ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

ĐINH THỊ PHƯƠNG THẢO

BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC PHI
TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN
LANDESMAN - LAZER
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

TS. NGUYỄN THÀNH CHUNG

Thừa Thiên Huế, Năm 2017
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, luận văn này là công trình nghiên cứu
của tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy giáo TS. Nguyễn
Thành Chung.
Trong quá trình nghiên cứu đề tài luận văn, tôi đã kế

thừa thành quả khoa học của các nhà Toán học và các nhà
Khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Tác giả

Đinh Thị Phương Thảo

ii


LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo TS. Nguyễn Thành
Chung, cảm ơn những lời động viên, nhắc nhở của Thầy trong suốt quá
trình hướng dẫn khoa học cho tôi. Thầy đã giúp tôi vượt qua những
khó khăn để hoàn thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu của mình.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy - Cô giáo đã giảng
dạy lớp cao học Toán Khóa 24 của trường ĐHSP Huế cũng như toàn
thể các thầy cô trong khoa Toán trường ĐHSP Huế vì sự giảng dạy
tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ tôi trong suốt quá trình
học tập và thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến BGH trường ĐHSP Huế, Phòng
Sau Đại học trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành
công việc học tập, nghiên cứu của mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý
thầy, cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Cuối cùng, tôi xin chia sẻ niềm vui lớn này với bạn bè, người thân
và gia đình tôi, những người luôn sát cánh động viên giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn!


iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Mở đầu

2

Chương 1.

Kiến thức bổ trợ

5


1.1

Không gian Sobolev W01,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Một số vấn đề cơ bản về phương pháp biến phân

Chương 2.

. . . . . . .

5
10

Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic

phi tuyến với điều kiện Landesman-Lazer

14

2.1

Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2


Trường hợp f là một hàm bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3

Trường hợp f là một hàm không bị chặn . . . . . . . . . . . .

31

Kết luận

52

Tài liệu tham khảo

53

1


MỞ ĐẦU
Như chúng ta đã biết, một số mô hình về các bài toán độc lập thời gian
trong các ngành khoa học kĩ thuật khác nhau sẽ dẫn đến các bài toán biên
elliptic trong phương trình đạo hàm riêng (xem [9]). Trong những năm gần
đây, có nhiều phương pháp được các nhà toán học đưa ra để nghiên cứu sự
tồn tại nghiệm yếu đối với các bài toán biên elliptic phi tuyến, đó là phương
pháp bậc tô pô, phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới, phương pháp điểm
bất động, phương pháp biến phân,... Mỗi phương pháp có những ưu điểm và
hạn chế riêng do đó chỉ áp dụng được cho một lớp bài toán cụ thể. Trong

số các phương pháp để nghiên cứu bài toán biên elliptic phi tuyến, chúng tôi
đặc biệt quan tâm đến phương pháp biến phân. Về nguyên tắc, theo phương
pháp này, để tìm nghiệm yếu của một bài toán biên elliptic, ta quy về tìm
điểm tới hạn của một phiếm hàm nào đó trong một không gian hàm thích
hợp. Phiếm hàm này sẽ thỏa mãn một số điều kiện để có thể khả vi và áp
dụng được các kết quả biến phân nhằm thu được nghiệm của bài toán.
Ngoài việc sử dụng nguyên lí cực tiểu, một trong những công cụ quan trọng
của phương pháp biến phân là định lí qua núi (xem [4]). Nếu như nguyên lí
cực tiểu chỉ áp dụng cho các bài toán có phiếm hàm năng lượng liên kết với
nó bị chặn dưới thì định lí qua núi có thể áp dụng cho các bài toán mà phiếm
hàm năng lượng không bị chặn dưới. Tuy nhiên, một trong những đòi hỏi của
bài toán khi dùng định lí qua núi là biểu thức phi tuyến f phải thỏa mãn điều
kiện kiểu Ambrosetti-Rabinowitz. Từ điều kiện này suy ra tính chất (p − 1)trên tuyến tính của hàm f , tức là
f (x, t)
= +∞.
|t|→+∞ |t|p−2 t
lim

Trong trường hợp
f (x, t)
= λ ∈ (0, +∞),
|t|→+∞ |t|p−2 t
người ta thường gọi là bài toán (p − 1)- tiệm cận tuyến tính. Đặc biệt, nếu λ
lim

là một giá trị riêng của toán tử elliptic xuất hiện trong phương trình người
2


ta gọi là bài toán cộng hưởng. Những bài toán như vậy có thể hiểu như là

nhiễu của bài toán giá trị riêng. Với những điều kiện đặc biệt được áp đặt lên
vế phải, Landesman và Lazer [10] đã nghiên cứu lớp các bài toán này trong
không gian Sobolev. Từ đó, bài toán đã thu hút một số lượng lớn các nhà
toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu.
Nội dung chính của luận văn dựa trên việc tham khảo các kết quả nghiên
cứu đã được công bố trong hai bài báo [3, 6] và các tài liệu liên quan. Thông
qua việc tìm hiểu những kết quả đạt được, nắm bắt những kĩ thuật biến phân
liên quan đến điều kiện Landesman-Lazer, đề tài có thể phát triển xa hơn
đối với bài toán biên elliptic trong miền không bị chặn. Ngoài lời mở đầu, kết
luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1. Kiến thức bổ trợ. Chương này dành để trình bày những kiến
thức cơ bản liên quan được dùng trong luận văn như lí thuyết độ đo, không
gian Sobolev W01,p (Ω), khái niệm khả vi Fréchet, nguyên lí cực tiểu, định lí
điểm yên ngựa và một số kết quả biến phân khác.
Chương 2. Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic phi tuyến với
điều kiện Landesman-Lazer. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu bài toán
biên Dirichlet đối với phương trình elliptic phi tuyến dạng sau đây

 −∆p u = −div(|∇u|p−2 ∇u) = λ1 |u|p−2 u + f (x, u) − h(x), x ∈ Ω,
 u = 0,

(1)

x ∈ ∂Ω,

trong đó Ω là một miền bị chặn có biên ∂Ω trơn trong không gian Rd , d ≥ 1,
p ∈ (1, +∞), f : Ω × R → R là một hàm Carathéodory và h ∈ Lp (Ω), p =
p
p−2
, λ1 là giá trị riêng thứ nhất của toán tử −∆p (.) = −div(|∇(.)| ∇(.))

p−1
cho bởi công thức
λ1 =

inf
1,p

u∈W0 (Ω)\{0}

p
Ω |∇u| dx
p
Ω |u| dx

>0

với hàm riêng ϕ1 > 0 có chuẩn trong không gian W01,p (Ω) bằng 1. Bài toán
(1) lần đầu được nghiên cứu bởi Landesman và Lazer [10] bằng phương pháp
bậc tô pô trong trường hợp p = 2 và f là một hàm Carathéodory bị chặn,
3


với hầu khắp nơi x ∈ Ω, tồn tại các giới hạn
lim f (x, s) = f +∞ (x)

lim f (x, s) = f−∞ (x),

s→−∞

s→+∞


và thỏa mãn điều kiện
f−∞ (x)ϕ1 (x) dx <
Ω

f +∞ (x)ϕ1 (x) dx.

h(x)ϕ1 (x) dx <
Ω

(2)

Ω

Trong [3], bài toán (1) đã được nghiên cứu cho trường hợp p ∈ (1, +∞)
và f là một hàm Carathéodory bị chặn. Cùng với điều kiện (2), Arcoya và
Orsina đã đề cập đến điều kiện
f +∞ (x)ϕ1 (x) dx <
Ω

h(x)ϕ1 (x) dx <
Ω

f−∞ (x)ϕ1 (x) dx.

(3)

Ω

Các điều kiện (2) và (3) được gọi là điều kiện kiểu Landesman-Lazer. Kết

quả nghiên cứu của Arcoya và Orsina được mở rộng bởi Bouchala và Drábek
[6] cho trường hợp f là một hàm Carathéodory không bị chặn. Mục đích của
Chương 2 là trình bày chi tiết một số kết quả trong hai bài báo [3] và [6].
Chúng tôi sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu đối với bài toán (1) bằng cách
sử dụng nguyên lí cực tiểu và định lí điểm yên ngựa được trình bày trong
Chương 1. Luận văn là tài liệu tham khảo bổ ích cho những ai nghiên cứu về
phương pháp biến phân và phương trình elliptic không tuyến tính.

4


Chương 1

Kiến thức bổ trợ
1.1

Không gian Sobolev W01,p (Ω)

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ
bản của không gian Lebesgue Lp (Ω) và không gian Sobolev W01,p (Ω) được sử
dụng trong luận văn. Những kết quả ở đây được tham khảo từ các tài liệu
[1, 2, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15].
Giả sử d ∈ N∗ . Kí hiệu Rd := {x = (x1 , x2 , ..., xd ) : xj ∈ R, j = 1, 2, ..., d},
Ω là một miền (mở và liên thông) trong Rd .
Định nghĩa 1.1.1. Với mỗi hàm u xác định trên miền Ω ⊂ Rd , kí hiệu
supp (u) := {x ∈ Ω : u(x) = 0}
và gọi là giá của hàm u trên Ω. Không gian C0∞ (Ω) bao gồm các hàm khả vi
vô hạn và có giá là một tập compact chứa trong Ω. Không gian này thường
được gọi là không gian hàm thử.
Với p ∈ [1, +∞), kí hiệu Lp (Ω) là không gian các hàm đo được Lebesgue

u : Ω → R thỏa mãn điều kiện
p

|u| dx < +∞.
Ω

Khi đó, Lp (Ω) là một không gian Banach với chuẩn được xác định bởi

1/p
u

Lp (Ω)

p

:= |u|p = 

|u| dx
Ω

5

,

u ∈ Lp (Ω).


Không gian L∞ (Ω) gồm các hàm đo được Lebesgue u : Ω → R bị chặn
trên Ω là một không gian Banach với chuẩn
u


L∞ (Ω)

:= |u|∞ = ess sup |u (x)| .
x∈Ω

Không gian Lploc (Ω), p ∈ [1, +∞] bao gồm các hàm u ∈ Lp (Ω ) với mọi
tập con compact Ω ⊂⊂ Ω. Như vậy ta luôn có Lp (Ω) ⊂ L1loc (Ω) với mọi
1 ≤ p ≤ +∞. Hơn nữa, nếu Ω là một miền bị chặn và 1 ≤ p1 < p2 < +∞ thì
Lp2 (Ω) ⊂ Lp1 (Ω).
Nếu 1 ≤ p < +∞ thì không gian Lp (Ω) là một không gian Banach tách
được. Không gian C0∞ (Ω) trù mật khắp nơi trong không gian Lp (Ω) với
1 ≤ p < +∞. Ngoài ra, với 1 < p < +∞, không gian Lp (Ω) là một không
gian Banach phản xạ. Liên quan đến không gian Lp (Ω) chúng ta còn có một
số kết quả sau (xem [1, 7, 11]).
Mệnh đề 1.1.2. (H¨older) Giả sử u ∈ Lp (Ω) , v ∈ Lp (Ω) với 1 ≤ p, p ≤ +∞
1
1
là cặp số mũ liên hợp, tức là + = 1. Khi đó, uv ∈ L1 (Ω) và ta có
p p
uvdx ≤ |u|p |v|p .
Ω

Mệnh đề 1.1.3. Giả sử 1 ≤ p < +∞ và {un } là một dãy trong Lp (Ω) hội
tụ mạnh về hàm u ∈ Lp (Ω). Khi đó, tồn tại một dãy con {unk } của dãy {un }
và hàm f ∈ Lp (Ω) sao cho
(i) unk (x) → u (x) hầu khắp nơi trên Ω.
(ii) |unk (x)| ≤ f (x) hầu khắp nơi trên Ω với mọi k ∈ N∗ .
Mệnh đề 1.1.4. (Fatou) Giả sử {un } là một dãy các hàm đo được không âm
trên tập đo được Ω ⊂ Rd . Khi đó ta có

lim un dx ≤ lim
n→∞

un dx.

n→∞

Ω

Ω

Mệnh đề 1.1.5. (Lebesgue) Giả sử {un } là một dãy các hàm đo được hội
tụ hầu khắp nơi đến hàm đo được u trên tập đo được Ω ⊂ Rd và thỏa mãn
6


|un (x)| ≤ f (x) hầu khắp nơi trên Ω với mọi n ∈ N∗ , trong đó f là một hàm
khả tích. Khi đó ta có
lim

un dx =

n→∞
Ω

u dx.
Ω

Mệnh đề 1.1.6. (Egorov) Giả sử Ω ⊂ Rd là một tập đo được với độ đo
µ (Ω) < +∞ và {un } là một dãy các hàm đo được hội tụ hầu khắp nơi đến

hàm đo được u trên Ω. Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại tập hợp V ⊂ Ω đo được
sao cho µ(Ω\V ) < ε và {un } hội tụ đều đến u trên V .
Mệnh đề 1.1.7. Giả sử X là không gian Banach phản xạ và {un } là một
dãy bị chặn trong X. Khi đó, tồn tại một dãy con của {un } hội tụ yếu đến u
trong X.
Định nghĩa 1.1.8. Giả sử (X, . ) là một không gian định chuẩn. Ta nói X
là không gian lồi đều nếu với mọi ε ∈ (0, 2], tồn tại δ > 0 sao cho với mọi
x+y
≤ 1 − δ.
x, y ∈ X thỏa mãn x = y = 1 và x − y ≥ ε ta có
2
Tính chất lồi đều của không gian rất quan trọng. Không gian Hilbert, các
không gian Lp (Ω) với 1 < p < +∞ là những không gian lồi đều. Người ta
chứng minh được rằng mọi không gian Banach lồi đều là không gian phản
xạ. Kết quả sau đây thường dùng để chứng minh sự hội tụ mạnh trong không
gian Banach.
Mệnh đề 1.1.9. Giả sử (X, . ) là một không gian Banach lồi đều và {un }
là một dãy hội tụ yếu đến u trong X, đồng thời un → u khi n → ∞. Khi
đó ta có {un } hội tụ mạnh đến u trong X.
Tiếp theo, chúng ta sẽ nói về đạo hàm yếu và không gian Sobolev W01,p (Ω).
Đây là những khái niệm được dùng phổ biến trong lí thuyết phương trình
đạo hàm riêng, xem [1, 2, 7].
Định nghĩa 1.1.10. Giả sử u ∈ L1loc (Ω) và đa chỉ số p = (p1 , p2 , ..., pd ),
d

pj . Ta nói hàm v ∈ L1loc (Ω) là đạo

pj ∈ N, j = 1, 2, .., d với môđun |p| =
j=1


7


hàm yếu cấp p của u nếu
|p|

uDp ϕ dx = (−1)
Ω

ϕ ∈ C0∞ (Ω)

ϕv dx,
Ω

trong đó
∂ |p| ϕ(x)
D ϕ = p1 p2 pd .
∂x1 ∂x2 ...∂xd
Kí hiệu đạo hàm yếu cấp p của hàm u là v = Dp u. Khi |p| = 1, các đạo hàm
∂u
yếu cấp 1 của hàm u theo biến xj được kí hiệu bởi Dxj u =
, j = 1, 2, ..., d
∂xj
sẽ thỏa mãn đẳng thức
p

uDxj ϕ dx = −
Ω

ϕ ∈ C0∞ (Ω) .


ϕDxj u dx,
Ω

Từ Định nghĩa 1.1.10, đạo hàm cổ điển Dp u cấp p của hàm u cũng là đạo
hàm yếu cấp p của u. Tuy nhiên, có thể tồn tại đạo hàm yếu Dp u cấp p của
u nhưng không tồn tại đạo hàm cổ điển của nó. Một đặc trưng của đạo hàm
yếu khác với đạo hàm cổ điển là nếu đạo hàm yếu cấp p của hàm u tồn tại
thì chưa chắc đã có đạo hàm yếu cấp thấp hơn. Trong khuôn khổ luận văn,
chúng tôi không đi sâu vào vấn đề này, đọc giả có thể tham khảo thêm trong
tài liệu [1, 2, 7].
Định nghĩa 1.1.11. Giả sử Ω là miền trong Rd , có biên ∂Ω và 1 < p < +∞.
Không gian Sobolev W 1,p (Ω) bao gồm tất cả các hàm u ∈ Lp (Ω) sao cho đạo
hàm yếu Dxj u ∈ Lp (Ω) với mọi j = 1, 2, .., d, tức là
W 1,p (Ω) = u ∈ Lp (Ω) | Dxj u ∈ Lp (Ω), ∀j = 1, 2, .., d .
Như chúng ta đã biết, W 1,p (Ω) là không gian Banach phản xạ và tách được
với chuẩn
1
p

d

u

W 1,p (Ω)

|u|pp +

=


|Dxj u|pp

,

u ∈ W 1,p (Ω).

j=1

Chuẩn này tương đương với chuẩn

u

1,p

 p1
(|u|p + |∇u|p )dx ,

=
Ω

8

(1.1)


trong đó
∂u
∂u ∂u
,
, ...,

∂x1 ∂x2
∂xd

∇u := (Dx1 u, Dx2 u, ..., Dxd u) =

,

1
2

d

|Dxj u|2

|∇u| =

.

j=1

Không gian W01,p (Ω) là bao đóng của C0∞ (Ω) trong không gian W 1,p (Ω).
Đây là một không gian Banach phản xạ và lồi đều với 1 < p < +∞ và là không
gian Banach tách được với 1 ≤ p < +∞. Hơn nữa, ta có nếu u ∈ W 1,p (Ω)
với 1 ≤ p < +∞ và supp(u) là một tập compact trong Ω thì u ∈ W01,p (Ω),
nếu Ω là một miền bị chặn và 1 ≤ p1 < p2 < +∞ thì W01,p2 (Ω) ⊂ W01,p1 (Ω),
xem [7, Chương 9].
Mệnh đề 1.1.12. (Poincaré) Giả sử Ω là miền bị chặn và 1 ≤ p < +∞.
Khi đó, tồn tại số C > 0 sao cho
∀u ∈ W01,p (Ω) .


|u|p ≤ C|∇u|p ,

Từ Mệnh đề 1.1.12, khi xét không gian W01,p (Ω), thay vì sử dụng chuẩn ở
đẳng thức (1.1) ta có thể dùng chuẩn tương đương sau
u

W01,p (Ω)

:= u

p

|∇u|p dx

=

1
p

.

Ω

Sau đây chúng ta phát biểu định lí nhúng trong không gian Sobolev trong
miền Ω bị chặn, xem [1, 2, 7]. Đặt

 dp/(d − p) , p < d
∗
p =
 +∞, p ≥ d.

Mệnh đề 1.1.13. (Sobolev) Giả sử Ω là miền bị chặn, có biên ∂Ω Lipschitz
và 1 ≤ p < +∞. Khi đó, với 1 ≤ q < p∗ thì phép nhúng từ W 1,p (Ω) vào
Lq (Ω) là liên tục và compact .
Chú ý rằng xét trong không gian W01,p (Ω) thì Mệnh đề 1.1.13 vẫn đúng
mà không cần đến điều kiện Lipschitz của biên ∂Ω.
9


1.2

Một số vấn đề cơ bản về phương pháp biến phân

Mục này giới thiệu sơ lược về phương pháp biến phân và một số định nghĩa,
mệnh đề được sử dụng ở Chương 2. Trước hết, chúng tôi giới thiệu khái niệm
khả vi của phiếm hàm xác định trên không gian Banach, xem [1, 15].
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là một không gian Banach, J : X → R là một
phiếm hàm xác định trên X. Ta nói J khả vi Fréchet tại điểm u ∈ X nếu tồn
tại ánh xạ tuyến tính liên tục, kí hiệu là J (u) ∈ X ∗ = L(X, R) sao cho
|J(u + h) − J(u) − J (u)(h)|
= 0.
h X
X →0

lim
h

Nếu J khả vi Fréchet tại mọi điểm u ∈ X thì ta nói rằng phiếm hàm J
khả vi Fréchet trên X, ánh xạ J : X → X ∗ , u → J (u) được gọi là đạo hàm
Fréchet của J. Nếu phiếm hàm J khả vi Fréchet trên X thì J liên tục trên
X. Nếu J khả vi Fréchet trên X và đạo hàm Fréchet J : X → X ∗ liên tục

thì ta nói rằng J khả vi Fréchet liên tục trên X và kí hiệu J ∈ C 1 (X, R).
Chuẩn của J (u) được xác định bởi
J (u)

X∗

= sup {|J (u)(h)| : h ∈ X, h

X

= 1} .

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử X là một không gian Banach, J : X → R là một
phiếm hàm xác định trên X. Ta nói J khả vi Gâteaux tại điểm u ∈ X nếu
tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục, kí hiệu là JG (u) ∈ X ∗ = L(X, R) sao cho
với mọi h ∈ X, ta có
J(u + th) − J(u)
= JG (u)(h).
t→0
t

lim

Nếu J khả vi Gâteaux tại mọi điểm u ∈ X thì ta nói J khả vi Gâteaux
trên không gian X, ánh xạ JG : X → X ∗ được gọi là đạo hàm Gâteaux của
J. Để ý rằng tính chất khả vi Gâteaux không suy ra được tính chất liên tục
như đối với khả vi Fréchet.
Kết quả sau đây thường được sử dụng để chứng minh một phiếm hàm xác
định trên không gian Banach là khả vi Fréchet liên tục.
10



Mệnh đề 1.2.3. Nếu phiếm hàm J khả vi Fréchet tại u ∈ X thì J khả vi
Gâteaux tại u. Ngược lại, nếu phiếm hàm J có đạo hàm Gâteaux JG liên tục
trên X thì J khả vi Fréchet trên X và J ∈ C 1 (X, R).
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử X là một không gian Banach, J : X → R là một
phiếm hàm xác định và khả vi Fréchet (hoặc Gâteaux) trên R với đạo hàm
J (u). Điểm u0 ∈ X thỏa mãn phương trình J (u0 ) = 0 được gọi là một điểm
tới hạn. Ngược lại, nếu J (u0 ) = 0 thì u0 được gọi là điểm chính quy của J.
Số thực c ∈ R được gọi là một giá trị tới hạn của phiếm hàm J nếu tồn tại
một điểm tới hạn u0 ∈ X sao cho
J(u0 ) = c,

J (u0 ) = 0.

Chúng ta biết rằng khái niệm hàm Carathéodory thường được sử dụng
trong việc chứng minh tính khả vi của phiếm hàm.
Định nghĩa 1.2.5. Giả sử Ω ⊂ Rd . Hàm f : Ω × R → R được gọi là một
hàm Carathéodory nếu thỏa mãn các điều kiện: Với mỗi x ∈ Ω cố định, hàm
t → f (x, t) là liên tục trên R và với mỗi t ∈ R cố định, hàm x → f (x, t) là
đo được trên Ω.
Mệnh đề 1.2.6. Giả sử p1 , p2 ∈ (1, +∞) là các số thực. Nếu f : Ω × R → R
là hàm Carathéodory thỏa mãn
p1 /p2

|f (x, t)| ≤ a (x) + b|t|

,

∀x ∈ Ω,


t ∈ R,

trong đó a ∈ Lp2 (Ω), a (x) ≥ 0 với mọi x ∈ Ω và b ≥ 0 là một hằng số. Khi
đó, toán tử Nemytskii Nf xác định bởi
u(x) → Nf (u (x)) = f (x, u(x))
là liên tục và bị chặn từ không gian Lp1 (Ω) vào không gian Lp2 (Ω).
Định nghĩa 1.2.7. Giả sử X là một không gian Banach, J : X → R là phiếm
hàm xác định trên X. Ta nói J được gọi là nửa liên tục dưới yếu (mạnh) trên
X nếu với mọi dãy {un } hội tụ yếu (mạnh) đến u trong X, ta có
J(u) ≤ lim inf J(un ).
n→∞

11


Từ Định nghĩa 1.2.7 suy ra chuẩn trong một không gian Banach X là một
phiếm hàm nửa liên tục dưới yếu trên X.
Định nghĩa 1.2.8. Giả sử J : X → R là phiếm hàm khả vi Fréchet liên tục
trên không gian Banach X. Ta nói J thỏa mãn điều kiện Palais-Smale trong
X, nếu mọi dãy {un } trong X sao cho {J(un )} bị chặn và lim J (un ) = 0
n→∞

đều có một dãy con hội tụ trong X.
Mệnh đề 1.2.9. (Nguyên lí cực tiểu, xem [12]) Cho X là một không gian
Banach và J ∈ C 1 (X, R). Giả thiết rằng J bị chặn dưới và thỏa mãn điều
kiện Palais-Smale trên X. Khi đó, nếu đặt
c = inf J
X


thì c là một giá trị tới hạn của J và phiếm hàm J có ít nhất một điểm cực
tiểu trong X.
Chú ý rằng, nếu phiếm hàm J : X → R thỏa mãn điều kiện bức trên không
gian Banach X, tức là
lim

u →+∞

J (u) = +∞

thì J bị chặn dưới trên X.
Sau đây chúng ta giới thiệu định lí "Điểm yên ngựa" của Rabinowitz [14].
Định lí này cho phép chúng ta nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu đối với bài
toán trong trường hợp phiếm hàm năng lượng liên kết với bài toán không bị
chặn dưới.
Mệnh đề 1.2.10. (Định lí Điểm yên ngựa, xem [14]) Giả sử X là không
gian Banach, J ∈ C 1 (X, R) thỏa mãn điều kiện Palais-Smale. Giả sử rằng X
được phân tích dưới dạng X = Y ⊕ Z với Y là không gian con hữu hạn chiều
của X và tồn tại ρ > 0 sao cho, với mọi u ∈ Y thỏa mãn u = ρ, ta có
J(u) < inf J(v).
v∈Z

Khi đó phiếm hàm J có ít nhất một điểm tới hạn trên không gian X.
12


Xét bài toán giá trị riêng phi tuyến

 −∆p u = λ|u|p−2 u,
 u = 0,


x ∈ Ω,

(1.2)

x ∈ ∂Ω,

trong đó Ω ⊂ Rd , d ≥ 1 là một miền với biên ∂Ω trơn, 1 < p < +∞. Khi đó,
có một dãy các giá trị riêng của bài toán (1.2) là {λn } với 0 < λ1 < λ2 ≤
... ≤ λn ≤ ... và λ1 là giá trị riêng nhỏ nhất. Hơn nữa, không gian riêng tương
ứng với giá trị riêng λ1 là không gian một chiều sinh bởi hàm riêng ϕ1 > 0
có chuẩn bằng 1 (xem [13]).
Mệnh đề 1.2.11. (xem [8]) Giả sử rằng λ1 là giá trị riêng thứ nhất của toán
p−2

tử −∆p (.) = −div(|∇(.)|

∇(.)) với biên Dirichlet trong không gian Sobolev

W01,p (Ω). Đặt Y = ϕ1 là không gian riêng tương ứng với λ1 sinh bởi hàm
riêng ϕ1 và
Z=




u ∈ W01,p (Ω) :




Ω



p−1
ϕ1 u dx = 0 ,


khi đó ta có phân tích W01,p (Ω) = Y ⊕ Z. Hơn nữa, tồn tại λ ∈ (λ1 , λ2 ], sao
cho
|u|p dx ≤

λ
Ω

|∇u|p dx,

∀u ∈ Z.

Ω

Bất đẳng thức sau đây cho phép chúng ta chứng minh tính chất đơn điệu
mạnh của toán tử p-Laplacian.
Mệnh đề 1.2.12. (xem [1]) Với mọi ξ, η ∈ Rd , ta luôn có
|ξ|p−2 ξ − |η|p−2 η, ξ − η ≥ c |ξ| + |η|

p−2

|ξ − η|2 nếu 1 < p < 2,


|ξ|p−2 ξ − |η|p−2 η, ξ − η ≥ c|ξ − η|p nếu p ≥ 2,
trong đó ., . , |.| được hiểu là tích vô hướng và chuẩn trong Rd và c là một
hằng số dương.

13


Chương 2

Bài toán biên Dirichlet cho phương
trình elliptic phi tuyến với điều
kiện Landesman-Lazer
2.1

Giới thiệu bài toán
Trong chương này, chúng tôi sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu đối với

bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic dạng sau đây

 −∆p u = λ1 |u|p−2 u + f (x, u) − h(x), x ∈ Ω,
 u = 0,

(2.1)

x ∈ ∂Ω,

trong đó Ω là một miền bị chặn có biên ∂Ω trơn trong không gian Rd , d ≥ 1,
p ∈ (1, +∞), f : Ω × R → R là một hàm Carathéodory và h ∈ Lp (Ω), p =
p
p−2

, λ1 là giá trị riêng thứ nhất của toán tử −∆p (.) = −div(|∇(.)| ∇(.))
p−1
cho bởi
p
Ω |∇u| dx
λ1 =
inf
>0
(2.2)
p dx
|u|
u∈W01,p (Ω)\{0}
Ω
với hàm riêng ϕ1 > 0 có chuẩn trong không gian W01,p (Ω) bằng 1.
Bài toán (2.1) đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan
tâm nghiên cứu bằng nhiều công cụ khác nhau. Trong số các phương pháp
để nghiên cứu bài toán (2.1), chúng tôi đặc biệt quan tâm đến phương pháp
biến phân. Về nguyên tắc, theo phương pháp này, để tìm nghiệm yếu của một
bài toán biên elliptic, ta quy về tìm điểm tới hạn của một phiếm hàm nào đó
14


trong một không gian hàm thích hợp. Phiếm hàm này sẽ thỏa mãn một số
điều kiện để có thể khả vi và áp dụng được các kết quả biến phân nhằm thu
được nghiệm của bài toán (xem [15]).
Ngoài việc sử dụng nguyên lí cực tiểu, một trong những công cụ quan
trọng của phương pháp biến phân là định lí qua núi (xem [4]). Nếu như
nguyên lí cực tiểu chỉ áp dụng cho các bài toán có phiếm hàm năng lượng
liên kết với nó bị chặn dưới thì định lí qua núi có thể áp dụng cho các bài
toán mà phiếm hàm năng lượng không bị chặn dưới. Tuy nhiên, một trong

những đòi hỏi của bài toán khi dùng định lí qua núi là biểu thức phi tuyến
phải thỏa mãn điều kiện kiểu Ambrosetti-Rabinowitz, tức là tồn tại R > 0
và µ > p sao cho
0 < µF (x, t) ≤ f (x, t)t,

x ∈ Ω,

|t| > R,

(2.3)

t

trong đó F (x, t) =

f (x, s) ds.
0

Từ điều kiện này suy ra tính chất (p − 1)- trên tuyến tính của hàm f tại
+∞, tức là
f (x, t)
= +∞.
|t|→+∞ |t|p−2 t
lim

Trong trường hợp
f (x, t)
= λ ∈ (0, +∞),
|t|→+∞ |t|p−2 t
lim


người ta thường gọi là bài toán tiệm cận tuyến tính đối với toán tử pLaplacian. Đặc biệt, nếu λ là một giá trị riêng của toán tử elliptic xuất
hiện trong phương trình người ta gọi bài toán đang xét là bài toán cộng
hưởng. Những bài toán như vậy có thể hiểu như là nhiễu của bài toán giá trị
riêng.
Trong phần tiếp theo của luận văn, chúng tôi giả thiết rằng f (x, t) là một
hàm Carathéodory bị chặn và với hầu khắp nơi x ∈ Ω, tồn tại các giới hạn
hữu hạn
lim f (x, t) = f +∞ (x).

lim f (x, t) = f−∞ (x),

t→−∞

t→+∞

15

(2.4)


Rõ ràng, với điều kiện (2.4), bài toán (2.1) chưa chắc đã có nghiệm. Thật
vậy, với p = 2 và f (x, .) là một hàm tăng (hoặc giảm) theo biến thứ 2 thì
điều kiện cần để bài toán (2.1) có nghiệm tương ứng là
f−∞ (x)ϕ1 (x) dx ≤
Ω

h(x)ϕ1 (x) dx ≤
Ω


f +∞ (x)ϕ1 (x) dx,

(2.5)

f−∞ (x)ϕ1 (x) dx.

(2.6)

Ω

hoặc
f +∞ (x)ϕ1 (x) dx ≤
Ω

h(x)ϕ1 (x) dx ≤
Ω

Ω

Trong trường hợp p = 2 và f là một hàm Carathéodory bị chặn, Landesman và Lazer [10] đã dùng lí thuyết bậc để chứng minh rằng bài toán (2.1)
sẽ có nghiệm yếu nếu và chỉ nếu f thỏa mãn điều kiện (2.4) và bất đẳng thức
(2.5) hoặc (2.6) thỏa mãn nhưng với dấu bất đẳng thức chặt (<), tức là
h(x)ϕ1 (x) dx <

f−∞ (x)ϕ1 (x) dx <

(2.7)

f−∞ (x)ϕ1 (x) dx.


(2.8)

Ω

Ω

Ω

f +∞ (x)ϕ1 (x) dx,

hoặc
f +∞ (x)ϕ1 (x) dx <
Ω

h(x)ϕ1 (x) dx <
Ω

Ω

Trường hợp p > 1 được nghiên cứu trong [5], ở đó các tác giả đã nghiên
cứu sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán (2.1) trong trường hợp giả thiết (2.8)
thỏa mãn. Tuy nhiên, phương pháp nghiên cứu trong [5] không thể áp dụng
cho trường hợp p > 1 và giả thiết (2.7) thỏa mãn. Trong [3], bài toán (2.1)
với f (x, .) bị chặn, p > 1 đã được Arcoya và Orsina nghiên cứu cho cả hai
trường hợp (2.7) và (2.8). Những điều kiện này còn được gọi là điều kiện kiểu
Landesman-Lazer đối với bài toán cộng hưởng.
Bằng cách dùng phương pháp biến phân mà cụ thể là định lí điểm yên
ngựa của Rabinowitz [14], Arcoya và Orsina đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm
yếu cho bài toán (2.1). Trong một nghiên cứu sau đó [6], Bouchala và Drábek
đã xét bài toán (2.1) trong trường hợp tổng quát hơn, ở đó f có thể là một

hàm Carathéodory không bị chặn. Nội dung chính của chương này là trình
bày chi tiết một số kết quả nổi bật trong hai bài báo [3] và [6] cho bài toán
Dirichlet đối với phương trình elliptic trong miền bị chặn.
16


2.2

Trường hợp f là một hàm bị chặn

Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán
(2.1) trong trường hợp f là một hàm Carathéodory bị chặn và thỏa mãn điều
kiện (2.4). Nội dung chính của mục này là trình bày chi tiết một số kết quả
nổi bật trong bài báo của Arcoya và Osina [3].
Định nghĩa 2.2.1. Ta nói rằng, hàm u ∈ W01,p (Ω) là một nghiệm yếu của
bài toán (2.1) nếu nó thỏa mãn đẳng thức tích phân
p−2

|∇u|

p−2

∇u.∇v dx − λ1

Ω

|u|

u v dx


Ω

−

f (x, u)v dx +
Ω

(2.9)

h (x) v dx = 0
Ω

với mọi v ∈ C0∞ (Ω).
Chúng ta nhận thấy, bởi sự xuất hiện của toán tử div trong bài toán (2.1),
cấp của đạo hàm của hàm u trong biểu thức tích phân (2.9) thấp hơn cấp đạo
hàm của hàm u trong bài toán (2.1). Hơn nữa, đạo hàm của u trong Định
nghĩa 2.2.1 là đạo hàm yếu (u ∈ W01,p (Ω)) nên nghiệm của bài toán (2.1)
trong trường hợp này được gọi là nghiệm yếu. Chú ý rằng, vì không gian
C0∞ (Ω) trù mật trong không gian W01,p (Ω), nên đẳng thức tích phân (2.9)
đúng với mọi v ∈ C0∞ (Ω) thì cũng sẽ đúng với mọi v ∈ W01,p (Ω).
Để áp dụng được phương pháp biến phân cho bài toán biên elliptic (2.1),
chúng ta cần quy việc tìm nghiệm yếu của (2.1) về việc tìm điểm tới hạn của
một phiếm hàm nào đó trên không gian W01,p (Ω).
Xét phiếm hàm J : W01,p (Ω) → R xác định bởi
J(u) =

1
p

p


|∇u| dx −
Ω

λ1
p

p

|u| dx −
Ω

F (x, u) dx +
Ω

= I(u) − K(u) − L(u) + M (u),

17

hu dx
Ω

(2.10)


trong đó
I(u) =

1
p


p

|∇u| dx,

K(u) =

λ1
p

Ω

L(u) =

p

|u| dx,
Ω

F (x, u) dx,

M (u) =

Ω

(2.11)

hu dx
Ω


t

với F (x, t) =

f (x, s)ds.
0

Bổ đề sau đây liên quan đến tính khả vi Fréchet của phiếm hàm J, xem thêm
Định nghĩa 1.2.1, Định nghĩa 1.2.2 và Mệnh đề 1.2.3.
Bổ đề 2.2.2. Giả sử f là một hàm Carathéodory bị chặn, h ∈ Lp (Ω) với
p
. Khi đó phiếm hàm J xác định và khả vi Fréchet liên tục trên
p =
p−1
W01,p (Ω), tức là J ∈ C 1 (W01,p (Ω), R) và đạo hàm Fréchet của J là
p−2

|∇u|

J (u)(v) =

∇u.∇v dx

Ω

(2.12)
p−2

|u|


− λ1

uv dx −

Ω

f (x, u)v dx +
Ω

hv dx,
Ω

với mọi u, v ∈ W01,p (Ω).
Chứng minh. Trước hết, chúng ta chứng minh phiếm hàm J cho bởi công
thức (2.10) là hoàn toàn xác định trên không gian W01,p (Ω). Thật vậy, từ
định nghĩa không gian W01,p (Ω) và phiếm hàm I ta thấy I hoàn toàn xác
định trên không gian W01,p (Ω). Từ Mệnh đề 1.1.12, K xác định trên W01,p (Ω).
Chúng ta sẽ chứng minh các phiếm hàm L, M xác định trên W01,p (Ω).
Thật vậy, vì f bị chặn nên tồn tại C1 > 0, sao cho
|f (x, t)| ≤ C1

(2.13)

với mọi (x, t) ∈ Ω × R.
Lấy tích phân hai vế, áp dụng Mệnh đề 1.1.2 và Mệnh đề 1.1.12 ta được
1

F (x, u) dx ≤

L(u) =

Ω

C1 |u| dx ≤ C1 |u|p (µ(Ω)) p < +∞
Ω

18


với mọi u ∈ W01,p (Ω). Suy ra phiếm hàm L xác định trên không gian W01.p (Ω).
Cuối cùng, ta có
hu dx ≤ |h|p |u|p < +∞

M (u) =
Ω

với h ∈ Lp (Ω) và u ∈ W01,p (Ω). Như vậy, phiếm hàm J hoàn toàn xác định
trên không gian W01,p (Ω).
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh J ∈ C 1 (W01,p (Ω), R) bằng
cách áp dụng Mệnh đề 1.2.3. Trước hết chúng ta chứng minh I là khả vi
Gâteaux và đạo hàm Gâteaux của I cho bởi công thức
p−2

|∇u|

IG (u)(v) =

∇u.∇v dx,

u, v ∈ W01,p (Ω) .


Ω

Thật vậy, với u, v ∈ W01,p (Ω), 0 < |t| < 1, tồn tại

1

∈ (0, 1) sao cho

1
[I(u + tv) − I(u)]
t→0 t
1
1
p
p
= lim
|∇ (u + tv)| − |∇u| dx
t→0 t
p

IG (u)(v) = lim

Ω
p−2

|∇ (u + t 1 v)|

= lim
t→0


∇(u + t 1 v).∇v dx.

Ω

Ta có
p−2

|∇ (u + t 1 v)|

p−1

∇(u + t 1 v).∇v ≤ ||∇u| + |∇v||

|∇v|,

với mọi x ∈ Ω và 0 < |t| < 1.
Áp dụng Mệnh đề 1.1.2 ta được
p−1

|∇v| dx

p−1

+ |∇v|

||∇u| + |∇v||
Ω

2p−1 |∇u|


≤

p−1

|∇v| dx

Ω




p−1

≤ 2p−1 

|∇u|

p−1

|∇v| dx +

Ω

|∇v|
Ω

19

|∇v| dx


(2.14)


p−1

≤ 2p−1

p−1

|∇u|

+ |∇v|
p

ở đây p =

p

|∇v|p < +∞,

p
là số mũ liên hợp với p. Từ đó, áp dụng Mệnh đề 1.1.5, ta
p−1

có (2.14).
Giả thiết rằng lim un = u trong không gian W01,p (Ω). Khi đó, {∇un }
n→∞

hội tụ mạnh đến ∇u trong không gian Lp (Ω, Rd ) khi n → ∞. Chúng ta xét
p


ánh xạ N∇ : Lp (Ω, Rd ) → L p−1 (Ω, Rd ) được xác định bởi w → N∇ (w) :=
|w(x)|p−2 w(x) với mọi w ∈ Lp (Ω, Rd ). Theo Mệnh đề 1.2.6, với p1 = p và
p
p2 =
, ánh xạ N∇ liên tục. Do vậy nếu dãy {wn } hội tụ mạnh đến w trong
p−1
p
không gian Lp (Ω, Rd ) thì N∇ (wn ) → N∇ (w) trong không gian L p−1 (Ω, Rd )
khi n → ∞. Nói riêng, nếu đặt wn = ∇un với n = 1, 2, ... ta được wn hội tụ
mạnh đến w = ∇u trong không gian Lp (Ω, Rd ) khi n → ∞. Do vậy ta có
lim |N∇ (∇un ) − N∇ (∇u)|

n→∞

p
p−1

=0

hay
lim |∇un |p−2 ∇un − |∇u|p−2 ∇u

n→∞

p
p−1

= 0.


Do đó, với mọi v ∈ W01,p (Ω), |∇v|p ≤ 1, áp dụng Mệnh đề 1.1.2 ta có
|(I

G (un )

−I

G (u)) (v)|

≤ |N∇ (∇un ) − N∇ (∇u)|
≤ |N∇ (∇un ) − N∇ (∇u)|

p
p−1
p
p−1

|∇v|p
→0

khi n → ∞. Suy ra
lim I

k→∞

trong đó .

∗

G (uk )


−I

G (u) ∗

= 0,

được hiểu là chuẩn trong không gian đối ngẫu (W01,p (Ω))∗ của

không gian W01,p (Ω).
Như vậy, đạo hàm Gâteaux IG liên tục trên không gian W01,p (Ω) và do đó
ta có I ∈ C 1 W01,p (Ω) , R . Hơn nữa, đạo hàm Gâteaux IG cũng là đạo hàm
Fréchet I được cho bởi công thức (2.14).
Hoàn toàn tương tự như các lập luận đã trình bày ở trên, chúng ta chứng
minh được phiếm hàm K khả vi Fréchet và đạo hàm Fréchet của nó cho bởi
20


công thức
p−2

|u|

K (u)(v) = λ1

uv dx,

u, v ∈ W01,p (Ω) .

(2.15)


Ω

Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh phiếm hàm L khả vi Gâteaux và đạo
hàm Gâteaux của nó được cho bởi công thức
f (x, u) v dx, u, v ∈ W01,p (Ω) .

LG (u)(v) =

(2.16)

Ω

Thật vậy, với u, v ∈ W01,p (Ω), 0 < |t| < 1, tồn tại

2

∈ (0, 1) sao cho

1
[L (u + tv) − L(u)]
t→0 t
1
= lim
(F (x, u + tv) − F (x, u)) dx
t→0 t

L G (u) (v) = lim

Ω


= lim

f (x, u + t 2 v)v dx.

t→0

Ω

Mặt khác, theo (2.13) ta có
|f (x, u + t 2 v) .v| ≤ C1 |v|
với mọi x ∈ Ω và 0 < |t| < 1. Áp dụng Mệnh đề 1.1.2 ta được
C1 |v| dx ≤ C1
Ω

trong đó p =

1 |v| dx ≤ C1 |1|p . |v|p dx < +∞,
Ω

p
là số mũ liên hợp với p. Từ đó, theo Mệnh đề 1.1.5, ta
p−1

có (2.16).
Giả thiết rằng lim un = u trong không gian W01,p (Ω). Khi đó, theo Mệnh
n→∞

đề 1.1.13, phép nhúng từ W01,p (Ω) vào Lp (Ω) là compact nên dãy {un } hội
tụ mạnh đến u trong không gian Lp (Ω) khi n → ∞.

p

Bây giờ, chúng ta xét ánh xạ Nf : Lp (Ω) → L p−1 (Ω) được xác định bởi
u → Nf (u) := f (x, u(x)) với mọi u ∈ Lp (Ω). Theo Mệnh đề 1.2.6, với p1 = p
p
, ánh xạ Nf liên tục. Do vậy nếu dãy {un } hội tụ mạnh đến u
và p2 =
p−1
p
trong không gian Lp (Ω) thì Nf (un ) → Nf (u) trong không gian L p−1 (Ω) khi
21


n → ∞. Do vậy ta có
lim |Nf (un ) − Nf (u)|

n→∞

p
p−1

=0

hay
lim |f (x, un ) − f (x, u)|

n→∞

p
p−1


= 0.

Do đó, với mọi v ∈ W01,p (Ω) với v ≤ 1, áp dụng Mệnh đề 1.1.2 và Mệnh
đề 1.1.12 ta có
|(L G (un ) − L G (u)) (v)| ≤ |Nf (un ) − Nf (u)|

p
p−1

≤ C2 |Nf (un ) − Nf (u)|
≤ C2 |Nf (un ) − Nf (u)|

|v|p

p
p−1
p
p−1

v
→0

khi n → ∞. Suy ra
lim L G (un ) − L G (u)

n→∞

∗


= 0,

tức là đạo hàm Gâteaux L G liên tục trên không gian W01,p (Ω) và ta có
L ∈ C 1 W01,p (Ω) , R . Hơn nữa, đạo hàm Fréchet của L là L cho bởi công
thức (2.16).
Chứng minh tương tự ta có M ∈ C 1 W01,p (Ω) , R và đạo hàm Fréchet
của nó cho bởi công thức
M (u)(v) =

hv dx,

u, v ∈ W01,p (Ω) .

Ω

Tóm lại ta đã chứng minh được phiếm hàm J ∈ C 1 W01,p (Ω) , R và đạo
hàm Fréchet của nó cho bởi công thức (2.12).
Từ Bổ đề 2.2.2, nghiệm yếu của bài toán (2.1) chính là điểm tới hạn của
phiếm hàm J cho bởi công thức (2.10). Chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại
nghiệm yếu của bài toán biên elliptic (2.1) bằng phương pháp biến phân.
Bổ đề 2.2.3. Cho f : Ω×R → R là một hàm Carathéodory bị chặn thỏa mãn
p
(2.4), h ∈ Lp (Ω), p =
. Hơn nữa, một trong hai điều kiện (2.7) hoặc
p−1
(2.8) thỏa mãn. Khi đó, phiếm hàm J thỏa mãn điều kiện Palais - Smale.
22