ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

HÀ THỊ NI NA

KHẢ NĂNG PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN MỚI
CỦA HỌC SINH KHI HỌC HÌNH HỌC
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thừa Thiên Huế, 2016


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

HÀ THỊ NI NA

KHẢ NĂNG PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN MỚI
CỦA HỌC SINH KHI HỌC HÌNH HỌC
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Chuyên ngành: Lí luận và Phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TS ĐÀO TAM

Thừa Thiên Huế, 2016
i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực,
được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố
trong bất kỳ một công trình nào khác.

Họ tên tác giả
(Chữ ký)

Hà Thị Ni Na

ii


Lời Cảm Ơn
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
GS.TS Đào Tam đã tận tình hướng dẫn, hết lòng
giúp đỡ trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn
thành luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô
giáo trong khoa Toán, đặc biệt các thầy cô trực tiếp
giảng dạy chuyên ngành Lí luận và phương pháp dạy
học bộ môn Toán của trường Đại học sư phạm Huế
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập,
thực hiện và hoàn thành luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới Ban giám hiệu
cùng gia đình bạn bè đã động viên và tạo mọi điều kiện
giúp đỡ trong quá trình thực hiện đề tài.

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể
tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được sự
góp ý của quý thầy cô và các bạn.
Huế, tháng 10 năm 2016
Tác giả

Hà Thị Ni Na

iii


MỤC LỤC
Trang bìa phụ ........................................................................................................... i
Lời cam đoan........................................................................................................... ii
Lời cảm ơn .............................................................................................................iii
Mục lục ................................................................................................................... 1
Danh mục những từ viết tắt trong luận văn .............................................................. 3
Danh mục bảng ....................................................................................................... 4
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 5
1. Tầm quan trọng và cơ sở của đề tài: ................................................................. 5
2. Mục tiêu nghiên cứu: ....................................................................................... 8
3. Câu hỏi nghiên cứu: ......................................................................................... 9
4. Nhiệm vụ nghiên cứu: ...................................................................................... 9
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: ................................................................... 9
6. Giả thuyết khoa học: ........................................................................................ 9
7. Phương pháp nghiên cứu: ............................................................................... 10
8. Ý nghĩa nghiên cứu: ....................................................................................... 10
9. Cấu trúc luận văn: .......................................................................................... 11
Chương 1. THỰC TRẠNG VỀ HOẠT ĐỘNG PHÁT TRIỂN KIẾN THỨC
SGK HÌNH HỌC THPT HIỆN NAY. ................................................................ 12

1.1. Bối cảnh hiện tại của việc dạy học một bài toán mới trên cơ sở thuyết kiến
tạo Toán học. .................................................................................................... 12
1.2. Mục tiêu của việc khảo sát: ......................................................................... 13
1.3. Đối tượng khảo sát: ..................................................................................... 13
1.4. Nội dung khảo sát: ...................................................................................... 13
1.5. Phương thức khảo sát: ................................................................................. 13
1.6. Kết quả: ...................................................................................................... 13
1.7. Ghi nhận và đặt vấn đề. ............................................................................... 14
1.8. Các thuật ngữ chính. ................................................................................... 15
Chương 2. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN LIÊN QUAN ĐẾN CÁC DẠNG
HOẠT ĐỘNG PHÁT TRIỂN KIẾN THỨC ...................................................... 16
2.1. Lí thuyết nền tảng của việc dạy học phát triển khả năng tư duy Toán học
trong dạy học giải quyết vấn đề liên quan đến phát triển kiến thức Toán học: .... 16
2.1.1. Nguyên lí về sự phát triển ..................................................................... 16
2.1.2. Quy luật lượng và chất:......................................................................... 17

1


2.1.3. Quy luật mâu thuẫn............................................................................... 19
2.1.4. Các cặp phạm trù của triết học duy vật biện chứng: .............................. 22
2.2. Một số vấn đề tâm lí học liên quan đến phát triển kiến thức toán học: ......... 28
2.2.1. Tâm lí học hoạt động: ........................................................................... 28
2.2.2. Hoạt động nhận thức của học sinh trong dạy học Toán: ........................ 28
2.2.3. Hoạt động nhận thức theo quan điểm thích nghi trí tuệ ......................... 30
2.2.4. Các tri thức thuộc phạm trù triết học duy vật biện chứng: ..................... 30
2.3. Một số phương pháp dạy học gắn liền với hoạt động phát triển kiến thức: .. 32
2.3.1. Một số kiến thức về lí thuyết kiến tạo trong dạy học: ............................ 32
2.3.2. Một số vấn đề dạy học khám phá: ......................................................... 40
2.3.3 Khảo sát Toán học: ................................................................................ 42

Chương 3. TỔ CHỨC CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG THỨC HOẠT
ĐỘNG PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN MỚI CHO HỌC SINH TRONG CHƯƠNG
TRÌNH PHỔ THÔNG......................................................................................... 45
3.1. Cơ sở đề ra các phương thức: ...................................................................... 45
3.2. Một số phương thức hoạt động phát triển bài toán mới cho học sinh trong
chương trình phổ thông. ..................................................................................... 45
3.2.1. Xây dựng bài toán mới bằng cách sử dụng khái quát hóa. ..................... 45
3.2.2. Xây dựng bài toán mới bằng cách sử dụng tương tự hóa. ...................... 49
3.2.3. Xây dựng bài toán mới bằng cách sử dụng hoạt động liên tưởng. ......... 52
3.2.4. Xây dựng bài toán mới bằng cách sử dụng hoạt động thay đổi giả thiết và
kết luận của bài toán. ...................................................................................... 58
3.2.5. Xây dựng bài toán mới bằng cách phát triển quy luật từ những hoạt động
thực tiễn ( các bài toán trong chương trình đánh giá PISA). ............................ 66
3.2.6. Xây dựng bài toán mới bằng cách chuyển hóa toán cao cấp sang ngôn
ngữ toán phổ thông. ........................................................................................ 68
Chương 4. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................ 79
4.1. Mục đích thí nghiệm: .................................................................................. 79
4.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm: .............................................................. 79
4.3. Kết quả thực nghiệm: .................................................................................. 82
4.3.1. Phân tích tiên nghiệm: .......................................................................... 82
4.3.2. Phân tích hậu nghiệm: .......................................................................... 83
KẾT LUẬN CHUNG........................................................................................... 84
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 85
PHỤ LỤC ............................................................................................................. P1

2


DANH MỤC NHỮNG TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt


Viết đầy đủ

CM

Chứng minh

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

THPT

Trung học phổ thông

TN

Thực nghiệm

Tr

Trang

SGK

Sách giáo khoa


3


DANH MỤC BẢNG
Bảng 4.1 Bảng thống kê điểm số của bài kiểm tra số 1 và 2 ................................... 82

4


MỞ ĐẦU

1. Tầm quan trọng và cơ sở của đề tài
Dạy toán là tổ chức một hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán
là công việc chủ yếu. Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, ngoài việc trang
bị tốt hệ thống kiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, giáo viên cần
hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở rộng kết quả những bài toán đơn giản và
xây dựng bài toán gốc để giải một loạt các bài toán liên quan. Điều này giúp học
sinh tự tìm tòi suy nghĩ ra những bài toán mới và có những cách giải sáng tạo.
Theo quan điểm của Jean Piaget (1997) các tri thức phát sinh từ hoạt động,
không theo nghĩa những liên tưởng đáp lại giản đơn, mà phải theo một nghĩa sâu
sắc hơn nhiều, nghĩa đồng hóa thực tại vào những phối hợp cần thiết và tổng quát
của hoạt động. Biết một đối tượng là tác động lên nó và thay đổi nó để nắm bắt
những cơ chế của những biến đổi gắn liền với chính những hoạt động biến đổi đó.
Hơn thế nữa, vẻ đẹp của Toán học không chỉ dừng lại ở đó. Gorge Polya (1944) cho
rằng một phát minh khoa học lớn cho phép giải quyết một vấn đề lớn, nhưng ngay
cả trong việc giải một bài toán cũng có ít nhiều phát minh. Bài toán mà anh giải có
thể là bình thường, nhưng nếu nó khơi gợi được trí tò mò và buộc anh phải sáng tạo,
và nếu tự mình giải quyết được bài toán đó thì anh có thể biết được cái quyến rũ của
sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi. Vậy bằng cách nào? Chúng ta nhờ một “liên

hệ” hay là “liên tưởng”, có nghĩa là điều mà chúng ta đang suy nghĩ quan tâm tới
trong lúc này có khuynh hướng gợi lại trong trí nhớ của ta, cái có liên quan với nó
trước kia. Bằng cách biến đổi bài toán, chúng ta mang lại những chi tiết mới, những
khả năng mới làm sống lại trong trí nhớ những cái gì liên quan đến bài toán của ta.
Trong chương trình đổi mới sách giáo khoa và phương thức giảng dạy hiện
nay , học sinh chủ động trong mọi hoạt động học tập và lĩnh hội tri thức, việc kích
thích tính học tập chủ động của học sinh là rất cần thiết trong từng tiết dạy lý thuyết
và đặc biệt là tiết luyện tập , ôn tập đòi hỏi người giáo viên luôn luôn sáng tạo trong
từng bài dạy từng tiết dạy để tránh việc " thông báo kiến thức " , ''chữa bài tập'' qua
đó học sinh thấy hứng thú và chủ động tìm tòi cái mới từ cái đã có.

5


Để làm được điều này người giáo viên phải tạo ra được cái mới từ những cái
đã có bằng việc đào sâu mở rộng khai thác một cách triệt để từ những cái ban đầu , có
thể khó thì ta làm dễ đi để đơn giản hoặc từ dễ ta tổng hợp lên để nó thích ứng được với
từng đối tượng ,hoặc tạo ra những bài toán có nhiều tình huống gắn được với thực tế .
Để đáp ứng những yêu cầu trên nghiên cứu sau đây sẽ đưa ra một vài phương
pháp , vài ví dụ nhằm dẫn đến những tình huống mới , những bài toán mới trong các
tiết dạy lý thuyết đặc biệt là tiết luyện tập, ôn tập.
Giải toán là quá trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ logic giữa cái đã
cho và cái chưa biết (giữa giả thiết và kết luận). Mỗi bài toán có một cách giải, cách
suy luận riêng nên khi đứng trước một bài toán học sinh thường không biết bắt đầu
từ đâu? Phải làm như thế nào? Trong quá trình giảng dạy cho học sinh, chúng ta
không thể dạy hết cho học sinh tất cả các bài tập cũng như các em không thể làm
hết các bài tập đó. Vì vậy để tạo mối liên hệ giữa các bài tập, khi hướng dẫn cho
học sinh giải một bài toán, giáo viên không nên chỉ dừng lại ở một bài toán cụ thể,
mà sau khi giảng dạy bài toán này, học sinh có thể giải quyết được một loạt các vấn
đề liên quan. Quá trình này phải bắt đầu từ các bài toán đơn giản đến phức tạp để

rèn luyện kĩ năng tư duy cho học sinh. Như nhà toán học Đề- các đã nói “ Mỗi vấn
đề mà tôi giải quyêt đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề
khác”. Từ đó giúp các em có cơ sở khoa học khi phân tích, định hướng tìm lời giải
cho các bài toán khác và đặc biệt là củng cố cho các em lòng tin vào khả năng giải
toán của mình.
Trong chương trình phổ thông hiện nay, với khối lượng kiến thức khá lớn,
các em học sinh đang ở độ tuổi phát triển, khả năng tư duy, khái quát còn hạn chế,
do đó đứng trước cái bài toán không quen biết thường gây khó khăn cho các em. Vì
vậy người giáo viên phải có phương pháp phù hợp giúp mỗi học sinh có thể tự tin
trong học tập và sáng tạo. Nhưng phần lớn khi hướng dẫn cho học sinh giải toán
giáo viên thường dừng lại ở việc tìm ra kết quả. Chúng ta chưa có thói quen khai
thác một bài toán thành một chuỗi các bài toán liên quan hoặc hướng dẫn học sinh
xây dựng các bài toán mới từ bài toán ban đầu. Điều này làm cho học sinh khó tìm
được mối liên hệ trong các kiến thức đã học, cho nên khi bắt đầu giải một bài toán,

6


học sinh không biết bắt đầu từ đâu? Cần vận dụng kiến thức nào? Bài toán có liên
quan đến những bài toán nào đã gặp?
Với niềm đam mê toán học và mong muốn nâng cao hiệu quả công tác bồi
dưỡng học sinh giỏi, việc đưa ra một bài toán đơn giản trong sách giáo khoa để giới
thiệu cách khai thác kết quả, mở rộng bài toán và cách xây dựng bài toán gốc để
giải một loạt các bài toán liên quan là điều thú vị và bổ ích. Nhận thấy đây là một
phương pháp khoa học và hiệu quả. Quá trình này bắt đầu từ các bài toán đơn giản
đến phức tạp, là bước đi phù hợp để rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh.
Hơn nữa, Việc đổi mới giáo dục Toán học hiện nay coi trọng hướng phát
triển năng lực người học. Môt số năng lực được nhấn mạnh hàng đầu như: Năng lực
phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực tư duy Toán học( tư duy logic, tư duy độc
lập, tư duy sáng tạo ...vv),năng lực tự học, năng lực giao tiếp,vv… Việc nghiên cứu

Đề tài nhằm vào việc luyện tập các hoạt động góp phần phát triển các năng lực nêu
trên, các hoạt động như vậy, chẳng hạn: họat động khảo sát các trường hợp
riêng,thông qua phân tích, tổng hợp. so sánh , khái quát hóa, tổng quát hóa để đề
xuất giả thuyết, đề xuất các phán doán mới. Việc tìm tòi phát hiện bài toán mới đòi
hỏi giáo viên tạo cơ hội rèn luyện cho HS các loại suy luận như: Suy luận có lý suy
luận quy nạp, suy luận ngoại suy, suy luận diễn dịch. Ngoài ra nếu được tổ chức cho
HS hoạt động theo nhóm tiến hành tương tác với các tình huống để phát triển bài
toán mới do GV thiết kế thì sẽ góp phần phát triển năng lực giao tiếp cho HS. Khi
HS hoạt động có hiệu quả và được sự đánh giá khích lệ của GV thì sẽ gây hứng thú
học tập cho các em, tạo cho các em niềm tin vào khả năng của mình.. Nếu tổ chức
tốt các hoạt động phát triển BT mới thì sẽ góp phần cài đặt vào hoạt động ôn tập
chương, cuối năm, tổ chức ngoại khóa Toán tốt hơn .
Mặc dù đã có nhiều công trình nghiên cứu liên quan đến việc xác định và luyện
tập cho học sinh phát triển kiến thức trong sách giáo khoa, nhưng đây là vấn đề cần
được tiếp tục nghiên cứu về cả phương diện lí luận và triển khai trong thực tiễn dạy
học. Từ những lý do trên đây, tôi quyết định lựa chọn đề tài nghiên cứu luận văn là:
“ Khả năng phát triển bài toán mới của học sinh khi học hình học ở trường
phổ thông”.

7


2. Mục tiêu nghiên cứu
Trong hoạt động dạy và học Toán nói chung, đối với bộ môn hình học nói
riêng thì vấn đề khai thác, nhìn nhận một bài toán cơ bản dưới nhiều góc độ khác
nhau nhiều khi cho ta những kết quả khá thú vị. Ta biết rằng ở trường phổ thông,
việc dạy toán học cho học sinh thực chất là việc dạy các hoạt động toán học cho họ.
Cụ thể như khi truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc cho học
sinh tiếp cận, nắm vững đơn vị kiến thức đó thì một việc không kém phần quan
trọng là vận dụng đơn vị kiến thức đã học vào các hoạt động toán học. Đây là một

hoạt động mà theo tôi, thông qua đó dạy cho học sinh phương pháp tự học - Một
nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên đứng lớp . Xuất phát từ quan điểm trên,
vấn đề khai thác và cùng học sinh khai thác một bài toán cơ bản trong sách giáo
khoa để từ đó xây dựng được một hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao đến bài
toán khó là một hoạt động không thể thiếu đối với người giáo viên. Từ những bài
toán chuẩn kiến thức, giáo viên không dừng ở việc giải toán. Việc khai thác một số
bài toán hình học cơ bản trong SGK không những góp phần rèn luyện tư duy cho
HS khá giỏi mà còn tạo chất lượng, phù hợp với giờ học, gây hứng thú cho HS ở
nhiều đối tượng khác nhau.
BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRONG SÁCH GIÁO KHOA THPT

CHUYỂN HÓA TOÁN CAO CẤP
SANG NGÔN NGỮ TOÁN
PHỔ THÔNG

PHÁT TRIỂN QUY
LUẬTTỪ HOẠT ĐỘNG
THỰC TIỄN

THAY ĐỔI GIẢI THIẾT

LIÊN TƯỞNG

TƯƠNG TỰ HÓA

KHÁI QUÁT HÓA

BÀI TOÁN MỚI

Từ mục tiêu chung lâu dài trên, trong nghiên cứu này, tôi xin hướng đến các

mục tiêu cụ thể sau:

8


 Xác định các dạng hoạt động phát triển bài toán mới.
 Tạo cơ hội để học sinh có động cơ bên trong cho hoạt động giải quyết,
phát triển bài toán mới.
 Giúp học sinh tiếp cận, phát hiện vấn đề, cách giải quyết một bài toán
hình học mới từ các bài tập trong sách giáo khoa THPT.
3. Câu hỏi nghiên cứu
3.1. Như thế nào là phát triển kiến thức SGK?
3.2. Có những hoạt động nào để phát triển kiến thức SGK?
3.3. Các phương thức, hình thức tổ chức các hoạt động phát triển kiến thức SGK
hình học phổ thông?
3.4. Giáo viên và học sinh găp những khó khăn gì khi tổ chức các hoạt động phát
triển kiến thức SGK?
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
4.1 Nghiên cứu những cách thức, những hướng tạo cơ hội giúp học sinh hoạt động
phát triển kiến thức SGK hình học phổ thông.
4.2 Nghiên cứu, khai thác tiềm năng SGK trong việc mở rộng tri thức hình học phổ
thông.
4.3 Luyện tập cho học sinh các hoạt động phát triển kiến thức trong chương trình
SGK hình học phổ thông.
4.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi, tính hiện thực, tính
hiệu quả của đề tài.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
5.1 Đối tượng nghiên cứu: Xác định các dạng hoạt động phát triển kiến thức SGK
và đề xuất phương thức tổ chức các hoạt động đó.
5.2 Phạm vi nghiên cứu: Cụ thể hóa quá trình dạy học Toán thông qua tác động

của giáo viên và học sinh với nội dung dạy học hướng vào việc khai thác nội dung
SGK hình học phổ thông theo hướng khắc sâu.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu xác định và luyện tập cho học sinh các hoạt động phát triển kiến thức
SGK hình học phổ thông thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở trường
THPT theo hướng đổi mới giáo dục hiện nay.

9


7. Phương pháp nghiên cứu
Đây là một đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ, thể hiện vẻ đẹp của Toán
học, mà đặc biệt là hình học, nó giúp học sinh phát triển khả năng tư duy sáng tạo.
Nếu vấn đề này được quan tâm thường xuyên trong dạy học thì chắc chắn rằng việc
đào tạo học sinh sẽ có nhiều hiệu quả. Trong thực tế, có rất nhiều bài toán mà trong
khi giải có thể tìm ra được nhiều ý tưởng hay, độc đáo để có thể từ đó sang tạo nên
chuỗi những bài toán liên quan với nhau. Từ sơ đồ nêu trên kết hợp với nền tàng lí
thuyết cơ bản của kiến tạo toán học để tiến hành nghiên cứu thiết kế các chuỗi bài
tập mới suy ra từ các bài tập có sẵn trong sách giáo khoa THPT, đồng thời tạo môi
trường học tập thúc đẩy tính tích cực chủ động để học sinh dần dần hình thành thói
quen tư duy sáng tạo và giải quyết bài toán mới,… Cụ thể, thiết kế nghiên cứu của
tôi bao gồm:
 Tổ chức khung lí thuyết tham chiếu và thiết kế hệ thống một số bài toán
mới từ các bài toán hình học có sẵn trong sách giáo khoa THPT theo các
hướng nghiên cứu khác nhau.
 Thực nghiệm quan sát lớp học: việc tổ chức buổi thực nghiệm dựa trên
chu trình dạy học với hệ thống bài toán đã xây dựng ở trên.
 Bảng hỏi cá nhân, phiếu nhận xét, đánh giá việc học các bài toán hình học
mới từ bài toán đã có trong sách giáo khoa.
8. Ý nghĩa nghiên cứu

Đổi mới phương pháp dạy học là một quá trình, mỗi giáo viên cần có ý thức tìm
tòi những phương pháp dạy học mới, lấy học sinh làm trung tâm, tích cực hóa các
hoạt động của học sinh trong từng quá trình học tập. Và việc mở rộng tìm tòi các
bài toán quen thuộc trong sách giáo khoa phổ thông để thành các bài toán mới sẽ
giúp học sinh: củng cố hệ thống kiến thức cơ bản và nâng cao, phát triển tư duy, khả
năng sáng tạo; gây hứng thú trong quá trình học tập; cho học sinh niềm tin khi phải
đối mặt với bài toán khó và lạ; giúp học sinh có thái độ tích cực khi học toán, không
xem thường các bài toán đơn giản vì nó là bắt đầu của sự sáng tạo, để tìm tòi khám
phá bài tập mới, từ đó kiến thức toán học được nâng cao.

10


“ Trong cuộc sống không có cái tầm thường cũng như trong toán học không có
bài toán nào là tầm thường cả, trước mỗi bài toán hãy nắm bắt nhanh các yếu tố và
định hướng trong suy nghĩ”
Có lẽ đó là một kinh nghiệm hay cho dạy học môn toán!
9. Cấu trúc luận văn:
Ngoài phần mở đâu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn có 4 chương.

11


Chương 1
THỰC TRẠNG VỀ HOẠT ĐỘNG PHÁT TRIỂN KIẾN THỨC
SGK HÌNH HỌC THPT HIỆN NAY

1.1. BỐI CẢNH HIỆN TẠI CỦA VIỆC DẠY HỌC MỘT BÀI TOÁN MỚI
TRÊN CƠ SỞ THUYẾT KIẾN TẠO TOÁN HỌC
Với mục tiêu tìm hiểu nhận thức của giáo viên về những hoạt động phát triển

kiến thức SGK, tập duyệt cho học sinh một số cách thức hoạt động phát triển kiến
thức SGK. Trên cơ sở đó, đề xuất các phương thức phát triển kiến thức SGK hình
học THPT nhằm phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh và mở rộng
tiềm năng SGK.
Đã có một số bộ phận giáo viên xác định và tổ chức các phương thức hoạt
động phát triển kiến thức cho học sinh. Chuẩn bị chu đáo về giáo án, đồ dùng dạy
học, sử dụng các phần mềm hỗ trợ trong dạy học... tạo được sự hứng khởi và thích
thú trong học tập môn Toán. Nhưng về số lượng các tiết học như vậy không nhiều.
Căn cứ vào kết quả khảo sát thấy rằng, đa số giáo viên có một số hiểu biết nhất định
về việc xác định các hoạt độngg phát triển kiến thức SGK nên dẫn đến việc luyện
tập cho học sinh các hoạt động phát triển kiến thức SGK chưa nhiều. Phần lớn giáo
viên cho rằng khó khăn về mặt thời gian và trình độ Toán học của học sinh không
đồng đều. Thực tế cho thấy rằng đa số giáo viên còn chưa thật chu đáo trước khi lên
lớp giảng bài cụ thể là việc xây dựng câu hỏi gợi vấn đề chưa thật phù hợp với kiến
thức vốn có của học sinh, cũng như chưa phát huy tính chủ động và sáng tạo của
học sinh.
Chương trình SGK có những dạng bài tập thì giáo viên cố gắng giải càng
nhiều càng tốt. Vì thế để có đủ thời gian cho giáo viên thuyết trình nhiều mà ít tổ
chức cho học sinh hoạt động kiến tạo. Dẫn đến học sinh lười suy nghĩ, tiếp thu kiến
thức mọt cách thụ động, yếu kĩ năng kiến tạo kiến thức, yếu kĩ năng phát hiện vấn
đề, học sinh chưa có thói quen tìm tòi, khai thác các vấn đề mới từ những cái đã biết
đã học,... Đối với những bài toán mới , giáo viên thường áp đặt cách giải quyết vấn
đề, không đưa ra những cơ sở của lời giải, không tập luyện cho học sinh hoạt động

12


tìm tòi, tương tự hóa, khái quát hóa,... Vì vậy học sinh thường áp dụng một cách
máy móc hoặc bế tắc không giải được những bài toán tương tự khi các bài toán thay
đổi các dữ kiện.

1.2. MỤC TIÊU CỦA VIỆC KHẢO SÁT
-Tìm hiểu nhận thức của đội ngũ GV, HS ở trường THPT đối với vị trí, vai
trò, tầm quan trọng của việc khắc sâu kiến thức SGK, rèn luyện khả năng phát triển
bài toán mới trong SGK hình học THPT.
-Tìm hiểu thực trạng các hình thức hoạt động của GV và HS đối với việc
phát trển bài toán mới trong SGK hình học THPT.
1.3. ĐỐI TƯỢNG KHẢO SÁT
Đối tượng khảo sát là GV dạy Toán bậc THPT và học sinh ở trường THPT
trên địa bàn tỉnh Thừa Thiên Huế.
1.4. NỘI DUNG KHẢO SÁT
Tìm hiểu thức trạng vấn đề nghiên cứu trên các phương diện:
-Mức độ giáo dục ý thức tự giác trong học tập của học sinh;
-Mức độ vận dụng phương pháp dạy học theo hướng khắc sâu kiến thức của
giáo viên;
-Thực trạng các hình thức tổ chức hoạt động phát triển bài toán mới từ SGK
hình học THPT.
1.5. PHƯƠNG THỨC KHẢO SÁT:
-Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm cho giáo viên.
-Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh.
1.6. KẾT QUẢ:
*) Đối với giáo viên:
-Về mặt nhận thức: Nhìn chung các GV nhận thức được rằng hướng dẫn học
sinh tự học, khắc sâu và phat triển kiến thức là rất quan trọng và cần thiết. Bởi vì
thông qua hoạt động này sẽ góp phần nâng cao chất lượng học tập ở HS.
-Về mặt thực tiễn: Tuy nhiên thực tiễn lại chưa đạt được như mong đợi. Điều
này một phần nguyên nhân do nội dung chương trình ôm đồm, hạn hẹp về thời gian,
kiến thức dạy học hợp tác của GV nhìn chung còn yếu. Khẳng định rằng để việc học

13



tập đạt hiệu quả tốt, GV cần có sự định hướng và giao nhiệm vụ cụ thể cho HS đồng
thời có biện pháp nhằm động viên, khích lệ HS học tập một cách chủ động, tích cực
và hứng thú.
*)Đối với học sinh:
Bên cạnh một số HS có phương pháp tự học, có mục đích học tập đúng đắn,
tích cực hứng thú trong việc tiếp cận và giải quyết vấn đề mớ thì còn một bộ phận
không nhỏ HS thụ động trong việc học, chưa tìm ra phương pháp học tập phù hợp.
1.7. GHI NHẬN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ
Theo chúng tôi: Khắc sâu một kiến thức SGK có nghĩa là làm cho học sinh
hiểu rõ được bản chất và ghi nhớ và ghi nhớ sâu sắc một nội dung kiến thức trong
SGK chẳng hạn, một khái niệm, một định lí hay một tính chất, một phương pháp. Có
các cách sau để khắc sâu kiến thức:
1)Hoạt động thể hiện: là hoạt động tạo một đối tượng thỏa mãn nội dung
khái niệm, định lí, hay tính chất, một phương pháp.
2)Hoạt động nhận dạng: là phát triển xem một đối tượng cho trước có thỏa
mãn nội dung khái niệm, định lí hay tính chất, một phương pháp đang nghiên cứu
hay không.
3)Hoạt động ngôn ngữ: phát biểu một khái niệm, giải thích một định lí, trình
bày một lời giải,... hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác, chẳng hạn từ
dạng kí hiệu toán sang dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngược lại.
4)Hoạt động trí tuệ chung, hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học: Khái
quát hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa, xét tương tự, lật ngược vấn đề, phân chia
trường hợp, chứng minh,...
*)Khái quát hóa: là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho
đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn.
*)Đặc biệt hóa: là việc chuyển từ nghiên cứu một tập hợp đối tượng nghiên
cứu đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp nêu trên.
5)Vận dụng.
Trên cơ sở đã khắc sâu kiến thức SGK chúng ta có thể phát triển kiến thức

SGK. Chúng tôi quan niệm: Phát triển kiến thức SGK có nghĩa là từ một nội dung

14


kiến thức trong SGK mà mở rộng thêm, khái quát thêm hay đào sâu khai thác thêm,
từ đó đưa ra những kết quả mới. đẹp, thú vị, hoặc tìm tòi những cách chứng minh
khác với SGK nhưng ngắn gọn và hay. Nói cách khác khắc sâu và phát triển kiến
thức giúp HS hiểu rõ bản chất các vấn đề toán học trong SGK nên ghi nhớ kiến thức
SGK Toán một cách có hiệu quả. Khắc sâu và phát triển các kiến thức SGK thông
qua bài toán mới làm cho các phẩm chất tư duy của HS được bối dưỡng, rèm luyện
và tạo điều kiện cho sự phát triển trí tuệ. Từ đó giúp HS có thể học tập Toán một
cách chủ động, độc lập và sáng tạo; hình thành một sự kích thích bên trong đối với
việc học tập, mang lại cho học sinh nguồn vui, niềm hứng thú, say mê trong học tập
và nghiên cứu toán.
1.8. CÁC THUẬT NGỮ CHÍNH
- Bài toán mới (đối với học sinh) là bài toán kết quả của việc tìm tòi, chứng
minh bởi các hoạt động tư duy ( hoạt động phân tích, so sánh, khái quát hóa, đặc
biệt hóa,...) trên cở sở nền tảng kiến thức trong sách giáo khoa có trước. Bài toán đó
không có sẵn trong tài liệu giáo khoa và sách bài tập.
- Phát triển kiến thức SGK: kiến thức SGK là hệ thống các kiến thức khoa
học, chính xác được coi là kiến thức chuẩn, cơ bản nhất trong chương trình giáo dục
phổ thông. Việc dạy và học đều dựa vào đó làm nền tảng, làm chuẩn mực để tiến
hành các hoạt động giáo dục. Từ những kiến thức SGK, bằng các hoạt động dạy học
của mình, người giáo viên tổ chức, xây dựng, hình thành, phát triển kiến thức mới
ngoài chương trình.

15



Chương 2
MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN LIÊN QUAN ĐẾN CÁC DẠNG
HOẠT ĐỘNG PHÁT TRIỂN KIẾN THỨC

2.1. LÍ THUYẾT NỀN TẢNG CỦA VIỆC DẠY HỌC PHÁT TRIỂN KHẢ
NĂNG TƯ DUY TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
LIÊN QUAN ĐẾN PHÁT TRIỂN KIẾN THỨC TOÁN HỌC
2.1.1. Nguyên lí về sự phát triển
a) Khái niệm:
Phép biện chứng duy vật cho rằng: Phát triển là quá trình vận động từ thấp
đến cao, từ đơn giản đến phức tạp, từ chưa hàn thiện đến hoàn thiện và phát triển là
khuynh hướng chung trong sự vận động của các sự vật và hiện tượng... Khái niệm
phát triển không khái quát mọi sự vận động nói chung. Nó chỉ khái quát những vận
động đi lên, sự xuất hiện cái mới theo chiều hướng chung là từ đơn giản đến phức
tạp, từ chưa hoàn thiện đến hoàn thiện. Không nên hiểu phát triển bao giờ cũng là
một quá trình đơn giản, thẳng tắp mà là con đường quanh co, phức tạp. Xét từng
trường hợp cá biệt thì có những vận động là đi lên tuần tự và đồng thời có những
vận động đi xuống hoặc thụt lùi. Nhưng về quá trình và trong phạm vi rộng lớn thì
vận động đi lên là khuynh hướng tất yếu. Chính vì vậy, phát triển là khuynh hướng
chung trong sự vận động của các sự vật và hiện tượng.
b) Tính chất của sự phát triển:
- Tính khách quan của sự phát triển: các sự vật, hiện tượng trong thế giới, dù thể
hiện dưới hình thức nào cũng là quá trình giải quyết mâu thuẫn vốn có của các sự vật,
hiện tượng, độc lập và không phụ thuộc vào ý thức con người. Con người chỉ có thể
nhận thức và vận dụng khuynh hướng chung của sự phát triển trên cơ sở phân tích, giải
quyết các mâu thuẫn của sự vật, hiện tượng trong hoạt động thực tiễn xã hội.
- Tính phổ biến của sự phát triển: không có sự vật, hiện tượng nào của thế giới
là không vận động và phát triển, đó là khuynh hướng chung. Vì vậy phát triển là một
quá trình vận động đi lên diễn ra trong tự nhiên, xã hội và tư duy của con người. Trong
đó sự xuất hiện của con người cũng chỉ là một quá trình lịch sử tự nhiên.


16


- Tính đa dạng phong phú của sự phát triển: các sự vật hiện tượng đều gắn
liền với những điều kiện khách quan nhất định. Căn cứ tính đa dạng phong phú của
sự phát triển có thể phân chia sự phát triển như một quá trình xuất hiện cái mới có
tính giai đoạn, có tính lịch sử của nó. Sự xuất hiện cái mới luôn gắn liền với những
điều kiện khách quan nhất định. Trong đó, cái mới phù hợp với quy luật vận động
của sự phát triển của các sự vật và hiện tượng trong tự nhiên, xã hội và tư duy là
tiêu chuẩn của sự phát triển. Bởi, có những cái mới là cái khác với cái cũ hoặc quá
trình trước đó, nhưng không là tiêu chuẩn của sự phát triển vì nó không phù hợp
với quy luật vận động của các sự vật, hiện tượng trong tự nhiên, xã hội và tư duy.
2.1.2. Quy luật lượng và chất
Quy luật chuyển hóa từ sự thay đổi về lượng dẫn đến sự thay đổi về chất và
ngược lại ( gọi tắt là quy luật lượng- chất). Quy luật lượng – chất vạch ra cách thức
của sự vận động phát triển sự vật.
a)Khái niệm:
Chất dùng để chỉ những thuộc tính cơ bản , vốn có của sự vật, hiện tượng,
tiêu biểu cho sự vật hiện tượng đó, phân biệt nó với các sự vật hiện tượng khác.
Lượng : là khái niệm dùng để chỉ những thuộc tính cơ bản, vốn có của sự
vật, hiện tượng, biểu thị trình độ phát triển (cao, thấp), quy mô (to, nhỏ), vận động
(nhanh, chậm), số lượng (ít, nhiều) của sự vật, hiện tượng.
b) Mối quan hệ biện chứng giữa lượng và chất:
- Từ sự thay đổi về lượng dẫn đến sự thay đổi vầ chất.
Bất kì sự vật hiện tượng nào cũng là sự thống nhất giữa chất và lượng.
Chúng tác động qua lại lẫn nhau. Sự thống nhất hữu cơ giữa tính quy định về chất
và tính quy định về lượng gọi là độ. Độ là phạm trù dùng để chỉ sự thống nhất giữa
chất và lượng. Độ là giới hạn mà trong đó sự thay đổi về lượng của sự vật chưa làm
thay đổ căn bản về sự vật ấy. Trong độ, sự vật vẫn còn là nó chứ chưa biến thành

cái khác. Tại điểm giới hạn mà sự thay đổi về lượng đã đủ làm thay đổi về chất của
sự vật được gọi là điểm nút. Điểm nút là phạm trù để chỉ thời điểm mà tại đó sự
thay đổi về lượng đã làm thay đổi về chất của sự vật. Quá trình biến đổi của sự vật
được gọi là bước nhảy. Bước nhảy là phạm trù dùng để chỉ sự chuyển hóa về chất

17


của sự vật do sự thay đổi về lượng của sự vật trước đó gây ra. Bước nhảy là sự kết
thúc một giai đoạn phát triển của sự vật và là khở đầu của một giai đoạn khác. Cứ
như vậy, quá trình vận động, phát triển của sự vật diễn ra theo cách thức từ sự thay
đổi về lượng dẫn đến thay đổi về chất một cách vô tận.
- Sự tác động trở lại của chất đối với lượng
Khi chất mới ra đời sẽ tác động trở lại lượng. Sự tác động ấy thể hiện: chất
mới có thể làm thay đổi kết cấu, quy mô, trình độ, nhịp điệu của sự vận động phát
triển của sự vật hiện tượng. Nghĩa là tạo điều kiện cho lượng mới xuất hiện. Như
vậy không chỉ những thay đổi mới về lượng mới dẫn đến sự thay đổi về chất, mà
những thay đổi về chất cũng dẫn đến sự thay đổi về lượng.
c) Những hình thức của bước nhảy vọt
Sự thay đổi về chất của sự vật hiện tượng hết sức đa dạng, phong phú với
nhiều hình thức khác nhau. Có thể quy thành hai hình thức cơ bản:
- Căn cứ vào nhịp điệu bước nhảy có đột biến và bước nhảy dần dần.
Bước nhảy đột biến: là bước nhảy thực hiện trong một thời gian rất ngắn làm
thay đổi chất của toàn bộ kết cấu cơ bản của sự vật.
Bước nhảy dần dần là bước nhảy thực hiện từ từ, bằng cách lích lũy dần dần
những nhân tố của chất mới và mất đi dần dần những nhân tố của chất cũ.
- Căn cứ vào quy mô thực hiện bước nhảy của sự vật có bước nhảy toàn bộ
và bước nhảy cục bộ. Bước nhảy toàn bộ là bước nhảy làm thay đổi chất của toàn
bộ các mặt, các yếu tố cấu thành sự vật. Bước nhảy cục bộ là bước nhảy làm thay
đổi chất của những mặt, những yếu tố riêng lẻ của sự vật, hiện tượng.

Kết luận:
Mọi sự vật hiện tượng là sự thống nhất giữa lượng và chất. Sự thay đổi dần
dần về lượng trong khuôn khổ của độ tới điểm nút sẽ dẫn đến sự thay đổi về chất
thông qua bước nhảy. Chất mới ra đời tác động lại đối với sự thay đổi của lượng.
Quá trình đó diễn ra liên tục làm cho sự vật không ngừng phát triển, biến đổi.
Trong quá trình dạy học Toán, nếu coi trọng đúng mức việc xây dựng và sử
dụng quy trình dạy học giải bài tập toán, người giáo viên sẽ tạo điều kiện cho học
sinh từng bước tích lũy kiến thức, hình thành các kĩ năng, kĩ xảo qua đó tạo ra nhận
thức mới cho bản thân. Giáo viên cần nắm vững quy luật biện chứng này nhằm phát
18


hiện những bước chuyển hóa từ sự biến đổi về lượng dẫn tới sự biến đổi về chất.
Qua đó giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa “lượng” và “chất” của sự vật hiện
tượng, thấy được sự chuyển hóa của đối tượng Toán học cũng như trình độ nhận
thức của mình.
Ví dụ 2.1: Khi dạy về phần vecto trong mặt phẳng (Hình học 10) khi xây dựng
phần trọng tâm của hệ điểm, giáo viên cho các em khái quát hóa bài toán như sau:
 



Với hai điểm A, B thì có duy nhất điểm I sao cho: IA  IB  0

  



Với ba điểm A, B, C thì có duy nhất điểm I sao cho: IA  IB  IC  0


   



Với bốn điểm A, B, C, D thì có duy nhất điểm I sao cho: IA  IB  IC  ID  0
Từ đó với học sinh khá, giỏi ta có thể mở rộng hệ n điểm: Với n điểm

 
 
A1 , A2 ,... An thì có duy nhất điểm I sao cho: IA1  IA2  ...  IAn  0

Như vậy khi thay đổi sô lượng điểm (tức lượng đổi) thì bài toán chuyển hẳn
sang một bài toán khác (tức chất đổi) và quá trình giải chúng đã làm thay đổi nhận
thức của học sinh.
2.1.3. Quy luật mâu thuẫn
Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập (quy luật mâu thuẫn)
a) Nội dung:
- Mặt đối lập biện chứng:
+ Đó là hai mặt đối lập của nhau.
+ Cả hai mặt đối lập đó cùng tồn tại trong một sự vật, hiện tượng.
+ Cả hai mặt đối lập cùng tham gia tạo nên bản chất của sự vật hiện tượng.
-Mâu thuẫn biện chứng: là mối quan hệ của hai mặt đối lập biện chứng mà ở
đó có ba quá trình diễn ra:
+ Quá trình thống nhất: làm cho sự vật hiện tượng nào đó, ra đời và tồn tại,
sự vật hiện tượng vẫn là nó.
+ Quá trình đấu tranh trong sự vật hiện tượng xuất hiện và phát triển những
xung đột dẫn đến đỉnh điểm không thể điều hòa được.
+ Quá trình chuyển hóa: có thể một mâu thuẫn nào đó mất đi, mâu thuẫn mới
hình thành chứa đựng sự hình thành chất mới. Do đó không bao giờ hết mâu thuẫn.
Mâu thuẫn là nguồn gốc, là động lực của sự vận động, phát triển. Đấu tranh là tuyệt

đối, thống nhất là tương đối.

19


b) Quan niệm biện chứng về thống nhất và đấu tranh
- Thống nhất là tương đối: sự vật hiện tượng “nó vẫn là nó” nghĩa là sự cùng
tồn tại bên nhau của hai mặt đối lập để xác định một sự vật hiện tượng cụ thể.
- Đấu tranh là tuyệt đối: sự đấu tranh của các mặt đối lập, bài trừ lẫn nhau là
tuyệt đối, cũng như sự vận động phát triển là tuyệt đối.
Khi hai mặt đối lập xung đột gay gắt đã đủ điều kiện, chúng sẽ chuyển hóa
cho nhau, mâu thuẫn được giải quyết. Nhờ đó mà thể thống nhất cũ được thay thế
băng thể thống nhất mới, sựu vật cũ mất đi và được thay thế bằng thể thống nhất
mới. Lênin viết: “Sự phát triển là cuộc đấu tranh của các mặt đối lập”. Tuy nhiên
không có sự đối lập thì không có sự đấu tranh giữa chúng. Thống nhất và đấu tranh
không thể tách rời trong mâu thuẫn biện chứng.
c) Một số loại mâu thuẫn:
- Căn cứ vào quan hệ đối với sự vật được xem xét, người ta phân biệt các
mâu thuẫn thành mâu thuẫn bên trong và mâu thuẫn bên ngoài.
- Căn cứ vào ý nghĩa với sự tồn tại và sự phát triển của toàn bộ sự vật, mâu
thuẫn được chia thành mâu thuẫn cơ bản và mâu thuẫn không cơ bản.
- Căn cứ vào vai trò của mâu thuẫn với sự tồn tại và phát triển của sự vật
trong một giai đoạn nhất định, các mâu thuẫn được chia thành mâu thuẫn chủ yếu
và mâu thuẫn thứ yếu.
- Căn cứ vào tính chất của các quan hệ lợi ích, người ta chia các mâu thuẫn
trong xã hội thành mâu thuẫn đối kháng và mâu thuẫn không đối kháng.
Kết luận:
Mọi sự vật đều chứa đựng những mặt có khuynh hướng biế đổi ngược chiều
nhau gọi là những mặt đối lập. Mối quan hệ của hai mặt đối lập tạo nên mâu thuẫn.
Các mặt đối lập vừa thống nhất với nhau vừa chuyển hóa lẫn nhau làm cho mâu

thuẫn được giải quyết, sự vật biến đổi và phát triển, cái mới ra đời thay thế cái cũ.
d) Ý nghĩa phương pháp:
Việc nghiên cứu quy luật mâu thuẫn có ý nghĩa phương pháp luận quan trọng
trong nhận thức và thực tiễn. Muốn phát hiện ra mâu thuẫn phải tìm trong thể thống
nhất những mặt, những khuynh hướng trái ngược nhau. Tìm ra mâu thuẫn bản chất

20


thứ yếu để có hướng tác động vào trọng tâm sự vật, sự việc. Nắm rõ hình thức mâu
thuẫn giúp ta tác động làm cho quá trình biến đổi diễn ra nhanh hơn. Để thúc đẩy sự
phát triển phải dùng nhiều hướng tác động nhằm giải quyết mâu thuẫn, không được
điều hòa mâu thuẫn. Cần có quan điểm lịch sử cụ thể trong quá trình xem xét và giải
quyết mâu thuẫn.
Ví dụ 2.2:





1) Xét điểm A và k  0 khi đó ta có: k AA  0
2) Xét hai điểm A1 , A2 và k1 , k 2 thỏa k1  k 2  0 . Lấy điểm G thỏa mãn

GA1  


 
k2 
A1 A2 , khi đó ta có: k1 GA1  k2 GA2  0
k1  k2


3) Xét ba điểm A1 , A2 , A3 và k1 , k2 , k3 thỏa k1  k2  k3  0 . Lấy điểm G thỏa


mãn GA1  





 
k3
k2
A1 A2 
A1 A3 , khi đó ta có: k1 GA1  k2 GA2  k3 GA3  0
k1  k2  k3
k1  k 2  k3

Đưa đến bài tóan tổng quát như sau: Cho n điểm A1 , A2 ,... An và n số thực
thỏa

k1 , k2 ,...kn

k1  k2  ...  k n  0 .

Lấy

điểm

G


thỏa

mãn


GA1  




k3
kn
k2
A1 A2 
A1 A3  ...
A1 An , khi đó ta có:
k1  k2  ...  kn
k1  k 2  ...  kn
k1  k 2  ...  kn


 
k1 GA1  k2 GA2  ...  kn GAn  0

Nếu cho các em giải quyết ngay bài tập tổng quát thì sẽ gây nhiều khó khăn
bởi học sinh gặp mâu thuẫn. Mâu thuẫn giữa yêu cầu, nhiệm vụ nhận thức với kinh
nghiệm có sẵn, mâu thuẫn được tạo nên bởi hệ thống tri thức và phương pháp đã có
với tình huống tri thức mới.
Do vậy, thay vì làm bài toán tổng quát, giáo viên cho học sinh xét các bài

toán cụ thể, để từ đó thông qua hoạt động khái quát học sinh định hướng được cách
giải quyết vấn đề.
1’) Cho hai điểm A1 , A2 và k1 , k 2 thỏa k1  k 2  0 . Chứng minh rằng tồn tại G






sao cho k1 GA1  k2 GA2  0 .

 



 
k1 GA1  k2 GA2  0  k1 GA1  k2 GA2  k2 GA1  k 2 GA1  0

 

k2 
 (k1  k 2 )GA1  k2 A1 A2  0  GA1  
A1 A2
k1  k 2

21