ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗

MAI THỊ HOÀI AN

BÀI TOÁN ĐẶT CHỈNH
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Thừa Thiên Huế, năm 2017


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗

MAI THỊ HOÀI AN

BÀI TOÁN ĐẶT CHỈNH
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. NGUYỄN HOÀNG

Thừa Thiên Huế, năm 2017


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các
số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ
một công trình nào khác.
Họ và tên tác giả
Mai Thị Hoài An

i


LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của
PGS.TS. Nguyễn Hoàng. Trong suốt quá trình thực hiện, thầy luôn tận
tình chỉ bảo, động viên và cho tôi những ý kiến quý báu. Tôi xin gửi đến
thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc.
Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Huế, các
thầy cô giáo trong Khoa Toán trường Đại học sư phạm Huế, Khoa Toán
trường Đại học khoa học Huế đã giúp tôi có được kiến thức khoa học
cũng như những điều kiện thuận lợi để hoàn thành công việc học tập và
nghiên cứu của mình.
Chân thành cảm ơn các bạn cao học viên Cao học khóa 24, cảm ơn

người thân, bạn bè, đồng nghiệp thân thiết đã hỗ trợ, giúp đỡ tôi hoàn
thành tốt nhiệm vụ học tập và công tác trong suốt thời gian qua.

Huế, tháng 9 năm 2017
Mai Thị Hoài An

ii


MỤC LỤC
Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Danh mục ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
............................... 6
1.1.1. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3. Sự hội tụ yếu trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . 8
1.1.4. Khả vi Frechet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
1.1.5. Hàm liên hiệp Fenchel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Bài toán tối ưu và một số tính chất cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Bài toán đặt chỉnh Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Siêu hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1. Sự hội tụ của dãy các tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2. Sự hội tụ epi của dãy hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1. Một số khái niệm cơ bản của giải tích

CHƯƠNG 2. BÀI TOÁN ĐẶT CHỈNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1. Đặt chỉnh Tykhonov và đặt chỉnh Tykhonov theo nghĩa
suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2. Đặt chỉnh Levitin-Polyak và đặt chỉnh mạnh . . . . . . .24
2.2. Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3. Về một khái niệm đặt chỉnh mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1. Một số dạng đặt chỉnh

1


2.3.2. Một số đặc trưng của tính đặt chỉnh mở rộng . . . . . . 34
2.3.3. Sự tương đương giữa tính đặt chỉnh Tykhonov và tính
đặt chỉnh mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.4. Áp dụng vào bài toán quy hoạch toán học . . . . . . . . . 37
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2


DANH MỤC KÝ HIỆU

Ký hiệu
N, N∗ , R
R
c(X)
C(X)

Ý nghĩa của ký hiệu

tập hợp các số tự nhiên, số nguyên dương, số thực
tập hợp các số thực mở rộng
tập hợp tất cả các tập con đóng của không gian mêtric X
tập hợp tất cả các tập con lồi đóng của không gian
định chuẩn X
diam A
đường kính của tập hợp A
d(x, A)
khoảng cách từ điểm x đến tập hợp A
D(A, B)
khoảng cách giữa hai tập hợp A và B
e(A, C)
độ lệch của tập A đối với tập C
h(A, C)
khoảng cách Hausdorff của hai tập hợp A và C
B(x, r), B[x, r] hình cầu mở, hình cầu đóng tâm x và bán kính r
trong không gian mêtric X
rB
hình cầu mở tâm O và bán kính r trong
không gian định chuẩn X
Br [A]
{x ∈ X : d(x, A) ≤ r}
epi f
trên đồ thị của hàm f
dom f
miền hữu hiệu của hàm f
fa
tập mức dưới của hàm f với mức a
Min f
tập hợp các điểm cực tiểu của hàm f

F(X)
{f : X → [−∞; ∞] : f chính thường và lồi }
Γ (X)
{f ∈ F(X) : f là hàm nửa liên tục dưới}
xn
x
dãy (xn ) hội tụ yếu về x

3


MỞ ĐẦU

Tối ưu hoá là một trong những lĩnh vực phát triển rất mạnh của
toán học nhằm đáp ứng các yêu cầu thực tế của nhiều lĩnh vực trong
cuộc sống như kinh tế, xã hội, y học,. . . Khi giải quyết một vấn đề thực
tế thì việc tìm giải pháp tối ưu đóng một vai trò hết sức quan trọng. Đó
là phương án hợp lí nhất, tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài nguyên, nguồn
lực mà lại cho hiệu quả cao. Bài toán tối ưu cơ bản trong lý thuyết tối
ưu là bài toán tìm cực tiểu của một hàm số f : Rn → R, dưới một số
ràng buộc.
Một vấn đề đặt ra khi thực hiện mô hình hóa bài toán thực tế là
các số liệu ban đầu thường được thu thập bằng thực nghiệm nên chúng
có tính chất xấp xỉ. Chính điều đó dẫn đến các kết quả sai lệch. Thật
có ý nghĩa nếu những thay đổi đủ nhỏ của dữ kiện ban đầu không làm
thay đổi đáng kể nghiệm tối ưu hoặc giá trị tối ưu của của bài toán gốc.
Do đó, bên cạnh chủ đề về các thuật toán tìm nghiệm thì sự đặt chỉnh
của lớp bài toán tối ưu cũng dành được nhiều sự quan tâm nghiên cứu
trong thời gian gần đây.
Tính đặt chỉnh của bài toán tối ưu có thể được tiếp cận theo hai

hướng. Hướng thứ nhất là tính đặt chỉnh Hadamard, được Hadamard
giới thiệu vào năm 1902, về sự tồn tại, duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc
liên tục của nghiệm và giá trị tối ưu vào sự thay đổi của dữ liệu ban đầu
của bài toán tối ưu. Hướng thứ hai là tính đặt chỉnh Tykhonov, được
nghiên cứu bởi A.N. Tykhonov vào năm 1966, về tồn tại, duy nhất của
nghiệm và sự hội tụ của mỗi dãy xấp xỉ đến nghiệm. Kiểu đặt chỉnh thứ
hai phát biểu cho bài toán tối ưu không ràng buộc và đã được phát triển
rất mạnh do tính ứng dụng của nó trong phương pháp số. Trong cùng
năm này, E.S.Levitin và B.T.Polyak mở rộng tính đặt chỉnh Tykhonov
cho bài toán tối ưu có ràng buộc khi xét dãy xấp xỉ nằm ngoài tập ràng
buộc của bài toán tối ưu nhưng khoảng cách từ dãy xấp xỉ này đến tập
4


ràng buộc dần về 0.
Trong những năm gần đây, một khái niệm đặt chỉnh mở rộng được
nghiên cứu trên lớp các bài toán tối ưu phụ thuộc tham số. Cụ thể, cho
X và A là các không gian mêtric, trong đó X được gọi là không gian
miền xác định, A được gọi là không gian dữ liệu. Mỗi a ∈ A được liên
kết với một hàm giá trị thực mở rộng fa xác định trên X, tương ứng
với một bài toán cực tiểu minx∈X fa (x). Tính đặt chỉnh của bài toán fa
đòi hỏi sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán fa và sự phụ thuộc liên
tục của nghiệm vào sự thay đổi của tham số a. Đây là sự mở rộng thực
sự quan trọng và thú vị vì nó thống nhất ý tưởng của tính đặt chỉnh
Tykhonov và tính ổn định.
Với các kiến thức nền về giải tích được trang bị trong quá trình học
tập như: không gian tôpô, giải tích lồi, bài toán tối ưu, tính nửa liên
tục của hàm số,..., tôi mong muốn tìm hiểu hiểu sâu sắc hơn về các bài
toán tối ưu đặt chỉnh. Do đó, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn
Hoàng, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài "Bài toán đặt chỉnh và một số

ứng dụng" cho luận văn thạc sĩ của mình.
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu các dạng đặt chỉnh của
bài toán tối ưu như đặt chỉnh Tykhonov, đặt chỉnh Levitin - Polyak, đặt
chỉnh mạnh; tính ổn định nghiệm của bài toán tối ưu và một khái niệm
đặt chỉnh mở rộng. Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo,
nội dung được trình bày trong hai chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Bài toán đặt chỉnh.

5


CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này dành để trình bày một số kiến thức về giải tích được
sử dụng ở chương sau, phần lớn các nội dung được tham khảo từ các tài
liệu [4],[6]. Phần đầu nêu lên một số khái niệm cơ bản của giải tích như
hàm lồi, hàm nửa liên tục dưới, sự hội tụ yếu, hàm liên hiệp Fenchel và
khả vi Frechet. Phần thứ hai trình bày về khái niệm bài toán tối ưu tổng
quát. Trong đó cũng đề cập đến các định lí về tồn tại nghiệm và mối
liên hệ giữa các tập mức dưới với cực trị. Phần thứ ba trình bày về khái
niệm đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard. Phần cuối trình bày về sự hội tụ
của dãy các tập hợp trong c(X) theo một số nghĩa khác nhau và sự hội
tụ epi của dãy hàm. Mục đích của phần này là để phục vụ cho việc khảo
sát tính ổn định của bài toán tối ưu khi các nhiễu loạn tác động lên tập
ràng buộc cũng như lên hàm mục tiêu.
1.1. Một số khái niệm cơ bản của giải tích
1.1.1. Hàm lồi

Cho X là một không gian tuyến tính. Xét phiếm hàm nhận giá trị
thực mở rộng
f : X → R := [−∞; ∞].
Các tập hợp
dom f := {x ∈ X : f (x) < ∞},
epi f := {(x, r) ∈ X × R : f (x) ≤ r}
lần lượt được gọi là miền hữu hiệu và trên đồ thị của f . Ngoài ra, với
mỗi a ∈ R, ta gọi tập mức dưới của hàm f (với mức a) là
f a := {x ∈ X : f (x) ≤ a}.
Định nghĩa 1.1.1. . Hàm f : X → [−∞; ∞] được gọi là chính thường
nếu dom f = ∅ và f (x) > −∞ với mọi x ∈ X, được gọi là hàm lồi nếu
6


epi f là tập lồi và được gọi là hàm lõm nếu −f là hàm lồi.
Ta kí hiệu
F(X) := {f : X → [−∞; ∞] : f chính thường và lồi }.
Mệnh đề 1.1.1. Cho f : X → (−∞; ∞]. Lúc đó f lồi nếu và chỉ nếu
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ X, λ ∈ (0; 1).
Định nghĩa 1.1.2. Hàm f : X → (−∞; ∞] được gọi là hàm tựa lồi nếu
với mọi x, y ∈ X và λ ∈ (0; 1) ta có
f (λx + (1 − λ)y) ≤ max{f (x), f (y)}.
1.1.2. Hàm nửa liên tục dưới
Định nghĩa 1.1.3. Cho X là một không gian tôpô. Một hàm f : X → R
được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm x0 ∈ X nếu
lim inf f (x) ≥ f (x0 ).
x→x0

Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi
x ∈ X.

Mệnh đề 1.1.2. Cho X là một không gian mêtric, f : X → R nửa liên
tục dưới tại x0 ∈ X. Với mọi dãy (xn ) ⊂ X sao cho xn → x0 , ta có
lim inf f (xn ) ≥ f (x0 ).
n→∞

Mệnh đề 1.1.3. Cho X là một không gian mêtric, f : X → R, ba phát
biểu sau là tương đương
a) f nửa liên tục dưới;
b) f a đóng với mọi a ∈ R;
c) epi f là tập đóng trong X × R.
Định lý 1.1.1. Cho X là một không gian Banach và f : X → (−∞; ∞]
là một hàm lồi, nửa liên tục dưới. Khi đó f liên tục tại mọi điểm thuộc
intdom f .
Cho X là không gian Banach, ta kí hiệu
Γ (X) := {f ∈ F(X) : f là hàm nửa liên tục dưới}.
7


1.1.3. Sự hội tụ yếu trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1.4. Cho X là một không gian định chuẩn, X ∗ là không
gian liên hiệp của nó. Khi ấy tôpô σ(X, X ∗ ) xác định trên X được gọi
là tôpô yếu trên không gian định chuẩn X. Cho (xn ) là một dãy trong
không gian định chuẩn X. Ta nói dãy này hội tụ yếu đến x ∈ X, kí hiệu
xn
x nếu (xn ) hội tụ đến x theo tôpô yếu σ(X, X ∗ ).
Định lý 1.1.2. Cho X là một không gian định chuẩn và (xn ) ⊂ X. Lúc
đó
xn
x ⇔ (∀f ∈ X ∗ : f (xn ) → f (x)).
Định lý 1.1.3. Cho X là không gian Banach phản xạ và (xn ) là một

dãy bị chặn trong X. Khi đó tồn tại một dãy con (xnk ) và x ∈ X sao
cho xnk
x.
Định nghĩa 1.1.5. Cho X là không gian định chuẩn. Hàm f : X → R
được gọi là nửa liên tục dưới yếu nếu
f (x) ≤ lim inf f (xn )
với mọi dãy (xn ) hội tụ yếu đến x.
1.1.4. Khả vi Frechet
Cho X là không gian Banach và X ∗ = L(X, R) là không gian liên
hiệp của X.
Định nghĩa 1.1.6. Cho f : X → (−∞, +∞] và x ∈ dom f . Hàm f
được gọi là khả vi Frechet tại x nếu tồn tại x∗ ∈ X ∗ sao cho
f (x + d) − f (x) − x∗ , d
= 0.
lim
d→0
d
Đạo hàm Frechet của hàm f tại x được kí hiệu là

f (x).

1.1.5. Hàm liên hiệp Fenchel
Định nghĩa 1.1.7. Cho f : X → (−∞, ∞] là một hàm tùy ý. Liên hiệp
Fenchel là hàm
f ∗ : X ∗ → [−∞, ∞]
được xác định bởi
f ∗ (x∗ ) := sup{ x∗ , x − f (x)}.
x∈X

8



1.2. Bài toán tối ưu và một số tính chất cực trị
Cho X là một không gian tôpô, f : X → (−∞; +∞] là một hàm
trên X và M là một tập con của X. Xét bài toán
(M, f ) : f (x) → inf, x ∈ M.
f được gọi là hàm mục tiêu, M là tập chấp nhận được(hay tập ràng
buộc) và mỗi x ∈ M được gọi là một điểm chấp nhận được của bài toán.
Một điểm x¯ ∈ M được gọi là nghiệm (toàn cục) của (M, f ) nếu
f (¯
x) ≤ f (x), ∀x ∈ M.
Nếu M = X thì ta có bài toán cực trị không ràng buộc (X, f ), được kí
hiệu đơn giản là f . Tập hợp tất cả các nghiệm toàn cục của bài toán f
được kí hiệu là
Min f = {¯
x ∈ X : f (¯
x) ≤ f (x), ∀x ∈ X}.
Sau đây là định lí về tồn tại nghiệm cơ bản của bài toán (M, f )
được trích từ tài liệu [4], trong đó Sol(M, f ) là tập hợp các nghiệm toàn
cục của bài toán (M, f ).
Định lý 1.2.1. Nếu M là tập compact khác rỗng trong một không gian
tôpô và f là hàm nửa liên tục dưới trên M thì Sol(M, f ) = ∅.
Ta nói hàm f trên không gian định chuẩn X là bức nếu
lim f (x) = +∞.

x →+∞

Hệ quả 1.2.1. Giả sử M lồi đóng khác rỗng trong không gian Banach
phản xạ X và f là hàm nửa liên tục dưới yếu. Lúc đó, nếu M bị chặn
hoặc f bức, thì Sol(M, f ) = ∅.

Hệ quả 1.2.2. Nếu M ⊂ Rn là tập đóng, f nửa liên tục dưới và bức thì
Sol(M, f ) = ∅.
Ngoài ra, sự tồn tại nghiệm cực tiểu của bài toán (X, f ) cũng được
nêu ra trong định lí cơ bản Weierstrass sau.
Định lý 1.2.2. Cho (X, τ ) là một không gian tôpô và f : (X, τ ) →
(−∞, +∞] là hàm nửa liên tục dưới. Giả sử có a
¯ > inf f sao cho f a¯ là
tập compact. Khi đó f có cực tiểu toàn cục.
9


Chứng minh. Ta có
Min f = ∩a¯>a>inf f f a .
Mỗi f a là một tập đóng, khác rỗng và f a¯ là tập compact nên
{f a : a
¯ > a > inf f }
là họ khác rỗng các tập compact lồng vào nhau. Vậy Min f là một tập
khác rỗng hay f có cực tiểu toàn cục.
Mệnh đề sau đây cho ta một tính chất về các tập mức dưới của một
hàm lồi nửa liên tục dưới. Kết quả này cũng dùng để xét được một lớp
các bài toán tối ưu đặt chỉnh được nêu lên ở chương sau.
Mệnh đề 1.2.1. Cho f : Rn → (−∞; +∞] là một hàm lồi, nửa liên tục
dưới. Giả sử Min f là tập compact khác rỗng. Khi đó f a bị chặn với mọi
a > inf f và với mọi > 0 luôn tồn tại a > inf f sao cho f a ⊂ B [Min f ].
Hơn nữa, nếu (xn ) là một dãy sao cho f (xn ) → inf f thì (xn ) có một
điểm giới hạn chính là điểm cực tiểu của hàm f . Và nếu Min f = {x}
thì xn → x.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử 0 ∈ Min f và inf f =
f (0) = 0. Gọi r > 0 sao cho Min f ⊂ rB. Bằng phản chứng, giả sử rằng
có số a > inf f mà f a không bị chặn. Khi đó tồn tại dãy (xn ) sao cho

n
f (xn ) ≤ a và xn → ∞. Xét dãy ( rx
xn ), vì f là hàm lồi và f (0) = 0
nên ta có
rxn
r
ra
f(
)≤
f (xn ) ≤
.
xn
xn
xn
rxn
n
Do đó f ( rx
xn ) → 0 = inf f . Mặt khác dãy ( xn ) luôn có một dãy con hội
tụ, giả sử giới hạn đó là x¯ với x¯ = r. Theo tính chất nửa liên tục dưới
của f ta được x¯ ∈ Min f . Điều này mâu thuẫn với Min f ⊂ rB. Vậy f a
bị chặn với mọi a > inf f .

Cũng bằng phản chứng, giả sử tồn tại số > 0 sao cho với mọi
a > inf f ta có f a
B [Min f ]. Với mỗi số nguyên dương n, ta lấy
an = inf f + n1 . Vì f an
B [Min f ] nên luôn có xn sao cho f (xn ) ≤
inf f + n1 và d(xn , Min f ) > . Vì (xn ) ⊂ f a1 nên (xn ) bị chặn và do đó
nó có một dãy con hội tụ. Hơn nữa f (xn ) → inf f và hàm f nửa liên tục
10



dưới nên giới hạn của dãy con trên thuộc Min f . Điều này mâu thuẫn
với d(xn , Min f ) > với mọi n. Vậy với mọi > 0 luôn tồn tại a > inf f
sao cho f a ⊂ B [Min f ].
Xét dãy (xn ) sao cho f (xn ) → inf f . Khi đó dãy (xn ) bị chặn nên
nó có một điểm giới hạn là điểm cực tiểu của hàm f . Nếu Min f = {x},
ta đi chứng minh xn → x. Giả sử có số dương a và một dãy con (yn ) của
(Xn ) sao cho yn − a ≥ a với mọi n. Mà (yn ) cũng là dãy bị chặn nên
nó có một điểm giới hạn chính là điểm cực tiểu x, điều này mâu thuẫn
với yn − a ≥ a. Vậy xn → x.
1.3. Bài toán đặt chỉnh Hadamard
Việc tìm nghiệm x của bất kỳ bài toán nào cũng phải dựa vào dữ
kiện ban đầu b, có nghĩa là x = R(b). Ta coi nghiệm x và dữ kiện ban
đầu b lần lượt thuộc vào các không gian metric (X, dX ) và (Y, dY ). Theo
J.Hadamard, bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện b ∈ Y được gọi
là bài toán đặt chỉnh nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) Với mỗi b ∈ Y luôn tồn tại nghiệm x ∈ X;
(2) Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhât;
(3) Bài toán này ổn định trên (X, Y ), nghĩa là
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 : dY (b1 , b2 ) ≤ δ(ε) ⇒ dX (x1 , x2 ) ≤ ε,
ở đây x1 = R(b1 ), x2 = R(b2 ), x1 , x2 ∈ X, b1 , b2 ∈ Y .
Đối với bài toán tối ưu, dữ kiện ban đầu thường là hàm mục tiêu f
và tập ràng buộc M . Tính ổn định của bài toán tối ưu chính là sự phụ
thuộc liên tục của Min(M, f ) và inf M f vào sự thay đổi của hàm mục
tiêu cũng như tập ràng buộc.
1.4. Siêu hội tụ
1.4.1. Sự hội tụ của dãy các tập đóng
Cho (X, d) là một không gian mêtric, c(X) là tập hợp các tập con
đóng của X. Với x ∈ X thì {x} là tập đóng trong X nên {x} ∈ c(X).

Trên c(X) ta xây dựng các cấu trúc tôpô cũng như sự hội tụ của dãy
11


các tập đóng thỏa mãn điều kiện : dãy (xn ) hội tụ về x trong X khi và
chỉ khi dãy ({xn }) hội tụ về {x} trong c(X). Các tôpô này thường được
gọi là siêu tôpô (hypertopologies) và sự hội tụ này được gọi là siêu hội
tụ (hyperconvergences). Sau đây ta xét sự hội tụ của dãy các tập hợp
(An ) ⊂ c(X) theo một số nghĩa khác nhau.
• Hội tụ theo nghĩa Hausdorff
Định nghĩa 1.4.1. Cho hai tập khác rỗng A, C ∈ c(X), ta định nghĩa
độ lệch của A đối với C (excess of A over C) là
e(A, C) := sup d(a, C) ∈ [0; +∞],
a∈A

trong đó d(a, C) := inf c∈C d(a, c).
Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp A và C là
h(A, C) := max{e(A, C), e(C, A)}.
Mệnh đề 1.4.1. h xác định một mêtric trên c(X) (nhận giá trị trong
[0; +∞]).
Mệnh đề 1.4.2. Một dãy (An ) các phần tử của c(X) hội tụ theo nghĩa
Hausdorff đến A ∈ c(X) nếu
e(An , A) → 0 và e(A, An ) → 0.
Điều kiện e(An , A) → 0 được gọi là hội tụ Hausdorff trên, điều kiện
e(A, An ) → 0 được gọi là hội tụ Hausdorff dưới.
• Hội tụ theo nghĩa Kuratowski
Cho (An ) ⊂ c(X). Đặt
Li An := {x ∈ X : x = lim xk , xk ∈ Ak từ một lúc nào đó}

Ls An := {x ∈ X : x = lim xk , xk ∈ Ank , nk là dãy con của tập hợp các số nguyên}

Định nghĩa 1.4.2. Dãy (An ) được gọi là hội tụ về A theo nghĩa KuraK
towski, kí hiệu là An −
→ A, nếu
Ls An ⊂ A ⊂ Li An .
Các tập hợp Ls An , Li An lần lượt được gọi là Limsup và Liminf của
dãy (An ).
12


• Sự hội tụ theo nghĩa Wijsman
Định nghĩa 1.4.3. Một dãy (An ) ⊂ c(X) được gọi là hội tụ về A theo
W
nghĩa Wijsman, kí hiệu là An −→ A, nếu
lim d(x, An ) = d(x, A), ∀x ∈ X.
• Sự hội tụ theo nghĩa Mosco
Cho X là một không gian Banach phản xạ, C(X) là tập hợp tất cả
các tập lồi đóng trong X.
Định nghĩa 1.4.4. Cho An , A ∈ C(X), n = 1, 2, .... Ta nói dãy (An ) hội
M
tụ Mosco về A, kí hiệu An −→ A, nếu
w-Ls An ⊂ A ⊂ s-Li An ,
trong đó w-Ls An chỉ ra rằng trong định nghĩa của Ls An ta sử dụng tôpô
yếu, trong khi đó s-Li An chỉ ra rằng trong định nghĩa của Li An ta sử
dụng tôpô chuẩn.
• Sự hội tụ theo hàm khoảng cách
Cho X là một không gian định chuẩn, A và B là các tập con của
X. Hàm khoảng cách D(A, B) giữa hai tập hợp A và B được xác định
như sau
D(A, B) := inf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
Gọi Ω ⊂ c(X) sao cho Ω chứa các đơn tử của X. Trên c(X), sự hội

tụ của dãy (An ) về tập A được định nghĩa là
D(An , C) → D(A, C)
với mọi C ∈ Ω.
Sau đây là một số trường hợp cụ thể.
Định nghĩa 1.4.5. Ta nói rằng dãy (An ) trong c(X) hội tụ với tôpô
proximal (proximal topology) nếu
D(An , C) → D(A, C)
với mọi tập đóng C.

13


Định nghĩa 1.4.6. Ta nói rằng dãy (An ) trong c(X) hội tụ với tôpô
proximal bị chặn (bounded proximal topology) nếu
D(An , C) → D(A, C)
với mọi tập đóng bị chặn C.
Cho X là một không gian Banach, C(X) là tập hợp tất cả các tập
lồi đóng của X. Ta có các định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.4.7. Ta nói rằng dãy (An ) trong C(X) hội tụ với tôpô
tuyến tính (linear topology) nếu
D(An , C) → D(A, C)
với mọi tập lồi đóng C.
Định nghĩa 1.4.8. Ta nói rằng dãy (An ) trong C(X) hội tụ với tôpô
slice (slice topology) nếu
D(An , C) → D(A, C)
với mọi tập lồi đóng bị chặn C.
1.4.2. Sự hội tụ epi của dãy hàm
Cho không gian mêtric X. Hàm f : X → (−∞, ∞] nửa liên tục
dưới thì có epi f là tập con đóng của X × R. Do đó sự hội tụ của một
dãy hàm (fn ) có thể được định nghĩa thông qua sự hội tụ của dãy các

tập đóng (epi fn ).
Trên c(X) cho trước một sự hội tụ hoặc một tôpô τ . Khi đó ta sử
τ
τ
dụng kí hiệu fn →
− f để chỉ rằng epi fn →
− epi f trong c(X × R).
Mệnh đề 1.4.3. Cho X là không gian mêtric, f, f1 , f2 , ... : X → [−∞, ∞]
là các hàm nửa liên tục dưới. Các phát biểu sau là tương đương:
(i) Li epi fn ⊃ epi f ;
(ii) ∀x ∈ X luôn tồn tại dãy (xn ) thỏa mãn xn → x, lim sup fn (xn ) ≤
f (x).
Chứng minh. ((i) ⇒ (ii). Cho x ∈ X, −∞ < f (x) < ∞. Vì (x, f (x)) ∈
epi f nên (x, f (x)) ∈ Li epi fn . Theo định nghĩa Liminf của một dãy
14


các tập hơp, tồn tại (xn , rn ) ∈ epi fn sao cho xn → x, rn → f (x). Do
fn (xn ) ≤ rn nên lim sup fn (xn ) ≤ lim rn = f (x). Trong trường hợp
f (x) = −∞ ta có (x, r) ∈ epi f với r là một số thực tùy ý nào đó
và chứng minh tương tự như trên. Trong trường hợp f (x) = ∞ thì hiển
nhiên ta có (ii).
((ii) ⇒ (i). Lấy (x, r) ∈ epi f . Từ (ii), tồn tại dãy (xn ) thỏa mãn
xn → x, lim sup fn (xn ) ≤ f (x) ≤ r. Chọn rn = max{fn (xn ), r} thì
rn → r. Do đó (x, r) ∈ Li epi fn . Vậy Li epi fn ⊃ epi f .
Mệnh đề 1.4.4. Cho X là không gian mêtric, f, f1 , f2 , ... : X → [−∞, ∞]
là các hàm nửa liên tục dưới. Các phát biểu sau là tương đương:
(i) Ls epi fn ⊂ epi f ;
(ii) ∀x ∈ X, ∀xn → x thì lim inf fn (xn ) ≥ f (x).
Chứng minh. ((i) ⇒ (ii). Lấy x ∈ X và xn → x. Xét chỉ cần xét

lim inf fn (xn ) < ∞. Cố đinh số r sao cho r > lim inf fn (xn ). Khi đó
tồn tại một dãy con (nk ) sao cho fnk (xnk ) < r. Từ đó (xnk , r) ∈ epi fnk .
Từ (i) suy ra (x, r) ∈ epi f hay f (x) ≤ r. Lập luận trên luôn đúng với
bất kì số r nào nên lim inf fn (xn ) ≥ f (x).
((ii) ⇒ (i). Cho (x, r) ∈ Ls epi fn . Khi đó luôn tồn tại (xk , rk ) ∈
epi fnk sao cho xk → x, rk → r. Đặt xn = x nếu n ∈
/ {n1 , n2 , ...}. Khi đó
r = lim rk ≥ lim sup fnk (xk ) ≥ lim inf fn (xn ) ≥ f (x).
Do đó (x, r) ∈ epi f . Vậy Ls epi fn ⊂ epi f .
Ta có
K

K

fn −
→ f ⇔ epi fn −
→ epi f ⇔ Ls epi fn ⊂ epi f ⊂ Li epi fn ,
M

M

fn −→ f ⇔ epi fn −→ epi f ⇔ w-Ls epi fn ⊂ epi f ⊂ s-Li epi fn .
Kết hợp với kết quả hai mệnh đề ta thu được hai định lí sau.
Định lý 1.4.1. Cho X là không gian mêtric, f, f1 , f2 , ... : X → [−∞, ∞]
là các hàm nửa liên tục dưới. Các phát biểu sau là tương đương:
K

(i) fn −
→f
15



(ii) (a) ∀x ∈ X, ∀xn → x thì lim inf fn (xn ) ≥ f (x).
(b) ∀x ∈ X luôn tồn tại dãy (xn ) thỏa mãn xn → x, lim sup fn (xn ) ≤
f (x).
Định lý 1.4.2. Cho X là một không gian Banach phản xạ và f, f1 , f2 , ... :
X → [−∞, ∞] là các hàm nửa liên tục dưới. Các phát biểu sau là tương
đương:
M

(i) fn −→ f
(ii) (a) ∀x ∈ X, ∀xn

x thì lim inf fn (xn ) ≥ f (x).

(b) ∀x ∈ X luôn tồn tại dãy (xn ) thỏa mãn xn → x, lim sup fn (xn ) ≤
f (x).
Sau đây là một kết quả về tính ổn định của tập hợp các điểm cực
tiểu và của giá trị cực tiểu khi cho một dãy các hàm hội tụ theo nghĩa
Kuratowski.
Định lý 1.4.3. Cho X là không gian mêtric, f, f1 , f2 , ... : X → [−∞, ∞]
K
là các hàm nửa liên tục dưới và giả sử fn −
→ f . Khi đó
(i) lim sup(inf fn ) ≤ inf f
(ii) Nếu xk là điểm cực tiểu của fnk , nk là dãy con của tập các số nguyên
và xk hội tụ về x thì x là điểm cực tiểu của f và lim(inf fnk ) = inf f.
Chứng minh. Giả sử inf f ∈ R. Với > 0 có x sao cho f (x) < inf f + .
K
Vì fn −

→ f nên tồn tại (xn ) sao cho xn → x, lim sup fn (xn ) ≤ f (x). Khi
đó
lim sup(inf fn ) ≤ lim sup fn (xn ) ≤ f (x) ≤ inf f + .
Điều này đúng với mọi > 0 nên ta được lim sup(inf fn ) ≤ inf f .
Ta đi chứng minh ý (ii). Nếu xk là điểm cực tiểu của fnk , nk là dãy
con của tập các số nguyên và xk hội tụ về x thì

inf f ≤ f (x) ≤ lim inf fnk (xk ) = lim inf(inf fnk ) ≤ lim sup(inf fnk ) ≤ lim sup(inf fn )
Do đó các bất đẳng thức trên đều là các đẳng thức. Vậy x là điểm cực
tiểu của f và lim(inf fnk ) = inf f.
16


CHƯƠNG 2

BÀI TOÁN ĐẶT CHỈNH

Phần lớn nội dung của chương này được tham khảo từ tài liệu [6],
187- 209.
2.1. Một số dạng đặt chỉnh
Phần này trình bày tổng quan về tính đặt chỉnh Tykhonov và các
dạng mở rộng của khái niệm này đối với bài toán tối ưu tổng quát.
2.1.1. Đặt chỉnh Tykhonov và đặt chỉnh Tykhonov theo nghĩa
suy rộng
Cho (X, d) là một không gian mêtric và f : X → (−∞; +∞] là hàm
nửa liên tục dưới. Khi đó miền hữu hiệu và các tập mức dưới của f là
các tập đóng.
Xét bài toán cực tiểu toàn cục (X, f ) : f (x) → inf, x ∈ X (được
kí hiệu đơn giản là f ). Dãy (xn ) ⊂ X được gọi là một dãy cực tiểu
(minimizing sequence) của bài toán (X, f ) nếu

f (xn ) → inf f, khi n → ∞.
Định nghĩa 2.1.1. Cho (X, d) là một không gian mêtric và f : X →
(−∞; +∞] là hàm nửa liên tục dưới. Bài toán (X, f ) được gọi là đặt
chỉnh Tykhonov (Tykhonov well-posed) nếu thỏa mãn hai điều kiện sau
(i) Tồn tại duy nhất x¯ ∈ X sao cho f (¯
x) ≤ f (x), ∀x ∈ X;
(ii) Mọi dãy cực tiểu đều hội tụ về x¯.
Nhận xét 2.1.1. Đòi hỏi tính duy nhất nghiệm trong điều kiện (i) là
thừa vì nó được suy ra từ sự tồn tại nghiệm của bài toán (A, f ) và điều
kiện (ii). Thật vậy, nếu x¯1 , x¯2 là hai điểm cực tiểu phân biệt của f thì
dãy (x¯1 , x¯2 , x¯1 , x¯2 , ...) là một dãy cực tiểu nhưng không hội tụ. Tuy nhiên
17


trong định nghĩa vẫn cần nêu rõ để thể hiện vai trò của tính duy nhất
nghiệm.
Đôi khi tính duy nhất nghiệm của bài toán là một giả thiết quá
mạnh. Khái niệm đặt chỉnh Tykhonov có thể mở rộng cho các bài toán
cực trị khi điều kiện duy nhất nghiệm không yêu cầu.
Định nghĩa 2.1.2. Bài toán (X, f ) được gọi là đặt chỉnh Tykhonov theo
nghĩa suy rộng (Tykhonov well-posed in the generalized sense) nếu thỏa
mãn hai điều kiện sau
(i) Tồn tại x¯ ∈ X sao cho f (¯
x) ≤ f (x), ∀x ∈ X;
(ii) Mọi dãy cực tiểu đều có một dãy con hội tụ về một điểm cực tiểu.
Ví dụ 2.1.1. Xét X = R.
− Hàm số f (x) = |x| có Min f = {0}, inf f = 0 và mọi dãy cực tiểu
đều hội tụ về 0. Do đó bài toán (R, f ) đặt chỉnh Tykhonov.
− Hàm số g(x) = ||x| − 1| có Min g = {−1; 1}, inf g = 0 và mọi dãy
cực tiểu đều tồn tại một dãy con hội tụ về −1 hoặc 1. Do đó bài

toán (R, g) đặt chỉnh Tykhonov theo nghĩa suy rộng.
− Hàm số h(x) = x2 e−x có inf h = 0, Min h = {0} và dãy (xn ) : xn = n
là một dãy cực tiểu nhưng không hội tụ về x¯ = 0. Do đó bài toán
(R, h) không đặt chỉnh Tykhonov.
Ví dụ 2.1.2. Nếu X là không gian compact thì f đặt chỉnh Tykhonov
theo nghĩa suy rộng. Tổng quát hơn, nếu tồn tại a > inf f sao cho f a
là tập compact thì f đặt chỉnh Tykhonov theo nghĩa suy rộng. Kết quả
này được rút ra từ nội dung Định lí 1.2.2.
Ví dụ 2.1.3. Cho f : Rn → (−∞, +∞] là một hàm lồi, nửa liên tục
dưới. Nếu f có duy nhất một điểm cực tiểu thì f đặt chỉnh Tykhonov.
Nếu Min f là tập khác rỗng và compact thì f đặt chỉnh Tykhonov theo
nghĩa suy rộng. Kết quả này được rút ra từ nội dung Mệnh đề 1.2.1.

18


Mệnh đề sau nêu lên một đặc trưng của tính đặt chỉnh Tykhonov
trong không gian mêtric đầy đủ. Nó được goi là tiêu chuẩn Furi-Vignoli.
Mệnh đề 2.1.1. Cho X là một không gian mêtric đầy đủ và f : X →
(−∞; +∞] là một hàm nửa liên tục dưới. Khi đó, hai mệnh đề sau tương
đương:
(i) f đặt chỉnh Tykhonov;
(ii) inf a>inf f diam f a = 0
Chứng minh. (i ⇒ ii) Cho f đặt chỉnh Tykhonov. Bằng phản chứng, giả
sử
inf diam f a = 2r > 0.
a>inf f

Khi đó tồn tại dãy (an ) sao cho an → inf f và lim diam f an = 2r. Với
mỗi n, tồn tại xn , yn ∈ f an sao cho d(xn , yn ) ≥ r. Vì inf f ≤ f (xn ) ≤ an ,

inf f ≤ f (yn ) ≤ an và lim an = inf f nên lim f (xn ) = lim f (yn ) = inf f .
Vậy (xn ), (yn ) là các dãy cực tiểu nên đều hội tụ về điểm cực tiểu của f .
Điều này mâu thuẫn với d(xn , yn ) ≥ r > 0, ∀n. Vậy inf a>inf f diam f a =
0.
(ii ⇒ i) Giả sử inf a>inf f diam f a = 0. Với mọi > 0, tồn tại số
b > inf f sao cho diam f b < . Gọi (xn ) là một dãy cực tiểu, tức là
lim f (xn ) = inf f . Vì b > inf f nên tồn tại số tự nhiên n0 sao cho f (xn ) ≤
b, ∀n ≥ n0 . Do đó
d(xm , xn ) ≤ diam f b < , ∀m, n ≥ n0
hay (xn ) là một dãy Cauchy. Theo giả thiết, X là không gian metric đầy
đủ nên dãy (xn ) hội tụ về x¯ ∈ X. Vì f là hàm nửa liên tục dưới nên
f (¯
x) ≤ lim inf f (xn ) ≤ lim f (xn ) = inf f.
n→∞

n→∞

Suy ra x¯ là điểm cực tiểu của f . Vậy f đặt chỉnh Tykhonov.
Mệnh đề 2.1.2. Cho X là không gian mêtric đầy đủ và f : X →
(−∞; +∞] là một hàm nửa liên tục dưới. Khi đó

19


• Nếu f đặt chỉnh Tykhonov theo nghĩa suy rộng thì Min f là tập
compact và
∀ > 0, ∃a > inf f sao cho f a ⊂ B [M inf ].

(2.1)


• Nếu ∀ > 0, ∃a > inf f sao cho f a ⊂ B [M inf ] và Min f là một
tập compact thì f đặt chỉnh Tykhonov theo nghĩa suy rộng.
Chứng minh. Giả sử f đặt chỉnh Tykhonov theo nghĩa suy rộng. Với mọi
dãy (xn ) ⊂ Min f , ta có f (xn ) = inf f nên (xn ) là dãy cực tiểu. Do đó
tồn tại dãy con của dãy (xn ) hội tụ về một điểm của Min f . Vậy Min f
là tập compact. Giả sử (2.1) không xảy ra. Khi đó
∃ > 0, ∀a > inf f ta có f a

B [Min f ].

Với mỗi an = inf f + n1 , ta tìm được xn sao cho f (xn ) ≤ inf f + n1 và
d(xn , Min f ) > . Từ đó suy ra (xn ) là một dãy cực tiểu nhưng không
có một dãy con nào hội tụ về một điểm thuộc Min f , đây là điều mâu
thuẫn. Vậy (2.1) phải xảy ra.
Ta đi chứng minh ý thứ hai. Giả sử ∀ > 0, ∃a > inf f sao cho f a ⊂
B [Min f ] và Min f là một tập compact. Cho (xn ) là một dãy cực tiểu.
Với a > inf f ở trên, tồn tại số n0 sao cho f (xn ) ≤ a hay xn ∈ f a với
mọi n > n0 . Khi đó xn ∈ B [M inf ]. hay d(xn , Min f ) ≤ . Vậy
d(xn , Min f ) → 0, khi n → ∞.
Mặt khác với mỗi n ∈ N∗ , tồn tại yn ∈ Min f sao cho
1
d(xn , yn ) < + d(xn , Min f ).
n
Vì Min f là tập compact nên tồn tại một dãy con (ynk ) hội tụ về một
điểm y0 ∈ Min f . Do đó
1
d(xnk , y0 ) ≤ d(ynk , y0 ) +
+ d(xnk , Min f ).
nk
Từ đó suy ra

xnk → y0 ∈ Min f, khi k → ∞.
Vậy (X, f ) đặt chỉnh Tykhonov theo nghĩa suy rộng.
Định nghĩa 2.1.3. Cho D ⊂ [0; +∞) là một tập chứa 0. Một hàm
c : D → [0; +∞) được gọi là hàm buộc (forcing function) nếu c là hàm
20


tăng, c(0) = 0 và nếu t > 0 thì c(t) > 0.
Mệnh đề 2.1.3. Cho X là một không gian mêtric và hàm f : X → R.
Khi đó, f đặt chỉnh Tykhonov khi và chỉ khi tồn tại một hàm buộc c và
một điểm x¯ sao cho
f (x) ≥ f (¯
x) + c(d(x, x¯)), ∀x ∈ X.

(2.2)

Trong trường hợp X là không gian định chuẩn và f là hàm lồi thì có thể
chọn c cũng là hàm lồi.
Chứng minh. Giả sử tồn tại một hàm buộc c và một điểm x¯ thỏa mãn
(2.2). Khi đó
f (x) ≥ f (¯
x) + c(d(x, x¯)) ≥ f (¯
x), ∀x ∈ X
và
f (x) ≥ f (¯
x) + c(d(x, x¯)) > f (¯
x), ∀x = x¯.
Vậy x¯ là điểm cực tiểu duy nhất của f . Gọi (xn ) là một dãy cực tiểu hóa
tùy ý. Ta có
f (xn ) ≥ f (¯

x) + c(d(xn , x¯)) ≥ f (¯
x).
Suy ra c(d(xn , x¯)) → 0 khi n → ∞. Vì c là hàm tăng và dương với t > 0
nên d(xn , x¯) → 0 hay xn → x khi n → ∞. Vậy f đặt chỉnh Tykhonov.
Ngược lại, giả sử f đặt chỉnh Tykhonov với nghiệm duy nhất x¯. Đặt
c(t) =

inf

{f (x) − f (¯
x)}, t ≥ 0.

x:d(x,¯
x)≥t

Khi đó c là hàm tăng, c(0) = 0. Giả sử tồn tại t0 > 0 mà c(t0 ) = 0. Khi
x) → 0
đó tồn tại một dãy (xn ) sao cho d(xn , x) ≥ t0 > 0 và f (xn ) − f (¯
hay f (xn ) → f (¯
x).Vậy (xn ) là dãy cực tiểu hóa. Tuy nhiên, vì d(xn , x¯) ≥
t0 > 0 nên dãy (xn ) không hội tụ về x, điều này mâu thuẫn với tính đặt
chỉnh Tykhonov của f . Vậy c(t) > 0 với t > 0 hay c là một hàm buộc.
Hơn nữa, với mọi x ∈ X ta có
c(d(x, x¯)) ≤ f (x) − f (x) hay f (x) ≥ f (¯
x) + c(d(x, x¯)).
Bây giờ giả sử X là không gian định chuẩn và f là hàm lồi. Không
mất tính tổng quát, giả sử x¯ = 0 và f (0) = 0. Cho b > a > 0. Với
21