Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

CHƯƠNG IV. HÀM SỐ y  ax 2  a  0  . PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
§1§2. HÀM SỐ y  ax 2  a  0  . ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y  ax 2  a  0 

Bài 1:
2
1) Cho hàm số y  ax
a) Xác định a, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;-4)
b)Vẽ đồ thị của hàm số với a vừa tìm được ở câu trên
1
2) Cho hai hàm số y = x 2 và y = - x + 6. Vẽ đồ thị hai hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ
3
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =  m2  1 x 2
Bài 2:
1) Cho hàm số y = f(x) = x 2
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số trên với đồ thị hàm số y = - x + 2
2) Tìm giá trị của m, biết rằng hàm số y = (1 – m) x 2 đồng biến khi x > 0
3) Cho hàm số y = (m – 1) x 2 . Tìm giá trị của m biết đồ thị (P) của hàm số đi qua điểm A(2; -4)
Bài 3:
1) Cho đồ thị hai hàm số y = x 2 (P) và y = 2x (d). Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)
1
2) Cho hàm số y =  x 2 . Biết rằng điểm M(m; -1) thuộc đồ thị của hàm số. Tìm m.
4
3) a) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2 x 2
b) Với giá trị của m thì đường thẳng y = m khơng cắt đồ thị của hàm số y = 2 x 2

Bài 4: Cho hai hàm số y = x 2 và y = 2x – 1
a) Vẽ đồ thị (P) và (d) của hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)
§4. CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1:
1) Giải phương trình: x 2  1  2 x  2  0





2) Tìm m để phương trình x  (2m  1) x  m  0 có nghiệm kép và tính nghiệm kép với m vừa tìm được
3) Tìm m để phương trình x 2 + 2x + m – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2:
1) Tìm m để phương trình x 2 + x – m = 0 có hai nghiệm phân biệt
2) Tìm m để phương trình x 2 - 3x + m = 0 vô nghiệm
3) Chứng minh rằng phương trình x 2 - ax – 2 = 0 ln có hai nghiệm phân biệt với mọi a.
4) Tìm m để phương trình x 2 -  m2  m  x  2  0 có nghiệm
2

2

5) Tìm m để phương trình m x 2 +(2m – 1)x + m + 2 = 0 có nghiệm
6) Tìm m để đồ thị hai hàm số y = x 2 và y = 2mx + 4 cắt nhau tại hai điểm phân biệt
7) Tìm tọa độ giao điểm của Parabol y = 2 x 2 (P) và đường thẳng y = 5x + 3 (d)
§5. CƠNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
Bài 1:
1) Giải phương trình bằng cơng thức nghiệm thu gọn: x 2 - 2 3 x – 6 = 0
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 2 + 2mx + 4 = 0
3) Tìm tọa độ giao điểm của Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d): y = 2x + 3

Bài 2:
1) Tìm m để phương trình x 2 - 2(m – 1)x + m + 5 = 0 có nghiệm kép
2) Tìm tọa độ giao điểm của (P): y = - x 2 và đường thẳng (d): y = 2x – 3
3) Tìm m để phương trình x 2 - 2(m -1)x + m – 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt
4) Tìm m để phương trình m x 2 +2(m + 1)x + m – 3 = 0 có nghiệm
5) Chứng minh rằng phương trình x 2 - 2mx – 1 = 0 ln ln có hai nghiệm phân biệt
1


Page, web: daytoan.edu.vn
HL: 0947 00 88 49
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc
Thiên Lơi + Lương Khánh Thiện - HP
§6. HỆ THỨC VI - ÉT VÀ ỨNG DỤNG

b

 S  x1  x2   a

 P  x .x  c
1 2

a
* Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 với a ≠ 0
1) Dạng đặc biệt: Nêu lí thuyết. Bài tập SGK
2) Cho trước 1 nghiệm từ đó tìm ra giá trị tham số và nghiệm cịn lại. Bài tập SGK
VD1: Cho phương trình: 2 x2  mx  8  0

(*)


Xác định m để phương trình (*) có một nghiệm là – 1. Tính nghiệm cịn lại
2
VD2: Cho phương trình bậc hai sau: x  (m  1) x  2m  2  0

(1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2
b) Tìm m để x = -2 là một nghiệm của phương trình (1)
VD3: Cho phương trình x2  3x  m  2  0 (1)
Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng – 3? Tìm nghiệm cịn lại
2
VD4: Cho phương trình: x  (3  m) x  2(m  5)  0
a) CMR với mọi giá trị của m phương trình (1) ln có nghiệm x1  2
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x2  1  2 2
* Dạng 2: Lập phương trình bậc hai. Nêu lí thuyết tổng, tích
1) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm 𝑥1 ; 𝑥2
VD1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là -1 và 2
VD2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2 và 3
VD3: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 3a và a
VD4: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 1 + √2 và 1 - √2
2) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa 2 nghiệm của phương trình cho trước
VD1: Cho phương trình x 2 + x – 3 = 0 có hai nghiệm là x1 , x2 . Lập p.trình bậc hai có hai nghiệm là
VD2: Lập p.trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn các điều kiện: x1  x2  1 và

1
1
và
x1
x2


x1
x
13
 2 
x1  1 x2  1 6

VD3: Cho phương trình 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 . Khơng giải phương trình hãy lập phương
trình bậc 2 ẩn y có 2 nghiệm thỏa mãn: 𝑦1 = 𝑥1 +

1
𝑥1

; 𝑦2 = 𝑥2 +

1
𝑥2

VD4: Cho phương trình 3𝑥 2 + 5𝑥 − 6 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 . Khơng giải phương trình hãy lập
phương trình bậc 2 ẩn y có 2 nghiệm thỏa mãn: 𝑦1 = 𝑥1 +

1
𝑥1

2

; 𝑦2 = 𝑥2 +

1
𝑥2



Page, web: daytoan.edu.vn
HL: 0947 00 88 49
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP
* Dạng 3: Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng. Nêu lí thuyết
VD1: Tìm hai số a và b biết a + b = - 1 và ab = - 6
VD2: Tìm hai số a và b biết a + b = 3 và ab = 2
VD3: Tìm hai số a và b biết a + b = 9 và ab = 41
* Dạng 4: Tính giá trị biểu thức nghiệm:
Dạng tổng đối xứng: chủ yếu đưa biểu thức về dạng chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức vi –
ét rồi tính giá trị biểu thức
+) 𝑥12 + 𝑥22 = (𝑥12 + 2𝑥1 𝑥2 + 𝑥22 ) − 2𝑥1 𝑥2 = (𝑥1 + 𝑥2 )2 − 2𝑥1 𝑥2
+) 𝑥13 + 𝑥23 = (𝑥13 + 3𝑥12 𝑥2 + 3𝑥1 𝑥22 + 𝑥23 ) − 3𝑥12 𝑥2 − 3𝑥1 𝑥22 = (𝑥1 + 𝑥2 )3 − 3𝑥1 𝑥2 (𝑥1 + 𝑥2 )
+) 𝑥14 + 𝑥24 = (𝑥12 )2 + (𝑥22 )2 =(𝑥12 + 𝑥22 )2 − 2𝑥12 𝑥22 = [(𝑥1 + 𝑥2 )2 − 2𝑥1 𝑥2 ]2 − 2𝑥12 𝑥22
+)

1
𝑥1

+

1
𝑥2

=

𝑥1 +𝑥2
𝑥1 𝑥2


VD1: Cho phương trình x 2 -x – 10 = 0. Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và tính x12  x22 .
VD2: Khơng giải phương trình, chứng tỏ phương trình 2 x 2 - 3x – 6 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 .
Tính x13  x23
VD3: Khơng giải phương trình 𝑥 2 − 14𝑥 + 29 = 0. Hãy tính:
a)

1
𝑥1

+

1
𝑥2

c) x12  x22

b)

1−𝑥1
𝑥1

+

1−𝑥2
𝑥2

d) 𝑥14 + 𝑥24

VD4: Cho phương trình: x2  7 x  4  0 . Chứng tỏ phương trình trên có hai nghiệm x1 , x2 . Khơng giải phương
trình hãy tính x1  x2 và x1.x2 .

VD5: Cho phương trình: x2  2 x  1  0 có hai nghiệm là x1 , x2 . Tính giá trị của biểu thức S 
VD6: Khơng cần giải phương trình, chứng tỏ rằng phương trình





x2 x1

x1 x2

3  1 x 2  2 x  3  0 có hai nghiệm phân

biệt và tính tổng các bình phương hai nghiệm đó.
* Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình khơng phụ thuộc vào tham số
- Bước 1: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm
- Bước 2: Áp dụng hệ thức vi – ét S = 𝑥1 + 𝑥2 và P = 𝑥1 𝑥2 theo tham số
- Bước 3: Dùng quy tắc cộng hoặc thế để khử tham số ta được hệ thức cần tìm.
VD1: Cho phương trình: 𝑥 2 − 𝑚𝑥 + 2𝑚 − 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào
tham số m
VD2: m𝑥 2 − (2𝑚 − 3)𝑥 + 𝑚 − 4 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
VD3: (m-1)𝑥 2 − 2𝑚𝑥 + 𝑚 − 4 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
VD4: 𝑥 2 − (𝑚 + 2)𝑥 + 2𝑚 − 1 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
VD5: 𝑚𝑥 2 − 2(2𝑚 + 3)𝑥 + 𝑚 − 5 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

3


Page, web: daytoan.edu.vn
HL: 0947 00 88 49

FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP
* Dạng 6: Xác định dấu các nghiệm của phương trình
- Pt có 2 nghiệm khác dấu  ac < 0 và không quan tâm ∆
∆> 0
𝑥
+
- Phương trình (1) có 2 nghiệm pb dương  { 1 𝑥2 > 0
𝑥1 . 𝑥2 > 0
-

∆> 0
𝑥
+
Phương trình (1) có 2 nghiệm pb âm  { 1 𝑥2 < 0
𝑥1 . 𝑥2 > 0

-

Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu  a.c < 0

-

Phương trình (1) có 2 nghiệm cùng dấu  {

∆≥0
𝑎𝑐 > 0

- Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm dương ( có nghiệm dương) ta xét các trường hợp có thể xảy ra:
+ Trường hợp 1: Phương trình có 2 nghiệm trái dấu  a.c < 0

∆=0
+ TH 2: Phương trình (1) có nghiệm kép dương  { -b
2a > 0
∆≥0
n
+ TH 3: Pt (1) có 2 o dương { 𝑆 > 0
𝑃>0
∆>0
+ TH 4: Pt (1) có 1 no =0 và 1 no > 0 { 𝑆 > 0
𝑃=0
- Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm âm: tương tự 4 trường hợp
- Phương trình (1) có nghiệm không dương ta xét các trường hợp xảy ra:
+ TH 1: phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu  a.c < 0
∆≥0
𝑃=0
∆≥0
+ TH 3: Phương trình (1) có 2 nghiệm âm  { 𝑆 < 0
𝑃>0
+TH 2: Phương trình (1) có 1 nghiệm = 0  {

Phương trình (1) có nghiệm khơng âm ta xét tương tự.
VD1: Tìm m để phương trình x 2 + 4x + m = 0 có hai nghiệm khác dấu
VD2: Tìm m để phương trình x 2 - 2x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt và cùng dương.
VD3: Tìm m để phương trình x 2 - 2(m -1)x + 2m – 5 = 0 có hai nghiệm cùng dương
VD4: Cho pt x 2 - 2(m – 1)x + m – 3 = 0. Tìm m để pt có hai nghiệm khác dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối
2
VD5: Cho phương trình: x  2(m  1) x  2m  3  0
a) CMR phương trình đã cho ln ln có nghiệm với mọi giá trị của tham số m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
VD6: Cho phương trình: x2  2mx  m  1  0

a) Giải phương trình khi m = 2
b) CMR: Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt, với mọi m. Hãy xác định m để phương trình có
nghiệm dương
VD7: Cho phương trình 3x2  5x  7m  0 . Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm dương
-

VD8: Cho phương trình x2  3x  m  2  0 .Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm
VD9: Cho phương trình: 2 x2  mx  8  0 . Xác định m để phương trình có nghiệm âm
VD10: Cho phương trình: 𝑥 2 − 2(𝑚 − 1)𝑥 + 2𝑚 − 5 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu. Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì?
VD11: 𝑥 2 + 𝑚𝑥 + 2𝑚 − 4 = 0. Xác định m để phương trình có ít nhất 1 nghiệm không âm.
4


Page, web: daytoan.edu.vn
HL: 0947 00 88 49
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP
* Dạng 7: Tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm
VD1: Tìm m để phương trình có nghiệm và tính tổng, tích các nghiệm theo m: x 2 - 2(m – 1)x + m -3 = 0
VD2: Cho (P): y =  x 2 và đường thẳng (d): y = mx - 1
a) CMR với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) ln cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b) Gọi x1 , x2 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và (P). Tìm m để: x12 x2  x22 x1  x1 x2  3
2
2
VD3: Cho phương trình bấc hai ẩn x, tham số m: x  2(m  1) x  m  1  0 . Tính giá trị của m để phương trình

có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1  x2  x1 x2  1
2

VD4: Cho phương trình: x  2(m  1) x  m  5  0 (x là ẩn số, m là tham số)

a) CMR phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi giá trị của m
b) tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x12  x22  10
VD5: Cho phương trình: x2  mx  2  0
a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình. Tìm m để x12  x22  3x1 x2  14
VD6: Tìm m để phương trình x 2 + 2x + m = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 3x1  2 x2  1
VD7: Cho phương trình x 2 - 4x + m = 0. tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 và x1  x2  4
VD8: Cho phương trình: x  2(m  1) x  m  2  0
a) Giải phương trình đã cho khi m = 1
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x12  x22  10
2

2

𝑥1 − 𝑥2 = 3
𝑥13 − 𝑥23 = 9
2
VD10: Tìm giá trị của k để phương trình: x  (5  k ) x  k  0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện
VD9: (HP – 09) chop t: 𝑥 2 + 𝑚𝑥 + 𝑛 = 0 (1). Tìm m, n biết pt có 2 nghiệm 𝑥1 ; 𝑥2 thỏa {

x12  x22  18
VD11: Cho phương trình: x2  2 x  m  3  0
a) Giải phương trình với m = 3
b) Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện 𝑥13 + 𝑥23 = 3

2
VD12: Cho phương trình:  m  1 x  2(m  1) x  m  2  0
a) Giải phương trình với m = 3


b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn

1 1 3
 
x1 x2 2

VD13: Cho phương trình: x  2(m  3) x  m  3  0
a) tìm m để phương trình có nghiệm kép? Hãy tính nghiệm kép đó.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1  x2  2
2

2

VD14: Cho phương trình x 2 - 2mx – 1 = 0. Tìm m để x12  x22 - x1.x2 = 7 với x1 , x2 là hai nghiệm của ph.trình.
VD15: Tìm m để phương trình 𝑥 2 − 𝑚𝑥 + 𝑚2 − 7 = 0 có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đơi nghiệm kia
VD16: Cho phương trình 2𝑥 2 − 4𝑚𝑥 + 2𝑚2 − 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn A = 2𝑥12 + 4𝑚𝑥2 + 2𝑚2 − 1 > 0
VD17: 𝑥 2 − 𝑎𝑥 − (𝑎 + 3) = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt
b) Tìm các số ngun a sao cho phương trình (1) có nghiệm nguyên
VD18: (a +1)𝑥 2 − 𝑥 − 2 = 0. Tìm các số ngun a sao cho phương trình có nghiệm nguyên
VD19: Tìm m để phương trình 𝑥 2 − 3𝑥 − 𝑚 + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2𝑥1 − 5𝑥2 = −8
VD20: Cho pt: 𝑥 2 − 2(𝑚 − 1)𝑥 + 2𝑚 − 5 = 0 (1). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 𝑥1 ; 𝑥2
thỏa mãn 𝑥1 < −2 < 𝑥2
VD21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P): y = - 𝑥 2 và đường thẳng (d): y = 3mx – 3
a) Tìm m để (d) đi qua A(1; 3)
5



Page, web: daytoan.edu.vn
HL: 0947 00 88 49
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc
Thiên Lơi + Lương Khánh Thiện - HP
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt và tổng 2 tung độ của 2 giao điểm đó bằng – 10
VD22: Cho pt: 𝑥 2 – 2mx + 2(m – 2) = 0
a) Giải pt với m = - 1
b) Tìm m để pt có 2 nghiệm khác dấu và giá trị tuyệt đối của nghiệm âm lớn hơn nghiệm dương
VD 23: (HD – 19) CMR pt: 𝑥 2 − (2𝑚 + 1)𝑥 − 3 = 0 (1) có 2 nghiệm pb 𝑥1 ; 𝑥2 ∀𝑚
Tìm m để |𝑥1 | − |𝑥2 | = 5 và 𝑥1 < 𝑥2
VD 24: 𝑥 2 − 6𝑥 + 𝑚 − 3 = 0.
Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt 𝑥1 ; 𝑥2 thỏa mãn (𝑥1 − 1)(𝑥22 − 5𝑥2 + 𝑚 − 4) = 2
VD 25 (HT 19): Tìm m để pt: 𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑚 − 4 = 0 có 2 nghiệm pb tm: (𝑥1 − 1)(𝑥22 − 3𝑥2 + 𝑚 − 5) = −2
1
VD 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 và parabol (P): y = 2 𝑥 2
a) tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b) Khi (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (𝑥1 ; 𝑦1 ) và (𝑥2 ; 𝑦2 ).
Tìm m sao cho 𝑥1 𝑥2 (𝑦1 + 𝑦2 ) + 48 = 0
VD 27 (HN – 19) Trong mp tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) y = 2mx −𝑚2 + 1 và parabol (P): y = 𝑥 2
a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
1
1
−2
b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm pb có hồnh độ 𝑥1 ; 𝑥2 thỏa
+ =
+1
𝑥1
𝑥2 𝑥 1 𝑥2
VD 28(HD18) Tìm m để p.trình 𝑥 2 − 2𝑚𝑥 + 𝑚2 − 2 = 0 có hai nghiệm pb 𝑥1 ; 𝑥2 thỏa mãn |𝑥13 − 𝑥23 | = 10√2

VD29: Tìm m để pt 𝑥 2 − (𝑚 − 5)𝑥 − 12 = 0 có 2 nghiệm thỏa (𝑥12 − 1)(𝑥22 − 9) = 81
VD30: Cho phương trình : x2 – 2mx + m – 1 = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.
* Dạng 8: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức (trích đề thi thật các tỉnh thành)
VD1: Cho phương trình x 2 - 2mx + 2m – 3 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x12  x22 , ở đó x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình.
VD2: Cho phương trình x 2 - 2mx + m 2 - m + 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Với m ở câu a, tìm GTNN của biểu thức A = x1.x2  x1  x2
VD3: Cho phương trình: x  (3m  1) x  2m  m  1  0
a) CMR: Phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất A  x12  x22  3x1 x2 .
1
VD4: Cho phương trình: x 2  (2m  1) x  m2   0
(1) (m là tham số)
2
a) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) với giá trị nào của m thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho biểu thức M = ( x1 - 1)( x2 - 1) đạt GTNN?
2

2

VD5: Cho phương trình: x  2(m  1) x  m  4m  3  0 ( với x là ẩn số, m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Đặt A = x1.x2  2( x1  x2 ) với x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình trên. Chứng minh: A  m2  8m  7
c) Tìm GTNN của A và giá trị m tương ứng
VD6: Cho phương trình: x2  4 x  m2  6m  5  0 với m là tham số
a) Giải phương trình với m = 2
b) CMR phương trình ln có nghiệm

c) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 , x2 hãy tìm GTNN của biểu thức: P  x13  x23
2

2

VD7: Cho phương trình: 2 x   m  3 x  m  0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2
2

5
x1 x2
2
c) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm GTNN của biểu thức P  x1  x2

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1  x2 

6


Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

VD8: Cho phương trình: x2  2  m  1 x  2m  4  0 có hai nghiệm x1 , x2 . Tìm GTNN của biểu thức A  x12  x22
VD9: 𝑥 2 − 2(𝑚 + 2)𝑥 + 2𝑚 + 1 = 0 với m là tham số
a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
b) Tìm m sao cho biểu thức A = 𝑥1 𝑥2 −


𝑥12 +𝑥22

đạt giá trị lớn nhất
4
VD10: 𝑥 2 − 𝑚𝑥 + 𝑚 − 1 = 0. Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = −𝑥12 − 𝑥22
§6. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
SGK
§7. GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Khi nào giải bài toán bằng cách lập hpt, khi nào giải bài toán bằng cách lập pt?
* Dạng 1: Toán tìm số
Bài 41 trang 58 SGK, bài 45 trang 59 SGK,
Bài 51 trang 61 SBT: Cho một số có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng 10. Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn
số đã cho là 12. Tìm số đã cho.
Bài 72 trang 63 SBT: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng bằng – 10
* Dạng 2: Tốn cơng việc và vòi nước chảy
Bài 49 trang 59 SGK
Bài 61 trang 62 SBT: Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy nước. Nếu mở
riêng từng vịi thì vịi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ 2 là 2 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vịi thì mỗi vịi chảy
bao lâu đầy bể?
* Dạng 3: Toán % và năng suất
Bài 1: Một công ty vận tải điều một số xe tải để chở 90 tấn hàng. Khi đến kho hàng thì có 2 xe bị hỏng nên để chở
hết lượng hàng thì mỗi xe phải chở thêm 0,5 tấn so với dự định ban đầu. Hỏi số xe được điều đến chở hàng là bao
nhiêu? Biết rằng khối lượng hàng chở ở mỗi xe là như nhau.
Bài 2: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả
hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo.
Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo.
Bài 3: Một đội xe cần phải chuyên chở 150 tấn hàng. Hơm làm việc có 5 xe được điều đi làm nhiệm vụ khác nên
mỗi xe còn lại phải chở thêm 5 tấn. Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc?
Bài 4: Theo kế hoạch, một đội xe vận tải cần chở 24 tấn hàng đến một địa điểm quy định. Khi chun chở thì trong

đội xe có hai xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe con lại của đội phải chở thêm một tấn hàng. Tính số xe của đội
lúc đầu.
* Dạng 4 - Tốn số đo đơn vị
Bài 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính kích
thước của mảnh đất đó.
Bài 2: Một tam giác có chiều cao bằng ¾ cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3m và cạnh đáy giảm đi 2m thì diện
tích tam giác đó tăng thêm 9 m 2 . Tính cạnh đáy và chiều cao của tam giác đã cho.
7


Page, web: daytoan.edu.vn
HL: 0947 00 88 49
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP
Bài 3: Cạnh huyền của 1 tam giác vuông bằng 13cm. Hai cạnh góc vng có độ dài hơn kém nhau 7cm. Tính độ
dài các cạnh góc vng của tam giác vng đó.
Bài 4: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m và bình phương độ dài đường chéo gấp 5 lần
chu vi. Tính kích thước của mảnh đất.
Bài 5: Một tam giác vng có hai cạnh góc vng hơn kém nhau 8m. Nếu tăng một cạnh góc vng của tam giác
lên 2 lần và giảm cạnh góc vng cịn lại xuống 3 lần thì được một tam giác vng mới có diện tích là 51 m 2 . Tính độ
dài hai cạnh góc vng của tam giác vng ban đầu.
Bài 6: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720 m 2 , nếu tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 4m
thì diện tích mảnh vườn khơng đổi. Tính kích thước của mảnh vườn
Bài 7: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích thửa ruộng, biết rằng
nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa ruộng khơng thay đổi
Bài 8: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 900 m 2 và chu vi 122m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
* Dạng 5 - Toán hàng lối
Hiếm gặp trong giải pt
* Dạng 6 : Toán tuổi
Hiếm gặp trong giải pt

* Dạng 7: Toán chuyển động
Bài 1. Một người dự định đi xe gắn máy từ địa diểm A đến địa điểm B cách nhau 90km. Vì có việc gấp phải đến B
trước giờ dự định là 45 phút nên người ấy phải tăng tốc lên mỗi giờ 10km. Hãy tính vận tốc mà người đó dự định đi.
Bài 2. Một ca nô chạy với vận tốc không đổi trên một khúc sông dài 30km, cả đi và về hết 4 giờ. Tính vận tốc của ca
nơ khi nước n lặng, biết vận tốc dòng nước là 4km/h.
Bài 3. Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân đi Quy Nhơn. Sau đó 75 phút, một ơ tơ khởi hành từ Quy Nhơn đi
Hoài Ân với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 20km/h. Hai xe gặp nhau ở Phù Cát. Tính vận tốc của mỗi xe, giả
sử Quy Nhơn cách Hoài Ân 100km và Quy Nhơn cách Phù Cát 30km.
Bài 4. hai người đi xe đạp cùng xuất phát cùng một lúc từ A với vận tốc hơn kém nhau 3km/h và đến B sớm, muộn
hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi người. Biết quãng đường AB daì 30km
Bài 5. Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc 4km/h, rồi đi ô tô từ B đến C với vận tốc 40km/h. Lúc về anh ta đi xe
đạp trên cả quãng đường CA với vận tốc 16km/h. Biết rằng quãng đường AB ngắn hơn quãng đường BC là 24km/h,
và thời gian lúc đi bằng thời gian lúc về. Tính quãng đường AC.
3
Bài 6. Một ô tô đi quãng đường dài 80km trong thời gian đã định. 4 quãng đường đầu ô tô đi nhanh hơn so với dự
định là 10km/h, quãng đường còn lại ô tô chạy chậm hơn dự định 15km/h. Biết rằng ơ tơ đi hết qng đường
AB.Tính vận tốc dự định của xe.
Bài 43 trang 58 SGK,
Bài 47 trang 59 SGK,
Bài 52 trang 60 SGK
8


Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP
ĐỀ KIỂM TRA 45’


ĐỀ SỐ 1(VÕ THỊ SÁU 2014 – 2015)
Bài 1:
1) (1,5đ) Cho hàm số y = (3 – 6m) x 2
a) Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0
b) Tìm giá trị của m biết đồ thị hàm số đi qua điểm (-2;3)
2) (4đ) Giải các phương trình sau:
a) 2 x2  9 x  5  0

b) 3x2  5x  1  0

c) 2 x2  6 x  1  0

d) x4  2014 x2  2015  0

Bài 2 (2đ) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích là 720 m 2 , biết chiều dài hơn chiều rộng là 16m. Tính chiều dài,
chiều rộng khu vườn đó.
Bài 3 (2,5đ) Cho phương trình: x2  2(m  1) x  m  1  0

(1) (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 khác 0 thỏa mãn x12  x22  16

ĐỀ SỐ 2 (CHU VĂN AN 2014 – 2015)
Câu 1 (1đ): Tìm tọa độ 5 điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số y = 2x 2
Câu 2 (1đ): Hàm số y = - x 2 đồng biến khi nào?
Câu 3 (1đ): Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 với a  0 thì tổng hai nghiệm của
phương trình được tính như thế nào?
Câu 4 (2đ): Tìm nghiệm của phương trình x2  5x  6  0
Câu 5 (3đ): Cho phương trình: x2  4 x  m  1  0


(*) với x là ẩn số

a) Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia
Câu 6 (2đ): Một người đi xe máy từ A đến B dài 90km. Khi về từ B đến A người ấy đi với vận tốc lớn hơn vận tốc
lúc đi là 10km/h nên thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 45 phút. Tính vận tốc lúc đi của người đó.

9


Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP
ĐỀ SỐ 3 (TÔ HIỆU 2014 – 2015)

Câu 1: Điểm M(-1;2) thuộc đồ thị hàm số y = ax 2 khi a bằng:
A. a = 2

B. a = - 2

Câu 2: Tọa độ giao điểm của (P) y =

C. a = 4
1 2
1
x và đường thẳng (d) y =  x  3 là:

2
2

9
B.  3; 
2


A. (2;2)

D. a = - 4

C. (2;2) và (0;0)

9
D. (2;2) và  3; 
2


C. m < 0

D. với mọi m thuộc R

Câu 3: Hàm số y =  m2  3 x 2 (x > 0) đồng biến khi:
B. m  0

A. m > 0

Câu 4: Phương trình  m  1 x 2  2mx  1  0 là phương trình bậc hai khi:
A. m  1


B. m  - 1

C. m  0

D. mọi giá trị của m

Câu 5: Phương trình nào sau đây có nghiệm?
A. x2  x  1  0

B. 3x2  x  8  0

C. 3x2  x  8  0

D. 3x2  x  8  0

Câu 6: Phương trình mx2  4 x  5  0 (m  0) có nghiệm khi và chỉ khi:
A. m 

5
4

B. m  

5
4

C. m  

4

5

D. m 

4
5

Câu 7: Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phương trình 0,1x2  0,6 x  0,8  0 . Khi đó:
A. x1  x2  0, 6 ; x1.x2  8

B. x1  x2  6; x1.x2  0,8

C. x1  x2  6; x1.x2  8

D. x1  x2  6; x1.x2  8

Câu 8: Nếu phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 có một nghiệm bằng 1 thì:
A. a + b + c = 0

B. a – b + c = 0

C. a + b – c = 0

D. a – b – c = 0

II. TỰ LUẬN (8Đ)
Bài 1 (4đ) Giải các phương trình:
a) 2 x2  11x  6  0

b)  x  2   3x  5  (1  x)(1  x)

2

c)

12
8

1
x 1 x  1

d) x4  8x2  9  0

Bài 2 (2,5đ) Giải bài tốn bằng cách lập phương trình:
Một ca nơ xi dòng trên một khúc song từ bến A đến bến B cách nhau 80km, sau đó lại ngược dịng đến địa
điểm C cách B 72km, thời gian ca nô xuôi dịng ít hơn thời gian ca nơ ngược dịng là 15 phút. Tính vận tốc riêng của
ca nơ, biết vận tốc của dòng nước là 4km/h
Bài 3 (1,5đ) Cho phương trình: 3x2  mx  2  0 (1) (m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 . Lập phương trình bậc hai nhận

x1
x
và 2
x2
x1

Bài 4 (Thưởng 0,5đ) Cho bốn số a, b, c, d thỏa mãn: ab + 2 (b + c + d) = c (a + b). Chứng minh rằng trong ba
phương trình sau đây có ít nhất một phương trình có nghiệm: x2  ax  b  0; x2  bx  c  0; x2  cx  d  0
10



Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP
ĐỀ SỐ 4(LÊ CHÂN – 2018 – 2019)

I. TRẮC NGHIỆM(3Đ)
1
Câu 1: Cho hàm số y = - 2 𝑥 2 . Kết luận đúng là:
A. Hàm số luôn nghịch biến
B. Hàm số luôn đồng biến
C. giá trị của hàm số luôn âm
D. Hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
Câu 2: Điểm M( - 3; - 9 ) thuộc đồ thị hàm số:
A. y = 𝑥 2
B. y = −𝑥 2

1
C. y = 3 𝑥 2

1
D.y = - 3 𝑥 2

C. m > - 1

D. m = 0

Câu 3: Hàm số y = (m – 1)𝑥 2 đồng biến(x > 0) khi

A. m < 1

B. m > 1

Câu 4: Điểm M(√3; 3) thuộc đồ thị hàm số y = (𝑚 − √3)𝑥 2 khi m bằng:
A. 1 + √3

B. 1 − √3

C. √3 − 1

D. −1 − √3

Câu 5: Phương trình nào trong các phương trình sau khơng phải là phương trình bậc hai một ẩn?
1
B. −2019𝑥 2
C. 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 0,5 = 0
D. √3𝑥 2 − √2𝑥 = 0
A. 𝑥 2 − 4
Câu 6: Nếu phương trình bậc hai 𝑥 2 − 𝑚𝑥 + 5 = 0 có nghiệm 𝑥1 = 1 thì m bằng:
A. 6
B. – 6
C. 5
D. – 5
2
Câu 7: Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình 4𝑥 − 5𝑥 + 1 = 0
1
1
5
D. – 1

C. − 4
B.
A.
4
4
Câu 8: Số nghiệm của phương trình 2𝑥 4 + 𝑥 2 − 3 = 0 là:
A. Một nghiệm
B. Hai nghiệm
C. Ba nghiệm
D. Bốn nghiệm
Câu 9: Cho u + v = 5 và u.v = 6. u và v là nghiệm của phương trình
A. 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
B. 𝑥 2 − 5𝑥 − 6 = 0
C. 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 0
D. 𝑥 2 + 5𝑥 − 6 = 0
Câu 10: Đường thẳng y = 2x – m – 1 và parabol y = 𝑥 2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi:
A. m < 0
B. m > 0
C. m < 2
D. m > 2
II. TỰ LUẬN (7Đ)
Bài 1(2đ) Giải các phương trình sau:
a) 16x −𝑥 2 = 0

𝑏) 𝑥 2 − 4𝑥 − 2 = 0

Bài 2(2,5đ) Cho phương trình 𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑚 = 0 (1), trong đó m là tham số
a) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn 𝑥12 + 𝑥22 = 8
Bài 3(2,5đ)

Bác An muốn xây tường bao cao 1,5m cho mảnh vườn hình chữ nhật với chiều dài hơn chiều rộng 15m và diện
tích 2700𝑚2 . Tính số gạch bác An cần phải mua đủ để xây tường. Biết rằng để xây một 𝑚2 tường cần 65 viên gạch

11


Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

12