Bai tap Dai so Nhung chim nua nhom vao nhom

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (735.02 KB, 68 trang )

PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I. NHÓM VÀ NHÓM CON
A. LÝ THUYẾT
1. Nhóm
1.1.Định nghĩa
Cho tập X khác rỗng, * là phép toán hai ngôi trong X. (X,*) được gọi là nhóm nếu:
i) Mọi a,b,c ∈ X, ta có a*(b*c)= (a*b)*c
ii) Tồn tại phần tử e ∈ X sao cho x ∈ X , ta có e*x = x*e = x
,
,
,
iii) Mọi phần tử x ∈ X luôn tồn tại x ∈ X sao cho x * x = x * x = e
Nếu (X,*) có tính giao hoán thì X được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel.

1.2. Định lý ( về điều kiện tương đương với nhóm)

Cho X là tập khác rỗng, * là phép toán hai ngôi thỏa: (a*b)*c=a*(b*c), mọi a, b.c ∈ X . Khi đó
các phát biểu sau là tương đương:
i) X là nhóm
ii) Các phương trình a*x=b và x*a=b có nghiệm trong X, mọi a, b ∈ X
iii)Trong X có phần tử đơn vị trái và mọi phần tử trong X đều có nghịch đảo trái
iv) Trong X có phần tử đơn vị phải và mọi phần tử trong X đều có nghịch đảo phải

1.3. Định lý
Cho (X,.) là một nhóm thì ta có các khẳng định sau:
i) Mỗi phần tử của X chỉ có một phần tử nghịch đảo
ii) Nếu xy = xz ( yx = zx) thì y = z (luật giản ước)
−1
−1 −1
iii) Với mọi x, y ∈ X , ta có (xy) = y x
−1

iv) ( x )-1 = x , với mọi x ∈ X

2. Nhóm con
2.1. Định nghĩa
Cho G là nhóm, H là một tập con khác rỗng của G. Ta nói rằng H là nhóm con của G nếu H với
phép toán cảm sinh của phép toán trong G là một nhóm. Kí hiệu H ≤ G .
Dễ thấy tập hợp chỉ gồm một phần tử đơn vị của nhóm G lập thành một nhóm và được gọi là
nhóm đơn vị . Kí hiệu là 1 hoặc {e}
Nếu H ≤ G , H ≠ 1 , H ≠ G thì H được gọi là nhóm con thực sự của G.
Kí hiệu H < G

2.2. Định lý ( về điều kiện tương đương với nhóm con)

Cho H ⊂ G , H ≠ Ø. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
i) H ≤ G
−1
ii) Mọi x, y ∈ H , thì xy ∈ H và x ∈ H
−1
iii) Mọi x, y ∈ H , ta có xy ∈ H

2.3. Định nghĩa

Cho G là nhóm, H < G
i) H được gọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại N < G sao cho H < N < G .
ii) H được gọi là nhóm con tối tiểu của G nếu H ≠ 1 và không tồn tại K ≤ G sao cho 1 < K < H

.

3. Nhóm con chuẩn tắc
3.1. Định nghĩa

Cho G là một nhóm và H ≤ G . Ta nói rằng H là nhóm con chuẩn tắc của G hay H là ước chuẩn
của G nếu mọi x ∈ G ta có Hx = xH. Kí hiệu H  G

3.2. Một số tính chất
i) Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc
−1
−1
ii)Cho H ≤ G , khi đó H  G khi và chỉ khi xhx ∈ H hoặc x hx ∈ H ,với mọi h ∈ H , với mọi
x∈ X .
iii) G là nhóm, H  G , K ≤ G thì H ∩ K  K
iv) Giao một họ tùy ý khác rỗng các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G là một nhóm con chuẩn
tắc của nhóm G
v) Cho G là nhóm, H  G và K ≤ G . Khi đó KH là nhóm con nhỏ nhất của G chứa H và K
( theo nghĩa bao hàm ) và KH = HK
vi) Cho H 1 , H 2 ,..., H n là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Khi đó H 1 H 2 ...H n  G .

4. Nhóm thương
Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X thì X/A = { xA
xAyA = xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A

x∈ X

} cùng với phép toán

B. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP
Bài toán 1. Chứng minh tập khác rỗng X cùng một phép toán hai ngôi ( . ) lập thành một
nhóm.
Phương pháp giải:

Cách 1. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:
(i) Với mọi x, y, z ∈ X , có (xy)z = x(yz)
(ii) Tồn tại phần tử (đơn vị ) e ∈ X sao ch xe = ex = x, với mọi x ∈ X
,
,
,
(iii) Với mọi x ∈ X tồn tại x ∈ X sao cho xx = x x = e
Cách 2. Ta chứng minh ( X, . ) là một nhóm con của nhóm ( Y, . ), trong đó ( Y, . ) là nhóm đã
biết
Bài toán 2. Chứng minh tập H là nhóm con của nhóm ( X, .)
Phương pháp giải:
Cách 1. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:
(i) Ø ≠ H ⊆ X
−1
(ii) Mọi x, y ∈ H , ta có xy ∈ H và x ∈ H
Cách 2. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:
(i) Ø ≠ H ⊆ X
−1
(ii) Mọi x, y ∈ H , ta có xy ∈ H

Bài toán 3. Chứng minh tập H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm ( X, .)
Phương pháp giải:
Cách 1. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:
(i) H ≤ X
−1
−1
(ii) Mọi h ∈ H , mọi x ∈ X , ta có xhx ∈ H hoặc x hx ∈ H
Cách 2. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:
(i) H ≤ X

(ii) Mọi x ∈ X , ta có xH = Hx
Cách 3. Ta chứng minh H = Kerf với f : X → Y là một đồng cấu nào đó

C. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Bài 1. Trong tập Q, ta định nghĩa phép toán (*) :
a*b = a + b + ab, mọi a, b ∈ Q
a) Hỏi ( Q,*) có lập thành nhóm không ? Tại sao ?
b) Chứng minh rằng nếu a, b ∈ Q\{-1} thì a*b ∈ Q\{-1}
c) Chứng minh rằng ( Q\{-1},*) lập thành một nhóm.
Giải.
a) Dễ thấy 0 là phần tử đơn vị của ( Q,*). Giả sử ( Q,*) lập thành nhóm. Suy ra -1 ∈ ( Q,*) luôn
có phần tử nghịch đảo là b. Khi đó 0 = (-1) * b = (-1) + b + (-1)b = -1. Điều này vô lý . Nên ( Q,*)
không lập thành nhóm.
b) Gọi a, b ∈ Q\{-1}. Giả sử a * b = -1, khi đó a + b + ab =1
( trái giả thiết a, b ≠ -1). Nên a * b ≠ -1. Vậy a * b ∈ Q\{-1}.
c) Gọi a, b, c ∈ Q\{-1}, ta có :
(a*b)*c = ( a + b + ab ) * c = a + b + ab + c + ac + bc + abc
a*( b*c ) = a*( b+ c + bc ) = a + b + c + bc + ab + ac + abc.
Suy ra ( a*b ) * c = a*( b*c ). Nên phép toán có tính kết hợp.

⇔b=

−1− a
= −1
1+ a

−a
Với a ∈ Q\{-1} phần tử nghịch đảo của a là b 1 + a vì
a2

a + a2 − a − a2
 −a 
 − a   − a  a (1 + a ) − a
a *b = a *
−
=
=0
 = a+
 + a
=
1+ a
1+ a
1+ a
1+ a 
1+ a  1+ a 
=

Tương tự b*a = 0
Vậy ( Q\{-1},*) là một nhóm.

Bài 2. Trong tập Q+, ta định nghĩa phép toán (*):
a *b =

ab
2009

, mọi a, b ∈ Q+
Chứng minh rằng (Q+, *) lập thành nhóm Abel.
Giải.
• Ta có Q+ ≠ Ø, Q+ ổn định đối với phép toán (*)

• Mọi a, b, c ∈ Q+, ta có:

( a * b ) * c = 

ab 
abc
abc
 bc 
a * ( b * c) = a * 
*c =
=
2
2
2009 và
 2009 
 2009  2009
Suy ra ( a * b ) * c = a * ( b * c ) . Suy ra Q+ có tính kết hợp.
• Dễ thấy phần tử đơn vị e = 2009. Vì với mọi a ∈ Q+, ta có:
a.2009
2009.a
a * 2009 =
=a
2009 * a =
=a
2009
2009
và

Vậy Q+ có phần tử đơn vị là e = 2009

 2009 2 


a
.
a 
2009 2
aa ,

,
,
a =
a*a =
=
= 2009 = a , * a
+
a . Vì
2009
2009
• Với a∈ Q có phần tử nghịch đảo là
2
2009
a, =
a
Do đó mọi a ∈ Q+ có nghịch đảo

Vậy (Q+,*) lập thành một nhóm.
• Mặt khác mọi a, b ∈ Q+ , ta có

x* y =

xy
yx
=
= y*x
2009 2009

Suy ra (Q+,*) lập thành nhóm giao hoán.
1 0 x 


 0 1 0  , x ∈
 0 0 1 

Bài 3. Cho X = 
Q







Chứng minh rằng X lập thành một nhóm với phép nhân các ma trận.
Giải.
1 0 0
0 1 0  ∈ X



0 0 1
• Ta có
nên X ≠ Ø
1 0 x 
0 1 0  ∈ X


0 0 1 
x∈

• Giả sử A =

,

1 0 x  1 0
0 1 0  0 1


0 0 1  0 0
Ta có AB =

1 0 y 
0 1 0  ∈ X


0 0 1 
Q và B =
, y∈ Q
y
1 0 y + x 


0 1
0
0 

0 0
1 
1  ∈ X
=
( do y +x ∈ Q ).Và A-1 =

Thật vậy
1 0 x  1 0 − x  1 0 x − x 
0 1 0  0 1 0  0 1
0  =


 
1 
AA, = 0 0 1  0 0 1  = 0 0
,
Mà A ∈ X .

1 0 0
0 1 0  = I =
3


0 0 1
A, A .

Vậy X là nhóm con của GL3(R). Do đó ( X, .) lập thành một nhóm.
1 x 

,x∈ 


0 1
Bài 4. Trong nhóm GL2 ( R ), xét tập con H = 
R .

Chứng minh rằng H là nhóm con của GL2 ( R ).
1 0
1 a 
1 b 
α =
∈H
β =
0 1  ∈ H

∈H

0 1 
0 1 
Giải. Ta có H ≠ Ø vì 
. Giả sử
và
.

1 0 − x 

0 1 0 


0 0 1 
.

1
αβ = 
0
Ta có
1
αα −1 = 
0
Thật vậy

a  1 b 1 a + b 
1 − a 
−1
=
∈
H
α
=
0 1 
1  0 1 0
1 

.
( vì a ∈ R, b ∈ R nên a + b ∈ R ) và

a  1 − a  1 0
=
= I 2 = α −1α




1  0 1  0 1 
.

−1
Mà α ∈ H ( do a∈ R nên -a ∈ R ).
Vậy H là nhóm con của GL2 ( R ).

Bài 5. Trong nhóm GL3(R), xét tập con H = { A ∈ GL3(R)
Chứng minh rằng H là nhóm con chuẩn tắc của GL3(R).
Giải. Ta có H ≠ Ø vì I3 ∈ H và H ⊂ GL3(R).
Giả sử A, B ∈ H, khi đó det A = 1, det B = 1.
Ta có det (AB) = det A.det B = 1.1 = 1. Suy ra AB ∈ H

det A = 1

−1

}.

1
1
= =1
và det A-1 = det A 1 . Suy ra A-1∈ H

Ta có det A = 1 nên tồn tại A
Vậy H ≤ GL3(R).
Giả sử C ∈ GL3(R), khi đó det C = 1 và det C -1 = 1
Ta có det ( CAC-1 ) = det C. det A. det C -1 =1. Suy ra CAC-1 ∈ H
Vậy H  GL3(R).

Bài 6. a) Chứng minh rằng giao của một họ bất kỳ những nhóm con của nhóm X là một nhóm con
của nhóm X.
b) Hỏi hợp của các nhóm con của nhóm X có phải là nhóm con của nhóm X không ? Tại sao ?
Giải. a) Giả sử { X α } α∈I là một họ nhóm con của ( X, .)
∩ Xα

, vì e ∈ X α , với mọi α ∈ I nên e ∈ A . Vậy A ≠ Ø
−1
−1
Với x, y ∈ A , thì x, y ∈ X α , với mọi α ∈ I nên xy ∈ X α với mọi α ∈ I .Do đó xy ∈ A
Vậy A là nhóm con cuả X.
b) Hợp của hai nhóm con có thể không là nhóm con.Chẳng hạn X là tập các hàm số thực trên
R. Khi đó ( X, +) lập thành một nhóm Abel, trong đó phép ( +) là cộng hai hàm số thực.
Đặt A =

α ∈I

Gọi X 1 , X 2 là tập các hàm số lẻ và chẵn trên R. Dễ dàng kiểm tra được ( X 1 ,+ ), ( X 2 ,+) là các

3
2
nhóm con của ( X, +). Tuy nhiên X 1 ∪ X 2 không là nhóm. Thật vậy, f( x = x ∈ X 1 , g ( x) = x ∈ X 2
3

2
nhưng f ( x) + g ( x) = x + x ∉ X 1 ∪ X 2

Do đó X 1 ∪ X 2 không là nhóm.

Bài 7. Chứng minh rằng trong một nhóm có 2n phần tử, ngoài phần tử đơn vị còn có một phần tử là
nghịch đảo cuả chính nó.
Giải. Giả sử nhóm A có 2n phần tử A= { e, a 0 , a1 ,...., a 2 n −2 }

Nhận xét nếu a k , al đều có nghịch đảo là a m thì a k a m = e = al a m ⇒ a k = al
Do đó nếu A không có phần tử nào là nghịch đảo cuả chính nó ( ngoài e) thì 2n-2 phần tử tạo
thành (n-1) cặp (

ai , a j )

trong đó

ai , a j

là nghịch đảo của nhau. Mỗi phần tử ở cặp này khác với mỗi

phần tử ở cặp kia. Nên trong A còn có một phần tử at không có phần tử nào là nghịch đảo của nó.
Điều này mâu thuẫn. Do đó trong A ngoài e, còn có một phần tử khác là nghịch đảo của chính nó.
Bài 8. Cho A là một bộ phận khác rỗng của nhóm X. Chứng minh rằng A là nhóm con của X khi và
−1
chỉ khi AA = A .
Giải.
−1
(⇒) Ta có A −1 = { a a ∈ A }. Khi A là nhóm con của X thì A −1 ⊂ A

−1
−1
Vì A ⊂ A nên AA ⊂ A
−1
−1
−1
Mặt khác, mọi a ∈ A ta có a = ae ∈ AA nên A ⊂ AA .
−1
Vậy AA = A

(⇐ ) Giả sử

−1
−1
AA −1 = A . Do đó, mọi a, b ∈ A , ta có ab ∈ AA = A . Suy ra A là nhóm con của

nhóm X.

Bài 9. Cho A, B là nhóm con của nhóm X. Chứng minh rằng A ∪ B là nhóm con của X khi và chỉ
khi A ⊆ B hoặc B ⊆ A .

Giải.

(⇐ ) Giả sử

A ⊆ B hoặc B ⊆ A . Khi đó A ∪ B = B hoặc A ∪ B = A .

Do đó A ∪ B là nhóm con của nhóm X
(⇒) Giả sử A ⊄ B và B ⊄ A . Khi đó A \ B ≠ Ø và B \ A ≠ Ø nên tồn tại a ∈ A / B, b ∈ B / A
−1

ab ∈ A a ab = b ∈ A
ab ∈ A ∪ B ⇒ 
⇒
−1
ab ∈ B
abb = a ∈ B

A
∪
B
Vì
là nhóm con của X nên
Điều này vô lý vì a ∈ A \ B, b ∈ B \ A

Vậy ta phải có A ⊆ B hoặc B ⊆ A .

Bài 10. Cho X là nhóm và a, b, c ∈ X . Chứng minh rằng nếu abc = e thì bca = e, cab = e ( với e là
phần tử đơn vị của X ). Hơn nữa ( ab

)

−1

= a −1b −1 khi và chỉ khi ab = ba

Giải. Ta có ( bca ) = (bca)( bca ) = bc( abc ) a = bca ⇒ bca = e và ( cab ) = ( cab )( cab ) = c(abc)ab =
cab ⇒ cab = e.
Hơn nữa, nếu (ab)-1 = a-1b-1 thì (ab)-1 (ab) = e ⇒ (ba)-1 (ba) = e = (ab)-1 (ba)
2

2

−1
−1
( do (ba)-1 = a-1b-1 = (ab)-1 ). Suy ra ( ab ) ab = ( ab ) ba . Do đó ab=ba ( luật giản ước). Ngược lại
−1
−1 −1
nếu ab = ba, với mọi a, b ∈ X thì (ab)-1 = (ba)-1 nên ( ab ) = a b

2
2 2
Bài 11. Cho X là nhóm, a, b ∈ X . Chứng minh rằng ( ab ) = a b khi và chỉ khi ab = ba.

Giải.

( ⇒) Ta có ( ab ) 2 = abab , mà ( ab ) 2 = a 2 b 2 nên ( ab ) 2 = abab = a 2 b 2 = aabb ⇒ ab = ba ( luật giản

ước )

( ⇐) Ta có ( ab ) 2 = abab , mà

2 2
ab = ba nên ( ab ) = aabb = a b
2

2
Bài 12. Cho X là một nhóm với phần tử đơn vị e. Chứng minh rằng nếu mọi a ∈ X có a = e thì X
là một nhóm Abel

2
2
2
2
2 2
Giải. Ta có mọi a, b ∈ X , ( ab ) = e, a = e, b = e . Do đó ( ab ) = a b = e.

Mà ( ab ) = a b thì ab = ba ( theo bài 11).
Vậy X là nhóm Abel.
2

2

2

Bài 13. Cho H, K là các nhóm con của nhóm X. Chứng minh rằng HK=KH khi và chỉ khi HK là

{hk h ∈ H , k ∈ K } và KH = {kh k ∈ K , h ∈ H }
nhóm con của X, trong đó HK =
Giải.
( ⇒) Giả sử

h1 k1 , h2 k 2 ∈ HK . Ta xét ( h1 k1 )( h2 k 2 ) = h1 ( k1 h2 ) k 2 , do k1 h2 ∈ KH = HK nên tồn tại
k1, ∈ K , h2, ∈ H sao cho k1 h2 = h2, k1, . Nên ( h1 k1 )( h2 k 2 ) = h1 ( k1 h2 ) k 2 = h1 h2, k1, k 2 ∈ HK . Mặt khác mọi
−1
−1
a ∈ HK , ta có a = hk , (h ∈ H , k ∈ K ) ⇒ h ∈ H , k ∈ K

(

)(

)

−1 −1
−1
Lấy b = k h ∈ KH = HK . Ta có ab = ba = e ∈ HK ⇒ b = a ∈ HK
Vậy HK là nhóm.

( ⇐) Mọi

( )

a = a −1

−1

a ∈ HK ⇒ a −1 = hk (h ∈ H , k ∈ K ) . Khi đó
= ( hk )

−1

= k −1 h −1 ∈ KH . Do đó HK ⊂ KH . Mặt khác, giả sử
(k1 ∈ K , h1 ∈ H ) . Lấy n = h1−1 k1−1 ∈ HK ⇒ n −1 ∈ HK ( HK là nhóm).
−1
Ta có mn = nm = e ∈ HK ⇒ m = n ∈ HK . Do đó KH ⊂ HK . Vì thế HK = KH

m = k1 h1 ∈ KH

n

Bài 14. Giả sử A là nhóm Abel, với mỗi số tự nhiên n> 1, ta đặt An = { x ∈ A : x = e} . Chứng minh
rằng:

a) An là nhóm con của A

b) Nếu (m, n) = 1 thì An ∩ Am = { e}

Giải. a) Mọi x, y ∈ An thì x = e, y = e
−1
−1 n
n
−1 n
n
n −1
Ta có ( xy ) = x ( y ) = x ( y ) = e ( do A là nhóm Abel), nên xy ∈ An . Hiển nhiên e
n

n

∈ An nên An ≠ Ø
Vậy An là nhóm con của nhóm A.

a n = e
 m

b) Vì ( m, n) =1 nên tồn tại u, v ∈ Z sao cho mu+nv=1. Gọi a ∈ An ∩ Am , suy ra a = e , khi

mu + nv
= (a m ) (a n ) = e
đó a = a

u

v

Vậy Am ∩ An = { e}

Bài 15. Chứng minh rằng tập con khác rỗng A của nhóm cộng các số nguyên Z là nhóm con của Z
khi và chỉ khi A = mZ, với m ∈ Z
Giải.

( ⇐) Hiển nhiên A = =mZ = { mk k ∈ Z } là nhóm con của Z
( ⇒) Giả sử A là nhóm con của nhóm ( Z, +)
Nếu A = { 0} thì A= 0Z

Nếu A ≠ { 0} thì A chứa những số dương. Suy ra tồn tại m là số nguyên dương nhỏ nhất thuộc
A. Ta chứng minh A = mZ .
Thật vậy, vì m ∈ A và A là nhóm nên mZ ⊂ A
Với a ∈ A , thì a = mp + r (0 ≤ r < m)
Do đó r =a- mp ∈ A ( p, r ∈ Z ).
Điều này mâu thuẫn với m là số nguyên dương nhỏ nhất thuộc A nên r = 0 ⇒ a = mp ⇒ A ⊂
mZ
Vậy A= mZ
Bài 16. Cho một họ những nhóm ( X i ) i∈I mà các phép toán ký hiệu bằng dấu nhân. Chứng minh tập
hợp tích Descartes

Π Xi

i∈I

với phép toán xác định như sau:

( xi ) i∈I ( y i ) i∈I = ( xi y i ) i∈I là một nhóm
X = Π X i = {( xi ) i∈I xi ∈ X i , i ∈ I }
i∈I

Giải. Đặt
Giả sử α = ( xi ) i∈I , β = ( yi

( βγ )

)

(αβ )γ = [ ( xi ) i∈I ( yi ) i∈I ]( z i ) i∈I

, γ = ( z i ) i∈I thuộc X. Ta xét
= ( xi y i ) i∈I ( z i ) i∈I = ( ( xi y i ) z i ) i∈I = ( xi ( y i z i ) )

i∈I

i∈I

= ( xi ) i ∈ I [( y i ) i ∈ I ( z i ) i ∈ I ] = α

Suy ra phép nhân có tính kết hợp

Gọi ei là đơn vị của nhóm X i với mọi i ∈ I . Dễ thấy phần tử e = ( ei ) i∈I là phần tử đơn vị của X
vì

eα = ( ei ) i∈I ( xi ) i∈I = ( ei xi ) i∈I = ( xi ) i∈I = α

αe = ( xi ) i∈I ( ei ) i∈I = ( xi ei ) i∈I = ( xi ) i∈I = α

( )

−1
,
Giả sử α = ( xi ) i∈I ∈ X , khi đó α = xi

( )

α ,α = xi −1 i∈I ( xi ) i∈I = ( xi−1 xi ) i∈I = ( ei ) i∈I = e
Vậy X là một nhóm.

i∈I

−1
, với xi là nghịch đảo của xi trong X i thỏa

Bài 17. Cho X là tập tùy ý. Kí hiệu Map(X, X) là tập hợp các ánh xạ từ X đến X. Với phép nhân ánh
xạ Map(X, X) có lập thành nhóm hay không ? Tại sao ?
Chứng minh rằng bộ phận S(X) của Map(X, X) gồm các song ánh từ X đến X là một nhóm với
phép nhân các ánh xạ. Hãy tìm số phần tử của S(X) trong trường hợp X có n phần tử ( n ∈ N, n ≥ 1 )
Giải.
• Ta có phép nhân các ánh xạ có tính kết hợp và ánh xạ đồng nhất là phần tử đơn vị.
Nếu X = {0, 1, 2} và f: X → X
x0

Khi đó f ∈ Map(X, X).
Nếu Map( X, X) là nhóm thì f phải có phần tử nghịch đảo, giả sử đó là g ∈ Map(X, X), khi đó

fg = 1X, điều này không thể vì fg(1) = f(g(1)) = 0 ≠ 1X(1) = 1. Do đó f không có phần tử nghịch đảo.
Vậy Map(X, X) không lập thành một nhóm
• Ta có tích hai song ánh từ X đến X là một song ánh từ X đến X , phép nhân ánh xạ có tính kết
hợp, ánh xạ đồng nhất 1 X của X là một song ánh nên 1 X ∈ S ( X )

−1
−1
−1
Nếu f ∈ S ( X ) thì f là một song ánh do đó f có ánh xạ ngược f ∈ S ( X ) và ff = f f = 1 X
Vậy S(X) là một nhóm với phép nhân ánh xạ.

• Giả sử X = { x1 , x2 ,...., x n } . Với mỗi hoán vị ( xi1 , xi 2 ,...., xin ) của X ta có một song ánh f :
X → X xác định bởi: f ( x j ) = xij , j = 1, n . Đảo lại, với mỗi song ánh f : X → X , cho ta một hoán

vị của X.
Vậy số phần tử của S(X) bằng số hoán vị n phần tử đó là n !
Bài 18. Cho Y là một bộ phận của tập hợp X. Chứng minh rằng bộ phận S( X,Y) của S (X) gồm các
song ánh f : X → X sao cho f(Y) = Y là một nhóm con của
S(X) . Tìm số phần tử của S (X,Y) trong trường hợp X có n phần tử, Y có một phần tử.
Giải. Ta có 1X(Y) = Y nên S ( X , Y ) ≠ Ø.
Giả sử f , g ∈ S ( X , Y ) . Khi đó f(Y) = Y, g(Y) = Y, do đó gf(Y) = g(f(Y)) = g(Y) = Y. Nên
gf ∈ S ( X , Y ) .
−1
−1
−1
Mặt khác f ( Y ) = f ( f ( Y ) ) = f f ( Y ) = 1 X ( Y ) = Y

Vậy f ∈ S ( X , Y ) nên S(X,Y) là nhóm con của S(X).
Nếu X có n phần tử và Y có một phần tử thì S(X,Y) có (n-1) ! phần tử, nó ứng với số các hoán

vị của n-1 phần tử của tập X\Y.
Tổng quát số phần tử của S(X,Y) trong trường hợp X có n phần tử, Y có phần tử là k!(n- k) !
−1

D. MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
 − 1
\ 
1) Cho X = R  2  , trên X ta xây dựng phép toán (*):
x*y = x+2xy+y
(x, y ∈ X )

Chứng minh rằng (X, *) lập thành một nhóm Abel.
2) Trong X = Z × Z, ta xây dựng phép toán (*):

( a, b ) * ( c, d ) = ( a + c, ( − 1) c b + d ) .

Chứng minh rằng (X, *) lập thành một nhóm , không Abel.
  a 0

H = 
, ab = 1

 0 b 

3) Trong GL2(R), cho tập con

Chứng minh rằng H là nhóm con của GL2(R).
3
2
4) a) Cho α , β ∈ S 8 , α = (123)( 4568) , β = ( 34)( 52618) . Tính α , β α , αβ .

b) CMR: K = { e, (12)( 34 ) , (13)( 24) , (14 )( 23)} là nhóm con giao hoán của nhóm S4. Nhóm này gọi
là nhóm Klein.
5) Giả sử a, b là các phần tử của nửa nhóm X ( tức X ≠ Ø và đóng kín đối với phép toán trên

n
n n
X ) sao cho ab=ba. Chứng minh ( ab ) = a b , với mọi số tự nhiên n ≥ 1 .
*

6) a) Chứng minh rằng ( Z p , . ) lập thành nhóm giao hoán , với p là nguyên tố
b) Tìm phần tử nghịch đảo của 2, 4, 7, 8 trong Z11

7) Các mệnh đề sau đúng hay sai:
a) Cho G là nhóm, H , K ≤ G , nếu HK=KH thì HK ≤ G
b) Với e là phần tử đơn vị của G. Nếu y2=e với mọi y ∈ G thì G là nhóm Abel.
c) X là nhóm, A ⊆ X , A ≠ Ø. Nếu A ≤ X thì AA-1=A.
d) Cho (G, .) là một nhóm, với x, y, z ∈ G .
Nếu xy = xz thì y = z.
e) Cho G là nhóm, nếu H là tập con của G, H ≠ Ø có chứa phần tử đơn vị và các phần tử
của H đều có phần tử nghịch đảo thuộc H thì H là nhóm con của G.
f) Trong một nhóm có 100 phần tử, ngoài phần tử đơn vị, không có phần tử nào là nghịch
đảo của chính nó

CHƯƠNG II. NHÓM HỮU HẠN SINH
A. LÝ THUYẾT
1. Tâm giao hoán
1.1. Định nghĩa

Cho G là một nhóm và A ⊂ G, A ≠ Ø. Khi đó tập:
C ( A) = { x ∈ G xa = ax, ∀a ∈ A}

được gọi là tâm của tập A.

Trường hợp đặc biệt A = { a} thì C(A) được kí hiệu là Ca và được gọi là tâm của phần tử a
Trường hợp A = G thì C(A) được gọi là tâm của G và kí hiệu là Z(G). Tức là Z(G)=

{ x ∈ G xa = ax, ∀a ∈ G}
1.2. Tính chất

Cho G là nhóm. Khi đó
i) C(A) ≤ G
ii) Z(G)  G

2. Định nghĩa
−1 −1
Cho G là nhóm , với x, y ∈ G ta gọi x y xy là một hoán tử của G

Nhóm con sinh bởi tập tất cả các hoán tử của G được kí hiệu là [ G, G ] .
Nếu G là nhóm thì [ G, G ]  G

3. Định nghĩa

Cho G là nhóm, S ⊂ G
i) Nhóm con nhỏ nhất của G chứa S được gọi là nhóm con sinh bởi tập S và kí hiệu là <S>
ii) Với H ≤ G, H =< S > . Ta nói nhóm con H được sinh bởi S hay S là tập sinh của H.
Đặc biệt H = G, ta nói G là nhóm sinh bởi tập S hay S là tập sinh của G.
iii) Nếu G có một tập sinh hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn sinh.

Đặc biệt, nếu G có tập sinh chỉ gồm một phần tử thì G được gọi là nhóm xiclic.
iv) Nếu S = { x1 , x2 ,..., x n } thì < S >=< x1 , x 2 ,..., xn >

4. Định nghĩa
Một nhóm G được gọi là nhóm xiclic nếu G được sinh bởi một phần tử a nào đó của G ,
G=<a>. Khi đó a gọi là phần tử sinh của G.

5. Phân loại nhóm xiclic

Giả sử G là nhóm xiclic sinh bởi a, G =< a > . Khi đó xảy ra hai trường hợp sau
i) Tất cả các lũy thừa am ( m ∈ Z ) khác nhau đôi một. Trường hợp này G là nhóm xiclic vô hạn.
ii) Tồn tại những lũy thừa bằng nhau. Chẳng hạn ak = al ( k ≠ l ) thì G là nhóm xiclic hữu hạn

6. Cấp của phần tử
6.1. Định nghĩa
Cho G là nhóm
i) Cấp của G chính là lực lượng của G và kí hiệu là
Nếu

G

G

.

hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn, ngược lại G được gọi là nhóm vô hạn.

a
ii) Cấp của phần tử a ∈ G là cấp của nhóm <a> và kí hiệu là .

Nếu

a

hữu hạn thì a gọi là phần tử có cấp hữu hạn. Ngược lại, a được gọi là phần tử có cấp vô

hạn.
iii) Nhóm G gọi là nhóm xoắn nếu mọi phần tử trong G đều có cấp hữu hạn.
iv) Nhóm G gọi là không xoắn nếu trong G chỉ có duy nhất phần tử đơn vị có cấp hữu hạn.

B) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP
Bài toán 1. Cho phần tử x thuộc G. Chứng minh |x| = n < ∞
Phương pháp giải:
n −1

Cách 1. Ta chứng minh rằng x ≠ e, x ≠ e,..., x ≠ e, x = e
Cách 2. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:
(i) xn = e
(ii) Giả sử tồn tại k ∈ Z sao cho xk = e. Ta chứng minh n|k.
2

3

n

Bài toán 2. Cho x thuộc nhóm G. Chứng minh x có cấp vô hạn
Phương pháp giải. Lấy mọi m, n thuộc Z sao cho m ≠ n. Ta cần chứng minh xm ≠ xn.
Bài toán 3. Cho G là nhóm cấp n. Chứng minh G xylic
Phương pháp giải:
Cách 1. Lấy mọi y ∈ G. Ta cần chỉ ra phần tử a ∈ G sao cho y = ak, k ∈ Z

Cách 2. ta cần chứng minh tồn tại a ∈ G sao cho |a| = n
Bài toán 4. Chứng minh G là nhóm hữu hạn sinh
Phương pháp giải. Ta cần chỉ ra tập S ⊆ G sao cho

(i) S hữu hạn phần tử
(ii) <S> = G

C) MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Bài 1. Cho G là nhóm. Chứng minh rằng:
a) Nếu S bằng rỗng thì < S >= { e}

n
n
n
b) Nếu S khác rỗng thì <S> = { x1 x 2 ...x k | xi ∈ S , k , ni ∈ Z, i= 1, k }
Giải. a) Hiển nhiên.
1

k

2

n
n
n
b) Nếu S khác rỗng , đặt H = { x1 x 2 ...x k | xi ∈ S , k , ni ∈ Z, i= 1, k }
Ta sẽ chứng minh H=<S>.
1

k

2

m

n
m
n
n
m
Thật vậy, lấy hai phần tử x,y bất kỳ thuộc H. Khi đó x = x1 x 2 ...x k ; y = y1 y 2 ... y l , với
1

xi , y j ∈ S ; n i , m j ∈
xy

−1

(

= x x ...x
n1
1

n2
2

−1

nk
k

Z

)( y

m1
1

m2
2

y ... y

ml
l

− m1

)

−1

(

(i= 1, k , j = 1, l ).

= x x ...x

− m2

n1
1

n2
2

− ml

nk
k

)( y

− ml
l

... y

− m2
2

y

m1
1

2

k

1

l

Suy

).

ra

Hay xy = x1 x 2 ...x k y1 y 2 ... yl . Do đó xy ∈ H , nên H ≤ G
Hiển nhiên ta có S ⊂ G
,
Giả sử tồn tại H là nhóm con của G chứa S. Lấy phần tử x bất kỳ thuộc H. Khi đó
n1

n2

nk

−1

x = x1n1 x 2n2 ...x knk , với xi ∈ S , k , ni ∈ Z, i= 1, k . Vì xi ∈ S ⊂ H , và H , ≤ S nên xini ∈ H , . Suy ra
x1n1 x 2n2 ...x knk ∈ H , hay x ∈ H , . Do đó H ⊂ H , . Theo định nghĩa của nhóm con sinh bởi tập hợp thì
H =< S > .

Bài 2. Cho G là nhóm, A, B là hai tập con của G. Chứng minh rằng:
a) Nếu A ⊂ B thì < A >⊂

b) < A ∪ B >=<< A > ∪ B >=< A∪ >=<< A > ∪ >
c) Nếu Ai ⊂ G, i = 1, n thì

n

n

i =1

i =1

< ∪ Ai >=< ∪ < Ai >>

.

Giải. a) Lấy x bất kỳ thuộc <A>. Khi đó x = x1 x 2 ...xk , với xi ∈ A; ni , k ∈ Z, i= 1, n . Hay
x = x1n x 2n ...x kn , với xi ∈ B; ni , k ∈ Z, i= 1, n . Do đó x ∈ .Vậy < A >⊂
b) Trước tiên ta chứng minh < A ∪ B >=<< A > ∪ B > .
Ta có A ∪ B ⊂< A > ∪ B nên < A ∪ B >⊂<< A > ∪ B >
(2.1)
n1

1

2

n2

nk

k

n
n
n
Lấy x bất kỳ thuộc << A > ∪ B > . Khi đó x = x1 x 2 ...xk với xi ∈< A > ∪ B , ni , k ∈ Z, i= 1, k .
1

2

k

Nếu xi ∈ B , ∀i = 1, k thì x ∈< A ∪ B >
Nếu xi ∈< A >, ∀i = 1, k thì xi ∈< A ∪ B > (do < A >⊂< A ∪ B > . Do đó x ∈< A ∪ B > .
Nếu x1 , x 2 ,..., xl ∈ B, xl +1 ,..., x k ∈< A > , với l
x j ∈< A ∪ B >

Khi đó

xi ∈< A ∪ B > , với i = 1, l ,

, với j = l + 1, k (vì < A >⊂< A ∪ B > và B ⊂< A ∪ B >) . Suy ra x ∈< A ∪ B >
Do đó << A > ∪ B >⊂< A ∪ B >
(2.2)
<
A
∪
B
>=<<