ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

CAO THỊ THANH HÀ

ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ
VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP
THÊM HAI PHOTON TÍCH SU(2) LẺ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 62 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC

Thừa Thiên Huế - năm 2017
i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ
một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 10 năm 2017
Tác giả luận văn

Cao Thị Thanh Hà

ii


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy PGS.TS Trương Minh Đức đã tận
tình giảng dạy, hướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu đề tài "Định lượng độ rối và viễn tải lượng
tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ". Tôi
cũng xin cảm ơn các anh chị, các bạn lớp cao học vật lí lí thuyết và vật lí
toán K24 đã giúp đỡ, hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận
văn. Trân trọng cảm ơn Khoa Vật lý - Trường Đại học Sư phạm-Đại học
Huế cùng tất cả các thầy, cô trong khoa đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận án. Cảm ơn
phòng Sau đại học-Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế đã hỗ trợ tôi
hoàn thành các thủ tục giấy tờ và phương tiện học tập.
Huế, tháng 10 năm 2017
Tác giả luận văn

Cao Thị Thanh Hà

iii


DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

2.1


Sự phụ thuộc của tham số đan rối R vào r với giá trị
N = 7, 11, 15 ứng với m = n = 3. Các giá trị N ứng với
đường màu đỏ, đường màu xanh lục và đường màu xanh
dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

35

Sự phụ thuộc của entropy tuyến tính M vào r với giá
trị N = 7, 11, 15. Các giá trị N ứng với đường màu đỏ,
đường màu xanh và đường màu đen. . . . . . . . . . . .

3.1

38

Sự phụ thuộc của độ trung thực trung bình Fav vào r với
giá trị N = 3, 7, 11 ứng với γ = 0, 6. Các giá trị N ứng
với đường màu xanh lục, đường màu đỏ và đường màu
xanh dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

47

Sự phụ thuộc của độ trung thực trung bình Fav vào r với
giá trị N = 3 ứng với γ = 0, 6, γ = 0, 4, γ = 0, 3. Các
giá trị γ ứng với đường màu xanh lục, đường màu đỏ và
đường màu xanh dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . .


3.3

48

Sự phụ thuộc của độ trung thực trung bình Fav vào r với
N = 3,γ = 0, 6. Đường màu xanh lục ứng với trạng thái
hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ, đường
màu đỏ ứng với trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ. .

1

49


MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Hiện nay thông tin lượng tử và máy tính lượng tử đang là vấn đề
thu hút sự chú ý của nhiều nhà khoa học trên toàn thế giới. Sở dĩ nó
được rất nhiều nhà khoa học quan tâm vì những ứng dụng của nó rất
thiết thực với cuộc sống. Cụ thể như, thông tin lượng tử được truyền đi
với tốc độ cực nhanh đồng thời đảm bảo tính bảo mật tuyệt đối. Trong
lĩnh vực tính toán, nếu áp dụng lí thuyết thông tin lượng tử sẽ cho ra
đời thế hệ máy tính có tốc độ xử lí nhanh hơn bất kì máy tính cổ điển
nào. Mục đích quan trọng trong lý thuyết thông tin lượng tử là làm thế
nào để tạo ra, định hướng và sử dụng rối lượng tử, đó không chỉ là bản
chất của cơ học lượng tử mà còn là một nguồn tài nguyên hữu dụng cho
việc xử lí thông tin lượng tử. Truyền tải thông tin thông qua sử dụng
tính chất đan rối được gọi là viễn tải lượng tử. Viễn tải lượng tử là một
quá trình dịch chuyển thông tin cũng như vật chất tức thời, mà không

phải dịch chuyển qua không gian. Viễn tải lượng tử được thực hiện bằng
cách giải mã một vật ở thời điểm này rồi gửi thông tin phân tử tới điểm
khác, nơi vật này sẽ được tái tạo lại cấu trúc ban đầu. Viễn tải lượng
tử có thể được khai thác để làm cho máy tính lượng tử, mạng lưới viễn
thông trở nên nhanh hơn và mạnh hơn. Với mục đích đó, các nhà khoa
học đã tập trung vào khai thác rối lượng tử để nghiên cứu viễn tải lượng
tử. Hiện nay, việc nghiên cứu đan rối của một trạng thái và sử dụng
trạng thái này làm nguồn rối cho quá trình viễn tải lượng tử, sau đó tìm
ra nguồn rối có độ trung thực trung bình cao nhất là một trong những
hướng nghiên cứu mới và rất hấp dẫn của ngành Vật lí lí thuyết.
Không những các nhà khoa học trên thế giới quan tâm đến đề tài
2


này mà ở Viêt Nam, vấn đề về thông tin lượng tử, máy tính lượng tử đã
đang rất được chú ý. Cụ thể, năm 2011, học viên Lê Thị Thu đã khảo
sát tính đan rối và chuyển vị lượng tử với trạng thái kết hợp hai mode
thêm photon [4]. Năm 2013, học viên Lê Thị Thủy đã khảo sát tính đan
rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode SU(1,1) [3]. Năm 2014,
học viên Nguyễn Thị Kim Thanh đã khảo sát tính đan rối và viễn tải
lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích
[2]. Năm 2015, học viên Văn Thị Diệu Hiền đã nghiên cứu tính chất nén
bậc cao và tính phản chùm của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn
[5]. Năm 2016, học viên Lê Thị Mai Phương đã nghiên cứu tính đan rối
và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn [7].
Hiện tại chưa có ai nghiên cứu về định lượng độ rối và viễn tải lượng tử
với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2). Do đó, tôi
chọn đề tài "Định lượng độ rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ" là đề tài luận văn thạc sĩ
của mình.

II. Mục tiêu của đề tài
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài này là khảo sát tính chất đan rối
của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ bằng
tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy. Sau đó, chúng tôi định lượng độ rối
của trạng thái này. Cuối cùng, chúng tôi sử dụng trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ làm nguồn rối để thực hiện quá
trình viễn tải lượng tử một trạng thái kết hợp và đánh giá mức độ thành
công của quá trình viễn tải thông qua độ trung thực trung bình.

3


III. Phạm vi nghiên cứu
Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi sử dụng tiêu chuẩn đan
rối Hillerry-Zubairy để nghiên cứu tính đan rối của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ. Sau đó, chúng tôi định lượng độ
rối của trạng thái này bằng tiêu chuẩn entropy tuyến tính. Cuối cùng,
chúng tôi sử dụng mô hình viễn tải biến liên tục để thực hiện quá trình
viễn tải với nguồn rối chính là trạng thái hai mode kết hợp thêm hai
photon tích SU(2) lẻ mà ta đã khảo sát.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với những mục tiêu đã đề ra như trên, nhiệm vụ nghiên cứu của đề
tài là:
- Áp dụng tiêu chuẩn đan rối Hillerry-Zubairy để nghiên cứu tính đan
rối của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ.
- Áp dụng tiêu chuẩn entropy tuyến tính để định lượng độ rối của trạng
thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ.
- Áp dụng mô hình viễn tải để thực hiện quá trình viễn tải lượng tử với
nguồn rối là trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ
và đưa ra độ trung thực trung bình của quá trình viễn tải rồi khảo sát

trên đồ thị.
V. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
- Sử dụng kiến thức về lý thuyết trường lượng tử, phương pháp quang
lượng tử cho hệ nhiều hạt để giải các bài toán liên quan đến đề tài nghiên
cứu.
- Phương pháp phân tích số liệu và sử dụng phần mềm Mathematica để
4


vẽ đồ thị.
- Phương pháp so sánh, kiểm chứng.
VI. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
làm ba phần:
- Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu,
nội dung nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, bố
cục luận văn.
- Phần nội dung gồm 3 chương:
Chương 1: Trình bày cơ sở lý thuyết về khái niệm, tính chất của
trạng thái kết hợp, đưa ra các tiêu chuẩn khảo sát tính chất đan rối,
tiêu chuẩn định lượng độ rối, mô hình viễn tải lượng tử một trạng thái
kết hợp và trạng thái Bell với quá trình viễn tải lượng tử
Chương 2: Trình bày về trạng thái hai mode kết hợp thêm hai
photon tích SU(2) lẻ, khảo sát tính đan rối của trạng thái này theo tiêu
chuẩn Hillery-Zubairy, định lượng độ rối của nó theo tiêu chuẩn entropy
tuyến tính,
Chương 3: Trình bày quá trình viễn tải lượng tử với nguồn rối là
trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ, đánh giá sự
thành công của quá trình viễn tải bằng độ trung thực trung bình.

- Phần kết luận trình bày về các kết quả đạt được của đề tài và các
hướng mở của đề tài.

5


NỘI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÍ THUYẾT
Chương này trình bày tổng quan về khái niệm trạng thái
kết hợp, trạng thái kết hợp chẵn lẻ và đưa ra các tính chất của
trạng thái kết hợp, toán tử dịch chuyển. Sau đó chúng tôi trình
bày tiêu chuẩn Hillery-Zubaiy, phương pháp định lượng độ rối,
mô hình viễn tải lượng tải với các nguồn rối hai mode và trạng
thái Bell với quá trình viễn tải.

1.1.

Trạng thái kết hợp

1.1.1.

Khái niệm

Năm 1963 Glauber và Sudarshan định nghĩa trạng thái kết hợp |α
là trạng thái tương ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất được đưa ra từ
hệ thức bất định Heisenberg. Trạng thái kết hợp |α là trạng thái được
ˆ (α) lên trạng thái chân
tạo ra bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển D
không (là trạng thái mà tại đó không có hạt nào được kích thích và được

kí hiệu |0 ) của trường điện từ
ˆ (α) |0 ,
|α = D

(1.1)

ˆ (α) = exp (αˆ
trong đó D
a+ − α ∗ a
ˆ) là toán tử dịch chuyển của toán tử
a
ˆ, với α = r exp (iϕ) là tham số kết hợp, r và ϕ lần lượt là biên độ và
pha kết hợp, a
ˆ+ , a
ˆ lần lượt là toán tử sinh, hủy hạt boson và chúng tuân
theo hệ thức giao hoán
[ˆ
a, a
ˆ] = a
ˆ+ , a
ˆ+ = 0,
6


a
ˆ, a
ˆ+ = a
ˆa
ˆ+ − a
ˆ+ a

ˆ = 1.
Từ đồng nhất thức Baker – Hausdorff
ˆ = exp(A)
ˆ exp(B)
ˆ exp(− 1 [A,
ˆ B]),
ˆ
exp(Aˆ + B)
2
ˆ B
ˆ là các toán tử không giao hoán với nhau.
trong đó A,
Ta đưa ra được biểu thức toán tử dịch chuyển
1 +
ˆ
a , −α∗ a
ˆ]).
D(α)
= exp(αˆ
a+ − α ∗ a
ˆ) = exp(αˆ
a+ ) exp(−α∗ a
ˆ) exp(− [αˆ
2
Mặt khác, ta có
αˆ
a+ , −α∗ a
ˆ = −|α|2 a
ˆ+ , a
ˆ = |α|2 a

ˆ, a
ˆ+ = |α|2 .
Ta viết lại biểu thức toán tử dịch chuyển
ˆ (α) = exp (αˆ
D
a+ ) exp (−α∗ a
ˆ) exp − 21 |α|2 .

(1.2)

Khai triển hai thừa số đầu tiên exp (αˆ
a+ ) và exp (−α∗ a
ˆ) theo chuỗi
Taylor của hàm dạng ex , ta được
exp αˆ
a

+

(αˆ
a+ ) (αˆ
a+ )2
=1+
+
+ ... =
1!
2!

(−α∗ a
ˆ) (−α∗ a

ˆ)2
exp (−α a
ˆ) = 1 +
+
+ ... =
1!
2!

∞

(αˆ
a+ )n
.
n!

(1.3)

(−α∗ a
ˆ)n
.
n!

(1.4)

n=0
∞

∗

n=0


ˆ (α) lên trạng thái chân không |0
Khi tác dụng toán tử dịch chuyển D
của trường điện từ ta thu được
1
ˆ (α) |0 = exp αˆ
D
a+ exp (−α∗ a
ˆ) exp − |α|2 |0 .
2
Từ (1.4) và (1.5) ta có
ˆ (α) |0 = exp αˆ
D
a

+

1
exp − |α|2
2
7

∞

n=0

(−α∗ a
ˆ)n
|0 .
n!


(1.5)


Mà
∞

n=0

(−α∗ a
ˆ) (−α∗ a
ˆ)2
(−α∗ a
ˆ)n
|0 = [1 −
+
− ... =
n!
1!
2!

∞

n=0

(−α∗ a
ˆ)n
|0 ] = |0 .
n!


Nên ta được biểu thức
1
ˆ (α) |0 = exp αˆ
D
a+ exp − |α|2 |0 .
2

(1.6)

Từ (1.3) và (1.6) ta đưa ra
ˆ (α) |0 = exp − 1 |α|2
D
2

∞
n=0

αn
√
n!

|n ,

(1.7)

n

trong đó |n =

(ˆ

a+ )
√
n!

|0 là vectơ trạng thái chứa n hạt boson hay còn gọi

là trạng thái Fock. Trạng thái Fock |n là trạng thái có số hạt xác định
và nó được khái quát hóa lên từ trạng thái chân không |0 .
a
ˆ |0 = 0,
√
a
ˆ |n = n |n − 1 ,
√
a
ˆ+ |n = n + 1 |n + 1 .
Các trạng thái Fock tạo nên một hệ cơ sở đủ, nghĩa là
∞

|n n| = 1,
n=0

do đó ta có thể khai triển một vectơ bất kỳ trong hệ cơ sở này. Điều này
có nghĩa là trong không gian Fock, các trạng thái kết hợp có thể biểu
diễn dưới dạng
1
|α = exp − |α|2
2

∞


n=0

αn
√ |n .
n!

(1.8)

Trạng thái kết hợp |α là trạng thái riêng của toán tử hủy photon a
ˆ ứng
với trị riêng α
a
ˆ |α = α |α .
8

(1.9)


Để làm rõ sự khác biệt giữa trạng thái Fock và trạng thái kết hợp, chúng
tôi xét đến phương sai của chúng.
Phương sai của trạng thái Fock
(∆ˆ
n)2 = 0.

(1.10)

Phương sai của trạng thái kết hợp
(∆ˆ
n)2 = |α|2 .


(1.11)

Từ các biểu thức (1.10), (1.11) cho thấy rằng, số hạt có thể đo được một
cách chính xác đối với trạng thái Fock nhưng trong trạng thái kết hợp
|α thì phép đo phải chịu một sai số tỉ lệ với trung bình của số hạt. Với
các hệ có số hạt lớn như hệ photon trong các chùm laser, hệ excition ở
mật độ cao thì việc xác định chính xác số hạt là không thể làm được.
Theo nguyên lý bất định, với độ bất định tối thiểu trong trạng thái |α ,
sự thăng giáng theo pha của hệ hạt là rất nhỏ. Các hạt trong trạng thái
|α là cùng pha, trái ngược hoàn toàn với sự không xác định về pha của
các hạt trong trạng thái Fock. Với ý nghĩa đó, |α được gọi là trạng thái
kết hợp.
1.1.2.

Các tính chất của trạng thái kết hợp

Tính chất 1: Trạng thái kết hợp |α có phân bố số hạt tuân theo
phân bố Poisson, nghĩa là số hạt trung bình của trạng thái kết hợp |α
chính bằng bình phương biên độ kết hợp r, nghĩa là
n
ˆ = r2.
Ta có biểu thức trung bình số hạt
n
ˆ = α |ˆ
n| α = α a
ˆ+ a
ˆ α .
9


(1.12)


Mặt khác
a
ˆ |α = α |α ,
α| a
ˆ+ = α| α∗ ,
α = r exp (iϕ) .
Từ đó ta có thể suy ra
n
ˆ = α|α∗ α|α = |α|2 = r2 .
Phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái |α được xác định như
(1.11)
(∆ˆ
n)2 = |α|2 ,
nên
n
ˆ = (∆ˆ
n)2 ,
hay trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson. Xác suất tìm thấy
hạt ở trạng thái kết hợp |α là
|α|2n
exp −|α|2 .
P (n) = | n|α | =
n!
2

(1.13)


Từ (1.8) ta thấy
n|α = n| exp(− 21 |α|2 )
=
α|n =

exp

n
exp(− 21 |α|2 ) √αn!

− 21 |α|2

= exp − 21 |α|2

∞
n=0
n
(α∗ )
√ .
n!

∞
n=0
∞
n=0

αn
√
|n
n!

n

n|n = exp(− 12 |α|2 ) √αn! .

n

(α∗ )
√
n!

n|n

= exp

− 12 |α|2

∞

n

(α∗ )
√
n!

n|n
n=0

Cuối cùng ta có được biểu thức xác suất
2


P (n) = | n|α | = n|α

∗

2

n|α = α|n n|α = exp −|α|

α2n
.
n!

Tính chất 2: Tập hợp tất cả các trạng thái |α là một tập hợp đủ
1
π

|α α| d2 α = 1.
10

(1.14)


2

e−|α|

|α α| d2 α =

với


∞
n=0

αn
√
n!

∞

m

|n
m=0

(α∗ )
√
m!

m| d2 α, α = reiϕ chuyển

2

sang tọa độ cực ta được d α = rdrdϕ, do đó
∞
2

|α α| d α =

2π


rdr
0

∞

rn+m ei(n−m)ϕ
√ √
|n m| ,
n!
m!
n,m=0

−r2

dϕ e
0

2π

ei(n−m)ϕ dϕ = 2πδmn nên suy ra

với
0

∞
2

|α α| d α = 2π
∞


∞

rdr
n=0

0

|n

=
n=0
∞

Tích phân Poison I =

2

n| 2π
n!

e−r r2n+1 dr =

0

n!
2

e−r
∞


2 r 2n

n!

|n n|

2

e−r r2n+1 dr.

0

nên

|α α| d2 α = π,
suy ra
1
π

∞
2

|α α| d α =

|n n| = 1.
n=0

Tính chất 3: Các trạng thái kết hợp thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa
α|α = 1 , nhưng chúng lại không trực giao với nhau, nghĩa là α = β
thì α|β = 0.

Từ định nghĩa trạng thái kết hợp |α , ta có
1
α| = exp − |α|2
2
1
|β = exp − |β|2
2

11

∞

n=0
∞

(α∗ )n
√
n| ,
n!

βm
√ |m ,
m!
m=0


nên
α|β = exp(− 12 |α|2 ) exp(− 21 |β|2 )
=
=

=

∞ ∞

n

(α∗ ) β m
√ √
n! m!

n|.m

n=0 m
∞ ∞
n
(α∗ ) β m
2
2
1
1
√ √ δnm
exp(− 2 |α| ) exp(− 2 |β| )
n! m!
n=0 m
∞
n
(α∗ ) β n
exp(− 21 |α|2 − 12 |β|2 )
n!
n=0

exp(− 21 |α|2 − 12 |β|2 ) exp α∗ β = exp(− 12 |α|2

− 21 |β|2 + α∗ β) = 0.

Hệ quả của sự không trực giao nhau là bất kì trạng thái kết hợp nào
cũng có thể khai triển theo các trạng thái kết hợp khác, nghĩa là
|α, =
=

1
π
1
π

|α α|α, d2 α
d2 α |α exp − 12 |α|2 + α, α∗ − 12 |α, |2 .

(1.15)

Điều này cho thấy rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo thành
hệ đủ.
Tính chất 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái tương ứng với độ bất
định nhỏ nhất, được suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg.
Để chứng minh trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định cực
tiểu, chúng tôi đưa vào hai đại lượng X, P không thứ nguyên và được
ˆ và Pˆ được định nghĩa
biểu diễn thông qua hai toán tử tương ứng là X
như sau
ˆ=
X


mω

xˆ, Pˆ =

mω

pˆ,

trong đó x và p là các đại lượng có thứ nguyên tương ứng với tọa độ và
ˆ và Pˆ được biểu diễn thông qua các toán tử
xung lượng. Các toán tử X
sinh, hủy photon của trường điện từ dưới dạng
xˆ =

1 +
i +
a
ˆ +a
ˆ , pˆ =
a
ˆ −a
ˆ .
2
2

ˆ và Pˆ là các toán tử Hermite nên chúng tương ứng với các đại lượng
X
vật lý đo được. Do đó, ta có thể tính được phương sai của mỗi đại lượng.
12



ˆ
Phương sai của X
α|(∆X)2 |α = 14 .
Phương sai của Pˆ
α|(∆P )2 |α = 14 .
Vậy
α|(∆X)2 |α

α|(∆P )2 |α =

1
.
16

(1.16)

Đây là giá trị nhỏ nhất tương ứng với hệ thức bất định Heisenberg. Do
vậy, các trạng thái kết hợp là trạng thái cho phép thực hiện các phép đo
ˆ và Pˆ với sai số nhỏ nhất. Hệ thức (1.15) gọi là
đồng thời hai toán tử X
giới hạn lượng tử chuẩn. Đây cũng chính là tính chất quan trọng nhất
của trạng thái kết hợp.
1.1.3.

Trạng thái kết hợp chẵn và lẻ

Trạng thái kết hợp chẵn và trạng thái kết hợp lẻ đã được Dodonov
và cộng sự đưa ra bằng lý thuyết lần đầu tiên vào năm 1973. Bắt đầu

ˆ α (α) |0 với D
ˆ α (α) là toán
từ biểu thức của trạng thái kết hợp |α = D
tử dịch chuyển, ta định nghĩa trạng thái kết hợp chẵn
|α

ch

ˆ α (α) + D
ˆ α (−α) |0 ,
= Cch (|α + |−α ) = Cch D

(1.17)

và trạng thái kết hợp lẻ
ˆ α (α) − D
ˆ α (−α) |0 ,
|α l = Cl (|α − |−α ) = Cch D
rõ ràng |α

ch

(1.18)

là hàm chẵn và |α l là hàm lẻ theo α, nghĩa là
|α

ch

= |−α


|α l = −|−α l .

ch ,

13

(1.19)


Nếu biểu diễn theo trạng thái Fock, ta có:
|α

ch

∞

= Cch exp −|α|2 /2

√α

(n)!

n=0
∞

= 2Cch exp −|α|2 /2

√α


n=0

n

2n

(2n)!

|n + exp −|α|2 /2

∞

n

−α
√
|n

n=0

(n)!

|2n
(1.20)

∞

|α l = Cl exp −|α|2 /2

√α


n=0
∞

= 2Cl exp −|α|2 /2

(n)!

√α

n=0

n

|n − exp −|α|2 /2

2n+1

(2n+1)!

∞
n=0

n

−α
√
|n
(n)!


|2n + 1 .
(1.21)

Ta thấy rằng khi biểu diễn sang trạng thái Fock thì các trạng thái kết
hợp chẵn (lẻ) là tổ hợp của các trạng thái ứng với số hạt chẵn (lẻ). Chuẩn
hóa các trạng thái kết hợp chẵn ta được
ch

α|α

ch

2
= 4Cch
exp −|α|2 cosh |α|2 = 1

⇒ Cch =

exp |α|2 /cosh |α|2 .

1
2

Làm tương tự cho trạng thái kết hợp lẻ, ta được
Cl =

1
2

exp |α|2 /sinh |α|2 .


Có thể dễ dàng rút ra một số tính chất của các trạng thái kết hợp
chẵn và kết hợp lẻ như sau
a) Các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ không trực giao với
nhau nhưng các trạng thái kết hợp chẵn lại trực giao với các trạng thái
kết hợp lẻ.

ch

α|β

ch

= 4Cch (α) Cch (β) exp − 21 |α|2 exp − 12 |β|2
∞

∞

×
n=0 m=0

√β

2m

(2m)!

√α

∗2n


(2n)!

2n | 2m

= 4Cch (α) Cch (β) exp − 21 |α|2 exp − 12 |β|2 cosh (α∗ β) .
14


Tương tự ta được
l

1
1
α | β l = 4Cl (α) Cl (β) exp − |α|2 exp − |β|2 sinh (α∗ β) ,
2
2

và
ch

α | β l = 4Cch (α) Cl (β) exp − 12 |α|2 exp − 12 |β|2
∞

∞

√β

×


2m+1

(2m+1)!

n=0 m=0

√α

∗2n

(2n)!

2n | 2m + 1 = 0.

Ta đưa ra được biểu thức tổng quát
i

α|α

j

= δij ,

i, j = ch, l.

(1.22)

b) Các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ có thể được chuyển đổi qua
lại lẫn nhau bằng cách tác dụng toán tử hủy a
ˆ lên chúng.

Tác dụng toán tử sinh lên trạng thái |α
a
ˆ |α = 2Cch exp

− |α|2

2

∞

√α

2n

a
ˆ |2n
2
√
2n
√α
2n |2n − 1
= 2Cch exp − |α|2
(2n)!
n=0
∞
2
√
2n−1
√α
= 2αCch CCll exp − |α|2

2n |2n − 1
n=0
∞

(2n)!

n=0

=

(2n−1)!

Cch
Cl α|α l .

Hoàn toàn tương tự
a
ˆ|α l =

Cl
α|α
Cch

ch .

Điều này có nghĩa là toán tử hủy a
ˆ có tác dụng như là một toán tử
quay giữa |α

ch


và |α

l

c) Khác với các trạng thái kết hợp là hàm riêng của a
ˆ, các trạng
thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ là hàm riêng của a
ˆ2 ứng với các trị riêng
α2 .
Tác dụng toán tử a
ˆ2 lên trạng thái |α , ta được:
a
ˆ2 |α

ch

= α2 |α
15

ch

(1.23)


Tương tự cho trạng thái lẻ
a
ˆ2 |α l = α2 |α

l


(1.24)

d) Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ tạo thành
một hệ đủ, nghĩa là
1
π

1.2.

|α

jj

α| d2 α = 1.

(1.25)

j=ch,l

Tính chất của toán tử dịch chuyển

ˆ là hai
Tính chất1: Theo công thức Baker-Hausdorff, nếu Aˆ và B
toán tử bất kỳ có
ˆ B],
ˆ A]
ˆ = [[A,
ˆ B],
ˆ B]

ˆ = 0.
[[A,
Ta có
ˆ B)
ˆ = exp(−[A,
ˆ B]/2)
ˆ
ˆ exp(B)
ˆ
exp(A,
exp(A)
ˆ B]/2)
ˆ
ˆ exp(A).
ˆ
= exp([A,
exp(B)

(1.26)

ˆ = −α∗ a
ˆ B
ˆ = |α|2 [ˆ
Cho Aˆ = αˆ
a+ và B
ˆ , theo đó A,
a, a
ˆ+ ] = |α|2 . Từ
(1.3) và (1.25), suy ra
ˆ a (α) = exp −|α|2 /2 exp (αˆ

D
a+ ) exp (−α∗ a
ˆ)
= exp (αˆ
a+ − α ∗ a
ˆ)

(1.27)

= exp |α|2 /2 exp (−α∗ a
ˆ) exp (αˆ
a+ ) .
ˆ a (α) để tính toán sao
Ta có thể vận dụng một trong ba dạng này của D
cho thuận lợi nhất.
ˆ a (α) suy ra
Tính chất 2: Vận dụng dạng thứ 2 trong (1.26) cho D
ˆ a (α) là toán tử chuẩn tắc (Unita)
được D
ˆ a+ (α) = D
ˆ a (−α) = D
ˆ a−1 (α) .
D
16

(1.28)


Hệ quả của tính chất này là vectơ trạng thái kết hợp được chuẩn hoá
ˆ a−1 (α)D

ˆ a (α)|0 = 0 | 0 = 1.
α | α = 0|D

(1.29)

ˆ ta luôn có
Đối với hai toán tử bất kỳ Aˆ và B
α2 ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
exp −αA B exp αA = B − α A, B +
A, A, B
2!

+ ... (1.30)

Ta thu được các phép biến đổi như sau
ˆ a+ (α) a
ˆ a (α) = a
D
ˆD
ˆ+α

(1.31)

ˆ a+ (α) a

ˆ a (α) = a
D
ˆ+ D
ˆ + + α∗

(1.32)

Các vế phải của biểu thức (1.30) và (1.31) theo thứ tự bị dịch đi một
lượng bằng α và α∗ so với các vế trái tương ứng. Do vậy, toán tử được
gọi là toán tử dịch chuyển. Các tính chất này được dùng nhiều trong các
tính toán lý thuyết.
Tính chất 3:
∗
∗
ˆ
ˆ
ˆ + β) exp( αβ − α β )
D(α)
D(β)
= D(α
2

1.3.

Các tiêu chuẩn đan rối

1.3.1.

Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy


(1.33)

Năm 2006, Hillery và Zubairy đưa ra tiêu chuẩn đan rối HilleryZubairy [12]. Ở đây hai ông đã đưa ra một lớp bất đẳng thức mà vi
phạm của chúng chỉ ra có tính đan rối trong các hệ hai mode. Đây chính
là các bất đẳng thức phát sinh từ việc kiểm tra các hệ thức bất định.
Xét hai mode trường điện từ
ˆ1 = a
L
ˆˆb+ + a
ˆ+ˆb,
ˆ 2 = i(ˆ
L
aˆb+ − a
ˆ+ˆb),
17


trong đó a
ˆ và a
ˆ+ lần lượt là toán tử hủy và toán tử sinh của mode thứ
nhất, ˆb và ˆb+ lần lượt là toán tử hủy và toán tử sinh của mode thứ hai.
Tính phương sai của các biến, sau đó ta cộng lại thì
2

2

ˆ 1 ) + (∆L
ˆ 2)
(∆L


2
ˆa + 1)N
ˆb + (N
ˆb + 1)N
ˆa − 2| a
= 2[ (N
ˆˆb+ | ],

(1.34)
ˆa = a
ˆb = ˆb+ˆb. Bây giờ ta xét trạng thái là tích của
trong đó N
ˆ+ a
ˆ và N
mode a trong trạng thái này với mode b trong trạng thái khác, ta có
2

2

ˆ 1 ) + (∆L
ˆ 2)
(∆L

2
ˆa + 1) N
ˆb + (N
ˆb + 1) N
ˆa − 2| a
= 2[ (N
ˆ ˆb+ | ].


(1.35)
ˆa và | ˆb |2 ≤ N
ˆb . Khi đó
Bất đẳng thức Schwarz cho ta | a
ˆ |2 ≤ N
2

2

ˆ 1 ) + (∆L
ˆ 2)
(∆L

ˆa + N
ˆb ).
= 2( N

(1.36)

ˆ 1 và L
ˆ 2 , ta có
Xét hệ thức bất định tuân theo L
ˆ 1 )(∆L
ˆ 2) ≥ | N
ˆa − N
ˆb |.
(∆L

(1.37)


ˆ 1 )2 + (∆L
ˆ 2 )2 ≥ 2| N
ˆa − N
ˆb |.
(∆L

(1.38)

Từ đó ta thấy rằng

Vậy một trạng thái có tính đan rối nếu nó thỏa mãn điều kiện
n
n
n
m
| (ˆ
a)m (ˆb+ ) |2 > (ˆ
a+ ) (ˆ
a)m (ˆb+ ) (ˆb) .

(1.39)

Đây chính là tiêu chuẩn Hillery-Zubairy, trong chương hai, chúng
tôi sử dụng điều kiện này để khảo sát tính chất đan rối của trạng thái
hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ.
1.3.2.

Phương pháp định lượng độ rối


Các trạng thái lượng tử được mô tả bởi các vectơ trạng thái được
gọi là trạng thái thuần. Các trạng thái lượng tử không thể được mô tả
18


bởi các vectơ trạng thái được gọi là các trạng thái hỗn tạp. Các trạng
thái hỗn tạp được mô tả bởi toán tử mật độ
pj |Ψj

ρˆ =

Ψj | ,

(1.40)

j

trong đó pj là xác suất để hệ ở trong trạng thái của các hệ con định xứ
Ψj | Ψj = 1. Xác suất thỏa mãn hệ thức sau
0 ≤ pj ≤ 1,

pj = 1,

Ψj | Ψj = 1.

(1.41)

j

Trong trường hợp hệ chỉ tồn tại duy nhất trạng thái |Ψi , pi = δji , ta

có
ρˆ = |Ψi Ψi | ,

(1.42)

là toán tử mật độ của trạng thái thuần |Ψi . Định nghĩa đan rối có thể
được mở rộng cho các trạng thái hỗn tạp như sau: Một trạng thái hỗn
tạp của hệ hai thành phần được biểu diễn bởi toán tử mật độ ρˆAB , với hai
hệ con thành phần tương ứng có toán tử mật độ rút gọn là ρˆA = T rB ρˆAB
và ρˆB = T rA ρˆAB , trong đó T rA(B) là phép lấy vết ma trận mật độ hai
thành phần lên thành phần A hoặc B. Một trạng thái hỗn hợp của một
hệ hai thành phần có thể tách nếu ma trận mật độ tổng của nó là tổng
của tích ma trận mật độ của hai trạng thái thành phần
ρˆAB =

pj ρˆj,A ⊗ ρˆj,B

(1.43)

Ngược lại, một trạng thái hỗn tạp hai thành phần nếu không viết được
dưới dạng (1.49) thì được gọi là trạng thái không thể tách được hay
trạng thái đan rối. Phép đo mức độ đan rối của một trạng thái lượng tử
hỗn tạp được mô tả bởi một toán tử mật độ ρˆ thông qua entropy von
Neumann có dạng
S (ˆ
ρ) = −T r [ˆ
ρlog2 ρˆ] .
19

(1.44)



Nếu λi là các giá trị riêng của ρˆ thì entropy von Neumann có thể được
khai triển dưới dạng
S (ˆ
ρ) = −

λi log2 λi ,

(1.45)

i

trong đó ta định nghĩa 0log2 0 ≡ 0 và S (ˆ
ρ) luôn không âm, S (ˆ
ρ) = 0
nếu và chỉ nếu trạng thái có toán tử mật độ ρˆ là một trạng thái thuần
và S (ˆ
ρ) đạt được giá trị lớn nhất đối với trạng thái có độ hỗn tạp cực
đại. Đối với các hệ được mô tả bởi các trạng thái trong không gian
Hilbert l chiều, ta có 0 ≤ S (ˆ
ρ) ≤ log2 l, do đó đối với qubit thu được
0 ≤ S (ˆ
ρ) ≤ 1. Phép đo thông tin theo các đơn vị của các qubit có thể sử
dụng thông qua phép đo S (ˆ
ρ). Vai trò của entropy von Neumann trong
lý thuyết thông tin lượng tử tương tự vai trò của entropy von Neumann
trong lý thuyết thông tin cổ điển. Entropy von Neumann S (ˆ
ρ) đo độ bất
định của một trạng thái lượng tử liên quan đến phân bố xác suất lượng

tử. Thực hiện phép lấy gần đúng entropy von Neumann ở (1.51) với
(x − 1)2
...
log2 x = (x − 1) −
x

(1.46)

Chỉ giữ lại số hạt đầu tiên ở vế phải phương trình (1.52), entropy tuyến
tính M đối với các hệ hai thành phần A và B được viết dưới dạng
M = 1 − T r ρˆ2A(B) .

(1.47)

Entropy tuyến tính có giá trị nằm trong giới hạn 0 ≤ M ≤ 1. Khi
T r ρˆ2A(B) = 1, ta có M = 0 cho thấy trạng thái có toán tử mật độ ρˆ
là một trạng thái thuần và tách được. Trường hợp 0 < M < 1 thì trạng
thái có toán tử mật độ ρˆ là một trạng thái rối và rối cực đại khi M = 1.

20


1.4.

Mô hình viễn tải lượng tử với các nguồn rối
hai mode

Trong khuôn khổ bài luận văn này, tôi sử dụng mô hình viễn tải
lượng tử liên tục Agarwal [16], với các nguồn rối hai mode được biểu
diễn dưới dạng các trạng thái kết hợp để thực hiện quá trình viễn tải.

Hệ thống quá trình viễn tải một trạng thái kết hợp gồm bên gửi thông
tin và bên nhận thông tin, hai người cùng nhau chia sẻ một trạng thái
đan rối hai mode. Giả sử bên gửi thông tin là Alice và bên nhận thông
tin là Bob, cùng chia sẻ trạng thái đan rối hai mode a và b, trong đó a
mode dành cho Alice và mode b dành cho Bob. Trạng thái |ψ

c

là trạng

thái được viễn tải chứa thông tin được mã hóa, tương ứng với mode c
được đưa vào Alice. Đầu tiên Alice phải thực hiện phép đo thông tin về
mức độ đan rối giữa trạng thái biên độ trực giao Bell. Kết quả đo được
tích hợp vào biến phức với X là tổng tọa độ và P là hiệu xung lượng của
các photon ứng với hai mode a và b. Kết quả của phép đo này sẽ được
gửi tới bên nhận là Bob qua kênh thông tin cổ điển. Để thực hiện phép
đo này, trước hết Alice tổ hợp một trạng thái ba mode có dạng
|ψ

abc

= |ψ

ab |ψ c .

(1.48)

Sau đó, Alice thưc hiện phép đo trên hai mode a và c. Phép đo trạng
thái này thông qua trạng thái Bell có dạng
|B (X, P )


ac

≡ |B (A)

ac ,

(1.49)

|B (X, P )

ac

≡ |B (A)

ac .

(1.50)

Việc đo mức độ rối chính là sự tổ hợp trạng thái Bell và trạng thái ba
mode. Sau quá trình đo, lúc này trạng thái lượng tử bên Alile sẽ là
|ψ

A

= ca B (X, P ) | ψ

ab |ψ c

21


= ca B (A) | ψ

ab |ψ c .

(1.51)


Đây chính là trạng thái trước khi Bob nhân được bằng thông tin cổ điển
do Alice gửi, ta viết lại |ψ
|ψ

B

B

như sau

= ca B (A) | ψ

với Tˆ (A) = ca B (A) | ψ

ab |ψ c

ab |ψ c

= Tˆ (A) |ψ c ,

(1.52)


được gọi là toán tử viễn tải. Lúc này |ψ

B

là một phiên bản của trạng thái vào |ψ c , tuy nhiên nó không giống với
bản gốc ban đầu do bị xê dịch bởi phép đo trên. Sau khi nhân được kết
quả đo từ Alice thông qua kênh cổ điển, Bob sẽ sử dụng thông tin này
cùng với trạng thái của mình để tái tạo lại trạng thái ban đầu |ψ

c

bằng

cách sử dụng phép đổi Unita theo biến phức A. Đặt β = g2A với là hệ
số dùng để hoàn thiện độ trung thực viễn tải, trạng thái ra của bản gốc
sau khi viễn tải là
|ψ

out

ˆ (β) |ψ
=D

B

ˆ (β) Tˆ (A) |ψ .
=D
c

(1.53)


Khi đó, phân bố xác suất đo độ đan rối giữa mode a và mode c
ρ (A) = ψA | ψA = ψB | ψB = Tˆ (A) |ψ

2
c

.

(1.54)

Chú ý rằng phân bố xác suất cũng phải được chuẩn hóa. Độ trung thực
F(A) được định nghĩa là sự chồng chập của trạng thái vào và trạng thái
ra, có dạng
F (A) =

1
|in ψ | ψ
ρ (A)

2
out | =

1
ρ (A)

c

ˆ (B) Tˆ (A) ψ
ψ| D


2
c

.

(1.55)

Một quá trình viễn tải được xem là hoàn hảo nếu trạng thái đầu ra và
trạng thái đầu vào là như nhau. Tuy nhiên, do tính chất đan rối không
hoàn toàn ở hai trạng thái của Alice và Bob, cũng như do việc đo lường
nên trên thực tế Fav luôn có giá trị nhỏ hơn 1. Để tiện cho việc tính
toán, người ta đưa vào độ trung thực trung bình Fav có dạng như sau
Fav =
=

c

d2 AF (A) ρ (A) =
ˆ (B) Tˆ (A) ψ
ψ| D
22

|in ψ | ψ
2
c

2

d A.


2
out | d A

(1.56)