ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU HẰNG

ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ
VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(1,1)
THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON LẺ

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số

: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC

Thừa Thiên Huế, năm 2018


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU HẰNG

ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ
VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(1,1)
THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON LẺ

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số

: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC

Thừa Thiên Huế, năm 2018

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ
một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 10 năm 2018
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thu Hằng

ii


LỜI CẢM ƠN


Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trương Minh Đức đã tận tình hướng
dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoa
Vật Lý và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại
học Huế; các bạn học viên Cao học khóa 25 cùng gia đình, bạn bè đã
động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập
và thực hiện luận văn.
Huế, tháng 10 năm 2018
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thu Hằng

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii


Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1. Trạng thái kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


9

1.1.2. Các tính chất của trạng thái kết hợp . . . . . . . . .

11

1.1.3. Trạng thái kết hợp chẵn và lẻ . . . . . . . . . . . . .

15

1.2. Tính chất của toán tử dịch chuyển . . . . . . . . . . . . .

19

1.3. Các tiêu chuẩn đan rối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3.1. Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy . . . . . . . . . .

21

1.3.2. Tiêu chuẩn Độ đồng quy . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.4. Mô hình viễn tải lượng tử với các nguồn rối hai mode . . .

23


1.5. Trạng thái Bell với quá trình viễn tải lượng tử . . . . . . .

25

Chương 2. KHẢO SÁT TÍNH CHẤT ĐAN RỐI . . . .

29

2.1. Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một
photon lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.1.1. Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) . . . . . . . .

29

2.1.2. Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và
bớt một photon lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

34


2.2. Khảo sát tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp
SU(1,1) thêm một và bớt một photon lẻ . . . . . . . . . .

38


2.3. Định lượng độ rối theo tiêu chuẩn Độ đồng quy . . . . . .

46

Chương 3. KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH VIỄN TẢI LƯỢNG
TỬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.1. Quá trình viễn tải lượng tử với nguồn rối là trạng thái hai
mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon lẻ . .

52

3.2. Độ trung thực trung bình của quá trình viễn tải lượng tử

57

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1

2



DANH SÁCH HÌNH VẼ
Đồ thị 2.1 Sự phụ thuộc của tham số đan rối R1 vào r với giá
trị q = 1, q = 2, q = 3 và k thuộc khoảng giá trị (0;2). 44
Đồ thị 2.2 Sự phụ thuộc của tham số đan rối R1 vào r với giá
trị q = 6, q = 7, q = 8 và k thuộc khoảng giá trị (0;3). 45
Đồ thị 2.3 Sự phụ thuộc của Độ đồng quy C vào r. . . . . . .

50

Đồ thị 2.4 Sự phụ thuộc của Độ đồng quy C vào r. . . . . . .

51

Đồ thị 3.1 Khảo sát độ trung thực trung bình Fav theo r. . .

63

3


MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, các nước phát triển trên thế giới đang có cuộc chạy đua
sôi động trong lĩnh vực thông tin lượng tử. Các chuyên gia hàng đầu thế
giới nhận định: nước nào sớm chiếm lĩnh được lĩnh vực thông tin lượng
tử sẽ là nước chiếm thế thượng phong giữa các quốc gia. Sự ra đời của
ngành khoa học mới thông tin lượng tử vừa là thời cơ, vừa là thách thức
và cũng có thể là hiểm họa đối với sự phát triển của một số quốc gia
kém phát triển. Cụ thể là thông tin lượng tử sẽ được truyền đi với tốc

độ cực nhanh đồng thời vẫn đảm bảo được tính chất và tính bảo mật
của thông tin một cách tuyệt đối. Với lĩnh vực tính toán, nếu áp dụng
lý thuyết thông tin lượng tử sẽ cho ra đời thế hệ máy tính có tốc độ xử
lý nhanh hơn bất kỳ một máy tính cổ điển nào, và việc bảo mật thông
tin trở nên an toàn tuyệt đối. Vì thế, việc xử lý thông tin lượng tử là
một vấn đề mới, rộng lớn và có tính bao quát. Việc truyền tải thông tin
thông qua việc sử dụng tính chất đan rối được gọi là viễn tải lượng tử.
Đó là một quá trình dịch chuyển thông tin cũng như vật chất tức thời,
mà không phải dịch chuyển qua không gian, được thực hiện bằng cách
giải mã một vật ở thời điểm này rồi gửi thông tin phân tử tới điểm khác,
nơi vật sẽ được tái tạo lại cấu trúc ban đầu. Viễn tải lượng tử có thể
được khai thác để làm cho máy tính lượng tử, mạng lưới viễn thông trở
nên nhanh và mạnh hơn. Do đó, các nhà khoa học đã và đang tập trung
vào khai thác rối lượng tử để nghiên cứu viễn tải lượng tử, sau đó tìm
ra nguồn rối có độ trung thực trung bình cao nhất là một trong những
hướng nghiên cứu đầy tiển vọng của ngành vật lý lý thuyết nói riêng,
vật lý nói chung và cũng như ngành khoa học máy tính.
4


Năm 1963, Glauber và Shudarshan đã đưa ra khái niệm về trạng
thái kết hợp [17],[23], đây là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ
nhất được suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg. Trạng thái SU(1,1) đã
được Perelomov tìm ra vào năm 1972 [22]. Khi q = 0 trạng thái này trở
thành trạng thái nén chân không hai mode [15].
Đối với nước Việt Nam chúng ta, vấn đề thông tin lượng tử nói
chung rất được quan tâm. Từ năm 2011, học viên Lê Thị Thu đã khảo
sát tính đan rối và chuyển vị lượng tử với trạng thái kết hợp hai mode
thêm photon [6]; năm 2013, học viên Lê Thị Thủy đã khảo sát tính đan
rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode SU(1,1) [7]; năm 2014,

học viên Nguyễn Thị Kim Thanh đã khảo sát tính đan rối và viễn tải
lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích
[5]; năm 2015, học viên Trần Thị Thanh Tâm đã khảo sát tính đan rối
và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon
chẵn [4]; năm 2016, học viên Lê Thị Mai Phương đã nghiên cứu tính đan
rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn [3];
năm 2017, học viên Nguyễn Thị Phương Ni đã nghiên cứu định lượng độ
rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon
tích SU(2) chẵn [2]; năm 2017 có nghiên cứu sinh Đặng Hữu Định với
khảo sát các tính chất phi cổ điển và vận dụng các trạng thái phi cổ điển
vào thông tin lượng tử trong luận án tiến sĩ vật lý [1].
Như vậy, vấn đề về rối lượng tử đang là một vấn đề thú vị và thu
hút được sự chú ý hiện nay bởi còn nhiều điều chưa được khám phá và
những ứng dụng cực kỳ to lớn của nó. Việc khảo sát về trạng thái đan
rối và viễn tải lượng tử đã được một số tác giả nghiên cứu [11], [24], [25],
[26] nhưng vẫn chưa có đề tài nào nghiên cứu về định lượng độ rối và
viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và

5


bớt một photon lẻ. Được sự hướng dẫn của Thầy giáo PGS.TS Trương
Minh Đức, tôi quyết định chọn đề tài “Định lượng độ rối và viễn tải
lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một
photon lẻ” làm đề tài luận văn cho mình.
II. Mục tiêu của đề tài
Mục tiêu của đề tài này là khảo sát tính chất đan rối và định lượng
độ rối của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một
photon lẻ bằng các tiêu chuẩn đan rối. Tiếp theo, tôi sử dụng trạng thái
này làm nguồn rối để thực hiện quá trình viễn tải lượng tử một trạng

thái kết hợp và đánh giá mức độ thành công của quá trình viễn tải thông
qua độ trung thực trung bình.
III. Phạm vi nghiên cứu
Trong luận văn này, tôi sẽ sử dụng tiêu chuẩn Độ đồng quy để định
lượng độ rối, tiêu chuẩn đan rối Hillerry- Zubairy để nghiên cứu tính
đan rối và viễn tải lượng tử một trạng thái kết hợp [1], [12], [25]. Sau
đó, sử dụng mô hình viễn tải biến liên tục để thực hiện quá trình viễn
tải với nguồn rối là trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và
bớt một photon lẻ.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài chủ yếu tập trung vào các nội dung sau:
- Nghiên cứu lý thuyết, phân tích tổng hợp các kiến thức liên quan
như: trạng thái kết hợp, các tiêu chuẩn đan rối, mô hình viễn tải lượng
tử với các nguồn rối hai mode, trạng thái Bell với quá trình viễn tải
lượng tử.
6


- Sử dụng tiêu chuẩn đan rối Hillerry-Zubairy để khảo sát tính đan
rối của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon
lẻ.
- Nghiên cứu định lượng độ rối theo tiêu chuẩn Độ đồng quy.
- Áp dụng mô hình viễn tải: tọa độ, xung lượng để thực hiện quá
trình viễn tải lượng tử với nguồn rối là trạng thái hai mode kết hợp
SU(1,1) thêm một và bớt một photon lẻ và đưa ra độ trung thực trung
bình của quá trình viễn tải rồi khảo sát trên đồ thị.
V. Phương pháp nghiên cứu
Một số phương pháp được chúng tôi sử dụng như sau:
- Phương pháp chung gồm nghiên cứu lý thuyết, phân tích, tổng
hợp các kiến thức liên quan.

- Sử dụng kiến thức về lý thuyết trường lượng tử phương pháp
quang lượng tử cho hệ nhiều hạt để giải các bài toán liên quan đến đề
tài nghiên cứu.
- Phương pháp tính số và sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ
đồ thị.
- Phương pháp so sánh, kiểm chứng.
VI. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
làm 3 phần:
Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, lịch sử vấn đề, mục tiêu
nghiên cứu, nội dung nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vi
nghiên cứu, bố cục luận văn.
Phần nội dung gồm 3 chương:
7


Chương 1: Trình bày các cơ sở lý thuyết.
Chương 2: Trình bày về khảo sát tính đan rối của trạng thái hai
mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon lẻ.
Chương 3: Trình bày quá trình viễn tải lượng tử với nguồn rối là
trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon lẻ.
Phần kết luận trình bày các kết quả đạt được.

8


NỘI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Những kiến thức tổng quan về trạng thái kết hợp, trạng thái

Fock, toán tử dịch chuyển sẽ được chúng tôi đưa ra trong chương
này nhằm hình thành một nền tảng kiến thức cho việc nghiên
cứu các chương sau. Bên cạnh đó, chúng tôi sẽ trình bày tiêu
chuẩn đan rối Hillery-Zubairy, định lương độ rối theo tiêu chuẩn
Độ đồng quy, cũng như mô hình viễn tải biến liên tục để áp
dụng vào việc khảo sát tính đan rối, định lượng độ rối và viễn
tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một
và bớt một photon lẻ.

1.1.

Trạng thái kết hợp

1.1.1.

Khái niệm
Trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất suy ra từ hệ

thức bất định Heisenberg và được đưa ra năm 1963 bởi Glauber [17] và
Shudarshan [24] được gọi là trạng thái kết hợp, ký hiệu là |α với α là
một số phức. Như vậy, trạng thái kết hợp là trạng thái được tạo ra bằng
ˆ (α) lên trạng thái chân không (là
cách tác dụng toán tử dịch chuyển D
trạng thái mà tại đó không có hạt nào được kích thích và được kí hiệu
|0 ) của trường điện từ, nghĩa là
ˆ (α) |0 ,
|α = D

9


(1.1)


ˆ (α) = exp (αˆ
với D
a+ − α∗ a
ˆ) là toán tử dịch chuyển của toán tử a
ˆ, với
α = r exp (iϕ) là tham số kết hợp, r và ϕ lần lượt là biên độ và pha kết
hợp, a
ˆ+ , a
ˆ lần lượt là toán tử sinh, hủy hạt boson của trường điện từ.
Vậy chúng tôi biểu diễn trạng thái kết hợp như sau
|α = exp αˆ
a+ − α ∗ a
ˆ |0 .
ˆ B
ˆ là hai toán tử bất kỳ tôi áp dụng đồng nhất thức Baker –
Với A,
Hausdorff thì sẽ được kết quả
ˆ B
ˆ
ˆ = exp Aˆ exp B
ˆ exp − 1 A,
exp Aˆ + B
2

,

(1.2)


thực hiện khai triển toán tử dịch chuyển dưới dạng
1 +
ˆ
D(α)
= exp(αˆ
a+ − α ∗ a
ˆ) = exp(αˆ
a+ ) exp(−α∗ a
ˆ) exp(− [αˆ
a , −α∗ a
ˆ]).
2
(1.3)
Mặt khác, áp dụng khai triển chuỗi Taylor
exp αˆ
a

+

a+ )2
(αˆ
a+ ) (αˆ
+
+ ... =
=1+
1!
2!

∞


(αˆ
a+ )n
,
n!

(1.4)

(−α∗ a
ˆ)n
.
n!

(1.5)

n=0

và
(−α∗ a
ˆ) (−α∗ a
ˆ)2
exp (−α a
ˆ) = 1 +
+
+ ... =
1!
2!

∞


∗

n=0

Ở đây, toán tử sinh hạt a
ˆ+ và toán tử hủy hạt a
ˆ tuân theo hệ thức giao
hoán
a
ˆ, a
ˆ+ = a
ˆa
ˆ+ − a
ˆ+ a
ˆ = 1,
[ˆ
a, a
ˆ] = a
ˆ+ , a
ˆ+ = 0.
Thay biểu thức trên vào (1.4) và (1.5) thì chúng tôi dễ dàng có được kết
quả
1 +
1
1
a , −α∗ a
ˆ]) = exp(− |α|2 [ˆ
a, a
ˆ+ ]) = exp(− |α|2 ).
exp(− [αˆ

2
2
2
10

(1.6)


Ngoài ra, chúng ta cũng có
∞
∗

exp(−α a
ˆ)|0 =
n=0

(−1)n α∗n n
α∗2 2
∗
a
ˆ |0 = (1 − α a
ˆ+
a
ˆ + ...)|0 = |0 .
n!
2!
(1.7)

Thay (1.7) vào (1.1), thì kết quả thu được sẽ là
|α = D (α) |0

=
n

=
n

1
(αˆ
a+ )n
exp − |α|2 |0
n!
2
αn (ˆ
1
a+ )n
√ √ exp − |α|2 |0 ,
2
n! n!

(1.8)

n

ở đây |n =

(ˆ
a+ )
√
n!


|0 là vectơ trạng thái chứa n hạt boson hay còn gọi

là trạng thái Fock và |0 là vectơ trạng thái chân không của hệ hạt. Do
vậy, trạng thái kết hợp có thể được biểu diễn
1
|α = exp − |α|2
2

∞

n=0

αn
√ |n .
n!

(1.9)

Từ đây ta suy ra được trạng thái kết hợp được biểu diễn ở chỗ nó là
trạng thái riêng của toán tử hủy photon (được chứng minh ở phụ lục 1)
a
ˆ |α = α |α .

(1.10)

Lấy liên hợp Hermite của biểu thức (1.10) thì kết quả thu được sẽ là
α| a
ˆ+ = α∗ α| .

(1.11)


Tóm lại, trạng thái kết hợp α| a
ˆ+ có chứa photon không xác định và
toán tử hủy không làm thay đổi trạng thái này.
1.1.2.

Các tính chất của trạng thái kết hợp

Tính chất 1: Trạng thái kết hợp |α có phân bố số hạt tuân theo
phân bố Poisson, nghĩa là số hạt trung bình của trạng thái kết hợp |α
11


chính bằng bình phương biên độ kết hợp r, tức là
n
ˆ = r2.

(1.12)

Để chứng minh (1.12) chúng tôi xét
ˆ+ a
ˆ α .
n
ˆ = α |ˆ
n| α = α a
Mặt khác, chúng tôi có
a
ˆ |α = α |α ,
α| a
ˆ+ = α| α∗ ,

α = r exp (iϕ) .
Chính vì thế
n
ˆ = α|α∗ α|α = |α|2 = r2 .
Lúc này, phân bố Poisson chính là xác suất p (n) để tìm n hạt boson ở
trạng thái |α , hay là
p (n) = n| α α| n
|α|2n exp −|α|2
=
n

=

n

n!
exp (− n
ˆ )
.
n!

(1.13)

Tính chất 2: Tập hợp tất cả các trạng thái |α là một tập hợp đủ
1
π

|α α| d2 α = 1.

Để chứng minh tính chất 2, chúng tôi xét

∞
2

|α α| d α =

2

−|α|

e

n=0

α = reiϕ ,

12

αn
√ |n
n!

∞

(α∗ )m
√
m| d2 α,
m!
m=0

(1.14)



áp dụng tọa độ cực ta được d2 α = rdrdϕ,
hay là
∞
2

|α α| d α =

2π

rdr
0

∞

rn+m ei(n−m)ϕ
√ √
|n m| ,
n!
m!
n,m=0

−r2

dϕ e
0

2π


ei(n−m)ϕ dϕ = 2πδmn , nên ta có

ở đây
0

∞
2

|α α| d α = 2π

∞

rdr

e

|n n|

∞

∞

2π
=
|n n|
n!
n=0
∞

2n


n!

n=0

0

Áp dụng tích phân Poison I =

−r2 r

2

e−r r2n+1 dr.
0

2

e−r r2n+1 dr =

0

n!
2

|α α| d2 α = π,
Thay biểu thức trên vào (1.14), như vậy chúng ta đã chứng minh được
tính chất 2,
1
π


∞
2

|α α| d α =

|n n| = 1.
n=0

Tính chất 3: Các trạng thái kết hợp thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa
α|α = 1 , nhưng chúng lại không trực giao với nhau, tức là α = β thì
α|β = 0.
Để chứng minh tính chất 3, chúng tôi đi từ định nghĩa trạng thái
kết hợp |α ,
1
α| = exp − |α|2
2
1
|β = exp − |β|2
2
13

∞

n=0
∞

(α∗ )n
√
n| ,

n!

βm
√ |m .
m!
m=0


Từ biểu thức trên ta dễ dàng thu được
∞

∞

∞

m
∞

1
1
α|β = exp(− |α|2 ) exp(− |β|2 )
2
2
n=0
1
1
= exp(− |α|2 ) exp(− |β|2 )
2
2
n=0

∞

m
n
∗
n

(α∗ )n β m
√ √
n|m
n! m!
(α∗ )n β m
√ √ δnm
n! m!

1
(α ) β
1
= exp(− |α|2 − |β|2 )
2
2
n!
n=0

1
1
= exp(− |α|2 − |β|2 ) exp α∗ β
2
2
1

1
= exp(− |α|2 − |β|2 + α∗ β) = 0.
2
2
mà hệ quả của sự không trực giao nhau là bất kì trạng thái kết hợp nào
cũng có thể khai triển theo các trạng thái kết hợp khác, hay ta có thể
viết lại
|α, =
=

1
π
1
π

|α α|α, d2 α
2

d α |α exp

− 12 |α|2

, ∗

+αα −

1 , 2
2 |α |

(1.15)

.

Biểu thức (1.15) cho ta thấy rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp
tạo thành hệ quá đủ.
Tính chất 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái tương ứng với độ bất
định nhỏ nhất, được suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg.
Thật vậy trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định cực tiểu,
ở đây chúng tôi đưa vào hai đại lượng X, P không thứ nguyên và được
ˆ và Pˆ được định nghĩa
biểu diễn thông qua hai toán tử tương ứng là X
như sau
ˆ=
X

mω

xˆ, Pˆ =

pˆ,
mω
với x và p là các đại lượng có thứ nguyên tương ứng với tọa độ và xung
ˆ và Pˆ được biểu diễn thông qua các toán tử
lượng. Còn các toán tử X
sinh, hủy photon của trường điện từ dưới dạng
1 +
i +
xˆ =
a
ˆ +a
ˆ , pˆ =

a
ˆ −a
ˆ .
2
2
14


ˆ và Pˆ là các toán tử Hermite nên chúng tương ứng với các đại
Mà X
lượng vật lý đo được. Chính vì thế, ta có thể tính được phương sai của
mỗi đại lượng.
ˆ
Xét phương sai của X
ˆ2 α −
α|(∆X)2 |α = α X

2

ˆ α
α X

1
1
2
2
ˆ+ + a
ˆ α −
ˆ+ + a
ˆ α

α a
α a
4
4
1 ∗2
1 ∗2
=
α + α2 + 2|α|2 + 1 −
α + α2 + 2αα∗
4
4
1
= .
4
Tương tự với phương sai của Pˆ
=

α|(∆P )2 |α = α Pˆ 2 α −

α Pˆ α

2

1
1
2
α a
ˆ+ − a
ˆ α +
4

4
1
= − α∗ 2 + α2 − 2|α|2 − 1
4
1
= .
4
ˆ và phương sai của
Lấy tích phương sai của X
=−

α|(∆X)2 |α

α a
ˆ+ − a
ˆ α
+

2

1 ∗2
α + α2 − 2αα∗
4

Pˆ thì ta được kết quả

α|(∆P )2 |α =

1
.

16

(1.16)

Giá trị này là giá trị nhỏ nhất tương ứng với hệ thức bất định Heisenberg.
Vì thế, các trạng thái kết hợp là trạng thái cho phép thực hiện các phép
ˆ và Pˆ với sai số nhỏ nhất. Khi đó, hệ thức
đo đồng thời hai toán tử X
(1.16) gọi là giới hạn lượng tử chuẩn. Và đây cũng chính là tính chất
quan trọng nhất của trạng thái kết hợp.
1.1.3.

Trạng thái kết hợp chẵn và lẻ
Năm 1973, Dodonov và cộng sự lần đầu tiên đưa ra bằng lý

thuyết trạng thái kết hợp chẵn và trạng thái kết hợp lẻ. Từ biểu thức của
15


ˆ α (α) |0 với D
ˆ α (α) là toán tử dịch chuyển,
trạng thái kết hợp |α = D
chúng tôi định nghĩa trạng thái kết hợp chẵn
|α

ch

ˆ α (α) + D
ˆ α (−α) |0 ,
= Cch (|α + |−α ) = Cch D


(1.17)

tương tự với trạng thái kết hợp lẻ
ˆ α (α) − D
ˆ α (−α) |0 .
|α l = Cl (|α − |−α ) = Cch D
Từ (1.17) và (1.18), dễ dàng nhận thấy |α

ch

(1.18)

là hàm chẵn và |α l là hàm

lẻ theo α, hay nói cách khác
|α

= |−α

ch

|α l = −|−α l .

ch ,

(1.19)

Áp dụng trạng thái Fock để biểu diễn (1.18) và (1.19)
∞


|α

ch

∞

αn

2

= Cch exp −|α| /2

|n + exp −|α| /2

(n)!

n=0
∞

(2n)!

n=0

(n)!

n=0

α2n


= 2Cch exp −|α|2 /2

−αn

2

|n

|2n .
(1.20)

∞
2

|α l = Cl exp −|α| /2

n=0

2

(n)!

n=0
∞

= 2Cl exp −|α|2 /2

∞

αn

α

|n − exp −|α| /2
n=0

−αn
(n)!

|n

2n+1

(2n + 1)!

|2n + 1 .
(1.21)

Như vậy, khi biểu diễn sang trạng thái Fock thì các trạng thái kết hợp
chẵn (lẻ) là tổ hợp của các trạng thái ứng với số hạt chẵn (lẻ). Tiếp tục
tiến hành chuẩn hóa các trạng thái kết hợp chẵn chúng ta được
∞
ch

α|α

ch

=

2

4Cch
exp

2

−|α|

n=0

(αα∗ )2n
2n | 2n
(2n)!

2
= 4Cch
exp −|α|2 cosh |α|2 = 1.

16


Từ đó, ta tính toán được kết quả
Cch =

1
2

exp |α|2 / cosh |α|2 .

Tính toán tương tự cho trạng thái kết hợp lẻ
Cl =


1
2

exp |α|2 / sinh |α|2 .

Từ đây, chúng ta dễ dàng rút ra một số tính chất của các trạng thái kết
hợp chẵn và kết hợp lẻ như sau
a) Các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ không trực giao với
nhau nhưng các trạng thái kết hợp chẵn lại trực giao với các trạng thái
kết hợp lẻ.
Để chứng minh tính chất trên chúng tôi xét
ch

α|β

ch

1
1
=4Cch (α) Cch (β) exp − |α|2 exp − |β|2
2
2
∞

∞

×
n=0 m=0


β 2m
(2m)!

α∗2n
(2n)!

2n | 2m

1
1
=4Cch (α) Cch (β) exp − |α|2 exp − |β|2
2
2
1
1
=4Cch (α) Cch (β) exp − |α|2 exp − |β|2
2
2

∞

∞

n=0 m=0
∞
∗
n=0

β 2m
(2m)!


α∗2n
(2n)!

(α β)2n
(2n)!

1
1
=4Cch (α) Cch (β) exp − |α|2 exp − |β|2 cosh (α∗ β) .
2
2
Chúng tôi tiến hành tính toán tương tự với trường hợp trạng thái lẻ
l

1
1
α | β l = 4Cl (α) Cl (β) exp − |α|2 exp − |β|2 sinh (α∗ β) .
2
2

17

δnm


Ngoài ra, chúng ta cũng có
α|β

ch


l

1
1
=4Cch (α) Cl (β) exp − |α|2 exp − |β|2
2
2
∞

∞

α∗2n

β 2m+1

×

(2m + 1)!

n=0 m=0

(2n)!

2n | 2m + 1 = 0.

Từ các kết quả trên tôi có thể đưa ra trường hợp tổng quát
i

α|α


= δij ,

j

i, j = ch, l.

(1.22)

b) Các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ có thể được chuyển đổi qua
lại lẫn nhau bằng cách tác dụng toán tử hủy a
ˆ lên chúng.
Để chứng minh tính chất này, tôi xét
|α|2
a
ˆ |α = 2Cch exp −
2
2

|α|
= 2Cch exp −
2

∞

n=0
∞

n=0
2


Cl
|α|
= 2αCch exp −
Cl
2
=

α2n
(2n)!

a
ˆ |2n

α2n √
(2n)!
∞

n=0

2n |2n − 1

α2n−1
(2n − 1)!

√

2n |2n − 1

Cch

α|α l .
Cl

Thực hiện tính toán tương tự chúng tôi thu được kết quả
a
ˆ|α l =

Cl
α|α
Cch

ch .

(1.23)

Kết quả này cho chúng ta biết được toán tử hủy a
ˆ có tác dụng như là
một toán tử quay giữa |α

ch

và |α l .

c) Khác với các trạng thái kết hợp là hàm riêng của a
ˆ, các trạng
thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ là hàm riêng của a
ˆ2 ứng với các trị riêng
α2 .
18



Để chứng minh tính chất này chúng tôi xét
2

a
ˆ |α

ch

∞

|α|2
= 2Cch exp −
2

(2n)!

n=0
∞

2

= 2Cch exp −

α2n

|α|
2

α2n

(2n)!

n=0
2

|α|
= 2α Cch exp −
2

∞

2

= α2 |α

n=0

|2n
(2n) (2n + 1) |2n − 2

α2n−2
(2n − 2)!

|2n − 2

ch .

Chúng tôi tính toán tương tự cho trường hợp trạng thái lẻ
a
ˆ2 |α l = α2 |α l .


(1.24)

d) Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ tạo thành
một hệ đủ, nghĩa là
1
π

1.2.

|α

jj

α| d2 α = 1.

(1.25)

j=ch,l

Tính chất của toán tử dịch chuyển

Tính chất 1: Áp dụng công thức Baker-Hausdorff lên hai
ˆ ta có
toán tử bất kỳ Aˆ và B,
ˆ B
ˆ , Aˆ =
A,

ˆ B

ˆ ,B
ˆ = 0.
A,

Ta dễ dàng chứng minh được công thức sau (được chứng minh phụ lục
2)
ˆ B
ˆ = exp − A,
ˆ B
ˆ /2 exp Aˆ exp B
ˆ ,
exp A,
= exp

ˆ B
ˆ /2 exp B
ˆ exp Aˆ .
A,

19

(1.26)


ˆ = −α∗ a
ˆ B
ˆ = |α|2 [ˆ
Nếu ta xét Aˆ = αˆ
a+ và B
ˆ , thì A,

a, a
ˆ+ ] = |α|2 .
Thay vào biểu thức (1.3) và (1.26), chúng tôi suy ra được
ˆ a (α) = exp −|α|2 /2 exp αˆ
D
a+ exp (−α∗ a
ˆ)
= exp αˆ
a+ − α ∗ a
ˆ

(1.27)

= exp |α|2 /2 exp (−α∗ a
ˆ) exp αˆ
a+ .
Đối với từng trường hợp cụ thể mà chúng ta có thể vận dụng một trong
ˆ a (α) để tính toán sao cho thuận lợi nhất.
ba dạng này của D
ˆ a (α) là toán
Tính chất 2: Từ dạng thứ 2 trong (1.27) cho ta biết D
tử chuẩn tắc (Unita) (được chứng minh phụ lục 3), hay
ˆ a+ (α) = D
ˆ a (−α) = D
ˆ a−1 (α) .
D

(1.28)

Từ tính chất này ta thu được hệ quả là vectơ trạng thái kết hợp được

chuẩn hoá
ˆ a−1 (α) D
ˆ a (α) |0 = 0 | 0 = 1.
α | α = 0| D

(1.29)

ˆ ta luôn có (được chứng minh
Như vậy, đối với hai toán tử bất kỳ Aˆ và B
phụ lục 4)
2
ˆ A,
ˆ B
ˆ
ˆ exp αAˆ = B
ˆ − α A,
ˆ B
ˆ + α A,
exp −αAˆ B
2!

+ ... (1.30)

Chúng ta dễ dàng thu được các phép biến đổi như sau (được chứng minh
phụ lục 5)
ˆ a+ (α) a
ˆ a (α) = a
D
ˆD
ˆ + α,


(1.31)

ˆ + (α) a
ˆ a (α) = a
D
ˆ+ D
ˆ + + α∗ .
a

(1.32)

Xét vế phải của biểu thức (1.31) và (1.32) theo thứ tự bị dịch đi một
lượng bằng α và α∗ so với các vế trái tương ứng. Chính vì thế, toán tử
này được gọi là toán tử dịch chuyển. Các tính chất này được dùng nhiều
trong các tính toán lý thuyết.
20


Tính chất 3: Chúng ta dễ dàng đưa ra được biểu thức thể hiện
tính chất 3 như sau (được chứng minh phụ lục 6)
αβ ∗ − α∗ β
ˆ
ˆ
ˆ
D (α) D (β) = D (α + β) exp
2

1.3.


Các tiêu chuẩn đan rối

1.3.1.

Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy

.

(1.33)

Hillery và Zubairy đã đưa ra tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy
vào năm 2006 [18]. Một lớp bất đẳng thức mà vi phạm của chúng chỉ ra
sự hiện diện của đan rối trong các hệ hai mode đã được đưa ra ở đây.
Và nó cũng chính là các bất đẳng thức phát sinh từ việc kiểm tra các hệ
thức bất định. Cụ thể, xét hai mode trường điện từ
ˆ1 = a
L
ˆˆb+ + a
ˆ+ˆb,
ˆ2 = i a
L
ˆˆb+ − a
ˆ+ˆb ,
với a
ˆ và a
ˆ+ lần lượt là toán tử hủy và toán tử sinh của mode thứ nhất,
ˆb và ˆb+ lần lượt là toán tử hủy và toán tử sinh của mode thứ hai. Thực
hiện tính phương sai của các biến,rồi cộng lại ta được
2


ˆ1
∆L
=2

+

ˆ2
∆L

2

ˆb + 1 N
ˆa − 2 a
N
ˆˆb+

ˆa + 1 N
ˆb +
N

(1.34)

2

,

ˆa = a
ˆb = ˆb+ˆb. Tiếp theo, ta xét trạng thái là tích của mode
với N
ˆ+ a

ˆ và N
a trong trạng thái này với mode b trong trạng thái khác
ˆ1
∆L
=2

2

+

ˆa + 1
N

ˆ2
∆L

2

ˆb +
N

,
ˆb + 1
N

21

ˆa − 2 a
N
ˆ


ˆb+

(1.35)

2

.