BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

DƯƠNG THỊ HOÀI THU

CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA VÀNH
CON VERONESE
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60. 46. 01. 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. CAO HUY LINH

HUẾ, 09/2016


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của
riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong
luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kì một công trình nào khác.
Dương Thị Hoài Thu

ii


LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo, PGS.
TS. Cao Huy Linh. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự kính trọng đối với
Thầy. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng
như hoàn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy cô Khoa Toán, các Thầy ở Đại học Huế
và Viện Toán học đã dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình
học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo
sau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt
khóa học.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, các anh chị Cao học Toán khóa
XXIII trường ĐHSP Huế chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số vì sự động viên,
giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua.
Ngày 5 tháng 10 năm 2016.
Học viên thực hiện
Dương Thị Hoài Thu

iii


Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn


iii

Mục lục

1

Lời nói đầu

3

1

Chỉ số chính quy Castelnouvo-Mumford
1.1 Iđêan nguyên tố và chiều Krull . . . . . . . . . .
1.1.1 Iđêan nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Chiều Krull của vành và môđun . . . . .
1.2 Độ dài của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Vành các phân thức và vành địa phương . . . . .
1.3.1 Vành các phân thức . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Vành địa phương . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Dãy chính quy và độ sâu của môđun . . . . . . .
1.4.1 Dãy chính quy . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Độ sâu của một môđun . . . . . . . . . .
1.5 Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số . . . . . . .
1.5.1 Iđêan m-nguyên sơ . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Iđêan tham số . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Hệ bội và biểu tượng bội . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Hàm tử xoắn . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7.2 Đối đồng điều địa phương . . . . . . . . .
1.8 Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy
1.8.1 Môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . .
1.8.2 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng . . . .
1

. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
rộng
. . .
. . .

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

5
5
5
8
10
11

11
14
15
15
16
17
17
17
18
18
18
20
25
25
26


1.9

Vành và môđun phân bậc . . . . . . . .
1.9.1 Vành phân bậc . . . . . . . . . .
1.9.2 Môđun phân bậc . . . . . . . . .
1.10 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford

2 Chỉ
2.1
2.2
2.3

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

số chính quy của vành con Veronese
Vành con Veronese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chỉ số chính quy của vành con Veronese . . . . . . . . . . . . . .
Mối quan hệ giữa chỉ số chính quy của vành con Veronese và vành
phân bậc ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Ứng dụng của chỉ số chính quy của vành con Veronese trong vành
phân bậc liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

27
27
29
30

35
. 35
. 36

. 37
. 38

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46

2


LỜI NÓI ĐẦU
Cho E là môđun phân bậc hữu hạn sinh trên một đại số phân bậc chuẩn
R = ⊕n≥0 Rn . Lúc đó, chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(E) của E được
định nghĩa là số m nhỏ nhất sao cho HRi + (E)n = 0 với mọi n ≥ m − i + 1 và i ≥ 0,
trong đó HRi + (E) là đối đồng điều địa phương của E với giá R+ = ⊕i>0 Ri . Để
gọn hơn ta thường nói chỉ số chính quy thay cho chỉ số chính quy CastelnuovoMumford.
Với E là R-môđun cho trước như trên, R(k) = ⊕n≥0 Rnk được gọi là vành con
Veronese thứ k của R và E (k,s) = ⊕n∈Z Enk+s là R(k) -môđun và được gọi là môđun
con Veronese thứ (k, s) của E . Việc nghiên cứu vành con và môđun con Veronese
sẽ cho chúng ta biết cấu trúc của vành và môđun ban đầu nên thu hút nhiều
nhà toán học quan tâm (xem [4], [5],. . . ).
Cho (A, m) là vành Noether địa phương, I là iđêan m-nguyên sơ. Kí hiệu
I n /I n+1 .

GI (A) =
n≥0


Người ta gọi GI (A) là vành phân bậc liên kết của A ứng với I .
Mục đích chính của luận văn là thiết lập một mối quan hệ giữa chỉ số chính
quy của vành con Veronese và vành ban đầu. Từ đó, vận dụng các kết quả này
để thiết lập một chặn trên cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết.
Việc tính chỉ số chính quy không hoàn toàn đơn giản, người ta thường chặn
trên cho chỉ số chính quy của vành và môđun phân bậc liên kết. Vấn đề này đã
thu hút nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm. Năm 2003, RossiTrung-Valla [15] đã thiết lập chặn trên cho chỉ số chính quy của vành phân bậc
liên kết ứng với iđêan cực đại theo bậc mở rộng. Sau đó, Linh [10] (2005) đã mở
rộng thành công kết quả của Rossi-Trung-Valla cho lớp iđêan m-nguyên sơ. Năm
2006, Linh-Trung [11] đã thiết lập chặn phổ dụng cho chỉ số chính quy của vành
Cohen-Macaulay suy rộng ứng với iđêan tham số. Gần đây, Brodmann-Linh [6]
đã thiết lập mối quan hệ cho chỉ số chính quy, chỉ số Hilbert và kiểu quan hệ.
Như chúng tôi đã đề cập, trong bài báo [11], Linh-Trung đã thiết lập một
chặn phổ dụng cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết của vành CohenMacaulay suy rộng ứng với iđêan tham số. Phương pháp chính mà Linh-Trung
đã sử dụng là dùng hàm Hilbert để ước lượng cho chỉ số chính quy. Trong luận
văn này, chúng tôi đưa ra một phương pháp khác để chặn trên cho chỉ số chính
quy của vành phân bậc liên kết. Đó là dùng chỉ số chính quy của vành con
Veronese.
Kết quả chính của luận văn mà chúng tôi đã đạt được là thiết lập một mối
3


quan hệ giữa chỉ số chính quy của vành con Veronese và vành phân bậc ban đầu.
Định lý: Cho R = n≥0 Rn là một vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên
vành địa phương Artin R0 với dim R = d. Giả sử R(m) là một vành con Veronese
của R. Nếu reg R(m) ≤ r thì reg R ≤ m(r + 1) − 1.
Từ kết quả này, chúng tôi thu được một chặn phổ dụng cho chỉ số chính quy
của vành phân bậc liên kết của vành Cohen-Macaulay suy rộng ứng với iđêan
tham số.

Định lý: Cho (A, m) là một vành Cohen-Macaulay suy rộng với dim A = d ≥ 1.
Khi đó, tồn tại số tự nhiên N sao cho với bất kì hệ tham số x1 , . . . , xd của A, ta
có
reg Gq (A) ≤ N,

trong đó q = (x1 , . . . , xd ).
Đây là kết quả không mới nhưng chúng tôi đã sử dụng một phương pháp
khác với phương pháp của Linh-Trung.
Bây giờ, chúng tôi xin đi vào chi tiết của từng chương. Ngoài phần mở đầu
và kết luận, luận văn chia làm hai chương.
Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của Đại số giao
hoán nhằm mục đích hỗ trợ cho Chương 2. Chương 2 là chương chính của luận
văn, gồm 4 mục. Mục 2.1, chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất của
vành con Veronese. Tiếp theo, Mục 2.2 trình bày chỉ số chính quy của vành con
Veronese. Trong Mục 2.3, chúng tôi đưa ra một mối quan hệ giữa chỉ số chính
quy của vành con Veronese và vành phân bậc ban đầu. Và cuối cùng, Mục 2.4,
chúng tôi vận dụng các kết quả của chỉ số chính quy của vành con Veronese để
thiết lập một chặn trên cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết.

4


Chương 1

Chỉ số chính quy
Castelnouvo-Mumford
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của đại số
giao hoán. Các kiến thức này được trình bày nhằm tham khảo cho các nội dung
của chương sau. Một số kết quả trong chương này là khá kinh điển, vì vậy chúng
tôi chỉ trình bày nội dung mà không trình bày phần chứng minh (phần chứng

minh có thể tham khảo trong các tài liệu [3], [7], [8], [13], [16]).
Trong suốt luận văn này, chúng tôi luôn giả sử R là một vành giao hoán, có
đơn vị 1 = 0.
Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệm iđêan nguyên tố và chiều Krull.

1.1
1.1.1

Iđêan nguyên tố và chiều Krull
Iđêan nguyên tố

Định nghĩa 1.1.1. [3, tr.3]. Cho p là một iđêan thực sự của vành R, p được
gọi là một iđêan nguyên tố của vành R nếu với mọi x, y ∈ R mà xy ∈ p thì x ∈ p
hoặc y ∈ p.
Ví dụ 1.1.2. (i) Cho R = k[x] là vành đa thức 1 biến trên trường k , iđêan
(f ), với f = 0 hoặc f là đa thức bất khả quy, là iđêan nguyên tố của vành
R.
(ii) Cho vành số nguyên Z, các iđêan nguyên tố của Z có dạng pZ, với p = 0
hoặc p là một số nguyên tố.
(iii) Cho D là một miền nguyên. Khi đó, 0 là một iđêan nguyên tố của D.

5


Định nghĩa 1.1.3. [3, tr.3]. Một iđêan m của vành R được gọi là iđêan cực đại
nếu m là phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm) trong tập hợp tất cả các iđêan
thực sự của R; tức là, nếu m J và J là một iđêan của R thì J = R.
Mệnh đề sau nêu lên những tính chất đơn giản nhất được suy ra từ các Định
nghĩa 1.1.1 và Định nghĩa 1.1.3.
Mệnh đề 1.1.4. [1, Mệnh đề 3.2]. Cho a là một iđêan của vành R. Khi đó, các

mệnh đề sau là đúng.
(i) a là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi R/a là một miền nguyên.
(ii) a là iđêan cực đại khi và chỉ khi R/a là một trường.
(iii) Mọi iđêan cực đại của R đều là iđêan nguyên tố.
Chú ý rằng mệnh đề ngược của (iii) trong Mệnh đề 1.1.4 là không đúng. Điều
này ta sẽ thấy trong ví dụ dưới đây.
Ví dụ 1.1.5. Trong vành các số nguyên Z thì 0 là iđêan nguyên tố nhưng không
là iđêan cực đại.
Chúng ta quan tâm đến tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của vành R.
Định nghĩa 1.1.6. [3, tr.12]. Cho R là vành giao hoán. Tập hợp
Spec(R) = {p ∈ R | p là iđêan nguyên tố của R}

được gọi là phổ nguyên tố của vành R.
Định nghĩa 1.1.7. Cho I là một iđêan của vành R. Tập hợp tất cả các iđêan
nguyên tố của vành R mà chứa I được gọi là tập đại số xác định bởi I . Kí hiệu
là V (I). Như vậy,
V(I) = {p ∈ Spec(R) | p ⊇ I}.
Ví dụ 1.1.8. (i) Cho vành R = Z, I = pZ (với p là số nguyên tố) là iđêan của
vành Z. Khi đó,
Spec(Z) = {0; pZ với p là số nguyên tố}

và
V(pZ) = {pZ}.

(ii) Cho số tự nhiên n = 0 và n = pa11 . . . . .pakk là một phân tích ra thừa số nguyên
tố của n. Lấy I = nZ là iđêan của vành Z. Khi đó,
V(nZ) = {p1 Z, . . . , pk Z}.
6



Mệnh đề sau cho ta các tính chất quan trọng của tập V(I).
Mệnh đề 1.1.9. [3, tr.12].
(i) V(0) = Spec(R); V(R) = ∅.
(ii) Cho I1 , . . . , In là các iđêan của vành R. Khi đó,
V(I1 ∩ . . . ∩ In ) = V(I1 ) ∪ . . . ∪ V(In ).

Giả sử (Iλ )λ∈Λ là một họ tùy ý các iđêan của R. Khi đó,
V(

Iλ ) =
λ∈Λ

(iii) V (I) = V (J) ⇔

√

I=

V (Iλ ).
λ∈Λ

√
J.

Định lý sau đây cho ta một kỹ thuật rất quan trọng, thường được sử dụng
trong Đại số giao hoán.
Định lý 1.1.10. (Định lý tránh nguyên tố) [1, Định lý 3.8]. Các mệnh đề sau
là đúng cho một vành giao hoán R.
(i) Cho p1 , . . . , pn là những iđêan nguyên tố và a là một iđêan của R. Giả sử
n

a pi với mọi i = 1, . . . , n, khi đó a
i=1 pi .
(ii) Cho a1 , . . . , an là những iđêan và p là một iđêan nguyên tố của vành R. Nếu
n
i=1 ai ⊆ p thì khi đó tồn tại một chỉ số i sao cho ai ⊆ p. Hơn nữa, khi
n
i=1 ai = p thì tồn tại một chỉ số i sao cho ai = p.
Sau đây, chúng tôi trình bày định nghĩa iđêan nguyên tố liên kết với môđun
M và tính chất của nó.
Định nghĩa 1.1.11. Cho M là R-môđun. Một iđêan nguyên tố p của vành R
được gọi là iđêan nguyên tố liên kết với M nếu tồn tại x ∈ M sao cho p = ann(x)
với ann(x) = {r ∈ R | rx = 0}. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí
hiệu là AssR (M ) hoặc Ass(M ).
Định lý 1.1.12. [13, Theorem 6.3]. Cho R là một vành và
0 −→ M −→ M −→ M −→ 0

là một dãy khớp ngắn các R-môđun. Khi đó
Ass(M ) ⊂ Ass(M ) ∪ Ass(M ).

7


1.1.2

Chiều Krull của vành và môđun

Khái niệm chiều thường được dùng để đo độ lớn của một cấu trúc toán học.
Định nghĩa 1.1.13.
vành R có dạng


(i) Với mỗi dãy giảm thực sự r + 1 iđêan nguyên tố của
p0 ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pr

thì r được gọi là độ dài của dãy.
(ii) Độ dài lớn nhất của các dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R được
gọi là chiều (Krull) của vành R. Kí hiệu là dim R. Như vậy,
dim R := sup{r | ∃ p0 ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pr dãy các iđêan nguyên tố trong vành R}.

Nếu sup không tồn tại thì ta định nghĩa dim R = ∞.
(iii) Cho M là một R-môđun. Chiều của môđun M là chiều của vành thương R
trên linh hóa tử annR (M ) của R. Kí hiệu là dimR M . Như vậy,
dimR M := dim(R/annR (M )),

với annR (M ) = {r ∈ R | rM = 0}. Ta kí hiệu dim M thay cho dimR M khi
không có sự nhầm lẫn gì về vành R.
Nhận xét 1.1.14. (i) Mỗi iđêan nguyên tố của vành thương R/annR (M ) có
dạng p/annR (M ), với p là iđêan nguyên tố của vành R chứa annR (M ). Do
đó, chiều của vành thương R/annR (M ) là độ dài lớn nhất của các dãy giảm
thực sự các iđêan nguyên tố của R chứa annR (M ). Vì vậy, dim M ≤ dim R.
(ii) Cho M là một R-môđun và N là một R-môđun con của M . Ta có annR (M ) ⊆
annR (N ) nên R/annR (N ) ⊆ R/annR (M ). Do đó, dim N ≤ dim M . Chứng
minh tương tự, ta có dim M/N ≤ dim M.
Ví dụ 1.1.15. (i) Xét vành số nguyên Z, các iđêan nguyên tố của Z có dạng
0 hoặc pZ, với p là một số nguyên tố. Mặt khác, không tồn tại một iđêan
nguyên tố nào nằm giữa thực sự 0 và pZ. Do đó, một dãy giảm các iđêan
nguyên tố có độ dài lớn nhất của Z có dạng pZ ⊃ 0. Vì vậy, dim Z = 1.
(ii) Nếu k là một trường thì 0 là iđêan nguyên tố duy nhất của k . Do đó,
dim k = 0.
(iii) Xét vành đa thức n biến R = k[x1 , . . . , xn ] trên trường k. Ta có một dãy
giảm các iđêan nguyên tố của R

(x1 , . . . , xn ) ⊃ (x1 , . . . , xn−1 ) ⊃ . . . ⊃ (x1 ) ⊃ 0.

Vì vậy, dim R ≤ n. Hơn nữa, người ta chứng minh được rằng dim R = n [13,
Corollary 5.6].
8


Sau đây, chúng tôi trình bày định nghĩa độ cao của một iđêan nguyên tố p.
Định nghĩa 1.1.16. Cho R là một vành giao hoán khác không, p là iđêan
nguyên tố của vành R. Độ cao của p, kí hiệu ht p, được định nghĩa như sau
ht p := sup{r | ∃ p = p0 ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pr dãy các iđêan nguyên tố trong vành R}.

Nếu sup không tồn tại thì ta định nghĩa ht p = ∞.
Từ định nghĩa, ta có nhận xét sau.
Nhận xét 1.1.17. (i) Nếu p1 ⊆ p2 thì ht p1 ≤ ht p2 . Dấu "=" xảy ra khi và
chỉ khi p1 = p2 .
(ii) Nếu dim R là hữu hạn thì
dim R = sup{ht p | p ∈ Spec(R)}
= sup{ht m | m là iđêan cực đại của R}.

Cho I là một iđêan bất kì. Để có thể so sánh dim R/I với dim R, người ta đưa
ra khái niệm độ cao của I được định nghĩa bởi công thức
ht I := min{ht p | p ∈ V(I)}.

Như vậy, độ cao của iđêan I là độ cao nhỏ nhất của các iđêan nguyên tố của
R chứa I .
Định nghĩa 1.1.18. Cho I là iđêan của vành R. Iđêan nguyên tố p của R được
gọi là iđêan nguyên tố tối tiểu của I nếu p chứa I và không tồn tại một iđêan
nguyên tố nào nằm giữa thực sự I và p. Kí hiệu tập các iđêan nguyên tố tối tiểu
của I là Min(I).

Bổ đề sau đây cho ta mối liên hệ giữa độ cao và chiều.
Bổ đề 1.1.19. [13, tr.31]. Nếu Min(I) là tập hữu hạn thì
ht I + dim R/I ≤ dim R.

Định lý 1.1.20. [3, Corollary 11.16]. Cho R là một vành Noether và I =
(x1 , . . . , xn ) là iđêan thực sự của R. Khi đó, ht p ≤ n với mọi p ∈ Min(I).
Từ định nghĩa độ cao của iđêan và Định lý 1.1.20, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.1.21. Cho R là một vành Noether và I = (x1 , . . . , xn ) là iđêan thực sự
của R. Khi đó, ht I ≤ n.

9


1.2

Độ dài của môđun

Định nghĩa 1.2.1. (i) Cho M là một R-môđun. Một xích của môđun M là
một dãy tăng ngặt các môđun con của M có dạng
0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = M.

Số các môđun con thực sự của M trong một xích được gọi là độ dài của
xích đó.
(ii) Một chuỗi hợp thành (composition series) của môđun M là một xích có độ
dài cực đại của M , tức là ta không thể bổ sung thêm một môđun con nào
vào chuỗi hợp thành để được một xích có độ dài lớn hơn. Điều này tương
đương với điều kiện các môđun thương Mi /Mi−1 là những môđun đơn với
i = 1, . . . , n.
Ví dụ 1.2.2. [1, Ví dụ 4.3].
(i) Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường K nào đó

với {x1 , . . . , xn } là một cơ sở. Khi đó, xích
n

0 ⊂ x1 K ⊂ x1 K + x2 K ⊂ . . . ⊂

xi K = V
i=1

là một chuỗi hợp thành của V có độ dài là n.
(ii) Xem vành số nguyên Z như là môđun trên chính nó. Khi đó, một xích các
môđun con của Z là một dãy các iđêan chính
0 ⊂ A1 ⊂ . . . ⊂ Z.

Giả sử A1 = nZ. Ta luôn tìm được một iđêan nằm giữa 0 và A1 , chẳng hạn
0 ⊂ n2 Z ⊂ A1 . Từ đây suy ra không có chuỗi hợp thành trên Z.
Mệnh đề sau nói lên một tính chất quan trọng của chuỗi hợp thành.
Mệnh đề 1.2.3. [3, Proposition 6.7]. Giả sử môđun M có một chuỗi hợp thành
có độ dài n. Khi đó, mọi chuỗi hợp thành của M đều có cùng độ dài n và với
mỗi xích của M ta có thể bổ sung để nó trở thành một chuỗi hợp thành của M.
Cho M là R-môđun có chuỗi hợp thành với độ dài n. Lúc đó, số n được gọi
là độ dài của môđun M , kí hiệu là (M ).
Nếu môđun M không có chuỗi hợp thành thì ta nói M có độ dài vô hạn.
Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày các tính chất quan trọng của độ dài môđun
liên quan đến dãy khớp.
10


Mệnh đề 1.2.4. [16, Theorem 7.41]. Giả sử có dãy khớp ngắn các R-môđun
0 −→ M −→ N −→ P −→ 0.


Khi đó, N có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu M và P có độ dài hữu hạn. Hơn
nữa, trong trường hợp N có độ dài hữu hạn, ta có
(N ) = (M ) + (P ).

Trong trường hợp M là môđun con của N , ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.2.5. [1, Hệ quả 4.7]. Cho N là một R-môđun và M là một môđun
con của N . Khi đó, N có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M và N/M có độ dài
hữu hạn. Hơn nữa, trong trường hợp N có độ dài hữu hạn, ta có
(N ) = (M ) + (N/M ).

Trong trường hợp M là một môđun trên trường k (hay k -không gian vectơ)
thì khái niệm độ dài và chiều của không gian vectơ là trùng nhau. Điều này
được thể hiện qua mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2.6. [16, Theorem 7.42]. Cho V là một không gian vectơ trên trường
k . Khi đó, V có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu V là không gian vectơ có chiều
hữu hạn. Hơn nữa, trong trường hợp này, ta có (V ) = dimk (V ).

1.3
1.3.1

Vành các phân thức và vành địa phương
Vành các phân thức

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày cách mở rộng khái niệm trường các
thương của các miền nguyên trên một vành giao hoán bất kì. Trước tiên, chúng
tôi trình bày khái niệm tập nhân đóng.
Định nghĩa 1.3.1. [1, Định nghĩa 4.1]. Một tập con S của một vành R được
gọi là tập nhân đóng nếu 1 ∈ S và tích hai phần tử của S thì thuộc S ; tức là,
ab ∈ S với mọi a, b ∈ S .
Bây giờ, chúng tôi sẽ trình bày cách xây dựng một vành giao hoán mới S −1 R

được gọi là vành các phân thức.
Trên tích Descartes R × S , ta xét một quan hệ ∼ xác định như sau.
Với mọi a, b ∈ R và s, t ∈ S , ta có
(a, s) ∼ (b, t) ⇐⇒ ∃u ∈ S : u(at − bs) = 0.

11


Dễ dàng kiểm tra quan hệ này là một quan hệ tương đương. Ta kí hiệu

a
là
s

lớp tương đương của mỗi phần tử (a, s) ∈ R × S và S −1 R là tập hợp tất cả các
lớp tương đương này. Như vậy,
S −1 R =

a
| a ∈ R, s ∈ S .
s

Trên tập thương S −1 R, ta định nghĩa hai phép toán
a b
at + bs
+ =
,
s t
st


ab
ab
=
st
st

với mọi a, b ∈ R và s, t ∈ S .
Từ đó, chúng ta có định lý sau.
Định lý 1.3.2. [1, Định lý 4.2]. Tập S −1 R cùng với hai phép toán trên trở thành
1
s
= với mọi s ∈ S và phần tử
1
s
0
−1
0S −1 R là với mọi s ∈ S. Vành S R được gọi là vành các phân thức của R xác
s
định bởi S .

một vành giao hoán có phần tử đơn vị 1S −1 R =

Cho I là iđêan của một vành giao hoán R và S là một tập nhân đóng trong
R. Khi đó, dễ kiểm tra rằng tập hợp
a
S −1 I = { | a ∈ I, s ∈ S}
s

là một iđêan của S −1 R.
Mệnh đề 1.3.3. [1, Mệnh đề 4.5]. Cho S là một tập nhân đóng và I là một

iđêan của R. Khi đó, S −1 I = S −1 R khi và chỉ khi I ∩ S = ∅.
Chứng minh. Giả sử S −1 I = S −1 R. Khi đó, S −1 I chứa phần tử đơn vị 1/1 của
S −1 R, tức là tồn tại những phần tử a ∈ I và s ∈ S sao cho 1/1 = a/s. Suy ra tồn
tại t ∈ S để t(a − s) = 0. Điều này chứng tỏ phần tử ta = ts thuộc vào I ∩ S . Hay
I ∩ S = ∅.
Ngược lại, giả sử tồn tại s ∈ I ∩ S . Khi đó, s/s = 1/1 ∈ S −1 I , suy ra S −1 I =
S −1 R.
Cho S là một tập nhân đóng của vành R và M là một R-môđun. Môđun các
phân thức của một môđun M đối với tập nhân đóng S cũng được xây dựng
tương tự.
Trên tích Descartes M × S , ta xét quan hệ tương đương ∼ xác định như sau.
Với mọi x, y ∈ M và s, t ∈ S , ta có
(x, s) ∼ (y, t) ⇐⇒ ∃u ∈ S : u(xt − ys) = 0.

12


Ta kí hiệu

x
là lớp tương đương của mỗi phần tử (x, s) ∈ M × S và S −1 M là
s

tập hợp tất cả các lớp tương đương này. Như vậy,
S −1 M =

x
| x ∈ M, s ∈ S .
s


Trên tập thương S −1 M , ta định nghĩa hai phép toán sau.
x y
xt + ys
+ =
,
s
t
st

ay
ay
=
st
st

với mọi x, y ∈ M , s, t ∈ S và a ∈ R.
Định lý 1.3.4. [1, Định lý 5.6]. Tập S −1 M cùng với hai phép toán như trên là
một S −1 R-môđun. Trong trường hợp này, nó được gọi là môđun các phân thức
của M xác định bởi S .
Ví dụ 1.3.5. [1, Ví dụ 4.6].
(i) Cho R là một miền nguyên. Khi đó, tập S = R \ {0} là một tập nhân đóng
của vành R. Vành các phân thức của R xác định bởi S là
S −1 R =

a
| a ∈ R, s ∈ S \ {0} .
s

Lúc này, vành S −1 R là một trường và được gọi là trường các thương của
miền nguyên R.

(ii) Xét S là tập tất cả các phần tử không là ước của không của một vành R.
Vì tích hai phần tử không là ước của không lại là một phần tử không là
ước của không nên S là một tập nhân đóng. Khi đó, vành S −1 R được gọi
là vành phân thức toàn phần của R.
(iii) Cho p là một iđêan nguyên tố của một vành R. Dựa vào tính nguyên tố
của p, ta thấy rằng tập hợp S = R \ p là một tập nhân đóng của vành R.
Trong trường hợp này, vành các phân thức của R trên S được kí hiệu là
Rp . Rõ ràng, tập hợp tất cả các phần tử của Rp có dạng a/s với a ∈ p, s ∈
/p
lập thành một iđêan m của Rp . Nếu a/s ∈
/ m thì a ∈
/ p, nghĩa là a/s khả
nghịch trong Rp . Điều này nói lên m là iđêan cực đại duy nhất của Rp tức
Rp là một vành địa phương. Vành Rp được gọi là vành địa phương hóa của
R tại iđêan p. Các iđêan của Rp có dạng
IRp =

a
| a ∈ I, s ∈
/p ,
s

trong đó I là một iđêan của R. Đặc biệt, các iđêan nguyên tố của Rp có
dạng qRp , với q là một iđêan nguyên tố của R mà q ⊆ p. Trong trường hợp
này, ta kí hiệu môđun các phân thức của M trên S là Mp và được gọi là
môđun địa phương hóa của M ứng với p.
13


Định nghĩa 1.3.6. Cho M là một R-môđun. Tập hợp

SuppR M = {p ∈ Spec(R)|Mp = 0}

được gọi là giá của M.
Vành phân thức có một số tính chất sau.
Định lý 1.3.7. [1, tr. 132]. Cho S là tập nhân đóng và dãy khớp ngắn các
R-môđun
0 −→ M −→ N −→ P −→ 0.

Khi đó, dãy sau là khớp
0 −→ S −1 M −→ S −1 N −→ S −1 P −→ 0.

Định lý 1.3.8. [1, Định lý 5.7]. Cho S là một tập nhân đóng và M là R-môđun.
Khi đó, S −1 M ∼
= S −1 R R M .
Địa phương hóa có một tính chất quan trọng là nó bảo toàn tính khớp. Điều
này được thể hiện qua mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.3.9. Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
0 −→ M −→ N −→ L −→ 0.

Khi đó, với mọi iđêan nguyên tố p của R, ta có dãy khớp ngắn các môđun địa
phương hóa
0 −→ Mp −→ Np −→ Lp −→ 0.
1.3.2

Vành địa phương

Vành địa phương là một lớp vành giao hoán rất quan trọng, có nhiều ứng
dụng trong hình học đại số.
Định nghĩa 1.3.10. Một vành giao hoán R được gọi là vành địa phương nếu
nó chỉ có duy nhất một iđêan cực đại m, ta kí hiệu là (R, m). Khi đó, vành R/m

là trường và được gọi là trường thặng dư của vành R.
Một vành R nói chung không phải là vành địa phương, tuy nhiên, với mọi
iđêan nguyên tố p của R thì vành Rp là vành địa phương với iđêan cực đại duy
nhất là
a
pRp =
| a ∈ p, s ∈
/p .
s

Ví dụ 1.3.11. Các trường luôn là các vành địa phương vì nó chỉ có duy nhất
một iđêan cực đại là iđêan 0.
14


1.4
1.4.1

Dãy chính quy và độ sâu của môđun
Dãy chính quy

Cho M là một R-môđun. Phần tử x ∈ R\{0R } được gọi là phần tử M -chính
quy nếu với mọi m ∈ M mà xm = 0, ta suy ra m = 0. Hay nói cách khác, x không
là ước của 0M .
Tập các phần tử M -chính quy trong R được kí hiệu là N ZDR (M ).
Định nghĩa 1.4.1. [13, tr.123]. Cho M là một R-môđun và dãy x = x1 , . . . , xn
là dãy các phần tử trong R, x được gọi là một M -dãy chính quy nếu các điều
kiện sau được thỏa mãn:
(i) x1 là phần tử M -chính quy;
(ii) xi là phần tử M/(x1 , . . . , xi−1 )M -chính quy với mọi i = 2, . . . , n;

(iii) M/(x1 , . . . , xn )M = 0.
Nhận xét 1.4.2. (i) x được gọi là M -dãy chính quy yếu nếu nó chỉ thỏa mãn
điều kiện (i) và (ii) của định nghĩa. Số phần tử của một M -dãy chính quy
được gọi là độ dài của dãy.
(ii) Cho M = R xem là R-môđun. Nếu x = x1 , . . . , xn là R-dãy chính quy thì ta
nói nó là dãy chính quy.
Ví dụ 1.4.3. (i) Xem Z là Z-môđun. Với mọi x ∈ Z\{0} thì x là phần tử
Z-chính quy.
(ii) Cho R = k[x1 , . . . , xr ] là vành đa thức r biến trên trường k . Xem R là
R-môđun, lúc đó dãy x1 , . . . , xr là R-dãy chính quy.
Cho M là một R-môđun và I là một iđêan của R. Nếu x = x1 , . . . , xn ⊆ I là
một M -dãy thì x được gọi là một M -dãy trong I. Chúng ta có định nghĩa M -dãy
cực đại như sau.
Định nghĩa 1.4.4. Cho x = x1 , . . . , xn ⊆ I là một M -dãy trong I , x được gọi
là một M -dãy cực đại trong I nếu x1 , . . . , xn , xn+1 không phải là một M -dãy với
mọi xn+1 ∈ I .
Theo [16, Theorem 16.13], khi IM = M thì các M -dãy cực đại trong I luôn
tồn tại và có cùng độ dài. Từ đó, chúng ta có định nghĩa độ sâu của môđun M
ứng với iđêan I như sau.
Định nghĩa 1.4.5. Cho R là vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh
và I là một iđêan của R thỏa mãn IM = M . Độ sâu của môđun M ứng với iđêan
I là độ dài của một M -dãy cực đại trong I . Kí hiệu depth(I, M ).
15


Nếu IM = M thì ta định nghĩa depth(I, M ) = ∞.
Khi (R, m) là vành Noether địa phương, chúng ta có định nghĩa độ sâu của
một môđun.
1.4.2


Độ sâu của một môđun

Định nghĩa 1.4.6. Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun
hữu hạn sinh. Độ sâu của môđun M được kí hiệu là depth M và được định nghĩa
bởi
depth M = depth(m, M ).
Ví dụ 1.4.7. (i) Cho vành số nguyên Z và I = pZ (với p là số nguyên tố) là
iđêan của Z. Khi đó, depth(I, Z) = 1.
(ii) Xét R = k[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức n biến trên trường k , I = (x1 , . . . , xn )
là iđêan của R. Dễ kiểm tra x = x1 , . . . , xn là một dãy chính quy trong I .
Mặt khác, với mọi y ∈ I , ta có x1 , . . . , xn , y không là một dãy chính quy.
Vậy x là một R-dãy cực đại trong I hay depth(I, R) = n.
Mệnh đề sau đây nói lên mối quan hệ giữa độ sâu của các môđun ứng với
iđêan I trong một dãy khớp.
Mệnh đề 1.4.8. [8, Proposition 1.2.9]. Cho R là một vành Noether, I là một
iđêan của R và 0 −→ U −→ M −→ N −→ 0 là một dãy khớp ngắn các R-môđun
hữu hạn sinh. Khi đó, ta có
depth(I, M ) ≥ min{depth(I, U ), depth(I, N )};
depth(I, U ) ≥ min{depth(I, M ), depth(I, N ) + 1};
depth(I, N ) ≥ min{depth(I, U ) − 1, depth(I, M )}.

Mệnh đề sau đưa ra một số công thức tính toán depth(I, M ).
Mệnh đề 1.4.9. [8, Proposition 1.2.10]. Cho R là vành Noether, M là một
R-môđun hữu hạn sinh và I, J là các iđêan của R. Khi đó,
(i) depth(I, M ) = inf{depth Mp | p ∈ V(I)};
√

(ii) depth(I, M ) = depth( I, M );
(iii) depth(I ∩ J, M ) = min{depth(I, M ), depth(J, M )};
(iv) Nếu x = x1 , . . . , xn là một M -dãy trong I thì

depth(I/(x), M/xM ) = depth(I, M/xM ) = depth(I, M ) − n.
16


1.5

Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số
Iđêan m-nguyên sơ

1.5.1

Cho I là một iđêan thực sự của vành R, I được gọi là iđêan nguyên sơ nếu
với mọi x, y ∈ R thỏa mãn xy ∈ I và y ∈
/ I , ta suy ra tồn tại n ∈ N sao cho xn ∈ I .
Từ định nghĩa iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và iđêan nguyên sơ, chúng ta
dễ dàng suy ra mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.5.1. [1, Mệnh đề 3.2]. Cho I là một iđêan của vành R. Khi đó, ta
có các khẳng định sau:
(i) Nếu I là iđêan nguyên sơ thì
(ii) Nếu

√

√

I là iđêan nguyên tố tối tiểu chứa I .

I là iđêan cực đại thì I là iđêan nguyên sơ.

Sau đây, chúng tôi trình bày định nghĩa iđêan p-nguyên sơ và iđêan m-nguyên

sơ.
Định nghĩa 1.5.2. Cho I là một iđêan nguyên sơ của vành R. Khi đó, ta có
√
I = p là một iđêan nguyên tố và lúc này I được gọi là iđêan p-nguyên sơ.
Đặc biệt, khi (R, m) là vành địa phương, I được gọi là iđêan m-nguyên sơ nếu
√
I = m.
Chúng ta có các điều kiện tương đương của một iđêan m-nguyên sơ sau đây.
Mệnh đề 1.5.3. [16, Exercise 15.17]. Cho (R, m) là vành địa phương Noether,
I là iđêan thực sự của vành R sao cho I ⊂ m. Khi đó, các khẳng định sau là
tương đương:
(i) I là iđêan m-nguyên sơ;
(ii)

√

I = m;

(iii) V(I) = {m};
(iv) R/I là R-môđun có độ dài hữu hạn;
(v) R/I là R-môđun Artin.
1.5.2

Iđêan tham số

Cho (R, m) là vành địa phương Noether có chiều d. Nếu I là iđêan m-nguyên
sơ của R thì số phần tử sinh tối tiểu của I , kí hiệu µ(I) luôn lớn hơn hoặc bằng
d; tức là, µ(I) ≥ d. Thật vậy, do m ∈ Min(I) nên theo Nhận xét 1.1.17 và Định
lý 1.1.20, ta có d = ht(m) ≤ µ(I). Hơn nữa, theo [13, Theorem 13.4], luôn tồn tại
một iđêan m-nguyên sơ I sao cho µ(I) = d. Từ đó, chúng ta có định nghĩa sau.

17


Định nghĩa 1.5.4. (i) Một dãy các phần tử x1 , . . . , xd thuộc m được gọi là
hệ tham số của R nếu I = (x1 , . . . , xd ) là iđêan m-nguyên sơ. Lúc đó, iđêan
I = (x1 , . . . , xd ) được gọi là iđêan tham số của vành R.
(ii) Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh có số chiều d. Khi đó, hệ {y1 , . . . , yd } ⊆
m được gọi là hệ tham số của M nếu (M/(y1 , . . . , yd )M ) < ∞.
Ví dụ 1.5.5. Cho R = k[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức n biến trên trường k . Ta đã
biết dim R = n, khi đó hệ {x1 , . . . , xn } là hệ tham số của R.

1.6

Hệ bội và biểu tượng bội

Định nghĩa 1.6.1. (i) Cho (R, m) là một vành Noether địa phương và M là
R-môđun hữu hạn sinh. Một dãy các phần tử x = x1 , . . . , xn trong m được
gọi là hệ bội của M nếu (M/xM ) < ∞.
(ii) Cho (R, m) là vành địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều d và
dãy các phần tử x = x1 , . . . , xn là hệ bội của M . Biểu tượng bội của M ứng
với x được kí hiệu là e(x, M ) và được định nghĩa bằng quy nạp như sau:
e(x, M ) =

nếu n = 0,

(M )
e(x , M/x1 M ) − e(x , (0 : x1 )M )

nếu n > 0;


trong đó x = x2 , . . . , xn .
Người ta đã chứng minh rằng một hệ bội của M luôn có độ dài n lớn hơn
hoặc bằng d. Khi một hệ bội của M có độ dài bằng d thì hệ bội này được gọi là
hệ tham số của M . Mệnh đề sau đây cho chúng ta các tính chất liên quan đến
biểu tượng bội.
Mệnh đề 1.6.2. [8, Lemma 4.7.4]. Cho (R, m) là vành địa phương, M là Rmôđun hữu hạn sinh và dim R = d, dãy các phần tử x = x1 , . . . , xn là hệ bội của
M và I = (x). Khi đó, ta có các khẳng định sau:
(i) Nếu x là một hệ tham số của M thì e(x, M ) = e(I, M );
(ii) Nếu x1 là phần tử M -chính quy thì e(x, M ) = e(x2 , . . . , xn , M/x1 M ).

1.7
1.7.1

Đối đồng điều địa phương
Hàm tử xoắn

Định nghĩa 1.7.1. Cho M là một R-môđun và I là một iđêan của R. Kí hiệu
ΓI (M ) = {m ∈ M | I n m = 0 với n là số tự nhiên nào đó}.
18


Khi đó, ΓI (M ) là một môđun con của môđun M và được gọi là môđun xoắn
của M ứng với iđêan I.
Từ định nghĩa môđun xoắn, ta có nhận xét sau.
Nhận xét 1.7.2.

(0 :M I n );

(i) ΓI (M ) =
n∈N


(ii) Γ0 (M ) = M và ΓR (M ) = 0.
Mệnh đề sau cho chúng ta một số tính chất quan trọng của môđun xoắn.
Mệnh đề 1.7.3. [7, Exercise 1.1.2] Cho M là một R-môđun và I, J là hai iđêan
của R. Khi đó, ta có
(i) Nếu I ⊆ J thì ΓI (M ) ⊇ ΓJ (M );
(ii) Cho R là vành Noether. Nếu

√
√
I = J thì ΓI (M ) = ΓJ (M );

(iii) ΓI+J (M ) = ΓI (M ) ∩ ΓJ (M ).
Sau đây chúng tôi trình bày định nghĩa hàm tử xoắn trước khi đưa ra định
nghĩa đối đồng điều địa phương.
Định nghĩa 1.7.4. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị. I là iđêan của R. Kí
hiệu Mod(R) là phạm trù các R-môđun. Xét tương ứng
ΓI : Mod(R) −→ Mod(R)
M
−→ ΓI (M )
ΓI (f )

ΓI (M ) −→ ΓI (N )

f

M−
→ N −→

x


−→ f (x).

Khi đó, ΓI là một hàm tử hiệp biến trên phạm trù các R-môđun Mod(R) và
được gọi là hàm tử I -xoắn hay nói ngắn gọn là hàm tử xoắn.
Hàm tử xoắn ΓI có một số tính chất quan trọng sau đây.
Mệnh đề 1.7.5. [7, tr.1].
(i) Hàm tử ΓI trên phạm trù R-môđun là hàm tử cộng tính; tức là, với mọi f, g
là đồng cấu R-môđun và a ∈ R, ta có
ΓI (f + g) = ΓI (f ) + ΓI (g).
ΓI (af ) = aΓI (f ).

(ii) Hàm tử ΓI có tính khớp trái.
(iii) Nếu

√

I=

√

J thì ΓI = ΓJ .
19


1.7.2

Đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.7.6. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị, I là iđêan của R và M

là R-môđun. Gọi
d0

ι

d1

d2

(E ∗ ) : 0 −→ M −→ E 0 −→ E 1 −→ E 2 −→ · · ·

là giải thức nội xạ tối tiểu của môđun M. Áp dụng hàm tử ΓI vào giải thức trên
ta thu được phức
ΓI (d0 )

ΓI (d1 )

ΓI (d2 )

0 −→ ΓI (E 0 ) −→ ΓI (E 1 ) −→ ΓI (E 2 ) −→ · · ·

Đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M ứng với iđêan I được kí hiệu
là HIi (M ) và được xác định như sau
HIi (M ) := Ker(ΓI (di ))/ Im(ΓI (di−1 )) với mọi i ≥ 0.

Quy ước d−1 = 0.
Từ định nghĩa của đối đồng điều địa phương, ta có nhận xét sau.
Nhận xét 1.7.7.

(i) HIi (M ) = 0 với mọi i < 0.


(ii) Nếu M là R-môđun nội xạ thì HIi (M ) = 0 với mọi i ≥ 1.
(iii) HI0 (M ) ∼
= ΓI (M ).
Các ví dụ sau đây cho thấy cách xác định HIi (M ) bằng định nghĩa.
Ví dụ 1.7.8.

(i) Cho R là vành số nguyên Z, I = pZ (p là số nguyên tố) là
Z[p−1 ]/Z nếu i = 1,
iđêan của Z và M = Z. Khi đó, Hpi Z (Z) =
0
nếu i = 1.
Thật vậy, xét giải thức nội xạ của Z-môđun Z:
ρ

ι

0 −→ Z −→ Q −→ Q/Z−→0.

Dãy cảm sinh khi áp dụng hàm tử ΓpZ là:
ΓI (ρ)

0 −→ ΓpZ (Q) −→ ΓpZ (Q/Z)−→0.

Ta có ΓpZ (Q) = x ∈ Q | (pZ)n x = 0 = 0 với một số n ∈ N.
Do đó Hpi Z (Z) = 0 với mọi i = 1.
Tại i = 1, ta có Hp1Z (Z) = ΓpZ (Q/Z).

20



ΓpZ (Q/Z) =
=
=
=

a
a
+ Z ∈ Q/Z | ( + Z).(pZ)n = 0Q/Z
b
b
a
a n
+ Z ∈ Q/Z | .p ∈ Z
b
b
a
+ Z ∈ Q/Z | b|pn , n ∈ N ∗ , b ∈ Z∗
b
a
+ Z ∈ Q/Z | a ∈ Z, k ∈ N∗
k
p

kh

= Z[p−1 ]/Z.

Z[p−1 ]/Z nếu i = 1,
0

nếu i = 1.

Vậy HIi (Z) =

(ii) Cho R = k[x] là vành đa thức một biến trên trường k và I = (x). Tương tự
R[x−1 ]/R nếu i = 1,
như ví dụ (i), ta có HIi (R) =
0
nếu i = 1.
Trong đó, các phần tử của R[x−1 ]/R có dạng
b=

ak
a1 a2
+ 2 + . . . + k + R với a1 , . . . , ak ∈ k
x
x
x

và phép nhân được xác định bởi
1 n
.x =
xm

xn−m nếu n < m,

nếu n ≥ m.

0


Từ ví dụ này, tổng quát lên, nếu R = k[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức n biến trên
−1
R[x−1
1 , . . . , xn ]/R nếu i = n,
i
trường k và I = (x1 , . . . , xn ) thì HI (R) =
0
nếu i = n.
Theo Mệnh đề 1.7.3, (ii), nếu R là vành Noether và
ΓJ (M ). Do đó, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.7.9. [7, Remark 1.2.3]. Nếu
HIi (M ) = HJi (M ) với mọi i ∈ Z.

√

I =

√

√

I =

√
J thì ΓI (M ) =

J và R là vành Noether thì

Mệnh đề 1.7.10. [7, tr.4].
f


g

(i) Nếu 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun thì với mọi
iđêan I của R, với mỗi i ∈ N0 ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều

21


địa phương
/

0

HI0 (L)
/

HI1 (L)
/

/

/

HI0 (f )

/

HI0 (M )


HI1 (f )

/

HI1 (M )

HI0 (g)

/

HI0 (N )

HI1 (g)

/

HI1 (N )

···
HIi (f )

HIi (L)

/

HIi (M )
/

HIi+1 (L)


HIi (g)

/

HIi (N )

··· .

(ii) Nếu
/

0

λ

/

0

f

L

/

µ


/


L

g

M

f

/

/

N

0

ν


/N



M

g

/

0


là một sơ đồ giao hoán của R-môđun và R-đồng cấu với các hàng là khớp.
Khi đó, với mỗi i ∈ N0 chúng ta có sơ đồ giao hoán
HIi (L)
HIi (λ)

HIi (f )

I

HIi (µ)



HIi (L )

HIi (g)

/ H i (M )

/

HIi (f )

/ H i (N )
I

HIi (ν)




HIi (M )

/

HIi (g )



HIi (N ).

Và chúng ta cũng có sơ đồ giao hoán
/

HIi (N )
HIi (µ)

HIi+1 (L)

HIi (λ)



HIi (N )

/



HIi+1 (L ).


Mệnh đề 1.7.11. [7, tr.6]. Cho I là một iđêan của R và M là R-môđun. Với
mỗi n ∈ N, ta có (0 :M I n ) ∼
= HomR (R/I n , M ).
Chứng minh. Xét tương ứng
φ : HomR (R/I n , M ) −→ (0 :M I n )
f : R/I n → M −→ f (1 + I n ).

Với mọi f ∈ HomR (R/I n , M ) và a ∈ I n , ta có
af (1 + I n ) = f (a + I n ) = f (0) = 0.
22