ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG NI

ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ
VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP
THÊM HAI PHOTON TÍCH SU(2) CHẴN

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số

: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC

Huế, năm 2017

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ
một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 10 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Phương Ni

ii


LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trương Minh Đức đã tận tình hướng
dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoa
Vật Lý và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại
học Huế; các bạn học viên Cao học khóa 24 cùng gia đình, bạn bè đã
động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập
và thực hiện luận văn.
Huế, tháng 10 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Phương Ni

iii


DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

Đồ thị 2.1 Sự phụ thuộc của tham số đan rối R1 vào r với giá
trị N=8, 12, 16 ứng với m = n = 4. Các giá trị N
được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ

nét liền, đường màu xanh lục nét đứt và đường màu
xanh dương nét đứt. . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Đồ thị 2.2 Sự phụ thuộc của entropy tuyến tính M vào r với
giá trị N=8, 12, 20. Các giá trị N được chọn theo
thứ tự tương ứng với đường màu đỏ nét liền, đường
màu xanh nét đứt và đường màu đen nét đứt. . . .

42

Đồ thị 3.1 Sự phụ thuộc của độ trung thực trung bình Fav vào
r với giá trị N=4, 8, 12 ứng với γ = 0, 59. Các giá
trị N được chọn theo thứ tự tương ứng với đường
màu xanh lục liền nét , đường màu đỏ nét đứt và
đường màu xanh dương nét đứt. . . . . . . . . . . .

52

Đồ thị 3.2 Sự phụ thuộc của độ trung thực trung bình Fav vào
r với giá trị N=4, 8, 12 ứng với γ = 0, 59. Các giá
trị N được chọn theo thứ tự tương ứng với đường
màu xanh lục liền nét , đường màu đỏ nét đứt và
đường màu xanh dương nét đứt. . . . . . . . . . . .

1

53



Đồ thị 3.3 Sự phụ thuộc của độ trung thực trung bình Fav vào
r với giá trị N=4, 8, 12 ứng với γ = 0, 59. Các giá
trị N được chọn theo thứ tự tương ứng với đường
màu xanh lục liền nét , đường màu đỏ nét đứt và
đường màu xanh dương nét đứt. . . . . . . . . . . .

2

54


MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Ngày nay cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật
thì trong công nghệ thông tin, vấn đề làm thế nào để truyền tín hiệu đi
xa mà vẫn đảm bảo tính lọc lựa cao và giảm được thăng giáng đến mức
thấp nhất là vấn đề cấp thiết cho các nhà vật lý lý thuyết cũng như thực
nghiệm. Thông tin lượng tử và máy tính lượng tử đang là vấn đề thu
hút sự chú ý của nhiều nhà khoa học trên toàn thế giới. Nguyên nhân
là do những ứng dụng của nó trong thực tiễn mang lại nhiều hiệu quả
phục vụ cho cuộc sống con người. Cụ thể là thông tin lượng tử sẽ được
truyền đi với tốc độ cực nhanh đồng thời vẫn đảm bảo được tính chất
và tính bảo mật của thông tin một cách tuyệt đối. Trong lĩnh vực tính
toán, nếu áp dụng lý thuyết thông tin lượng tử sẽ cho ra đời thế hệ máy
tính có tốc độ xử lý nhanh hơn bất kỳ một máy tính cổ điển nào.
Xử lý thông tin lượng tử là một vấn đề mới, rộng lớn và có tính bao
quát. Việc truyền tải thông tin thông qua việc sử dụng tính chất đan rối
được gọi là viễn tải lượng tử. Đó là một quá trình dịch chuyển thông tin
cũng như vật chất tức thời, mà không phải dịch chuyển qua không gian,

được thực hiện bằng cách giải mã một vật ở thời điểm này rồi gửi thông
tin phân tử tới điểm khác, nơi vật sẽ được tái tạo lại cấu trúc ban đầu.
Viễn tải lượng tử có thể được khai thác để làm cho máy tính lượng tử,
mạng lưới viễn thông trở nên nhanh và mạnh hơn. Với mục đích đó, các
nhà khoa học đang tập trung vào khai thác rối lượng tử để nghiên cứu
viễn tải lượng tử, sau đó tìm ra nguồn rối có độ trung thực trung bình
cao nhất là một trong những hướng nghiên cứu mới của nghành vật lý
lý thuyết.
3


Ở Việt Nam, vấn đề thông tin lượng tử nói chung rất được các nhà
khoa học đặc biệt quan tâm. Năm 2011, học viên Lê Thị Thu đã khảo
sát tính đan rối và chuyển vị lượng tử với trạng thái kết hợp hai mode
thêm photon [4]. Năm 2013, học viên Lê Thị Thủy đã khảo sát tính đan
rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode SU(1,1) [3]. Năm 2014,
học viên Nguyễn Thị Kim Thanh đã khảo sát tính đan rối và viễn tải
lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích
[2]. Năm 2015, học viên Văn Thị Diệu Hiền đã nghiên cứu tính chất nén
bậc cao và tính phản chùm của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn
[5]. Năm 2016, học viên Lê Thị Mai Phương đã nghiên cứu tính đan rối
và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn [7].
Nhận thấy, vấn đề về rối lượng tử đang là một vấn đề thú vị và thu
hút được sự chú ý hiện nay bởi còn nhiều điều chưa được khám phá và
những ứng dụng cực kỳ to lớn của nó. Các khảo sát về trạng thái đan
rối và viễn tải lượng tử đã được một số tác giả nghiên cứu nhưng vẫn
chưa có đề tài nào nghiên cứu về định lượng độ rối và viễn tải lượng tử
với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn. Được
sự hướng dẫn của Thầy PGS.TS Trương Minh Đức, tôi quyết định chọn
đề tài“Định lượng độ rối và viễn tải lượng tử với trạng thái

hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn ” làm đề
tài luận văn cho mình.
II. Mục tiêu của đề tài
Mục tiêu của đề tài này là khảo sát tính chất đan rối và định lượng
độ rối của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn
bằng các tiêu chuẩn đan rối. Tiếp theo, chúng tôi sử dụng trạng thái này
làm nguồn rối để thực hiện quá trình viễn tải lượng tử một trạng thái
4


kết hợp và đánh giá mức độ thành công của quá trình viễn tải thông
qua độ trung thực trung bình.
III. Phạm vi nghiên cứu
Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng tiêu chuẩn
Entropy tuyến tính [8] để định lượng độ rối, tiêu chuẩn đan rối HillerryZubairy [12] để nghiên cứu tính đan rối và viễn tải lượng tử một trạng
thái kết hợp. Sau đó, sử dụng mô hình viễn tải biến liên tục để thực hiện
quá trình viễn tải với nguồn rối là trạng thái hai mode kết hợp thêm hai
photon tích SU(2) chẵn.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài chủ yếu tập trung vào các nội dung sau:
- Nghiên cứu lý thuyết, phân tích tổng hợp các kiến thức liên quan
như: trạng thái kết hợp, các tiêu chuẩn đan rối, mô hình viễn tải lượng
tử với các nguồn rối hai mode, trạng thái Bell với quá trình viễn tải
lượng tử.
- Nghiên cứu định lượng độ rối theo tiêu chuẩn Entropy tuyến tính.
- Áp dụng tiêu chuẩn đan rối Hillerry-Zubairy để nghiên cứu tính
đan rối của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2)
chẵn.
- Áp dụng mô hình viễn tải: tọa độ, xung lượng để thực hiện quá
trình viễn tải lượng tử với nguồn rối là trạng thái hai mode kết hợp thêm

hai photon tích SU(2) chẵn và đưa ra độ trung thực trung bình của quá
trình viễn tải rồi khảo sát trên đồ thị.

5


V. Phương pháp nghiên cứu
Một số phương pháp được chúng tôi sử dụng như sau:
- Phương pháp chung gồm nghiên cứu lý thuyết, phân tích, tổng
hợp các kiến thức liên quan.
- Sử dụng kiến thức về lý thuyết trường lượng tử phương pháp
quang lượng tử cho hệ nhiều hạt để giải các bài toán liên quan đến đề
tài nghiên cứu.
- Phương pháp tính số và sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ
đồ thị.
- Phương pháp so sánh, kiểm chứng.
VI. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
làm 3 phần:
- Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, lịch sử vấn đề, mục
tiêu nghiên cứu, nội dung nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm
vi nghiên cứu, bố cục luận văn.
- Phần nội dung gồm 3 chương:
Chương 1: Trình bày các cơ sở lý thuyết
Chương 2: Trình bày về khảo sát tính đan rối của trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn
Chương 3: Trình bày quá trình viễn tải lượng tử với nguồn rối là
trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn
- Trình bày về các kết quả đạt được của đề tài và các hướng mở của
đề tài.


6


NỘI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày chi tiết về trạng thái
kết hợp, trạng thái Fock, toán tử dịch chuyển nhằm hình thành
một nền tảng kiến thức cho việc nghiên cứu các chương sau.
Ngoài ra chúng tôi sẽ trình bày tiêu chuẩn đan rối HilleryZubairy, định lương độ rối theo tiêu chuẩn Entropy tuyến tính,
cũng như mô hình viễn tải biến liên tục để áp dụng vào việc
khảo sát tính đan rối, định lượng độ rối và viễn tải lượng tử với
trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn.

1.1.

Trạng thái kết hợp

1.1.1.

Khái niệm
Trạng thái kết hợp là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ

nhất suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg và được đưa ra năm 1963
bởi Glauber và Sudarshan, ký hiệu là |α với α là một số phức. Đó là
ˆ (α) lên
trạng thái được tạo ra bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển D
trạng thái chân không (là trạng thái mà tại đó không có hạt nào được
kích thích và được kí hiệu |0 ) của trường điện từ, nghĩa là

ˆ (α) |0 ,
|α = D

(1.1)

ˆ (α) = exp (αˆ
với D
a+ − α ∗ a
ˆ) là toán tử dịch chuyển của toán tử a
ˆ, với
α = r exp (iϕ) là tham số kết hợp, r và ϕ lần lượt là biên độ và pha kết
hợp, a
ˆ+ , a
ˆ lần lượt là toán tử sinh, hủy hạt boson của trường điện từ.
7


Trạng thái kết hợp có thể được biểu diễn
|α = exp αˆ
a+ − α∗ a
ˆ |0 .
ˆ B
ˆ là hai toán tử bất kỳ ta
Từ đồng nhất thức Baker – Hausdorff với A,
có
ˆ = exp Aˆ exp B
ˆ exp − 1 A,
ˆ B
ˆ
exp Aˆ + B

2

,

(1.2)

nên ta có thể khai triển toán tử dịch chuyển dưới dạng sau
1 +
ˆ
a , −α∗ a
ˆ]).
D(α)
= exp(αˆ
a+ − α ∗ a
ˆ) = exp(αˆ
a+ ) exp(−α∗ a
ˆ) exp(− [αˆ
2
(1.3)
Theo khai triển chuỗi Taylor
exp αˆ
a

+

(αˆ
a+ ) (αˆ
a+ )2
=1+
+

+ ... =
1!
2!

∞

(αˆ
a+ )n
,
n!

(1.4)

(−α∗ a
ˆ)n
.
n!

(1.5)

n=0

và
(−α∗ a
ˆ) (−α∗ a
ˆ)2
exp (−α a
ˆ) = 1 +
+
+ ... =

1!
2!

∞

∗

n=0

Mặt khác toán tử sinh hạt a
ˆ+ và toán tử hủy hạt a
ˆ tuân theo hệ thức
giao hoán
a
ˆ, a
ˆ+ = a
ˆa
ˆ+ − a
ˆ+ a
ˆ = 1,
[ˆ
a, a
ˆ] = a
ˆ+ , a
ˆ+ = 0.
Nên
1
1
1 +
a , −α∗ a

ˆ]) = exp(− |α|2 [ˆ
a, a
ˆ+ ]) = exp(− |α|2 ).
exp(− [αˆ
2
2
2

(1.6)

Lưu ý rằng do
∞
∗

exp(−α a
ˆ)|0 =
n=0

α∗2 2
(−1)n α∗n n
a
ˆ |0 = (1 − α∗ a
ˆ+
a
ˆ + ...)|0 = |0
n!
2!
(1.7)
8



Vì vậy
|α = D (α) |0
=
n

=
n

1
(αˆ
a+ )n
exp − |α|2 |0
n!
2
αn (ˆ
1
a+ )n
√ √ exp − |α|2 |0 ,
2
n! n!

(1.8)

n

trong đó |n =

(ˆ
a+ )

√
n!

|0 là vectơ trạng thái chứa n hạt boson hay còn gọi

là trạng thái Fock và |0 là vectơ trạng thái chân không của hệ hạt. Nên
trạng thái kết hợp có thể được biểu diễn
1
|α = exp − |α|2
2

∞

n=0

αn
√ |n .
n!

(1.9)

Theo đó dễ dàng suy ra được trạng thái kết hợp được biểu diễn ở chỗ nó
là trạng thái riêng của toán tử hủy photon, nghĩa là (chứng minh phụ
lục 1)
a
ˆ |α = α |α .

(1.10)

Bây giờ ta lấy liên hợp Hermite của biểu thức (1.10) thì ta được

α| a
ˆ+ = α∗ α| .

(1.11)

Như vậy trạng thái kết hợp α| a
ˆ+ có chứa photon không xác định và
toán tử hủy không làm thay đổi trạng thái này.
1.1.2.

Các tính chất của trạng thái kết hợp
Tính chất 1: Trạng thái kết hợp |α có phân bố số hạt tuân

theo phân bố Poisson, nghĩa là số hạt trung bình của trạng thái kết hợp
|α chính bằng bình phương biên độ kết hợp r, nghĩa là
n
ˆ = r2.
9

(1.12)


Thật vậy
ˆ+ a
ˆ α .
n
ˆ = α |ˆ
n| α = α a
Ngoài ra
a

ˆ |α = α |α ,
α| a
ˆ+ = α| α∗ ,
α = r exp (iϕ) .
Do đó
n
ˆ = α|α∗ α|α = |α|2 = r2 .
Xác suất p (n) để tìm n hạt boson ở trạng thái |α chính là phân bố
Poisson
p (n) = n| α α| n
|α|2n exp −|α|2
=
n

=

n!
exp (− n
ˆ )
n!

n

(1.13)

Tính chất 2: Tập hợp tất cả các trạng thái |α là một tập hợp đủ
1
π
Thật vậy


|α α| d2 α = 1.
2

e−|α|

|α α| d2 α =

∞

n=0
2

αn
√
n!

(1.14)

∞

m

|n
m=0

(α∗ )
√
m!

m| d2 α, α = reiϕ


chuyển sang tọa độ cực ta được d α = rdrdϕ, do đó
∞
2

|α α| d α =

2π

rdr
0

∞

−r2

dϕ e
0

rn+m ei(n−m)ϕ
√ √
|n m| ,
n!
m!
n,m=0

2π

ei(n−m)ϕ dϕ = 2πδmn nên suy ra


với
0

∞
2

|α α| d α = 2π
∞

∞

rdr
n=0

0

|n

=
n=0

10

n| 2π
n!

e−r
∞
0


2 r 2n

n!
2

|n n|

e−r r2n+1 dr.


∞

Tích phân Poison I =

2

e−r r2n+1 dr =

n!
2

0

nên

|α α| d2 α = π,
hay ta có

∞


1
π

2

|α α| d α =

|n n| = 1.
n=0

Tính chất 3: Các trạng thái kết hợp thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa
α|α = 1 , nhưng chúng lại không trực giao với nhau, nghĩa là α = β
thì α|β = 0.
Thật vậy từ định nghĩa trạng thái kết hợp |α , ta có
∞

1
α| = exp − |α|2
2

n=0

(α∗ )n
√
n| ,
n!

∞

βm

√ |m ,
m!
m=0

1
|β = exp − |β|2
2
nên
α|β = exp(− 21 |α|2 ) exp(− 21 |β|2 )

∞ ∞
n=0 m
∞ ∞

= exp(− 21 |α|2 ) exp(− 12 |β|2 )
= exp(− 21 |α|2 − 12 |β|2 )
=

exp(− 21 |α|2

−

∞

n

n=0 m
n
(α∗ ) β n
n!


n=0
2
1
∗
2 |β| ) exp α β

(α∗ ) β m
√ √
n! m!

n|.m

n

(α∗ ) β m
√ √ δnm
n! m!

= exp(− 12 |α|2 − 21 |β|2 + α∗ β) = 0.

Hệ quả của sự không trực giao nhau là bất kì trạng thái kết hợp nào
cũng có thể khai triển theo các trạng thái kết hợp khác, nghĩa là
|α, =
=

1
π
1
π


|α α|α, d2 α
2

d α |α exp

− 12 |α|2

, ∗

+αα −

1 , 2
2 |α |

(1.15)
.

Điều này cho thấy rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo thành
hệ quá đủ.
11


Tính chất 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái tương ứng với độ bất
định nhỏ nhất, được suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg.
Để chứng minh trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định cực
tiểu, chúng tôi đưa vào hai đại lượng X, P không thứ nguyên và được
ˆ và Pˆ được định nghĩa
biểu diễn thông qua hai toán tử tương ứng là X
như sau

ˆ=
X

mω

xˆ, Pˆ =

mω

pˆ,

trong đó x và p là các đại lượng có thứ nguyên tương ứng với tọa độ và
ˆ và Pˆ được biểu diễn thông qua các toán tử
xung lượng. Các toán tử X
sinh, hủy photon của trường điện từ dưới dạng
xˆ =

1 +
i +
a
ˆ +a
ˆ , pˆ =
a
ˆ −a
ˆ .
2
2

ˆ và Pˆ là các toán tử Hermite nên chúng tương ứng với các
Mặt khác, X

đại lượng vật lý đo được. Do đó, ta có thể tính được phương sai của mỗi
đại lượng.
ˆ
Phương sai của X
ˆ2 α −
α|(∆X)2 |α = α X

2

ˆ α
α X

=

1
4

α (ˆ
a+ + a
ˆ)2 α − 41 ( α |(ˆ
a+ + a
ˆ)| α )2

=

1
4

α∗ 2 + α2 + 2|α|2 + 1 −


α∗ 2 + α2 + 2αα∗ = 14 .

1
4

Phương sai của Pˆ
α|(∆P )2 |α = α Pˆ 2 α −

α Pˆ α

2

= − 14 α (ˆ
a+ − a
ˆ)2 α + 41 ( α |(ˆ
a+ − a
ˆ)| α )2
= − 41 α∗ 2 + α2 − 2|α|2 − 1 +

1
4

α∗ 2 + α2 − 2αα∗ = 41 .

Vậy
α|(∆X)2 |α

α|(∆P )2 |α =
12


1
.
16

(1.16)


Đây là giá trị nhỏ nhất tương ứng với hệ thức bất định Heisenberg. Do
vậy, các trạng thái kết hợp là trạng thái cho phép thực hiện các phép đo
ˆ và Pˆ với sai số nhỏ nhất.
đồng thời hai toán tử X
Hệ thức (1.16) gọi là giới hạn lượng tử chuẩn. Đây cũng chính là
tính chất quan trọng nhất của trạng thái kết hợp.
1.1.3.

Trạng thái kết hợp chẵn và lẽ
Trạng thái kết hợp chẵn và trạng thái kết hợp lẻ đã được

Dodonov và cộng sự đưa ra bằng lý thuyết lần đầu tiên vào năm 1973.
ˆ α (α) |0 với D
ˆ α (α)
Bắt đầu từ biểu thức của trạng thái kết hợp |α = D
là toán tử dịch chuyển, ta định nghĩa trạng thái kết hợp chẵn
|α

ch

ˆ α (α) + D
ˆ α (−α) |0 ,
= Cch (|α + |−α ) = Cch D


(1.17)

và trạng thái kết hợp lẻ
ˆ α (α) − D
ˆ α (−α) |0 ,
|α l = Cl (|α − |−α ) = Cch D
rõ ràng |α

ch

(1.18)

là hàm chẵn và |α l là hàm lẻ theo α, nghĩa là
|α

ch

= |−α

|α l = −|−α l .

ch ,

(1.19)

Nếu biểu diễn theo trạng thái Fock, ta có:
|α

ch


= Cch exp −|α|2 /2

= 2Cch exp −|α|2 /2

∞

√α

(n)!

n=0
∞

√α

n=0

n

2n

(2n)!

|n + exp −|α|2 /2

∞

n


−α
√
|n

n=0

(n)!

|2n
(1.20)

|α l = Cl exp −|α|2 /2
= 2Cl exp −|α|2 /2

∞

√α

n=0
∞

(n)!

√α

n=0

n

|n − exp −|α|2 /2


2n+1

(2n+1)!

∞
n=0

n

−α
√
|n
(n)!

|2n + 1 .
(1.21)

13


Ta thấy rằng khi biểu diễn sang trạng thái Fock thì các trạng thái kết
hợp chẵn (lẻ) là tổ hợp của các trạng thái ứng với số hạt chẵn (lẻ). Tiến
hành chuẩn hóa các trạng thái kết hợp chẵn ta được
α|α

ch

ch


=

2
4Cch
exp

2

∞

−|α|

n=0

2n

(αα∗ )
(2n)!

2n | 2n

2
= 4Cch
exp −|α|2 cosh |α|2 = 1

⇒ Cch =

1
2


exp |α|2 /cosh |α|2 .

Làm tương tự cho trạng thái kết hợp lẻ, ta được
Cl =

1
2

exp |α|2 /sinh |α|2 .

Có thể dễ dàng rút ra một số tính chất của các trạng thái kết hợp chẵn
và kết hợp lẻ như sau
a) Các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ không trực giao với
nhau nhưng các trạng thái kết hợp chẵn lại trực giao với các trạng thái
kết hợp lẻ.
Thật vậy
α|β

ch

ch

= 4Cch (α) Cch (β) exp − 21 |α|2 exp − 21 |β|2
∞

∞

×
n=0 m=0


√β

2m

(2m)!

√α

∗2n

(2n)!

2n | 2m

= 4Cch (α) Cch (β) exp − 21 |α|2 exp − 21 |β|2
= 4Cch (α) Cch (β) exp − 12 |α|2 exp − 21 |β|2

∞

∞

√β

2m

(2m)!
n=0 m=0
∞
2n
(α∗ β)

(2n)!
n=0
∗

√α

∗2n

(2n)!

δnm

= 4Cch (α) Cch (β) exp − 21 |α|2 exp − 21 |β|2 cosh (α β) .
Tương tự ta được
l

1
1
α | β l = 4Cl (α) Cl (β) exp − |α|2 exp − |β|2 sinh (α∗ β) ,
2
2

14


và
α|β

ch


l

= 4Cch (α) Cl (β) exp − 21 |α|2 exp − 21 |β|2
∞

∞

√β

×
n=0 m=0

2m+1

(2m+1)!

√α

∗2n

2n | 2m + 1 = 0.

(2n)!

Tổng quát
i

α|α

= δij ,


j

i, j = ch, l.

(1.22)

b) Các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ có thể được chuyển đổi qua
lại lẫn nhau bằng cách tác dụng toán tử hủy a
ˆ lên chúng.
Thật vậy
a
ˆ |α = 2Cch exp − |α|2

∞

2

√α

2n

a
ˆ |2n
2
√
2n
√α
2n |2n − 1
= 2Cch exp − |α|2

(2n)!
n=0
∞
2
√
2n−1
|α|
Cl
√α
= 2αCch Cl exp − 2
2n |2n − 1
n=0
∞

(2n)!

(2n−1)!

n=0

Cch
Cl α|α l .

=

Hoàn toàn tương tự
Cl
α|α ch .
Cch
Điều này có nghĩa là toán tử hủy a

ˆ có tác dụng như là một toán tử quay
a
ˆ|α l =

giữa |α

ch

và |α

l

c) Khác với các trạng thái kết hợp là hàm riêng của a
ˆ, các trạng
thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ là hàm riêng của a
ˆ2 ứng với các trị riêng
α2 .
Thật vậy
a
ˆ |α

∞

2

2

ch

= 2Cch exp


− |α|2

= 2Cch exp − |α|2
= 2α Cch exp
= α2 |α

n=0
∞

2

n=0

− |α|2

2n

(2n)!

√α

2

2

√α

2n


(2n)!

|2n
(2n) (2n + 1) |2n − 2
(1.23)

∞

2n−2
√α
(2n−2)!
n=0

ch

15

|2n − 2


Tương tự
a
ˆ2 |α l = α2 |α

l

(1.24)

d) Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ tạo thành
một hệ đủ, nghĩa là

1
π

1.2.

|α

jj

α| d2 α = 1.

(1.25)

j=ch,l

Tính chất của toán tử dịch chuyển
ˆ là
Tính chất1: Theo công thức Baker-Hausdorff, nếu Aˆ và B

hai toán tử bất kỳ có
ˆ B
ˆ , Aˆ =
A,

ˆ B
ˆ ,B
ˆ = 0.
A,

Ta có (chứng minh phụ lục 2)

ˆ B
ˆ = exp − A,
ˆ B
ˆ /2 exp Aˆ exp B
ˆ
exp A,
= exp

ˆ B
ˆ /2 exp B
ˆ exp Aˆ .
A,

(1.26)

ˆ = −α∗ a
ˆ B
ˆ = |α|2 [ˆ
Cho Aˆ = αˆ
a+ và B
ˆ , theo đó A,
a, a
ˆ+ ] = |α|2 . Từ
(1.3) và (1.26), suy ra
ˆ a (α) = exp −|α|2 /2 exp (αˆ
D
a+ ) exp (−α∗ a
ˆ)
= exp (αˆ
a+ − α ∗ a

ˆ)

(1.27)

= exp |α|2 /2 exp (−α∗ a
ˆ) exp (αˆ
a+ ) .
ˆ a (α) để tính toán sao
Ta có thể vận dụng một trong ba dạng này của D
cho thuận lợi nhất.
ˆ a (α) suy ra
Tính chất 2: Vận dụng dạng thứ 2 trong (1.27) cho D
ˆ a (α) là toán tử chuẩn tắc (Unita) (chứng minh phụ lục 3)
được D
ˆ a+ (α) = D
ˆ a (−α) = D
ˆ a−1 (α) .
D
16

(1.28)


Hệ quả của tính chất này là vectơ trạng thái kết hợp được chuẩn hoá
ˆ a−1 (α) D
ˆ a (α) |0 = 0 | 0 = 1.
α | α = 0| D

(1.29)


ˆ ta luôn có (chứng minh phụ lục 4)
Đối với hai toán tử bất kỳ Aˆ và B
α2 ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
exp −αA B exp αA = B − α A, B +
A, A, B
2!

+ ... (1.30)

Ta thu được các phép biến đổi như sau (chứng minh phụ lục 5)
ˆ a+ (α) a
ˆ a (α) = a
D
ˆD
ˆ+α

(1.31)

ˆ a+ (α) a
ˆ a (α) = a
D
ˆ+ D
ˆ + + α∗


(1.32)

Các vế phải của biểu thức (1.31) và (1.32) theo thứ tự bị dịch đi
một lượng bằng α và α∗ so với các vế trái tương ứng. Do vậy, toán tử
được gọi là toán tử dịch chuyển. Các tính chất này được dùng nhiều
trong các tính toán lý thuyết.
Tính chất 3: (chứng minh phụ lục 6)
αβ ∗ − α∗ β
ˆ
ˆ
ˆ
D (α) D (β) = D (α + β) exp
2

1.3.

Các tiêu chuẩn đan rối

1.3.1.

Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy

(1.33)

Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy do hai ông Hillery và Zubairy
đưa ra vào năm 2006 [12]. Ở đây hai ông đã đưa ra một lớp bất đẳng
thức mà vi phạm của chúng chỉ ra sự hiện diện của đan rối trong các
hệ hai mode. Đây chính là các bất đẳng thức phát sinh từ việc kiểm tra
các hệ thức bất định. Xét hai mode trường điện từ
ˆ1 = a

L
ˆˆb+ + a
ˆ+ˆb,
ˆ2 = i a
L
ˆˆb+ − a
ˆ+ˆb ,
17


trong đó a
ˆ và a
ˆ+ lần lượt là toán tử hủy và toán tử sinh của mode thứ
nhất, ˆb và ˆb+ lần lượt là toán tử hủy và toán tử sinh của mode thứ hai.
Tính phương sai của các biến, sau đó ta cộng lại thì
ˆ1
∆L

2

ˆ2
∆L

+

2

=2

(1.34)


2

ˆb + 1 N
ˆa − 2 a
ˆˆb+
N

ˆa + 1 N
ˆb +
N

,

ˆa = a
ˆb = ˆb+ˆb. Bây giờ ta xét trạng thái là tích của
trong đó N
ˆ+ a
ˆ và N
mode a trong trạng thái này với mode b trong trạng thái khác, ta có
ˆ1
∆L
=2

2

+

ˆ2
∆L


ˆa + 1
N

2

ˆb +
N

ˆb + 1
N
2

a
ˆ

Bất đẳng thức Schwarz cho ta

ˆa
≤ N

2

ˆb

và

(1.35)

2


ˆb+

ˆa − 2 a
ˆ
N

.
ˆb . Khi
≤ N

đó
ˆ1
∆L

2

+

ˆ2
∆L

2

=2

ˆa + N
ˆb
N


.

(1.36)

ˆ 1 và L
ˆ 2 , ta có
Xét hệ thức bất định tuân theo L
ˆ1
∆L

ˆ2 ≥
∆L

ˆa − N
ˆb
N

.

(1.37)

Từ đó ta thấy rằng
ˆ1
∆L

2

ˆ2
+ ∆L


2

≥2

ˆa − N
ˆb
N

.

(1.38)

Từ những kết quả trên, cho ta thấy rằng một trạng thái là đan rối nếu
nó thỏa mãn điều kiện
m

a
ˆ
1.3.2.

ˆb+

n

2

>

a
ˆ


+

m

m

a
ˆ

ˆb+

n

ˆb

n

.

(1.39)

Phương pháp định lượng độ rối
Các trạng thái lượng tử được mô tả bởi các vectơ trạng thái

được gọi là trạng thái thuần. Các trạng thái lượng tử không thể được
18


mô tả bởi các vectơ trạng thái được gọi là các trạng thái hỗn tạp. Các

trạng thái hỗn tạp được mô tả bởi toán tử mật độ
pj |Ψj

ρˆ =

Ψj | ,

(1.40)

j

trong đó pj là xác suất để hệ ở trong trạng thái của các hệ con định xứ
Ψj | Ψj = 1. Xác suất thỏa mãn hệ thức sau
0 ≤ pj ≤ 1,

pj = 1,

Ψj | Ψj = 1.

(1.41)

j

Trong trường hợp hệ chỉ tồn tại duy nhất trạng thái |Ψi , pi = δji , ta
có
ρˆ = |Ψi Ψi | ,

(1.42)

là toán tử mật độ của trạng thái thuần khiết |Ψi . Định nghĩa đan rối

có thể được mở rộng cho các trạng thái hỗn tạp như sau: Một trạng
thái hỗ tạp của hệ hai thành phần được biểu diễn bởi toán tử mật độ
ρˆAB , với hai hệ con thành phần tương ứng có toán tử mật độ rút gọn là
ρˆA = T rB ρˆAB và ρˆB = T rA ρˆAB , trong đó T rA(B) là phép lấy vết ma trận
mật độ hai thành phần lên thành phần A hoặc B. Một trạng thái hỗn
hợp của một hệ hai thành phần có thể tách nếu ma trận mật độ tổng
của nó là tổng của tích ma trận mật độ của hai trạng thái thành phần
ρˆAB =

pj ρˆj,A ⊗ ρˆj,B

(1.43)

Ngược lại, một trạng thái hỗn tạp hai thành phần nếu không viết được
dưới dạng (1.43) thì được gọi là trạng thái không thể tách được hay
trạng thái đan rối.
Phép đo mức độ đan rối của một trạng thái lượng tử hỗn tạp được
mô tả bởi một toán tử mật độ ρˆ thông qua entropy von Neumann có
dạng
S (ˆ
ρ) = −T r [ˆ
ρlog2 ρˆ] .
19

(1.44)


Nếu λi là các giá trị riêng của ρˆ thì entropy von Neumann có thể được
khai triển dưới dạng
S (ˆ

ρ) = −

λi log2 λi ,

(1.45)

i

trong đó ta định nghĩa 0log2 0 ≡ 0 và S (ˆ
ρ) luôn không âm, S (ˆ
ρ) = 0
nếu và chỉ nếu trạng thái có toán tử mật độ ρˆ là một trạng thái thuần
và S (ˆ
ρ) đạt được giá trị lớn nhất đối với trạng thái có độ hỗn tạp cực
đại. Đối với các hệ được mô tả bởi các trạng thái trong không gian
Hilbert l chiều, ta có 0 ≤ S (ˆ
ρ) ≤ log2 l, do đó đối với qubit thu được
0 ≤ S (ˆ
ρ) ≤ 1. Phép đo thông tin theo các đơn vị của các qubit có thể sử
dụng thông qua phép đo S (ˆ
ρ). Vai trò của entropy von Neumann trong
lý thuyết thông tin lượng tử tương tự vai trò của entropy von Neumann
trong lý thuyết thông tin cổ điển. Entropy von Neumann S (ˆ
ρ) đo độ bất
định của một trạng thái lượng tử liên quan đến phân bố xác suất lượng
tử. Thực hiện phép lấy gần đúng entropy von Neumann ở (1.44) với
(x − 1)2
...
log2 x = (x − 1) −
x


(1.46)

Chỉ giữ lại số hạt đầu tiên ở vế phải phương trình (1.46), entropy tuyến
tính M đối với các hệ hai thành phần A và B được viết dưới dạng
M = 1 − T r ρˆ2A(B) .

(1.47)

Entropy tuyến tính có giá trị nằm trong giới hạn 0 ≤ M ≤ 1. Khi
T r ρˆ2A(B)

= 1, ta có M = 0 cho thấy trạng thái có toán tử mật độ

ρˆ là một trạng thái thuần và tách được. Trường hợp 0 < M < 1 thì
trạng thái có toán tử mật độ ρˆ là một trạng thái rối và sẽ rối cực đại
khi M = 1.

20


1.4.

Mô hình viễn tải lượng tử với các nguồn rối
hai mode
Trong khuôn khổ bài luận văn này, chúng tôi sử dụng mô hình

viễn tải lượng tử liên tục Agarwal [15], với các nguồn rối hai mode được
biểu diễn dưới dạng các trạng thái kết hợp để thực hiện quá trình viễn
tải. Hệ thống quá trình viễn tải một trạng thái kết hợp gồm bên gửi

thông tin và bên nhận thông tin, hai người cùng nhau chia sẻ một trạng
thahis đan rối hai mode. Giả sử bên gửi thông tin là Alice và bên nhận
thông tin là Bob, cùng chia sẻ trạng thái đan rối hai mode a và b, trong
đó a mode dành cho Alice và mode b dành cho Bob. Trạng thái |ψ

c

là trạng thái được viễn tải chứa thông tin được mã hóa, tương ứng với
mode c được đưa vào Alice. Đầu tiên Alice phải thực hiện phép đo thông
tin về mức độ đan rối giữa trạng thái biên độ trực giao Bell. Kết quả
đo được tích hợp vào biến phức với X là tổng tọa độ và P là hiệu xung
lượng của các photon ứng với hai mode a và b. Kết quả của phép đo này
sẽ được gửi tới bên nhận là Bob qua kênh thông tin cổ điển. Để thực
hiện phép đo này, trước hết Alice tổ hợp một trạng thái ba mode có
dạng
|ψ

abc

= |ψ

ab |ψ c .

(1.48)

Sau đó, Alice sẽ thưc hiện phép đo trên hai mode a và c. Phép đo trạng
thái này thông qua trạng thái Bell có dạng
|B (X, P )

ac


≡ |B (A)

ac ,

(1.49)

Việc đo mức độ rối chính là sự tổ hợp trạng thái Bell và trạng thái ba
mode. Sau quá trình đo, lúc này trạng thái lượng tử bên Alile sẽ là
|ψ

A

= ca B (X, P ) | ψ

ab |ψ c

21

= ca B (A) | ψ

ab |ψ c

(1.50)


Do Bob và Alice cùng chia sẻ với nhau một trạng thái đan rối nên Bob
cũng có dạng tương tự
|ψ


B

= ca B (A) | ψ

ab |ψ c

(1.51)

Đây chính là trạng thái trước khi Bob nhận được bằng thông tin cổ điển
do Alice gửi, ta viết lại |ψ
|ψ
với Tˆ (A) =
|ψ

B

ca

B

B

như sau

= ca B (A) | ψ

B (A) | ψ

ab |ψ c


ab |ψ c

= Tˆ (A) |ψ c ,

(1.52)

được gọi là toán tử viễn tải. Lúc này

là một phiên bản của trạng thái vào |ψ c , tuy nhiên nó không giống

với bản gốc ban đầu do bị xê dịch bởi phép đo trên. Sau khi nhân được
kết quả đo từ Alice thông qua kênh cổ điển, Bob sẽ sử dụng thông tin
này cùng với trạng thái của mình để tái tạo lại trạng thái ban đầu |ψ

c

bằng cách sử dụng phép đổi Unita theo biến phức A. Đặt β = g2A với
g là hệ số dùng để hoàn thiện độ trung thực viễn tải, trạng thái ra của
bản gốc sau khi viễn tải là
|ψ

out

ˆ (β) |ψ
=D

B

ˆ (β) Tˆ (A) |ψ .
=D

c

(1.53)

Khi đó, phân bố xác suất đo độ đan rối giữa mode a và mode c
ρ (A) = ψA | ψA = ψB | ψB

= Tˆ (A) |ψ

2
c

.

(1.54)

Chú ý rằng phân bố xác suất cũng phải được chuẩn hóa. Độ trung thực
F (A) được định nghĩa là sự chồng chập của trạng thái vào và trạng thái
ra, có dạng
F (A) =

1
|in ψ | ψ
ρ (A)

2
out | =

1
ρ (A)


c

ˆ (B) Tˆ (A) ψ
ψ| D

2
c

.

(1.55)

Một quá trình viễn tải được xem là hoàn hảo nếu trạng thái đầu ra và
trạng thái đầu vào là như nhau. Tuy nhiên, do tính chất đan rối không
22