ĐẠI HỌC HUẾ

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

TRẦN DỰ

ẢNH HƢỞNG CỦA PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
THEO VẤN ĐỀ ĐẾN KIẾN THỨC KHÁI NIỆM
CỦA HỌC SINH VỀ CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
THEO ĐỊNH HƢỚNG NGHIÊN CỨU

HUẾ, 2018


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

TRẦN DỰ

ẢNH HƢỞNG CỦA PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
THEO VẤN ĐỀ ĐẾN KIẾN THỨC KHÁI NIỆM
CỦA HỌC SINH VỀ CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
THEO ĐỊNH HƢỚNG NGHIÊN CỨU

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ DUYẾN

HUẾ, 2018
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử
dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả

Trần Dự

ii


Lời Cám Ơn
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
tới TS. Nguyễn Thị Duyến, người hướng dẫn khoa học
đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và động viên tôi
trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện
luận văn.
Tôi xin trân trọng cám ơn quý thầy giáo, cô giáo
đã giảng dạy chúng tôi trong suốt thời gian học tập
tại trường ĐHSP Huế.
Xin cám ơn Ban giám hiệu, học sinh trường THPT
Tam Giang. Đặc biệt là các giáo viên tổ Toán Trường
THPT Tam Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong

quá trình nghiên cứu này.
Tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến Khoa Toán, Phòng
Đào Tạo Sau Đại Học, các anh chị bạn bè lớp cao học
Toán K25, đặc biệt là học viên chuyên ngành LL&PPDH
môn Toán trường ĐHSP Huế đã giúp đỡ và động viên tôi
trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Tôi rất mong nhận được những góp ý và nhận xét
nhằm bổ sung những thiếu sót không thể tránh khỏi
của luận văn.
Xin trân trọng cám ơn!
Tác giả luận văn
Trần Dự

iii


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

THPT : Trung học phổ thông
NXB : Nhà xuất bản

iv



MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ............................................................................................................i
Lời cam đoan ............................................................................................................ ii
Lời cám ơn ............................................................................................................... iii
Danh mục các chữ viết tắt .......................................................................................iv
Mục lục .......................................................................................................................1
Danh mục các bảng ...................................................................................................3
Danh mục biểu đồ, hình ............................................................................................ 3
Chƣơng 1. ĐẶT VẤN ĐỀ .........................................................................................5
1.1. Học theo vấn đề ............................................................................................... 5
1.2. Học theo vấn đề trong môn toán .......................................................................6
1.3. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của người học về tích phân .........8
1.4. Dạy học tích phân ở trường phổ thông ........................................................... 10
1.5. Nhận xét và đặt vấn đề....................................................................................12
1.6. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................13
1.7. Khách thể và đối tượng nghiên cứu. ............................................................... 14
1.8. Câu hỏi và ý nghĩa nghiên cứu. ......................................................................14
1.9. Bố cục của luận văn ........................................................................................ 15
1.10. Tiểu kết chương 1 ......................................................................................... 15
Chƣơng 2. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN VÀ KHUNG LÍ
THUYẾT NGHIÊN CỨU .......................................................................................16
2.1. Quy trình tổ chức dạy học toán theo vấn đề ...................................................16
2.2. Đặc trưng của phương pháp dạy học toán theo vấn đề ...................................19
2.3. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm ...................................................20
2.3.1. Kiến thức quy trình...................................................................................21
2.3.2. Kiến thức khái niệm .................................................................................22
2.3.3. Mối liên hệ giữa kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm ..................24
2.4. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về tích phân ............................... 26

2.4.1. Kiến thức quy trình về tích phân .............................................................. 26

1


2.4.2. Kiến thức khái niệm về tích phân ............................................................. 27
2.5. Tiểu kết chương 2 ........................................................................................... 28
Chƣơng 3. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .......................................................29
3.1. Thiết kế nghiên cứu ........................................................................................ 29
3.2. Đối tượng tham gia ......................................................................................... 29
3.3. Công cụ nghiên cứu ........................................................................................ 30
3.4. Phương pháp thực nghiệm và phân tích dữ liệu .............................................31
3.4.1. Kế hoạch bài học: Tổ chức dạy học theo vấn đề. .....................................31
3.4.2. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm trong phiếu khảo sát ...........42
3.4.2.1. Phân tích tiên nghiệm phiếu khảo sát ................................................42
3.4.2.2. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm trong các bài toán. ........55
3.4.2.3. Thang mức đo kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm. ..............59
3.5. Hạn chế của nghiên cứu ..................................................................................65
3.6 Tiểu kết chương 3 ............................................................................................ 65
Chƣơng 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ..................................................................67
4.1. Định hướng phân tích kết quả nghiên cứu ......................................................67
4.2. Phân tích định lượng kết quả nghiên cứu .......................................................67
4.3. Phân tích định tính kết quả nghiên cứu .......................................................... 69
4.4. Thuận lợi và khó khăn của học sinh khi học chủ đề tích phân theo vấn đề ...76
4.4.1. Thuận lợi ..................................................................................................76
4.4.2. Khó khăn ..................................................................................................77
4.5. Tiểu kết chương 4 ........................................................................................... 78
Chƣơng 5: KẾT LUẬN ........................................................................................... 79
5.1. Trả lời câu hỏi nghiên cứu ..............................................................................79
5.2. Đóng góp của nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài. ............................ 81

5.3 Tiểu kết chương 5 ............................................................................................ 81
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................82
PHỤ LỤC

2


DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 4.1. Kết quả về kiến thức quy trình ở phiếu khảo sát số 1.............................. 67
Bảng 4.2. Kết quả về kiến thức quy trình ở phiếu khảo sát số 2.............................. 68
Bảng 4.3. Kết quả về kiến thức khái niệm ở phiếu khảo sát số 1 ............................. 68
Bảng 4.4. Kết quả về kiến thức khái niệm ở phiếu khảo sát số 2 ............................. 69

DANH MỤC HÌNH, BIỂU ĐỒ
Trang
Hình 2.1. Quy trình dạy học theo vấn đề ..................................................................16
Biểu đồ 3.1. Sức học của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng ...................................30
Hình 3.1. ...................................................................................................................32
Hình 3.2. ...................................................................................................................36
Hình 3.3. ...................................................................................................................37
Hình 3.4. ...................................................................................................................37
Hình 3.5. ...................................................................................................................39
Hình 3.6. ...................................................................................................................39
Hình 3.7. ...................................................................................................................40
Hình 3.8. ...................................................................................................................41
Hình 3.9. ...................................................................................................................45
Hình 3.10. .................................................................................................................47
Hình 3.11. .................................................................................................................47
Hình 3.12. .................................................................................................................48

Hình 3.13. .................................................................................................................49
Hình 3.14. .................................................................................................................49
Hình 3.15. .................................................................................................................51
Hình 3.16. .................................................................................................................52
Hình 3.17. .................................................................................................................53
Hình 3.18. .................................................................................................................53
Hình 3.19. .................................................................................................................53

3


Hình 3.20. .................................................................................................................54
Hình 3.21. .................................................................................................................54
Hình 4.1. Thể hiện của học sinh C.T.M.H với bài toán 1.6 ......................................70
Hình 4.2. Thể hiện của học sinh Đ.T.T.H với bài toán 1.7a .....................................70
Hình 4.3. Thể hiện của học sinh C.T.M.H với bài toán 1.7b ....................................71
Hình 4.4. Thể hiện của học sinh Đ.T.T.H với bài toán 1.7c .....................................71
Hình 4.5. Thể hiện của học sinh C.K.T với bài toán 1.8...........................................72
Hình 4.6. Thể hiện của học sinh Đ.T.K.D với bài toán 1.9 ......................................73
Hình 4.7. Thể hiện của học sinh Đ.N.Q.B với bài toán 1.10 ....................................73
Hình 4.8. Thể hiện của học sinh Đ.T.T.H với bài toán 2.6 .......................................74
Hình 4.9. Thể hiện của học sinh V.T.T.T với bài toán 2.7 .......................................75
Hình 4.10. Thể hiện của học sinh C.T.M.H với bài toán 2.8 ....................................75

4


Chƣơng 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Học theo vấn đề
Một số nghiên cứu đã chỉ ra rằng học sinh (HS) thiếu hiểu biết sâu sắc về các

khái niệm toán học. Trong lúc đó, giáo viên (GV) gặp phải khó khăn trong việc hỗ
trợ HS phát triển hiểu biết về toán và khả năng kết nối toán học với thực tế. Học
theo vấn đề trong môn toán là một tiếp cận học tập cho phép HS không chỉ phát
triển hiểu biết toán mà còn bồi dưỡng năng lực giải quyết thực tế và khả năng sáng
tạo cho các em (Tan, 2009). Xuất hiện cách đây hơn 40 năm, học theo vấn đề ban
đầu được sử dụng trong các lớp học dành cho sinh viên y khoa để phát triển khả
năng thích ứng với những thay đổi và đưa ra các quyết định hợp lí đối với những
tình huống không quen thuộc khi đối mặt với bệnh tật của bệnh nhân (Savery,
2006). Ngày nay tiếp cận học tập này đã được sử dụng rộng rãi trong giáo dục nói
chung và giáo dục toán nói riêng nhằm giúp HS phát triển hiểu biết toán và khả
năng giải quyết vấn đề mà các em sẽ gặp phải trong học tập và cuộc sống. Học theo
vấn đề là tiếp cận học tập mà ở đó HS được tạo cơ hội để tiến hành các nghiên cứu,
tích hợp lí thuyết vào thực hành, vận dụng các kiến thức và kĩ năng đã có để tìm
kiếm phương án giải quyết cho vấn đề đã được xác định ban đầu (Savery, 2006).
Học theo vấn đề là tiếp cận về việc học đặc trưng bởi việc đặt người học vào
một tình huống có vấn đề để các em học một kiến thức, kĩ năng mới thông qua quá
trình giải quyết vấn đề (Goodman, 2010). Không có một mô hình chung nào cho
phương pháp học dựa theo vấn đề, tuy nhiên trong học dựa theo vấn đề thông
thường người học được đặt vào các nhóm học tập, sử dụng kiến thức và kĩ năng đã
có để thảo luận với bạn học nhằm tìm kiếm phương án giải quyết vấn đề được đặt
ra. Theo Goodman (2010) vấn đề lí tưởng nhất đặt ra để người học giải quyết trong
môi trường học theo vấn đề là vấn đề thực tế. Thông qua việc thường xuyên giải
quyết các vấn đề thực tế đặt ra trong các lớp học, người học sẽ phát triển các năng
lực cần thiết cho cuộc sống sau này như năng lực phản biện và phân tích các tình
huống thực tế phức tạp, năng lực tìm kiếm, đánh giá và sử dụng các nguồn tư liệu
thích hợp, năng lực hợp tác và giao tiếp… Do đó, học theo vấn đề là phương pháp

5



học hỗ trợ người học phát triển toàn diện cả về kiến thức lẫn năng lực cần thiết cho
cuộc sống sau này.
Bắt nguồn từ các chương trình giáo dục cho sinh viên các ngành y khoa trong
báo cáo của một số nhà nghiên cứu, học theo vấn đề ngày càng được khuyến khích
sử dụng trong các chương trình đào tạo ở các bậc học và các ngành học khác nhau
(Abdullaha, Ahmad Tarmizia, Abub; 2010; Arı và Katrancib, 2013; Dahl; 2017;
Goodman; 2010). Học theo vấn đề trở thành một tiếp cận mới về việc học, thúc đẩy
tính tích cực và sáng tạo của HS trong quá trình học tập. Ngày nay, học theo vấn đề
ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong các trường học từ bậc Tiểu học đến Đại
học.
1.2. Học theo vấn đề trong môn toán
Thách thức của việc toàn cầu hoá ngày nay đòi hỏi HS phải có các kỹ năng
giải quyết vấn đề và giao tiếp bên cạnh các kiến thức quy trình và kiến thức khái
niệm về toán. Do đó, việc học toán trong nhà trường cần phải thay đổi. Việc yêu cầu
HS thành thạo các kiến thức mang tính quy trình, thuật toán để giải quyết một lớp
các bài toán quen thuộc bằng các phương pháp dạy học truyền thống để đáp ứng với
các kì thi trở nên không cần thiết (Abdullaha, Tarmizia và Abu, 2010). Những kiến
thức mà HS thu nhận được bằng các phương pháp dạy học truyền thống ít hỗ trợ các
em giải quyết thành công các vấn đề có bối cảnh thực tế. Trong lúc đó, học theo vấn
đề là một tiếp cận mới về việc học toán, có thể tạo ra được môi trường mang tính
tương tác để HS thích ứng với những nhiệm vụ toán học mang tính đổi mới nhằm
đáp ứng với các tình huống có bối cảnh thực tế mà các em gặp trong cuộc sống
hàng ngày. Khi tham gia vào môi trường học theo vấn đề, người học có cơ hội kiến
tạo kiến thức toán bên cạnh các hoạt động giao tiếp, biểu diễn, mô hình hóa và suy
luận (Abdullaha, Tarmizia và Abu, 2010).
Một số nghiên cứu trong giáo dục toán đã chỉ ra rằng HS được học trong môi
trường dạy học theo vấn đề có kiến thức toán vững chắc và khả năng suy luận tốt
hơn những HS học trong môi trường dạy học truyền thống (Li và Tsai, 2017). Điều
đó bắt nguồn từ sự khác biệt căn bản giữa tiếp cận học theo vấn đề và việc học theo


6


cách truyền thống. Môi trường học theo vấn đề cung cấp cho người học cơ hội để
kiến tạo kiến thức một cách có ý nghĩa. Khi tham gia vào hoạt động học theo vấn
đề, người học tự thiết lập mục tiêu học tập của mình và điều chỉnh tốc độ học tập
của bản thân dựa trên một chương trình cụ thể. Hung (2011) cho rằng nên tạo điều
kiện cho HS tiếp cận với môi trường học theo vấn đề càng sớm càng tốt để chuẩn bị
cho người học các kĩ năng cơ bản của việc học theo vấn đề trước khi các em tham
gia vào các chương trình giáo dục ở bậc đại học.
Để chuẩn bị cho HS những kĩ năng cần thiết để học ở các bậc học cao hơn,
học theo vấn đề không những được chú trọng ở bậc đại học mà từng bước được
nghiên cứu và đưa vào áp dụng ở bậc trung học và tiểu học. Kết quả nghiên cứu của
nhóm Công nghệ và nhận thức của Vanderbilt đã chỉ ra rằng học toán theo vấn đề
đã có tác động tích cực đến điểm số bài kiểm tra chuẩn hóa của HS. Nghiên cứu này
cũng chỉ ra rằng không có sự khác biệt giữa việc giải quyết các vấn đề bằng lời yêu
cầu một bước toán giữa nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng. Tuy nhiên, có sự
khác biệt cơ bản giữa kết quả của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng khi giải
quyết các bài toán đòi hỏi nhiều bước toán. Bên cạnh đó, những kĩ năng khác trong
quá trình giải quyết vấn đề như hiểu vấn đề, lên kế hoạch và tìm kiếm giải pháp để
giải quyết vấn đề của nhóm thực nghiệm tốt hơn nhóm đối chứng. Điều đó cho thấy,
học theo vấn đề trong môn toán không chỉ nhằm mục đích giúp người học đạt được
kiến thức môn học mà còn giúp các em phát triển khả năng suy luận, giải quyết vấn
đề và tự học.
Nghiên cứu của Li và Tsai (2017) trên đối tượng là các HS lớp 5 về chủ đề
phân số cũng chỉ ra rằng, học chủ đề phân số theo vấn đề không những giúp HS tiểu
học nâng cao hiểu biết của bản thân về khái niệm phân số mà còn phát triển khả
năng suy luận và giao tiếp toán học. Theo Li và Tsai (2017), môi trường dạy học
theo vấn đề còn tạo cơ hội để người học phát triển khả năng làm việc hợp tác với
bạn học. Những bài học được dạy bằng phương pháp dạy học theo vấn đề thường

đặt HS vào các vấn đề mang tính thách thức, đòi hỏi các em nỗ lực hợp tác với bạn
học để tìm kiếm các ý tưởng giải quyết vấn đề. Do đó Li và Tsai (2017) đã nhấn
mạnh rằng môi trường học theo vấn đề không chỉ giúp người học phát triển kiến
7


thức và kĩ năng về môn học mà còn giúp các em rèn luyện kĩ năng xã hội như giao
tiếp và hợp tác.
Mặc dù học theo vấn đề thường được chú trọng sử dụng ở bậc học đại học và
sau đại học, tuy nhiên kết quả của một số nghiên cứu về việc vận dụng phương pháp
học tập này vào bậc tiểu học và trung học trong thời gian gần đây cho thấy tính hiệu
quả của phương pháp dạy học ở các bậc học thấp hơn. Do đó, tìm hiểu vai trò của
phương pháp dạy học này trong hoạt động dạy học toán ở bậc THPT là cần thiết.
1.3. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của ngƣời học về tích phân
Giải tích là một trong những phân môn quan trọng của toán học nhà trường.
Kiến thức giải tích trang bị cho HS trong nhà trường phổ thông là cơ sở ban đầu để
người học tiếp cận các kiến thức toán cao cấp khác ở bậc đại học. Vì thế hiểu được
bản chất của các khái niệm của giải tích như giới hạn, liên tục, đạo hàm và tích phân
đồng thời có thể vận dụng các kiến thức này để giải toán là cần thiết để HS có thể
học lên các cấp học khác cao hơn. Tuy nhiên một số nghiên cứu đã chỉ ra rằng
nhiều HS gặp khó khăn trong việc hiểu bản chất của các khái niệm giải tích. Một
trong những nguyên nhân dẫn đến tình trạng đó là do người học quá tập trung vào
hoạt động tính toán mà chưa chú trọng đến việc hiểu các khái niệm giải tích (Mahir,
2009). Theo Mahir (2009), trong khi phần lớn HS thành thạo các kiến thức quy
trình chứa đựng trong các quy tắc, thuật toán và quy trình để giải quyết các vấn đề
toán học, một số em thiếu hiểu biết đầy đủ về các khái niệm toán học ẩn chứa dưới
các quy trình giải toán đang được tiến hành. Điều đó cho thấy sự hạn chế về kiến
thức khái niệm của người học liên quan đến sự am hiểu về các định nghĩa và hình
ảnh khái niệm, biểu diễn khái niệm toán học và sự kết nối giữa các dạng biểu diễn
đó, sự kết nối giữa các khái niệm toán học trong cùng một chủ đề…

Cũng giống như nhiều phân môn của toán học, những khái niệm mới của giải
tích được xây dựng dựa vào khái niệm trước đó. Việc hiểu một khái niệm đòi hỏi
phải hiểu bản chất của những khái niệm liên quan trước đó. Do đó để nắm vững
kiến thức giải tích, ngoài khả năng thành thạo các quy trình tính toán, người học cần
nắm được bản chất của các khái niệm và mối liên hệ giữa các khái niệm. Theo

8


Chapell và Killpatrick (2003), kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của người
học có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Việc nắm vững bản chất của các khái niệm
giải tích sẽ giúp HS vận dụng thành thạo các quy trình giải toán và hiểu được ý
nghĩa ẩn chứa dưới các bước toán được tiến hành.
Tích phân là một trong những khái niệm cơ bản của chương trình giải tích ở
trường phổ thông. Dù chỉ chiếm một chương trong chương trình toán cuối cấp THPT,
tích phân là một nội dung quan trọng nhằm mang đến cho người học những kiến thức
khái niệm cơ bản liên quan đến lí thuyết tích phân, ý nghĩa của tích phân trong việc
tính diện tích hình phẳng và thể tích các vật thể tròn xoay. Nội dung tích phân trong
chương trình toán THPT cũng chứa đựng những kiến thức mang tính quy trình liên
quan đến các phương pháp tính nguyên hàm và tích phân xác định. Kết quả nghiên
cứu của Orton (1984) đã chỉ ra rằng người học có khả năng áp dụng các quy trình,
phương pháp và kĩ thuật mang tính thuật toán để tính tích phân. Một số HS còn biết
áp dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường, tuy nhiên các
em thường ít khi giải thích về quy trình họ sử dụng mà chỉ bắt chước quy trình đã
được GV hướng dẫn trước đó. Thậm chí một số HS còn không biết vì sao họ phải làm
như thế. Điều đó cho thấy sự hạn chế về hiểu biết của người học liên quan đến bản
chất của các khái niệm và quy trình toán học liên quan đến chủ đề tích phân.
Mặc dù nhiều HS thành thạo các kiến thức quy trình nhưng kiến thức khái
niệm của các em không đủ sâu sắc để tìm ra phương án giải quyết các vấn đề toán
học không quen thuộc hay thiết lập sự kết nối giữa toán học với thực tế. Dạy học

toán theo vấn đề đặt trọng tâm vào các vấn đề thực tế nên sẽ rút ngắn khoảng cách
giữa kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của người học. Dạy học theo vấn đề
trong các lớp học toán đòi hỏi GV phải đưa ra các vấn đề thực tế và có tính đa
chiều, đồng thời GV cũng đóng vai trò là người hỗ trợ HS học toán để các em
chiếm lĩnh kiến thức và kĩ năng toán cần học thông qua quá trình tìm kiếm phương
án giải quyết vấn đề. Nghiên cứu của Chapell và Killpatrick (2003) cho thấy môi
trường dạy học đặt trọng tâm vào khái niệm toán hỗ trợ người học tăng cường hiểu
biết về khái niệm cũng như quy trình toán học. Cụ thể, Chapell và Killpatrick
(2003) chỉ ra rằng HS được học trong môi trường dạy học đặt trọng tâm vào khái
9


niệm có kết quả cao hơn HS học trong môi trường dạy học mang tính quy trình
trong các bài kiểm tra đo lường cả hiểu biết mang tính quy trình và mang tính khái
niệm của người học. Điều đó cho thấy vai trò quan trọng của tiếp cận dạy học dựa
theo khái niệm đối với việc nâng cao hiểu biết khái niệm và quy trình cho người học
1.4. Dạy học tích phân ở trƣờng phổ thông
Giải tích là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm giới hạn, đạo hàm,
nguyên hàm, tích phân... Phép toán cơ bản của giải tích là “phép lấy giới hạn” và
các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường mang tính chất “động” hơn là tính
chất “tĩnh” như trong đại số. Chính vì vậy mà phần lớn HS THPT lúng túng và gặp
khó khăn khi học các nội dung của giải tích nói chung và nguyên hàm, tích phân nói
riêng. Các em có thể thực hiện khá thành thạo các phép tính toán nhưng gặp khó khăn
khi giải các bài toán đòi hỏi hiểu biết mang tính khái niệm. Trong thực tế, đa số HS
khi học chủ đề tích phân thường chỉ tập trung vào việc rèn luyện các quy tắc, phương
pháp tính toán như tính tích phân bằng định nghĩa hoặc bằng các tính chất, tính tích
phân bằng phương pháp đổi biến số và phương pháp tính tích phân từng phần hoặc
giải một số bài toán tích phân với những thuật toán, dạng toán mà các em đã được
GV đưa ra thuật toán cũng như những dạng quen thuộc trước đó. Khi học chủ đề tích
phân các em thường giải những bài toán dùng kiến thức quy trình. Khi gặp những bài

toán có bối cảnh tính thực tế đòi hỏi phải sử dụng kiến thức khái niệm các em còn
lúng túng, thậm chí chưa biết cách giải. Sử dụng công cụ tích phân vào bài toán tính
diện tích hình phẳng, tính thể tích của vật thể HS cũng chỉ giải những bài toán đơn
giản như tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong với trục hoành, hình
phẳng giới hạn bởi hai đường cong, tính thể tích của vật thể và thể tích của vật thể
tròn xoay sinh ra khi quay một đường quanh một trục cố định… các bài toán mang
tính quy trình. Trong quá trình giảng dạy ở lớp, GV thường đưa ra hướng dẫn về kĩ
thuật giải để giải từng dạng toán, sau đó HS sẽ áp dụng phương pháp đó để giải. Cụ
thể, ở trường THPT GV thường yêu cầu người học sử dụng định nghĩa tính tích phân,
phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần để giải các dạng tích
phân lượng giác, tích phân hữu tỉ, tích phân các hàm vô tỉ… Đối với các dạng toán

10


trên phần lớn HS đều làm nếu các em được trang bị các kĩ thuật tính tích phân và
luyện tập một cách thường xuyên.
Hầu hết các bài toán trong sách giáo khoa hiện hành đều chú trọng đến kiến
thức quy trình. Lượng bài toán đề cập đến kiến thức khái niệm trong chủ đề tích còn
ít.Thống kê số lượng bài tập trong sách giáo khoa Giải tích 12 Cơ bản hiện hành do
tác giả Trần Văn Hạo chủ biên như sau:
Bài tập chứa đựng

Chủ đề

Bài tập chứa đựng Số bài tập có nội

kiến thức quy trình kiến thức khái niệm

Tích Phân

Ứng dụng hình học
của tích phân

dụng thực tế

6

0

0

3

3

0

Thống kê số lượng bài tập trong sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao hiện
hành do tác giả Đoàn Quỳnh chủ biên như sau:
Chủ đề

Bài tập chứa

Bài tập chứa

đựng kiến thức

đựng kiến thức

quy trình


khái niệm

10

5

1

3

0

0

4

1

0

Số bài tập có nội
dụng thực tế

Tích Phân. Một số
phương pháp tính
tich phân.
Ứng

dụng


tích

phân để tính diện
tích hình phẳng.
Ứng

dụng

tích

phân để tính thể
tích vật thể.

Ngoài ra khi học chủ đề tích phân các em thường mắc phải những sai lầm do
chưa hiểu rõ bản chất của các khái niệm một cách rõ ràng hoặc tính tích phân một
cách máy móc chẳng hạn như: Tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân
rồi dùng định nghĩa tích phân hoặc phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp tính

11


tích phân từng phần mà rất ít HS để ý rằng nguyên hàm của hàm số tìm được có liên
tục trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi
biến số có ý nghĩa hay không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Chẳng
4

hạn khi tính tích phân I   x 2  6 x  9 dx , HS đã thực hiện các phép đổi như sau:
0
4


4

I   x  6 x  9 dx  
2

0

0

4

( x  3)2
1 9
( x  3) dx   ( x  3)d ( x  3) 
   4 . HS mắc
2 0 2 2
0
4

2

phải sai lầm khi giải bài toán này là do các em đã thực hiện phép biến đổi
( x  3)2  x  3, x  [0, 4] không tương đương.

Thực tế chương trình dạy học chủ đề tích phân còn chú trọng nhiều đến các
bài toán mang tính quy trình mà chưa chú ý đứng mức các bài toán thực tế. Khi học
chủ đề ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích của vật thể
tròn xoay, hầu hết HS nắm công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn
xoay do các em còn thiếu những kỹ năng vẽ đồ thị, suy luận, thiếu hiểu biết về kiến

thức khái niệm dẫn đến bế tắc hay khó khăn trong việc tìm lời giải bài toán.
1.5. Nhận xét và đặt vấn đề
Theo một nghiên cứu của Trung tâm Quốc gia về Đánh giá Tiến triển Giáo
dục Hoa Kỳ (National Assessment of Educational Progress: NAEP, 1983), phần lớn
HS đồng ý với phát biểu “luôn luôn có một quy tắc để làm theo trong việc giải
quyết các bài toán”. Lý do cho suy nghĩ này xuất phát từ thực tế dạy học toán
thường diễn ra ở nhà trường phổ thông. Trong quá trình dạy học toán, GV thường
để HS tiếp xúc với các bài toán có quy trình thuật toán và đưa ra các ví dụ để HS áp
dụng các quy trình thuật toán cho đến khi HS có thể tự mình làm các bài toán này
một cách chính xác theo các thuật toán đã được học. Vì thế nhiều HS ở bậc THPT
đã tập trung ghi nhớ các quy trình hoặc thuật toán được GV giới thiệu trên lớp thay
cho việc tìm hiểu các mối liên hệ giữa các đối tượng.
Chủ đề ứng dụng của tích phân trong chương trình giải tích 12 một dạng
toán cơ bản thực tế quen thuộc. Tuy nhiên nhiều HS chưa thật sự hiểu được yêu cầu
đặt ra trong bài toán, cũng như chưa biết kết hợp một cách linh hoạt các kiến thức
12


đã biết để giải toán dẫn đến mắc sai lầm và đưa ra những lời giải sai chưa chính xác.
Trong các bài kiểm tra, kì thi, hầu như các bài toán về chủ đề tích phân thường tập
trung vào việc yêu cầu HS lặp lại các quy trình đã học và tiến hành các tính toán
nên đã che dấu đi sự vắng mặt của kiến thức khái niệm. Thông thường, nếu HS nắm
vững các phương pháp và áp dụng thành thạo các quy trình thuật toán và tựa thuật
toán đã được trang bị trước đó thì có thể làm đúng đáp án. Điều này vô tình tạo ra
một lý do để GV và HS tin rằng các em đã hiểu được khái niệm toán học nhưng có
lẽ điều này không đúng. Các em chỉ tập trung nhớ các quy trình hoặc thuật toán chứ
ít khi tìm hiểu mối liên hệ giữa các đối tượng toán học.
Chương trình dạy học toán chúng ta hiện nay tập trung chủ yếu vào việc rèn
luyện các kĩ năng và thực hành các thuật giải. Việc thực hành các thuật toán chưa
đủ để giúp HS áp dụng các kiến thức vào thực tế giải quyết các bài toán ít quen

thuộc. Do đó cần chú trọng hơn nữa việc phát triển các kiến thức khái niệm, cần
mạnh dạn cho HS tiếp cận khái niệm dưới các tình huống không quen thuộc, các
loại biểu diễn khác nhau, khuyến khích HS tiến hành các hoạt động khám phá toán.
Hiện nay đã có nhiều nghiên cứu bàn về việc phát triển kiến thức quy trình và kiến
thức khái niệm cho HS trong các chủ đề cụ thể như hàm số (Lauritzen, 2012), đạo
hàm và ứng dụng của đạo hàm (Chappell & Kendra Killpatrich, 2007). Tuy nhiên
việc tìm hiểu kiến thức khái niệm của HS trong chủ đề tích phân hầu như chưa được
bàn đến. Xuất phát từ những vấn đề trên chúng tôi chọn đề tài “Ảnh hƣởng của
phƣơng pháp dạy học theo vấn đề đến kiến thức khái niệm của HS về chủ đề
tích phân” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn này.
1.6. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu này nhằm mục đích:
 Tìm hiểu kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của HS về chủ đề tích phân.
 Tìm hiểu ảnh hưởng của phương pháp dạy học theo vấn đề đến kiến thức
khái niệm của HS về chủ đề tích phân.
Để đạt được mục đích trên, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài bao gồm:

13


 Tổng quan các nghiên cứu liên quan đến phương pháp dạy học theo vấn
đề, kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của HS về tích phân.
 Thiết kế công cụ nghiên cứu để tích hợp tiếp cận dạy học theo vấn đề vào
quá trình dạy học chủ đề tích phân.
 Thu thập, phân tích và xử lí dữ liệu để đưa ra nhận định có cơ sở về ảnh hưởng
của phương pháp dạy học theo vấn đề đến kiến thức khái niệm của HS về chủ đề tích
phân.
 Phân tích khả năng áp dụng, đưa ra hướng tiếp cận phù hợp và hiệu quả
khi dạy chủ đề tích phân trong tương lai.
1.7. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu

Khách thể nghiên cứu của nghiên cứu này là quá trình tích hợp tiếp cận dạy
học theo vấn đề vào dạy học chủ đề tích phân.
Đối tượng nghiên cứu của nghiên cứu này là kiến thức khái niệm về chủ đề
tích phân của HS lớp 12.
1.8. Câu hỏi và ý nghĩa nghiên cứu
Trong nghiên cứu này chúng tôi tìm hiểu ảnh hưởng của phương pháp dạy
học theo vấn đề đến kiến thức khái niệm của HS về chủ đề tích phân, từ đó đề xuất
hướng tiếp cận về mặt phương pháp khi dạy học chủ đề này. Nghiên cứu này nhằm
mục đích tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu sau đây:
i. Kiến thức khái niệm và kiến thức quy trình của HS về chủ đề tích phân
hiện nay như thế nào?
ii. Dạy học theo vấn đề ảnh hưởng như thế nào đến kiến thức khái niệm về
chủ đề tích phân của HS lớp 12?
iii. Làm thế nào để phát triển kiến thức khái niệm về chủ đề tích phân cho HS
lớp 12?
Kết quả nghiên cứu của luận văn này mong đợi sẽ góp phần:

14


i. Mô tả kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về chủ đề tích phân ở
bậc trung học phổ thông.
ii. Làm rõ ảnh hưởng của phương pháp dạy học theo vấn đề đến kiến thức
khái niệm của HS về chủ đề tích phân.
iii. Đề xuất hướng tiếp cận khi dạy học chủ đề tích phân ở trường phổ thông
để phát triển kiến thức khái niệm về chủ đề này cho người học.
1.9. Bố cục của luận văn
Ngoài mục lục, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung của luận văn
được trình bày trong năm chương:
Chương 1. Mở đầu

Chương 2. Tổng quan nghiên cứu liên quan và khung lí thuyết tham chiếu
Chương 3. Phương pháp nghiên cứu
Chương 4. Kết quả nghiên cứu
Chương 5. Kết luận
1.10. Tiểu kết chƣơng 1
Trong phần mở đầu chúng tôi đã tổng quan một số nghiên cứu về phương
pháp dạy học theo vấn đề, kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của người
học. Chúng tôi cũng đã trình bày mục đích, câu hỏi và nhiệm vụ nghiên cứu, khách
thể và đối tượng nghiên cứu, bố cục của luận văn. Chúng tôi sẽ trình bày khung lí
thuyết nghiên cứu ở chương tiếp theo.

15


Chƣơng 2. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN
VÀ KHUNG LÍ THUYẾT NGHIÊN CỨU
2.1. Quy trình tổ chức dạy học toán theo vấn đề
Học theo vấn đề thường bắt đầu bằng một vấn đề (Ari và Katranci, 2013).
Học theo vấn đề trong môn toán đòi hỏi phải cung cấp cho HS môi trường để các
em tham gia vào quá trình giải quyết vấn đề. Mức độ phức tạp của vấn đề được đặt
ra trong các lớp toán theo vấn đề phụ thuộc vào mức độ nhận thức của HS và thời
lượng dành cho việc học chủ đề đó. Theo Goodman (2010), vấn đề được đặt ra có
thể được giải quyết trong một tiết học hoặc một số tiết học hay trải dài theo cả học
kì. Goodman (2010) cho rằng việc tổ chức cho HS học toán theo vấn đề thường
được tiến hành theo các bước là đặt ra vấn đề với người học, HS xác định các điều
đã biết và điều chưa biết liên quan đến vấn đề, HS tìm kiếm các thông tin hỗ trợ quá
trình giải quyết vấn đề, và sau đó là các em học những kiến thức mới, kết nối các
kiến thức vừa học vào việc giải quyết vấn đề đặt ra lúc đầu. Quy trình dạy học theo
vấn đề được thực hiện với các bước sau:
Ổn định lớp


Đặt vấn đề

Đánh giá
kết quả

Xác định điều
cần biết

Áp dụng điều
cần biết

Học điều cần biết

Hình 2.1. Quy trình dạy học theo vấn đề
•

Bƣớc 1. Ổn định lớp: GV ổn định lớp, đặt ra yêu cầu về cách thức tổ chức

lớp học và những quy định đặc biệt nếu có trong giờ học.

16


•

Bƣớc 2. Đặt vấn đề: GV hoặc HS đặt ra một vấn đề, thông thường trong

dạy học theo vấn đề đó là một vấn đề thực tế hoặc có bối cảnh thực tế. GV yêu cầu
HS tìm kiếm phương án để giải quyết vấn đề được đặt ra.

•

Bƣớc 3. Xác định điều cần biết: GV hướng dẫn HS tìm hiểu vấn đề, chuyển

đổi vấn đề thực tế hoặc có bối cảnh thực tế sang một bài toán, xác định kiến thức
toán mới cần biết để giải được bài toán được đặt ra.
•

Bƣớc 4. Học điều cần biết: GV tổ chức cho HS khám phá, kiến tạo kiến

thức mới để đáp ứng với yêu cầu của bài toán được đặt ra.
•

Bƣớc 5. Áp dụng điều cần biết: HS áp dụng những điều vừa được khám

phá ra để giải bài toán được đặt ra, sau đó chuyển dịch kết quả từ vấn đề toán sang
vấn đề thực tế hoặc có bối cảnh thực tế ban đầu.
•

Bƣớc 6: Củng cố: GV xác nhận lại kết quả của quá trình giải quyết vấn đề

của HS, chính xác hóa kiến thức toán mà HS vừa khám phá, đưa ra thêm các tình
huống để HS vận dụng kiến thức vừa học được, mở rộng vấn đề nếu có.
Phương pháp dạy học theo vấn đề là phương pháp dạy học theo định hướng
lấy HS làm trung tâm, trong đó HS cần thiết phải sử dụng kiến thức về toán học
trong chương trình để áp dụng vào tình huống thực tế hoặc các tình huống mô
phỏng thực tế, nhằm đòi hỏi ở người học một tư duy tích cực, chủ động để nắm bắt
kiến thức môn học một cách hiệu quả, tối ưu nhất. Dạy học theo vấn đề là tiếp cận
dạy học cho phép HS không chỉ phát triển hiểu biết toán mà còn giúp cho HS bồi
dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thực tế, đặt người học vào các vấn đề phải thành

thạo các phương án giải quyết vấn đề. Các phướng án giải quyết vấn đề được Krulik
và Rudnick (1987) đưa ra:
 Phân tích đi lên.
 Tìm kiếm một quy luật.
 Tiếp cận vấn đề theo một cách nhìn.
 Giải quyết vấn đề tương tự nhưng đơn giản hơn.
 Xét các trường hợp đặt biệt.
17


 Minh họa bằng hình vẽ.
 Đoán và thử, xem tất cả các khả năng có thể xảy ra.
 Sắp xếp các dữ liệu.
 Suy luận logic.
Dạy học theo vấn đề đòi hỏi người học phải tìm kiếm, tích hợp các thông tin
ở nhiều nguồn khác nhau để tìm các phương án giải quyết ban đầu, người học phải
kiến tạo kiến thức toán trong quá trình hợp tác làm việc theo nhóm. Trong dạy học
theo vấn đề kiến thức và kỹ năng cần học tập không được trình bày đưới dạng mặc
định, có sẵn mà tiềm ẩn trong các vấn đề. Khi giải quyết vấn đề giúp các em phát
triển các các tư duy phê phán, khả năng giải quyết vấn đề, thông qua giải quyết vấn
đề người học chiếm lĩnh các kĩ năng, kiến thức khái niệm toán. So với phương
pháp dạy học truyền thống GV không chỉ dạy các em giải các bài toán, giúp các em
phát triển kiến thức quy trình mà giúp các em hiểu biết sâu sắc hơn về các kiến thức
khái niệm toán cần thiết để giải quyết những bài toán không quen thuộc hay thiết
lập các mối quan hệ giữa các kiến thức khái niệm.
Do dạy học toán theo vấn đề thường bắt đầu bằng một bài toán thực tế cần
giải quyết nên HS học toán trong môi trường đặt trọng tâm vào các vấn đề phải
thành thạo các phương án giải quyết vấn đề. Một số nhà nghiên cứu nhận định rằng
dạy học toán theo vấn đề là một tiếp cận dạy học nhằm hỗ trợ HS phát triển khả
năng kiến tạo kiến thức, giải quyết vấn đề, suy nghĩ một cách có phê phán và sáng

tạo, giao tiếp hiểu biết toán của bản thân với bạn học. Khi tham gia vào môi trường
học theo vấn đề, HS phải nỗ lực kiến tạo kiến thức toán trong quá trình hợp tác làm
việc với bạn học. GV chỉ đóng vai trò là người hướng dẫn, tạo cơ hội để HS kiến
tạo kiến thức và giải quyết vấn đề. Để thể hiện tốt vai trò của mình khi tổ chức dạy
học theo vấn đề, GV phải là người có hiểu biết sâu sắc về kiến thức toán và kiến
thức phương pháp. GV phải biết tạo ra các tình huống có vấn đề và lên kế hoạch về
quá trình giải quyết vấn đề của HS, lôi cuốn HS vào quá trình tìm kiếm phương án
giải quyết vấn đề và tạo ra cơ hội để HS kiến tạo được kiến thức mới để giải quyết
vấn đề. GV cũng phải thay đổi cách thức quản lí việc học của HS cho phù hợp với

18


môi trường dạy học theo vấn đề. Trong dạy học theo vấn đề trách nhiệm và sự tận
tâm của GV càng được nâng lên nhằm chuẩn bị cho HS môi trường học tập lí tưởng
để kiến tạo kiến thức và giải quyết vấn đề khi học theo vấn đề.
2.2. Đặc trƣng của phƣơng pháp dạy học toán theo vấn đề
Dạy học theo vấn đề là tiếp cận dạy học mà ở đó HS được tạo cơ hội để tiến
hành các nghiên cứu, tích hợp lí thuyết vào thực hành, vận dụng các kiến thức và kĩ
năng đã có để tìm kiếm phương án giải quyết cho vấn đề đã được xác định ban đầu
(Savery, 2006). Dạy học theo vấn đề là một tiếp cận dạy học lấy người học làm
trung tâm có những đặc trưng sau:
- Tính độc lập của người học: Người học phải chịu trách nhiệm về việc học
của mình. Các em tham gia vào quá trình giải quyết vấn đề với những kiến thức và
kinh nghiệm của bản thân. HS cần xác định những gì bản thân đã biết và những điều
cần học hỏi và chịu trách nhiệm tìm ra những thông tin phù hợp để giúp bản thân
tìm ra chiến lược giải quyết vấn đề phù hợp.
- Vấn đề có cấu trúc không đầy đủ và kích thích người học đặt câu hỏi: Dạy
học theo vấn đề thường chú trọng vào các vấn đề có bối cảnh thực tế. Đây là những
vấn đề có tính xác thực và thường được phát biểu dưới ngôn ngữ đời thường nên đòi

hỏi người học phải biết chuyển dịch thông tin, nhận ra bản chất vấn đề và phát triển
phương án giải quyết vấn đề.
- Tích hợp trong dạy học: Dạy học theo vấn đề đòi hỏi người học phải tìm
kiếm, tích hợp và sử dụng thông tin ở nhiều nguồn khác nhau có liên quan đến việc
thông hiểu và tìm kiếm phương án giải quyết vấn đề ban đầu. Dạy học theo vấn đề
huớng đến việc chuẩn bị cho người học năng lực vận dụng kiến thức ở nhiều nguồn
khác nhau để giải quyết vấn đề mà các em gặp phải trong cuộc sống.
- Tính hợp tác: Dạy học theo vấn đề hướng đến việc giúp HS phát triển kĩ
năng hợp tác vì nó tạo ra môi trường để thúc đẩy những kĩ năng này của các em.
Trong quá trình tổ chức dạy học theo vấn đề, GV sẽ đặt những câu hỏi để đảm bảo
rằng tất cả các thông tin liên quan đến vấn đề chung của cả nhóm đã được chia sẻ
giữa các thành viên trong toàn nhóm.

19


- Kiến thức và kỹ năng mới để giải quyết vấn đề đã đặt ra: Những kiến thức
và kỹ năng mà HS chiếm lĩnh được trong quá trình tham gia giải quyết vấn đề sẽ
được sử dụng để cả nhóm thảo luận và quyết định phương án giải quyết vấn đề đã
được đặt ra.
- Củng cố việc học: Sau khi kết thúc việc giải quyết vấn đề thì bao giờ cũng
có một khoảng thời gian dành cho việc phân tích những kiến thức và kỹ năng đã
được học khi làm việc với vấn đề. Việc củng cố bài học nhằm đảm bảo mọi HS
trong lớp học đều phát triển hiểu biết sâu sắc về những kiến thức và kỹ năng mà GV
muốn họ đạt được sau khi tham gia giải quyết vấn đề đã đặt ra.
- Tự đánh giá, đánh giá đồng đẳng và đánh giá: Việc tự đánh giá và đánh giá
đồng đẳng được thực hiện sau khi hoàn thành một vấn đề hoặc một chủ đề nào đó
trong môn học nhằm thu thập những thông tin liên quan đến quá trình tiến bộ trong
kiến thức và kỹ năng của HS. Việc đánh giá HS là để đảm bảo các em chiếm lĩnh
được những kiến thức và kỹ năng môn học mà chương trình yêu cầu. Mặc dù nhiều

HS thành thạo các kiến thức quy trình nhưng kiến thức khái niệm của các em không
đủ sâu sắc để tìm ra phương án giải quyết các vấn đề toán học không quen thuộc
hay thiết lập sự kết nối giữa toán học với thực tế.
Dạy học toán theo vấn đề đặt trọng tâm vào các vấn đề thực tế nên sẽ rút
ngắn khoảng cách giữa kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của người học.
Dạy học theo vấn đề trong các lớp học toán đòi hỏi GV phải đưa ra các vấn đề thực
tế và có tính đa chiều, đồng thời GV cũng đóng vai trò là người hỗ trợ HS học toán
để các em chiếm lĩnh kiến thức và kĩ năng toán cần học thông qua quá trình tìm
kiếm phương án giải quyết vấn đề.
2.3. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm
Thuật ngữ kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của toán học xuất hiện
và trở nên phổ biến giữa những năm 1980, đặc biệt sau khi Hiebert (1986) biên tập
cuốn sách “Kiến thức khái niệm và kiến thức quy trình: Trường hợp của toán học”,
các thuật ngữ này được phổ biến và nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà giáo
dục toán. Sự phân biệt giữa kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm đóng một vai
trò quan trọng trong việc xác định những kiến thức mà HS thu nhận được. Hiebert
20