Câu 30: [2H3-2.6-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Trong không gian Oxyz , cho điểm

H 1; 2;  2  . Mặt phẳng   đi qua H và cắt các trục Ox , Oy , Oz tại A , B , C sao cho H
là trực tâm tam giác ABC . Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng   .
A. x2  y 2  z 2  81 .

C. x2  y 2  z 2  9 .

B. x2  y 2  z 2  1 .

D. x2  y 2  z 2  25 .

Lời giải
Chọn C
z
C

H
O

B

y

K

A
x

Ta có H là trực tâm tam giác ABC  OH   ABC  .
Thật vậy :

OC  OA
 OC  AB (1)

OC  OB
Mà CH  AB (vì H là trực tâm tam giác ABC ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB   OHC   AB  OH (*)
Tương tự BC   OAH   BC  OH . (**)
Từ (*) và (**) suy ra OH   ABC  .
Khi đó mặt cầu tâm O tiếp xúc mặt phẳng  ABC  có bán kính R  OH  3 .
Vậy mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng   là  S  : x 2  y 2  z 2  9 .
Câu 22: [2H3-2.6-3] [LẠNG GIANG SỐ 1] [2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba

 x2
x 1
x 1 y z 1


đường thẳng d1 :  y  1, t  ; d 2 :  y  u , u  ;  :
 
. Viết phương
1
1
1
z  1 u
z  t


trình mặt cầu tiếp xúc với cả d1 , d 2 và có tâm thuộc đường thẳng  ?
2


2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 
1 
1
5

B.  x     y     z    .
2 
2 
2
2



A.  x  1  y   z  1  1 .
2

2

3 
1 
3
1

C.  x     y     z    .
2 
2 
2
2


5 
1 
5
9

D.  x     y     z   
.
4 
4 
4  16

Lời giải



Chọn A
Đường thẳng d1 đi qua điểm M1 1;1;0  và có véc tơ chỉ phương ud1   0;0;1 .
Đường thẳng d 2 đi qua điểm M 2  2;0;1 và có véc tơ chỉ phương ud2   0;1;1 .
Gọi I là tâm của mặt cầu. Vì I   nên ta tham số hóa I 1  t; t;1  t  , từ đó

IM1   t;1  t; 1  t  ,

IM 2  1  t; t; t  .

Theo giả thiết ta có d  I ; d1   d  I ; d 2  , tương đương với

 IM1; ud 
 IM 2 ; ud 
1 
2 




ud1
ud 2

1  t 

2

 t2




1

2 1  t 

2

2

t0

Suy ra I 1;0;1 và bán kính mặt cầu là R  d  I ; d1   1 . Phương trình mặt cầu cần tìm là

 x  1

2

 y 2   z  1  1 .
2

Câu 49: [2H3-2.6-3] [2017] Cho điểm A  2;5;1 và mặt phẳng ( P) : 6 x  3 y  2 z  24  0 , H là hình
chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng  P  . Phương trình mặt cầu ( S ) có diện tích 784 và
tiếp xúc với mặt phẳng  P  tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:
A.  x  8   y  8   z  1  196.

B.  x  8   y  8   z  1  196.

C.  x  16    y  4    z  7   196.


D.  x  16    y  4    z  7   196.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Chọn A
 x  2  6t


 Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với  P  . Suy ra d :  y  5  3t
 z  1  2t


 Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên  P  nên H  d  ( P) .
Vì H  d nên H  2  6t;5  3t;1  2t  .
 Mặt khác, H  ( P) nên ta có: 6  2  6t   3  5  3t   2 1  2t   24  0  t  1
Do đó, H  4; 2;3 .
 Gọi I , R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.
Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784 , suy ra 4 R2  784  R  14 .
Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  P  tại H nên IH  ( P)  I  d .
Do đó tọa độ điểm I có dạng I  2  6t;5  3t;1  2t  , với t  1 .
 Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:


 6  2  6t   3  5  3t   2 1  2t   24
 t  1
 14

d
(
I
,
(
P
))

14

2

2
2


6  3  (2)

  t  3  t  1

 AI  14

2  t  2
2
2
2

6
t

3
t


2
t

14










Do đó: I 8;8;  1 .
 Vậy phương trình mặt cầu (S ) :  x  8   y  8   z  1  196 .
2

Câu 50: [2H3-2.6-3] [2017] Cho mặt phẳng

2

2

 P  : x  2 y  2z  10  0

và hai đường thẳng

x  2 y z 1
x2 y z 3
, 2 :
. Mặt cầu  S  có tâm thuộc 1 , tiếp xúc với  2 và
 
 
1
1
1
1
1

4
mặt phẳng  P  , có phương trình:
1 :

2

2

2

2

2

2

7 
5  81
 11  
A. ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  2)2  9 hoặc  x     y     z    .
2 
2 
2
4

11  
7 
5  81

B. ( x  1)  ( y  1)  ( z  2)  9 hoặc  x     y     z    .

2 
2 
2
4

2

2

2

C. ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  2)2  9.
D. ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  2)2  3.
Lời giải
Chọn A
x  2  t

 1 :  y  t
;  2 đi qua điểm A(2;0; 3) và có vectơ chỉ phương a2  (1;1; 4) .
z  1 t

 Giả sử I (2  t; t;1  t ) 1 là tâm và R là bán kính của mặt cầu  S  .
 AI , a2  5t  4
 Ta có: AI  (t; t; 4  t )   AI , a2   (5t  4; 4  5t;0)  d  I ;  2  

3
a2

d ( I , ( P)) 


2  t  2t  2(1  t )  10
1 4  4



t  10
.
3

 7
t
  S  tiếp xúc với  2 và  P   d ( I , 2 )  d ( I ,( P))  5t  4  t  10   2 .

 t  1
2

 Với t 

2

2

7 
5  81
7
9
 11  
 11 7 5 
 I  ; ;  , R  S  :  x     y     z    .
2 

2 
2
4
2

2
 2 2 2

 Với t  1  I (1; 1;2), R  3   S  : ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  2)2  9 .
Câu 20: [2H3-2.6-3] (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Trong
không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  2 z  3  0 và điểm I 1;1;0  .
Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với  P  là:
A.  x  1   y  1  z 2 
2

2

5
.
6

B.  x  1   y  1  z 2 
2

2

25
.
6



C.  x  1   y  1  z 2 
2

2

5
.
6

D.  x  1   y  1  z 2 
2

2

25
.
6

Lời giải
Chọn B
Mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng nên bán kính mặt cầu là: r  d  I ,  P   
Vậy phương trình mặt cầu là:  x  1   y  1  z 2 
2

2

5
.
6


25
.
6

Câu 38: [2H3-2.6-3](THPT Kim Liên-Hà Nội -Lần 2-2018-BTN) Trong không gian Oxyz , cho hai
 8 4 8 
điểm M  2; 2;1 , N  ; ;  . Viết phương trình mặt cầu có tâm là tâm của đường tròn nội
 3 3 3

tiếp tam giác OMN và tiếp xúc với mặt phẳng  Oxz  .
A. x 2   y  1   z  1  1 .

B. x 2   y  1   z  1  1 .

C.  x  1   y  1  z 2  1 .

D.  x  1  y 2   z  1  1 .

2

2

2

2

2

2


2

2

Lời giải
Chọn B
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN .
Ta áp dụng tính chất sau : “Cho tam giác OMN với I là tâm đường tròn nội tiếp, ta có

a.IO  b.IM  c.IN  0 , với a  MN , b  ON , c  OM ”.
 8   4   8 
Ta có OM  2  2  1  3 , ON           4 .
 3   3 3
2

2

2

2

2

2

 8
 4
 8 
MN    2     2     1  5 .

 3
 3
 3 
2

2

2


 8 
5.0  4.2  3.  

 3  0
 xI 
3 45


4
5.0  4.2  3.  


 3  1 .
5.IO  4.IM  3.IN  0   yI 
3 45


8
5.0  4.2  3.  


 3 1
 zI 
3 45



Mặt phẳng  Oxz  có phương trình y  0 .
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  Oxz  nên mặt cầu có bán kính R  d  I ,  Oxz    1 .
Vậy phương trình mặt cầu là: x 2   y  1   z  1  1 .
2

2