BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

TRẦN ĐÌNH PHƢƠNG

GIẢ THUYẾT VÀ CHỨNG MINH TRONG KHÁM PHÁ
TỰ NGHIỆM CÁC BÀI TOÁN CÓ TÍNH KHÔNG THỂ CỦA HỌC
SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS TRẦN VUI

Huế, 2016
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các dữ liệu và
kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực, chưa từng được công bố trên bất kì
công trình nào khác
Tác giả
Trần Đình Phương

ii

LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy Trần Vui,
người đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân trọng cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng
đào tạo sau đại học, quý thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô thuộc
chuyên ngành Lí luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình giảng dạy, chia
sẻ cho tôi nhiều tri thức, kinh nghiệm quý báu trong những năm học vừa qua.
Sau cùng, tôi xin cám ơn các em học sinh yêu quý của trường THPT Phan
Đăng Lưu đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình thực nghiệm.
Do sự hạn chế về thời gian, cũng như khả năng của bản thân nên luận văn sẽ
không tránh khỏi những thiếu sót, tôi mong sẽ nhận được nhiều sự góp ý chân thành
để luận văn này trở nên hoàn thiện và có ý nghĩa hơn.
Xin trân trọng cám ơn

iii


MỤC LỤC
TRANG PHỤ BÌA ..................................................................................................... i
LỜI CAM ĐOAN ..................................................................................................... ii
LỜI CẢM ƠN .......................................................................................................... iii
MỤC LỤC ................................................................................................................ iv
Chƣơng 1. GIỚI THIỆU...........................................................................................1
1.1. Giới thiệu và đặt vấn đề ..................................................................................1
1.2. Các thuật ngữ chính ........................................................................................4
1.3. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................5
1.4. Câu hỏi nghiên cứu .........................................................................................5
1.5. Ý nghĩa nghiên cứu .........................................................................................5
1.6. Tiểu kết chương 1 ...........................................................................................5

Chƣơng 2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN ......................6
2.1. Các kết quả nghiên cứu liên quan ....................................................................6
2.2. Nền tảng lý thuyết ............................................................................................8
2.2.1. Toán học là giải quyết vấn đề ...................................................................8
2.2.2. Toán học là đặt các giả thuyết ..................................................................9
2.2.3. Toán học là đưa ra chứng minh ..............................................................11
2.2.4. Chứng minh tính không thể ....................................................................19
2.2.5. Khám phá tự nghiệm...............................................................................20
2.2.6. Chứng minh phản chứng .........................................................................22
2.3. Tiểu kết chương 2 ..........................................................................................23
Chƣơng 3. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .......................................................24
3.1. Phương pháp nghiên cứu ...............................................................................24
3.2. Công cụ nghiên cứu .......................................................................................25
3.2.1. Các phiếu học tập được sử dụng trong nghiên cứu ................................25
3.2.2. Thang mức đánh giá khả năng đặt giả thuyết thông qua khám phá tự nghiệm ....25
3.2.3. Thang mức đánh giá khả năng tìm con đường chứng minh thông qua
khám phá tự nghiệm .........................................................................................27
3.3. Tiểu kết chương 3 ..........................................................................................29

iv


Chƣơng 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU .................................................................30
4.1. Phiếu thực nghiệm số 1 ..................................................................................30
4.2. Phiếu học tập 2 ...............................................................................................38
4.3. Tiểu kết chương 4 ..........................................................................................44
Chƣơng 5. THẢO LUẬN VÀ KẾT LUẬN ...........................................................45
5.1. Thảo luận các câu hỏi nghiên cứu .................................................................45
5.1.1. Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất ...................................................................45
5.1.2. Câu hỏi nghiên cứu thứ hai .....................................................................46

5.1.3. Câu hỏi nghiên cứu thứ 3 ........................................................................46
5.2. Hướng phát triển đề tài ..................................................................................47
5.3. Tiểu kết chương 5 ..........................................................................................48
KẾT LUẬN ..............................................................................................................49
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................50
PHỤ LỤC

v


Chƣơng 1
GIỚI THIỆU
1.1. Giới thiệu và đặt vấn đề
Ta thừa nhận rằng giữa triết lí, toán học, giáo dục toán học có mối quan hệ
biện chứng với nhau.

Các nhìn nhận về triết lí của một người ảnh hưởng đến quan điểm về toán học
và việc dạy học toán của người đó. Tuy nhiên tính trung tâm của triết lí và mối quan
hệ phức tạp của nó với việc phát triển lí thuyết trong giáo dục toán học chỉ được đề
cập cách đây hai thập kỉ, khi Ernest (1991, [6]) và Steiner (1987, [24]) đã nhìn nhận
được tầm quan trọng của các vấn đề nhận thức luận có ảnh hưởng đến việc dạy và
học toán. Câu hỏi toán học là gì, với những quan tâm đến việc dạy và học toán, đã
đưa đến nhu cầu phát triển một triết lí về toán học tương thích với giáo dục toán. Có
nhiều lí thuyết gia đã đóng vai trò trực tiếp hay gián tiếp trong vấn đề này, nhưng
chúng tôi xin đề cập đến ba lí thuyết gia tiêu biểu: Lakatos, Hersh và Ernest.
Hersh bắt đầu quảng bá cuốn sách: “Các Chứng minh và Bác bỏ” của Lakatos
đến cộng đồng toán học trong một bài báo có tựa đề “Giới thiệu về Imre Lakatos”
(1978, [8]) và kêu gọi cộng đồng các nhà toán học quan tâm đến việc xem xét lại
triết lý của toán học. Hersh (1979, [9]) đã định nghĩa “triết lý của toán học” như là
một triết lý để làm việc của nhà toán học chuyên nghiệp, thái độ triết học đối với

công việc của mình được ngầm định bởi nhà nghiên cứu, giáo viên, người sử dụng
toán học và đặc biệt là vấn đề trọng tâm: “phân tích tính đúng đắn và ý nghĩa của
các vấn đề toán học”. Sau này, Hersh (1991, [10]) đã viết: So với toán học trong
quá trình phát triển (toán học mặt sau) thì toán học chính thức (toán học mặt trước)

1


là hình thức, chính xác và trừu tượng. Nó được phân biệt rõ ràng theo định nghĩa,
định lý và nhận xét. Đối với mọi câu hỏi đều có một câu trả lời hay ít nhất cũng
được gán cho cái nhãn là: “câu hỏi mở”. Mục đích được phát biểu ở phần đầu của
mỗi chương, và đạt được ở phần sau. So với toán học mặt trước, toán học mặt sau là
rời rạc, không hình thức, trực quan, nhạy cảm. Chúng ta thử cái này hay cái kia,
chúng ta nói “có thể xảy ra” hoặc “nó trông giống như”. Như vậy, Hersh không
quan tâm quá nhiều đến những vấn đề có tính bản thể luận khô khan về bản chất của
toán học và của các đối tượng toán học, mà lại quan tâm nhiều đến phương pháp
luận về việc làm toán, nó làm cho toán học trở thành một hoạt động của con người.
Ernest (1991, [6]) đã dựa trên quan điểm triết lý của Lakatos về toán học để
thiết lập Triết lý của giáo dục toán và lý thuyết kiến tạo xã hội như là một triết lý
của toán học. Ernest tuyên bố triết lý chấp nhận sai lầm và kiến tạo xã hội của toán
học được trình bày bởi Lakatos không chỉ đạt được những thực hành giáo dục, mà
Lakatos đã tiên liệu trước về các ứng dụng này (tr. 208). Ernest quan niệm toán học
nhà trường cần phải theo bản chất được kiến tạo mang tính xã hội được trình bày
bởi Lakatos, và cũng cho rằng giáo viên và học sinh nên cùng tham gia theo cách
của mình vào các tranh luận, đặc biệt là đặt và giải quyết vấn đề, nối kết và đối mặt
với các giả thuyết, và tham gia vào những thảo luận khởi đầu.
Như là một triết lý của toán học, Ernest (1991, [6]) cho rằng kiến tạo xã hội
xem toán học như là một cấu trúc mang tính xã hội. Nó dựa vào “thuyết qui ước của
cộng đồng” để thừa nhận “ngôn ngữ của con người, các qui tắc và thỏa thuận đóng
một vai trò quan trọng trong việc thiết lập và kiểm chứng tính đúng đắn của toán

học” (tr. 42). Ernest đưa ra ba căn cứ cho triết lý này:
- Kiến thức có tính ngôn ngữ, các qui ước của cộng đồng và qui tắc định hình
nền tảng của kiến thức toán học.
- Các quá trình có tính xã hội giữa các cá nhân là cấn thiết để chuyển một
kiến thức toán học chủ quan của cá nhân thành kiến thức toán học khách
quan được thừa nhận.
- Tính khách quan được hiểu là mang tính xã hội.

2


Điều cơ bản để phân biệt lý thuyết kiến tạo xã hội với các triết lý khác của
toán học là nó quan tâm đến sự tương tác giữa kiến thức toán học chủ quan và kiến
thức toán học khách quan. Khi một kiến thức toán học được khám phá bởi một cá
nhân, kiến thức chủ quan này trở thành kiến thức được thừa nhận bởi cộng đồng,
như vậy nó trở thành khách quan. Rồi thì, khi kiến thức này được phổ biến cho
những người khác, họ phải tiếp thu nó và nó lại trở thành chủ quan.
Kiến thức toán học là những gì được con người sáng tạo hay khám phá theo
bối cảnh xã hội. Thuyết kiến tạo xã hội dựa vào việc có thể chấp nhận sai lầm của
các chứng minh như là chứng cứ để quan niệm rằng toán học là một cấu trúc mang
tính xã hội và như thế thì toán học thiếu sự chắc chắn. Nếu việc kiểm chứng các kết
quả toán học có thể là sai, như thế các kết quả toán học là chủ quan ngay cả đối với
câu hỏi. Thuyết kiến tạo xã hội cho rằng một chứng minh toán học trở thành đúng
khi nó được thừa nhận bởi cộng đồng, và được thể hiện ở những trạng thái “kết quả
x, y, z… tồn tại”. Nói cách khác, đối với giáo dục toán, học sinh cần biết rằng gánh
nặng của chứng minh là thuyết phục được người khác và nó sẽ gánh nặng này sẽ
thay đổi ở những thời điểm khác nhau, phụ thuộc vào tính chặt chẽ đòi hỏi bởi các
cộng đồng toán học cụ thể. Theo cách này, học sinh sẽ nhận ra được rằng các em
cần nhạy bén với những gì được xem là chứng minh trong cộng đồng của mình. Nó
trái ngược với ý tưởng cho rằng chứng minh là một suy diễn có hệ thống chặt chẽ từ

các kết quả toán học đã biết.
Cùng với sự phát triển của giáo dục thế giới, giáo dục nước ta nói chung và
giáo dục toán nói riêng cũng đang có những chuyển biến tích cực. Định hướng quan
trọng trong đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay là phát huy tính tích cực, chủ
động, sáng tạo của học sinh, “lấy học sinh làm trung tâm”.
Theo quan điểm của nhiều nhà giáo dục toán học hiện nay, giải quyết vấn đề
là kĩ năng trọng tâm của việc học toán. Casti (2001, [4]) cho rằng: “lí do tồn tại của
toán học đơn giản là để giải quyết vấn đề”. Và Schoenfeld (1979, [22]) đã chỉ ra
rằng việc giảng dạy giải quyết vấn đề thông qua “khám phá tự nghiệm” giúp nâng
cao khả năng giải quyết vấn đề toán học. Khám phá tự nghiệm toán học được đặc
trưng bởi phỏng đoán, đưa ra các giả thuyết, chứng minh và bác bỏ. Margolis (1987,
[15]) cho rằng: “mọi định lý đều xuất phát từ các giả thuyết”. Nhưng, một mệnh đề
3


được coi là một sản phẩm toán học thì nó phải được chứng minh chặt chẽ bởi lập
luận logic. Điều đó cho thấy việc đặt giả thuyết và chứng minh là cực kì quan trọng
trong sự phát triển của toán học.
Việc sử dụng “tính không thể” trong toán học để học sinh khám phá tự nghiệm
là rất cần thiết bởi: Bản thân các giả thuyết về “tính không thể” là những tình huống
có vấn đề, nó khuyến khích học sinh tìm tòi, đặt giả thuyết, đưa ra các chứng minh,
bác bỏ các giả thuyết, các bổ đề, đưa ra các phản ví dụ; trong quá trình đưa ra các
bác bỏ, các giả thuyết mới cũng sẽ được hình thành. Và nó lại tiếp tục nảy sinh các
tình huống có vấn đề. Các phản ví dụ đưa ra cũng có thể được phát triển thành một
giả thuyết mới. Quá trình này cứ liên tục lặp lại, các tình huống có vấn đề liên tiếp
được tạo ra một cách hết sức tự nhiên trong quá trình phát triển tri thức toán. Học
sinh sẽ bị mê hoặc bởi các vấn đề do chính mình đặt ra. Từ đó các em có sự hứng
thú hơn trong việc học kiến thức Toán đó nói riêng, cũng như Toán học nói chung.
Các bài toán về “tính không thể” sẽ tạo cho các em sự tò mò trong khám phá tri
thức, linh động hơn trong tư duy.

Với những lí do trên, tôi thấy thật sự cần thiết có một nghiên cứu về khả năng
đặt giả thuyết và tìm con đường chứng minh của học sinh trong khám phá tự
nghiệm toán về tính không thể như thế nào, nhằm để giáo viên có thể giúp học sinh
của mình nâng cao khả năng giải quyết vấn đề. Vì vậy tôi chọn: “Giả thuyết và
chứng minh trong khám phá tự nghiệm các bài toán có “tính không thể” của học
sinh trung học phổ thông” làm đề tài cho luận văn này.
1.2. Các thuật ngữ chính
Giả thuyết là những phương án suy luận giả định từ những ý tưởng nảy sinh có
thể áp dụng để giải quyết vấn đề. Giả thuyết được hình thành trên cơ sở nhận diện
vấn đề, tổng hợp và phân tích thông tin, đánh giá điều kiện chủ quan và khách quan
cùng mức độ phù hợp với mục tiêu đề ra.
Chứng minh là quá trình đưa ra các lập luận để chứng tỏ giả thuyết đã đặt ra là
đúng cho mọi trường hợp không trừ một trường hợp cụ thể nào.
Khám phá tự nghiệm là quá trình học sinh đưa ra các phương án để giải quyết
vấn đề dựa trên các phỏng đoán, đặt giả thuyết.

4


1.3. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài: Giả thuyết và chứng minh trong khám phá tự nghiệm các
bài toán có tính không thể của học sinh trung học phổ thông là nhằm:
 Đánh giá khả năng đặt giả thuyết và chứng minh của học sinh trung học phổ
thông trong khám phá tự nghiệm thông qua các bài toán về tính không thể.
 Từ đó, đề xuất những phương án nhằm nâng cao khả năng đặt giả thuyết và
chứng minh của học sinh.
1.4. Câu hỏi nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu ở trên, đề tài này nhằm mục đích trả lời cho các câu
hỏi sau đây:
 Khả năng đặt giả thuyết của học sinh trung học phổ thông trong khám phá tự

nghiệm các bài toán có tính không thể là như thế nào?
 Khả năng tìm con đường chứng minh của học sinh trung học phổ thông
trong khám phá tự nghiệm các bài toán cótính không thể như thế nào?
 Làm thế nào để giúp học sinh nâng cao khả năng đặt giả thuyết và chứng
minh trong khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể?
1.5. Ý nghĩa nghiên cứu
Nghiên cứu này được mong đợi sẽ góp phần làm sáng tỏ khả năng đặt giả
thuyết và chứng minh của học sinh THPT qua khám phá tự nghiệm các bài toán có
tính không thể. Tìm kiếm và đề xuất được một số phương án nhằm nâng cao khả
năng đặt giả thuyết và chứng minh của học sinh.
1.6. Tiểu kết chƣơng 1
Trong chương này, chúng tôi đã trình bày những lập luận ban đầu cho thấy
được sự cần thiết phải thực hiện nghiên cứu này. Chúng tôi cũng đã trình bày mục
đích và ý nghĩa của nghiên cứu, đồng thời đưa ra các câu hỏi nghiên cứu, định nghĩa
một số thuật ngữ được sử dụng trong luận văn.

5


Chƣơng 2
TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN
2.1. Các kết quả nghiên cứu liên quan
Có nhiều công trình nghiên cứu liên quan đến việc đặt giả thuyết và chứng
minh trong khám phá tự nghiệm. Nổi bật là công trình nghiên cứu của Imre Lakatos
(1976, [14]): “Các chứng minh và bác bỏ”. Công trình này đặt ra những vấn đề cần
quan tâm khi sử dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học toán. Lakatos đề xuất tiếp cận
kiến thức toán học dựa vào khám phá tự nghiệm thông qua việc học sinh tự đặt các
giả thuyết và nổ lực đi chứng minh hay bác bỏ bằng các phản ví dụ. Công trình của
Lakatos nhấn mạnh quan điểm có thể sai lầm của toán học, nó đi ngược lại với quan
điểm của những người theo lý thuyết Plato (427-347 TCN),cho rằng toán học là một

thực thể kiến thức thống nhất với sự chắc chắn mang tính bản thể luận và là một cấu
trúc không có sai lầm. Công trình của Lakatos đã thúc đẩy sự phát triển của nghiên
cứu lý thuyết của giáo dục toán, đặc biệt là lý thuyết kiến tạo.
Một nghiên cứu khác về chứng minh trong khám phá tự nghiệm là kết quả
nghiên cứu của Reiss và Renkl (2002, [19]) đề cập đến việc sử dụng các ví dụ có
tính khám phá tự nghiệm để học sinh đưa ra các giả thuyết và đi chứng minh các giả
thuyết đó. Một ví dụ được nêu trong bài báo là bài toán về tổng số các góc trong
một tam giác. Một số ý tưởng khám phá tự nghiệm có thể thực hiện để dẫn đến việc
đặt giả thuyết tổng các góc trong của một tam giác là 180 :
 Vẽ ra một tam giác, dùng thước đo và cộng số đo tất cả các góc trong của
tam giác đó, các kết quả thu được có thể là các số chẳng hạn như:
181 , 180 5' , 179 , 180 ,... Lập lại quá trình này một số lần, nhận thấy các kết

quả này đều giao động quanh 180 , dẫn đến việc đưa ra giả thuyết rằng tổng
các góc trong một tam giác là 180 .

6


Hình 2.1
 Vẽ một tam giác lên giấy, dùng kéo cắt các góc trong của tam giác rồi ghép
chúng lại thành một góc mới, sau đó đo góc vừa mới tạo thành. Lập lại quá trình
này một vài lần, các kết quả có được cũng như trên, nằm trong lân cận của 180 .

Hình 2.2
 Vẽ một tam giác rồi cắt nó ra, cắt tiếp hai tam giác nữa bằng tam giác vừa
cắt, ghép chúng lại sao cho các cạnh dính nhau phải bằng nhau, dùng thước
thẳng để kiểm tra xem hai cạnh và một đỉnh của các tam giác có nằm trên
cùng một đường thẳng hay không. Kết quả thu được có thể là gần như nằm
trên một đường thẳng, từ đó học sinh đưa ra giả thuyết của mình.


Hình 2.3
Rõ ràng có nhiều nghiên cứu về vấn đề đặt giả thuyết và chứng minh trong
khám phá tự nghiệm nhưng việc nghiên cứu cụ thể vấn đề “Giả thuyết và chứng
minh trong khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể của học sinh trung
học phổ thông“ khá mới và chưa có nhiều nghiên cứu về vấn đề này.
7


2.2. Nền tảng lý thuyết
Có nhiều quan niệm khác nhau về: Toán học là gì? Trong đó có quan niệm
cho rằng toán học có những đặc trưng chính: Giải quyết vấn đề, đặt giả thuyết,
chứng minh.
2.2.1. Toán học là giải quyết vấn đề
Theo Krulik và Rudnick (1980, [12]): “Giải quyết vấn đề chỉ quá trình một cá
nhân sử dụng kiến thức, kỹ năng và hiểu biết đã học trước đó để đáp ứng đòi hỏi
của những tình huống không quen thuộc đang gặp phải”.
Theo Polya (1965, [18]) thì “bản chất toán học là giải quyết vấn đề”. Có nhiều
phương án giải quyết vấn đề, việc chọn những phương án phù hợp với đối tượng
học sinh là rất cần thiết. Sau đây là một số phương án giải quyết vấn đề thường gặp
(Krulik và Rudnick, 1980, [12]) :
- Phát hiện quy luật.
- Phân tích đi lên.
- Giải theo một cách nhìn khác.
- Giải một bài toán đơn giản hơn.
- Xét các trường hợp đặc biệt.
- Vẽ hình.
- Đoán và thử.
- Tính toán cho mọi khả năng.
- Sắp xếp dữ liệu.

- Suy luận logic.
Ví dụ 2.1: Cho n là một số tự nhiên chia hết cho 4. Viết các số tự
nhiên từ 1 đến n lên bảng, ta tiến hành xóa hai số bất kì và thay
bằng tổng của chúng. Làm như vậy cho đến khi còn lại một số
trên bảng. Hỏi liệu có tồn tại một chiến lược thay thế nào mà số
cuối cùng còn lại trên bảng là một số lẻ không?
Đề giải quyết vấn đề này, ta đưa bài toán về một số trường hợp
cụ thể; chẳng hạn với n  4 , dù chọn chiến lược thay thế như thế
nào đi nữa thì số cuối cùng luôn là số chẵn, hơn nữa, ta sẽ phát

8


hiện thêm rằng số này là không đổi dù thực hiện theo chiến lược
nào và chính là tổng của các số tự nhiên từ 1 đến 4. Từ đó dẫn
đến việc phát hiện tính bất biến của số hạng cuối cùng ứng với
mỗi giá trị của n khi thay đổi cách thức thay số nào đi chăng nữa.
Đây chính là cơ sở cho việc đưa ra giả thuyết và định hướng con
đường chứng minh.
Ta có: với mọi số tự nhiên n, số hạng cuối cùng của quá trình
thay số là tổng của các số tự nhiên từ 1 đến n và bằng
Mặt khác, do n chia hết cho 4 nên

n(n  1)
.
2

n(n  1)
chia hết cho 2, hay số
2


hạng cuối cùng của quá trình này không thể là số lẻ. Vấn đề đến
đây đã được giải quyết.
Hiện nay, giải quyết vấn đề là một phần chính trong việc dạy học toán. Việc
giải quyết vấn đề không chỉ là mục đích mà còn là phương tiện chính của việc học
toán. Giải quyết vấn đề không đảm bảo sự thành công trên con đường đi đến lời
giải, nhưng nó sẽ giúp học sinh tự tin tìm tòi, học hỏi trong quá trình khám phá tự
nghiệm của mình.
Để phát triển được năng lực tư duy toán học cho học sinh, giáo viên cần phải
chọn các vấn đề hoặc các bài toán có những đặc điểm sau (Trần Dũng, 2007, [1]):
 Hấp dẫn và thách thức học sinh.
 Đòi hỏi phân tích, phê phán và những kỹ năng quan sát.
 Tạo cơ hội cho thảo luận và tương tác.
 Gắn liền với việc hiểu một khái niệm toán và áp dụng một kỹ năng toán.
 Có nhiều hướng tiếp cận khác nhau.
 Có thể đưa đến một quy tắc hay một sự tổng quát.
2.2.2. Toán học là đặt các giả thuyết
Margolis (1987, [15]) cho rằng: “mọi định lý đều xuất phát từ các giả thuyết”.
Các giả thuyết được đặt ra không phải là những phỏng đoán lung tung, không có
căn cứ; các nhà toán học thường cố gắng để chứng minh chỉ những giả thuyết mà họ

9


tin là đúng. Trước khi đưa ra các lập luận để chứng minh, đôi khi họ thường mô tả
một cách mường tượng chứng minh của nó.
Người có công lớn nhất trong việc kêu gọi sự quan tâm đến tầm quang trọng
của tư duy quy nạp và tư duy giả thuyết, có lẽ không ai làm vượt hơn George Polya,
nhà toán học người Mỹ gốc Hungary. Polya (1954a, [16]) phân biệt giữa “toán học
hoàn thành” và “toán học đang hình thành”. Toán học đã hoàn thành bao gồm các

suy luận của các chứng minh suy diễn. Toán học đang hình thành gồm những kiến
thức khác của nhân loại đang hình thành: “Bạn phải dự đoán định lý toán học trước
khi chứng minh nó: bạn phải dự đoán ý tưởng của chứng minh trước khi bắt tay vào
chứng minh chi tiết. Bạn phải kết hợp các quan sát và theo đuổi các phép tương
tự: bạn phải thử đi thử lại nhiều lần. Kết quả của công trình sáng tạo của nhà toán
học là đưa ra chứng minh; nhưng chứng minh được khám phá bởi suy luận có lý,
bằng dự đoán” (Polya, 1954a, [16]).
Polya khuyên học sinh không chỉ học cách phân biệt giữa một chứng minh với
một dự đoán, mà còn phải biết nói lên sự khác biệt giữa các dự đoán có lý nhiều hay
ít. “Để trở thành một nhà toán học giỏi, hay một người chơi bài giỏi, hay giỏi bất kỳ
việc gì, bạn phải là một người dự đoán giỏi” (Polya, 1954a, tr. 111, [16]).
Không phải giả thuyết nào cuối cùng cũng trở thành định lý. Có rất nhiều giả
thuyết nổi tiếng đã là giả thuyết trong một thời gian dài và vẫn như vậy mặc dù các
nhà toán học đã mất rất nhiều thời gian để cố gắng chứng minh chúng. Một số khác
thì được chỉ ra là sai. Không ai biết được tỉ lệ phần trăm của các giả thuyết mà các
nhà toán học chứng minh là đúng là bao nhiêu. Việc nghiên cứu các giả thuyết sai
lầm thường dẫn ta đến những khám phá quan trọng và sự phát triển của các khía
cạnh mới của các câu hỏi mang tính toán học.
Ví dụ 2.2: Vào thế kỷ V trước công nguyên, các nhà toán học Trung Quốc đã
đưa ra giả thuyết rằng nếu 2n  2 chia hết cho n thì n là số nguyên tố. Người ta đã
kiểm tra kết quả bằng thực nghiệm và thấy rằng: 22  2 , 23  2 , 25  2 , 27  2 chia
hết cho các số nguyên tố 2 , 3 , 5 , 7 ; trong khi 24  2 , 26  2 , 28  2 không chia hết
cho các hợp số 4 , 6 , 8 . Họ tiếp tục kiểm tra cho các trường hợp lớn hơn của n và
thấy nó vẫn còn đúng. Mãi đến năm 1819, giả thuyết này đã bị bác bỏ khi người ta
nhận thấy với n  341 thì 2341  2 chia hết cho 341, nhưng 341  11 31 là hợp số.

10


2.2.3. Toán học là đƣa ra chứng minh

Toán học dường như là một sự thống nhất hoàn toàn chặt chẽ với sự hòa hợp
hoàn toàn trên tất cả các vấn đề, đặc biệt là các quan điểm về các minh chứng, một
quy trình mà theo đó một đề xuất về thực tại vô hình có thể được thành lập với sự
dứt khoát và được chấp nhận bởi tất cả mọi người. Có thể thấy được rằng nếu một
vấn đề toán học có một câu trả lời xác định thì những nhà toán học khác nhau, sử
dụng các phương pháp khác nhau, làm việc ở những thời điểm khác nhau sẽ tìm
được một câu trả lời giống nhau (Davis & Hersh, 1981, tr. 112, [5]).
Chứng minh là quá trình đưa ra các minh chứng cho giả thuyết đã đặt ra là
đúng cho mọi trường hợp không trừ một trường hợp cụ thể nào. Và khi giả thuyết
được chứng minh thì nó có thể được sử dụng để chứng minh các mệnh đề khác. Một
luận cứ trong chứng minh phải đúng đắn (dựa trên các lập luận logic vững chắc) và
đầy đủ (rõ rằng và chi tiết) dựa trên những thiết lập không thể chối cải. Khi đó
chúng ta sẽ tránh những ngộ nhận từ chính bản thân chúng ta và cũng như bất cứ ai
đều có thể kiểm định kết quả.
Để thiết kế một môi trường học tập hiệu quả cho chứng minh toán học, chúng
ta cần một khung lí thuyết dạy học dựa trên lớp học cho chứng minh toán học, ở đó
cung cấp cơ hội học tập được tổ chức tốt cho học sinh, đó là điều cần thiết cho thấy
không chỉ kết quả mong đợi là các chứng minh toán học, mà còn là quá trình chứng
minh toán học để đạt được kết quả đó. Quá trình chứng minh một định lý có thể mất
một thời gian dài và bao gồm cả những tiến bộ cũng như những thất bại bất ngờ.
Quá trình chứng minh có thể bao gồm những nổ lực khác nhau. Mặc dù chứng minh
cuối cùng chứa đựng những lập luận chặt chẽ được sắp xếp theo một chuỗi suy
diễn, nhưng một phiên bản được công bố như vậy thì sẽ khó phản ánh được quá
trình sản sinh của nó. Tương tự, chứng minh trong sách giáo khoa cũng được trình
bày như là một chuỗi các lập luận phù hợp cung cấp bằng chứng trực tiếp hợp lý
cho một mệnh đề. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng điều này không cho thấy cái cách mà
học sinh thành công trong việc đưa ra những chứng minh.
Nhận thấy đặc trưng lặp đi lặp lại của việc thực hiện một chứng minh, các nhà
giáo dục toán thường cho rằng việc dạy và học chứng minh không nên bị hạn chế


11


trong việc đưa ra một kết quả chính xác mà nên nhấn mạnh những khía cạnh quy
trình trong chứng minh. Nó cũng được biết đến qua một số báo cáo của các nhà toán
học về cách mà quá trình này có thể diễn ra chẳng hạn như của: Waerden (1954);
Wertheimer (1945); Reiss & To¨rner (2007, [20]). Đặc biệt, các nhà toán học nhấn
mạnh rằng chứng minh là một quá trình trong đó không chỉ có suy luận suy diễn mà
sự khám phá cũng đóng vai trò cốt yếu (Polya, 1957, [17]). Các tính chất lặp đi lặp
lại của chứng minh có thể được coi là cơ sở cho mô hình chứng minh toán học được
trình bày bởi Boero (1999, [3]).
Để phân biệt giữa quá trình và kết quả của chứng minh thì Boero phân biệt
những giai đoạn khác nhau và cung cấp cái nhìn sâu sắc về sự kết hợp của khám
phá thực nghiệm-quy nạp và giả thuyết-các bước suy diễn trong suốt quá trình tạo ra
một chứng minh toán học.
Giai đoạn đầu tiên được mô tả trong mô hình này là:
(1) Đưa ra một giả thuyết.
Điều này bao gồm sự khảo sát vấn đề dẫn đến giả thuyết cũng như việc xác
định các lập luận hỗ trợ cho những chứng cứ của nó. Boero đề cập đến giai
đoạn này như là “phần công việc dành riêng cho các nhà toán học”. Công việc
này sẽ không được công khai chia sẻ với cộng đồng toán học nhưng có thể
được dựa vào đó để thảo luận với các nhà toán học khác.
(2) Trình bày một quan điểm dựa vào những quy ước.
Giai đoạn này nhằm cung cấp một phỏng đoán được phát biểu một cách chính
xác và là cơ sở cho những hoạt động tiếp theo. Nó có thể được sửa đổi trong
những quá trình tiếp theo nhưng giả thuyết mới này sẽ ảnh hưởng đến hầu hết
những hoạt động đã được thực hiện của các nhà toán học.
(3) Khảo sát những phỏng đoán, nhận ra các lập luận toán học thích hợp và
sự sinh ra của một ý tưởng chứng minh thô.
Đây cũng là một phần của “công việc dành riêng” vì sự khám phá có thể dẫn

đến những sai lầm và chỉ là những ý tưởng sơ bộ trong chứng minh.
Chỉ có 3 giai đoạn sau đây là phải trao đổi công khai, chúng bao gồm:
(4) Lựa chọn và kết hợp của các lập luận mạch lạc trong một chuỗi suy diễn

12


(5) Tổ chức các lập luận dựa theo các tiêu chuẩn toán học.
(6) Đề xuất một chứng minh chính thức.
Mô hình của Boero mô tả một quá trình chứng minh của một nhà toán học
chuyên nghiệp, nhưng nó cũng có thể được xem như là một mô hình cho việc học
chứng minh. Bốn giai đoạn đầu tiên của mô hình được xem là đặc biệt quan trọng
đối với người học như là việc họ mô tả quá trình tìm kiếm một giải pháp và các
bằng chứng chứng minh nó đúng. Dường như rõ ràng rằng thực hiện quá trình này
trong các giai đoạn khác nhau phụ thuộc vào những điều kiện tiên quyết nhất định
liên quan đến các kiến thức về những cơ sở lập luận và quy trình toán học. Những
học sinh có thể thiếu kiến thức và cần sự trợ giúp cụ thể liên quan đến những cơ sở
lập luận và quy trình đó. Thêm nữa, nó giúp cho học sinh hiểu rõ được quá trình
chứng minh và các giai đoạn khác nhau của nó để hỗ trợ cho việc chứng minh.
Bản chất của chứng minh và quá trình đưa ra chứng minh cũng như những
chứng minh không được chấp nhận được sửa chửa, đã được nghiên cứu trong công
trình đầy thú vị của Lakatos (1976, [14]). Mục đích nghiên cứu tình huống của
Lakatos của phương pháp luận về toán học theo lời ông là để chi tiết hóa các vấn đề
không hình thức, toán học thực nghiệm gần như không phát triển được bởi vì sự gia
tăng nhanh của số lượng các định lý, nhưng sẽ phát triển thông qua việc không
ngừng cải tiến bằng việc suy đoán và phê phán, bằng những chứng minh logic và
bác bỏ.
Luận án tiến sĩ của Lakatos kể lại một cuộc thảo luận dài giữa một nhóm các
sinh viên và một giáo viên trong lớp học. Cuộc đối thoại này diễn ra trong một lớp
học tưởng tượng, nhưng các cuộc thảo luận cho thấy sự phát triển của tư duy toán

học qua nhiều thế kỷ liên quan đến những vấn đề trọng tâm của lớp học.
Vấn đề mà lúc đầu lớp học chú ý đó là câu hỏi về liệu có một mối liên hệ giữa số
đỉnh (Đ), số cạnh (C), số mặt (M) của một khối đa diện. Học sinh khám phá thông qua
quá trình khám phá tự nghiệm “thử và sai” cho khối đa diện đều, và phát hiện được
mối liên hệ giữa chúng là theo công thức Đ-C+M=2 (Cả Euler và Descartes đã nhận
thấy được đều này, Euler là vào năm 1752, Descartes là vào năm 1640).

13


Giáo viên đã đề xuất một chứng minh cho mối liên hệ này cho tất cả các khối
đa diện. Các học sinh không thừa nhận tính hợp lệ của chứng minh (mà thực sự đã
được cho là đáng tin cậy bởi một vài nhà toán học nổi tiếng ở thế kỉ 19) bằng việc
đặt nghi vấn về tính đúng đắn của một số lập luận. Họ làm điều này bằng cách tìm
các phản ví dụ cho một hoặc nhiều lập luận.
Các bước mà giáo viên đã thực hiện:
1. Bao phủ bề mặt hình đa diện bằng một màng cao su, sau đó cắt bỏ một mặt,
và trải màng cao su lên mặt phẳng, lúc đó, các cạnh có thể bị biến dạng thành
đường cong, nhưng số cạnh và số đỉnh thì không đổi, số mặt giảm đi một, và
đo đó, cần chứng minh sau khi trải thì: Ð-C+M=1.
2. Vẽ các đường chéo (có thể là cong) của các đa giác (các cạnh của nó có thể
cong) để tạo thành một mạng lưới gồm các tam giác (các cạnh có thể cong).
Khi đó, số cạnh và số mặt đều tăng lên 1, số đỉnh không đổi, do dó, Đ-C+M
không thay đổi.
3. Từ mạng lưới các tam giác, cắt bỏ lần lượt các tam giác bằng cách hoặc bỏ
đi một cạnh khi mà một mặt và một cạnh sẽ biến mất hoặc là bỏ đi hai cạnh và
một đỉnh khi mà một mặt, hai cạnh và một đỉnh sẽ biến mất. Do đó, Đ-C+M
cũng không thay đổi cho đến khi quá trình này dừng lại khi chỉ còn một tam
giác duy nhất; lúc này, Đ-C+M=1. Và ta đã chứng minh xong giả thuyết: với
mọi đa diện thì Đ-C+M=2.

Sau đây là hình ảnh minh họa cho trường hợp hình lập phương.
Bước 1:

Hình 2.4

14


Bước 2:

Hình 2.5
Bước 3:

Hình 2.6
Học sinh cảm thấy chứng minh này chưa thực sự thuyết phục, học sinh nghi
ngờ về tính đúng đắn của các bước chứng minh cũng như tính đúng đắn của giả
thuyết ban đầu (tất cả các hình đa diện đều có Đ-C+M=2).
Phản ví dụ (hình 2.7) mà học sinh đưa ra để bác bỏ bước thứ 3 của chứng
minh (phản ví dụ cục bộ) đó là khi thực hiện loại bỏ các tam giác theo thứ tự như
hình vẽ sau thì cuối cùng sẽ còn lại hai tam giác 9 và 10 rời nhau.

Hình 2.7
15


Một phản ví dụ khác vừa là cục bộ-bác bỏ chứng minh giáo viên đưa ra,
vừa là toàn cục khi bác bỏ giả thuyết ban đầu học sinh đã đưa ra được minh họa
ở hình sau:

Hình 2.8. Đặc trưng Euler: Đ-C+M=4

Ở trường hợp này, không thể dùng màng cao su để phủ và trải ra theo cách mà
giáo viên trình bày được. Hơn nữa, Đ-C+M=4
Lakatos đưa ra sự khác biệt giữa một phản ví dụ cục bộ-cái bác bỏ một bổ đề,
một đề xuất bổ trợ cho định lý, một chứng minh hay một giả thiết để đơn giản hóa
việc chứng minh định lý-của một chứng minh mà không nhất thiết là giả thuyết
chính người ta đang cố gắng để chứng minh, với một phản ví dụ toàn cục, bác bỏ
chính bản thân giả thuyết chính. Một phản ví dụ toàn cục chỉ ra rằng giả thuyết
chính là sai, trong khi đó một phản ví dụ cục bộ chỉ ra rằng chỉ một vài bước chứng
minh là sai, nhưng không loại trừ khả năng giả thuyết chính là đúng). Giáo viên
thừa nhận rằng học sinh đã thực sự chỉ ra được chứng minh cũng như giả thuyết ban
đầu là chưa chính xác, nhưng thay vì loại bỏ nó, họ cố gắng cải thiện nó để nó có
thể “đứng dậy” được sau những phê phán.
Ví dụ như: khi nhận ra các khối đa diện có lỗ hổng (như hình 2.8), dạng khung
ảnh (như hình 2.9), dạng đa cấu trúc (như hình 2.10) đều không có đặc trưng Euler
(Đ-C+M) khác 2, học sinh đã cải thiện giả thuyết ban đầu lại thành: Tất cả các khối
đa diện mà không có lổ hổng, dạng khung ảnh, đa cấu trúc đều có Đ-C+M=2. Và
sau đó là: Tất cả các khối đa diện lồi đều có Đ-C+M=2.

16


Hình 2.9. Đặc trưng Euler: Đ-C+M=0

Hình 2.10. Đặc trưng Euler: Đ-C+M=3
Nâng cao khả năng của học sinh trong việc suy luận một cách chính xác và lập
luận một cách mạch lạc được coi là một mục tiêu quan trọng trong giảng dạy. Kỹ
năng suy luận và lập luận là rất quan trọng đối với nhiều lĩnh vực khác nhau, và giữ
một vai trò đặc biệt trong toán học. Tuy nhiên, nhiều học sinh phải đối mặt với
những khó khăn nghiêm trọng trong việc suy luận và lập luận chặt chẽ và đặc biệt là
trong chứng minh toán học (Reiss, Klieme, & Heinze, 2001, [21]).

Những nghiên cứu giáo dục toán đã phân tích các lĩnh vực lập luận, suy luận
và chứng minh toán học từ nhiều quan điểm khác nhau. Đặc biệt, những vấn đề của
học sinh trong việc học chứng minh toán học dẫn đến một nghiên cứu sâu sắc trong
việc phân biệt các khái niệm lập luận, suy luận và chứng minh toán học. Sự phân
biệt khái niệm này rất quan trọng trong việc thảo luận về những tác động có thể cho
việc dạy và học toán. Ví dụ, Hanna và de Villiers (2008, [7]) định nghĩa lập luận là:
“một diễn giải hợp lý không nhất thiết là một suy diễn nhưng sử dụng những lập
luận có vẻ hợp lý”. Có hai quan điểm khác nhau trong cộng đồng giáo dục toán học,
một nhóm xem lập luận và chứng minh như là một sự phân đôi và một nhóm khác
thì thấy cả hai như là hai cực của một quá trình phát triển liên tục. Họ lập luận rằng
17


những quan điểm này có liên quan đến những vận dụng đặc biệt trong việc học.
Trường hợp tranh luận đầu tiên có thể được xem như là một chướng ngại nhận thức
trong việc học chứng minh toán học và theo đó, việc dạy chứng minh nên chú trọng
vào tính chặt chẽ của các lập luận trong một kết quả chứng minh và trong khung
khái niệm để xây dựng bằng chứng giải quyết vấn đề. Nhóm thứ hai tập trung chủ
yếu vào những lập luận trong bối cảnh giải quyết vấn đề, thực nghiệm và thăm dò,
nhưng mong chờ những lập luận được tổ chức một cách hợp lý để tạo ra một chứng
minh toán học hợp lệ (Hanna & de Villiers, 2008, [7]).
Đối với nghiên cứu này, chúng tôi chọn quan điểm thứ hai. Chúng tôi xem xét
chứng minh toán học là sự kết hợp của suy luận-khả năng tư duy một cách logic và
lập luận-khả năng suy diễn mệnh đề từ những lập luận trước đó. Các nghiên cứu
cho thấy rằng khả năng để lập luận toán học một cách hợp lý và tạo ra một chứng
minh phụ thuộc vào các điều kiện tiên quyết nhất định, bao gồm các kiến thức về
khái niệm toán học và phương án khám phá tự nghiệm, những áp dụng của chúng
trong các tình huống có vấn đề, việc sử dụng các chiến lược điều khiển nhận thức,
cũng như một sự hiểu biết đầy đủ về bản chất của chứng minh trong toán học
(Schoenfeld, 1983b, [23]). Một vài nghiên cứu thực nghiệm từ các quốc gia và nền

văn hóa khác nhau cho thấy rằng nhiều học sinh thiếu một hoặc nhiều hơn các khía
cạnh của năng lực chứng minh.
Nhiều học sinh tiếp cận một nhiệm vụ chứng minh bằng việc sử dụng các lập
luận dựa trên các bằng chứng thực nghiệm hay khái quát hóa từ một vài trường hợp
cụ thể, ví dụ như phân tích một hay hai ví dụ hay đặc biệt trong hình học, bằng cách
đo góc và đoạn thẳng. Đôi khi họ sử dụng những suy luận dựa vào tình huống mà
có thể bao gồm những ý tưởng thích hợp cho một chứng minh. Tuy nhiên, hầu hết
học sinh đặc biệt khó khăn trong việc thu hẹp khoảng cách giữa suy luận quy nạp và
suy diễn trong toán học. Họ thiếu các chiến lược có thể giúp họ xác định lập luận
toán học hỗ trợ ý tưởng thực nghiệm của họ và tạo ra bằng chứng toán học. Các
nghiên cứu về chứng minh và lập luận không chỉ cho thấy rằng nhiều học sinh khó
khăn trong việc chứng minh, mà còn cung cấp bằng chứng về bản chất của năng lực
chứng minh.

18


2.2.4. Chứng minh tính không thể
Theo Miklós Laczkovich (2001, [13]), những chứng minh về tính không thể là
những giới thiệu tốt nhất về “linh hồn của toán học”. Khi chúng ta chứng minh một
điều gì đó là không thể xảy ra, một vấn đề nào đó là không thể giải quyết được hay
một đối tượng nào đó là không tồn tại thì những lập luận của chúng ta luôn rất tổng
quát, rõ ràng, dứt khoát. Mark Kac và Stanislaw Ulam (1969, [11]) thì cho rằng:
Tính duy nhất và riêng biệt trong suy luận toán học được phơi bày trong những
chứng minh về tính không thể.
Để chỉ ra rằng một giả thuyết là sai, ta phải tìm một một trường hợp (phản ví
dụ) mà nó không đúng. Có rất nhiều giả thuyết nổi tiếng trong toán học đã tồn tại rất
lâu trước khi người ta tìm được phản ví dụ chứng minh nó là sai. Một trường hợp nổi
bật đó là giả thuyết của Fermat rằng mọi số có dạng 22  1 đều là số nguyên tố. Điều
n


này là rất thú vị vì Fermat đã nghĩ ra nó chỉ dựa trên cơ sở của một số ít các giá trị
của n mà nó đúng. Euler đã chứng minh giả thuyết này là sai bằng cách chỉ ra rằng số
22  1 là hợp số. Đây là một chứng minh rất ấn tượng khi không có sự giúp đỡ của
5

công cụ máy tính. Việc chứng minh một giả thuyết là sai đôi khi rất khó khăn.
Có một sự phân biệt rõ rệt giữa việc thừa nhận rằng không thể tìm được câu
trả lời cho một vấn đề với chứng minh rằng một vấn đề là không thể giải quyết
được. Bắt đầu từ thế kỷ 19, các nhà toán học bắt đầu quan tâm tới ý tưởng có một số
vấn đề là không thể giải quyết được hay không thể chứng minh được một số khẳng
định trong toán học (không phải là tiên đề) là đúng, và trở thành một thách thức mới
trong việc phát triển các chứng minh về tính không thể hay không xảy ra.
Định lý cuối cùng của Fermat (định lý Fermat lớn) là một ví dụ về việc chứng
minh tính không tồn tại. Định lý cuối của Fermat là một trong những định lý nổi
tiếng trong lịch sử toán học. Định lý này phát biểu như sau:
Không

tồn

tại

các

nghiệm nguyên khác

không x, y,

và z thoả


mãn

xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.
Định lý này đã làm hao mòn không biết bao bộ óc vĩ đại của các nhà toán
học lừng danh trong gần 4 thế kỉ. Cuối cùng nó được Andrew Wiles chứng
minh vào năm 1993 sau gần 8 năm ròng nghiên cứu, phát triển từ việc chứng minh
19


các giả thiết có liên quan. Tuy nhiên chứng minh này còn thiếu sót và đến năm 1995
Wiles mới hoàn tất, công bố chứng minh trọn vẹn.
Một ví dụ nổi tiếng khác về tính không tồn tại là “định lý bất toàn” của Gödel
được chứng minh năm 1930:
Định lý 1: “Nếu một lý thuyết dựa trên một hệ tiên đề phi mâu thuẫn thì trong
lý thuyết ấy luôn luôn tồn tại những mệnh đề không thể chứng minh cũng
không thể bác bỏ.”
Định lý 2: “Không tồn tại bất cứ một quy trình suy diễn nào cho phép chứng
minh tính phi mâu thuẫn của một hệ tiên đề.”
Gödel đã chỉ ra rằng có những bài toán không thể giải được bằng bất kỳ một
tập hợp quy tắc hoặc quy trình nào; để giải những bài toán đó, người ta luôn luôn
phải mở rộng hệ tiên đề. Điều này đã phủ nhận một niềm tin phổ biến vào thời đó
rằng các ngành toán học khác nhau có thể tập hợp lại và đặt trên một nền tảng logic
duy nhất.
Người ta thừa nhận rằng: Gödel là một trong những nhà logic xuất sắc nhất
của mọi thời đại, với công trình của mình, ông đã gây ra một va chạm vô cùng lớn
đối với tư duy khoa học và triết học thế kỷ 20, vào lúc mà rất nhiều người, như
Bertrand Russell, Alfred Whitehead và David Hilbert đang cố sử dụng logic và lý
thuyết tập hợp để hiểu được toàn bộ nền tảng của toán học.
Định lý Gödel đã chấm dứt những nỗ lực kéo dài một trăm năm nhằm thiết lập
một hệ tiên đề cho toàn bộ toán học. Nỗ lực chủ yếu đã được thực hiện bởi Bertrand

Russell trong cuốn Principia Mathematica (1910-1913). Một nỗ lực khác là chủ
nghĩa hình thức của Hilbert, nhưng nỗ lực này đã bị giáng một đòn chí tử bởi những
kết quả của Gödel. Định lý Gödel là một bước ngoặt trong toán học thế kỷ XX, nó
chỉ ra rằng toán học không phải là một cái gì đó hoàn hảo như ta vẫn tưởng.
2.2.5. Khám phá tự nghiệm
Khám phá tự nghiệm là quá trình học sinh đưa ra các phương án để giải quyết
vấn đề dựa trên các phỏng đoán trong khi tìm đường đi đến lời giải. Khám phá tự
nghiệm toán học được đặc trưng bởi phỏng đoán, chứng minh và những bác bỏ.

20