Câu 29. [2D4-1.0-3] (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho số phức z thoả
1 i
mãn
là số thực và z  2  m với m . Gọi m0 là một giá trị của m để có đúng một số phức
z
thoả mãn bài toán. Khi đó:
3 
 1
1 
 3
A. m0   0;  .
B. m0   ;1 .
C. m0   ; 2  .
D. m0  1;  .
2 
 2
2 
 2
Lời giải
Chọn D
Giả sử z  a  bi,  a, b   .
1 i
1 i
1
ab
a b

 2
 2
i.
 a  b   a  b  i   2

2 
2
z
a  bi a  b
a  b a  b2
w là số thực nên: a  b 1 .

Đặt: w 

Mặt khác: a  2  bi  m   a  2   b2  m2  2  .
2

Thay 1 vào  2  được:  a  2   a 2  m2  2a 2  4a  4  m2  0
2

 3 .

Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT  3 phải có nghiệm a duy nhất.
 3
   0  4  2  4  m2   0  m2  2  m  2  1;  .
 2
Trình bày lại
Giả sử z  a  bi, vì z  0 nên a 2  b2  0 * .
ab
1 i
1
1 i
a b
 2
 2


i.
 a  b   a  b  i   2
2 
2
a  bi a  b
a  b a  b2
z
w là số thực nên: a  b 1 .Kết hợp * suy ra a  b  0 .

Đặt: w 

Mặt khác: a  2  bi  m   a  2   b2  m2  2  ..
2

Thay 1 vào  2  được:  a  2   a 2  m2  g  a   2a 2  4a  4  m2  0
2

 3 .

Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT  3 phải có nghiệm a  0 duy nhất.
Có các khả năng sau :
KN1 : PT  3 có nghiệm kép a  0
m2  2  0
   0


ĐK: 

m 2.

2
 g  0  0
4  m  0



KN2: PT  3 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm a  0
2


   0
m  2  0
ĐK: 

 m  2.
2
4

m

0


 g  0  0


 3
Từ đó suy ra m0  2  1;  .
 2
Câu 43: [2D4-1.0-3] [THPT Lê Hồng Phong-HCM-HK2-2018] Cho số phức z  a  bi  a, b  , a  0 

thỏa z.z  12 z   z  z   13  10i . Tính S  a  b .


A. S  17 .

C. S  7 .
Lời giải

B. S  5 .

D. S  17 .

Chọn C
Ta có:

a 2  b 2  12 a 2  b 2  13
z.z  12 z   z  z   13  10i  a 2  b2  12 a 2  b2  2bi  13  10i  

2b  10
  a 2  25  13
2
2
 

a  12 a  12
a  25  12 a  25  13
, vì a  0 .

   a 2  25  1VN   



b


5
b


5
b


5





b  5
Vậy S  a  b  7 .

Câu 25: [2D4-1.0-3] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG-LẦN 2-2018)
Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m  S có đúng một số phức thỏa mãn z  m  4 và
z
là số thuẩn ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S .
z 6
A. 0
B. 12
C. 6
Lời giải


D. 14

Chọn B
Điều kiện z  6 .
Giả sử z  x  yi

 x, y   .

Ta có z  m  4  x  m  yi  4   x  m   y 2  16  C  .
2

Lại có

6  x  6  yi 
6  x  6
6y
z
6
6
 1

1


i.
 1
 1
2
2

2
z 6
z 6
x  6  yi
 x  6  y2
 x  6  y2  x  6  y2

Khi đó

6  x  6
z
là số thuẩn ảo khi 1 
0
2
z 6
 x  6  y 2

  x  6   y 2  6  x  6   0   x  3  y 2  9  C   .
2

2

Như vậy  C  có tâm I  m;0  , bán kính R  4 và  C   có tâm I   3;0  , bán kính R  3 .
Do đó II    3  m;0   II   m  3 .
YCBT   C  và  C   tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài

m  4
m  2
 m 3 1
 II   R  R  1



 S  12 .

 m  10

 m  3  7
 II  R  R '  7

 m  4


Câu 32:

[2D4-1.0-3] [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Giá trị của biểu thức
0
2
4
6
98
100
bằng
C100
 C100
 C100
 C100
 ...  C100
 C100

A. 2100 .


B. 250 .

C. 2100 .

D. 250 .

Lời giải
Chọn B
Ta có

1  i 

100

0
2
4
100
1
3
5
99
0
1
2
100
  C100
 C100
 C100

 ...  C100
 C100
 C100
 C100
 C100
 iC100
 i 2C100
 ...  i100C100
  C100
i

1  i 

100

Mặt khác

.

50

2
 1  i     2i 50


 250 .

0
2
4

6
98
100
Vậy C100
 C100
 C100
 C100
 ...  C100
 C100
 250 .

Câu 1:

[2D4-1.0-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Cho số phức z  3  5i .
Gọi w  x  yi  x, y   là một căn bậc hai của z . Giá trị của biểu thức T  x 4  y 4 là
B. T 

A. T  706 .

17
.
2

C. T 

43
.
2

D. T  34 .


Lời giải
Chọn C
Ta có w  x  yi  x, y 

 là một căn bậc hai của

z khi và chỉ khi w2  z

 x2  y 2  3
2
  x  yi   3  5i  x 2  y 2  2 xyi  3  5i .  
2 xy  5
Ta có T  x  y   x  y
4

4

2



2 2

 5  43
 2 x y  3  2.    .
2
 2 
2


2

2

2

Câu 42: [2D4-1.0-3] (CHUYEN PHAN BOI CHAU_NGHE AN_L4_2018_BTN_6ID_HDG) Cho hai số
4

4

z  z 
phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  z1  z2  0 . Tính A   1    2  .
 z2   z1 
A. 1 .
B. 1  i .
C. 1 .
D. 1  i .
Lời giải
Chọn C

Đặt z1  a  bi , z2  a  bi , với a, a, b, b 

, ta có:

 z1  z2  z1
z1  z2  z1  z2  0  
 z1  z2








 z1 z1  z1 z2  z2 z1  z2 z2  z1 z1
 z1  z2  z1  z2  z1 z1




 z1 z1  z2 z2
 z1 z1  z2 z2



 z1 z2  z2 z1  z1 z1
.


 z1 z1  z2 z2
Ta có:
2

2

2

2


 z1 z2 z2 z1 
 z1   z2   z1 z2 

 2
        2  
 z2   z1   z2 z1 
 z2 z2 z1 z1 
2

2

z z z z 
z z 
  1 2 2 1   2   1 1   2  1 .
z1 z1


 z1 z1 
Từ đó:
2

2
2
4
4
 z1   z2   z1   z2  
2
A               2   1  2  1 .
 z2   z1   z2   z1  


Câu 35: [2D4-1.0-3] (THPT HAU LOC 2_THANH HOA_LAN2_2018_BTN_6ID_HDG) Có bao nhiêu số
phức z thỏa mãn z  2  i  2 2 và  z  i  là số thuần ảo?
2

A. 2 .

B. 0 .

C. 4 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn A
Đặt z  x  yi . Ta có z  2  i  2 2   x  2    y  1  8 1 .
2

2

2
 x  y 1
2
2
  x   y  1 i   x 2   y  1  2 x  y  1 i là số thuần ảo x 2   y  1  0  
x   y 1
x  2
Khi đó 2 x 2  8  
 x  2

 z  i


2

Với x  2 ta có y  3 hoặc y  1 . Ta có z  2  3i hoặc z  2  i .
Với x  2 ta có y  3 hoặc y  3 . Ta có z  2  3i hoặc z  2  3i .
Vậy có 4 số phức z thỏa mãn bài toán.
Câu 43: [2D4-1.0-3] [SGD_QUANG NINH_2018_BTN_6ID_HDG] Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn


 z1  z2  z3  1
 2
. Tính giá trị của biểu thức M  z2  z3  z3  z1 .
 z1  z2 .z3

z z  6 2
 1 2
2
A.  6  2  3 .
Chọn D.

B.  6  2  3 .

6  2 2
.
2
Lời giải
C.

D.


 6 22
.
2


Gọi M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn trong hệ trục tọa độ của các số phức z1 , z2 , z3 .
Suy ra: M , N , P thuộc đường tròn  O;1 .

MN  z1  z2 

6 2
6 2
 OMN  150  MON  1500 .
 cos OMN 
4
4

Ta có: z3  z1  z1 z3  z1  z3 z1  z12  z3 z1  z3 z2  z3 z1  z2 
 MN  MP 

6 2
.
2

6 2
 MOP  1500
2

 NOP  600  NOP đều  NP  1  z2  z3  1 .


Vậy M 

 6 22
.
2

Câu 206: [2D4-1.0-3] [HAI BÀ TRƯNG – HUẾ-2017] Tính S  1009  i  2i 2  3i3  ...  2017i 2017 .
A. S  2017 1009i.
B. 1009  2017i.
C. 2017  1009i.
D. 1008  1009i.
Lời giải
Chọn C
Ta có
S  1009  i  2i 2  3i 3  4i 4  ...  2017i 2017
 1009   4i 4  8i 8  ...  2016i 2016    i  5i 5  9i 9  ...  2017i 2017  
  2i 2  6i 6  10i10  ...  2014i 2014    3i 3  7i 7  11i11  ...  2015i 2015 
504

505

504

504

n 1

n 1

n 1


n 1

 1009    4n   i   4n  3    4n  2   i   4n  1
 1009  509040  509545i  508032  508536i
 2017  1009i.
Cách khác:
Đặt
f  x   1  x  x 2  x3  ....  x 2017

f   x   1  2 x  3x 2  ...  2017 x 2016
xf   x   x  2 x 2  3x3  ...  2017 x 2017 1
Mặt khác:


x 2018  1
f  x   1  x  x  x  ....  x

x 1
2017
2018
2018 x  x  1   x  1
f  x 
2
 x  1
2

 xf   x   x.

3


2017

2018 x 2017  x  1   x 2018  1

 2
2
 x  1
Thay x  i vào 1 và  2  ta được:
2018i 2017  i  1   i 2018  1
2018  2018i  2
S  1009  i.
 1009  i
 2017  1009i
2
2i
 i  1
Câu 5717:

[2D4-1.0-3] [THPTHoàngHoaThám-KhánhHòa-2017] Tìm số thực

để số phức

m

z  1  1  mi   1  mi  là số thuần ảo.
2

A. m  0 .


B. m  3 .

D. m  9 .

C. m   3 .
Lời giải

Chọn C

z  3  m2  3mi .
z là số thuần ảo  3  m2  0  m   3 .

[2D4-1.0-3][THPTĐặngThúcHứa-2017] Cho số phức z  a  bi  a, b 

Câu 5723:



z  4  2 z . Đặt P  8  b  a   12. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
2

2





2

A. P  z  4 .

2

thỏa mãn điều kiện

2

B. P   z  2  .
2

C. P   z  4  .
2





2

D. P  z  2 .
2

Lời giải
Chọn B

z 2  4  2 z  (a  bi)2  4  2 a 2  b2  (a 2  b2  4)2  (2ab)2  2 a 2  b2

 (a2  b2 )2  8(a2  b2 )  16  4a 2 b2  4(a2  b2 )
 8(a2  b2 )  12  (a 2  b2 )2  4a 2b2  4(a 2  b2 )  4






2

 8(a2  b2 )  12  (a 2  b2 )2  4(a 2  b2 )  4  8(a2  b2 )  12  (a 2  b2  2)2  P  z  2 .
2

[2D4-1.0-3] [THPTHùngVương-PT-2017] Có bao nhiêu số phức z  x  yi thỏa mãn hai điều
x
1
kiện z  1  i  10  z và   .
y
2

Câu 5743:

A. 0 .

B. 2 .

C. 1 .
Lời giải

Chọn A
Ta có :

x
1
   y  2x .

y
2

D. 3 .


Mặt khác z  1  i  10  z 

 x  1

Suy ra

 x  1

2

  y  1  10  x 2  y 2 .
2

  2x  1  10  x 2   2x  .

2

2

2

 5x 2  6x  2  10  5x 2

 5x 2  6x  2  100  20 5x 2  6x  2  5x 2

 10 5x 2  6x  2  51  3x




x  17
491x 2  294x  2401  0

Phương trình vô nghiệm.
Do đó không có số phức thỏa mãn.

Câu 5744:

[2D4-1.0-3] [THPTChuyênBìnhLong-2017] Cho số phức z 

sau đây của m thì z  i 
A. 0  m 

1
15

.

im
. Với giá trị nào
1  m  m  2i 

1
.
4


B.  15  m  0 .

C. 

1
15

m

1
15

.

D.  15  m  15 .

Lời giải
Chọn C

z

mi
1
im
im
.
 2



2
1  m  m  2i    m  i 
m 1 m  i

1
m
m2
1
m2
m4
1
 z i   2
 2
i  


.
2
2
4
4
m 1 m 1
 m2  1  m2  1 16



 




2

 16 m4  m2  m2  1  15m4  14m2  1  0  0  m2 

1
1
1
.

m
15
15
15