ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

ĐOÀN VIẾT LONG

CÁC WAVELET HAAR
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
TS. LÊ THỊ NHƯ BÍCH

Thừa Thiên Huế, năm 2017

i


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi và được sự
hướng dẫn khoa học của TS. Lê Thị Như Bích. Các nội dung nghiên cứu, kết
quả trong đề tài này là trung thực và chưa công bố dưới bất kỳ hình thức nào
trước đây. Những số liệu trong các bảng biểu phục vụ cho việc phân tích, nhận
xét, đánh giá được chính tác giả thu thập từ các nguồn khác nhau có ghi rõ

trong phần tài liệu tham khảo. Ngoài ra, trong luận văn còn sử dụng một số
nhận xét, đánh giá cũng như số liệu của các tác giả khác, cơ quan tổ chức khác
đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc. Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận
nào tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về nội dung luận văn của mình.
Tác giả

Đoàn Viết Long

ii


Lời cảm ơn
Bản luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Huế dưới sự
hướng dẫn tận tình của TS. Lê Thị Như Bích. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn Cô về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình
học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Khoa Sau Đại Học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các
thầy cô giáo trường Đại học Sư Phạm Huế, đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm
ơn tập thể bạn bè, đồng nghiệp lớp Cao Học Toán Giải Tích K24 đã giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy rất
mong được sự góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn
này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn!

iii



MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Chương 1: Các wavelet Haar

7


1.1

Sơ lược lý thuyết wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Cơ sở wavelet Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Các wavelet Haar trên đoạn bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4

Tích phân của các hàm Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5

Ma trận Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6

Khai triển hàm số bằng chuỗi wavelet Haar . . . . . . . . . . . . . 18

1.7


Các wavelet Haar không đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8

Thuật toán tìm ma trận H và Pν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Chương 2: Ứng dụng tìm nghiệm phương trình vi phân thường

22

2.1

Bài toán giá trị ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2

Bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3

Trường hợp các wavelet Haar không đều . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4

Phương trình vi phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1



2.5

Phương trình cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Chương 3: Ứng dụng tìm nghiệm phương trình tích phân

39

3.1

Giới thiệu phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2

Phương trình tích phân Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3

Phương trình tích phân Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4

Phương trình vi-tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5

Phương trình tích phân kỳ dị yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Chương 4: Ứng dụng tìm nghiệm một số phương trình đạo hàm
riêng


49

4.1

Giới thiệu bài toán và phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2

Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3

Phương trình truyền sóng Sine-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4

Phương trình Burgers-Huxley tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 55

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

I


Danh sách hình vẽ
1.1


Mối quan hệ của không gian Wn và Vn

1.2

8 wavelet Haar đầu tiên ở mức phân giải J = 2 . . . . . . . 14

2.1

Hệ số wavelet a tại J=6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2

Nghiệm của bài toán biên tại J=5 . . . . . . . . . . . . . . 29

3

. . . . . . . . . . .

8


Lời nói đầu
Trong nhiều bài toán vật lý, kỹ thuật việc giải quyết chúng thường dẫn đến
việc giải các phương trình vi phân, đạo hàm riêng hay phương trình tích phân
mà việc chứng minh sự tồn tại nghiệm và biểu diễn tường minh nghiệm của các
phương trình này theo công cụ giải tích thuần túy chỉ có thể áp dụng trong
một số ít bài toán. Thực tế đặt ra nhiều bài toán mà việc biểu diễn tường minh
nghiệm của phương trình là không thể hoặc rất phức tạp, đôi khi là không cần
thiết. Khi đó ta có thể tìm nghiệm gần đúng của phương trình trong các điều

kiện sai số cho phép dựa trên các phương pháp số. Ví dụ xét phương trình vi
phân sau:
y (x) = f (x, y), x ∈ [a, b],
y(x0 ) = y0 , x0 = a.

Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình này, đầu tiên ta chia đoạn [a,b] thành
các đoạn con bởi các điểm chia như sau:
a = x0 < x1 < ... < xn = b,
xi = x0 + ih, h =

b−a
.
n

Giả sử ta tìm được giá trị yi tại điểm xi , 1 ≤ i < n. Khi đó giá trị yi+1 tại xi+1
sẽ được tìm thông qua các giá trị đã biết bởi các công thức xấp xỉ.
Một số phương pháp số tìm nghiệm phương trình vi phân thường gặp như
- Phương pháp Euler: Giá trị yi+1 được tìm bởi công thức sau:
yi+1 = yi + hf (xi , yi ),

với giá trị ban đầu y0 = y(x0 ).
- Phương pháp Runge-Kutta: Phương pháp này có nhiều cấp độ khác nhau, tuy
nhiên phương pháp được biết đến và sử dụng rộng rãi là phương pháp RungeKutta bậc 4 (RK4).
h
yi+1 = yi + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ),
6
xi+1 = xi + h,

4



h
2

h
2

h
2

h
2

với k1 = f (xi , yi ), k2 = f (xi + , yi + k1 ), k3 = f (xi + , yi + k2 ),
k4 = f (xi + h, yi + hk3 ).

Hai phương pháp trên tính toán khá đơn giản, tuy nhiên khi muốn tăng độ
chính xác của kết quả lên ta phải giảm bước h, dẫn đến số lần lặp tăng.
Một hướng tiếp cận khác của phương pháp tìm nghiệm gần đúng là xấp xỉ
không gian vô hạn chiều của nghiệm bằng một không gian con hữu hạn chiều.
Ví dụ nếu ta biểu diễn nghiệm u(x) dưới dạng
a0
u(x) =
+
2

∞

(an cosnx + bn sinnx).
n=1


thì nghiệm chính xác u(x) có thể xem như là một hàm của vô hạn các hệ số
a0 , a1 , a2 , ..., an , ... Trong khi nghiệm xấp xỉ của nó là một hàm của một dãy hữu

hạn các hệ số a0 , a1 , a2 , ..., aN nào đó.
Một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng theo hướng tiếp cận này là phương
pháp đặc trưng, phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn và phương
pháp thể tích hữu hạn.
Mỗi phương pháp đều có ưu, nhược điểm riêng, phần lớn chúng chưa giải
quyết được các phương trình vi phân bậc cao, các loại phương trình cứng, phương
trình kỳ dị hay lớp các bài toán biên... Nhằm giải quyết được các vấn đề trên,
một số phương pháp khác đã được đề xuất, trong đó phương pháp wavelet dựa
trên các hàm Haar có nhiều ưu điểm vượt trội trong việc xấp xỉ phương trình
vi phân, cũng như phương trình tích phân và phương trình đạo hàm riêng.
Lý thuyết wavelet được đặt nền móng từ năm 1807, khi Fourier phát triển
phương pháp thay thế một tín hiệu bằng chuỗi hệ số dựa trên các hàm giải tích,
sau đó được A. Haar, J. Morlet, A. Grossmann, sau đó là S. Mallat và Y. Meyer
phát triển lên. Năm 1910, Alfred Haar đã đề xuất dãy Haar và được công nhận
là cơ sở wavelet đầu tiên được biết đến và sử dụng rộng rãi. Ông đã dùng các
dãy hàm này để đưa ra một ví dụ về một hệ trực chuẩn cho không gian bình
phương khả tích L2 trên khoảng đơn [0,1]. Các hàm wavelet Haar này là cơ sở
của phương pháp wavelet Haar trong việc giải các phương trình vi phân, tích
phân và các phương trình đạo hàm riêng mà ta sẽ tìm hiểu trong luận văn này.
Nội dung của luận văn được chia ra làm 4 chương.
5


Chương 1 dành để trình bày các kiến thức cơ sở để xây dựng các wavelet Haar
và các đặc trưng của nó như phép lấy tích phân của các hàm Haar, ma trận
Haar, khai triển hàm số bằng chuỗi wavelet Haar, thuật toán tìm ma trận Haar.

Chương 2, 3, 4 lần lượt trình bày nội dung chính của luận văn, đó là ứng dụng
các wavelet Haar trong việc tìm nghiệm xấp xỉ của các phương trình vi phân,
tích phân và một số phương trình đạo hàm riêng, kèm theo một số ví dụ cụ thể
để minh họa.

6


Chương 1

Các Wavelet Haar

1.1

Sơ lược lý thuyết wavelet

Xét không gian

L2 (R) = {f : R → C|

|f (x)|2 dx < ∞},
R

với tích vô hướng

f (x)g(x)dx, f, g ∈ L2 (R),

f, g =

f =


f, f .

R

Định nghĩa 1.1.1. (Phân tích đa phân giải [7]) Một phân tích đa phân
giải của không gian L2 (R) là một dãy các không gian con lồng vào nhau

... ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ ...
thỏa các điều kiện sau:

Vj = {0}.

(i)
j∈Z

Vj = L2 (R).

(ii)
j∈Z

(iii) f (x) ∈ Vj ⇐⇒ f (2x) ∈ Vj+1 .
(iv) ∃φ ∈ V0 sao cho {φ(x − k)}k∈Z là cơ sở tuyệt đối của V0 , tức là
7


{φ(x − k)}k∈Z là cơ sở của V0 và ∃A, B > 0, ∀(Ck )k∈Z ∈ l2 sao cho
|Ck |2

A


Ck φ(x − k)

2

k∈Z

k∈Z

k∈Z

|Ck |2 .

B

Điều kiện trên được gọi là điều kiện ổn định và hàm φ thỏa mãn điều
kiện ổn định được gọi là hàm ổn định hay hàm sinh MRA. Hơn nữa, nếu

{φ(x − k)}k∈Z là cơ sở trực chuẩn của V0 thì φ được gọi là hàm sinh MRA
trực chuẩn. Mỗi không gian con Vj được gọi là phân giải thứ j của L2 (R).
Giả sử φ là một hàm sinh MRA và (Vn )n là một phân tích đa phân giải
sinh bởi hàm φ. Gọi Wn là phần bù trực giao của Vn sao cho

Wj ⊕ Vj = Vj+1 và Wj ⊥ Vj .
Vj = L2 (R) và

Do
j∈Z

Vj = {0} nên ta có

j∈Z

L2 (R) = ⊕Wj , j ∈ Z ( chú ý Wj ⊥ Wj , ∀j = j ).

Hình 1.1: Mối quan hệ của không gian Wn và Vn

Định nghĩa 1.1.2. Cho hàm ψ ∈ L2 (R), ta định nghĩa các hàm ψn,k bởi

ψn,k (x) := 2n/2 ψ(2n x − k), n, k ∈ Z,
hàm ψ được gọi là một wavelet trực chuẩn nếu hệ {ψn,k }n,k∈Z là một cơ
sở trực chuẩn của L2 (R). Cơ sở {ψn,k }n,k∈Z được sinh ra bởi wavelet trực
chuẩn ψ được gọi là một cơ sở wavelet trực chuẩn.

8


Nhận xét: Họ {ψn,k }k∈Z là một cơ sở trực chuẩn của Wn khi và chỉ khi

{ψ0,k }k∈Z là một cơ sở trực chuẩn của W0 .
Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu một cơ sở wavelet trực
chuẩn đơn giản nhất của L2 (R) là cơ sở Haar.

1.2

Cơ sở wavelet Haar

Đặt

B(x) =


1

,0 ≤ x < 1

0

,x ∈
/ [0, 1)

là hàm đặc trưng trên [0, 1).

Bn,k (x) := 2

n/2

n

B(2 x − k) =

1

, 2−n k ≤ x < 2−n (k + 1),

0

,x ∈
/ [2−n k, 2−n (k + 1)).

an,k Bn,k , (an,k )k∈Z ∈ l2 }, ta có {Vn } là một dãy


Đặt Vn = {gn |gn =
k∈Z

các không gian con lồng vào nhau của L2 (R) và ∀f ∈ L2 (R), ∃fn ∈ Vn sao
cho

lim fn − f = 0.

n→∞

Dễ dàng kiểm tra được (Vn )n là một phân tích đa phân giải sinh bởi hàm

B(x) thỏa mãn điều kiện
Vj = L2 (R) và
j∈Z

Vj = {0}.
j∈Z

Ta cũng có {B(x − k)}k∈Z là một cơ sở trực chuẩn của V0 , với B(x − k) :=

B0,k (x), đồng thời Bn,k (x) là một cơ sở trực chuẩn của Vn .
Gọi Wn là phần bù trực giao của Vn thỏa mãn

Wj ⊕ Vj = Vj+1 và Wj ⊥ Vj , ta có L2 (R) = ⊕Wn .

9


Xét


1
,0 ≤ x <
2
1
, ≤x<1
2
,x ∈
/ [0, 1),



1



H(x) = −1




0
đặt

Hn,k (x) := 2n/2 H(2n x − k) =




1


, 2−n k ≤ x < 2−n (k + 21 ),

−1


0

, 2−n (k + 21 ) ≤ x < 2−n (k + 1),
,x ∈
/ [2−n k, 2−n (k + 1)).

Ta sẽ chứng minh {Hn,k } là cơ sở trực chuẩn của Wn . Để chứng minh điều
này ta cần chứng minh {H0,k } là cơ sở trực chuẩn của W0 .
Thật vậy,

1
,k ≤ x < k +
2
1
,k + ≤ x < k + 1
2
,x ∈
/ [k, k + 1),



1




H0,k (x) = −1




0

- Với mọi k = k , ta có [k, k + 1) ∩ [k , k + 1) = ∅ nên H0,k (x)H0,k (x) = 0

⇒ H0,k , H0,k = 0.
- Với k = k , ta có

H0,k (x).H0,k (x) =

1

,k ≤ x < k + 1

0

,x ∈
/ [k, k + 1),
k+1

⇒ H0,k , H0,k =

dx = 1
k


Vậy hệ {H0,k } trực chuẩn, ta cần chứng minh nó là cơ sở của W0 .
Xét g ∈ W0 ⇒ g ∈ V1 và ∀(Ck )k∈Z ∈ l2 ta có:

g(x) =

C1,k B1,k =
k∈Z

(C1,2l B1,2l + C1,2l+1 B1,2l+1 ).
l∈Z

Vì g⊥V0 nên C1,2l+1 = −C1,2l , do đó

C1,2l (B1,2l − B1,2l+1 ).

g(x) =
l∈Z

10


1
Mặt khác, H0,l = √ (B1,2l − B1,2l+1 )
2
√
C1,2l H0,l , (C1,2l ) ∈ l2 .
g(x) = 2
l∈Z

Vậy hệ {H0,k }k∈Z là cơ sở trực chuẩn của W0 .

Định lý 1.1. {Hn,k }n,k∈Z là cơ sở trực chuẩn của L2 (R).
Chứng minh. Vì {Hn,k }k∈Z là cơ sở trực chuẩn của không gian Wn , đồng
thời L2 (R) = ⊕Wn nên {Hn,k }k∈Z là cơ sở trực chuẩn của L2 (R). Nghĩa
là hàm H(x) là một wavelet trực chuẩn.
Định nghĩa 1.2.1. Họ các wavelet Haar trên đoạn [0,1] được định nghĩa
bởi hi (x) = 2j/2 h(2j x − k) với i = 2j + k + 1, j > 0. Khi đó, dãy hàm

h1 (x), h2 (x), h3 (x), ... tạo thành 1 cơ sở trực chuẩn của L2 [0, 1].

1.3

Các wavelet Haar trên đoạn bất kỳ

Các wavelet Haar truyền thống chỉ được định nghĩa trên đoạn [0,1]. Với
sự phát triển của lý thuyết wavelet, nhiều nhà toán học như Lepik, Helle
Hein, Chen, Hsiao... đã mở rộng các wavet Haar trên đoạn [A,B] bất kỳ,
trong đó A, B là các hằng số cho trước.
Với mức phân giải tối đa J , đặt M = 2J , họ các wavelet Haar trên

[A, B] được định nghĩa như sau:


, x ∈ [ξ1 (i), ξ2 (i))

1
hi (x) = −1
, x ∈ [ξ2 (i), ξ3 (i))


0

, [A, B] \ [ξ1 (i), ξ3 (i)),

(1.1)

ở đây ξ1 (i) = A + 2kµ∆x, ξ2 (i) = A + (2k + 1)µ∆x

ξ3 (i) = A + 2(k + 1)µ∆x, µ = M/m.
Khoảng [A, B] chia thành 2M khoảng con có độ dài mỗi khoảng bằng

∆x = (B − A)/2M . Với mỗi tham số j = 0, 1, ..., J , đặt m = 2j và
11


k = 0, 1, ..., m − 1 (m = 2j ), chỉ số i = m + k + 1 (i > 1). Riêng trường
hợp i = 1, ta định nghĩa

h1 (x) =

1

, x ∈ [A, B]

0

,x ∈
/ [A, B].

(1.2)

Độ rộng của wavelet Haar thứ i được xác định bằng


ξ3 (i) − ξ1 (i) = 2µ∆x = (B − A)m−1 = (B − A)2−j .
Nếu ta tăng j thì các wavelet Haar trở nên hẹp hơn, do đó m còn được
gọi là tham số giãn. Khi k thay đổi từ 0 đến m − 1 thì điểm ban đầu ξ1 (i)
của wavelet Haar thứ i di chuyển từ x = A đến x = [A + (m − 1)B]/m
và k được gọi là tham số dịch chuyển.
Ở mức phân giải thứ j , các wavelet Haar trực giao với nhau
B

hi (x)hl (x)dx =
A

(B − A)2−j

,l = i

0

, l = i.

(1.3)

Ví dụ 1.1. Cho [A, B] = [0, 1], với J = 2 (tương ứng M = 2J = 4),

j = 0, 1, 2.

h1 (x) =

1


, x ∈ [0, 1]

0

,x ∈
/ [0, 1].

- Trường hợp j = 0, ta có m = 1, k = 0, khi đó


, x ∈ [0, 0.5)

1

h2 (x) =

−1


0

, x ∈ [0.5, 1)
,x ∈
/ [0, 1).

- Trường hợp j = 1, ta có m = 2 và k = 0, 1


, x ∈ [0, 0.25)


1

h3 (x) =

h4 (x) =

−1


0



1

, x ∈ [0.25, 0.5)
,x ∈
/ [0, 0.5).
, x ∈ [0.5, 0.75)

−1


0

, x ∈ [0.75, 1)
,x ∈
/ [0.5, 1).
12



- Trường hợp j = 2, m = 4, k = 0, 3


, x ∈ [0, 0.125)

1
h5 (x) = −1
, x ∈ [0.125, 0.25)


0
,x ∈
/ [0, 0.25).

h6 (x) =




1

, x ∈ [0.25, 0.375)

−1


0




1
h7 (x) = −1


0



1
h8 (x) =

, x ∈ [0.375, 0.5)
,x ∈
/ [0.25, 0.5).
, x ∈ [0.5, 0.625)
, x ∈ [0.625, 0.75)
,x ∈
/ [0.5, 0.75).
, x ∈ [0.75, 0.875)

−1


0

, x ∈ [0.875, 1)
,x ∈
/ [0.75, 1).


Hình 1.2 Biểu diễn các wavelet Haar đầu tiên h1 − h8 ở mức phân giải

J = 2.

1.4

Tích phân của các hàm Haar

Giả sử h1 (x), h2 (x), ..., h2M (x) là họ wavelet Haar trên đoạn [A, B].
Với i = 1, 2M , ta đặt
x

p1,i (x) =

x

pν−1,i (t)d, ∀ν ≥ 2.

hi (t)dt và pν,i (x) =
A

(1.4)

A

Khi đó
x

x


x

···

pν,i (x) =
A

A

1
hi (t)dt =
(ν − 1)!

x

ν

A

(x − t)ν−1 hi (t)dt, (1.5)
A

ν

ν = 1, 2, 3, ..., n, i = 1, 2, ..., 2M.

13


Hình 1.2: 8 wavelet Haar đầu tiên ở mức phân giải J = 2


14


Chứng minh. Để chứng minh công thức (1.5) ta sẽ sử dụng phương pháp
quy nạp.
- Với ν = 2,

x

p2,i (x) =

p1,i (t)dt.
A

Đặt u = p1,i (t) và dv = dt, ta có
x

x

p1,i (t)dt =

t.p1,i (t)|xA

−

t.hi (t)dt

A


A
x

= x.p1,i (x) −

t.hi (t)dt (p1,i (A) = 0)
A

x

x

hi (t)dt −

=x
A
x

t.hi (t)dt
A

(x − t)hi (t)dt.

=
A

Do đó (1.5) đúng với ν = 2.
- Giả sử (1.5) đúng với ν = k > 2, tức là

1

pk,i (x) =
(k − 1)!

x

(x − t)k−1 hi (t)dt.
A

Ta cần chứng minh nó cũng đúng với ν = k + 1, tức là chứng minh
x

pk+1,i (x) =
A

1
pk,i (t)dt =
k!

x

(x − t)k hi (t)dt,
A

Thật vậy
x
A

x
x
1

pk+1,i (t)dt =
( (x − t)k−1 hi (t)dt)dt
(k − 1)! A A
1
1 x
(x − t)k hi (t)dt
=
(k − 1)! k A
1 x
=
(x − t)k hi (t)dt.
k! A

Với hi (x) được định nghĩa trong (1.1) và công thức tính tích phân của
hàm Haar (1.5), ta có:

15


- Trường hợp i > 1


0
x < ξ1




1



x ∈ [ξ1 , ξ2 )
 [x − ξ1 ]ν ,
ν!
pν,i (x) =
1

{[x − ξ1 ]ν − 2[x − ξ2 ]ν },
x ∈ [ξ2 , ξ3 )



ν!


1

 {[x − ξ1 ]ν − 2[x − ξ2 ]ν + [x − ξ3 ]ν }, x ≥ ξ3 .
ν!
- Riêng trường hợp i = 1, ta có ξ1 = A, ξ2 = ξ3 = B , nên
1
pν,1 (x) = (x − A)ν .
ν!
Ví dụ 1.2.


x ∈ [ξ1 (i), ξ2 (i))

 x − ξ1 ,


p1,i (x) =

ξ3 − x,


0

(1.6)

(1.7)

x ∈ [ξ2 (i), ξ3 (i))

x∈
/ [ξ1 (i), ξ3 (i)),




0
x ∈ [A, ξ1 (i))



 1 (x − ξ )2 ,
x ∈ [ξ1 (i), ξ2 (i))
1
2
p2,i (x) =
1

1
2

x ∈ [ξ2 (i), ξ3 (i))

4m2 − 2 (ξ3 − x) ,



 12,
x ∈ [ξ3 (i), B],
4m



0
x ∈ [A, ξ1 (i))



 1 (x − ξ )3 ,
x ∈ [ξ1 (i), ξ2 (i))
1
6
p3,i (x) =
1
1
3

x ∈ [ξ2 (i), ξ3 (i))


2 (x − ξ2 ) + 6 (ξ3 − x) ,
4m



 1 2 (x − ξ2 ),
x ∈ [ξ3 (i), B].
4m

1.5

Ma trận Haar

Muốn sử dụng các wavelet Haar trong việc giải phương trình vi phân,
tích phân hay phương trình đạo hàm riêng, ta cần biểu diễn nó dưới dạng
rời rạc. Trong luận văn này chúng tôi chỉ đề cập đến phương pháp chọn
điểm.
Trước hết, ta biểu thị các điểm lưới bởi

x˜l = A + l∆x, l = 0, 1, ..., 2M,
16

(1.8)


và chọn các điểm sau để thực hiện việc tính toán

xl = 0.5(˜
xl−1 + x˜l ), l = 1, 2, ..., 2M.


(1.9)

Các ma trận H, Pν , ν = 1, n được tạo thành khi thay x bởi các điểm
chọn xl vào (1.1) và (1.6) với các thành phần H(i, l) = hi (xl ), Pν (i, l) =

pνi (xl ). Các ma trận H, Pν là các ma trận vuông kích thước 2M × 2M .
Ví dụ 1.3. Xét trường hợp A = 0, B = 1, J = 1, 2M = 4.
Như vậy có 5 điểm lưới là x
˜0 = 0, x˜1 = 0.25, x˜2 = 0.5, x˜3 = 0.75, x˜4 =

1 và 4 điểm chia lưới x1 = 0.125, x2 = 0.375, x3 = 0.625, x4 = 0.875.
Khi đó




1 1 1 1


1 1 −1 −1


H=

1 −1 0

0



0 0 1 −1

1

1
1
P1 = 
8 1

0

1

1 
1
P2 =

128 1

0

1.6

3 5 5




3 3 1



1 0 0


0 1 1

9 25 49




9 23 31


7 8 8


0 1

7

Khai triển hàm số bằng chuỗi wavelet Haar

Xét hàm f ∈ L2 ([A, B]), gọi hi (x) là các hàm Haar ở mức phân giải

J . Khi đó hàm f này có thể biểu diễn xấp xỉ bởi các hàm Haar như sau
2M

f (x)


fˆ(x) =

ai hi (x),
i=1

17

(1.10)


trong đó, ai là các hệ số wavelet Haar.
(1.10) có thể được viết bằng dạng rời rạc
2M

fˆ(xl ) =

ai hi (xl ),

(1.11)

i=1

với xl là các điểm được chọn trên lưới. Ta cũng có thể biểu diễn dưới dạng
ma trận

f = aH,

(1.12)

trong đó H là ma trận Haar kích thước 2M×2M, a và f là các véc tơ hàng

2M chiều.
Từ (1.12), ta tìm được véc tơ hệ số a = f H −1 , thế vào (1.10) sẽ nhận
được xấp xỉ của hàm f (x) ở mức độ phân giải J. Tính chính xác, tốc độ
hội tụ đến nghiệm chính xác của phương pháp được đánh giá bằng các
hàm sai số

B

∆=

[f (x) − fˆ(x)]2 dx,

(1.13)

A

trong đó, fˆ(x) là hàm xấp xỉ gần đúng của f (x). Ta cũng có dạng rời rạc
của nó

2M

[f (xl ) − fˆ(xl )]2 .

∆J = ∆x

(1.14)

l=1

Wavelet Haar thuộc nhóm các hàm liên tục từng phần, nếu hàm f (x)

đủ trơn thì tốc độ hội tụ là O(M −2 ) (xem tài liệu [1]). Vì vậy có thể dự
tính rằng, bằng cách nhân đôi số điểm chia xl thì sai số sẽ giảm đi 4 lần.

1.7

Các wavelet Haar không đều

Nếu hàm f ở trên có những điểm kỳ dị hoặc khoảng (A, B) là vô hạn
thì cách tiếp cận trên không phù hợp. Vì vậy, ý tưởng đề xuất lý thuyết
wavelet Haar không đều đã được thực hiện bởi Dubeau [4] dựa trên các
bài báo của Lepik.

18


Giả sử [A, B] được chia thành 2M khoảng con với các điểm lưới x
˜(0) =

A, x˜(2M ) = B, x˜(l + 1) > x˜(l), l = 0, 1, ..., 2M − 1. Khi đó, wavelet
Haar không đều thứ i được định nghĩa như sau:


, x ∈ [ξ1 (i), ξ2 (i))

1

hi (x) =

−ci



0

, x ∈ [ξ2 (i), ξ3 (i))

(1.15)

, x ∈ [A, B] \ [ξ1 (i), ξ3 (i)),

trong đó

ξ1 (i) = x(2kµ), ξ2 (i) = x[(2k + 1)µ],
ξ3 (i) = x[2(k + 1)µ], µ = M/m.
Hệ số ci được tính từ

ci =

ξ2 (i) − ξ1 (i)
.
ξ3 (i) − ξ2 (i)

(1.16)

x

Tương tự công thức (1.4), đặt pν,i (x) =

pν−1,i (t)dt. Với i > 1, ta có
A





0



 1 [x − ξ ]ν
1
ν!
pν,i (x) =
1

{[x − ξ1 ]ν − (1 − ci )[x − ξ2 ]ν }

ν!



 1 {[x − ξ1 ]ν − (1 − ci )[x − ξ2 ]ν + ci [x − ξ3 ]ν },
ν!

x < ξ1 ,
x ∈ [ξ1 , ξ2 )
x ∈ [ξ2 , ξ3 )
x ≥ ξ3 .
(1.17)

Trường hợp i = 1, tương ứng với h1 (x) = 1 nếu x ∈ [A, B], h1 (x) = 0 nếu


x∈
/ [A, B] thì ξ1 (1) = A, ξ2 (1) = ξ3 (1) = B, ta có
p1,1 (x) = x − A, p2,1 (x) = 0.5(x − A)2 .
Từ các công thức trên, ta có thể tính được các ma trận H và các ma
trận Pν trên [A, B] tại mức phân giải J cho trước. Sau đây là thuật toán
tính ma trận H và các ma trận Pν trên [0, 1].

1.8

Thuật toán tìm ma trận H và Pν

- Input: Nhập giá mức phân giải J .
19


- Output: Ma trận H, và các ma trận Pν .
Thuật toán tính các ma trận H, Pν trên [0, 1] tại mức phân giải J được
thực hiện qua 4 bước.
B1: Nhập giá trị phân giải J , đặt M = 2J , M 2 = 2M, dX = 1/M 2.
B2: Cho i = 1 : M 2

X(l) = (l − 0.5)dX, H(1, l) = 1, P1 (1, l) = X(l),
X(l)

Pν (1, l) =

Pν−1 (1, l)dt, ν > 1.
0

- Nếu X(l) < 0.5 thì

X(l)

H(2, l) = 1; P1 (2, l) = X(l); Pν (2, l) =

Pν−1 (2, l)dt
0

- Ngược lại, H(2, l) = −1; P1 (2, l) = 1 − X(l)
0.5

Pν (2, l) =

X(l)

Pν−1 (2, l)dt +
0

Pν−1 (2, l)dt, ν > 1.
0.5

B3: Cho j = 1 : J, m = 2j

k1 = 1 : m, k = k1 − 1, ksi1 = k/m, ksi2 = (k + 0.5)/m,
ksi3 = (k + 1)/m.
- Nếu X(l) < ksi1 thì H(i, l) = 0, Pν (i, l) = 0.
- Ngược lại, nếu X(l) < ksi2 thì

H(i, l) = 1, P1 (i, l) = X(l) − ksi1 và
X(l)


Pν (i, l) =

Pν−1 dt, ν > 1.
ksi1

- Ngược lại, nếu X(l) < ksi3 thì

H(i, l) = −1, P1 (i, l) = ksi3 − X(l) và
ksi2

Pν =

X(l)

Pν−1 dt +
ksi1

Pν−1 dt, ν > 1.
ksi2

B4: Xuất ma trận H, các ma trận Pν và kết thúc.
Chương trình tính ma trận H và các ma trận từ P1 − P6 được trình
bày cụ thể ở phần phụ lục.

20


Chương 2

Ứng dụng tìm nghiệm

phương trình vi phân thường

Trong những năm gần đây, cách tiếp cận wavelet đã trở nên phổ biến
trong lĩnh vực phương pháp số để xấp xỉ phương trình vi phân. Phương
pháp này rất hiệu quả và có thể áp dụng trong hầu hết các phương trình vi
phân bậc cao. Chen và Hsiao (1997) [3] là người đầu tiên đã áp dụng thành
công phương pháp wavelet Haar trong việc tìm nghiệm của phương trình
vi phân thường. Đến năm 2007, Lepik đã sử dụng nó để nghiên cứu các
bài toán tuyến tính, phi tuyến, phương trình tích phân và một số phương
trình đạo hàm riêng. Điểm chung của phương pháp này là đạo hàm cấp
cao nhất xuất hiện trong phương trình được biểu diễn xấp xỉ bởi một chuỗi
các hàm Haar, từ đó tính được các đạo hàm thứ tự thấp hơn.
2M

Bước 1: Biểu diễn y

(n)

=

ai hi (x).
i=1

Bước 2: Với ν < n
2M
(ν)

y (x) =

n−ν−1


ai pn−ν,i (x) +
i=1

σ=0

1
(ν+σ)
(x − A)σ y0
, ∀x ∈ [A, B].
σ!

Bước 3: Thay các kết quả thu được ở bước 1, 2 vào phương trình vi
phân ban đầu tại các điểm chọn xl ta được hệ phương trình tuyến tính và
21


giải ra được các hệ số wavelet ai . Từ đó tìm được nghiệm xấp xỉ y(xl ) của
phương trình vi phân. Các kết quả sau chủ yếu được tham khảo từ tài liệu
[12].

2.1

Bài toán giá trị ban đầu

Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp n sau

An (x)y (n) (x) + An−1 (x)y (n−1) (x) + ... + A1 (x)y (x) + A0 (x)y(x) = f (x),
(2.1)
hay


n

Aν (x)y (ν) (x) = f (x), ∀x ∈ [A, B],

(2.2)

ν=0
(ν)

với các điều kiện ban đầu y (ν) (A) = y0 , ν = 0, 1, ..., n − 1, f (x) và Aν (x)
(ν)

là các hàm số đã biết, y0 là hằng số.
Đạo hàm cấp n có thể khai triển bằng các hàm wavelet Haar như sau:
2M

y

(n)

(x) =

ai hi (x),

(2.3)

i=1

Các đạo hàm còn lại được tính bằng cách lấy tích phân n − ν lần trên


[A, x]
2M
(ν)

y (x) =

ai pn−ν,i (x) + Zν (x)

(2.4)

1
(ν+σ)
(x − A)σ y0
, ν = 0, 1, ..., n − 1.
σ!

(2.5)

i=1

với

n−ν−1

Zν (x) =
σ=0

Thật vậy
x


x

x

···
A

A

x

y
A

(n)

(n−ν)

(t)dt

x 2M

x

ai hi (t)dt(n−ν) .

···

=

A

n−ν

A
n−ν

22

A i=1