BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÙI VIỆT ĐỨC

CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ BẤT BIẾN
DICKSON CỦA STEINBERG

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học

TS. NGUYỄN ĐẶNG HỒ HẢI

Huế, Năm 2016
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên
cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên
cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng
được công bố trong bất kỳ một công trình nào
khác.
Bùi Việt Đức

ii


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu, xin gửi đến TS. Nguyễn Đặng Hồ Hải lời cảm ơn sâu sắc về sự
tận tình giúp đỡ của thầy đối với tôi trong suốt quá trình Thầy giảng dạy tại
lớp Cao học K23 và nhất là trong quá trình tôi hoàn thành Luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy, cô khoa Toán của Trường
Đại học Sư phạm Huế đã tận tình giảng dạy và truyền đạt những kiến thức
bổ ích trong suốt khóa học tại Trường Đại học Sư phạm Huế.
Chân thành cảm ơn các Anh, Chị học viên Cao học khóa 23, đặc biệt là
các Anh, Chị chuyên ngành Đại số và lý thuyết số và cũng như tất cả bạn bè
của tôi đã luôn hỗ trợ tôi suốt quá trình tôi học tập.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn Bố, Mẹ và toàn thể gia đình tôi-những người đã
động viên tôi rất nhiều và cũng là động lực giúp tôi hoàn thành Luận văn này.
Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng Luận văn sẽ không tránh khỏi những
thiếu sót. Tôi rất mong các thầy cô giáo cùng các bạn đánh giá, góp ý để
Luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Bùi Việt Đức

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan


ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

2

Lời mở đầu

3

1 Đại số bất biến Dickson

6

1.1

Nhóm tuyến tính tổng quát trên trường hữu hạn . . . . . . . .

6

1.2

Tác động của nhóm tuyến tính tổng quát lên đại số đa thức .

8


1.3

Phát biểu định lý Dickson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4

Ví dụ minh họa với n = 1, 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2 Chứng minh Định lý bất biến Dickson của Steinberg

14

2.1

Định lý của Steinberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2

Hai bổ đề phụ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3


Chứng minh mệnh đề (ar ) và (br ) của Định lý Steinberg . . .

18

1


2.4

Chứng minh mệnh đề (cr ) của Định lý Steinberg . . . . . . . .

21

Kết luận

23

Tài liệu tham khảo

24

2


LỜI MỞ ĐẦU
Cố định số nguyên tố p và xét đại số đa thức S := Fq [x1 , . . . , xn ] trên
trường hữu hạn Fq với q là một lũy thừa của p. Bằng cách đồng nhất nhóm
tuyến tính tổng quát G := GL(n, Fq ) với nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính
của không gian véc tơ V := Fq x1 , . . . , xn , ta thu được một tác động của

nhóm G lên đại số đa thức S.
Đại số con S G gồm các đa thức trong S bất biến dưới tác động của G được
xác định lần đầu tiên bởi L. Dickson [1] vào những năm đầu thế kỉ 20. Cụ
thể, Dickson chứng minh rằng S G là đại số đa thức
S G = Fq [Qn,0 , . . . , Qn,n−1 ]
trong đó Qn,r , 0 ≤ r ≤ n − 1, là các đa thức của các biến x1 , . . . , xn xác định
bởi đẳng thức sau đây:
n−1
qn

(t − a1 x1 − · · · − an xn ) = t
(a1 ,...,an )∈Fn
q

r

(−1)n−r Qn,r tq .

+
r=0

Các đa thức Qn,r , 0 ≤ r ≤ n − 1, được gọi là các bất biến Dickson và đại số
Fq [Qn,0 , . . . , Qn,n−1 ] được gọi là đại số bất biến Dickson của nhóm GLn (Fq ),
hay cho gọn là đại số Dickson của GLn (Fq ).
Những công trình của Milgram–Man, Singer, Adams–Wilkerson, Rector,
Lam, Mùi, và Smith–Switzer (xem các tài liệu tham khảo trong [6]) cho thấy
3


đại số Dickson đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết bất biến modular của

nhóm tuyến tính tổng quát cũng như trong tô pô đại số.
Chứng minh nguyên thủy của Dickson là rất phức tạp. Sau đó nhiều chứng
minh khác được đề xuất, có thể kể đến các chứng minh của Ore (1933), của
nhóm Bourbaki (1968) và của Wilkerson (1983).
Robert Steinberg, tác giả của biểu diễn Steinberg [4] nổi tiếng trong lý
thuyết biểu diễn nhóm, đã đề xuất một chứng minh khác trong bài báo [5]
cho định lý của Dickson. Theo Steinberg, chứng minh này đơn giản hơn các
chứng minh đã có, và điểm đặc biệt là nó cho phép đồng thời kết luận S G là
đại số đa thức cũng như khẳng định S là một mô đun tự do trên vành S G với
cơ sở gồm các đơn thức xi11 · · · xinn trong đó 0 ≤ ir < q n − q r−1 với mọi r.
Sự kiện S là một mô đun tự do trên S G là rất thú vị từ quan điểm của
lý thuyết biểu diễn nhóm tuyến tính tổng quát, bởi theo một kết quả của S.
Mitchell, Fq ⊗S G S có cùng các nhân tử hợp thành với biểu diễn chính quy
Fq [G], và việc khảo sát Fq ⊗S G S như một biểu diễn modular của G hiện nay
vẫn còn là một vấn đề mở.
Với đề tài "Chứng minh Định lý bất biến Dickson của Steinberg", chúng
tôi mong muốn tìm hiểu về các bất biến của nhóm tuyến tính tổng quát đồng
thời tìm hiểu và làm sáng tỏ phép chứng minh của Steinberg cho định lý bất
biến của Dickson. Trong tương lai, khi điều kiện cho phép, chúng tôi cũng
mong muốn sử dụng những kiến thức tìm hiểu ở luận văn này để nghiên cứu
về lý thuyết biểu diễn của nhóm tuyến tính tổng quát.
Luận văn này bao gồm hai chương.

4


Chương 1. Đại số bất biến Dickson.
Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày về nhóm tuyến tính tổng
quát GLn (Fq ) trên trường hữu hạn, tác động của GLn (Fq ) lên đại số đa thức
Fq [x1 , . . . , xn ]. Sau đó chúng tôi phát biểu Định lý bất biến Dickson và minh

họa cho trường hợp n = 1, 2.
Chương 2. Chứng minh Định lý bất biến Dickson của Steinberg.
Trong chương này chúng tôi trình bày chứng minh của Steinberg dựa theo
bài báo [5]. Trước hết chúng tôi phát biểu một kết quả tổng quát, gồm ba
phần, của Steinberg mà một trường hợp riêng của hai phần đầu chính là Định
lý Dickson. Sau đó để trình bày chứng minh kết quả tổng quát này, chúng tôi
trình bày hai bổ đề phụ trợ liên quan đến các bất biến Dickson. Tiếp theo
chúng tôi trình bày chứng minh hai phần đầu của Định lý của Steinberg,
dựa trên hai bổ đề phụ trợ và dựa trên kết quả sau trong lý thuyết mở rộng
trường:
(1) Mở rộng trường LG ⊂ L có bậc |G| trong đó G là một nhóm con hữu
hạn của nhóm các tự đẳng cấu của trường L.
Phần thứ ba của Định lý của Steinberg nói về tính độc lập đại số của một
tập các đa thức P1 , . . . , Pn trong Fq [x1 , . . . , xn ]. Điều này được chứng minh
sau cùng dựa trên hai bổ đề phụ trợ và dựa trên sự kiện sau về bậc siêu việt:
(2) Nếu mở rộng trường Fq (P1 , . . . , Pn ) ⊂ Fq (x1 , . . . , xn ) là một mở rộng
đại số thì bậc siêu việt của Fq (P1 , . . . , Pn ) trên Fq bằng n, và do đó P1 , . . . , Pn
là độc lập đại số trên trường Fq .

5


CHƯƠNG 1
Đại số bất biến Dickson
Trong chương này, ta mô tả tác động của nhóm tuyến tính tổng quát GLn (Fq )
lên đại số đa thức Fq [x1 , . . . , xn ] cảm sinh bởi tác động tự nhiên của GLn (Fq )
lên Fq -không gian véc tơ với cơ sở x1 , . . . , xn . Sau đó, ta sẽ phát biểu định lý
Dickson mô tả tất cả các đa thức bất biến dưới tác động của nhóm GLn (Fq ),
và nêu ví dụ minh họa cho các trường hợp n = 1, 2. Chứng minh của Định lý
Dickson bởi Steinberg sẽ được trình bày trong chương sau.


1.1

Nhóm tuyến tính tổng quát trên trường hữu
hạn

Cố định p là một số nguyên tố và q là môt lũy thừa của p. Nhắc lại rằng, sai
khác một đẳng cấu, tồn tại duy nhất một trường hữu hạn có q phần tử. Khi
q = p, Fp ∼
= Z/pZ, trong đó Z/pZ là trường các số nguyên modulo p với các
phép toán thông thường. Khi q = pk , k > 1, trường Fq đẳng cấu với Fp [x]/(f )
trong đó f là một đa thức bất khả quy bậc k trong vành đa thức Fp [x].

6


Lưu ý rằng, vì trường hữu hạn Fq có đặc số p, nên ta có đẳng thức sau đây
(x + y)p = xp + y p ,
và tổng quát hơn,
m

m

m

(x + y)p = xp + y p ,
với mọi x, y ∈ Fq , và với mọi m ∈ N. Điều này có được là do các hệ số nhị
p
thức
, 1 ≤ i ≤ p − 1, đều chia hết cho p.

i
Định nghĩa 1.1.1. Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu GLn (Fq ) là tập hợp
các ma trận vuông cấp n khả nghịch với hệ số trên trường hữu hạn Fq . Tập
GLn (Fq ) cùng với phép toán nhân ma trận là một nhóm, gọi là nhóm tuyến
tính tổng quát cấp n trên trường hữu hạn Fq .
Với n = 1, GL1 (Fq ) ∼
= F×
q nên GL1 (Fq ) có q − 1 phần tử. Trong trường hợp
tổng quát, số phần tử của GLn (Fq ) được cho bởi:
Mệnh đề 1.1.2. Nhóm GLn (Fq ) có (q n − 1)(q n − q)...(q n − q n−1 ) phần tử.
Chứng minh. Mỗi phần tử của GLn (Fq ) có thể đồng nhất với một bộ có thứ
tự gồm n véc tơ cột a1 , a2 , . . . , an độc lập tuyến tính trong không gian Fnq . Vì
véc tơ a1 thuộc Fnq và khác véc tơ không nên có q n − 1 cách chọn a1 .
Tương tự, vì véc tơ a2 độc lập tuyến tính với a1 nên a2 không thuộc không
gian con của Fnq sinh bởi a1 , như thế có q n − q cách chọn a2 .
Tiếp tục quá trình này, mỗi khi đã chọn được các véc tơ a1 , . . . , ai−1 , ta sẽ
có q n − q i−1 cách chọn véc tơ ai vì ai không thuộc không gian con của Fnq sinh
bởi a1 , . . . , ai−1 .
Mệnh đề được chứng minh.
7


1.2

Tác động của nhóm tuyến tính tổng quát lên
đại số đa thức

Trong mục này ta định nghĩa một tác động của nhóm GLn (Fq ) lên đại số đa
thức n biến Fq [x1 , . . . , xn ].
Định nghĩa 1.2.1. Cho G là nhóm một và S là một tập hợp. Ta nói nhóm G

tác động lên tập S nếu có ánh xạ ϕ : G × S → S
(x,s)

→ ϕ(x,s)

sao cho, với mọi x, y ∈ G

và với mọi s ∈ S, ta có
1) ϕ(xy, s) = ϕ (x, ϕ(y, s)),
2) ϕ(1G , s) = s.
Ánh xạ sau đây cho ta một tác động của nhóm GLn (Fq ) lên đại số đa thức
n biến Fq [x1 , . . . , xn ]:
ϕ : GLn (Fq ) × Fq [x1 , . . . , xn ] → Fq [x1 , . . . , xn ]
(g, P ) → gP
trong đó, với g = (aij ), và P = P (x1 , . . . , xn ), gP là đa thức
gP (x1 , x2 , ..., xn ) = P (g(x1 ), g(x2 ), ..., g(xn ))
n

aij xj .

với g(xi ) =
j=1

Mệnh đề 1.2.2. Ánh xạ ϕ là một tác động của nhóm GLn (Fq ) lên đại số đa
thức Fq [x1 , . . . , xn ].

8


Chứng minh. Với 1 là ma trận đơn vị, ta có

1P (x1 , x2 , ..., xn ) = P (1(x1 ), 1(x2 ), ..., 1(xn )) = P (x1 , x2 , ..., xn ) ,
tức là ϕ (1, P ) = 1P = P . Mặt khác ∀g = (aij )n.n , h = (bij )n.n ∈ GLn (Fq ), ta
có

n

n

n

aij .bjk xk

c1k xk =

gh(xi ) =

j=1

k=1
n

k=1

=

n

aij .

n


bjk xk

j=1

k=1

=

aij (h (xj ))
j=1

=g (h (xi )) .
Do đó

P (gh(x1 ), gh(x2 ), ..., gh(xn )) =P (g (h(x1 )) , g (h(x2 )) , ..., g (h(xn )))
=gP (h(x1 ), h(x2 ), ..., h(xn ))
=g [hP (x1 , x2 , ..., xn )]
Như vậy gh (P ) = g (hP ), và do đó
ϕ (gh, P ) = gh (P ) = g (hP ) = ϕ (g, hP ) = ϕ (g, ϕ (h, P )) .
Vậy ϕ là một tác động của nhóm GLn (Fq ) lên đại số đa thức Fq [x1 , . . . , xn ].
Mệnh đề được chứng minh.
Nhận xét 1.2.3. Tác động của GLn (Fq ) lên Fq [x1 , . . . , xn ] mô tả ở trên là
một tác động tuyến tính, theo nghĩa, với mỗi g ∈ GLn (Fq ), ánh xạ P → gP
9


là một tự đồng cấu tuyến tính của Fq [x1 , . . . , xn ]. Như thế, tác động này biến
Fq [x1 , . . . , xn ] thành một mô đun phân bậc trên vành nhóm Fq [GLn (Fq )].
Ví dụ 1.2.4. Cho n = 1, khi đó nhóm tuyến tính tổng quát cấp 1 trên

trường Fq là GL1 (Fq ) = {(a)|a ∈ Fq × }. Chẳng hạn với g = (a) ∈ GL1 (Fq ),
P (x) = x2 + x + 1 ∈ Fq [x], ta có
gP (x) = (ax)2 + ax + 1.
Ví dụ 1.2.5. Cho n = 2, khi đó nhóm tuyến tính tổng quát cấp 2 trên
trường Fq là





 a b



GL2 (Fq ) = 
 |a, b, c, d ∈ Fq , ad − bc = 0 .


 c d

Nhóm tuyến tính tổng quát GL2 (Fq ) tác động lên đại số đa thức Fq [x1 , x2 ]
như sau:
gP (x1 , x2 ) = P (ax1 + bx2 , cx1 + dx2 ).


a b 
trong đó P (x1 , x2 ) ∈ Fq [x1 , x2 ], g = 
 ∈ GL2 (Fq ).
c d
Chẳng hạn với p = 2, và P (x1 , x2 ) = x1 2 + x1 x2 + x22 , ma trận g =


10






a b 

 ∈ GL2 (F2 ) tác động lên đa thức P như sau:
c d
gP =(ax1 + bx2 )2 + (ax1 + bx2 )(cx1 + dx2 ) + (cx1 + dx2 )2
=ax1 2 + bx22 + acx1 2 + adx1 x2 + bdx22 + cx1 2 + dx22 + bcx1 x2
=(a + ac + c)x1 2 + (ad + bc)x1 x2 + (b + bd + d)x22
=x1 2 + x1 x2 + x22
=P.
Như vậy g(x1 2 + x1 x2 + x22 ) = x1 2 + x1 x2 + x22 với mọi g ∈ GL2 (F2 ). Khi
đó ta nói rằng đa thức P = x1 2 + x1 x2 + x22 là một đa thức bất biến dưới tác
động của nhóm GL2 (F2 ).
Định lý Dickson được phát biểu dưới đây mô tả tất cả các đa thức thuộc
Fq [x1 , . . . , xn ] bất biến dưới tác động của nhóm GLn (Fq ).

1.3

Phát biểu định lý Dickson

Tập các đa thức trong Fq [x1 , x2 , ..., xn ] bất biến dưới tác động của nhóm
GLn (Fq ) được ký hiệu là Fq [x1 , . . . , xn ]GLn (Fq ) .
Rõ ràng Fq [x1 , . . . , xn ]GLn (Fq ) là một đại số con của đại số Fq [x1 , . . . , xn ].

GLn (Fq )

Định lý 1.3.1 (Định lý bất biến Dickson). Đại số Fq [x1 , ...xn ]
đại số đa thức:
GLn (Fq)

Fq [x1 , ...xn ]

= Fq [I0 , I1 , ..., In−1 ],

11

là một


trong đó Ir , 0 ≤ r ≤ n − 1, là đa thức của các biến x1 , x2 , ..., xn xác định bởi
công thức sau đây:
x1

x2

...

xn

xq1
..
.

xq2

..
.

...

xqn
..
.

xq2

r+1

xq2
..
.

xq1
..
.

n

Ir =

[0, 1, · · · , rˆ, · · · , n]
:=
[0, 1, · · · , n − 1]

r+1


n

xq1

xq2

r−1

...

xqn

...
...

xqn
..
.

...

xqn

r+1

n

x1


x2

...

xn

xq1
..
.

xq2
..
.

...

xqn
..
.

n−1

xq1
Nhận xét 1.3.2.

r−1

r−1

xq1


···

n−1

xq2

...

.

n−1

... xqn

1) Mặc dù các bất biến Ir được cho dưới dạng phân

thức, trong chương sau ta sẽ thấy chúng thật sự là các đa thức thuộc
Fq [x1 , . . . , xn ].
2) Các đa thức Ir được gọi là các bất biến Dickson của nhóm GLn (Fq ) và
đại số Fq [I0 , I1 , ..., In−1 ] được gọi là đại số bất biến Dickson hay đại số
Dickson của nhóm GLn (Fq ). Vì Ir phụ thuộc cả vào tham số n, trong
các tài liệu sau này, người ta hay kí hiệu Ir thành Dn,r , để chỉ Dickson,
hoặc Qn,r [6].

12


1.4


Ví dụ minh họa với n = 1, 2

Ví dụ 1.4.1. Với n = 1, ta có
I0 =
GL1 (Fq )

[1] xq1
=
= xq−1
1 .
[0] x1

= Fq [xq−1
1 ].

Vậy Fq [x1 ]

Ví dụ 1.4.2. Với n = 2, I0 , I1 được cho bởi các đa thức sau:
xq1
2

xq1

[1, 2]
I0 =
=
[0, 1]

xq2
2


xq2

x1 x2

2

2

xq1 xq2 − xq1 xq2
= (x1 xq2 − xq1 x2 )q−1 ,
=
x1 xq2 − xq1 x2

xq1 xq2
x1
2

xq1

[0, 2]
I1 =
=
[0, 1]

x2
2

xq2


x1 x2

2

2

x1 xq2 − xq1 x2
(q−1)i (q−1)j
=
=
x1
x2
.
q
q
x1 x2 − x1 x2
i+j=q

xq1 xq2
Như vậy, theo định lý Dickson, ta có
GL2 (Fq )

Fq [x1 ,x2 ]

(q−1)i (q−1)j
x2

= Fq (x1 xq2 − xq1 x2 )q−1 ,

x1

i+j=q

Cụ thể với q = 2, ta có
GL2 (F2 )

F2 [x1 ,x2 ]

= F2 [x1 x22 + x21 x2 , x1 2 + x1 x2 + x22 ].

13

.


CHƯƠNG 2
Chứng minh Định lý bất biến
Dickson của Steinberg
Trong chương này, ta trình bày chứng minh Định lý bất biến Dickson của
Steinberg dựa theo bài báo [5].

2.1

Định lý của Steinberg

Steinberg [5] thu được Định lý bất biến Dickson (Định lý 1.3.1) như là một
trường hợp riêng của định lý sau đây:
Định lý 2.1.1 (Steinberg). Với 0 ≤ r ≤ n, kí hiệu G(r) là nhóm con của
GLn (Fq ) gồm các ma trận có r hàng đầu tiên giống với ma trận đơn vị. Khi
đó,
G(r)


(ar ) Fq [x1 , . . . , xn ]

G(r−1)

là mô đun tự do trên Fq [x1 , . . . , xn ]

với cơ sở là

xir |i < q n − q r−1 .
G(r)

(br ) Fq [x1 , . . . , xn ]

là một đại số được sinh ra bởi x1 , ..., xr , Ir , ..., In−1 .

(cr ) x1 , ..., xr , Ir , ..., In−1 là độc lập đại số trên Fq .
14


1) Phát biểu thứ hai và thứ ba với r = 0 chính là Định

Nhận xét 2.1.2.

lý bất biến của Dickson.
2) Kết hợp các phát biểu thứ nhất với r thay đổi từ 0 đến n, ta suy ra
Fq [x1 , . . . , xn ] là một một đun tự do trên Fq [x1 , . . . , xn ]GLn (Fq ) với cơ sở
gồm các đơn thức xi11 · · · xinn trong đó 0 ≤ ir < q n − q r−1 với mọi r.

2.2


Hai bổ đề phụ trợ

Để chứng minh Định lý 2.1.1, Steinberg trước hết sử dụng hai Bổ đề sau đây:
Bổ đề 2.2.1. Đa thức biến số T , hệ số trong vành Fq [x1 , . . . , xn ],
n

T q − In−1 T q

n−1

+ In−2 T q

n−2

n

− ... + (−1) I0 T,

có đúng q n nghiệm phân biệt là các Fq -tổ hợp tuyến tính của x1 , x2 , ..., xn .
Chứng minh. Đặt

f (T ) =

x1 ... xn

T

xq1 ... xqn


Tq

...

...

n

xq1

...

...
n

... xqn

Tq

.

n

Bằng cách khai triển Laplace theo cột cuối cùng, ta được
n

f (T ) = Λn T q − Λn−1 T q

n−1


+ Λn−2 T q

15

n−2

n

− .... + (−1) Λ0 T,


trong đó
x1

x2

...

xn

xq1

xq2

...

xqn

r−1


Λr =

r−1

xq1

xq2

r+1
xq1

..
.

xqn

r+1
xq2

...

r+1
xqn

..
.

...

..

.

...

xqn

n

n

x2q

xq1

r−1

...

0 ≤ r ≤ n.

,

n

Với T = a1 x1 + a2 x2 + .... + an−1 xn−1 + an xn , ai ∈ Fq , là một tổ hợp tuyến
tính của x1 , . . . , xn , ta có
qr

(T )


qr

= (a1 x1 + a2 x2 + .... + an−1 xn−1 + an xn )
qr

qr

qr

qr

= (a1 x1 ) + (a2 x2 ) + ... + (an−1 xn−1 ) + (an xn )
r

r

r

r

r

r

r

r

= aq1 xq1 + aq2 xq2 + .... + aqn−1 xqn−1 + aqn xqn
r


r

r

r

= a1 xq1 + a2 xq2 + .... + an−1 xqn−1 + an xqn .
Do đó

f (a1 x1 + · · · + an xn ) =

x1 ... xn

a1 x1 + a2 x2 + .... + an−1 xn−1 + an xn

xq1 ... xqn

a1 xq1 + a2 xq2 + .... + an−1 xqn−1 + an xqn

...
n

xq1

...

...
n


... xqn

...
n

n

n

n

a1 xq1 + a2 xq2 + .... + an−1 xqn−1 + an xqn

= 0,
vì cột cuối cùng là một tổ hợp tuyến tính của n cột đầu tiên. Như thế q n tổ
hợp tuyến tính của x1 , . . . , xn đều là nghiệm của f (T ). Theo định nghĩa của
16


Ir , ta có Ir = Λr /Λn . Ta kết luận được đa thức
n

f (T )/Λn = T q − In−1 T q

n−1

+ In−2 T q

n−2


n

− .... + (−1) I0 T

có đúng q n nghiệm là các tổ hợp tuyến tính của x1 , x2 ...xn . Bổ đề được chứng
minh.
Nhận xét 2.2.2. Theo Bổ đề trên, ta có đẳng thức
n

(T − x) = T q − In−1 T q

n−1

+ In−2 T q

n−2

n

− .... + (−1) I0 T,

x∈Fq x1 ,...,xn

trong đó Fq x1 , . . . , xn là Fq -không gian véc tơ với cơ sở x1 , . . . , xn . Vì mỗi
phần tử của GLn (Fq ) là một tự đẳng cấu của Fq x1 , . . . , xn , ta thấy ngay các
bất biến Ir là các bất biến dưới tác động của GLn (Fq ). Hơn nữa, đẳng thức
này cũng cho ta kết luận được các Ir là các đa thức của các biến x1 , . . . , xn .
Bổ đề sau là một hệ quả trực tiếp của Bổ đề 2.2.1 ở trên. Nó sẽ đóng vai
trò cốt yếu trong chứng minh Định lý 2.1.1.
Bổ đề 2.2.3. Với mỗi 1 ≤ r ≤ n, xr là nghiệm của một đa thức hệ số dẫn

đầu bằng 1 và có bậc q n − q r−1 với hệ số trên Fq [x1 , ..., xr−1 , Ir−1 , ..., In−1 ].
Chứng minh. Đặt
(T − x).

Fk (T ) =
x∈Fq x1 ,...,xk

Rõ ràng Fn (T ) chia hết cho Fr−1 (T ) và do đó

Fn (T )
là một đa thức chuẩn
Fr−1 (T )

biến T có bậc bằng q n − q r−1 .
Hơn nữa do Fn (T ) lấy hệ số trên Fq [I0 , I1 , ..., In−1 ] theo Bổ đề 2.2.1, và
Fn (T )
lấy hệ số trên
Fr−1 (T ) lấy hệ số trên Fq [x1 , x2 , ..., xr−1 ] nên
Fr−1 (T )
Fq [x1 , x2 , ..., xr−1 ,I0 , I1 , ..., In−1 ].
17


Do các đa thức I0 , I1 , ..., Ir đều có bậc toàn thể cao hơn q n − q r−1 nên

Fn (T )
Fr−1 (T )

lấy hệ số trên Fq [x1 , ..., xr−1 , Ir−1 , ..., In−1 ].
Fn (T )

Như vậy xr là nghiệm của đa thức
thỏa mãn các tính chất mong
Fr−1 (T )
muốn.

Chứng minh mệnh đề (ar ) và (br ) của Định lý

2.3

Steinberg
Steinberg chứng minh các phát biểu (ar ) và (br ) của Định lý 2.1.1 bằng quy
nạp, và các bước lập luận trong chứng minh được Steinberg đúc kết lại bằng
định lý tổng quát sau đây:
Định lý 2.3.1 (Steinberg). Cho k là một trường, G, H là hai nhóm con hữu
hạn của GLn (k) và H ⊂ G. Giả sử S là một tập con của k[X]H và T là một
tập con của k[X]G thỏa mãn các điều kiện sau đây:
1) S sinh ra k[X]H ,
2) S \ T = {Y },
3) Tồn tại số nguyên dương m ≤ |G/H| và các đa thức a0 , . . . , am−1 ∈ k[T ]
sao cho
a0 + a1 Y + · · · am−1 Y m−1 + Y m = 0.
Khi đó,
1) k[X]H là một mô đun tự do trên k[X]G với cơ sở là
{Y i | 0 ≤ i < |G/H|},
18


2) T sinh ra k[X]G .
Trong định lý này, k[X] là đại số đa thức k[x1 , . . . , xn ], và với mỗi tập con
S ∈ k[X], k[S] là đại số sinh bởi các phần tử trong tập S, tức là tập các tổ

hợp k-tuyến tính của si11 · · · skik với các sj ∈ S. Ta nói S ⊂ A sinh ra A nếu
A = k[S]. Trong chứng minh dưới đây cũng như sau này, ta sẽ sử dụng kí
hiệu k(S) để chỉ trường phân thức của miền nguyên k[S].
Chứng minh.
1) Lấy F bất kỳ thuộc k[X]H . Theo điều kiện 1, ta có F thuộc k[S]. Theo
điều kiện 2, ta có F ∈ k[T ][Y ], tức là có thể viết F thành một đa thức theo
biến Y với hệ số trong k[T ]. Theo điều kiện 3, có thể giả sử đa thức này có
bậc theo biến Y nhỏ hơn |G/H|.
Như vậy k[X]H là một k[T ]-mô đun với hệ sinh 1, Y, . . . , Y |G/H|−1 . Vì T ⊂
k[X]G nên k[T ] ⊂ k[X]G , và do đó k[X]H cũng là một k[X]G -mô đun với hệ
sinh 1, Y, . . . , Y |G/H|−1 (*).
Chuyển từ vành đa thức k[X] qua trường phân thức k(X), ta thấy
1, Y, . . . , Y |G/H|−1
cũng là một hệ sinh của không gian véc tơ k(X)H trên trường k(X)G (**).
Thật vậy, với một phân thức p/q bất kỳ thuộc k(X)H , ta có thể giả sử
q ∈ k[X]G bằng cách thay mẫu số q bởi tích q :=

g · q ∈ k[X]G . Khi đó
g∈G

H

viết p/q = p /q thì p ∈ k[X]

H

(vì q ∈ k[X] ), do đó tử số p là một tổ hợp

tuyến tính của 1, Y, . . . , Y |G/H|−1 với hệ số trên k[X]G , theo (*). Như vậy p /q
là một tổ hợp tuyến tính của 1, Y, . . . , Y |G/H|−1 với hệ số trên trường k(X)G .

19


Bây giờ ta sử dụng kết quả sau đây trong lý thuyết mở rộng trường [3,
Chapter 3]:
Nếu G là một nhóm con hữu hạn của nhóm các tự đẳng cấu của một trường
L, thì L là một không gian véc tơ |G|-chiều trên trường con LG .
Hệ quả là nếu H là một nhóm con của G thì dãy mở rộng trường LG ⊂
LH ⊂ L cho ta
[LH : LG ] = [L : LG ]/[L : LH ] = |G|/|H|.
Như vậy k(X)H là một không gian véc tơ |G/H|-chiều trên k(X)G , và do đó
theo (**), hệ 1, Y, . . . , Y |G/H|−1 là một cơ sở của không gian véc tơ này. Tính
độc lập tuyến tính của hệ này trên k(X)G kéo theo tính độc lập tuyến tính
của hệ đó trên k[X]G . Kết hợp điều này với (*) ta suy ra k[X]H là một mô
đun tự do trên k[X]G với cơ sở 1, Y, . . . , Y |G/H|−1 . Khẳng định 1 được chứng
minh.
2) Lấy F bất kỳ thuộc k[X]G , ta có F thuộc k[X]H . Tương tự đoạn đầu
|G/H|−1

ci Y i với ci ∈ k[T ]. Vì T chứa

của chứng minh trên, ta có thể viết F =
i=0

trong k[X]G nên các hệ số ci đều thuộc k[X]G , và do đó đẳng thức
|G/H|−1
0

ci Y i


F.Y =
i=0

cùng với tính độc lập tuyến tính trên k[X]G của hệ 1, Y, . . . , Y |G/H|−1 kéo theo
F = c0 ∈ k[T ]. Như vậy ta đã chứng minh mọi đa thức F thuộc k[X]G đều
thuộc k[T ], tức là T sinh ra k[X]G . Khẳng định 2 được chứng minh.
Chứng minh (ar ) và (br ) của Định lý 2.1.1. Nhắc lại ta cần chứng minh 2
mệnh đề sau đây:
20


G(r)

(ar ) Fq [x1 , . . . , xn ]

là mô đun tự do trên Fq [x1 , . . . , xn ]

G(r−1)

với cơ sở là

xir |i < q n − q r−1 .
G(r)

(br ) Fq [x1 , . . . , xn ]

là đại số sinh ra bởi x1 , ..., xr , Ir , ..., In−1 .

Ở đây G(r) là nhóm con của GLn (Fq ) gồm các ma trận có r hàng đầu tiên
giống với ma trận đơn vị. Xuất phát từ mệnh đề hiển nhiên (bn ), ta sẽ chứng

minh mệnh đề (br ) kéo theo các mệnh đề (ar ) và (br−1 ).
Giả sử (br ) là đúng, tức là Fq [x1 , . . . , xn ]

G(r)

là một đại số sinh ra bởi

x1 , ..., xr , Ir , ..., In−1 . Khi đó, theo Bổ đề 2.2.3, ta suy ra xr là nghiệm của một
G(r)

đa thức chuẩn có bậc q n − q r−1 với hệ số trên Fq [x1 , . . . , xn ]

. Như vậy ta

thấy rằng các giả thiết của Định lý 2.3.1 được thỏa mãn với
G = G(r − 1),
H = G(r),
S = {x1 , . . . , xr , Ir , . . . , In−1 },
T = {x1 , . . . , xr−1 , Ir−1 , . . . , In−1 },
Y = xr ,
và do đó, theo Định lý 2.3.1, ta thu được các mệnh đề (ar ) và (br−1 ).

2.4

Chứng minh mệnh đề (cr ) của Định lý Steinberg

Ta cần chứng minh các đa thức x1 , ..., xr , Ir , ..., In−1 độc lập đại số trên Fq .
Theo Bổ đề 2.2.3, mở rộng trường
Fq (x1 , ..., xr , Ir , ..., In−1 ) ⊂ Fq (x1 , . . . , xn )
21



là một mở rộng đại số, vì các x1 , . . . , xn là đại số trên Fq (x1 , ..., xr , Ir , ..., In−1 ).
Điều này dẫn đến kết luận bậc siêu việt của Fq (x1 , ..., xr , Ir , ..., In−1 ) trên Fq
bằng bậc siêu việt của Fq (x1 , . . . , xn ) trên Fq , tức là bằng n [2, Chapter VIII].
Từ đó suy ra các phần tử sinh x1 , ..., xr , Ir , ..., In−1 là độc lập đại số trên Fq .

22