ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ LỆ HUYỀN

CHẶN CHO HỆ SỐ HILBERT VÀ TÍNH
HỮU HẠN CỦA HÀM HILBERT
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. CAO HUY LINH

Thừa Thiên Huế, năm 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và
kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn này là trung thực và chưa từng được công
bố trong bất kì một công trình nào khác. Các kết quả sử dụng trong luận văn
được các đồng tác giả cho phép sử dụng và được trích dẫn rõ ràng.

Lê Thị Lệ Huyền

ii


LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học
của PGS. TS. Cao Huy Linh. Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và
chân thành cảm ơn đến Thầy, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn đến quý Thầy Cô trong Khoa Toán trường ĐHSP
Huế, Đại học Huế và Viện Toán học đã dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôi
trong suốt quá trình học tập, đồng thời đã tạo mọi điều kiện cho tôi về tài liệu
và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo
Sau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn sự động viên và giúp đỡ của bạn bè, các anh chị
đang học tập và nghiên cứu trong Cao học Toán khóa XXIV trường ĐHSP Huế
chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số.
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả
Lê Thị Lệ Huyền

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa

i


Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Lời nói đầu

3

1

5

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Vành các thương và địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Dãy chính quy và độ sâu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


7

1.3

Chiều của vành và môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4

Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5

Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6

Hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđun phân bậc . . . . . . . . . 16

1.7

Đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Chặn cho hệ số Hilbert và tính hữu hạn của hàm Hilbert

27


2.1

Hàm Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert-Samuel . . . . . . . . . . . . 27

2.2

Mối quan hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert của vành
phân bậc liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3

Dãy các phần tử siêu bề mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4

Bậc mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1


2.5

Chặn cho hệ số Hilbert của iđêan m-nguyên sơ theo bậc mở rộng

2.6

Chứng minh tính hữu hạn của hàm Hilbert khi cho trước chiều

38


và bậc mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46

2


LỜI NÓI ĐẦU
Cho (A, m) là vành Noether địa phương, I là iđêan m-nguyên sơ của A và
M là A-môđun hữu hạn sinh có chiều d. Khi đó hàm HM (n) := (M/I n+1 M ), n ∈ N

được gọi là hàm Hilbert-Samuel của M ứng với iđêan I . Samuel đã chứng tỏ rằng
khi n đủ lớn tồn tại một đa thức PM (x) ∈ Q[x] có bậc d sao cho HM (i) = PM (i)
với mọi i ≥ n. Đa thức PM (n) được gọi là đa thức Hilbert-Samuel của M ứng
với I và ta có thể biểu diễn nó dưới dạng
d

(−1)i ei (I, M )

PM (n) =
i=0

n+d−i
,
d−i


trong đó ei (I, M ) được gọi là hệ số Hilbert của M ứng với I . Ta sẽ đặt e(I, M ) :=
e0 (I, M ) gọi là số bội của M ứng với I và e(M ) := e(m, M ).

Mục đích chính của luận văn là tổng quan lại các kết quả liên quan đến chặn
cho hệ số Hilbert theo một số bất biến quen thuộc. Từ đó, chứng minh tính hữu
hạn của hàm Hilbert khi cho trước các bất biến.
Do các tính chất của hệ số Hilbert phản ánh cấu trúc của môđun M đang xét
nên nó đã trở thành một chủ đề thú vị, thu hút nhiều nhà toán học quan tâm.
Đặc biệt, Srinivas và Trivedi đã đưa ra chặn cho hệ số Hilbert về số chiều, số bội
và độ dài của đối đồng điều địa phương cho vành Cohen-Macaulay và môđun
Cohen-Macaulay suy rộng. Năm 2003, Rossi, Trung và Valla [10] đã đưa ra chặn
cho hệ số Hilbert của A ứng với m cho bậc mở rộng D(A). Năm 2007, Linh [7]
đã thiết lập các chặn cho hệ số Hilbert của iđêan nguyên sơ theo bậc mở rộng
D(I, M ). Kết quả này là sự mở rộng kết quả của Rossi-Trung-Valla. Năm 2013,

Goto-Ozeki đã đưa ra một chặn phổ dụng cho hệ số Hilbert của iđêan tham số
trong vành Cohen-Macaulay suy rộng.
Kết quả chính của luận văn mà chúng tôi đã đạt được là tổng quan một số
kết quả liên quan đến chặn cho hệ số Hilbert theo bậc mở rộng D(I, M ) của M
ứng với I .
Định lý: Cho (A, m) là vành Noether địa phương và I là iđêan m-nguyên sơ.
Cho M là một A-môđun hữu hạn sinh với d = dim M ≥ 1 và D(I, M ) là một bậc
mở rộng tùy ý của M ứng với I . Khi đó,
3


(i) |e1 (I, M )| ≤ D(I, M ) [D(I, M ) − 1];
(ii) |ei (I, M )| ≤ (i + 1)2i!+2 D(I, M )3i!−i+1 − 1 nếu i ≥ 2.
Từ kết quả này chúng tôi đã thu được chỉ có hữu hạn số các hàm HilbertSamuel khi cho trước chiều và bậc mở rộng. Đây cũng là kết quả của Linh ở

trong bài báo [7] mà chúng tôi trình bày lại. Mặc dù kết quả không mới nhưng
để đạt được kết quả này chúng tôi phải chứng minh một cách chi tiết và rõ ràng
hơn.
Nội chung của luận văn được chia làm hai chương.
Chương 1: Chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của đại số giao hoán
nhằm mục đích tham khảo cho chương hai.
Chương 2: Chương hai là chương chính của luận văn. Chúng tôi sẽ trình bày
các định nghĩa, một số tính chất liên quan đến hệ số Hilbert và bậc mở rộng.
Tổng quan một số kết quả liên quan đến chặn cho hệ số Hilbert theo bậc mở
rộng.

4


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản liên quan
đến nội dung chính của luận văn. Các kiến thức này được trình bày với mục
đích làm tham khảo, hỗ trợ cho nội dung của chương hai. Một số kết quả của
chương này chúng tôi chỉ trình bày nội dung còn phần chứng minh có thể tham
khảo trong các tài liệu [1], [2], [3], [4], [6].
Trong suốt luận văn này, chúng tôi luôn giả sử R là một vành giao hoán, có
đơn vị 1 = 0.

1.1

Vành các thương và địa phương hóa

Định nghĩa 1.1.1. Một tập hợp con S của một vành R được gọi là tập nhân

đóng nếu 1 ∈ S và xy ∈ S , ∀x, y ∈ S .
Bây giờ ta sẽ xây dựng một vành giao hoán mới S −1 R gọi là vành các thương
như sau:
Trên tích Descartes S ×R ta xét một quan hệ ∼ xác định bởi: với s, t ∈ S, a, b ∈ R,
(s, a) ∼ (t, b) ⇐⇒ ∃u ∈ S sao cho u(at − sb) = 0.

Rõ ràng quan hệ ∼ này là một quan hệ tương đương. Ta kí hiệu a/s là lớp tương
đương của phần tử (a, s) và S −1 R là tập hợp tất cả các lớp tương đương này.
Trên tập thương S −1 R ta định nghĩa hai phép toán như sau: ∀s, t ∈ S, a, b ∈ R
(a/s) + (b/t) = (at + bs)/st,
(a/s)(b/t) = ab/st.
5


Định lý 1.1.2. [1, Mệnh đề 4.2]. Tập S −1 R cùng với hai phép toán trên trở
thành một vành giao hoán có phần tử đơn vị 1S −1 R = 1/1 = s/s với mọi s ∈ S và
phần tử 0S −1 R là 0/s với mọi s ∈ S. Vành S −1 R được gọi là vành các thương của
R xác định bởi S .

Cho I là iđêan của một vành giao hoán R và S là một tập nhân đóng trong
R. Khi đó, tập hợp
S −1 I = {a/s | a ∈ I, s ∈ S}

là một iđêan của S −1 R.
Mệnh đề 1.1.3. [1, Mệnh đề 4.5]. Cho S là một tập nhân đóng và I là một
iđêan của R. Khi đó, S −1 I = S −1 R khi và chỉ khi I ∩ S = ∅.
Chứng minh. Giả sử S −1 I = S −1 R. Khi đó, S −1 I chứa phần tử đơn vị 1/1 của
S −1 R, tức là tồn tại những phần tử a ∈ I và s ∈ S sao cho 1/1 = a/s. Suy ra tồn

tại t ∈ S để t(a − s) = 0. Điều này chứng tỏ phần tử ta = ts thuộc vào I ∩ S . Hay

I ∩ S = ∅.

Ngược lại, giả sử tồn tại s ∈ I ∩ S . Khi đó, s/s = 1/1 ∈ S −1 I , suy ra S −1 I =
S −1 R.

Định nghĩa 1.1.4. Cho I là một iđêan thực sự của vành R.
(i) Iđêan I gọi là iđêan nguyên tố nếu
∀a, b ∈ R, ab ∈ I ⇒ a ∈ I hoặc b ∈ I .

(ii) Iđêan I gọi là iđêan cực đại nếu
I

J , với J là một iđêan của R ⇒ J = R.

Định nghĩa 1.1.5. Cho R là vành giao hoán. Tập hợp
Spec(R) = {p ∈ R | p là iđêan nguyên tố của R}

được gọi là phổ nguyên tố của vành R.
Định nghĩa 1.1.6. Cho I là một iđêan của vành R. Tập hợp tất cả các iđêan
nguyên tố của vành R mà chứa I được gọi là tập đại số xác định bởi I . Kí hiệu
là V (I). Như vậy,
V(I) = {p ∈ Spec(R) | p ⊇ I}.
6


Ví dụ 1.1.7. [1, Ví dụ 4.6]. Ta xét một số tập nhân đóng quen thuộc nhưng
rất quan trọng.
(i) Cho R là một miền nguyên và S = R \ {0} là một tập nhân đóng của vành
R. Khi đó S −1 R là một trường và được gọi là trường các thương của miền


nguyên R.
(ii) Xét S là tập tất cả các phần tử không là ước của không của một vành R.
Vì tích hai phần tử không là ước của không lại là một phần tử không là
ước của không nên S là một tập nhân đóng. Khi đó, vành S −1 R được gọi
là vành các thương toàn phần của R.
(iii) Cho p là một iđêan nguyên tố của một vành R. Dựa vào tính nguyên tố
của p, ta thấy rằng tập hợp S = R \ p là một tập nhân đóng của vành R.
Trong trường hợp này, vành các thương của R trên S được kí hiệu là Rp và
được gọi là vành địa phương hóa của R tại iđêan p.
Định nghĩa 1.1.8. Vành R được gọi là vành địa phương nếu nó có đúng một
iđêan cực đại m, ta thường kí hiệu là (R, m).
Mệnh đề 1.1.9. Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
0 −→ M −→ N −→ L −→ 0.

Khi đó, với mọi iđêan nguyên tố p của R, ta có dãy khớp ngắn các môđun địa
phương hóa
0 −→ Mp −→ Np −→ Lp −→ 0.

1.2

Dãy chính quy và độ sâu

Định nghĩa 1.2.1. Cho M là một R-môđun. Một phần tử x của R được gọi là
phần tử M -chính quy nếu
∀m ∈ M : xm = 0 ⇒ m = 0,

hay nói cách khác x không là ước của không.

7



Định nghĩa 1.2.2. [4, Định nghĩa 1.1.1]. Cho M là một R-môđun. Một dãy
x = x1 , . . . , xn các phần tử của R được gọi là một M -dãy chính quy (hay M -dãy)
nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(i) xi là phần tử M/(x1 , . . . , xi−1 )M -chính quy với mọi i = 1, . . . , n;
(ii) M/xM = 0.
Nhận xét 1.2.3. (1) Một R-dãy còn gọi là một dãy chính quy của R.
(2) Nếu dãy x chỉ thỏa mãn điều kiện (i) thì nó được gọi là M -dãy yếu.
(3) Số phần tử của một M -dãy chính quy được gọi là độ dài của dãy.
Ví dụ 1.2.4.

(i) Xem Z là Z-môđun. Với mọi x ∈ Z\{0} thì x là phần tử

Z-chính quy.
(ii) Cho R = k[x1 , . . . , xr ] là vành đa thức r biến trên trường k . Xem R là
R-môđun, lúc đó dãy x1 , . . . , xr là R-dãy chính quy.

Mệnh đề 1.2.5. [4, Mệnh đề 1.1.4]. Cho R là một vành, M là một R-môđun
và x là M -dãy yếu. Khi đó dãy khớp các R-môđun
ϕ2

ϕ0

ϕ1

N2 −→ N1 −→ N0 −→ M −→ 0

cảm sinh một dãy khớp
N2 /xN2 −→ N1 /xN1 −→ N0 /xN0 −→ M/xM −→ 0.


Mệnh đề 1.2.6. [4, Mệnh đề 1.1.6]. Cho R là một vành Noether địa phương,
M là một R-môđun hữu hạn và x = x1 , . . . , xn là một M -dãy. Khi đó mỗi hoán

vị của x là một M -dãy.
Cho M là một R-môđun và I là một iđêan của R. Nếu x = x1 , . . . , xn ⊆ I là
một M -dãy thì x được gọi là một M -dãy trong I . Chúng ta có định nghĩa M -dãy
cực đại như sau:
Định nghĩa 1.2.7. Cho x = x1 , . . . , xn ⊆ I là một M -dãy trong I . Khi đó, x
được gọi là một M -dãy cực đại trong I nếu x = x1 , . . . , xn , xn+1 không phải là
một M -dãy với mọi xn+1 ∈ I .
8


Mệnh đề 1.2.8. [4, Mệnh đề 1.2.1]. Cho R là một vành Noether và M là một
R-môđun hữu hạn. Nếu một iđêan I ⊂ R gồm các ước của không trong M , thì
I ⊂ p với mỗi p ∈ Ass(M ).

Mệnh đề 1.2.9. [4, Mệnh đề 1.2.3]. Cho R là một vành và M, N là các Rmôđun. Tập I = annR (N ) = {r ∈ R | rN = 0}.
(i) Nếu I chứa một phần tử M -chính quy thì HomR (N, M ) = 0.
(ii) Ngược lại, nếu R là Noether và M, N là hữu hạn, HomR (N, M ) = 0 suy ra
I chứa một phần tử M -chính quy.

Bổ đề 1.2.10. [4, Bổ đề 1.2.4]. Cho R là vành, M, N là các R-môđun và x =
x1 , . . . , xn là một M -dãy yếu trong annR (N ). Khi đó
HomR (N, M/xM ) ∼
= ExtnR (N, M ).

Định nghĩa 1.2.11. [4, Định nghĩa 1.2.6]. Cho R là vành Noether, M là Rmôđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R sao cho IM = M . Khi đó độ dài
của M -dãy cực đại trong I được gọi là độ sâu của M ứng với iđêan I , được kí
hiệu là depth(I, M ).

Trong trường hợp IM = M thì ta định nghĩa depth(I, M ) = ∞.
Định nghĩa 1.2.12. Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun
hữu hạn sinh. Khi đó độ sâu của M ứng với iđêan cực đại m được gọi là độ sâu
của M , được kí hiệu là depth M .
Ví dụ 1.2.13.

(i) Cho vành số nguyên Z và I = pZ (với p là số nguyên tố) là

iđêan của Z. Khi đó, depth(I, Z) = 1.
(ii) Xét R = k[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức n biến trên trường k , I = (x1 , . . . , xn )
là iđêan của R. Dễ kiểm tra x = x1 , . . . , xn là một dãy chính quy trong I .
Mặt khác, với mọi y ∈ I , ta có x1 , . . . , xn , y không là một dãy chính quy.
Vậy x là một R-dãy cực đại trong I hay depth(I, R) = n.
Định lý 1.2.14. [4, Định lý 1.2.8]. Cho (R, m, k) là một vành Noether địa phương
và M là R-môđun hữu hạn khác không. Khi đó,
depth M = min{i : ExtiR (k, M ) = 0}.
9


Mệnh đề 1.2.15. [4, Mệnh đề 1.2.9]. Cho R là một vành Noether, I là một
iđêan của R và 0 −→ U −→ M −→ N −→ 0 là một dãy khớp ngắn các R-môđun
hữu hạn sinh. Khi đó, ta có
depth(I, M ) ≥ min{depth(I, U ), depth(I, N )};
depth(I, U ) ≥ min{depth(I, M ), depth(I, N ) + 1};
depth(I, N ) ≥ min{depth(I, U ) − 1, depth(I, M )}.

Mệnh đề 1.2.16. [4, Mệnh đề 1.2.10]. Cho R là vành Noether, M là một Rmôđun hữu hạn sinh và I, J là các iđêan của R. Khi đó,
(i) depth(I, M ) = inf{depth Mp | p ∈ V(I)};
(ii) depth(I, M ) = depth(Rad I, M );
(iii) depth(I ∩ J, M ) = min{depth(I, M ), depth(J, M )};

(iv) Nếu x = x1 , . . . , xn là một M -dãy trong I thì
depth(I/(x), M/xM ) = depth(I, M/xM ) = depth(I, M ) − n.

1.3

Chiều của vành và môđun

Định nghĩa 1.3.1. Cho R là một vành.
(i) Với mỗi dãy giảm thực sự các iđêan nguyên tố của vành R
p0 ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pr
thì r được gọi là độ dài của dãy iđêan nguyên tố.
(ii) Độ dài lớn nhất của các dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R được
gọi là chiều của vành R, kí hiệu là dim R. Tức là,
dim R := sup{r | ∃ p0 ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pr dãy các iđêan nguyên tố của vành R}.

Nếu sup không tồn tại thì ta định nghĩa dim R = ∞.

10


(iii) Cho M là một R-môđun. Chiều của môđun M là chiều của vành thương R
trên linh hóa tử annR (M ) của R. Kí hiệu là dimR M . Như vậy,
dimR M := dim(R/annR (M )).

Ta cũng kí hiệu dim M thay cho dimR M trong trường hợp không có sự
nhầm lẫn gì về vành R.
Nhận xét 1.3.2.

(i) Mỗi iđêan nguyên tố của vành thương R/annR (M ) có


dạng p/annR (M ) với p là iđêan nguyên tố của R chứa annR (M ). Do đó,
chiều của vành R/annR (M ) là độ dài lớn nhất của các dãy giảm các iđêan
nguyên tố của R chứa annR (M ). Từ đó suy ra dim M ≤ dim R.
(ii) Cho M là một R-môđun và N là một R-môđun con của M . Khi đó, do
annR (M ) ⊆ annR (N ) nên R/annR (N ) ⊆ R/annR (M ). Do đó, dim N ≤ dim M .

Chứng minh tương tự, ta có dim M/N ≤ dim M.
Ví dụ 1.3.3.

(i) Xét vành các số nguyên Z. Mỗi iđêan nguyên tố khác (0) của

Z có dạng pZ, với p là một số nguyên tố. Mặt khác, không tồn tại một iđêan
nguyên tố nào chứa thực sự pZ. Do đó, một dãy giảm các iđêan nguyên tố
có độ dài lớn nhất của Z có dạng pZ ⊃ (0). Vì vậy, dim Z = 1.
(ii) Xét R = k[x1 , . . . , xn ] là vành các đa thức n biến trên trường k. Ta có một
dãy giảm các iđêan nguyên tố của R
(x1 , . . . , xn ) ⊃ (x1 , . . . , xn−1 ) ⊃ . . . ⊃ (x1 ) ⊃ 0.

Vì vậy, dim R ≥ n. Hơn nữa, người ta chứng minh được rằng dim R = n.
Định nghĩa 1.3.4. Cho R là một vành giao hoán khác không và p là iđêan
nguyên tố của vành R. Khi đó, ta định nghĩa độ cao của p, kí hiệu ht p, được
định nghĩa như sau
ht p := sup{r | ∃ p = p0 ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pr dãy các iđêan nguyên tố trong vành R}.

Nhận xét 1.3.5.

(i) Nếu p1 ⊆ p2 thì ht p1 ≤ ht p2 . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ

khi p1 = p2 .
11



(ii) Nếu dim R là hữu hạn thì
dim R = sup{ht p | p ∈ Spec(R)}
= sup{ht m | m là iđêan cực đại của R}.

Định nghĩa 1.3.6.

(i) Cho I là iđêan của vành giao hoán R. Khi đó, độ cao

của I được định nghĩa như sau
ht I := min{ht p | p ∈ V(I)}.

Như vậy, độ cao của iđêan I là độ cao nhỏ nhất của các iđêan nguyên tố
của R chứa I .
(ii) Cho I là iđêan của vành R. Iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan
nguyên tố tối tiểu của I nếu p chứa I và không tồn tại một iđêan nguyên
tố thực sự nào nằm giữa I và p. Kí hiệu tập các iđêan nguyên tố tối tiểu
của I là Min(I).
Bổ đề 1.3.7. [9, Tr.31]. Nếu Min(I) là tập hữu hạn thì
ht I + dim R/I ≤ dim R.

Định lý 1.3.8. Cho R là một vành Noether và I = (x1 , . . . , xn ) là iđêan thực sự
của R. Khi đó, ht p ≤ n với mọi p ∈ Min(I).
Hệ quả 1.3.9. Cho R là một vành Noether và I = (x1 , . . . , xn ) là iđêan thực sự
của R. Khi đó, ht I ≤ n.

1.4

Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số


Định nghĩa 1.4.1. Cho I là một iđêan thực sự của vành R.
(i) Iđêan I gọi là iđêan nguyên sơ nếu
∀a, b ∈ R, ab ∈ I và a ∈
/ I ⇒ ∃m > 0 sao cho bm ∈ I .

(ii) Tập hợp

√
I = {a ∈ R | ∃n : an ∈ I} là một iđêan của R và gọi là iđêan căn

của I .
Mệnh đề 1.4.2. [1, Mệnh đề 3.2]. Cho I là một iđêan của vành R. Khi đó:
12


(i) I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi R/I là một miền nguyên;
(ii) I là iđêan cực đại khi và chỉ khi R/I là một trường;
(iii) Nếu I là iđêan nguyên sơ thì

√

I là iđêan nguyên tố;

(iv) Một iđêan cực đại luôn là iđêan nguyên tố, một iđêan nguyên tố luôn là
iđêan nguyên sơ.
Ví dụ 1.4.3. Trong vành các số nguyên Z thì tập hợp
I = nZ = {nk | k ∈ Z}, n ≥ 0 là một iđêan.

(i) I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi n = 0 hoặc n là số nguyên tố.

(ii) I là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi n = 0 hoặc n = pα với p là số nguyên tố
và α > 0.
Bổ đề 1.4.4. [1, Bổ đề 3.4]. Trong một vành giao hoán R luôn tồn tại ít nhất
một iđêan cực đại.
Hệ quả 1.4.5. Mọi iđêan thực sự của một vành giao hoán luôn nằm trong một
iđêan cực đại.
Định lý 1.4.6. Căn lũy linh Rad(R) của một vành giao hoán R là giao của tất
cả các iđêan nguyên tố của R.
Định lý 1.4.7. [1, Định lý 3.8](Định lý tránh nguyên tố). Các mệnh đề sau là
đúng cho một vành giao hoán R.
(i) Cho p1 , . . . , pn là những iđêan nguyên tố và a là một iđêan của R. Giả sử
a

pi với mọi i = 1, . . . , n, khi đó a

n
i=1 pi .

(ii) Cho a1 , . . . , an là những iđêan và p là một iđêan nguyên tố của vành R. Nếu
n
i=1 ai
n
i=1 ai

⊆ p thì khi đó tồn tại một chỉ số i sao cho ai ⊆ p. Hơn nữa, khi
= p thì tồn tại một chỉ số i sao cho ai = p.

Ví dụ 1.4.8.

(i) Cho vành R = Z, I = pZ (với p là số nguyên tố) là iđêan của


vành Z. Khi đó,
Spec(Z) = {0; pZ với p là số nguyên tố}
13


và
V(pZ) = {pZ}.

(ii) Cho số tự nhiên n = 0 và n = pa11 . . . . .pakk là một phân tích ra thừa số nguyên
tố của n. Lấy I = nZ là iđêan của vành Z. Khi đó,
V(nZ) = {p1 Z, . . . , pk Z}.

Mệnh đề 1.4.9. [1, Tr.95].
(i) V(0) = Spec(R); V(R) = ∅.
(ii) Cho I1 , . . . , In là các iđêan của vành R. Khi đó,
V(I1 ∩ . . . ∩ In ) = V(I1 ) ∪ . . . ∪ V(In ).

Giả sử (Iλ )λ∈Λ là một họ tùy ý các iđêan của R. Khi đó,
V(

Iλ ) =
λ∈Λ

(iii) V (I) = V (J) ⇔

√

I=


V (Iλ ).
λ∈Λ

√
J.

Định nghĩa 1.4.10. Cho I là một iđêan nguyên sơ của vành R. Khi đó, ta
có

√

I = p là một iđêan nguyên tố và lúc này I được gọi là iđêan p-nguyên sơ.

Đặc biệt, khi (R, m) là vành địa phương, I được gọi là iđêan m-nguyên sơ nếu
√
I = m.

Định nghĩa 1.4.11. (1) Cho (R, m) là vành địa phương có chiều d. Nếu x1 , . . . , xd ∈
m sinh ra một iđêan m-nguyên sơ I thì hệ {x1 , . . . , xd } được gọi là hệ tham
số của R. Khi đó, I = (x1 , . . . , xd ) được gọi là iđêan tham số của vành R.
(2) Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh có chiều s. Khi đó, hệ {y1 , . . . , ys } ⊆ m
được gọi là hệ tham số của M nếu (M/(y1 , . . . , ys )M ) < ∞.

1.5

Vành và môđun phân bậc

Định nghĩa 1.5.1. [4, Định nghĩa 1.5.1]. Một vành R được gọi là vành Z-phân
bậc nếu tồn tại các nhóm cộng Abel Ri sao cho R =
và Ri Rj ⊂ Ri+j với mọi i, j ∈ Z.

14

i∈Z Ri

(như Z-môđun )


(i) Mỗi phần tử x ∈ R có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

Nhận xét 1.5.2.
x=

n∈Z xn

với xn ∈ Rn và chỉ có hữu hạn các phần tử xn = 0. Mỗi hạng

tử xn được gọi là thành phần thuần nhất bậc n của x, kí hiệu là deg xn = n.
Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử thuần nhất nếu tồn tại n ∈ Z sao cho
x ∈ Rn . Nếu Rn = 0, ∀n < 0 thì ta nói R là N-phân bậc hay R là vành phân

bậc.
(ii) Từ định nghĩa của vành phân bậc R, ta suy ra 1R ∈ R0 và R0 là một vành
con của R. Hơn nữa, với mỗi n ∈ Z ta có thể xét Rn như là một R0 - môđun.
Định nghĩa 1.5.3. [4, Định nghĩa 1.5.1]. Cho R là một vành phân bậc và M
là một R-môđun. Khi đó, M được gọi là môđun phân bậc nếu tồn tại các nhóm
cộng Abel Mn sao cho M =

i∈Z Mi

(như Z-môđun ) và Ri Mj ⊂ Mi+j với mọi


i, j ∈ Z.

(i) Mỗi phần tử x ∈ M có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

Nhận xét 1.5.4.
x=

n∈Z xn

với xn ∈ Mn và chỉ có hữu hạn các phần tử xn = 0. Mỗi hạng

tử xn được gọi là thành phần thuần nhất bậc n của x, kí hiệu là deg xn = n.
Phần tử x ∈ M được gọi là phần tử thuần nhất nếu tồn tại n ∈ Z sao cho
x ∈ Mn .

(ii) Từ định nghĩa của môđun phân bậc M ta suy ra Mn là các R0 -môđun với
mọi n ∈ Z.
Định nghĩa 1.5.5.

(i) Cho M là một R-môđun phân bậc và N là một môđun

con của M . Khi đó N được gọi là một môđun con phân bậc (hay thuần nhất)
của M nếu nó được sinh bởi các phần tử thuần nhất của M .
(ii) Một vành phân bậc R có thể được xét như một môđun phân bậc trên
chính nó. Khi đó, một iđêan của R được gọi là iđêan thuần nhất nếu nó là
R-môđun con thuần nhất của R.

Định lý 1.5.6. [4, Tr.28]. Cho M là một R-môđun phân bậc và N là môđun
con phân bậc của M . Khi đó :

(i) N =

i∈Z N

∩ Mi là một R-môđun phân bậc;
15


(ii) Nếu x ∈ N thì các thành phần thuần nhất của x cũng thuộc N .
Ví dụ 1.5.7. Cho R = k[x, y] là vành đa thức hai biến trên trường k . Khi đó,
I = (x2 , xy, y 2 ) và J = (x3 , x2 y 4 , y 5 ) là các iđêan thuần nhất của R. Tuy nhiên,
K = (x2 + y) không là iđêan thuần nhất của R.

Định nghĩa 1.5.8. Cho M, N là các R-môđun phân bậc. Đồng cấu R-môđun
f : M −→ N được gọi là đồng cấu thuần nhất bậc k (hay phân bậc bậc k ) nếu
f (Mn ) ⊆ Nn+k với k ∈ Z. Khi k = 0, ta có f (Mn ) ⊆ Nn , lúc này f được gọi là

đồng cấu thuần nhất.
Ví dụ 1.5.9. Cho R = k[x] là một vành phân bậc. Khi đó, đồng cấu
f : R(−1) −→ R
a −→ ax

là một đồng cấu thuần nhất.
Định nghĩa 1.5.10. Cho (R, m) là vành Noether địa phương. Một R-môđun hữu
hạn sinh M = 0 được gọi là R-môđun Cohen-Macaulay nếu depth M = dim M .
Nếu R là R-môđun Cohen-Macaulay thì ta nói R là vành Cohen-Macaulay.
Định lý 1.5.11. [4, Định lý 2.1.1]. Cho (R, m) là vành Noether địa phương và
M = 0 là một R-môđun Cohen-Macaulay. Khi đó,

(i) dim R/p = dim M = depth M với mọi p ∈ Ass M ;

(ii) depth(I, M ) = dim M − dim M/IM với mọi iđêan I ⊆ m;
(iii) x = x1 , . . . , xn là một M -dãy nếu và chỉ nếu dim M/xM = dim M − n.

1.6

Hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđun phân bậc

Trong mục này ta luôn giả sử R =

n∈Z Rn

là vành phân bậc với R0 là vành

địa phương Artin và R là hữu hạn sinh trên R0 . Khi đó, với mỗi R-môđun phân
bậc hữu hạn sinh M , ta có các thành phần phân bậc Mn của M là các R0 -môđun
có độ dài hữu hạn.

16


Định nghĩa 1.6.1. [4, Định nghĩa 4.1.1]. Cho M =

n∈Z Mn

là một R-môđun

phân bậc hữu hạn sinh. Hàm số học
hM : Z −→ N
n −→


(Mn )

được gọi là hàm Hilbert của M và HM (t) =

n∈Z hM (n)t

n

gọi là chuỗi Hilbert

của M .
Định lý 1.6.2. [4, Định lý 4.1.3](Hilbert). Cho M là một R-môđun phân bậc
hữu hạn sinh có chiều d > 0. Khi đó hM (n) là đa thức có bậc d − 1.
Hilbert đã chứng minh được rằng nếu M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều
d ≥ 1 thì tồn tại duy nhất một đa thức pM (x) ∈ Q[x] có bậc d − 1 sao cho
hM (n) = pM (n) với mọi n đủ lớn. Từ đây ta có định nghĩa.

Định nghĩa 1.6.3. [4, Định nghĩa 4.1.5]. Cho M là một R-môđun phân bậc hữu
hạn sinh với dim M = d. Khi đó đa thức pM (x) ∈ Q[x] thỏa mãn hM (n) = pM (n)
với mọi n đủ lớn được gọi là đa thức Hilbert của M . Ta có thể biểu diễn pM (x)
dưới dạng
d−1

(−1)i ei (M )

pM (x) =
i=0

x+d−1−i
,

d−1−i

trong đó ei (M ), i = 0, . . . , d − 1 là các hệ số nguyên. Khi đó, các hệ số ei = ei (M )
được gọi là hệ số Hilbert của M .
Định nghĩa 1.6.4. Số nguyên lớn nhất n0 sao cho hM (n) = pM (n) với mọi n ≥ n0
được gọi là chỉ số Hilbert của M và được kí hiệu là ρ(M ).
Định nghĩa 1.6.5. [4, Định nghĩa 4.1.5]. Cho M là một R-môđun phân bậc
hữu hạn sinh có chiều d. Khi đó số bội của M được xác định bởi

e(M ) =



e0 (M ) nếu d > 0,

 (M )

17

nếu d = 0.


1.7

Đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.7.1. [4, Tr.128]. Cho M là một R-môđun và I là một iđêan của
R. Kí hiệu
ΓI (M ) = {x ∈ M | ∃n ∈ N : xI n = 0}.


Khi đó, ΓI (M ) là một môđun con của môđun M và được gọi là môđun xoắn
của M ứng với iđêan I.
Từ định nghĩa ta có nhận xét.
Nhận xét 1.7.2.

(0 :M I n );

(i) ΓI (M ) =
n∈N

(ii) Γ0 (M ) = M và ΓR (M ) = 0.
Cho f : M −→ N là một đồng cấu R-môđun, ta có f (ΓI (M )) ⊆ ΓI (N ). Do đó
ta có ánh xạ
ΓI (f ) : ΓI (M ) −→ ΓI (N )
−→ f (x).

x

Định nghĩa 1.7.3. Cho I là một iđêan của R. Kí hiệu Mod(R) là phạm trù các
R-môđun. Xét tương ứng
ΓI :

Mod(R)
M

f:

−→ Mod(R)
−→ ΓI (M )


M −→ N −→

ΓI (f ) : ΓI (M ) −→ ΓI (N )
x

−→ f (x).

Khi đó, hàm tử ΓI là một hàm tử từ Mod(R) vào chính nó và được gọi là hàm
tử I -xoắn hay gọi là hàm tử xoắn.
Mệnh đề 1.7.4. ΓI là một hàm tử hiệp biến từ Mod(R) vào Mod(R).
Chứng minh. Với mọi f : M −→ N và g : N −→ L là các đồng cấu R-môđun. Khi
đó ta có
ΓI (gf ) : ΓI (M ) −→ ΓI (L)

18


Với mọi x ∈ ΓI (M ), ta có
ΓI (gf )(x) = (gf )(x) = g(f (x)) = ΓI (g)(f (x))
= ΓI (g)(ΓI (f )(x)) = (ΓI (g)ΓI (f ))(x).

Suy ra ΓI (gf ) = ΓI (g)ΓI (f ).
Với mọi M ∈ Mod(R), ta có
ΓI (1M ) = ΓI (IdM ) : ΓI (M ) −→ ΓI (M ).

Với mọi x ∈ ΓI (M ), ta có ΓI (IdM )(x) = IdM (x) = x = IdΓI (M ) (x).
Suy ra ΓI (1M ) = 1ΓI (M ) . Vậy ΓI là một hàm tử hiệp biến.
Mệnh đề 1.7.5. [3, Tr.1]. Hàm tử ΓI trên phạm trù R-môđun là hàm tử cộng
tính; tức là, với mọi f, g là đồng cấu R-môđun và r ∈ R, ta có
ΓI (f + g) = ΓI (f ) + ΓI (g)

ΓI (rf ) = rΓI (f ).

Định lý 1.7.6. Hàm tử ΓI có tính khớp trái.
Chứng minh. Lấy một dãy khớp ngắn các R-môđun
f

g

0 −→ L −→ M −→ N −→ 0

Xét dãy tương ứng của ΓI (−):
ΓI (f )

ΓI (g)

0 −→ ΓI (L) −→ ΓI (M ) −→ ΓI (N )

Với x ∈ Ker(ΓI (f )) ⇒ ΓI (f )(x) = 0 ⇒ f (x) = 0. Do f đơn cấu nên suy ra x = 0. Do
đó ΓI (f ) là đơn cấu. Do ΓI (−) là một hàm tử hiệp biến nên ΓI (gf ) = ΓI (g)ΓI (f ).
Vì gf = 0 nên ΓI (g)ΓI (f ) = 0. Suy ra Im(ΓI (f )) ⊂ Ker(ΓI (g)).
Ngược lại, với y ∈ Ker(ΓI (g)) ⇒ g(y) = 0.
Do đó y ∈ Ker(g) = Im(f ) ⇒ ∃x ∈ L : f (x) = y .
Mặt khác, do y ∈ ΓI (M ) ⇒ ∃n ∈ N : yI n = 0.
Ta có: 0 = yI n = f (x)I n = f (xI n ). Vì f đơn cấu nên xI n = 0 ⇒ x ∈ ΓI (L) ⇒ y ∈
Im(ΓI (f )). Suy ra Ker(ΓI (g)) ⊂ Im(ΓI (f )). Do đó Ker(ΓI (g)) = Im(ΓI (f )). Vậy ΓI

là hàm tử khớp trái.
19



Định nghĩa 1.7.7. [3, Tr.3]. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan của
R và M là một R-môđun. Xét một giải thức nội xạ của M
α

d0

di

di+1

(E) : 0 −→ M −→ E 0 −→ E 1 −→ · · · −→ E i −→ E i+1 −→ · · ·

Áp dụng hàm tử ΓI vào giải thức (E) ta thu được phức
ΓI (d0 )

ΓI (di )

ΓI (di+1 )

0 −→ ΓI (E 0 ) −→ · · · −→ ΓI (E i ) −→ ΓI (E i+1 ) −→ · · ·

Đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M ứng với iđêan I được kí hiệu là
HIi (M ) và được xác định như sau
HIi (M ) := Ker(ΓI (di ))/ Im(ΓI (di−1 )) với mọi i ≥ 0.

Nhận xét 1.7.8. [4, Chú ý 3.5.3].
(i) Cho M là R-môđun. Khi đó HI0 (M ) ∼
= ΓI (M ) và HIi (M ) = 0 với mọi i < 0.
(ii) Nếu M là R-môđun nội xạ thì HIi (M ) = 0 với mọi i ≥ 1.
Chú ý 1.7.9.


(i) HIi (M ) có thể R-môđun vô hạn sinh cho dù M là hữu hạn

sinh.
(ii) Nếu d = dim(M ) > 0 thì HId (M ) luôn vô hạn sinh.
(iii) Với r = depth(M ) là độ sâu của M thì HIi (M ) = 0, ∀i < r, i > d = dim(M ).
(iv) Nếu R là vành phân bậc, M là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh thì HIi (M )
là R-môđun phân bậc, trong đó I là iđêan thuần nhất của R.
Ví dụ 1.7.10. [3, Ví dụ 12.4.1]. Cho R = k[x] là vành đa thức một biến trên
trường k và I = (x). Khi đó, ta có

 R[x−1 ]/R nếu i = 1,
HIi (R) =

0
nếu i = 1.
Trong đó, các phần tử của R[x−1 ]/R có dạng
b=

a1 a2
ak
+ 2 + . . . + k + R với a1 , . . . , ak ∈ k
x
x
x

và phép nhân được xác định bởi

 xn−m nếu n < m,
1 n

.x =
xm
 0
nếu n ≥ m.
20


Tổng quát lên, nếu R = k[x
1 , . . . , xn ] là vành đa thức n biến trên trường k và
 R[x−1 , . . . , x−1 ]/R nếu i = n,
n
1
i
I = (x1 , . . . , xn ) thì HI (R) =

0
nếu i = n.
Mệnh đề 1.7.11. [3, Bài tập 1.2.12]. Cho I là một iđêan của R và M là Rmôđun. Với mỗi n ∈ N, ta có (0 :M I n ) ∼
= HomR (R/I n , M ).
Chứng minh. Xét tương ứng
φ : HomR (R/I n , M ) −→ (0 :M I n )
f : R/I n → M −→ f (1 + I n ).

Với mọi f ∈ HomR (R/I n , M ) và a ∈ I n , ta có af (1 + I n ) = f (a + I n ) = f (0) = 0.
Suy ra f (1 + I n ) ∈ (0 :M I n ). Với mọi f, g ∈ HomR (R/I n , M ) sao cho f = g , ta có:
f (1 + I n ) = g(1 + I n ) nên φ(f ) = φ(g). Do đó φ là một ánh xạ.

Với mọi f, g ∈ HomR (R/I n , M ) và r ∈ R, ta có:
φ(f + g) = (f + g)(1 + I n ) = f (1 + I n ) + g(1 + I n ) = φ(f ) + φ(g).
φ(rf ) = (rf )(1 + I n ) = rf (1 + I n ) = rφ(f ). Vậy φ là một đồng cấu. Mặt khác, với


mọi f ∈ Ker(φ), ta có φ(f ) = f (1 + I n ) = 0. Lúc đó, với mọi a = a + I n ∈ R/I n ta
có: f (a) = f (a + I n ) = af (1 + I n ) = a0 = 0 ⇒ f = 0. Vậy φ là một đơn cấu.
Ta chứng minh φ là toàn cấu. Với mọi a ∈ (0 :M I n ). Ta xét tương ứng
f : R/I n −→ M
x + I n −→ ax.

Ta có f ∈ HomR (R/I n , M ). Lúc đó, φ(f ) = f (1 + I n ) = a1 = a. Suy ra φ là một
toàn cấu. Vậy φ là một đẳng cấu. Hay (0 :M I n ) ∼
= HomR (R/I n , M ).
Định lý 1.7.12. [4, Chú ý 3.5.3] Với mỗi R-môđun M và với mọi i ≥ 0 ta có
i
n
HIi (M ) ∼
= lim
−→ ExtR (R/I , M ).

Mệnh đề 1.7.13. [4, Mệnh đề 3.5.4]. Cho (R, m, k) là một vành Noether địa
phương và M là một R-môđun hữu hạn. Khi đó,
(i) Các môđun Hmi (M ) là Artin;
21


(ii) Hmi (M ) = 0 với i < depth M .
Định lý 1.7.14. [4, Định lý 3.5.7](Grothendieck). Cho (R, m, k) là một vành
Noether địa phương và M là một R-môđun hữu hạn có độ sâu t và chiều d. Khi
đó
(i) Hmi (M ) = 0 với i < t và i > d;
(ii) Hmt (M ) = 0 và Hmd (M ) = 0.
Định nghĩa 1.7.15.


(i) Cho (R, m) là vành địa phương Noether và M = 0 là

một R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Môđun M được gọi là R-môđun
Cohen-Macaulay suy rộng nếu ((Hmi (M )) < ∞ với i = 0, . . . , d − 1.
(ii) Vành R được gọi là vành Cohen-Macaulay suy rộng nếu R là R-môđun
Cohen-Macaulay suy rộng trên chính nó.

1.8

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford

Trong phần này, nếu không nói gì khác ta luôn xét R =

n≥0 Rn

phân bậc chuẩn trên một vành địa phương Artin R0 . Kí hiệu R+ =

là vành

n≥0 Rn

là

iđêan thuần nhất cực đại của R. Cho M là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Ta
kí hiệu HRi + (M ) là đối đồng điều địa phương của M với giá R+ .
Định nghĩa 1.8.1. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của M là số
reg(M ) := max{ai (M ) + i | i ≥ 0},

trong đó

ai (M ) =



max{n | H i (M )n = 0} nếu H i (M ) = 0,
R+
R+
nếu HRi + (M ) = 0.


−∞
Một cách tổng quát hơn, ta đặt

regk (M ) := max{ai (M ) + i | i ≥ k}

và nó được gọi là chỉ số chính quy bậc k của M .

22