ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI
CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Học viên: NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - Cao học K23
Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS PHAN NHẬT TĨNH

Thừa Thiên Huế, năm 2017


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên em xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo hướng dẫn PGS.TS
Phan Nhật Tĩnh. Thầy đã giao đề tài, hướng dẫn em trong suốt quá trình
hoàn thực hiện luận văn này.
Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô khoa Toán, Trường
Đại Học Sư Phạm Huế đã dạy học và giúp đỡ em trong thời gian qua.

Thừa Thiên Huế, tháng 12 năm 2017
Học viên
Nguyễn Ngọc Uyển Nhi

Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

1

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết các điều kiện tối ưu trong tối ưu đơn mục tiêu và đa mục
tiêu trơn và không trơn đã và đang phát triển rất mạnh mẽ với nhiều kết
quả đẹp đẽ và phong phú. Lý thuyết các điều kiện cấp 2 của bài toán tối
ưu đa mục tiêu là một bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu.
Trong những năm qua, đã có một sự quan tâm ngày càng nhiều về các
điều kiện cấp 2 của bài toán tối ưu vì bên cạnh vai trò kiểm tra tính tối
ưu, đặc biệt khi không có giả thiết lồi (từ các điều kiện cần ta có được
tập các điểm dừng mà trong đó bao hàm các nghiệm của bài toán tối ưu,
các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho phép ta tìm ra nghiệm của bài toán
đó), các điều kiện cấp hai còn là cơ sở cho việc thiết kế các thuật toán tối
ưu và đồng thời trợ giúp cho việc nghiên cứu tính nhạy cảm của nghiệm
tối ưu trong các bài toán có nhiễu.
Vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài cho luận văn cao học là “
Điều kiện tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu đa mục tiêu”.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung, kết luận và
danh mục các tài liệu tham khảo.
Chương 1: Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu đa mục tiêu.
Chương 2: Điều kiện cần tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu đa mục tiêu
không trơn với ràng buộc tập hợp.
Chương 3: Điều kiện đủ tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu đa mục tiêu
không trơn với ràng buộc tập hợp và trường hợp không ràng buộc tập
hợp.

Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

2



Mục lục

1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu đa mục tiêu.

1

§1

Quan hệ thứ tự từng phần trong Rm . . . . . . . . . . . .

1

§2

Nghiệm cực tiểu, nghiệm cực tiểu yếu, nghiệm cực tiểu địa
phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu. . . . . . . . . . .

3

2 Điều kiện cần tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu đa mục
tiêu.

8

§1

Tập tiếp xúc, Tập tuyến tính cấp 1 và cấp 2. . . . . . . .


§2

Điều kiện cần tối ưu cấp hai của bài toán có ràng buộc tập

8

hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

§3

Định lý Motzkin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

§4

Ứng dụng định lý Motzkin vào điều kiện cần của bài toán
tối ưu cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3 Điều kiện đủ tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu đa mục
tiêu.

28

§1


Điều kiện đủ của bài toán tối ưu cấp hai. . . . . . . . . .

29

§2

Trường hợp bài toán không ràng buộc tập hợp. . . . . . .

31

0


Chương 1
Các khái niệm cơ bản của lý thuyết
tối ưu đa mục tiêu.
§1

Quan hệ thứ tự từng phần trong Rm.

Định nghĩa 1.1.1 Một quan hệ hai ngôi trên Rm là một tập hợp con
không rỗng R của Rm × Rm , khi đó ta viết xRy với (x, y) ∈ R.
b) Một quan hệ hai ngôi ≤ trên Rm được gọi là thứ tự từng phần nếu với
mọi x, y, z, w ∈ Rm , các tính chất sau được thỏa mãn:
i) x ≤ x (Tính phản xạ).
ii) x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z (Tính bắc cầu).
iii) x ≤ y, w ≤ z ⇒ x + w ≤ y + z (Tính tương thích theo phép cộng).
iv) x ≤ y, α ∈ R+ ⇒ αx ≤ αy (Tính tương thích theo nhân tử vô hướng).
c) Thứ tự từng phần ≤ trên Rm được gọi là phản đối xứng nếu:


∀x, y ∈ Rm , x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y.
Định nghĩa 1.1.2 Không gian tuyến tính Rm được trang bị bởi quan hệ
thứ tự từng phần được gọi là không gian tuyến tính thứ tự từng phần.

1


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

Thứ tự từng phần trên Rm mà ta gọi là thứ tự tự nhiên ≤m được xác
định bởi:

≤m = {(x, y) ∈ Rm × Rm |xi ≤ yi , ∀i = 1, ..., m}.
Định nghĩa 1.1.3 a) Một tập hợp C ⊂ Rm được gọi là lồi nếu với mọi

x, y ∈ C và λ ∈ (0, 1) ta có λx + (1 − λ)y ∈ C .
b) Một tập hợp không rỗng K ⊂ Rm được gọi là nón nếu với mọi điểm

k ∈ K và λ ≥ 0, ta có λk ∈ K , nếu K là tập lồi thì nó sẽ được gọi là
nón lồi.
c) Nón K được gọi là nón nhọn nếu K ∩ (−K) = {0}.
Nhận xét: Trong không gian hữu hạn chiều Rm , mặt phẳng, đường
thẳng, đoạn thẳng, tam giác, hình cầu cho ta các hình ảnh về tập lồi.
Chú ý 1.1.4 i) Quan hệ thứ tự từng phần có thể được mô tả bởi một nón
lồi. Bất kỳ thứ tự từng phần ≤ trên Rm xác định một nón lồi:

K = {x ∈ Rm |0m ≤ x}.
Và bất kỳ một nón lồi K ⊂ Rm , cũng được gọi là nón thứ tự, xác định
một thứ tự từng phần trên Rm bởi:


≤K = {(x, y) ∈ Rm × Rm |y − x ∈ K}.
ii) Như vậy, cho một nón lồi K ⊂ Rm thì nó xác định trên Rm một quan
hệ thứ tự:

∀x, y ∈ Rm : x ≤K y ⇔ y − x ∈ K.

Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

2


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

§2

Nghiệm cực tiểu, nghiệm cực tiểu yếu, nghiệm
cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu đa mục
tiêu.

2.1. Các khái niệm.
Định nghĩa 1.2.1 Cho T là tập hợp khác rỗng của không gian tuyến
tính Rm được sắp thứ tự từng phần bởi một nón lồi K. Điểm y ∈ T được
gọi là K-điểm cực tiểu của tập hợp T nếu:

(y − K) ∩ T ⊂ y + K.

(1)

Nếu K nhọn thì (1) tương đương với: y¯ −k ∈ y¯ +K ⇒ k = 0 ⇒ y¯ −k = y¯
nên (y − K) ∩ T = {y}.


Hình 1.1: K-điểm cực tiểu y¯. Điểm y˜ ≤K y.

Cho f : Rn → Rm và Ω ⊂ Rn . Giả sử Rm được sắp thứ tự bởi nón lồi K .
Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu sau:



min f (x)

(MOP)



x ∈ Ω
Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

3


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

Định nghĩa 1.2.2 Một điểm x
¯ ∈ Ω được gọi là nghiệm cực tiểu (hoặc
nghiệm hữu hiệu hoặc K-cực tiểu) của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP)
theo nón thứ tự K nếu f (¯
x) là K-điểm cực tiểu của tập hợp f (Ω).

(f (¯
x) − K) ∩ f (Ω) ⊂ f (¯

x) + K.
Chú ý 1.2.3 i) Tập hợp tất cả các nghiệm cực tiểu theo nón K ký hiệu
là M(f (Ω), K).
ii) Tập hợp ảnh của tập hợp các nghiệm cực tiểu ký hiệu là:

ε(f (Ω), K) = {f (x)|x ∈ M(f (Ω), K)}.
Khi đó ε(f (Ω), K) còn gọi là tập giá trị hữu hiệu. Mỗi điểm y¯ ∈ ε(f (Ω), K)
được gọi là một giá trị K-cực tiểu (hay hữu hiệu theo nón K).
iii) Với K = Rm
+ thì K-điểm cực tiểu còn được gọi là điểm cực tiểu
Edgeworth-Pareto (EP-điểm cực tiểu).
iv) Hình 1.2 là ví dụ về bài toán tối ưu đa mục tiêu với số chiều n = 2.
Tập hợp Ω và f (Ω) cũng như nón nhọn thứ tự được chỉ ra. Tập giá trị
hữu hiệu được biểu thị bởi đường dày hơn.

Hình 1.2: Giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu.

Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

4


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

Định nghĩa 1.2.4 Cho K là một nón nhọn, lồi, với int(K) = ∅. Điểm

x¯ ∈ Ω được gọi là nghiệm cực tiểu yếu của (MOP) theo K nếu:
(f (¯
x) − int(K)) ∩ f (Ω) = ∅.
Chú ý 1.2.5 i) Tập hợp tất cả các nghiệm cực tiểu yếu theo nón K (còn

gọi là K-điểm cực tiểu yếu) ký hiệu là Mw (f (Ω), K).
ii) Tập hợp ảnh của tập hợp các điểm cực tiểu yếu là:

εw (f (Ω), K) = {f (x)|x ∈ Mw (f (Ω), K)}
và được gọi là tập hợp giá trị hữu hiệu yếu theo nón K.
iii) K-điểm cực tiểu yếu chính là điểm cực tiểu theo nón int(K) ∪ {0m },
do đó, Mw (f (Ω), K) = M(f (Ω), int(K) ∪ {0m }).
Với bài toán tối ưu đa mục tiêu, ta có các khái niệm về cực tiểu địa
phương:
Định nghĩa 1.2.6 Cho K là một nón nhọn, lồi với int(K) = ∅.
Điểm x
¯ ∈ Ω được gọi là nghiệm cực tiểu địa phương của bài toán tối
ưu đa mục tiêu (MOP) theo nón thứ tự K nếu tồn tại lân cận U của x
¯
sao cho không có y ∈ f (Ω ∩ U )\{f (¯
x)} với f (¯
x) ∈ y + K .
Điểm x
¯ ∈ Ω được gọi là nghiệm cực tiểu yếu địa phương của bài toán
tối ưu đa mục tiêu (MOP) theo nón thứ tự K nếu tồn tại lân cận U của

x¯ sao cho không có y ∈ f (Ω ∩ U ) với f (¯
x) ∈ y + intK .

Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

5


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU


2.2. Các tính chất.
Bổ đề 1.2.7 Cho K1 và K2 là nón lồi với K1 ⊂ K2 . Khi đó:

M(f (Ω), K2 ) ⊂ M(f (Ω), K1 ).
Chứng minh:

∀¯
x ∈ M(f (Ω), K2 ) thì (f (¯
x) − K2 ) ∩ f (Ω) ⊂ f (¯
x) + K .
Lấy y ∈ (f (¯
x) − K1 ) ∩ f (Ω) nên ∃k1 ∈ K1 sao cho: y = f (¯
x) − k1 và

y ∈ f (Ω). Vì K1 ⊂ K2 nên k1 ∈ K2 suy ra y = f (¯
x) − k1 ∈ (f (¯
x) − K2 )
và y ∈ f (Ω). Vậy y ∈ (f (¯
x) − K2 ) ∩ f (Ω) nên:

(f (¯
x) − K1 ) ∩ f (Ω) ⊂ (f (¯
x) − K2 ) ∩ f (Ω) ⊂ f (¯
x) + K .
Do đó, x
¯ ∈ M(f (Ω), K1 ).
Kết quả được phát biểu tương tự với tập hợp các nghiệm cực tiểu yếu.
Hệ quả 1.2.8 Cho K1 và K2 là nón lồi, nhọn, phần trong khác rỗng và


K1 ⊂ K2 . Khi đó:
Mw (f (Ω), K2 ) ⊂ Mw (f (Ω), K1 ).
Chứng minh: Với K1 ⊂ K2 dẫn đến int(K1 ) ⊂ int(K2 ) khi đó:

Mw (f (Ω), K2 ) = M(f (Ω), int(K2 ) ∪ {0m })
⊂ M(f (Ω), int(K1 ) ∪ {0m }) = Mw (f (Ω), K1 ).
Hệ quả 1.2.9 Cho K là nón lồi, nhọn, phần trong khác rỗng. Khi đó:
i) M(f (Ω), K) ⊂ Mw (f (Ω), K).
ii) ε(f (Ω), K) ⊂ εw (f (Ω), K).
Chứng minh: Do int(K) ∪ {0m } ⊂ K nên:

M(f (Ω), K) ⊂ M(f (Ω), int(K) ∪ {0m }) = Mw (f (Ω), K).
Do đó với ε(f (Ω), K) = {f (x)|x ∈ M(f (Ω), K)} thì

ε(f (Ω), K) ⊂ εw (f (Ω), K).
Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

6


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

Định nghĩa 1.2.10 Cho A ⊂ Rm . Điểm y ∈ Rm được gọi là điểm biên
của A nếu với mọi ε > 0 thì B(y, ε) ∩ A = ∅ và B(y, ε) ∩ (Rm \A) = ∅.
Tập hợp tất cả điểm biên của A kí hiệu là ∂A.
Định lý 1.2.11 Cho K là nón lồi, nhọn và K = {0m }. Khi đó:

ε(f (Ω), K) ⊂ ∂f (Ω).
Chứng minh: Tương tự cách chứng minh định lý 1.2.12.
Định lý 1.2.12 Cho K là một nón nhọn, lồi và int(K) = ∅. Khi đó:


εw (f (Ω), K) ⊂ ∂f (Ω).
Chứng minh:
Lấy bất kỳ y¯ ∈ εw (f (Ω), K) ⊂ f (Ω). Ta giả sử y¯ ∈ (f (Ω)\∂f (Ω)) =

int (f (Ω)). Khi đó, ∃δ > 0 và hình cầu mở B = {y ∈ Rm |||y|| < δ} sao
cho y¯ + B ⊂ f (Ω).
Cho k ∈ int(K), khi đó tồn tại λ < 0 với ||λk|| < δ tức là λk ∈ B nên

y¯ + λk ∈ f (Ω). Vì K là nón nên int(K) là nón nên λk ∈ −int(K). Do
đó, ta có:

y¯ + λk ∈ f (Ω) ∩ (¯
y − int(K)).
Điều này mâu thuẫn với y¯ là K-cực tiểu yếu theo Định nghĩa 1.2.4.

Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

7


Chương 2
Điều kiện cần tối ưu cấp hai của
bài toán tối ưu đa mục tiêu.
Các khái niệm, kết quả của chương này được trích dẫn từ bài báo [12] ở
mục tài liệu tham khảo.

§1

Tập tiếp xúc, Tập tuyến tính cấp 1 và cấp 2.


Cho f : Rn → Rm là hàm khả vi cấp hai tại x
¯ ∈ Ω ⊂ Rn và Rm được sắp
thứ tự bởi một nón K lồi, nhọn, phần trong khác rỗng.
Đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của hàm f : Rn → Rm tại x
¯ ký hiệu là f (¯
x) và

f (¯
x).
Để đơn giản tích vô hướng của x và y ta ký hiệu là x.y
1.1. Tập tiếp xúc cấp 1 và cấp 2.
Định nghĩa 2.1.1 a) Nón tiếp xúc với Ω tại x
¯ được định nghĩa là tập:

T (Ω, x¯) = {v ∈ Rn |∃tn → 0+ , ∃vn → v sao cho x¯ + tn vn ∈ Ω, ∀n ∈ N}.
Hay nói cách khác:

v ∈ T (Ω, x¯) ⇔ ∃tn → 0+ , ∃xn ∈ Ω sao cho
8

xn − x¯
→ v khi n → ∞.
tn


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

Cho v ∈ T (Ω, x
¯).

b) Tập tiếp xúc cấp hai parabolic với Ω tại (¯
x, v) được định nghĩa là tập:

1
T 2 (Ω, x¯, v) = {w ∈ Rn |∃tn → 0+ , ∃wn → w sao cho x¯+tn v+ t2n wn ∈ Ω, ∀n ∈ N}.
2
Hay nói cách khác:

w ∈ T 2 (Ω, x¯, v) ⇔ ∃tn → 0+ , ∃xn ∈ Ω sao cho

xn − x¯ − tn v
→ w khi n → ∞.
1 2
t
2 n

c) Tập tiếp xúc cấp hai asymtotic với Ω tại (¯
x, v) được định nghĩa là tập:

T02 (Ω, x¯, v) = {w ∈ Rn |∃tn → 0+ , γn → 0+ , wn → w sao cho γn−1 t2n → 0
và x
¯ + tn v + γn wn ∈ Ω, ∀n ∈ N}.
d) Nón tiếp xúc phần trong với Ω tại x
¯ được định nghĩa là tập::

IT (Ω, x¯) = {v ∈ Rn |∃δ > 0 sao cho x¯+tw ∈ Ω, ∀t ∈ (0, δ], ∀w ∈ B(v, δ)}.
Định nghĩa 2.1.2 Giả sử Ω là một tập lồi. Ta nói Ω là T 2 -ổn định tại

(¯
x, v) ∈ Ω × T (Ω, x¯) nếu:

T 2 (Ω, x¯, v) + T (T (Ω, x¯), v) ⊂ T 2 (Ω, x¯, v).

(2)

Mệnh đề 2.1.3 Nếu v ∈ T (Ω, x
¯) thì T 2 (Ω, x¯, v) ∪ T02 (Ω, x¯, v) = ∅.
Chứng minh:
Do v ∈ T (Ω, x
¯) nên ∃tn → 0+ và vn → v sao cho x¯ + tn vn ∈ Ω.
Đặt sn = ||vn − v||.

1
i) Nếu sn = 0 nghĩa là vn = v thì x
¯ + tn vn = x¯ + tn v + t2n .0 ∈ Ω nên
2
2
0 ∈ T (Ω, x¯, v) (1).
vn − v
ii) Nếu sn = 0 với vn → v nên sn → 0+ . Đặt wn =
, giả sử wn → w
sn
với một w = 0 nào đó.
Khi đó, vn = sn wn + v suy ra x
¯ + tn vn = x¯ + tn v + tn sn wn ∈ Ω.
Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

9


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU


t2n
tn
Nếu
=
→ 0 với x¯ + tn v + tn sn wn ∈ Ω thì w ∈ T02 (Ω, x¯, v) (2).
tn .sn
sn
tn
sn
Nếu
→ a với a = 0 thì đặt an =
→ r với một số r ≥ 0 và
sn
tn
wˆn = 2an wn → 2rw. Khi đó:
1
1
sn
x¯ + tn v + t2n wˆn = x¯ + tn v + t2n .2 wn = x¯ + tn v + tn sn wn ∈ Ω.
2
2
tn
2
Suy ra 2rw ∈ T (Ω, x
¯, v) (3).
Từ (1), (2), (3) dẫn đến T 2 (Ω, x
¯, v) ∪ T02 (Ω, x¯, v) = ∅.
Mệnh đề 2.1.4 Cho Ω ⊂ Rn là tập hợp lồi và x
¯ ∈ clΩ, intΩ = ∅. Khi

đó: IT (intΩ, x
¯) = IT (Ω, x¯) = cone+ (intΩ − x¯) = int cone(Ω − x¯).
Chứng minh:
i) Ta chứng minh đẳng thức đầu tiên: IT (intΩ, x
¯) = IT (Ω, x¯).
Lấy u ∈ IT (intΩ, x
¯), khi đó ∃δ > 0 sao cho x¯ + tw ∈ intΩ ⊂ Ω,

∀t ∈ (0, δ] và ∀w ∈ B(u, δ). Do đó, IT (intΩ, x¯) ⊂ IT (Ω, x¯).
Ngược lại, lấy u ∈ IT (Ω, x
¯) nên ∃δ > 0 sao cho x¯ + tw ∈ Ω, ∀t ∈ (0, δ]
và ∀w ∈ B(u, δ). Đặt x1 = x
¯ + tw ∈ Ω.
Do intΩ là trù mật trong Ω (nghĩa là Ω ⊂ intΩ) nên ∃x2 ∈ intΩ sao cho

||x1 − x2 || = ||¯
x + tw − x2 || < nên x¯ + tw ∈ B(x2 , ) ⊂ intΩ.
Vậy IT (Ω, x
¯) ⊂ IT (intΩ, x¯) nên IT (intΩ, x¯) = IT (Ω, x¯).
ii) Chứng minh đẳng thức cuối: cone+ (intΩ − x
¯) = int cone(Ω − x¯).
Ta có: cone+ (intΩ − x
¯) = ∪α>0 α(intΩ − x¯) là một tập mở chứa trong

cone(Ω − x¯).
Do đó, cone+ (intΩ − x
¯) ⊂ int(cone(Ω − x¯)).
Tiếp theo, Lấy v = α(x−¯
x) ∈ cone(Ω−¯
x) với α > 0 và x ∈ Ω. Cho > 0,

do intΩ là trù mật trong Ω nên ∃x1 ∈ intΩ sao cho ||x − x1 || < α−1 .
Đặt w = α(x1 − x
¯) ∈ cone+ (intΩ − x¯), khi đó:

||v − w|| = ||α(x − x¯) − α(x1 − x¯)|| = α||x − x1 || < với .
Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

10


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

Suy ra, int cone(Ω − x
¯) ⊂ cone+ (intΩ − x¯).
Vậy cone+ (intΩ − x
¯) = int cone(Ω − x¯).
iii) Cuối cùng, chứng minh: IT (Ω, x
¯) = int(cone(Ω − x¯)).
Lấy u ∈ int(cone(Ω − x
¯)) ⊂ cone(Ω − x¯), khi đó u = α(x − x¯) với α > 0
1
u
và x ∈ Ω. Đặt t = thì x = x
¯ + = x¯ + tu ∈ Ω. Vì vây, u ∈ IT (Ω, x¯).
α
α
Ngược lại, lấy u ∈ IT (Ω, x
¯) = IT (intΩ, x¯) nên ∃δ > 0 sao cho

x¯ + tw ∈ intΩ, ∀t ∈ (0, δ] và ∀w ∈ B(u, δ).

1
Khi đó, u ∈ B(w, δ), đặt x = x
¯ + tw ∈ intΩ và α = > 0. Ta có:
t
x − x¯
w=
= α(x − x¯) ∈ cone+ (intΩ − x¯) = int cone(Ω − x¯).
t
Vậy IT (intΩ, x
¯) = IT (Ω, x¯) = cone+ (intΩ − x¯) = int cone(Ω − x¯).
m
Chú ý 2.1.5 Với nón K = Rm
+ và y = (y1 , y2 , ..., ym ) ∈ R+ , ta có các

biểu thức đối với tập tiếp xúc sau:
m
i) T (Rm
+ , y) = {v ∈ R : vj ≥ 0 nếu j ∈ J(y)}.

trong đó J(y) = {j ∈ {1, ..., m} : yj = 0}.
m
2
m
ii) v ∈ T (Rm
+ , y) thì T (R+ , y, v) = {w ∈ R : wj ≥ 0 nếu j ∈ J(y, v)}.

trong đó: J(y, v) = {j ∈ J(y) : vj = 0}.
1.2. Tập tuyến tính cấp 1, cấp 2.
Định nghĩa 2.1.6 Cho g : Rn → Rp là một hàm khả vi cấp hai, Q ⊂ Rp
khác rỗng. Đặt Ω = g −1 (Q).

a) Nón trực giao với Q tại z ∈ Q kí hiệu là N (Q, z) là nón cực âm của
nón tiếp xúc T (Q, z), nghĩa là:

N (Q, z) = T (Q, z)− = {w ∈ Rp : w, u ≤ 0, ∀u ∈ T (Q, z)}.
b) Nón tuyến tính của Ω tại x
¯ ∈ Ω được định nghĩa là tập:

C(Ω, x¯) = {v ∈ Rn : g (¯
x)v ∈ T (Q, g(¯
x))}.
Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

11


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

c) Tập tuyến tính bậc 2 của Ω tại (¯
x, v) được định nghĩa là tập:

C 2 (Ω, x¯, v) = {w ∈ Rn : g (¯
x)w + g (¯
x)(v, v) ∈ T 2 (Q, g(¯
x), g (¯
x)v)}.
Chú ý:
i) Nếu v = 0 thì C 2 (Ω, x
¯, v) = C(Ω, x¯) (do T 2 (Q, g(¯
x), 0) = T (Q, g(¯
x))).

ii) Nếu C 2 (Ω, x
¯, v) = ∅ thì v ∈ C(Ω, x¯) (Vì T 2 (Q, g(¯
x), g (¯
x)v) = ∅ chỉ
ra rằng g (¯
x)v ∈ T (Q, g(¯
x))).
Bổ đề 2.1.7 Cho g : Rn → Rp là khả vi cấp hai tại x
¯ ∈ Ω ⊂ Rn ,

v ∈ T (Ω, x¯) và w ∈ Rn . Cho {xn } ⊂ Rn , tn → 0+ .
xn − x¯ − tn v
= w thì:
Nếu lim
1 2
n→∞
t
n
2
g(xn ) − g(¯
x) − tn g (¯
x)v
lim
= g (¯
x)w + g (¯
x)(v, v).
1
2
n→∞
t

2 n
Chứng minh: Đặt wn =

xn − x¯ − tn v
, từ giả thiết lim wn = w và
1 2
n→∞
t
2 n

1
xn = x¯ + tn v + t2n wn .
2
Áp dụng công thức khai triển cấp 2 của hàm g tại x
¯, ta có:
g (¯
x)
g(xn ) = g(¯
x) + g (¯
x)(xn − x¯) +
(xn − x¯, xn − x¯) + o(||xn − x¯||2 )
2
g (¯
x)
1
1
1
1
(tn v+ t2n wn , tn v+ t2n wn )+o(t2n ||v+ tn wn ||2 )
= g(¯

x)+g (¯
x)(tn v+ t2n wn )+
2
2
2
2
2
Khi đó:
g(xn ) − g(¯
x) − tn g (¯
x)v
lim
1 2
n→∞
2 tn
g (¯
x)
g (¯
x)( 12 t2n wn ) +
(tn v + 12 t2n wn , tn v + 12 t2n wn ) + o(t2n ||v + 21 tn wn ||2 )
2
= lim
1 2
n→∞
2 tn
o(t2n ||v + 12 tn wn ||2 )
1
1
= lim g (¯
x)wn + g (x)(v + tn wn , v + tn wn ) +

1 2
n→∞
2
2
2 tn
= g (¯
x)w + g (¯
x)(v, v).
(do lim wn = w và tn → 0+ nên 21 tn wn → 0+ ).
n→∞

Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

12


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

Mệnh đề 2.1.8 Cho Q ⊂ Rp , Ω = g −1 (Q), x
¯ ∈ Ω. Ta có:
i) T (Ω, x
¯) ⊂ C(Ω, x¯).
ii) T 2 (Ω, x
¯, v) ⊂ C 2 (Ω, x¯, v).
Chứng minh: Ta chứng minh (ii).
Lấy w ∈ T 2 (Ω, x
¯, v) thì ∃tn → 0+ và xn ∈ Ω = g −1 (Q) sao cho:

xn − x¯ − tn v
= w.

1 2
n→∞
t
2 n
lim

Áp dụng Bổ đề 2.1.7, ta có:

g(xn ) − g(¯
x) − tn g (¯
x)v
= g (¯
x)w + g (¯
x)(v, v)
1 2
n→∞
t
n
2
lim

(3)

Bằng định nghĩa của T 2 , ta có: ∃tn → 0+ và g(xn ) ∈ Q nên:

g (¯
x)w + g (¯
x)(v, v) ∈ T 2 (Q, g(¯
x), g (¯
x)v).

Do đó, w ∈ C 2 (Ω, x
¯, v).
i) Từ (ii) suy ra (i) khi cho v = 0.
Định nghĩa 2.1.9 i) Nếu đẳng thức T (Ω, x
¯) = C(Ω, x¯) xảy ra, ta nói
rằng điều kiện Abadie (ACQ) thỏa tại x
¯.
ii) Nếu đẳng thức T 2 (Ω, x
¯, v) = C 2 (Ω, x¯, v) = ∅ xảy ra, ta nói rằng điều
kiện bậc hai Abadie (SOACQ) thỏa tại (¯
x, v).

Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

13


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

§2

Điều kiện cần tối ưu cấp hai của bài toán có
ràng buộc tập hợp.

Cho f : Rn → Rm là một hàm khả vi cấp hai, Rm được sắp thứ tự bởi
một nón K lồi, nhọn, phần trong khác rỗng. Cho Ω ⊂ Rn , xét bài toán
tối ưu đa mục tiêu sau:





min f (x)

(MOP)



x ∈ Ω
Nếu nón K = Rm
+ thì bài toán (MOP) còn được gọi là bài toán tối ưu đa
mục tiêu Edgeworth-Pareto và K-điểm cực tiểu của bài toán (MOP) còn
được gọi là EP-điểm cực tiểu.
Cho x
¯ ∈ Ω, v ∈ Rn , đặt I(¯
x, v) = {i ∈ I : fi (¯
x)v = 0} trong đó,

I = {1, 2, ..., m}, f = (f1 , f2 , ..., fm ).
Định nghĩa 2.2.1 Cho x
¯ ∈ Ω.
a) Các tập hợp các hướng giảm của f tại x
¯ được định nghĩa như sau:

C0 (f, x¯) = {v ∈ Rn : f (¯
x)v ∈ −intK}.
C(f, x¯) = {v ∈ Rn : f (¯
x)v ∈ −clK}.
C1 (f, x¯) = {v ∈ Rn : f (¯
x)v ∈ −K}.
b) ∀v ∈ C(f, x

¯), tập hợp các hướng giảm bậc hai của f tại (¯
x, v) được
định nghĩa là:

C02 (f, x¯, v) = {w ∈ Rn : f (¯
x)w+f (¯
x)(v, v) ∈ −int[cone(K +f (¯
x)v)]}.
C 2 (f, x¯, v) = {w ∈ Rn : f (¯
x)w + f (¯
x)(v, v) ∈ −cl[cone(K + f (¯
x)v)]}.
Nếu v ∈
/ C(f, x¯) thì ta đặt C02 (f, x¯, v) = C 2 (f, x¯, v) = ∅.

Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

14


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

Định lý 2.2.2 Nếu x
¯ ∈ Ω là nghiệm cực tiểu yếu địa phương của bài
toán (MOP) thì:
i) T (Ω, x
¯) ∩ C0 (f, x¯) = ∅.
ii) T 2 (Ω, x
¯, v) ∩ C02 (f, x¯, v) = ∅, ∀v ∈ T (Ω, x¯) ∩ [C(f, x¯)\C0 (f, x¯)].
Chứng minh:

ii) Ta chứng minh phần (ii) trước. Giả sử, T 2 (Ω, x
¯, v) ∩ C02 (f, x¯, v) = ∅
nên ∃w ∈ T 2 (Ω, x
¯, v) ∩ C 2 (f, x¯, v).
Khi đó, vì w ∈ T 2 (Ω, x
¯, v) nên ∃tn → 0+ và xn ∈ Ω sao cho:

xn − x¯ − tn v
= w.
1 2
n→∞
t
2 n

(4)

v¯ = f (¯
x)w + f (¯
x)(v, v) ∈ −int(cone(K + f (¯
x)v)).

(5)

lim

Do w ∈ C 2 (f, x
¯, v), đặt:

Vì f là khả vi bậc 2 tại x
¯, với tn → 0+ và từ (4) và bổ đề 2.1.7 của §1.

Ta có:

f (xn ) − f (¯
x) − tn f (¯
x)v
= f (¯
x)w + f (¯
x)(v, v) = v¯.
1 2
n→∞
t
n
2
lim

(6)

Bởi f (¯
x)v ∈ −clK (với v ∈ C(f, x¯)). Từ Mệnh đề 2.1.4 của §1 thì:

−int cone(K + f (¯
x)v) = IT (−intK, f (¯
x)v) nên từ (5), ta có: v¯ ∈
IT (−intK, f (¯
x)v)
Từ định nghĩa 2.1.1 của §1 về nón IT , khi đó ∃ε > 0 sao cho:

1
v + B(0, ε)) ⊂ −intK, ∀t ∈ (0, ε).
f (¯

x)v + t(¯
2
Do −intK là nón dẫn đến:

1
tf (¯
x)v + t2 (¯
v + B(0, ε)) ⊂ −intK, ∀t ∈ (0, ε).
2
Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

(7)
15


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

Từ (6) với ε, sẽ tồn tại n0 ∈ N sao cho:

f (xn ) − f (¯
x) − tn f (¯
x)v
∈ v¯ + B(0, ε), ∀n ≥ n0 .
1 2
t
2 n

(8)

Do tn → 0+ nên ta giải sử rằng:


tn ∈ (0, ε), ∀n ≥ n0 .

(9)

Từ (8), điều này dẫn đến rằng:

1
v + B(0, ε)).
f (xn ) − f (¯
x) ∈ tn f (¯
x)v + t2n (¯
2
Từ (9) và (7). Ta có: f (xn ) − f (¯
x) ∈ −intK . Điều này mâu thuẫn với
định nghĩa nghiệm cực tiểu yếu địa phương của x
¯.
Do đó, T 2 (Ω, x
¯, v) ∩ C 2 (f, x¯, v) = ∅ ∀v ∈ T (Ω, x¯) ∩ [C(f, x¯)\C0 (f, x¯)].
i) và từ (ii) suy ra (i) khi cho v = 0.
Áp dụng Định lý 2.2.2 đối với bài toán đa mục tiêu Edgeworth-Pareto
(nón K = Rm
+ ), ta đi đến hệ quả tiếp theo.
Hệ quả 2.2.3 (Điều kiện cần đối với EP-cực tiểu). Giả sử K = Rm
+.
Nếu x
¯ là EP-nghiệm cực tiểu yếu địa phương của f trên Ω thì với mỗi

v ∈ T (Ω, x¯) ∩ {v ∈ X : fi (¯
x)v ≤ 0, ∀i = 1, m và ∃i : fi (¯

x)v = 0} thì hệ
dưới đây không có nghiệm trong Rn .



w ∈ T 2 (Ω, x
¯, v)


fi (¯
x)w + fi (¯
x)(v, v) < 0, ∀i ∈ I(¯
x, v)
trong đó I(¯
x, v) = {i ∈ I : fi (¯
x)v = 0} với I = {1, 2, ..., m}.
Chứng minh: Áp dụng định lý 2.2.2(ii) với:

C(f, x¯)\C0 (f, x¯) = {v ∈ X : fi (¯
x)v ≤ 0, ∀i = 1, m và ∃i : fi (¯
x)v = 0}.
C02 (f, x¯, v) = {w ∈ X : fi (¯
x)w + fi (¯
x)(v, v) < 0, ∀i ∈ I(v)}.
Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

16


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU


¯ ∈ Ω là EP-nghiệm cực tiểu địa
Định lý 2.2.4 Cho K = Rm
+ . Nếu x
phương của (MOP) thì với mọi v ∈ C1 (f, x
¯) ∩ T (Ω, x¯):

max[fi (¯
x).w] ≥ 0, ∀w ∈ T02 (Ω, x¯, v).
i∈I

(10)

Chứng minh
Giả sử rằng fi (¯
x).w < 0 với mọi i ∈ I và một số v ∈ C1 (f, x¯) ∩ T (Ω, x¯)

¯, v).
và w ∈ T02 (Ω, x
Khi đó, tồn tại tn → 0+ , γn → 0+ và wn → w sao cho:

γn−1 t2n → 0 và x¯ + tn v + γn wn ∈ Ω.
Từ fi là khả vi bậc 2 nên ta có:

1
fi (xn )−fi (¯
x) ≤ fi (¯
x).γn wn + fi (¯
x)(tn v+γn wn , tn v+γn wn )+t2n εn (11)
2

Với εn → 0 khi n → +∞, vế phải (11), ta có: fi (¯
x).w < 0 nên fi (xn ) <

fi (¯
x) với n bất kỳ đủ lớn. Điều này mâu thuẫn do x¯ là nghiệm cực tiểu
địa phương của (MOP).

Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

17


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

§3

Định lý Motzkin.

Cho tập hợp E của Rp , nón cực âm của E được định nghĩa là:

E − = {µ ∈ Rp : µ, x ≤ 0, ∀x ∈ E}.
Tương tự, nón cực dương của E được định nghĩa là: E + = −E − .
Xét các giả thiết ban đầu dưới đây:
i) ψ : Rn → Rp là tuyến tính và z0 ∈ Rp .
ii) B ⊂ Rp là tập lồi khác rỗng.

˜ là tập con của Rp , D ⊂ Rp là nón lồi khác rỗng thỏa B + D ⊂ B
˜.
iii) B
iv) ϕ : Rn → Rm là tuyến tính và y0 ∈ Rm .

v) C ⊂ Rm là nón lồi với intC = ∅.
Không gian đối ngẫu của Rp là Rp , một phần tử µ ∈ Rp được xem như
hàm tuyến tính µ từ Rp vào R.

riB là phần trong tương đối của B.
σB là hàm giá của tập lồi B: σB (µ) = supb∈B µ, b .
Bổ đề 2.3.1 Cho µ ∈ Rp , α ∈ R, B ⊂ Rp là một tập lồi, D ⊂ Rp là
một nón lồi. Khi đó:

α ≥ σB+D (µ) ⇔ µ ∈ D− và α ≥ σB (µ).
Chứng minh:
(⇒) Nếu µ, d > 0 với d ∈ D thì limt→∞ µ, b + td = +∞ và do đó giả
thiết là sai. Vì vậy, µ ∈ D− . Ta có:

sup{ µ, b + d : b ∈ B, d ∈ D} = sup{ µ, b : b ∈ B}.

(12)

Bởi vì max{ µ, d : d ∈ D} = 0 do µ ∈ D− . Vì vậy: α ≥ σB+D (µ)

⇒ α ≥ sup{ µ, b + µ, d : b ∈ B, d ∈ D} = sup{ µ, b : b ∈ B} = σB (µ).
Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

18


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

(⇐) Từ (12) suy ra điều cần chứng minh, nghĩa là:


α ≥ σB (µ) = sup{ µ, b : b ∈ B} = sup{ µ, b + µ, d : b ∈ B, d ∈ D} = σB+D (µ).
(Do max{ µ, d : d ∈ D} = 0 từ µ ∈ D− ).
Bổ đề 2.3.2 i) Với các giả thiết ban đầu (i)-(ii), các phát biểu dưới đây
là tương đương:
a) Không có x ∈ Rn sao cho ψ(x) + z0 ∈ riB .
b) Tồn tại µ ∈ Rp , µ = 0 sao cho:

µ ◦ ψ = 0, µ, z0 ≥ σB (µ) và µ, z0 > µ, b0 với một phần tử b0 ∈ B
nào đó.
ii) Giả sử thêm vào đó B là tập lồi đa diện. Khi đó, các phát biểu dưới
đây là tương đương:
a’) Không có x ∈ Rn sao cho ψ(x) + z0 ∈ B .
b’) Tồn tại µ ∈ Rp , µ = 0 sao cho: µ ◦ ψ = 0 và µ, z0 ≥ σB (µ).
Chứng minh:
i) (a) ⇒ (b). Giả sử, tập lồi ψ(Rn ) + z0 và riD là rời, ψ(Rn ) + z0 là tập
lồi đa diện. Khi đó, áp dụng định lý 20.2 sách các bài toán về điều kiện
tối ưu cấp 2 của Penot (1999), tồn tại µ ∈ Rp , µ = 0, và α ∈ R sao cho:

µ, d ≤ α ≤ µ, ψ(x) + z0 , ∀d ∈ D, x ∈ Rn .

(*1)

µ, d0 ≤ α, ∀d0 ∈ D

(*2)

Từ (*1) điều này dẫn đến µ◦ψ = 0, khi đó µ, d ≤ µ, z0 với mọi d ∈ D
nên σD (µ) ≤ µ, z0 , và từ (*2), ta có µ, d0 < µ, z0 .

(b) ⇒ (a), đặt α = µ, z0 , từ (*1) và (*2), dựa vào định lý 20.2, ta suy

ra điều cần chứng minh.
Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

19


ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

ii) Phần này ta chứng minh tương tự như phần (i) khi tập lồi đa diện D
thay thế bởi ψ(Rn ) + z0 (trong đó ri(ψ(Rn ) + z0 ) = ψ(Rn ) + z0 )
Định lý 2.3.3 (Định lý Motzkin).
Với các giả thiết ban đầu (i)-(v), xét các phát biểu dưới đây:
a) Không có x ∈ Rn sao cho:

˜
ϕ(x) + y0 ∈ −intC và ψ(x) + z0 ∈ B.

(13)

b) Tồn tại (λ, µ) ∈ Rm × Rp sao cho:

λ ∈ C + , λ = 0, µ ∈ D−

(14)

λ◦ϕ+µ◦ψ =0

(15)

λ, y0 + µ, z0 ≥ σB (µ)


(16)

Khi đó:

˜ = B + D.
(i) (b) ⇒ (a) với B
(ii) Nếu một trong các điều kiện sau thỏa:

∃x ∈ Rn sao cho ψ(x) + z0 ∈ ri(B + D).

(17)

hoặc

B + D là tập lồi đa diện và ∃x ∈ Rn sao cho ψ(x) + z0 ∈ B + D (18)
thì (a) ⇒ (b).
Chứng minh:
(i) Giả sử giả thiết (a) là sai, nghĩa là ∃x ∈ Rn sao cho (13) thỏa với

˜ = B + D. Khi đó, ψ(x) + z0 = b + d với b ∈ B, d ∈ D.
B
Do λ ∈ C + , λ = 0 và ϕ(x) + y0 ∈ −intC . Từ [7, Bổ đề 3.4.1], ta có:

λ, ϕ(x) + y0 < 0.
Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

(19)
20



ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

Từ (16) và µ ∈ D− thì:

µ, ψ(x) + z0 = µ, b + d ≤ µ, b ≤ α0 = λ, y0 + µ, z0 .

(20)

Từ (19) và (20), ta có:

λ, ϕ(x) + y0 + µ, ψ(x) + z0 < α0 .
Điều này lại mâu thuẫn với (15).
(ii) Goi Γ = {x ∈ Rn : ψ(x) + z0 ∈ B + D}. Khi đó, Γ là tập lồi và Γ = ∅
(từ (17) hoặc (18)). Xét hệ phương trình:



ϕ(x) + y0 ∈ −intC

(21)



ψ(x) + z0 ∈ B + D
Hệ (21) là vô nghiệm từ điều kiện (a) và giả thiết A(iii). Ta nói, hệ (21)
là vô nghiệm nếu không có x ∈ Γ sao cho:

φ(x) = ϕ(x) + y0 ∈ −intC .
Do φ là C-lồi nên theo [7, Định lý 3.4.2], ∃λ ∈ C + , λ = 0 sao cho:


λ, φ(x) ≥ 0, ∀x ∈ Γ.
Xét

θ, x ≥ β0 với θ = λ ◦ ϕ là tuyến tính từ Rn vào Rn .

(22)

ˆ t) = θ(x) − β0 t.
θˆ : Rn × R → R với θ(x,

(23)

ˆ t) = (ψ(x) + tz0 , t).
ψˆ : Rn × R → Rp × R với ψ(x,

(24)

Đặt

(θˆ và ψˆ là hàm tuyến tính).

ˆ t) ∈ cone+ ((B + D) × {1})}. Khi đó, Γ
ˆ = {(x, t) ∈ Rn × R : ψ(x,
ˆ
và Γ
là nón lồi khác rỗng.

ˆ (nghĩa là t = 1) thì:
Từ (22) và (23), ∀(x, t) ∈ Γ

Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017

21