1 (X sp ) ⊂ Bϕ1 (X sp +1 ) ⊂ Bϕ1 (X sp +2 ) ⊂ ... ⊂ Bϕ (X sq )

Với ωi,sp là hàm Bϕ -splines trên lưới X sp , ωi,sq là hàm Bϕ -splines trên lưới X sq
(s ,sq )

pi,jp

ωi,sp =

ωj,sq

i
p ,sq )
trong đó, các hệ số p(s
= 0 không vượt quá 2sq −sp .
i,j
Sử dụng tính chất hệ {fjsq }j∈Z song trực giao với hệ {ωj ,sq }j∈Z và

(s ,sq )

pi,jp

s

= fj q , ωj,sp

ta dễ dàng tính được công thức khai triển và hồi phục.
21


Chương 3
KHÔNG GIAN CÁC Bϕ- SPLINES
BẬC HAI
Các B -splines bậc hai được xây dựng một cách tương tự các Bϕ -splines bậc
nhất, bằng việc xấp xỉ một hàm vectơ ba thành phần, tuy nhiên việc xây dựng
các Bϕ -splines này có phần phức tạp hơn do điều kiện để hệ vectơ đầy đủ phức
tạp hơn. Trong chương này, ta sẽ tìm hiểu các Bϕ -splines bậc hai.
Trong chương này ta sử dụng các ký hiệu:
1) R3 là không gian các vectơ cột ba thành phần.
2) a.b là tích vô hướng của hai vectơ a và b.
4) (a, b, c) là ma trận vuông cấp 3 với a, b, c ∈ R3 .
5) det(a, b, c) là định thức của ma trận vuông cấp 3 với a, b, c ∈ R3 .

3.1

Xây dựng các Bϕ-splines bậc hai [5]

Trên khoảng (a, b) ⊂ R ta xét X là một lưới xác định như sau:
X : ... < x−1 < x0 < x1 < ...

với
a = lim xj , b = lim xj
j→−∞

j→+∞

Xét ϕ(t) = (ϕ0 (t), ϕ1 (t), ϕ2 (t)) là hàm vectơ có ba thành phần của không gian
C2 (a, b) và thỏa mãn điều kiện:
det(ϕ(t), ϕ (t), ϕ (t)) = 0, ∀t ∈ (a, b).

Ta ký hiệu:
(xj , xj+1 ), Sj = [xj−1 , xj+2 ], Jk = {k − 1, k, k + 1}, k, j ∈ Z

M=
j∈Z

22


N(t) = ϕ(t) × ϕ (t), ϕj = ϕ(xj ), ϕj = ϕ (xj ), Nj = N(xj ), bj = Nj × Nj+1
{bj }j∈Z là dãy vectơ thỏa mãn det (bj−1 , bj , bj+1 ) = 0, ∀j ∈ Z
Ta sẽ tìm các hàm số Ωj (t) thỏa mãn:
Ωj (t) = 0 ∀t ∈ M \ Sj , j ∈ Z

bj Ωj (t), ∀t ∈ M

ϕ(t) =
j∈Z

Theo quy tắc Cramer ta có:
Ωj (t) = 0 ∀t ∈ M \ Sj , j ∈ Z
det(bj−2 , bj−1 , ϕ(t))
, t ∈ (xj−1 , xj )
det(bj−2 , bj−1 , bj )
det(bj−1 , ϕ(t), bj+1 )

, t ∈ (xj , xj+1 )
Ωj (t) =
det(bj−1 , bj , bj+1 )
det(ϕ(t), bj+1 , bj+2 )
Ωj (t) =
, t ∈ (xj+1 , xj+2 )
det(bj , bj+1 , bj+2 )
Ωj (t) =

Khi đó, các hàm số Ωj (j ∈ Z) được gọi là các Bϕ -splines.
aj Ωj , aj ∈ R1 }gọi là không gian các Bϕ -splines trên lưới X .
Bϕ2 (X) = {u : u =
j

3.2

Điều kiện đầy đủ của hệ vectơ

Bổ đề 3.1 Cho ϕ là hàm vector có 3 thành phần khả vi liên tục. Khi đó, nếu
det(ϕ(t), ϕ (t), ϕ (t)) = 0 thì det(N(t), N (t), N (t)) = 0, ∀t ∈ (a, b)
Chứng minh.
Ta có N(t) = ϕ(t) × ϕ (t). Suy ra:
N (t) = ϕ (t) × ϕ (t) + ϕ(t) × ϕ (t) = ϕ(t) × ϕ (t)
N (t) = ϕ (t) × ϕ (t) + ϕ(t) × ϕ (t)
Giả sử det(N(t), N (t), N (t)) = 0, tức là
det(ϕ(t) × ϕ (t), ϕ(t) × ϕ (t), ϕ (t) × ϕ (t) + ϕ(t) × ϕ (t)) = 0 ∀t ∈ (a, b)

Khi đó, tồn tại α, β = 0 sao cho:
ϕ × ϕ + ϕ × ϕ = α(ϕ × ϕ ) + β(ϕ × ϕ )

Suy ra:
ϕ × ϕ × ϕ + ϕ × ϕ × ϕ = αϕ × ϕ × ϕ + βϕ × ϕ × ϕ

Do đó, ϕ × ϕ × ϕ = 0 hay det(ϕ(t), ϕ (t) × ϕ (t)) = 0. Điều này mâu thuẫn với
giả thiết det(ϕ(t), ϕ (t), ϕ (t)) = 0.
Vậy det(N(t), N (t), N (t)) = 0, ∀t ∈ [a, b].
23