Các chuyên đề Toán 9 ôn thi vào lớp 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.41 MB, 216 trang )
79/206
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO 10
CHỦ ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC _ BÀI TOÁN PHỤ
A. LÝ THUYẾT
1. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC
1.
A neu A ≥ 0
A2 = A =
− A neu A < 0
2.
AB = A B
3.
A
=
B
4.
A2 B = A
(Với
A
B
(Với
B
5.
A B=
6.
A B = − A2 B
(Với
A2 B
7.
A
1
=
B
B
8.
A
A B
=
B
B
(Với
(Với
AB
(Với
(Với
(
9
C A±B
C
=
A − B2
A±B
1
0
C
C
=
A± B
1
1
( A)
3
3
=
3
(
)
A± B
A− B
(Với
)
(Với
A ≥ 0; B ≥ 0
A ≥ 0; B > 0
B≥0
)
)
A ≥ 0; B ≥ 0
A < 0; B ≥ 0
A ≥ 0; B > 0
B>0
)
)
)
)
)
A ≥ 0; A ≠ B2
)
A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B
)
A3 = A
2. XÁC ĐỊNH NHANH ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC
1
79/206
BIỂU THỨC - ĐKXĐ:
1
.
2
.
A
A
B
3
.
A
B
4
.
A
B
5
.
ĐKXĐ:
ĐKXĐ:
ĐKXĐ:
ĐKXĐ:
A
B
ĐKXĐ:
A≥0
VÍ DỤ
Ví dụ:
x − 2018
B≠0
Ví dụ:
B>0
Ví dụ:
A ≥ 0; B > 0
Ví dụ:
A ≤ 0
B < 0
A ≥ 0
B > 0
Ví dụ:
Cho a > 0 ta có:
6
.
7
.
x > a
x2 > a ⇔
x < − a
Ví dụ:
Cho a > 0 ta có:
x
Ví dụ:
x+2
x −3
x+2
x−3
x
x−3
x +1
x+2
ĐKXĐ:
x ≥ 2018
ĐKXĐ:
x≠3
ĐKXĐ:
x>3
ĐKXĐ:
x ≥ 0
⇔ x>3
x > 3
ĐKXĐ:
x + 1 ≤ 0
x + 2 < 0 ⇔ x < −2
x ≥1
x + 1 ≥ 0
x + 2 > 0
x > a
⇔
x 2 > 1 x < − a
x 2 < 4 ⇔ −2 < x < 2
Chú ý 1: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
1
.
Dạng tổng quát
1:
A( x) = k ⇔ A( x) = ± k ( k ≥ 0)
2
.
Dạng tổng quát
2:
A( x ) = B ( x ) ⇔ A( x) = ± B ( x )
3
.
Dạng tổng quát
3:
A( x ) = B ( x )
với k là hằng số
2
79/206
A( x) ≥ 0
• Trường hợp
1
Nếu
• Trường hợp
2
A( x) < 0
Nếu
thì phương trình trở thành
A( x) = − B ( x)
thì phương trình trở thành
A( x) = B ( x)
Chú ý 2: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng tổng quát
1:
1
.
f ( x ) < g ( x) ⇔ − g ( x ) < f ( x) < g ( x )
k >0
Đặc biệt với hằng số
thì
f ( x) < k ⇔ −k < f ( x) < k
Dạng tổng quát
2:
2
.
f ( x) > g ( x)
f ( x) > g ( x ) ⇔
f ( x) < − g ( x )
Đặc biệt với hằng số
3
.
k >0
thì
f ( x) > k
f ( x) > k ⇔
f ( x) < −k
Dạng tổng quát
3:
2
2
2
2
• Trường hợp
1
f ( x ) > g ( x ) ⇔ f ( x ) > g ( x)
• Trường hợp
2
f ( x) < g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x)
Chú ý 3:Bất đẳng thức Cô – Si cho hai số a, b không âm ta có:
a + b ≥ 2 ab
⇔a=b
Dấu “ = ” xảy ra
Ví dụ: cho
x≥2
A= x+
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
x
3
79/206
Hướng dẫn
Vì
x ≥ 1 > 0.
A= x+
Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có
⇔x=
Dấu “ = ” xảy ra
Vậy
1
1
≥ 2 x. = 2
x
x
1
⇔ x =1
x
Amin = 2 ⇔ x = 1
Ví dụ: cho
x≥2
B = x+
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
x
Hướng dẫn
Cách giải sai: Vì
B = x+
x ≥ 2 > 0.
1
1
≥ 2 x. = 2
x
x
⇔x=
Dấu “ = ” xảy ra
Vậy
Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có
1
⇔ x =1
x
(không thỏa mãn vì
x≥2
)
Bmin = 2 ⇔ x = 1
Gợi ý cách giải đúng:
Dự đoán
Bmin
đạt được tại mức
x=2
B = nx +
ta có
1
+ x − nx
x
. Dấu “ = ” xảy ra
1
nx =
⇔
x
x
=
2
B=
Do đó ta có
3x x 1
+ + ÷
4 4 x
Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có
4 1
x 1
1
+ ≥2
. = 2. = 1
x x
4 x
2
4
79/206
⇔
Dấu “ = ” xảy ra
Bmin =
Vậy
x 1
= ⇔x=2
4 x
(vì
x≥2
)
5
⇔x=2
2
Ví dụ: cho
x≥3
C = x+
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
x
Hướng dẫn
x ≥ 3 > 0.
Tương tự: Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có
1 8 x x 1 10
C = x+ =
+ + ÷≥
x 9 9 x 3
Dấu “ = ” xảy ra
⇔ x=3
D=
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x + 12
x +2
với
x≥0
Hướng dẫn
D = x+2 +
Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có
Dấu “ = ” xảy ra
16
−4≥ 4
x +2
⇔x=4
3. CÁC BƯỚC RÚT GỌN MỘT BIỂU THỨC
Bước 1: Tìm điều kiện xác định
Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử,
phân tích tử thành nhân tử
Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu
Bước 4: Khi nào phân thức tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn
5
79/206
Ví dụ: Rút gọn biểu thức
x +2
x − 2 x +1
A =
−
.
− x + 1÷
÷
÷
x −1 x
x + 2 x +1
Hướng dẫn
Điều kiện:
x > 0
x ≠ 1
6
79/206
x +2
x − 2 x +1
A =
−
.
− x + 1÷
÷
÷
x −1 x
x + 2 x +1
A=
(
(
A=
(
A=
A=
(
x +2
. x +1+ x − x
x
x +1
x −2
−
) ( x − 1) (
x + 2 ) ( x − 1) (
−
x + 1) ( x − 1) (
x +1
2
)(
x − 1) (
x −2
2
2 x
)(
x +1
2
)
)
x +1 x +1
.
2
x
x +1
)
x +1
x
.
x −1
)
2
x −1
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Các bài toán rút gọn, tính giá trị của biểu thức chứa số
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức.
a)
c)
A= 6−2 5
b)
C = 19 − 8 3
d)
B = 4 − 12
D = 5− 2 6
Hướng dẫn
A= 6−2 5 =
a)
(
)
5 −1
2
=
(
B = 4 − 12 = 4 − 2 3 =
b)
C = 19 − 8 3 =
( 4 − 3)
D = 5−2 6 =
(
c)
d)
2
3− 2
5 −1 = 5 −1
)
3 −1
2
=
3 −1
= 4− 3 = 4− 3
)
2
=
3− 2 = 3− 2
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức.
7
79/206
a)
c)
A= 4+2 3
b)
C = 9−4 5
d)
B = 8 − 2 15
D = 7 + 13 − 7 − 13
Hướng dẫn
(
A = 4+2 3 =
a)
)
3 +1
(
B = 8 − 2 15 =
b)
c)
= 3 +1
)
15 − 1
( 2− 5)
C = 9−4 5 =
2
2
D = 7 + 13 − 7 − 13 =
=
d)
1
2
(
)
2
13 + 1 −
(
2
= 15 − 1
= 5−2
1
2
(
14 + 2 13 − 14 − 2 13
)
2
13 − 1 = 2
)
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức.
a)
C=
c)
d)
b)
6+2 5
5−2 6
A=
+
5 +1
3− 2
B=
3
4
1
+
+
5− 2
6+ 2
6+ 5
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
99 + 100
D = 3 5 2 +7 − 3 5 2 −7
Hướng dẫn
A=
a)
6+2 5
5−2 6
5 +1
3− 2
+
=
+
=2
5 +1
3− 2
5 +1
3− 2
8
79/206
3
3
4
1
+
+
=
5− 2
6+ 2
6+ 5
B=
b)
5+ 2
3
) + 4(
6− 2
4
)+
(
6− 5
)
= 5+ 2+ 6− 2+ 6− 5 =2 6
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
99 + 100
C=
=
c)
(
(
) (
) (
2 −1 +
)
3− 2 +
4 − 3 + ... +
(
)
100 − 99 = 9
5 2 +7−5 2 +7
D = 3 5 2 +7 − 3 5 2 −7 =
(5
3
2 +7
)
2
(
)(
) (
+ 3 5 2 +7 5 2 −7 + 3 5 2 −7
)
2
=2
d)
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức.
a)
A = 3− 2 2 − 6− 4 2
C=
c)
(
14 + 6
)
b)
5 − 21
B = 9+4 5 − 9−4 5
D=
d)
3 + 3 5 − 2 − 10
6+2 5
Hướng dẫn
a)
b)
A = 3 − 2 2 − 6 − 4 2 = 2 −1− 2 + 2 = 2 2 − 3
B = 9+4 5 − 9−4 5 = 5 + 2 − 5 + 2 = 2 2
C=
(
D=
3 + 3 5 − 2 − 10
=
6+2 5
c)
d)
14 + 6
)
5 − 21 =
(
(
)
7 + 3 . 10 − 2 21 =
)(
5 +1 3 − 2
(
)
5 +1
2
(
) = ( 3− 2) (
)(
7+ 3 .
)
7− 3 =4
)
5 −1
4
Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức.
a)
A = 4−2 3 + 4+2 3
c)
C = 3 5 2 +7 − 3 5 2 −7
9
79/206
b)
B=
5 − 3 − 29 − 12 5
d)
D = 3 2+ 5 + 3 2− 5
Hướng dẫn
a)
b)
A = 4 − 2 3 + 4 + 2 3 = 3 −1+ 3 +1 = 2 3
B=
5 − 3 − 29 − 12 5 =
5 − 6−2 5 =
5 − 5 +1 = 1
14
C = 3 5 2 +7 − 3 5 2 −7 =
3
(5
2 +7
)
2
(
)(
) (
+ 3 5 2 +7 5 2 −7 + 3 5 2 −7
)
2
=2
c)
4
D = 3 2+ 5 + 3 2− 5 =
3
d)
( 2 + 5)
2
−
3
( 2+ 5) ( 2− 5) + ( 2− 5)
3
2
=1
Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức.
a)
c)
b)
A= 7−4 3 − 7+4 3
B = 5 − 13 + 4 3 + 3 + 13 + 4 3
C = 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2
d)
D = 3 9+4 5 + 3 9−4 5
Hướng dẫn
a)
b)
A = 7 − 4 3 − 7 + 4 3 = 2 − 3 − 2 − 3 = −2 3
B = 5 − 13 + 4 3 + 3 + 13 + 4 3 = 5 − 2 3 − 1 + 3 + 2 3 + 1
= 5 − 2 3 −1 + 3 + 2 3 +1 = 2 3
10
79/206
c)
C = 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2
40
=
3
( 20 + 14 2 )
2
(
)(
d)
D = 9+4 5 + 9−4 5
3
)
2
=4
18
=
3
) (
− 3 20 + 14 2 20 − 14 2 + 3 20 − 14 2
3
( 9 + 4 5)
2
(
)(
) (
− 3 9+4 5 9−4 5 + 3 9−4 5
)
2
=3
Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức.
a)
c)
A = 11 + 6 2 + 11 − 6 2
b)
C = 3− 2 2 − 6− 4 2
B = 41 − 12 5 − 41 + 12 5
D=
5−
(
3 − 29 − 12 5
d)
)
Hướng dẫn
a)
b)
c)
A = 11 + 6 2 + 11 − 6 2 = 3 + 2 + 3 − 2 = 6
B = 41 − 12 5 − 41 + 12 5 = 6 − 5 − 6 − 5 = −2 5
C = 3 − 2 2 − 6 − 4 2 = 2 −1 − 2 + 2 = 2 2 − 3
D=
d)
5−
(
)
3 − 29 − 12 5 =
5 − 3−2 5 +3 =
5 − 5 +1 = 1
Các bài toán rút gọn chứa ẩn và bài toán phụ
Dạng 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
A
KHI
x = x0 .
Phương pháp: Rút gọn giá trị của biến (nếu cần) sau đó thay vào biểu thức
đã cho rồi thay vào biểu thức đã cho rồi tính kết quả.
A = 2x + x − 4
Ví dụ: Cho biểu thức
11
79/206
A
a) Rút gọn biểu thức
b) Tính giá trị của
A
.
khi
x = 3.
Hướng dẫn
2 x + x − 4 khi x ≥ 4 3 x − 4 khi x ≥ 4
A = 2x + x − 4 =
=
2 x − x + 4 khi x < 4 x + 4 khi x < 4
a) Ta có
b) Khi
x=3
ta có:
A = 3 + 4 = 7.
x −1 2 x
2−5 x
−
+
4− x
x +2
x −2
A=
Ví dụ: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A.
x=
b) Tính giá trị của A khi
2
.
2− 3
Hướng dẫn
A=
x −1 2 x
2 − 5 x − 2x
−
+
=
4− x
x +2
x −2
(
)(
x −1
a)
=
x−4 x +4
( 2− x) ( 2+ x)
x=
b) Ta có:
x=
Khi
=
2− x
2+ x
với ĐKXĐ:
(
) (
2
= 2 2+ 3 =
2− 3
2
.
2− 3
A=
Ta có:
)
)
( x + 2) + 2 − 5
x) ( 2+ x)
x −2 +2 x
( 2−
x − 2x
x ≥ 0; x ≠ 2.
2
3 +1 ⇒ x = 3 +1
2 − 3 −1 1− 3 3 − 2 3
=
=
.
3
2 + 3 +1 3 + 3
Ví dụ: Cho biểu thức
x +2
x −2
4x
A =
−
:
÷
2
÷
x − 1 x − 2 x + 1 ( x − 1)
a) Rút gọn A.
12
79/206
x − 5 = 4.
b) Tính giá trị của A biết
Hướng dẫn
a)
x +2
x −2
4x
A =
−
:
=
÷
2
÷
x − 1 x − 2 x + 1 ( x − 1)
=
2 x
(
)(
x +1
)
x −1
2
( x − 1)
.
2
=
4x
(
x +2
)(
(
) ( x − 2) (
x + 1) ( x − 1)
x −1 −
2
x +1
2 x
với ĐKXĐ:
x > 0; x ≠ 1.
A=
x −5 = 4 ⇔ x −5 = 4 ⇔ x = 9 ⇒ x = 3
b) Khi
. Ta có
Ví dụ: Cho biểu thức
)
x + 1 ÷ ( x − 1) 2
.
÷ 4x
÷
2 xy
x+ y
A=
−
x− y 2 x −2 y
3 +1 2
=
6
3
2 x
.
÷
÷ x− y
a) Rút gọn A.
x 4
= .
y 9
b) Tính giá trị của A biết
Hướng dẫn
2 xy
x+ y
A=
−
x− y 2 x −2 y
a)
=
2
(
b) Ta có
−
(
)(
(
÷. 2 x =
x+ y ÷
÷ x− y
x− y
x− y
)
2 x
4 xy − x − 2 xy − y
.
=
÷
÷ x− y 2 x− y
x+ y
)(
)
÷. 2 x
÷ x− y
2
)
x+ y
1
=−
= −1 −
A
x
− x
x+ y
y
x
13
79/206
Khi
x 4
= ⇔
y 9
y 3
=
x 2
1
3 −5
−2
= −1 − =
⇔ A=
A
2 2
5
. Ta có
Ví dụ: Cho biểu thức
x2 − 2 x
1 2
2x2
A= 2
+ 3
÷. 1 − − 2 ÷.
2
2x + 8 x − 2x + 4x − 8 x x
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A biết
x = 4 − 2 3.
Hướng dẫn
a)
( x2 − 2x ) ( x − 2) + 4x 2 x2 − x − 2
x3 + 4 x
÷
A=
.
=
÷
2
2 ( x2 + 4) ( x − 2) ÷
x2
2 ( x + 4 ) ( x − 2 )
( x + 1) ( x − 2 )
÷.
÷ = x +1
÷
x2
2x
với ĐKXĐ:
b) Khi
x = 4 − 2 3 = 3 −1
A=
. Ta có
A=
Ví dụ: Cho biểu thức
x ≠ 0; x ≠ 2.
3 −1 +1 3 + 3
=
5
2 3−2
x− x
1
1
+
−
.
x −9
x +3
x −3
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A biết
x = 11 − 6 2
x=
c) Tính giá trị của A biết
d) Tính giá trị của A biết
.
1
1
−
3 −1
3 +1
x = 2
2
−
3 +1
.
2
÷.
3 −1 ÷
Hướng dẫn
14
79/206
A=
a)
x − x + x −3− x −3
=
( x + 3) ( x − 3)
x = 11 − 6 2 =
b) Khi
x=
c) Khi
(
3− 2
x +2
x +3
)
2
2
−
3 +1
2
÷= 2
3 −1 ÷
(
−4
3 −1 +
3 +1
)
A=
. Ta có:
(
. Ta có:
5 − 2 28 − 2
=
.
34
6− 2
3
A= .
4
)
3 −1 −
3 +1 =
d) Khi
=
x ≥ 0; x ≠ 9.
⇔ x = 3− 2
1
1
−
=1⇔ x =1
3 −1
3 +1
x = 2
với ĐKXĐ:
(
2
(
)
3 −1 − 3 −1
3 −1 +
3 +1
)
(Loại)
Dạng 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Phương pháp:
• Nếu bài toán yêu cầu tìm x để A = k thì ta biến đổi A−k = 0 tính kết
quả, kết hợp với điều kiện để kết luận.
• Nếu bài toán yêu cầu tìm x để A > k (≥,≤,< k). Ta đi đánh giá dựa
vào điều kiện hoặc đi xét hiệu A−k > 0 với điều kiện của đề bài để tìm x.
A=
Ví dụ: Cho biểu thức
2− x
2+ x
với
x ≥ 0, x ≠ 4.
Tìm
x
để
1
A=− .
2
Hướng dẫn
A=−
Để
1
2− x
1
⇔
= − ⇔ 2 x − 4 = x + 2 ⇔ x = 6 ⇔ x = 36.
2
2
2+ x
Ví dụ: Cho biểu thức
(thỏa mãn điều kiện)
2
1
1
2
A=
−
÷: x − 4 −
÷.
x −2
x +2 x+4 x +4
a) Rút gọn A.
15
79/206
b) Tìm x để A = 0.
Hướng dẫn
a)
x +2−2÷
A=
:
2 ÷
x + 2 ÷
(
)
(
÷=
x + 2 ÷
2− x −2
x −2
)(
)
÷. −
2 ÷
x + 2 ÷
x
(
)
(
x −2
)(
)
x +2 2− x
÷=
÷
x
x +2
với ĐKXĐ:
A=0⇔
b) Để
2− x
= 0 ⇔ x = 2 ⇔ x = 4.
x +2
P=
Ví dụ: Cho biểu thức
x ≥ 0; x ≠ 4.
x > 0, x ≠ 4.
(không thỏa mãn điều kiện)
x
x
x−2 x
+
−
x−4
x −2
x +2
Q=
và
x +2
x −2
với
a) Rút gọn P.
b) Tìm x sao cho P= 2.
Hướng dẫn
P=
x
(
)
(
( x − 2) (
x +2 + x
a)
P=2⇔
b) Để
)
x −2 − x+2 x
x +2
)
x
.
x −2
=
x
= 2 ⇔ x = 4 ⇔ x = 16.
x −2
A=
Ví dụ: Cho biểu thức
1
x −3
với
(TMĐK)
x ≥ 0, x ≠ 9.
Tìm
x
để A > 1.
Hướng dẫn
A >1⇔
Để
1
>1⇔
x −3
1
−1 > 0 ⇔
x −3
x −4
<0
x −3
16
79/206
⇔
x −4 >0
x > 16
x −3 < 0
x < 9
⇔
⇔ 9 < x < 16
x < 16
x −4<0
x > 9
x −3 > 0
(TMĐK)
A=
Ví dụ: Cho biểu thức
3 x −5
2 x +1
x ≥ 0.
với
Tìm
x
để
3
A< .
2
Hướng dẫn
A<
3
3 x −5 3
−13
⇔
< ⇔
<0
2
2 x +1 2
2 2 x +1
(
Cách 1: Để
A−
Vậy
3
2
với
(luôn đúng)
3
−13
=
2 2 2 x +1
(
Cách 2: Xét hiệu
A<
)
)
<0
x ≥ 0.
Ví dụ: Cho biểu thức
3
x
3 x −3
1
A=
+
−
÷.
÷:
x +3 x x −9 x x +3 x +3 x ÷
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 1.
Hướng dẫn
a)
x −3 x +3
A=
x x −3
x +3
(
)(
)
÷: x − 3 x + 3 ÷ =
÷ x x +3 ÷
(
)
1
.
x −3
với
x > 0, x ≠ 9.
17
79/206
A >1⇔
b) Để
1
−1 > 0 ⇔
x −3
Ví dụ: Cho biểu thức
x −2
<0
x −3
⇔ 4 < x < 9.
(TMĐK)
x2 − 2 x
1 2
2 x2
A= 2
+ 3
÷. 1 − − 2 ÷.
2
2x + 8 x − 2x + 4x − 8 x x
a) Rút gọn A.
b) Giải bất phương trình
1
A> .
3
Hướng dẫn
a)
( x2 − 2x ) ( x − 2) + 4x 2 x2 − x − 2
x3 + 4 x
÷
A=
.
=
÷
2
2 ( x 2 + 4 ) ( x − 2 ) ÷
x2
2 ( x + 4) ( x − 2)
( x + 1) ( x − 2 )
÷.
÷ = x +1
÷
x2
2x
với ĐKXĐ:
A>
b) Để
x > 3
1
x −3
⇔
>0⇔
3
6x
x < 0
P=
Ví dụ: Cho biểu thức
x ≥ 0; x ≠ 4.
x ≠ 0, x ≠ 2.
(TMĐK)
x
x
x−2 x
+
−
x−4
x −2
x +2
Q=
và
x +2
x −2
với
a) Rút gọn P.
b) Tìm M = P : Q. Tìm giá trị của x để
1
M2 < .
4
Hướng dẫn
P=
a)
x
(
)
(
( x − 2) (
x +2 + x
)
x −2 − x+2 x
x +2
)
=
x
.
x −2
18
79/206
M = P :Q =
b)
M2 <
x
x +2
x
1
x +2
< ⇔
< 0 ⇔ x < 2 ⇔ x < 4.
x −2 2
2 x −2
1
1
⇔0
2
(
Để
Kết hợp với ĐKXĐ:
)
0 ≤ x < 4.
x −1
x −2
A=
Ví dụ: Cho biểu thức
b) Rút gọn biểu thức
và
x− x +2
x− x −2
với
x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 4.
x = 27 + 10 2 − 18 + 8 2 + 8
a) Tính giá trị biểu thức A khi
P=
B=
B
.
A
3
P x ≥− .
2
c) Tìm giá trị nguyên của x để
Hướng dẫn
a) Khi
P=
b)
x = 5+ 2 −4− 2 +8 = 9 ⇔ x = 3
B
=
A
(
x− x +2
)(
x +1
x −2
)
.
. Ta có
A=2
x −2 x− x +2
=
x −1
x −1
3
x x −x+2 x 3
2 x x − 2 x + 4 x + 3x − 3
P x ≥− ⇔
+ ≥0⇔
≥0
2
x −1 x +1 2
2 x −1
x +1
c) Để
(
)(
)
(
)(
)
19
79/206
Ví dụ: Cho biểu thức:
3
x
3 x −3
1
A=
+
−
÷
÷:
x +3 x x −9 x x +3 x+3 x ÷
a) Rút gọn.
b) Tìm
x
để
A >1
Hướng dẫn: ĐK:
x > 0; x ≠ 9
3
x
3 x −3
1
A=
+
−
÷
÷:
x +3 x x −9 x x +3 x+3 x ÷
1
3
x
3 x −3
A=
+
−
÷
÷:
x ( x − 3)( x + 3) x + 3
x ( x + 3) ÷
x +3
A=
A=
A=
x −3 x +3
x −3 x +3
:
x ( x − 3)( x + 3) x ( x + 3)
x −3 x +3
x ( x + 3)
.
x ( x − 3)( x + 3) x − 3 x + 3
1
x −3
1
1− x + 3
>1⇔
>0
x −3
x −3
⇔
b) Với
Với
x > 0; x ≠ 9
x > 0; x ≠ 9
để
để
A >1
A >1
thì
Ví dụ: Cho biểu thức:
thì
4− x
>0
x −3
4 − x > 0
x < 16
x − 3 > 0
x > 9
⇔
⇔
⇔ 9 < x < 16
x > 16
4 − x < 0
x < 9
x
−
3
<
0
9 < x < 16
x2 − 2x
1 2
2x2
A= 2
+ 3
÷: 1 − − 2 ÷
2
2x + 8 x − 2x + 4x − 8 x x
a) Rút gọn.
20
79/206
A>
b) Giải bất phương trình
1
3
HDG:
ĐKXĐ:
x ≠ 0; x ≠ 2
x2 − 2 x
1 2
2x2
A= 2
+ 3
÷. 1 − − 2 ÷
2
2x + 8 x − 2x + 4x − 8 x x
x2 − 2 x
x2 − x − 2
2 x2
A=
+
÷.
2
2
x2
2( x + 4) ( x + 4)( x − 2)
x3 − 2 x 2 − 2 x 2 + 4 x + 4 x 2 x 2 − x − 2
A=
.
2( x 2 + 4)( x − 2)
x2
x ( x 2 + 4)
x2 − x − 2
.
2( x 2 + 4)( x − 2)
x2
( x + 1)( x − 2) x + 1
A=
=
2 x ( x − 2)
2x
A=
b) Với
x ≠ 0; x ≠ 2
A>
để
1
3
thì
P=
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn
b) Biết
x +1 1
3x + 3 − 2 x
x+3
> ⇔
>0⇔
>0
2x 3
6x
6x
x + 3 > 0
x > −3
x > 0
x > 0
x > 0
⇔
⇔
⇔
x + 3 < 0
x < −3
x < −3
x < 0
x < 0
x
x
x−2 x
+
−
x−4
x −2
x +2
Q=
và
x +2
x −2
với
x ≥ 0; x ≠ 4
P
M = P:Q
Tìm giá trị của
x
M2 <
để
1
4
HDG:
a) Với
x ≥ 0; x ≠ 4
ta có:
21
79/206
P=
x
x
x−2 x
+
−
=
x−4
x −2
x +2
P=
x
x −2
M = P :Q =
b)
M2 <
⇔
Do
x
x
x ( x − 2)
+
−
x −2
x + 2 ( x + 2)( x − 2)
x
x +2
:
=
x −2 x −2
x
x +2
1
1
1
⇔ ( M − )( M + ) < 0
4
2
2
x
1
x
1
− ÷
+
÷
÷< 0
x + 2 2 ÷
x + 2 2
x
1
+ >0⇒
x +2 2
x
1
− <0
x +2 2
x −2
<0⇒ x −2<0
2( x + 2)
⇔ x<4
⇔
Để
Với
M2 <
x ≥ 0; x ≠ 4
1
4
để
0≤ x<4
thì
x −1
x −2
A=
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Tính giá trị biểu thức
P=
b) Rút gọn biểu thức
c) Tìm giá trị nguyên của
x
A
khi
B=
và
x− x +2
x− x −2
với
x > 0; x ≠ 1; x ≠ 4
x = 27 + 10 2 − 18 + 8 2 + 8
B
A
P x≥
để
−3
2
HDG:
22
79/206
x = 27 + 10 2 − 18 + 8 2 + 8 =
a)Ta có:
Thay
A=
(5+ 2)
2
−
(3+ 2)
2
+8
x = 5 + 2 − 3 − 2 + 8 = 10 > 0
x = 10(TM )
vào biểu thức
A
ta có:
10 − 1 ( 10 − 1)( 10 + 2) 9 10 − 2
=
=
10 − 4
6
10 − 2
B=
b)
x− x +2
x− x +2
=
x − x − 2 ( x + 1)( x − 2)
P=
Có:
B
x− x +2
x −1 x − x + 2
=
:
=
A ( x + 1)( x − 2) x − 2
x −1
DẠNG 3: SO SÁNH BIỂU THỨC
số)
A
VỚI
k
HOẶC BIỂU THỨC
B k
( là hằng
A
A
Phương pháp: Nếu đề bài yêu cầu so sánh biểu thức với hằng số hay biểu
A
A
thức khác là thì ta đi xét hiệu và xét dấu biểu thức này rồi kết luận.
A=
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn
2 x
x+9 x
−
x −9
x −3
B=
và
x+5 x
x − 25
với
x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 25
A
P=
b) Hãy so sánh
A
B
với
1
Hướng dẫn:
A=
a)
x
x +3
23
79/206
P=
b)Ta có:
x
x+5 x
:
=
x + 3 x − 25
A
=
B
P −1 =
Xét hiệu:
x −5
−1 =
x +3
A=
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn
x −5
x +3
−8
<0
x +3
với
x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 25
2 x −9
x + 3 2 x −1
−
−
x−5 x +6
x − 2 3− x
với
x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 4
A
b) Hãy so sánh
1
A
với
1
HDG:
x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 4
a) với
A=
2 x −9
x + 3 2 x +1 2 x − 9 − x + 9 + 2x − 3 x − 2
−
−
=
x−5 x +6
x − 2 3− x
( x − 2)( x − 3)
A=
x− x −2
=
( x − 2)( x − 3)
b) Xét hiệu:
Vậy
x +1
x −3
x −3
−1 =
x +1
1
−1 =
A
x − 3 − x −1
=
x +1
−4
<0
x +1
1
1
−1 < 0 ⇒ < 1
A
A
A=
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn
3x + 9 x − 3
x +1
x −2
−
+
x+ x −2
x − 2 1− x
với
x ≥ 0; x ≠ 1
A
b) Hãy so sánh
A
với
1
2
24
79/206
HDG:
x ≥ 0; x ≠ 1
Với
A=
3x + 9 x − 3
x +1
x − 2 3x + 3 x − 3 − x + 1 − x + 4
−
+
=
x+ x −2
x + 2 1− x
x −1
x +2
A=
(
( x − 1) ( x + 2) (
x+3 x +2
=
Ví dụ: Cho biểu thức:
x ≥ 0; x ≠ 1
a) Rút gọn
)(
x − 1) (
x +1
(
)=
x + 2)
x +2
)(
)
x +1
x −1
1
2 x
x+ x
1
A =
−
:
+
÷
÷
÷
÷
x −1 x x − x + x −1 x x + x + x + 1 x + 1
với
A
b) Hãy so sánh
A
1
với
1
2 x
x+ x
1
A =
−
:
+
÷
÷
÷
÷
x −1 x x − x + x −1 x x + x + x + 1 x + 1
1
x ( x + 1)
2 x
1
A =
−
:
+
÷
÷
÷
÷
x − 1 ( x − 1)( x + 1 ( x + 1)( x + 1) x + 1
A=
( x − 1)2
x +1
x −1 x +1
:
=
.
=
x +1
( x − 1)( x + 1) x + 1
x +1
A −1 =
Xét hiệu
x −1
−1 =
x +1
x −1
x +1
x −1− x −1
−2
=
<0
3( x + 1)
3 x +1
(
)
⇒ A <1
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn
x −1
6 x +1
x
A = 2 −
:
+
÷
÷
÷
2 x − 3 (2 x − 3)( x + 1)
x + 1 ÷
A
25
