BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ THÚY DUNG

ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ
VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(1,1)
THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 8440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC

Huế, năm 2018
i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ
một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 8 năm 2018
Tác giả luận văn

Hoàng Thị Thúy Dung

ii


LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trương Minh Đức đã tận tình hướng
dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong
khoa Vật Lý và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm,
Đại học Huế; các bạn học viên Cao học khóa 25 cùng gia đình, bạn bè
đã động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học
tập và thực hiện luận văn.
Huế, tháng 8 năm 2018
Tác giả luận văn

Hoàng Thị Thúy Dung

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1. Trạng thái kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9


1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2. Các tính chất của trạng thái kết hợp . . . . . . . . .

11

1.2. Tính chất của toán tử dịch chuyển . . . . . . . . . . . . .

15

1.3. Các tiêu chuẩn đan rối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.1. Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy . . . . . . . . . .

16

1.3.2. Tiêu chuẩn độ đồng quy . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4. Mô hình viễn tải lượng tử với các nguồn rối hai mode . . .

18

1.4.1. Mô hình viễn tải lượng tử biến liên tục . . . . . . .


18

1.4.2. Trạng thái Bell với quá trình viễn tải lượng tử . . .

20

Chương 2. KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ ĐỊNH
LƯỢNG ĐỘ RỐI CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE
KẾT HỢP SU(1,1) THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT
PHOTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.1. Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một
photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.1.1. Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) . . . . . . . .

24

1


2.1.2. Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và
bớt một photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29


2.2. Khảo sát tính đan rối của trạng thái hai mode kết hợp
SU(1,1) thêm một và bớt một photon bằng tiêu chuẩn đan
rối Hillery-Zubairy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.3. Định lượng độ rối của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1)
thêm một và bớt một photon theo tiêu chuẩn độ đồng quy

37

Chương 3. KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH VIỄN TẢI LƯỢNG
TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP
SU(1,1) THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON . .

42

3.1. Quá trình viễn tải lượng tử với nguồn rối là trạng thái 2
mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon . . . .

42

3.2. Độ trung thực trung bình của quá trình viễn tải lượng tử

47

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59


TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1

2


DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
Hình 2.1

Sự phụ thuộc của tham số đan rối R1 vào r với giá
trị q = 1, 2, 3. Các giá trị q được chọn theo thứ tự
tương ứng với đường màu xanh lục nét liền, đường
màu xanh dương nét đứt chấm và đường màu đỏ
nét đứt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 2.2

37

Sự phụ thuộc của độ đồng quy C vào r với các giá
trị q = 1 ứng với đường màu xanh dương nét liền,
q = 2 ứng với đường màu đỏ nét đứt. . . . . . . . .

Hình 3.1

40


Sự phụ thuộc của độ trung thực trung bình Fav vào
r với giá trị q = 2, 4, 5. Các giá trị q được chọn theo
thứ tự tương ứng với đường màu xanh lục nét liền,
đường màu xanh dương nét đứt chấm và đường màu
đỏ nét đứt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 3.2

57

Sự phụ thuộc của độ trung thực trung bình Fav
vào r với giá trị q = 2 ứng với γ = 1.45, γ = 1.50,
γ = 1.99. Các giá trị γ được chọn theo thứ tự tương
ứng với đường màu xanh lục nét liền, đường màu
xanh dương nét đứt chấm và đường màu đỏ nét đứt. 58

3


MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật,
trong lĩnh vực công nghệ thông tin, làm thế nào để truyền tín hiệu đi
xa mà vẫn đảm bảo tính lọc lựa cao và giảm được thăng giáng đến mức
thấp nhất là vấn đề cấp thiết cho các nhà vật lý lý thuyết cũng như thực
nghiệm. Trong đó, rối lượng tử và viễn tải lượng tử là nguồn tài nguyên
có giá trị đáp ứng cho yêu cầu này; bởi đây chính là chìa khóa cho sự
phát triển nhanh chóng của thông tin lượng tử và máy tính lượng tử.
Rối lượng tử là cơ sở quan trọng trong quá trình xử lý thông tin

lượng tử [1]. Cụ thể là thông tin lượng tử sẽ được truyền đi với tốc độ
cực nhanh đồng thời vẫn đảm bảo được tính chất và tính bảo mật của
thông tin một cách tuyệt đối. Xử lý thông tin lượng tử là một vấn đề
mới, rộng lớn và có tính bao quát. Việc truyền tải thông tin thông qua
việc sử dụng tính chất đan rối được gọi là viễn tải lượng tử. Đó là một
quá trình dịch chuyển thông tin cũng như vật chất tức thời, mà không
phải dịch chuyển qua không gian, được thực hiện bằng cách giải mã một
vật ở thời điểm này rồi gửi thông tin phân tử tới điểm khác, nơi vật sẽ
được tái tạo lại cấu trúc ban đầu. Viễn tải lượng tử có thể được khai
thác để làm cho máy tính lượng tử, mạng lưới viễn thông trở nên nhanh
và mạnh hơn. Với mục đích đó, việc dò tìm tính đan rối của một trạng
thái và sử dụng trạng thái đó làm nguồn rối cho quá trình viễn tải lượng
tử đã và đang là một trong những hướng nghiên cứu mới đầy hấp dẫn
của ngành vật lý lý thuyết.
Ý tưởng về rối xuất hiện đầu tiên vào năm 1935 trong bài báo của
Einstein, Podolsky, Rosen [18] đưa ra dưới dạng nghịch lý EPR. Cũng
4


trong năm 1935, Erwin Schodinger [21] đã đưa ra khái niệm về rối, ông
gọi rối là điểm nổi bật đặc trưng của cơ học lượng tử. Năm 1993, Bennett
[14] đã giải thích thành công về viễn tải lượng tử và đưa ra mô hình lý
thuyết đầu tiên về viễn tải, đó là mô hình viễn tải với các biến rời rạc
trong không gian hilbert vô hạn chiều. Tuy nhiên, mô hình viễn tải này
khó thực hiện bởi nó yêu cầu một điều kiện lý tưởng là nguồn rối phải
rối hoàn toàn. Năm 1997, Brauntein và Kimble [15] cũng đưa ra mô hình
viễn tải với biến liên tục với nguồn rối không hoàn toàn. Nhiều mô hình
sau đó đã sử dụng các trạng thái khác nhau làm nguồn rối như: năm
2007, Agarwal [13] đã sử dụng nguồn rối là trạng thái kết hợp cặp (trạng
thái phi Gauss) và viễn tải với trạng thái kết hợp; kết quả thu được có

độ trung thực khi viễn tải là 0.75884, chứng tỏ trạng thái kết hợp cặp
phù hợp làm nguồn rối để viễn tải lượng tử.
Ở Việt Nam, vấn đề thông tin lượng tử nói chung rất được các nhà
khoa học đặc biệt quan tâm. Năm 2011, học viên Lê Thị Thu đã khảo
sát tính đan rối và chuyển vị lượng tử với trạng thái kết hợp hai mode
thêm photon [6]. Năm 2013, học viên Lê Thị Thủy đã khảo sát tính đan
rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode SU(1,1) [7]. Năm 2014,
học viên Nguyễn Thị Kim Thanh đã khảo sát tính đan rối và viễn tải
lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích
[5]. Năm 2015, học viên Văn Thị Diệu Hiền đã nghiên cứu tính chất nén
bậc cao và tính phản chùm của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn
[3]. Năm 2016, học viên Lê Thị Mai Phương đã nghiên cứu tính đan rối
và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn [4].
Năm 2017, học viên Nguyễn Thị Phương Ni đã nghiên cứu tính đan rối
và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon
tích SU(2) chẵn [2].

5


Nhận thấy vấn đề về rối lượng tử đang là một vấn đề thú vị và thu
hút được sự chú ý hiện nay bởi còn nhiều điều chưa được khám phá và
những ứng dụng cực kỳ to lớn của nó. Các khảo sát về trạng thái đan
rối và viễn tải lượng tử đã được một số tác giả nghiên cứu nhưng vẫn
chưa có đề tài nào nghiên cứu về định lượng độ rối và viễn tải lượng tử
với trạng thái hai mode kết hợp thêm một và bớt một photon. Chính vì
lý do đó mà tôi quyết định chọn đề tài “Định lượng độ rối và viễn tải
lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một
photon” làm đề tài luận văn cho mình.
II. Mục tiêu của đề tài

Mục tiêu của đề tài này là khảo sát tính chất đan rối và định lượng
độ rối của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một
photon bằng các tiêu chuẩn đan rối. Tiếp theo, chúng tôi sử dụng trạng
thái này làm nguồn rối để thực hiện quá trình viễn tải lượng tử một
trạng thái kết hợp và đánh giá mức độ thành công của quá trình viễn
tải thông qua độ trung thực trung bình.
III. Phạm vi nghiên cứu
Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng tiêu chuẩn độ
đồng quy [10] để định lượng độ rối, tiêu chuẩn đan rối Hillerry-Zubairy
[19] để nghiên cứu tính đan rối và viễn tải lượng tử một trạng thái kết
hợp. Sau đó, sử dụng mô hình viễn tải biến liên tục để thực hiện quá
trình viễn tải với nguồn rối là trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm
một và bớt một photon.

6


IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài chủ yếu tập trung vào các nội dung sau:
- Nghiên cứu lý thuyết, phân tích tổng hợp các kiến thức liên quan
như: trạng thái kết hợp, các tiêu chuẩn đan rối, mô hình viễn tải lượng
tử với các nguồn rối hai mode, trạng thái Bell với quá trình viễn tải
lượng tử.
- Nghiên cứu định lượng độ rối theo tiêu chuẩn độ đồng quy.
- Áp dụng tiêu chuẩn đan rối Hillerry-Zubairy để nghiên cứu tính
đan rối của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một
photon.
- Áp dụng mô hình viễn tải để thực hiện quá trình viễn tải lượng
tử với nguồn rối là trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và
bớt một photon và đưa ra độ trung thực trung bình của quá trình viễn

tải rồi khảo sát trên đồ thị.
V. Phương pháp nghiên cứu
Một số phương pháp được chúng tôi sử dụng như sau:
- Phương pháp chung gồm nghiên cứu lý thuyết, phân tích, tổng
hợp các kiến thức liên quan.
- Sử dụng kiến thức về lý thuyết trường lượng tử phương pháp
quang lượng tử cho hệ nhiều hạt để giải các bài toán liên quan đến đề
tài nghiên cứu.
- Phương pháp tính số và sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ
đồ thị.
- Phương pháp so sánh, kiểm chứng.

7


VI. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
làm 3 phần:
- Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, nhiệm vụ nghiên cứu,
mục tiêu nghiên cứu, nội dung nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu,
phạm vi nghiên cứu, bố cục luận văn.
- Phần nội dung gồm 3 chương:
Chương 1: Trình bày các cơ sở lý thuyết
Chương 2: Trình bày về khảo sát tính đan rối của trạng thái hai
mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon
Chương 3: Trình bày quá trình viễn tải lượng tử với nguồn rối là
trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon
- Trình bày về các kết quả đạt được của đề tài và các hướng mở của
đề tài.


8


NỘI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày chi tiết về trạng thái
kết hợp, trạng thái Fock, toán tử dịch chuyển nhằm hình thành
một nền tảng kiến thức cho việc nghiên cứu các chương sau.
Ngoài ra chúng tôi sẽ trình bày tiêu chuẩn đan rối hai mode
của Hillery-Zubairy, định lương độ rối theo tiêu chuẩn độ đồng
quy, cũng như mô hình viễn tải với nguồn rối hai mode để áp
dụng vào việc khảo sát tính đan rối, định lượng độ rối và viễn
tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một
và bớt một photon.

1.1.

Trạng thái kết hợp

1.1.1.

Định nghĩa

Trạng thái kết hợp là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ
nhất suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg và được đưa ra năm 1963
bởi Glauber và Sudarshan, ký hiệu là |α với α là một số phức. Đó là
ˆ (α) lên
trạng thái được tạo ra bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển D
trạng thái chân không (là trạng thái mà tại đó không có hạt nào được

kích thích và được kí hiệu |0 ) của trường điện từ, nghĩa là
ˆ (α) |0 ,
|α = D

(1.1)

ˆ
với D(α)
= exp(αˆ
a+ ) exp(−α∗ a
ˆ) exp(− 21 |α|2 ) là toán tử dịch chuyển của
toán tử a
ˆ, với α = r exp (iϕ) là tham số kết hợp, r và ϕ lần lượt là biên
9


độ và pha kết hợp; a
ˆ+ , a
ˆ lần lượt là toán tử sinh, hủy hạt boson của
trường điện từ.
Thật vậy, ta xét hệ hạt boson có các toán tử hủy hạt và sinh hạt tuân
theo các hệ thức giao hoán
a
ˆ, a
ˆ+ = a
ˆa
ˆ+ − a
ˆ+ a
ˆ = 1,
[ˆ

a, a
ˆ] = a
ˆ+ , a
ˆ+ = 0.
Xét một trạng thái |α như sau
1
|α = exp − |α|2
2

∞

n=0

αn
√ |n ,
n!

(1.2)

n

trong đó |n =

(ˆ
a+ )
√
n!

|0 là vectơ trạng thái chứa n hạt boson hay còn gọi


là trạng thái Fock và |0 là vectơ trạng thái chân không của hệ hạt.
Thay vectơ trạng thái này vào (1.2) ta có
1
|α = exp − |α|2
2
1
= exp − |α|2
2
1
= exp − |α|2
2

∞

n=0
∞

n=0

αn (ˆ
a+ )n
√ √ |0
n! n!
(αˆ
a+ )n
|0
n!

(αˆ
a+ ) (αˆ

a+ )2
1+
+
+ ... |0
1!
2!

1
= exp − |α|2 exp αˆ
a+ |0 .
2

(1.3)

Theo đó dễ dàng suy ra được trạng thái kết hợp được biểu diễn ở chỗ nó
là trạng thái riêng của toán tử hủy photon, nghĩa là (chứng minh phụ
lục 1)
a
ˆ |α = α |α .

(1.4)

Bây giờ ta lấy liên hợp Hermite của biểu thức trên thì ta được
α| a
ˆ+ = α∗ α| .
10

(1.5)



Vì a
ˆ không phải là toán tử Hermitic nên α nói chung là một số phức,
α = r exp (iϕ) với r và ϕ là thực. Lưu ý rằng do
∞
∗

exp(−α a
ˆ)|0 =
n=0

α∗2 2
(−1)n α∗n n
a
ˆ |0 = (1 − α∗ a
ˆ+
a
ˆ + ...)|0 = |0
n!
2!
(1.6)

nên biểu thức (1.3) có thể viết lại
1
|α = exp(− |α|2 ) exp(αˆ
a+ ) exp(−α∗ a
ˆ)|0 ,
2

(1.7)


ˆ (α) |0 .
hay |α = D
1.1.2.

Các tính chất của trạng thái kết hợp

Tính chất 1: Trạng thái kết hợp |α có phân bố số hạt tuân theo
phân bố Poisson, nghĩa là số hạt trung bình của trạng thái kết hợp |α
chính bằng bình phương biên độ kết hợp r, nghĩa là
n
ˆ = r2.

(1.8)

Thật vậy, số hạt boson trung bình ở trạng thái |α
n
ˆ = α |ˆ
n| α = α a
ˆ+ a
ˆ α .
Ngoài ra chúng ta đã có
a
ˆ |α = α |α ,
α| a
ˆ+ = α| α∗ ,
α = r exp (iϕ) .
Do đó mà n
ˆ = α|ˆ
a+ a
ˆ|α = |α|2 = r2 .

Xác suất p (n) để tìm n hạt boson ở trạng thái |α chính là phân bố
Poisson
p (n) = n| α α| n
11


|α|2n exp −|α|2
=
n

=

n!
exp (− n )
.
n!

n

(1.9)

Thật vậy, từ định nghĩa trạng thái kết hợp
∞

(α∗ )m
√
m| ,
m!
m=0


1
α| = exp − |α|2
2
Suy ra
p (n) = n| α α| n
∞

∞

(α∗ )m
√
m|n
m!
m=0

αm
√
n|m
m!
m=0

2

= exp −|α|

|α|2n
n
=
n!


2

= exp −|α|

n

exp(− n )
n!

(1.10)

Tính chất 2: Tập hợp tất cả các trạng thái |α là một tập hợp đủ
1
π

|α α| d2 α = 1.

(1.11)

Thật vậy, ta có
2

|α α| d α =

−|α|

e

∞


2

n=0

∞

αn
√
n!

|n
m=0

m

(α∗ )
√
m!

m| d2 α, α = reiϕ chuyển sang

2

tọa độ cực ta được d α = rdrdϕ, do đó
∞
2

|α α| d α =

2π


rdr
0

∞

−r2

dϕ e
0

rn+m ei(n−m)ϕ
√ √
|n m| ,
n!
m!
n,m=0

2π

ei(n−m)ϕ dϕ = 2πδmn nên suy ra

với
0

∞

|α α| d2 α = 2π
∞


=
n=0
∞

Tích phân Poison I =

∞

rdr
n=0

0

|n n| 2π
n!

2

e−r r2n+1 dr =

0

n!
2

e−r
∞

n!


|n n|

2

e−r r2n+1 dr.

0

nên có kết quả

|α α| d2 α = π,
12

2 r 2n


hay ta có
1
π

∞
2

|α α| d α =

|n n| = 1.
n=0

Tính chất 3: Mặc dù các trạng thái kết hợp là chuẩn hóa α|α = 1 ,
nhưng chúng lại không trực giao với nhau, nghĩa là α|β không triệt

tiêu.
Thật vậy từ định nghĩa trạng thái kết hợp |α , ta có
1
α| = exp − |α|2
2
1
|β = exp − |β|2
2

∞

n=0

(α∗ )n
√
n|
n!

∞

βm
√ |m .
m!
m=0

Do đó ta được
∞

∞


∞

m
∞

1
1
α|β = exp(− |α|2 ) exp(− |β|2 )
2
2
n=0
1
1
= exp(− |α|2 ) exp(− |β|2 )
2
2
n=0

m
∗ n n

∞

(α∗ )n β m
√ √
n|.m
n! m!
(α∗ )n β m
√ √ δnm
n! m!


1
1
(α ) β
= exp(− |α|2 − |β|2 )
2
2
n!
n=0

1
1
1
1
= exp(− |α|2 − |β|2 ) exp α∗ β = exp(− |α|2 − |β|2 + α∗ β) = 0.
2
2
2
2
Hệ quả của sự không trực giao nhau là bất kì trạng thái kết hợp nào
cũng có thể khai triển theo các trạng thái kết hợp khác, nghĩa là
|α, =
=

1
π
1
π

|α α|α, d2 α

d2 α |α exp − 12 |α|2 + α, α∗ − 12 |α, |2 .

(1.12)

Điều này cho thấy rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo thành
hệ quá đủ.
Tính chất 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái tương ứng với độ bất định
nhỏ nhất, được suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg.
13


Để chứng minh trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định cực tiểu,
chúng tôi đưa vào hai đại lượng X, P không thứ nguyên và được biểu
ˆ và Pˆ được định nghĩa như
diễn thông qua hai toán tử tương ứng là X
sau
ˆ=
X

mω

xˆ, Pˆ =

mω

pˆ,

trong đó x và p là các đại lượng có thứ nguyên tương ứng với tọa độ và
ˆ và Pˆ được biểu diễn thông qua các toán tử
xung lượng. Các toán tử X

sinh, hủy photon của trường điện từ dưới dạng
xˆ =

1 +
i +
a
ˆ +a
ˆ , pˆ =
a
ˆ −a
ˆ .
2
2

ˆ và Pˆ là các toán tử Hermite nên chúng tương ứng với các
Mặt khác, X
đại lượng vật lý đo được. Do đó, ta có thể tính được phương sai của mỗi
đại lượng.
ˆ
Phương sai của X
2

ˆ2 α −
α|(∆X) |α = α X

2

ˆ α
α X


=

1
4

α (ˆ
a+ + a
ˆ)2 α − 41 ( α |(ˆ
a+ + a
ˆ)| α )2

=

1
4

α∗ 2 + α2 + 2|α|2 + 1 −

α∗ 2 + α2 + 2αα∗ = 14 .

1
4

Phương sai của Pˆ
α|(∆P )2 |α = α Pˆ 2 α −

α Pˆ α

2


a+ − a
ˆ)| α )2
a+ − a
ˆ)2 α + 41 ( α |(ˆ
= − 14 α (ˆ
= − 41 α∗ 2 + α2 − 2|α|2 − 1 +

1
4

α∗ 2 + α2 − 2αα∗ = 41 .

Do đó ta có
1
.
(1.13)
16
Đây là giá trị nhỏ nhất tương ứng với hệ thức bất định Heisenberg. Do
α|(∆X)2 |α

α|(∆P )2 |α =

vậy, các trạng thái kết hợp là trạng thái cho phép thực hiện các phép đo
14


ˆ và Pˆ với sai số nhỏ nhất.
đồng thời hai toán tử X
Hệ thức (1.16) gọi là giới hạn lượng tử chuẩn. Đây cũng chính là tính
chất quan trọng nhất của trạng thái kết hợp.


1.2.

Tính chất của toán tử dịch chuyển

ˆ là hai
Tính chất 1: Theo công thức Baker-Hausdorff, nếu Aˆ và B
toán tử bất kỳ có
ˆ B
ˆ , Aˆ =
A,

ˆ B
ˆ ,B
ˆ = 0,
A,

(1.14)

thì (chứng minh phụ lục 2)
ˆ B
ˆ = exp − A,
ˆ B
ˆ /2 exp Aˆ exp B
ˆ
exp A,
= exp

ˆ B
ˆ /2 exp B

ˆ exp Aˆ .
A,

(1.15)

ˆ = −α∗ a
ˆ B
ˆ = |α|2 [ˆ
Cho Aˆ = αˆ
a+ và B
ˆ , theo đó A,
a, a
ˆ+ ] = |α|2 . Từ
(1.15) và (1.14), ta suy ra được
ˆ a (α) = exp −|α|2 /2 exp (αˆ
D
a+ ) exp (−α∗ a
ˆ)
= exp (αˆ
a+ − α ∗ a
ˆ)

(1.16)

= exp |α|2 /2 exp (−α∗ a
ˆ) exp (αˆ
a+ ) .
ˆ a (α) để tính toán sao
Ta có thể vận dụng một trong ba dạng này của D
cho thuận lợi nhất.

ˆ a (α), suy ra được
Tính chất 2: Vận dụng dạng thứ 2 trong (1.16) cho D
ˆ a (α) là toán tử chuẩn tắc (Unita) (được chứng minh ở phụ lục 3)
D
ˆ a+ (α) = D
ˆ a (−α) = D
ˆ a−1 (α) .
D

(1.17)

Hệ quả của tính chất này là vectơ trạng thái kết hợp được chuẩn hoá
ˆ a (α) |0 = 0 | 0 = 1.
ˆ a−1 (α) D
α | α = 0| D
15

(1.18)


ˆ ta luôn có ( được chứng minh ở phụ
Đối với hai toán tử bất kỳ Aˆ và B
lục 4)
α2 ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ

exp −αA B exp αA = B − α A, B +
A, A, B
2!

+ ... (1.19)

Ta thu được các phép biến đổi như sau (được chứng minh ở phụ lục 5)
ˆ a+ (α) a
ˆ a (α) = a
D
ˆD
ˆ + α,

(1.20)

ˆ a+ (α) a
ˆ a (α) = a
D
ˆ+ D
ˆ + + α∗ .

(1.21)

Các vế phải của biểu thức (1.20) và (1.21) theo thứ tự bị dịch đi một
lượng bằng α và α∗ so với các vế trái tương ứng. Do vậy, toán tử được
gọi là toán tử dịch chuyển. Các tính chất này được dùng nhiều trong các
tính toán lý thuyết.
Tính chất 3: (được chứng minh ở phụ lục 6)
αβ ∗ − α∗ β
ˆ

ˆ
ˆ
D (α) D (β) = D (α + β) exp
2

1.3.

Các tiêu chuẩn đan rối

1.3.1.

Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy

.

(1.22)

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu về điều kiện đan rối cho hệ
hai mode của Hillery-Zubairy [19]. Hai ông đã đưa ra một lớp bất đẳng
thức mà vi phạm của chúng chỉ ra sự hiện diện của đan rối trong các hệ
hai mode. Xét hai mode trường điện từ
ˆ1 = a
L
ˆˆb+ + a
ˆ+ˆb,
ˆ2 = i a
L
ˆˆb+ − a
ˆ+ˆb ,
trong đó a

ˆ và a
ˆ+ lần lượt là toán tử hủy và toán tử sinh của mode thứ
nhất, ˆb và ˆb+ lần lượt là toán tử hủy và toán tử sinh của mode thứ hai.
16


Tính phương sai của các toán tử rồi sau đó lấy tổng lại thì ta được
ˆ1
∆L

2

ˆ2
∆L

+

2

=2

(1.23)

2

ˆb + 1 N
ˆa − 2 a
ˆˆb+
N


ˆa + 1 N
ˆb +
N

,

ˆa = a
ˆb = ˆb+ˆb. Bây giờ ta xét trạng thái là tích của
trong đó N
ˆ+ a
ˆ và N
mode a trong trạng thái này với mode b trong trạng thái khác, ta có
ˆ1
∆L
=2

2

+

ˆ2
∆L

ˆa + 1
N

2

ˆb +
N


ˆb + 1
N
2

Bất đẳng thức Schwarz cho ta

a
ˆ

ˆb

ˆa và
≤ N

2

(1.24)

2

ˆb+

ˆa − 2 a
ˆ
N

.

ˆb . Trong

≤ N

trạng thái tích ta có
ˆ1
∆L

2

+

ˆ2
∆L

2

≥2

ˆb
ˆa + N
N

.

(1.25)

So sánh hai phương trình (1.25) với (1.24) ta được
ˆb ≥
ˆa N
N


a
ˆˆb+

2

.

(1.26)

Bất đẳng thức (1.26) cho ta điều kiện để một trạng thái hai mode bị rối
là
ˆa N
ˆb <
N

a
ˆˆb+

2

.

(1.27)

Thay cho việc xét toán tử a
ˆˆb+ chúng ta xét toán tử a
ˆmˆb+n , khi đó một
trạng thái gọi là đan rối nếu thỏa mãn điều kiện
a
ˆ+m a

ˆmˆb+nˆbn <
1.3.2.

a
ˆmˆb+n

2

.

(1.28)

Tiêu chuẩn độ đồng quy
Để định lượng độ rối của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1)

thêm một và bớt một photon ngoài tiêu chuẩn Hillery Zubairy bậc cao,
17


ta còn có thế định lượng độ rối bằng tiêu chuẩn độ đồng quy. Cho trạng
thái hai mode a và b:
|Ψ

ab

= N [µ |η a |γ b + υ |ζ

a |δ b ]

(1.29)


trong đó N là hệ số chuẩn hóa; µ, υ là số phức; ζ, η , γ , δ là các trạng
thái đã được chuẩn hóa của hai mode a và b. Định nghĩa độ đồng quy:
C=
trong đó: P1 = a η|ζ
Trạng thái |Ψ

1.4.

ab

2|µ||υ| (1 − |P1 2 |)((1 − |P2 2 |)
|µ|2 + |υ|2 + Re(µ∗ υP1 P2 ∗ )

a ,P2

,

(1.30)

= b δ|γ b .

đan rối nếu C > 0 và cực đại đan rối nếu C = 1.

Mô hình viễn tải lượng tử với các nguồn rối
hai mode

1.4.1.

Mô hình viễn tải lượng tử biến liên tục

Chúng tôi sử dụng mô hình viễn tải lượng tử liên tục Agarwal

[15], với các nguồn rối hai mode được biểu diễn dưới dạng các trạng thái
kết hợp để thực hiện quá trình viễn tải lượng tử. Hệ thống quá trình viễn
tải một trạng thái kết hợp gồm bên gửi thông tin và bên nhận thông
tin, hai người cùng nhau chia sẻ một trạng thái đan rối hai mode. Giả
sử bên gửi thông tin là Alice và bên nhận thông tin là Bob, cùng chia sẻ
trạng thái đan rối hai mode a và b, trong đó mode a dành cho Alice và
mode b dành cho Bob. Trạng thái |ψ

c

là trạng thái được viễn tải chứa

thông tin được mã hóa, tương ứng với mode c được đưa vào Alice. Đầu
tiên Alice phải thực hiện phép đo thông tin về mức độ đan rối giữa trạng
thái biên độ trực giao Bell. Kết quả đo được tích hợp vào biến phức với
X là tổng tọa độ và P là hiệu xung lượng của các photon ứng với hai
18


mode a và b. Kết quả của phép đo này sẽ được gửi tới bên nhận là Bob
qua kênh thông tin cổ điển. Để thực hiện phép đo này, trước hết Alice
tổ hợp một trạng thái ba mode có dạng
|ψ

= |ψ

abc


ab |ψ c .

(1.31)

Tiếp theo, Alice sẽ thưc hiện phép đo trên hai mode a và c. Phép đo
trạng thái này thông qua trạng thái Bell có dạng như sau
|B (X, P )

ac

≡ |B (A)

ac ,

(1.32)

Việc đo mức độ rối chính là sự tổ hợp trạng thái Bell và trạng thái ba
mode. Sau quá trình đo, lúc này trạng thái lượng tử bên Alile sẽ là
|ψ

A

= ca B (X, P ) | ψ

ab |ψ c

= ca B (A) | ψ

ab |ψ c


(1.33)

Do Bob và Alice cùng chia sẻ với nhau một trạng thái đan rối nên Bob
cũng có dạng tương tự
|ψ

B

= ca B (A) | ψ

ab |ψ c

(1.34)

Đây chính là trạng thái trước khi Bob nhận được bằng thông tin cổ điển
do Alice gửi, ta viết lại |ψ
|ψ
với Tˆ (A) =
|ψ

B

ca

B

B

như sau


= ca B (A) | ψ

B (A) | ψ

ab |ψ c

ab |ψ c

= Tˆ (A) |ψ c ,

(1.35)

được gọi là toán tử viễn tải. Lúc này

là một phiên bản của trạng thái vào |ψ c , tuy nhiên nó không giống

với bản gốc ban đầu do bị xê dịch bởi phép đo trên. Sau khi nhận được
kết quả đo từ Alice thông qua kênh cổ điển, Bob sẽ sử dụng thông tin
này cùng với trạng thái của mình để tái tạo lại trạng thái ban đầu |ψ

c

bằng cách sử dụng phép đổi Unita theo biến phức A. Đặt β = g2A với
g là hệ số điều khiển dùng để hoàn thiện độ trung thực viễn tải, trạng
thái ra của bản gốc sau khi viễn tải là
|ψ

out

ˆ (β) |ψ

=D

B

ˆ (β) Tˆ (A) |ψ .
=D
c

19

(1.36)


Khi đó, phân bố xác suất đo độ đan rối giữa mode a và mode c
ρ (A) = ψA | ψA = ψB | ψB

= Tˆ (A) |ψ

2
c

.

(1.37)

Chú ý rằng phân bố xác suất cũng phải được chuẩn hóa. Độ trung thực
F (A) được định nghĩa là sự chồng chập của trạng thái vào và trạng thái
ra, có dạng
F (A) =


1
|in ψ | ψ
ρ (A)

2
out | =

1
ρ (A)

c

ˆ (B) Tˆ (A) ψ
ψ| D

2
c

.

(1.38)

Một quá trình viễn tải được xem là hoàn hảo nếu trạng thái đầu ra và
trạng thái đầu vào là như nhau. Tuy nhiên, do tính chất đan rối không
hoàn toàn ở hai trạng thái của Alice và Bob, cũng như do việc đo lường
nên trên thực tế Fav luôn có giá trị nhỏ hơn 1. Để tiện cho việc tính
toán, người ta đưa vào độ trung thực trung bình Fav có dạng như sau
d2 AF (A) ρ (A) =

Fav =

=

c

ˆ (B) Tˆ (A) ψ
ψ| D

|in ψ | ψ
2
c

2
out | d A

d2 A.

(1.39)

Tiêu chí thành công cho quá trình viễn tải lượng tử sẽ dựa vào độ trung
thực trung bình Fav . Quá trình viễn tải được xem như hoàn hảo sẽ đạt
được nếu Fav = 1, quá trình viễn tải được đánh giá là thành công khi
thỏa mãn Fav ≥ 1/2.
1.4.2.

Trạng thái Bell với quá trình viễn tải lượng tử
Việc đo mức độ rối giữa hai mode a và c là một bước quan

trọng và không thể thiếu trong quá trình viễn tải lượng tử, nó giúp cho
bên B xác định thông tin về trạng thái mà bên A thực hiện viễn tải.
Trạng thái Bell là trạng thái trực giao nên sẽ cho mức độ đan rối cao

nhất, do đó việc thiết lập trạng thái Bell sẽ làm cho mức độ đan rối giữa
trạng thái cần viễn tải và trạng thái làm nguồn cao nhất, làm tăng hiệu
20


quả của quá trình viễn tải. Giả sử thông số cần đo của trường đa mode
là các trị riêng của toán tử biên độ trực giao
a
ˆ−a
ˆ+
a
ˆ+a
ˆ+
, pˆ =
,
xˆ =
2
2i

(1.40)

trong đó a
ˆ và a
ˆ+ lần lượt là toán tử hủy và sinh photon của trường. Theo
nguyên lý phép đo Newmann, kết quả đo được là trị riêng của trạng thái
tương ứng
xˆ ||X = X ||X , pˆ ||P = P ||P .

(1.41)


Kí hiệu ||... là trạng thái riêng của toán tử. Các trạng thái riêng được
xây dựng tương ứng là
+∞

|Sq.vac.p = N (r)

Gr (x) |x dx,

(1.42)

Gr (y) |iy dy,

(1.43)

−∞
+∞

|Sq.vac.x = N (r)
−∞

Sq.vac. là nén chân không (Squeezed vacuum). Khi r → ∞ thì N (r) →
0, Gr (x) → 1, do đó trạng thái riêng tương ứng được xác định bởi
||P = 0 = lim |Sq.vac. p ,
r→0

(1.44)

||X = 0 = lim |Sq.vac. x .
r→0


Mật độ xác suất đo các đại lượng này phải được chuẩn hóa, do đó cần
bỏ đi hệ số

r/2

√e
,
e2r −1

các phương trình trên được viết lại là

1
||P = 0 = √ lim
π r→0
1
||X = 0 = √ lim
π r→0

+∞
−∞
+∞
−∞

1
dxGr (x) |x = √
π
1
dyGr (y) |iy = √
π


+∞

dx |x ,

(1.45)

−∞
+∞

dy |y .

(1.46)

−∞

Giả sử mode a và mode c được đưa vào máy đo, toán tử trực giao xˆ là
của mode c, pˆ là của mode a, trị riêng cần đo là X, P . Trạng thái của
kết quả đo cho mode a và mode c là
|ΨX,P = X

c

P

a

1
=
π


+∞
−∞

dxe−i(xP −yX) |X + iy c |x + iP a . (1.47)
21


Sử dụng tính chất chồng chéo của các trạng thái vào |α c |β a trạng thái
√
√
sau khi đo sẽ là (α + β) / 2 (β − α) / 2 a . Do đó trạng thái đo mức
độ dan rối được xác định là trạng thái Bell có dạng
+∞

|B(X, P )

ac

=
−∞

dx −i(xP −yX) x + iy + X + iP x − iy − X + iP
√
√
e
|
|
a.
π
2

2
(1.48)

Đưa vào hai biến phức
x + iy
√ ,
2
X + iP
A= √
,
2
γ=

với dxdy = 2d2 γ, nên
|B(X, P )
Hệ số

√

2
= √
π π

ac

exp(Aγ ∗ − A∗ γ)|γ ∗ − A∗ a |γ + A c d2 y. (1.49)

π được đưa vào nhằm chuẩn hóa xác suất đo theo giá trị biến

phức A, có nghĩa là

P (A)d2 A =

||B(X, P )ac |2 d2 A = 1.

(1.50)

Nếu A = 0 thì
|B (0, 0)

ac

2
= √
π π

|γ ∗ a |γ c d2 y.

(1.51)

Đây là trạng thái nén chân không hai mode. Biến đổi phương trình (1.66)
ta có
|B (X, P )

ac

2
ˆ c (2A) √
=D
π π


|γ ∗ a |γ c d2 y.

(1.52)

Từ (1.68) và (1.69), trạng thái Bell được viết lại như sau
|B (X, P )

ac

ˆ c (2A) |B (0, 0)
=D

ac

22

2 ˆ
= √ D
c (2A)
π π

d2 γ|γ ∗ a |γ c .