ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ BẢO KHUYÊN

DÒ TÌM CỘNG HƯỞNG TỪ - PHONON
BẰNG QUANG HỌC
TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ THẾ HYPERBOL

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. LÊ ĐÌNH

Thừa Thiên Huế, năm 2017
i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác
giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình
nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 10 năm 2017
Tác giả luận văn

NGUYỄN THỊ BẢO KHUYÊN

ii


LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến thầy giáo PGS. TS. Lê Đình đã giành thời gian tâm huyết hướng dẫn
và giúp đỡ tôi cũng như các học viên trong nhóm suốt quá trình thực hiện luận
văn.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoa Vật Lý
đã truyền đạt thêm cho chúng tôi những kiến thức bổ ích trong hơn hai năm
qua. Tôi xin cảm ơn phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại
học Huế; các bạn học viên Cao học khóa 24 cùng gia đình, bạn bè đã động viên,
góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận
văn.
Huế, tháng 10 năm 2017
Tác giả luận văn

NGUYỄN THỊ BẢO KHUYÊN

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i


Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh mục các hình vẽ và đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Danh mục các bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . .
NỘI DUNG . . . . . . . . . .
Chương 1. TỔNG QUAN
VÀ PHƯƠNG PHÁP

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

VỀ MÔ HÌNH KHẢO SÁT
NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . 10

1.1. Tổng quan về mô hình khảo sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1. Tổng quan về bán dẫn thấp chiều . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2. Tổng quan về giếng lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3. Hàm sóng và năng lượng của electron trong giếng lượng tử
thế hyperbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4. Biểu thức thừa số dạng của electron trong giếng lượng tử
thế hyperbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.5. Hamiltonian của hệ electron - phonon dưới tác dụng của
trường ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2. Tổng quan về phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.1. Lý thuyết phản ứng tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.2. Phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái . . . . . . . . 32
1.2.3. Phương pháp profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Chương 2. BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TENXƠ ĐỘ

DẪN VÀ CÔNG SUẤT HẤP THỤ . . . . . . . . . . . . 34
2.1. Biểu thức giải tích của độ dẫn từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2. Biểu thức giải tích của công suất hấp thụ sóng điện từ trong giếng
lượng tử thế hyperbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3. Khảo sát điều kiện cộng hưởng ODMPR . . . . . . . . . . . . . . . 49

1


Chương 3. KẾT QUẢ TÍNH SỐ, VẼ ĐỒ THỊ VÀ THẢO


LUẬN KẾT QUẢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng của
photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. Khảo sát độ rộng vạch phổ của đỉnh cộng hưởng từ - phonon . . . 51
3.2.1. Sự phụ thuộc độ rộng vạch phổ của đỉnh cộng hưởng vào
nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.2. Sự phụ thuộc độ rộng vạch phổ của đỉnh cộng hưởng vào
cường độ từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.3. Sự phụ thuộc độ rộng vạch phổ của đỉnh cộng hưởng vào
thông số của giếng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1

2


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Hình 1.1

Sự khác biệt của cực tiểu vùng dẫn của hai chất bán dẫn
tạo nên một giếng thế lượng tử. . . . . . . . . . . . . . . . 11

Hình 1.2

Giếng lượng tử hình thành bởi lớp GaAs kẹp giữa lớp
AlGaAs.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Hình 1.3

Mô hình đa giếng lượng tử.

. . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Hình 1.4

Đồ thị thế năng theo z với các giá trị khác nhau của a;
a = 10−29 Jm, a = 2 × 10−29 Jm và a = 3 × 10−29 Jm . . . . 12

Hình 1.5

Sự biến thiên của thế năng hiệu dụng theo bán kính . . . 17

Hình 1.6

Độ rộng vạch phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Đồ thị 3.1

Sự phụ thuộc công suất hấp thụ P (ω) vào năng lượng
photon tại T = 300 K, B = 22 T, a = 0.5 × 10−28 Jm . . . . 50

Đồ thị 3.2

(a) Sự phụ thuộc công suất hấp thụ P (ω) vào năng lượng

photon tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ T ; tại T =
100 K (đường màu đen), T = 200 K (đường màu xanh) và
T = 300 K (đường màu đỏ). (b) Sự phụ thuộc của độ rộng

vạch phổ của đỉnh ODMPR vào nhiệt độ T. . . . . . . . . 52
Đồ thị 3.3

(a) Sự phụ thuộc công suất hấp thụ P (ω) vào năng lượng
photon tại các giá trị khác nhau của cường độ từ trường
B ; tại B = 22 T (đường màu đen), B = 23 T (đường màu

xanh) và B = 24 T (đường màu đỏ) . (b) Sự phụ thuộc
của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODMPR vào cường độ từ
trường B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Đồ thị 3.4

(a) Sự phụ thuộc công suất hấp thụ P (ω) vào năng lượng
photon tại các giá trị khác nhau của thông số a; tại a =
0.510−28 Jm (đường màu đen), a = 0.5210−28 Jm (đường

màu xanh) và a = 0.5410−28 Jm (đường màu đỏ). (b) Sự
phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODMPR vào
thông số a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1


Sự phụ thuộc độ rộng phổ vào nhiệt độ. . . . . . . . . . . . 52

Bảng 3.2

Sự phụ thuộc độ rộng phổ vào cường độ từ trường. . . . . 53

Bảng 3.3

Sự phụ thuộc độ rộng phổ vào thông số a. . . . . . . . . . 54

4


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Thành tựu của khoa học vật lý cuối những năm 80 của thế kỷ trước được
đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán
dẫn khối (bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều. Đó là các bán
dẫn hai chiều (giếng lượng tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng
mỏng,. . . ); bán dẫn một chiều (dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ
nhật,. . . ); bán dẫn không chiều (chấm lượng tử hình lập phương, chấm lượng tử
hình cầu,...). Tùy thuộc vào cấu trúc bán dẫn cụ thể mà chuyển động tự do của
các hạt tải (điện tử, lỗ trống) bị giới hạn mạnh theo một, hai hoặc cả ba chiều
trong không gian mạng tinh thể. Hạt tải chỉ có thể chuyển động tự do theo hai
chiều (2D) hoặc một chiều (1D), hoặc bị giới hạn theo cả 3 chiều (0D).
Việc chuyển từ hệ vật liệu có cấu trúc ba chiều sang hệ vật liệu có cấu trúc
thấp chiều đã làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng
các tính chất vật lý của vật liệu như: tính chất quang, tính chất động (tán xạ
điện tử - phonon, tán xạ điện tử - tạp chất, tán xạ bề mặt,. . . ). Nghiên cứu cấu

trúc cũng như các hiện tượng vật lý trong hệ bán dẫn thấp chiều cho thấy, cấu
trúc thấp chiều đã làm thay đổi đáng kể nhiều đặc tính của vật liệu. Đồng thời,
cấu trúc thấp chiều làm xuất hiện nhiều đặc tính mới ưu việt hơn mà các dán
dẫn ba chiều không có.
Việc nghiên cứu và tạo ra các bán dẫn có cấu trúc thấp chiều chính là cơ
sở của sự phát triển mạnh mẽ máy tính, các thiết bị điện tử hiện đại thế hệ mới
siêu nhỏ, thông minh và đa năng như hiện nay. Đặc biệt, các hiệu ứng động của
hệ thấp chiều đã tạo tiền đề quan trọng cho việc chế tạo hầu hết các thiết bị
quang điện tử hiện đại mà ưu điểm của chúng vượt trội so với các linh kiện, vật
liệu chế tạo theo công nghệ cũ. Hàng loạt các linh kiện, thiết bị điện tử được
ứng dụng công nghệ bán dẫn thấp chiều đã và đang được tạo ra, chẳng hạn như:
các laser bán dẫn chấm lượng tử, các điôt huỳnh quang điện, pin mặt trời, các
vi mạch điện tử tích hợp thấp chiều,. . . .
Để nghiên cứu lý thuyết lượng tử các tính chất quang và tính chất động
của hệ electron – phonon dưới tác dụng của trường ngoài, chúng ta có thể áp
dụng các phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho các hệ nhiều hạt trong
vật lý thống kê, chẳng hạn như phương pháp hàm Green, phương pháp phương
5


trình động lượng tử, phương pháp tích phân đường của Feynman, kỹ thuật giản
đồ Feynman,. . . và phương pháp toán tử chiếu [6]. Mỗi phương pháp có một ưu
điểm riêng mà đối với mỗi bài toán cụ thể ta sẽ sử dụng một phương pháp phù
hợp.
Sau khi kỹ thuật toán tử chiếu của Mori ra đời (1965) [23], đến nay có
hàng chục kỹ thuật toán tử chiếu khác được giới thiệu. Mỗi kỹ thuật chiếu đều
có ưu nhược điểm riêng của nó nhưng đều đạt được mục đích trong tính toán
lý thuyết. Lý thuyết của Cho và Choi [11, 12, 13] dùng để tính tốc độ hồi phục
bỏ qua tán xạ biến dạng bằng cách sử dụng toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái
loại I, được định nghĩa bởi Badjou và Argyres [9]. Tuy nhiên trong lý thuyết

này sự phát xạ (hấp thụ) phonon không được giải thích chặt chẽ. Trong khi đó,
phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại II do nhóm nghiên cứu của
Kang N.L [17, 18, 19, 20] và cộng sự đưa ra khắc phục được sự phân kỳ của thế
tán xạ, chứa tường minh các hàm dạng phổ và sẽ đưa ra được tất cả các dịch
chuyển có thể có của electron, khi đó biểu thức của tenxơ độ dẫn được diễn tả
tường minh hơn.
Đó là một số ưu điểm của phương pháp toán tử chiếu, tôi hy vọng khi áp
dụng kỹ thuật này vào khảo sát sự cộng hưởng từ - phonon sẽ thu được kết quả
tốt.
Trong nhiều hiện tượng vật lý cần được nghiên cứu đối với các bán dẫn thấp
chiều, ta chú ý đến các hiệu ứng cộng hưởng do tương tác electron – phonon khi
có mặt trường ngoài. Có ba quá trình liên quan đến tương tác electron – phonon
khi có mặt điện trường và từ trường. Đó là: cộng hưởng electron – phonon (EPR),
cộng hưởng từ - phonon (MPR), cộng hưởng cyclotron (CR). Trong đề tài này tôi
nghiên cứu về hiện tượng cộng hưởng từ - phonon (Magnetophonon Resonance
- MPR). Hiệu ứng MPR được các nhà khoa học rất quan tâm [8, 15, 22] vì đó
là công cụ phổ mạnh để khảo sát các tính chất của các chất bán dẫn ví dụ như
đo khối lượng hiệu dụng, xác định khoảng các giữa các mức năng lượng gần
nhau. . .
Cộng hưởng từ - phonon (MPR) được Gurevich và Firsov tiên đoán bằng
lý thuyết lần đầu tiên vào năm 1961, được Puri, Geballe và đồng nghiệp quan
sát bằng thực nghiệm vào năm 1963. MPR xảy ra ở nhiều vật liệu bán dẫn như
Si, Insb, GaAs, CdTe,. . . cũng như trong các hệ thấp chiều. Nguồn gốc của các
hiệu ứng MPR là sự tán xạ cộng hưởng điện tử gây ra bởi sự hấp thụ và phát
xạ các phonon khi khoảng cách giữa mức Landau bằng năng lượng của phonon
6


quang dọc (LO).
Gần đây, G.Q. Hai và F.M. Peeters [15] chứng minh về lý thuyết rằng các

hiệu ứng MPR có thể được quan sát trực tiếp thông qua việc nghiên cứu dò tìm
bằng quang học cộng hưởng từ - phonon (Optically detected magnetophonon
resonance – ODMPR) trong hệ bán dẫn khối GaAs. Tác giả D.J. Barnes [10]
và đồng nghiệp cũng công bố kết quả thực nghiệm của ODMPR trong hệ bán
dẫn hai chiều của các lớp chuyển tiếp dị thể GaAs/Alx Ga1−x As. Tác giả J. Y.
Ryu, G. Y. Hu và R. F. O’Connell [24, 25] công bố kết quả của cộng hưởng từ
- phonon trong dây lượng tử đặt trong từ trường xiên. Gần đây hơn, S.Y.Choi,
S.C.Lee [22] và đồng nghiệp đã khảo sát chi tiết các hiệu ứng ODMPR trong
chất bán dẫn và siêu mạng bán dẫn.
Ở Việt Nam, các nghiên cứu về cộng hưởng do tương tác electron - phonon
theo tôi được biết là nhóm tác giả Trần Công Phong, Lê Đình thuộc trường
ĐHSP - Đại Học Huế với nhiều công trình liên quan đến cộng hưởng từ - phonon
trong giếng lượng tử và dây lượng tử ví dụ như dò tìm độ rộng vạch phổ cộng
hưởng từ - phonon bằng quang học trong dây lượng tử hình trụ [21], dò tìm
cộng hưởng electron - phonon và độ rộng vạch phổ của cộng hưởng này trong
siêu mạng bán dẫn [16]. Gần đây hơn, là đề tài cấp bộ “Nghiên cứu cộng hưởng
electron - phonon trong hệ điện tử chuẩn một chiều” của tác giả Lê Đình [2]
và đề tài nghiên cứu cộng hưởng electron - phonon trong hệ điện tử chuẩn hai
chiều của tác giả Võ Thành Lâm [4].
Bên cạnh đó còn có một số luận văn của các học viên cao học tại Trường
Đại học Sư phạm Huế như các luận văn của Trần Văn Thiện Ngọc [5] nghiên
cứu lý thuyết để phát hiện cộng hưởng từ - phonon trong giếng lượng tử bằng
quang học; Hồ Võ Thị Ánh Tuyết [7] nghiên cứu cộng hưởng từ - phonon dò
tìm bằng quang học trong bán dẫn khối và siêu mạng; Nguyễn Thị Lan Anh [1]
nghiên cứu cộng hưởng từ - phonon trong giếng lượng tử đặt trong từ trường
xiên; Nguyễn Thị Ngọc Uyên cộng hưởng từ - phonon trong dây lượng tử đặt
trong từ trường xiên; Phan Thị Thanh Nhi Cộng hưởng từ - phonon trong dây
lượng tử thế parabol và thế vuông góc.
Tuy nhiên chưa có đề tài nào khảo sát hiện tượng cộng hưởng từ - phonon
trong giếng lượng tử thế hyperbol.

Vì những lí do đó tôi chọn đề tài “Dò tìm cộng hưởng từ - phonon
bằng quang học trong giếng lượng tử thế hyperbol” làm đề tài luận văn
cho mình.
7


2. Mục tiêu đề tài
Mục tiêu của đề tài là dò tìm sự cộng hưởng từ - phonon bằng quang học
trong giếng lượng tử thế hyperbol khi có mặt của trường ngoài (điện trường
xoay chiều và từ trường tĩnh) và khảo sát sự phụ thuộc độ rộng vạch phổ vào
nhiệt độ, từ trường và thông số của giếng.

3. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái để thu được
biểu thức giải tích của của độ dẫn từ và công suất hấp thụ sóng điện từ trong
giếng lượng tử thế hyperbol.
- Sử dụng chương trình Mathematica để tính số và vẽ đồ thị.
- Sử dụng phương pháp Profile để xác định độ rộng vạch phổ.

4. Nội dung nghiên cứu
- Thiết lập biểu thức giải tích của độ dẫn từ và công suất hấp thụ sóng
điện từ bởi electron bị giam giữ trong giếng lượng tử thế hyperbol khi có mặt
trường ngoài (điện trường xoay chiều và từ trường tĩnh).
- Khảo sát số và vẽ đồ thị sự phụ thuộc công suất hấp thụ vào năng lượng
photon và biện luận các điều kiện cộng hưởng từ-phonon.
- Áp dụng phương pháp profile để xác định độ rộng vạch phổ của các đỉnh
cộng hưởng và khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào từ trường, nhiệt
độ và thông số của giếng.

5. Giới hạn đề tài

Đề tài có một số giới hạn sau
- Chỉ khảo sát trường hợp phonon khối (không bị giam giữ).
- Chỉ xét đến tương tác electron - phonon, bỏ qua tương tác cùng loại
(electron - electron, phonon - phonon).
- Chỉ xét thành phần tuyến tính của độ dẫn.

8


6. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3
phần
- Phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài, phương
pháp nghiên cứu, nội dung nghiên cứu, giới hạn đề tài và bố cục luận văn.
- Phần nội dung gồm 3 chương
Chương 1: Tổng quan về mô hình khảo sát và phương pháp nghiên cứu
Chương 2: Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn từ và công suất hấp thụ
Chương 3: Kết quả tính số, vẽ đồ thị và thảo luận kết quả
- Phần kết luận trình bày các kết quả đạt được của đề tài.
- Phần tài liệu tham khảo.

9


NỘI DUNG
Chương 1
TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH KHẢO SÁT VÀ
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Chương này trình bày tổng quan về giếng lượng tử thế hyperbol, tổng
quan về phương pháp nghiên cứu gồm phương pháp lý thuyết phản ứng

tuyến tính, phương pháp toán tử chiếu và phương pháp Profile.

1.1.

Tổng quan về mô hình khảo sát

1.1.1.

Tổng quan về bán dẫn thấp chiều

Trong những năm gần đây người ta đã dần dần giảm được chiều từ vật liệu
khối ba chiều tới hệ thống giếng lượng tử chuẩn hai chiều, dây lượng tử chuẩn
một chiều và cuối cùng là chấm lượng tử chuẩn không chiều. Giảm chiều ở đây
được hiểu là hạt bị hạn chế chuyển động tự do theo chiều đó. Theo phương bị
hạn chế hạt như bị nhốt trong một kích thước xác định. Khi bị giam giữ như
vậy thì tính chất điện và tính chất quang của các cấu trúc bán dẫn cũng sẽ thay
đổi theo số chiều bị hạn chế.

1.1.2.

Tổng quan về giếng lượng tử

Hệ giếng lượng tử chuẩn hai chiều thông thường được chế tạo bằng cách
sắp xếp xen kẽ các lớp vật liệu bán dẫn tinh khiết và vật liệu pha tạp. Sự khác
biệt của các cực tiểu vùng dẫn của hai chất bán dẫn đó tạo nên một giếng thế
lượng tử (hình 1.1). Các hạt tải điện nằm trong mỗi lớp chất bán dẫn này không
thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các lớp bán dẫn bên cạnh. Do vậy, trong
cấu trúc giếng lượng tử các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách ly lẫn
nhau bởi các hàng rào thế. Đặc điểm chung của hệ điện tử trong cấu trúc giếng
lượng tử là chuyển động của điện tử theo một hướng nào đó (thường chọn là

hướng z ) bị giới hạn rất mạnh và chuyển động tự do trong mặt phẳng (x,y ).
Bán dẫn giếng lượng tử thông dụng nhất là hệ gồm hai chất bán dẫn GaAs và
Alx Ga1−x As. Hình 1.2 biểu diễn mô hình lượng tử đơn giản nhất có thể nuôi cấy
10


Hình 1.1: Sự khác biệt của cực tiểu vùng dẫn của hai chất bán dẫn tạo nên một giếng
thế lượng tử.

Hình 1.2: Giếng lượng tử hình thành bởi lớp GaAs kẹp giữa lớp AlGaAs.

được, đây là trường hợp một cấu trúc GaAs/AlGaAs được cho lớn lên trên đế
GaAs. Trong thực tế, người ta thường tạo ra các cấu trúc hai chiều nhiều lớp
gọi là đa giếng lượng tử (multiple quantum well) hay siêu mạng (superlattice)
như hình 1.3.
Sự chênh lệch về bề rộng vùng cấm giữa các lớp GaAs và Alx Ga1−x As phụ
thuộc vào lượng nhôm trong hợp chất bán dẫn. Bên trong giếng lượng tử, năng
lượng của điện tử và lỗ trống bị lượng tử hóa. Vì cả điện tử và lỗ trống bị nhốt
trong giếng thế có độ cao lớn hơn kB T ở 300 K nên hiệu ứng lượng tử dễ dàng
quan sát được ngay cả ở nhiệt độ phòng.

1.1.3.

Hàm sóng và năng lượng của electron trong giếng lượng
tử thế hyperbol

Trong giếng lượng tử các hạt mang điện chuyển động tự do theo hai chiều
và bị giam giữ theo một chiều. Ta giả sử chiều giam giữ là chiều lớn lên của

11



Hình 1.3: Mô hình đa giếng lượng tử.

tinh thể trong kỹ thuật epitaxy ứng với thế giam giữ V (z), chiều tự do là x và
y , nghĩa là hạt chuyển động tự do trong mặt phẳng (xy ). Với giếng thế hyperbol
V (z) được cho bởi biểu thức


 ∞ khi z < 0
V (z) =
 −a/z khi z > 0,

(1.1)

trong đó a > 0.

Th n ng V 10

21

J

0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5


0

20

40

z nm

60

29

a

10

a

2 10

J m
29

J m

a

3 10

29


J m

80

100

Hình 1.4: Đồ thị thế năng theo z với các giá trị khác nhau của a; a = 10−29 Jm,
a = 2 × 10−29 Jm và a = 3 × 10−29 Jm .

Khi có mặt của từ trường hạt mang điện tự do sẽ chịu tác dụng lực Lorentz
F = qv × B.
12


Lực này có phương vuông góc với phương chuyển động của hạt nên khi không
có mặt của các lực khác hạt sẽ chuyển động tròn với tần số được cho bởi tần số
cyclotron có dạng
ωc =

eB
,
mc

với e là điện tích của electron, B là cường độ của vectơ cảm ứng từ, mc là khối
lượng cyclotron (khối lượng trung bình của electron trên quỹ đạo). Đối với hệ
đẳng hướng thì mc = m∗ , với m∗ là khối lượng hiệu dụng của electron. Trong từ
trường, thế vectơ liên hệ với cảm ứng từ theo hệ thức
∇×A=B


(1.2)

Xét hệ chuẩn hai chiều với từ trường tĩnh hướng theo trục z có B = (0, 0, B), ta
chọn thế vectơ thỏa mãn (1.2) được gọi là chuẩn Landau, A = (0, By, 0).
Để tìm năng lượng và hàm sóng của electron trong giếng lượng tử thế
hyperbol ta giải phương trình Schrodinger cho trường hợp 3 chiều. Phương trình
Schrodinger cho một electron khi giếng đặt trong từ trường có dạng
2

−

∂2
1
+
−i ∇r + q A
∗
2
2m ∂z
2m∗

2

+ V (z) ψ (r⊥ , z) = Eψ (r⊥ , z) .

(1.3)

Vì chuyển động của electron trong mặt phẳng (x, y) và theo phương z là độc lập
nhau nên ta sử dụng phương pháp phân ly biến số để giải phương trình trên,
năng lượng và hàm sóng có thể viết dưới dạng
E = Exy + Ez ,

ψ(r⊥ , z) = χ(x, y)ψ(z).

(1.4a)
(1.4b)

Để giải phương trình (1.3) ta giải hai phương trình sau
2
1
−i ∇r + eA χ (x, y) = Exy χ (x, y) ,
∗
2m
2 ∂2
− ∗ 2 + V (z) ψ(z) = Ez ψ(z),
2m ∂z

(1.5a)
(1.5b)

Thay chuẩn Landau A vào phương trình (1.5a) và chú ý eB = m∗ ωc ta được
2
1
−i ∇r + eA χ (x, y) = Exy χ (x, y)
∗
2m

1
−
2m∗

2


∂2
+
∂x2

∂
−i
+ eBy
∂y

2

χ (x, y) = Exy χ (x, y)

− 2 ∂2
m∗ ωc2
+
(y − y0 )2 χ (x, y) = Exy χ (x, y) ,
2m∗ ∂x2
2
13

(1.6)


với y0 =

1
∂
i

.
eB ∂y

Nghiệm của phương trình (1.6) có dạng
χ(x, y) = χ (y) eikx x ,
kx
được gọi là tâm tọa độ và phương trình (1.6) trở thành phương
eB
trình của dao động tử điều hòa đối với χ(y) có dạng

khi đó y0 =

√
χ (y) = 2N N ! π

−1/2
m

exp −

(y − y0 )2
y − y0
H
,
N
2 2m
m

(1.7)


N = 0, 1, 2, ...

trong đó HN (x) là đa thức Hermite bậc N ,

m

= ( /eB)1/2 là độ dài từ, chính là

bán kính cyclotron ở trạng thái cơ bản. Năng lượng của dao động điều hòa này
là
EN = N +

1
2

ωc ,

N = 0, 1, 2...

(1.8)

Bây giờ ta giải phương trình (1.5b). Phương trình (1.5b) được viết lại
2m∗
d2
ψ(z)
+
[Ez − V (z)] ψ(z) = 0,
2
dz 2


(1.9)

với V (z) = −a/z khi z > 0.
Ta nhận thấy rằng phương trình (1.9) diễn tả chuyển động của electron trong
giếng lượng tử thế hyperbol tương tự như phương trình bán kính mô tả chuyển
động của electron trong nguyên tử Hydro, với thế năng tương tác giữa hạt nhân
và electron là
U =−

e2 1
1
= −α .
4πε0 r
r

Phương trình Schrodinger cho hạt điện tử trong nguyên tử Hydro có dạng
∇2 ψ (r) +

2m∗
2

E+

α
ψ (r) = 0.
r

(1.10)

Chuyển hệ tọa độ Descarter sang hệ tọa độ cầu và sử dụng phương pháp phân

ly biến số
ψ (r, θ, ϕ) = R(r).Y (θ, ϕ) .

Toán tử Laplace trong tọa độ cầu có dạng
∇2 =

1 ∂
r2 ∂r

r2

∂
∂r

+

1
∂
2
r sin θ ∂θ
14

sin θ

∂
∂θ

+

1

∂2
.
r2 sin2 θ ∂ϕ2


Phương trình (1.10) bây giờ trở thành
Y ∂
r2 ∂r

r2

∂R
∂r

+

∂
R
2
r sin θ ∂θ

∂Y
∂θ
∗
2m

sin θ
+

2


R ∂ 2Y
r2 sin2 θ ∂ϕ2
α
E+
RY = 0.
r
+

(1.11)

Chia 2 vế cho RY và nhân với r2 , chuyển vế ta có
1 ∂
R ∂r

r2

∂R
∂r

+

2m∗ r2
2

E+

α
r


=−

1
∂
Y sin θ ∂θ
−

sin θ

∂Y
∂θ

1 ∂ 2Y
.
Y sin2 θ ∂ϕ2

Hai vế phụ thuộc hai biến độc lập, đẳng thức đúng khi 2 vế cùng bằng một hằng
số λ.
1 ∂
R ∂r

−

r2

∂R
∂r

∂
1

Y sin θ ∂θ

2m∗ r2

+

sin θ

∂Y
∂θ
2

Nhân hai vế phương trình (1.13) cho
2

−

1 ∂
sin θ ∂θ

sin θ

−

α
r

E+

2


(1.12)

= λ.

1 ∂ 2Y
= λ.
Y sin2 θ ∂ϕ2

(1.13)

ta được

∂Y
∂θ

−

2

1 ∂ 2Y
=
sin2 θ ∂ϕ2

2

λ.

(1.14)


Ta thấy phương trình (1.14) chính là phương trình trị riêng của toán tử
ˆ 2 , nên λ = ( + 1), với
L

= 0, 1, 2..: gọi là số lượng tử quỹ đạo. Thay giá trị λ

vào phương trình bán kính (1.12) ta được
∂
∂r

r2

∂R
∂r

+

2m∗ r2
2

E+

α
−
r

2

( + 1)
R = 0.

2m∗ r2

Đặt u (r) = Rr. Ta có
d2 u
d d (Rr)
d ∂R
=
=
r+R
2
dr
dr dr
dr ∂r
=r

∂ 2 R ∂R ∂R
∂ 2R
∂R
+
+
=
r
+2
.
2
2
∂r
∂r
∂r
∂r

∂r

Mặt khác
∂
∂r

r2

∂R
∂r

= 2r

15

∂ 2R
∂R
+ r2 2 .
∂r
∂r

(1.15)


Suy ra
∂
∂r

r2


∂R
∂r

=r

d2 u (r)
.
dr2

Do đó phương trình (1.15) lúc này trở thành
d2 u (r) 2m∗
α
+ 2 E+ −
2
dr
r

2

α
+
r

2

Đặt
Uef f = −

( + 1)
u (r) = 0.

2m∗ r2

(1.16)

( + 1)
.
2m∗ r2

là thế năng hiệu dụng thì phương trình (1.16) trở thành
d2 u (r) 2m∗
+ 2 E − Uef f u (r) = 0.
dr2

Bây giờ ta sẽ khảo sát ý nghĩa của thế năng hiệu dụng Uef f , xét giá trị của nó
trong các trường hợp đặc biệt
• Khi r bé thì r−1

r−2 nên số hạng thứ nhất trong Uef f rất nhỏ so với

số hạng thứ hai nên ta có thể bỏ qua, giá trị Uef f lúc này
2

Uef f =

( + 1)
> 0.
2m∗ r2

Nếu r → 0 thì Uef f → ∞.
• Khi r lớn thì số hạng thứ hai lại rất nhỏ so với số hạng thứ nhất trong

Uef f nên ta có thể bỏ qua, giá trị Uef f lúc này
Uef f = −

α
< 0.
r

Nếu r → ∞ thì Uef f → 0.
Sự thay đổi của Uef f theo r có thể biểu diễn bằng đồ thị ở hình 1.1.3.
• E > 0 thì hạt chuyển động từ vô cùng đến, phản xạ tại biên rồi lại đi xa

vô cùng. E liên tục ứng với hạt tự do.
• E < 0 hạt sẽ chuyển động trong giới hạn của hố thế. Trong trường hợp

này hạt bị giam giữ với năng lượng âm.
Trong trường hợp E > 0 ứng với chuyển động ra xa vô cùng. Trường hợp E < 0
ứng với hạt chuyển động trong hố thế giới hạn bởi rA và rB . Như vậy bài toán
chuyển động của electron trong nguyên tử hydro tương ứng với bài toán chuyển
động của electron trong giếng thế hyperbol với năng lượng âm.

16


Hình 1.5: Sự biến thiên của thế năng hiệu dụng theo bán kính

Giải phương trình (1.16)
Đặt t = 2βr và β 2 = −2m∗ E/ 2 .
Lúc đó
dt d
d

d2
d2
d
=
= 2β ⇒ 2 = 4β 2 2 ⇒ u (r) = u (t)/2β.
dr
dr dt
dt
dr
dt

Thay vào phương trình (1.16)
4β 2

α β2
( + 1) u (t)
d2 u (t)
2
+
−β
+
−
= 0,
2
dt 2β
x/2β E
2β
(t/2β)2
d2 u (t)
β β 2 α 2β ( + 1)

2β
+
−
+
−
u (t) = 0,
dt2
2
tE
t2
1
βα
( + 1)
d2 u (t)
+ − +
−
u (t) = 0.
2
dt
4 2Et
t2

(1.17)

Đặt A = αβ/2|E|, (1.17) trở thành
d2 u (t)
1 A
( + 1)
+
−

+
−
u (t) = 0.
dt2
4
t
t2

(1.18)

• Khi r → ∞ hay t → ∞ thì A/t → 0 và ( + 1) /t2 → 0 nên phương trình

(1.18) trở thành
1
u∞ − u∞ = 0.
4

Nghiệm của phương trình này có dạng u∞ = e+t/2 + e−t/2 .
Do điều kiện giới nội của hàm sóng, ta chọn u∞ = e−t/2 .
• Khi r → 0, hạt tiến về tâm, số hạng A/t và -1/4 rất nhỏ nên bỏ qua nên

phương trình (1.18) trở thành
u0 (t) −

( + 1)
u0 (t) = 0.
t2
17

(1.19)



Nghiệm của phương trình này có dạng u0 (t) = ts . Lúc này u0 (t) = s (s − 1) ts−2 .
Thay u0 (t) và u0 (t) vào (1.19)
( + 1) s
t = 0 ⇔ s (s − 1) − ( + 1) = 0
t2
⇔ s2 − s − ( + 1) = 0.

s (s − 1) ts−2 −

Đây là phương trình bậc hai có hai nghiệm là s1 = + 1 và s2 = − . Do điều kiện
giới nội của hàm sóng, ta chọn s = + 1. Ta được u0 (t) = t +1 .
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.18) là
u (t) = e−t/2 t

+1

(1.20)

v (t) ,

trong đó v (t) là một hàm cần tìm.
Ta có
u (t) = e−t/2 t

+1

v (t) + e−t/2 t


+1

v (t) + e−t/2 t

+1

1 −t/2
e
t
4

+1

− e−t/2 ( + 1) t + ( + 1) e−t/2 t

+ −e−t/2 t

+1

+ 2e−t/2 ( + 1) t

u (t) =

v (t) + e−t/2 t

(v (t)) ,

−1

+1


v (t)

v (t) .

Thay u(t) và u (t) vào phương trình (1.18) và rút gọn hai vế cho e−t/2 ta được
1
t
4

+1

− ( + 1) t + ( + 1) t
+t

+1

−1

v (t) + −t

+1

+ 2 ( + 1) t v (t)

( + 1)
1 A
t
v (t) + − + −
4

t
t2

+1

v (t) = 0.

Chia hai vế phương trình trên cho t
1
1 1
1
t − ( + 1) + ( + 1) − t + A − ( + 1)
v (t)
4
t 4
t
+ [−t + 2 ( + 1)] v (t) + tv (t) = 0.

Hay
tv (t) + [2 ( + 1) − t] v (t) + [A − ( + 1)] v (t) = 0.

(1.21)

Theo lý thuyết của phương trình vi phân, nghiệm của phương trình này có
dạng chuỗi
∞

ak tk .

v (t) =

k=0

18


∞

∞

kak tk−1 và v (t) =

Suy ra v (t) =
k=0

k (k − 1) ak tk−2 thay vào (1.21) và so

k=0

sánh các lũy thừa cùng bậc ta được công thức truy toán
ak+1 = −2

A − ( + 1) − k
ak .
(k + 1) [k + 2 ( + 1)]

Do điều kiện giới nội của hàm sóng dẫn đến điều kiện giới nội của hàm bán kính
R(r) hay hàm u(r), tức là hàm v(x) trong (1.20) phải hữu hạn. Nghĩa là ta phải

ngắt chuỗi tại một số hạng nào đó và nó trở thành một đa thức. Giả sử ta chọn
bậc của đa thức là nr thì anr +1 = 0. Hay

A − ( + 1) − nr = 0 → A = + 1 + nr ≡ n,

(1.22)

với nr là số lượng tử xuyên tâm, n được gọi là số lượng tử chính, n ∈ N ∗ . Ta đã
đặt
A=

αβ
2n|E|
=n→β=
,
2|E|
α

mà
β2 = −

2m∗ E
2

.

Nên lúc này năng lượng của electron trong nguyên tử Hydro là
En = −

α 2 m∗ 1
.
2 2 n2


Giá trị nhỏ nhất E1 ứng với trạng thái cơ bản của electron. Các trạng thái tương
ứng với n > 1 được gọi là các trạng thái kích thích.
So sánh phương trình (1.21) với phương trình cho đa thức Laguerre liên
kết

dLjk (x)
d2 Ljk (x)
+ [j + 1 − x]
+ kLjk (x) = 0,
x
2
dx
dx

ta thấy v (t) có dạng là một đa thức Laguerre nếu 2 ( + 1) = j + 1 hay j = 2 + 1
và k = n − − 1. Suy ra
v (t) = L2n−+1−1 (t),

với

Ljk (t) =

dj
dtj

et

d k −t
t e
dt


.

Thay v(t) vào biểu thức (1.20) ta được
u (t) = e−t/2 t
⇒u (r) =

+1 2 +1
Ln− −1
e−βr (2βr) +1 L2n−+1−1 (2βr) ,

19


trong đó, β 2 = −2m∗ E/

2n 2

2

= m∗ α 2 /

2

2 /(m∗ α),

và đặt a0 =

suy ra β =


1
.
na0

Ta được biểu thức hàm bán kính
2r
na0

Rn (r) = An e−r/(na0 )

với
dk
= (−1)
Ln+k (z) =
dz k

(k)
Ln (z)

2r
na0

L2n−+1−1

n

k

=1


,

n!(−z)
.
(n − l)! ( − k)! !

Điều kiện chuẩn hóa
∞

|Rn (r)|2 r2 dr = 1.
0
∞

2

2r
na0

−2r/(na0 )

A2n

e

L2n−+1−1

2

2r
na0


r2 dr = 1.

0

Hay

∞

A2n

2

na0
2

−2r/(na0 )

e

2 +2

2r
na0

2

2r
na0


L2n−+1−1

dr = 1.

0

Đặt
x=

2r
2
na0
dx.
⇒ dx =
dr ⇒ dr =
na0
na0
2

Phương trình trên trở thành
∞

A2n

3

na0
2

e−x (x)2


+2

2

L2n−+1−1 (x) dx = 1.

0

Dùng điều kiện trực giao của đa thức Laguerre liên kết, theo phụ lục (P.1)
∞
2

e−x xk+1 Lkn (x) dx =

(n + k)!
(2n + k + 1) .
n!

0

Áp dụng, thực hiện phép chuyển đổi n → n − − 1 và k → 2 + 1, ta tính được
tích phân
∞
−2r/(na0 )

e

2r
na0


2

L2n−+1−1

2r
na0

0

20

2

r2 dr =

na0
2

3

2n (n + )!
.
(n − − 1)!


Suy ra
2
(n − − 1)!
2n (n + )! na0


An =

3

.

Như vậy biểu thức hàm bán kính của electron trong nguyên tử Hydro là
3

(n − − 1)!
2
2n (n + )! na0

Rn (r) =

e−r/(na0 )

2r
na0

2r
na0

L2n−+1−1

,

(1.23)


với thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân
V (r) = −

α
r

(0 < r < ∞) .

Chuyển động của electron trong nguyên tử Hydro có dạng như chuyển động của
electron trong giếng lượng tử thế hyperpol với thế năng theo trục z
V (z) = −

a
z

(z > 0) .

Nên dựa vào biểu thức (1.23) với chú ý a0 =

2 /m∗ a

ta suy ra được hàm

sóng theo trục z
∗

ψ (z) = Cn e−m

az/(n


2

∗
) 2m az
n 2

2m∗ az
n 2

L2n−+1−1

,

với
Cn =

(n − − 1)! 2m∗ a
2n (n + )! n 2

3

.

Đặt ξ = 2m∗ az/ 2 , hàm sóng ψ (z) được viết lại là
ψ (z) =

3

(n − − 1)! 2m∗ a
2n (n + )! n 2


e−ξ/2n

ξ
n

L2n−+1−1

ξ
n

,

(1.24)

tương ứng với năng lượng
m∗ a2 1
E (z) = −
.
2 2 n2

(1.25)

Xét trường hợp n = 1, = 0, thì L10 = 1 nên
ψ10 (z) = 2

m∗ a
2

tương ứng với năng lượng

E1 (z) = −
21

3/2

e−

m∗ a
.
2 2

m∗ a
2 z

,


Trường hợp n = 2, = 0, thì L11 = 2 − x, nên
1 m∗ a
ψ20 (z) = √
2
2

3/2

m∗ a
2 z

e− 2


tương ứng với năng lượng
E2 (z) = −

1−

m∗ a
z
2 2

,

m∗ a
.
8 2

Tóm lại, hàm sóng toàn phần của electron ở trong giếng lượng
tử thế hyperbol đặt trong từ trường
(n − − 1)! 2m∗ a
2n (n + )! n 2

|α = |nα , Nα , kx =
√
× 2 N! π
N

−1/2
m

3


e−ξ/2n

ξ
n

L2n−+1−1

(y − y0 )2
y − y0 ikx x
exp −
HN
e
.
2
2 m
m

ξ
n

(1.26)

Năng lượng của electron ở trong giếng lượng tử thế hyperbol
đặt trong từ trường
Eα = N +

1.1.4.

1
2


ωc −

m∗ a2 1
,
2 2 n2

n = 1, 2, 3...

(1.27)

Biểu thức thừa số dạng của electron trong giếng lượng
tử thế hyperbol

Từ công thức tích phân bao phủ
∞

Ψ∗n exp(iqr)Ψn dr.

J=
0

|J|2 =
=

nα , Nα , kx exp (iqr)| nα , Nα , kx
Nα exp (iqy y)| Nα

2


nα exp (iqz z)| nα

= |I1 |2 × |I2 |2 × δkx +qx ,kx .

Bây giờ ta sẽ tính các tích phân I1 , I2 .
Tính I1
I1 = Nα exp (iqy y)| Nα
22

2
2

δkx +qx ,kx

(1.28)