ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN ĐẮC NHÂN

ĐỊNH LÝ LIOUVILLE CHO HÀM f -ĐIỀU HÒA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Thừa Thiên Huế, năm 2017


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN ĐẮC NHÂN

ĐỊNH LÝ LIOUVILLE CHO HÀM f -ĐIỀU HÒA
Chuyên ngành: HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ
Mã số: 60460105

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐOÀN THẾ HIẾU

Thừa Thiên Huế, năm 2017

i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Nguyễn Đắc Nhân

ii


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu
sắc của mình tới PGS. TS Đoàn Thế Hiếu, người đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo
tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Nhân dịp này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô
giáo đã tham gia giảng dạy khóa cao học K24, những người đã giúp tôi trang bị
những kiến thức cần thiết trong những năm học vừa qua.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo
sau đại học và Khoa Toán, Đại học Sư phạm Huế đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn của mình.
Sau cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến người thân, bạn bè, đặc biệt là các
anh chị trong lớp Cao học Hình học và Tôpô khóa K24 đã nhiệt tình giúp đỡ
tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn cũng như trong quá trình học tập.
Nguyễn Đắc Nhân

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

MỞ ĐẦU

3

Chương 1
1.1

1.2

2.2

4

Hàm điều hòa trên Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


4

1.1.1

Hàm điều hòa. Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Định lý Liouville cho hàm điều hòa bị chặn, hàm điều hòa
dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.3

Một số áp dụng. Bất đẳng thức Hanack. Công thức Bochner.
Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Hàm điều hòa trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1

Đa tạp Riemann. Liên thông. Độ cong Ricci . . . . . . . . 20

1.2.2

Hàm điều hòa trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . 29

1.2.3


Định lý Liouville cho hàm điều hoà dương trên đa tạp
Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.2.4

Công thức Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Chương 2
2.1

Hàm điều hòa

Hàm f -điều hòa

37

Hàm f -điều hòa trên (Rn , e−f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1

Toán tử f -Laplace. Hàm f -điều hòa . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.2

Mặt f -cực tiểu và mối liên quan với các hàm f -điều hòa . 42

Hàm f -điều hòa trên (M n , e−f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1

Toán tử f -Laplace. Hàm f -điều hòa . . . . . . . . . . . . . 43


2.2.2

Định lý kiểu Liouville cho hàm f -điều hòa bị chặn . . . . . 44
1


2.2.3

Định lý kiểu Liouville cho hàm f -điều hòa dương . . . . . 52

KẾT LUẬN

56

TÀI LIỆU THAM KHẢO

57

2


MỞ ĐẦU
Hình học vi phân là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ và phương
pháp của phép tính vi tích phân, kết hợp với đại số tuyến tính và đại số đa tuyến
tính để nghiên cứu các vấn đề của hình học. Một trong số những vấn đề được
chú trọng nghiên cứu của hình học vi phân là hàm điều hòa trên không gian Rn
cũng như trên đa tạp Riemann. Một hàm ϕ được gọi là điều hòa nếu toán tử
Laplace của nó bằng 0. Đặc biệt, một hàm điều hòa bị chặn hay một hàm điều
hòa dương trên Rn thì nó phải là một hàm hằng, đó chính là nội dung của định
lý Liouville cho hàm điều hòa bị chặn, hàm điều hòa dương.

Một mảng khác của hình học vi phân hiện đang được quan tâm nghiên cứu
là không gian với mật độ, một trường hợp riêng của không gian metric - độ đo.
Trên không gian với mật độ, tồn tại một hàm dương (gọi là hàm mật độ) đóng
vai trò trọng số trong đánh giá thể tích k -chiều. Các hàm điều hòa trong không
gian với mật độ e−f , gọi tắt là hàm f -điều hòa, là hàm ϕ với ∆f ϕ = 0, trong đó
∆f là toán tử Laplace với mật độ.
Với mong muốn tìm hiểu vấn đề này, được sự hướng dẫn của PGS. TS Đoàn
Thế Hiếu, tôi đã chọn đề tài "Định lý Liouville cho hàm f -điều hòa" làm
đề tài nghiên cứu của luận văn thạc sĩ. Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung
luận văn được trình bày theo hai chương:
• Chương 1: Hàm điều hòa. Chương này trình bày theo hai phần: Phần

thứ nhất trình bày về hàm điều hòa trên Rn , định lý Liouville cho hàm điều
hòa bị chặn, định lý Liouville cho hàm điều hòa dương và một số áp dụng.
Phần thứ hai giới thiệu về hàm điều hòa trên đa tạp Riemann và kết quả
của định lý Liouville cho hàm điều hòa dương trên đa tạp Riemann.
• Chương 2: Hàm f -điều hòa. Chương này cũng được chia làm hai phần:

Phần thứ nhất trình bày về hàm f -điều hòa trên (Rn , e−f ). Phần thứ hai
trình bày chi tiết chứng minh định lý kiểu Liouville cho hàm f -điều hòa bị
chặn và định lý kiểu Liouville cho hàm f -điều hòa dương trên (M n , e−f ).
Tuy đã cố gắng nhiều, nhưng do hạn chế về mặt thời gian và năng lực bản
thân, luận văn này không tránh khỏi những sai sót. Tôi rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp của quý Thầy Cô và các bạn để luận văn được hoàn
thiện hơn.

3


Chương 1

HÀM ĐIỀU HÒA

Trong chương này chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản về hàm điều hòa
trên không gian Rn cũng như trên đa tạp Riemann, giới thiệu các tính chất cơ
bản của hàm điều hòa. Và trình bày chứng minh định lý Liouville cho hàm điều
hòa bị chặn và hàm điều hòa dương trên Rn .

1.1

Hàm điều hòa trên Rn

Mục này nhằm giới thiệu về định nghĩa, tính chất của hàm điều hòa trên
không gian Rn . Các kiến thức được tham khảo từ tài liệu [2].
1.1.1

Hàm điều hòa. Một số tính chất cơ bản

Định nghĩa 1.1.1. Cho U là tập mở, khác rỗng trong Rn và hàm ϕ : U → R
khả vi liên tục cấp hai. Hàm ϕ được gọi là hàm điều hòa nếu ∆ϕ = 0, trong đó
∆ là toán tử Laplace được cho bởi công thức:
n

∆ϕ = div(∇ϕ) =
i=1

∂ 2ϕ
.
∂x2i

Phương trình ∆ϕ = 0 được gọi là phương trình Laplace.

Một hàm ϕ xác định trên một tập E ⊂ Rn là điều hòa trên E nếu ϕ có thể
mở rộng đến một hàm điều hòa trên một tập mở chứa E .
Ví dụ 1.1.1. Hàm tọa độ thứ j được xác định bởi:
ϕ : Rn → R
x = (x1 , x2 , ..., xn ) → ϕ(x) := xj

là một hàm điều hòa. Thật vậy, ta dễ dàng kiểm tra được ∆ϕ = 0.
Ví dụ 1.1.2. Xét hàm ϕ : Rn \{0} → R xác định bởi:
ϕ(x) = |x|2−n ,
n

với |x| =
i=1

1
2

x2i

.
4


Khi đó ϕ là một hàm điều hòa trên Rn \{0} với n > 2.
Thật vậy, với mỗi i = 1, n, n > 2 và x = 0, ta có:
∂ϕ
= (2 − n)xi |x|−n ;
∂xi
∂ 2ϕ
= (2 − n)(|x|−n − nx2i |x|−n−2 ).

2
∂xi

Do đó
n
−n

∆ϕ = (2 − n) n|x|

x2i = (2 − n)(n|x|−n − n|x|−n ) = 0.

−n−2

− n|x|

i=1

Ví dụ 1.1.3. Xét hàm ϕ : R2 \{0} → R xác định bởi:
ϕ(x) = ln |x|.

Khi đó ϕ là một hàm điều hòa trên R2 \{0}.

Hình 1.1: Đồ thị hàm điều hòa ϕ(x) = ln |x|.

Thật vậy, ta có:
∆ϕ =

2|x|2 − 2(x21 + x22 )
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
+

=
= 0.
|x|4
∂x21
∂x22

Nhận xét 1.1.1. Cho ϕ là một hàm điều hòa khả vi liên tục đến cấp ba. Khi
đó, đạo hàm riêng của ϕ là một hàm điều hòa.
Chứng minh. Giả sử ϕ là một hàm điều hòa khả vi liên tục đến cấp ba trên
∅ = U ⊂ Rn .
5


Xét hàm

u : U ⊂ Rn → R
x → u(x) =

∂ϕ
∂xj

với mọi j = 1, ..., n.
Khi đó, hàm u có:
n

∆u =
i=1

∂ 2u
∂

=
2
∂xj
∂xi

n

i=1

∂ 2ϕ
∂x2i

= 0.

Vậy u là một hàm điều hòa trên U .
Với nhận xét trên ta dễ dàng nhận biết một số các hàm điều hòa như sau:
Ví dụ 1.1.4. Hàm u : Rn \{0} → R cho bởi công thức:
u(x) = xj |x|−n , (n > 2)

với mọi j = 1, ..., n.
Khi đó u là một hàm điều hòa trên Rn \{0}. Vì u là đạo hàm riêng của hàm
điều hòa ϕ(x) = |x|2−n , (n > 2).
Trong trường hợp n = 2 thì hàm u(x) = xj |x|−2 cũng là một hàm điều hòa.
Vì u là đạo hàm riêng của hàm điều hòa ϕ(x) = ln |x|.

Hình 1.2: Đồ thị hàm điều hòa u(x) = x1 |x|−2 .

Ta có một số tính chất cơ bản của hàm điều hòa như sau:
6



Tính chất 1.1.1. (Tính chất bất biến)
1. Tổng của hai hàm điều hòa là một hàm điều hòa.
2. Phép nhân một số thực với một hàm điều hòa là một hàm điều hòa.
3. Ảnh của một hàm điều hòa qua phép tịnh tiến là một hàm điều hòa.
4. Vị tự một hàm điều hòa là một hàm điều hòa.
Chứng minh. Tính chất (1) và (2) dễ dàng được suy ra từ tính chất của đạo
hàm riêng.
Tính chất (3): Cho y ∈ Rn và ϕ là một hàm điều hòa trên U ⊂ Rn . Tịnh tiến
hàm ϕ theo vector y ta được một hàm xác định trên U + y sao cho nó có giá trị
tại x là ϕ(x − y) và rõ ràng nó là một hàm điều hòa trên U + y .
Tính chất (4): Cho r là một số thực dương và ϕ là hàm điều hòa trên U ⊂ Rn .
Khi đó phép vị tự tâm O tỉ số 1r của ϕ, kí hiệu là ϕr , là hàm số được xác định
như sau:
1
1
ϕr :
U=
w|w ∈ U
→ R
r

r
x

→ ϕr (x) = ϕ(rx).

Khi đó
n


∆(ϕr ) =
i=1

∂ 2 (ϕr )
∂x2i
n

=r

2
i=1

∂ 2ϕ
(rx)
∂x2i

=r2 (∆ϕ)(rx)
=0.

Do đó ϕr là một hàm điều hòa.
Một trong các tính chất quan trọng của hàm điều hòa được thể hiện qua
tính chất giá trị trung bình. Để chứng minh tính chất này trước hết ta có một
số kết quả sau:
Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở và bị chặn với ∂Ω trơn; u và ν là các hàm khả vi
liên tục cấp hai trên lân cận của Ω. Khi đó ta có đồng nhất thức:
(u∆ν − ν∆u) dV =

(uDn ν − νDn u) ds,

Ω


∂Ω

7

(1.1.1)


trong đó, độ đo V = Vn là độ đo Lebesgue trên Rn ; s là độ đo diện tích bề mặt
trên ∂Ω; Dn là phép lấy vi phân đối với pháp tuyến đơn vị n hướng ra phía ngoài
và ta có Dn (ζ) = (∇u)(ζ). n(ζ), ∀ζ ∈ ∂Ω.
Đồng nhất thức (1.1.1) được gọi là đồng nhất thức Green.
Nếu ta đặt w = u∇ν − ν∇u = (w1 , ..., wn ) là một trường vector trơn thì khi
đó:
div w dV =
Ω

w . n ds.
∂Ω

Thật vậy,
div w = div(u∇ν − ν∇u)
= div u.

∂ν
∂u
∂ν
∂u
− ν.
; ...; u.

− ν.
∂x1
∂x1
∂xn
∂xn

∂ 2ν
∂ 2u
∂ 2ν
∂ 2u
=u. 2 − ν. 2 + ... + u. 2 − ν. 2
∂xn
∂xn
∂x1
∂x1
=u∆ν − ν∆u;
w . n =(u∇ν − ν∇u). n
=u.(∇ν. n) − ν(∇u. n)
=uDn ν − νDn u.

Trong trường hợp đặc biệt u là hàm điều hòa và ν ≡ 1, ta có:
Dn uds = 0.
∂Ω

Bây giờ ta sử dụng các kết quả trên để chứng minh tính chất giá trị trung
bình của hàm điều hòa sau:
Định lý 1.1.1. Nếu u là hàm điều hòa trên B(a; r) thì
u(a) =

u(a + rζ)dσ(ζ),

S

trong đó S là biên của hình cầu đơn vị B .
Chứng minh. Đầu tiên ta xét B(a, r) = B n . Khi đó ta sẽ chứng minh:
u(0) =

u(ζ)dσ(ζ).
S

Cho ∈ (0, 1). Xét Ω = x ∈ Rn | < |x| < 1 và ν(x) = |x|2−n .
8


Hình 1.3: Miền Ω = {x ∈ Rn | < |x| < 1}.

Theo giả thiết ta có ∆u = 0 và ∆ν = 0, khi đó từ đồng nhất thức Green ta
có:
(uDn ν − νDn u) ds = 0.
∂Ω

Suy ra
(uDn ν − νDn u) ds −

(uDn ν − νDn u) ds = 0.

S

S

Ta thấy, trên S thì ν = 1 do đó S νDn uds = 0. Đồng thời, trên S ta có

ν = 2−n do đó ta cũng có S νDn uds = 0. Khi đó, ta có:
uDn νds =

uDn νds.

S

S

Mặt khác, ta có: ∇ν = (2 − n) xi |x|−n và n =

1
(x1 , x2 , ..., xn ) . Suy ra
|x|

Dn ν = ∇ν.n = (2 − n)|x|1−n .

Do đó, trên S ta có: Dn ν = 2 − n và trên S ta có: Dn ν = (2 − n)
Suy ra
(2 − n)

uds = (2 − n)
S

u

1−n

S


ds ⇔

uds =
S

Đổi biến số x = ζ , ta được:
uds =

u( ζ)ds.

S

S

9

u
S

1−n

ds.

1−n .


Chuẩn hóa chuyển từ độ đo trên S sang độ đo σ , ta có:
udσ =

u( ζ)dσ(ζ).


S

S

Cho → 0, ta được:
udσ =

u(0)dσ(ζ)

S

S

⇔

udσ = u(0)

dσ(ζ)

S

⇔

S

udσ = u(0)σ(S) = u(0) (do σ(S) = 1).
S

Vậy

u(0) =

u(ζ)dσ(ζ).
S

Khi đó, ta xét: ur (x) = u(rx), với r > 0, ta có:
ur (0) =

ur (x)dσ(x) =
S

u(rx)dσ(x).
S

Suy ra
u(0) =

u(rx)dσ(x).
S

Vậy
u(a) =

u(a + rx)dσ(x).
S

Phần tiếp theo đây sẽ nói về tính chất giá trị trung bình thể hiện qua độ đo
thể tích. Trước hết ta có thể viết như sau:
Rn = (r, s) ∈ R × Rn |r ≥ 0, s ∈ B(0, r) .
Khi đó, theo công thức Fubini, ta có:

+∞

f (x)dV =
Rn

f (x)dsdr.
0 B(0,r)

Đổi biến số: x = ry , ta có:
+∞

rn−1

f (x)dV =
Rn

0

S n−1

10

f (ry)dsdr,


trong đó S n−1 là mặt cầu đơn vị trong Rn .
Mà dσ =

ds
, với B là hình cầu đơn vị trong Rn .

nV (B)

Khi đó

+∞

1
nV (B)

rn−1

f (x)dV =
Rn

0

f (rx)dσdr.

S n−1

Từ kết quả này, ta sẽ chứng minh rằng:
1
V (B)

u(0) =

u(x)dV.
B

Xét f = uχB , với

1 nếu x ∈ B

χB (x) =

0 nếu x ∈
/ B.

Khi đó, ta có:
1
nV (B)

rn−1 

uχB dV =
Rn





+∞

0
1

u(rx)χB (rx)dσ  dr

S n−1

rn−1


=
0

u(rx)dσdr (do r > 1 ⇒ χB (rx) = 0)

S n−1
1

rn−1 u(0)dr

=
0

1
= u(0).
n

Vậy
u(0) =

1
V (B)

uχB dV =
Rn

1
V (B)


u(x)dV.
B

Bây giờ, ta xét ur (x) = u(rx), ta có:
ur (x) =

1
V (B)

u(rx)dV.
B

Tiếp tục thực hiện đổi biến số: ζ = rx, ta có:
u(0) =
=
=

1
V (B)

u(ζ)
B(0,r)

1
V (B)rn

1
dV
rn


u(ζ)dV
B(0,r)

1
V (B(0, r))

u(ζ)dV (do
B(0,r)

11

V (B(0, r))
= rn ).
V (B)


Vậy
u(a) =

1
V (B(0, r))

u(ζ)dV.
B(0,r)

Như vậy, ta đã chứng minh được tính chất giá trị trung bình. Một trong
những ứng dụng quan trọng của tính chất này được dùng trong chứng minh
định lý quan trọng của hàm điều hòa là định lý Liouville, ngoài ra nó còn được
dùng trong chứng minh bất đẳng thức Hanack và nguyên lý cực đại,... . Các ứng
dụng đó sẽ được thể hiện qua các định lý sau đây:

1.1.2

Định lý Liouville cho hàm điều hòa bị chặn, hàm điều hòa dương

Định lý 1.1.2. Hàm điều hòa bị chặn trên Rn là hàm hằng.
Chứng minh. Cho u là một hàm điều hòa trên Rn và bị chặn bởi số M .
Với mỗi x ∈ Rn , r > 0, lúc đó áp dụng tính chất giá trị trung bình ta có:
|u(x) − u(0)| =
=
=

1
V (B(x, r))
1
V (B(0, r))

udV −
B(x,r)

udV −

1
V (B(0, r))

B(0,r)

udV +
B(x,r)\B(0,r)

≤


udV
B(x,r)∩B(0,r)

udV +

udV

B(0,r)\B(x,r)

≤

B(0,r)∩B(x,r)

1
V (B(0, r))

B(x,r)\B(0,r)

1
V (B(0, r))

B(x,r)\B(0,r)

1
V (B(0, r))

udV
B(0,r)


udV

B(x,r)

−
=

1
V (B(0, r))

udV −

udV
B(0,r)\B(x,r)

|u|dV +

|u|dV
B(0,r)\B(x,r)

|u|dV,
Dr

trong đó Dr = (B(x, r)\B(0, r)) ∪ (B(0, r)\B(x, r)) .

Hình 1.4: Biểu diễn miền B(x, r) và B(0, r).

12

(1.1.2)



Mà theo giả thiết u bị chặn bởi số M nên:
|u(x) − u(0)| ≤

1
M V (Dr ).
V (B(0, r))

Bây giờ ta sẽ đi đánh giá V (Dr ) qua Hình 1.5, ta được:
V (Dr ) ≤ 2hπrn−1 ,

trong đó h là khoảng cách từ O đến x.

Hình 1.5: Đánh giá V(Dr ).

Khi đó
2πhrn−1
V (B(0, 1))rn
2πh
≤M
.
V (B(0, 1))r

|u(x) − u(0)| ≤M

Bây giờ cho r → +∞, ta được:
|u(x) − u(0)| → 0.

Vậy u(x) = u(0). Hay u là hàm hằng trên Rn .

Định lý 1.1.3. Hàm điều hòa dương trên Rn là hàm hằng.
Chứng minh. Cho u là hàm điều hòa dương trên Rn .

13


Ta cố định x ∈ Rn và cho r > |x|, khi đó theo đánh giá (1.1.2), ta có:
|u(x) − u(0)| =
≤
≤

1
V (B(0, r))

udV −
B(x,r)

1
V (B(0, r))

Dr

1
V (B(0, r))

Dr

udV
B(0,r)


|u|dV
udV.

Ta có
Dr = (B(x, r)\B(0, r)) ∪ (B(0, r)\B(x, r))
= (B(x, r) ∪ B(0, r)) \ (B(x, r) ∩ B(0, r)) .

Mà B(x, r) ∪ B(0, r) ⊂ B(0, r + |x|) và B(x, r) ∩ B(0, r) ⊃ B(0, r − |x|).
Do đó Dr ⊂ B(0, r + |x|)\B(0, r − |x|).

Hình 1.6: Đánh giá Dr ⊂ B(0, r + |x|)\B(0, r − |x|).

Khi đó, ta có:
|u(x) − u(0)| ≤
≤

1
V (B(0, r))

udV
B(0,r+|x|)\B(0,r−|x|)

1
V (B(0, r))
r + |x|
r

≤
−


≤u(0)

udV −
B(0,r+|x|)
n

1
V (B(0, r))

r − |x|
r
r + |x|
r

n

udV
B(0,r)

1
V (B(0, r))
n

− u(0)

udV
B(0,r)

r − |x|
r


(r + |x|)n − (r − |x|)n
≤u(0)
.
rn
14

udV
B(0,r−|x|)

n


Bây giờ cho r → ∞, ta được:
|u(x) − u(0)| → 0.

Vậy u(x) = u(0). Hay u là hàm hằng trên Rn .
1.1.3

Một số áp dụng. Bất đẳng thức Hanack. Công thức Bochner. Nguyên
lý cực đại

Mục này nhằm giới thiệu một số áp dụng của hàm điều hòa như bất đẳng
thức Hanack, công thức Bochner, nguyên lý cực đại.
Đầu tiên, ta xét trong không gian R. Cho u là một hàm điều hòa, khi đó nó có
dạng là một hàm bậc nhất u = ax+b. Giả sử u không âm trên B(0, 2r) = (−2r, 2r).
Đồ thị của nó được minh họa như hình 1.7.

Hình 1.7: Bất đẳng thức Hanack trong R.


Đánh giá từ đồ thị, ta có bất đẳng thức Hanack sau:
sup u ≤ 3 inf u.
B(0,r)

B(0,r)

Bây giờ ta sẽ chứng minh tổng quát bất đẳng thức Hanack trong không gian
Rn được thể hiện qua định lý sau:
Định lý 1.1.4. (Bất đẳng thức Hanack)
Cho B(0, 2r) là hình cầu mở trong Rn . Khi đó, tồn tại một hằng số C chỉ
phụ thuộc vào số chiều n sao cho:
sup u ≤ C inf u
B(0,r)

B(0,r)

với mọi hàm u không âm và điều hòa trên B(0, 2r).
15


Chứng minh. Lấy x, y ∈ B(0, r). Chúng ta sẽ chứng minh rằng: u(x) ≤ Cu(y).
Cho d ≤ 2r là khoảng cách giữa hai điểm x và y . Lấy w và z là hai điểm trên
đoạn thẳng nối hai điểm x và y sao cho khoảng cách từ x đến w và khoảng cách
từ x đến z lần lượt bằng 31 và 32 khoảng cách từ x đến y .
Khi đó B(w, 3r ) ⊂ B(x, r) và u là hàm dương, điều hòa trên B(x, r) nên áp
dụng tính chất giá trị trung bình ta có:
u(w) =
=
≤


1
V (B(w, 3r ))
3n
V (B(x, r))
3n
V (B(x, r))

udV
B(w, r3 )

udV
B(w, r3 )

udV
B(x,r)

≤3n u(x).

Hoàn toàn tương tự, ta cũng có:
u(z) ≤ 3n u(w);
u(y) ≤ 3n u(z).

Vậy
u(y) ≤ 33n u(x).

Định lý 1.1.5. (Công thức Bochner)
Cho u là một hàm giá trị thực trên một tập con của Rn , khi đó:
1
∆ |∇u|2 = ∇∆u, ∇u + |Hess u|2 ,
2


trong đó x, y là tích vô hướng thông thường của x và y trên Rn ; |Hess u|2 =
i,j

∂ 2u
∂xi ∂xj

2

.

Chứng minh. Ta có:
1
1
∆ |∇u|2 = ∆ ∇u, ∇u
2
2
1
= ∆
2
=

1
2

n

j=1
∂2


∂x2i
i,j

∂u ∂u
∂xj ∂xj
∂u ∂u
∂xj ∂xj
16


∂ 2 u ∂u
∂xi ∂xj ∂xj

∂
∂xi

=
i,j

∂ 3 u ∂u
∂ 2u
∂ 2u
+
∂x2i ∂xj ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj

=
i,j

∂ 3 u ∂u
+ |Hess u|2

∂x2i ∂xj ∂xj

=
i,j
n

∂
∂u
(∆u)
+ |Hess u|2
∂xj
∂xj

=
j=1

= ∇∆u, ∇u + |Hess u|2 .

Ví dụ 1.1.5. Minh họa công thức Bochner trong không gian R. Cho u là một
hàm thực một biến. Khi đó, ta có:
∇u = u ⇒ |∇u|2 = (u )2 ;
∆|∇u|2 = (2u u ) = 2 (u )2 + u u

;

∆u = u ; ∇∆u = u ; ∇∆u, ∇u = u u ;
| Hess u|2 = (u )2 .

Vậy
1

∆ |∇u|2 = ∇∆u, ∇u + |Hess u|2 .
2

Ví dụ 1.1.6. Minh họa công thức Bochner trong không gian R2 . Xét hàm u giá
trị thực trên một tập con mở của R2 :
u : Ω ⊂ R2 →

R

→ u(x, y).

(x, y)

Ta có:
∂u ∂u
,
∂x ∂y

∇u =

2

; |∇u| =

∂ 2u ∂ 2u
∆u =
+
; ∇∆u =
∂x2 ∂y 2
∇∆u, ∇u =

2

∂u
∂x

2

+

∂u
∂y

2

;

∂ 3u
∂ 3u ∂ 3u
∂ 3u
+
,
+
∂x3 ∂x∂y 2 ∂y 3 ∂x2 ∂y

∂u ∂ 3 u ∂u ∂ 3 u
∂u ∂ 3 u ∂u ∂ 3 u
+
+
+
;

∂x ∂x3 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y ∂y 3 ∂y ∂x2 ∂y

| Hess u| =

∂ 2u
∂x2

2

∂ 2u
∂y 2

+

17

2

+2

∂ 2u
∂x∂y

2

.

;



1
1
∆|∇u|2 = div ∇|∇u|2
2
2
∂
1
∂
= div
|∇u|2 +
|∇u|2
2
∂x
∂y
1
∂u ∂ 2 u
∂u ∂ 2 u ∂u ∂ 2 u
∂u ∂ 2 u
= div 2
,
2
+
2
+
2
2
∂x ∂x2
∂y ∂x∂y ∂y ∂y 2
∂x ∂x∂y
∂ 2u

∂x2

=
+

2

∂u ∂ 3 u
+
+
∂x ∂x3

∂u ∂ 3 u
+
∂y ∂y 3

∂ 2u
∂x∂y

∂ 2u
∂x∂y
2

+

2

∂u ∂ 3 u
+
+

∂y ∂x2 ∂y

∂ 2u
∂y 2

2

∂u ∂ 3 u
∂x ∂y 2 ∂x

= ∇∆u, ∇u + | Hess u|2 .

Định lý 1.1.6. (Nguyên lý cực đại)
Cho Ω là tập mở liên thông trong Rn , u là hàm nhận giá trị thực, điều hòa
trên Ω và u đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên Ω. Khi đó, u là hàm hằng trên
Ω.
Chứng minh. Ta chứng minh định lý cho trường hợp u đạt giá trị lớn nhất tại
điểm a ∈ Ω, còn trường hợp u đạt giá trị nhỏ nhất được chứng minh hoàn toàn
tương tự.
Ta sẽ đi chứng minh u(x) = u(a), ∀x ∈ Ω.
Xét một số thực r > 0 sao cho B(a, r) ⊂ Ω.
Đặt K = {b ∈ B(a, r)|u(b) = u(a)} là tập đóng (do u là hàm liên tục trên Ω)
và khác rỗng.
Nếu tồn tại ζ ∈ Ω sao cho u(ζ) < u(a) thì sẽ tồn tại một lân cận B(ζ, p) ⊂
B(a, r) của ζ sao cho u(x) < u(a), ∀x ∈ B(ζ, p) (do tính liên tục của u). Khi đó,
áp dụng tính chất giá trị trung bình, ta có:
u(a) =
=

1

V (B(a, r))
1
V (B(a, r))

udV
B(a,r)

udV +
B(a,r)\B(ζ,p)

udV
B(ζ,p)

1
u(a)dV
u(a)dV +
V (B(a, r)) B(a,r)\B(ζ,p)
B(ζ,p)
1
[V (B(a, r)\B(ζ, p)) + V (B(ζ, p))]
V (B(a, r))
<


Điều này là vô lý.
18

Vậy u(x) = u(a), ∀x ∈ B(a, r). Hay nói cách khác K = B(a, r), tức là K là một
tập mở.
Mặt khác, Ω là tập liên thông nên K = Ω.
Vậy u là hàm hằng trên Ω.
Hệ quả 1.1.7. Giả sử Ω là tập mở, bị chặn trong Rn , u là hàm liên tục trên Ω
và điều hòa trên Ω. Khi đó, nếu u đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên Ω thì
u đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên ∂Ω.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta giả sử u đạt giá trị lớn nhất trên Ω.
Ta xét hàm:
ν(x) = u(x) + |x|2 ,

với > 0 và |x| =

x21 + ... + x2n .

Khi đó, ta có:
∆ν = ∆u + 2n = 2n > 0.

Do đó ν không đạt giá trị lớn nhất trên Ω.
Suy ra
max ν(x) = max ν(x).
x∈∂Ω

x∈Ω

Bây giờ, ta giả sử ν đạt giá trị lớn nhất tại p ∈ ∂Ω. Khi đó, với mỗi x ∈ Ω,
ta có:
u(x) < ν(x) ≤ ν(p) = u(p) + |p|2 .

Suy ra

u(x) ≤ max u(x) + d2 ,
x∈∂Ω

trong đó d là khoảng cách lớn nhất từ điểm bất kì trên Ω đến gốc tọa độ.
Mà

là số nhỏ tùy ý nên cho → 0, khi đó với mọi x ∈ Ω, ta có:
u(x) ≤ max u(x)
x∈∂Ω

⇒ max u(x) ≤ max u(x).
x∈∂Ω

x∈Ω

Rõ ràng, ta có:
max u(x) ≥ max u(x).
x∈∂Ω

x∈Ω

Vậy
max u(x) = max u(x).
x∈∂Ω

x∈Ω

19

Hệ quả 1.1.8. Giả sử hàm u điều hòa trên Ω, liên tục trên Ω.
a) Nếu u(x) ≥ 0, ∀x ∈ ∂Ω thì u(x) ≥ 0, ∀x ∈ Ω.
b) Nếu u(x) ≤ 0, ∀x ∈ ∂Ω thì u(x) ≤ 0, ∀x ∈ Ω.
Chứng minh.
a) Giả sử u(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ∂Ω. Nếu tồn tại x ∈ Ω sao cho u(x ) < 0 thì u
không phải là hàm hằng trên Ω và u sẽ đạt giá trị nhỏ nhất tại một điểm trong
của Ω. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với nguyên lý cực đại. Vậy u(x) ≥ 0 với mọi
x ∈ Ω.
b) Nếu u(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ∂Ω thì −u(x) ≥ 0, ∀x ∈ ∂Ω. Theo chứng minh a)
ta có −u(x) ≥ 0, ∀x ∈ Ω hay u(x) ≤ 0, ∀x ∈ Ω.
Hệ quả 1.1.9. Giả sử u1 , u2 là hai hàm điều hòa trên Ω, liên tục trên Ω.
a) Nếu u1 (x) ≤ u2 (x), ∀x ∈ ∂Ω thì u1 (x) ≤ u2 (x), ∀x ∈ Ω.
b) Nếu |u1 (x)| ≤ u2 (x), ∀x ∈ ∂Ω thì |u1 (x)| ≤ u2 (x), ∀x ∈ Ω.
Chứng minh.
a) Đặt u = u2 − u1 , ta có u(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ∂Ω. Theo hệ quả 1.1.8a) ta có
u(x) ≥ 0, ∀x ∈ Ω. Hay u1 (x) ≤ u2 (x), ∀x ∈ Ω.
b) Ta có |u1 (x)| ≤ u2 (x) ⇔ −u2 (x) ≤ u1 (x) ≤ u2 (x) với mọi x ∈ ∂Ω. Áp dụng hệ
quả 1.1.9a) ta có −u2 (x) ≤ u1 (x) ≤ u2 (x), ∀x ∈ Ω. Hay |u1 (x)| ≤ u2 (x), ∀x ∈ Ω.
Hệ quả 1.1.10. Giả sử hàm u điều hòa trên Ω, liên tục trên Ω.
a) Nếu u(x) = 0, ∀x ∈ ∂Ω thì u(x) = 0, ∀x ∈ Ω.
b) Nếu u(x) = C, ∀x ∈ ∂Ω (C là hằng số) thì u(x) = C, ∀x ∈ Ω.
Chứng minh.
a) Với mọi

> 0 tùy ý, ta có |u(x)| ≤ , ∀x ∈ ∂Ω. Theo hệ quả 1.1.9b) ta có

|u(x)| ≤ , ∀x ∈ Ω. Hay u(x) = 0, ∀x ∈ Ω.

b) Được suy ra từ a) bằng cách xét hàm v(x) = u(x) − C .

1.2
1.2.1

Hàm điều hòa trên đa tạp Riemann
Đa tạp Riemann. Liên thông. Độ cong Ricci

Mục này nhằm giới thiệu về đa tạp Riemann, liên thông, đồng thời giới thiệu
về độ cong Ricci.
20


Cho M là một đa tạp khả vi, kí hiệu C ∞ (M ) là vành giao hoán gồm các hàm
khả vi lớp C ∞ trên M và C ∞ (T M ) là tập hợp các trường vector tiếp xúc khả vi
trên M . Ta có C ∞ (T M ) là một C ∞ (M )-môđun.
Định nghĩa 1.2.1. Cho M là một đa tạp khả vi. Một tensor kiểu (2, 0) đối xứng
g : C ∞ (T M ) × C ∞ (T M ) → C ∞ (M )
(X, Y ) → g(X, Y )

sao cho
gp := g|Tp M ×Tp M : Tp M × Tp M → R
(Xp , Yp ) → gp (Xp , Yp ) := g(X, Y )(p)

là một tích vô hướng trên Tp M với mọi p ∈ M , gọi là một metric Riemann trên
M.
Định nghĩa 1.2.2. Đa tạp khả vi M cùng với metric Riemann g trên M được
gọi là một đa tạp Riemann, kí hiệu (M, g).
Cho (M, gM ) là đa tạp Riemann và N ⊂ M là một đa tạp con của đa tạp khả
vi M . Khi đó, ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.2.3. Tensor gN được xác định bởi:
gN (X, Y )(p) := (gM )p (Xp , Yp )

với X, Y là hai trường vector trên N và p ∈ N , khi đó gN trở thành metric
Riemann trên N và được gọi là metric cảm sinh (trên N ) bởi metric gM trên M .
Định nghĩa 1.2.4. Cho M là đa tạp khả vi. Liên thông affine trên M là ánh
xạ
∇ : C ∞ (T M ) × C ∞ (T M ) → C ∞ (T M )
(X, Y ) → ∇(X, Y ) := ∇X Y

thỏa mãn các điều kiện sau:
i. ∇X+Y Z = ∇X Z + ∇Y Z ;
∇ϕX Y = ϕ∇X Y ;

ii. ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z ;
iii. ∇X (ϕY ) = ϕ∇X Y + X(ϕ)Y ;
với mọi X, Y, Z ∈ C ∞ (T M ), ϕ ∈ C ∞ (M ).
21